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Capitolo 6. I poligoni
(Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15)
6.1 Aspetti generali (vertici, lati, diagonali, convessita, angoli, perimetro)
6.2 I triangoli
6.3 I quadrilateri
6.4 I poligoni regolari
6.5 Le altezze
6.6 Le aree
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
6.1 Aspetti generali
Un poligono e la parte di piano delimitata da una poligonale (inclusa lapoligonale stessa).
Vertici consecutivi: ad es. A e B.Lati consecutivi: ad es. AB e BC .
Qual e il lato opposto ad AB?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Discriminare poligoni da non poligoni e imparare i loro nomi.
I Suddividere la classe in coppie;
I materiale: modelli di figure geometriche (cartoncino o compensato o...), un sacchetto che le contenga tutte, rappresentazione e nomedelle stesse figure su un cartellone;
I svolgimento: in ogni coppia l’alunno A chiede all’alunno B di pescaredal sacchetto (utilizzando il tatto, senza guardare) una certa figura edi stabilire se e o non e un poligono. Poi si scambiano i ruoli.
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6.1 Aspetti generali
Attivita. Immaginare e rappresentare poligoni, fare valutazionidimensionali e di strategia.
I Suddividere la classe in coppie;
I materiale: carta punteggiata o geopiano;
I svolgimento: l’alunno A della coppia traccia un lato di un triangolo.L’alunno B traccia un altro lato e cosı via. L’alunno che chiude untriangolo, tracciando l’ultimo lato, lo contrassegna con il propriocolore/simbolo e ha diritto al turno successivo. Vince chi ha chiusopiu triangoli.
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6.1 Aspetti generali
Varianti.
I cambiare il poligono di riferimento
I chiedere che i poligoni abbiano tutti la stessa forma e la stessa area
I ...
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6.1 Aspetti generali
Attivita. Riconoscere triangoli, quadrilteri, pentagoni, esagoni, ecc. edescriverli.
E utile perche fa notare che non esistono soltanto i poligoni con il nome,che non tutti gli esagoni sono regolari,...
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Criterio di costruibilita
Righello alla mano, rappresentiamo poligoni di lati:
(a) 5 cm, 5 cm, 7 cm;
(b) 7 cm, 2 cm, 15 cm;
(c) 5 cm, 7 cm, 2 cm;
(d) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm;
(e) ...
A scuola possiamo utilizzare cannucce di lunghezza opportuna.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Criterio di costruibilita. In un poligono la lunghezza di ogni lato deveessere minore della somma delle misure degli altri lati.
Basta controllare se il lato maggiore e minore della somma degli altri lati.
(a) 5 cm, 5 cm, 7 cm; 7 < 5 + 5 → costruibile
(b) 7 cm, 2 cm, 15 cm; 15 > 2 + 7 → non costruibile
(c) 5 cm, 7 cm, 2 cm; 7 = 2 + 5 → non costruibile (caso degenere)
(d) 7 cm, 7 cm, 5 cm, 5 cm; 7 < 5 + 7 + 7 → costruibile
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Assegnate le misure dei lati (e supponendo che rispettino il criterio dicostruibilita), il poligono risulta univocamente determinato?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Numero di diagonali
Da che cosa dipende il numero di diagonali che un poligono possiede?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Consideriamo un pentagono, ma pensiamo a un poligono di n lati(generalizzazione).
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice A.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Le diagonali tracciate da A sono 2, perche i vertici sono 5 ma 3 sonovietati: A stesso, e i due consecutivi (B ed E ).
Quindi da un vertice (di un poligono di n vertici) si tracciano n − 3diagonali.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice B (sempre n − 3).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice C (sempre n − 3, anchese una l’abbiamo gia tracciata).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice D (sempre n − 3, anchese le avevamo gia tracciate entrambe).
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le possibili diagonali dal vertice E (sempre n − 3, anchese le abbiamo gia tracciate entrambe).
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6.1 Aspetti generali
Abbiamo tracciato 5× (5− 3) diagonali, ma sono doppie. Quindi il
numero di diagonali e 5×(5−3)2 .
Generalizzando: num. diagonali di un poligono di n vertici = n(n−3)2 .
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6.1 Aspetti generali
Quante diagonali ha un poligono di 25 lati?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Invece che proporre questa dimostrazione, possiamo chiedere(facendo provare):
I Quante strette di mano in un gruppo di 3 persone che devonopresentarsi?
I Quante strette di mano in un gruppo di 4 persone che devonopresentarsi?
I Quante strette di mano in un gruppo di 5 persone che devonopresentarsi?
I ...
E se le persone sono disposte a cerchio e gia si prendono per mano(ognuno conosce i suoi due vicini)?
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6.1 Aspetti generali
Strette di mano primo caso: n(n−1)2
Strette di mano secondo caso n(n−3)2
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6.1 Aspetti generali
Convessita
Un poligono e convesso se comunque presi due punti che gliappartengono il segmento che li congiunge e interamente contenuto in unpoligono (scegliamo di utilizzare questa definizione, che e attribuibile, piuin generale, a una figura convessa).
Poligono convesso: AB e interamente contenuto nel poligono, comunquevengano scelti due suoi punti A e B.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Viceversa, se esiste un segmento i cui estremi appartengono al poligono,ma che non e interamente contenuto in esso, allora tale poligono e dettoconcavo.
Poligono concavo: AB non e interamente contenuto nel poligono, avendoscelto opportunamente due suoi punti A e B.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Proprieta 1. Se un poligono e convesso, allora comunque si scelga unaretta contenente un lato, essa lascia il poligono tutto nello stessosemipiano.
Il poligono appartiene tutto al semipiano 1. Lo stesso sarebbe scegliendoun altro lato.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Se un poligono e concavo, esiste una retta contenente un lato che“taglia” il poligono.
Il poligono giace per una parte nel semipiano 1 e per una parte nelsemipiano 2.
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6.1 Aspetti generali
Proprieta 2. Se un poligono e convesso, allora tutti i suoi angoli internisono convessi.
Tutti gli angoli interni sono convessi.
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6.1 Aspetti generali
Se un poligono e concavo, allora ha almeno un angolo interno concavo.
L’angolo interno ABC e concavo (e maggiore di un angolo piatto ediverso dall’angolo giro).
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Proposta didattica sui poligoni convessi e concavi.
RoboTino e i poligoni convessi
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Quali tra le seguenti figure sono convesse (una figura econvessa se contiene tutti i segmenti che hanno gli estremi nella figurastessa)?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Angoli interni
Come si definisce un angolo interno?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Angoli interni
Ci riferiamo a poligoni convessi.
Un angolo interno (o semplicemente angolo) e un angolo delimitato dadue lati consecutivi del poligono, che contiene il poligono stesso.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Possiamo rappresentare sul pavimento una sagoma di unpoligono ed evidenziare un angolo interno.
Chiediamo ai bambini di collocarsi:
I nell’angolo;
I nell’angolo e fuori dal poligono;
I nel poligono e fuori dall’angolo (?)
(Un poligono convesso e l’intersezione dei suoi angoli interni)
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Un angolo e adiacente a un lato se e delimitato da quel lato.
L’angolo (interno) ABC e adiacente ai lati AB e BC .
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Somma degli angoli interni
Quanto vale la somma Si degli angoli interni di un poligono? Da checosa dipende?
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Iniziamo con il triangolo. Ritagliamo un triangolo qualsiasi.
Si (triangolo) = 180◦
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6.1 Aspetti generali
Quello che abbiamo osservato e un Teorema.Si dimostra tramite il Teorema delle rette parallele tagliate da unatrasversale.
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6.1 Aspetti generali
Utilizziamo questo fatto per dedurre la somma degli angoli interni di tuttipoligoni, suddividendoli in triangoli.
Consideriamo un pentagono, pensando poi alla generalizzazione per unpoligono di n vertici.
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6.1 Aspetti generali
Tracciamo tutte le diagonali uscenti da un vertice. Abbiamo suddiviso ilpoligono in 3 triangoli.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Le diagonali uscenti da un vertice sono n − 3, i triangoli n − 2.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
La somma degli angoli interni di tutti i triangoli, coincide con la sommadegli angoli interni del poligono.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Questa somma e
Si (poligono n vertici) = (n − 2) · 180◦
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6.1 Aspetti generali
Angoli esterni
Un angolo esterno e un angolo individuato da un lato del poligono e dalprolungamento di un suo consecutivo.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
L’angolo esterno e l’angolo del cambiamento di direzione.
Attivita. Si puo disegnare per terra un poligono e chiedere a un alunnodi camminare sulla poligonale, sempre nello stesso verso, con le bracciatese in avanti. Ogni volta che raggiungera un vertice, dovra tenere unbraccio fisso, che ricorda la direzione del lato appena percorso, e ruotarel’altro braccio in modo da allinearsi al lato successivo. Con il suomovimento avra indicato un angolo esterno del poligono.
Capitolo 6. I poligoni
6.1 Aspetti generali
Attivita. Classificare poligoni secondo vari criteri.
Esempi.
I Tra i poligoni rappresentati, quali hanno almeno un angolo (interno)retto?
I Quali hanno una coppia di lati paralleli?
I Quali sono convessi?
I Quali hanno una coppia di lati perpendicolari?
I Quali sono privi di diagonali?
I ...
