Obama Americki Presjednik

7/29/2019 Obama Americki Presjednik

1/11

Neke metode kvantifikacije rizika u menadmentuosiguranja

Dr. sc. Dominika Crnjac Mili

Sveuilite J.J. Strossmayer, Elektrotehniki fakultet u Osijeku,

Kneza Trpimira 2B, 31000 Osijek, Hrvatska

Tel.: +385 (0)31 224 600; Fax: +385 (0)31 224 605

e-mail: [email protected]

Mr.sc. Ljiljanka Kvesi

Srednja strukovna kola iroki Brijeg

88226 iroki Brijeg, Bosna i Hercegovina

mob.:+38763355021

e-mail: [email protected]

Saetak

U radu je pojanjen fenomen rizika u osiguranju uz koritenje matematikih alata.Pokazuje se da je marginalna korisnost kapitala monotona funkcija i da premiju trebauveati proporcionalno riziku

Kljune rijei: osiguranje, rizik, vjerojatnost, zakon velikih brojeva, distribucija,varijanca

1. Uvod

Zatita ovjeka i njegove imovine od tetnih posljedica prirodnih sila, sluaja i drugihopasnosti oduvijek je bila od velike vanosti ne samo za pojedinca, nego i za drutvo.Tu zatitu je potpunije i kvalitetnije ostvarivao u zajednitvu na naelima uzajamnostii solidarnosti.

U tijeku razvoja osiguranja izmijenio se u biti samo nain stvaranja i raspodjelesredstava. Pokazalo se da samo unaprijed prikupljeni namjenski fondovi osiguranjamogu dugorono i kontinuirano pokrivati negativne posljedice ostvarenih rizika.Osiguranje je tako u suvremenom gospodarskom razvoju postalo nezamjenjivomzatitom, te institutom sigurnosti i prosperiteta drutva.Osiguranje ostvaruje svoju zatitu na nain to osobe, izloene istoj ili slinojopasnosti, tj. osobe ijoj imovini, ivotu ili zdravlju prijeti isti ili slian rizik, udruujusredstva u zajedniki fond iz kojeg se nadoknauje teta ili isplauju osiguranesvote.Uplatama odreenog iznosa novca(premije) teret buduih teta, za koje je iskustvo

pokazalo da e se ostvariti, ali se ne zna kada, stvara fond za podmirenje buduih

obveza. Nuna premija mora biti razmjerna riziku kojeg pojedinac unosi uzajednitvo. Stoga je postojanje rizika i njegovo pokrie temelj, pred uvjet i smisaoosiguranja, pa je prije svega potrebno obrazloiti pojam i prirodu rizika u osiguranju.

1
mailto:[email protected]:[email protected]


2/11

2. Priroda rizika

Svaka situacija u kojoj se netko nae ukljuuje u sebi neki rizik, pa i svaka poslovnaaktivnost odnosno svaka poslovna situacija ukljuuje u sebi rizik.Rizik u najirem smislu predstavlja odreenu opasnost, neizvjesnost, gubitak, dakle

neki budui, neizvjestan dogaaj koji moe imati i neeljene posljedice. Pojam rizikatreba razlikovati od neizvjesnosti. O riziku se govori kad se kao rezultat nekog

budueg dogaaja mogu oekivati razliiti meusobno iskljuivi ishodi s poznatom(pretpostavljenom) vjerojatnou p. Ako taka vjerojatnost ne postoji, radi se oneizvjesnosti1 .Razvoj vjerojatnosti, statistike i teorije odluivanja pokazao je da ovarazlika nije odluujua za sutinsko razmatranje rizika u osiguranju.

2.1 Vrste rizika

Sistematizacija sadraja pojma rizika mogua je na vie naina. Jedna od takvihmogunosti prikazana je na sljedeoj shemi2.Vrste rizika:

rizik 0 1<


3/11

Rizici se s obzirom na konaan ishod mogu podijeliti na iste i pekulativne. istirizici su rizici koji su posljedica sluaja ili stihije, a ne ovjekova svjesnog djelovanja,npr. smrt, poar i sl., dok su pekulativni rizici oni rizici u koje ovjek ulazi svjesno

npr. igre na sreu, ulaganje u rizine projekte. Osiguranjem se pokrivaju samo istirizici koji, kada se pojave, rezultiraju iskljuivo gubitkom dok pekulativni mogurezultirati dobitkom ili gubitkom.pekulativni rizik nije predmet osiguranja, jer nije u skladu s osnovnom funkcijomosiguranja tj. zatite integriteta ovjeka i imovine. isti osigurljivi rizici mogu seraspodijeliti u tri osnovne skupine:

- osobni rizici- rizici kojima je izloen pojedinac poradi smrti, starosti, bolesti,nezgode, nezaposlenosti, zbog ega nastaju financijski gubitci pojedincu injegovoj obitelji te se od njih nastoji zatititi i to najee osiguranjem.,

- imovinski rizici- rizici kojima je izloena imovina.,- rizici od odgovornosti- rizici vezani za pokrie teta uinjenih treoj osobi za

koje je odgovoran osiguranik. Odgovornost moe biti zakonska (npr.osiguranje automobilske odgovornosti) ili ugovorna (npr. osiguranje proizvodagarancijom).

2.1.2 Zajedniki i pojedinani rizici

Zajedniki rizici su oni koji odjednom ugroavaju vee skupine ljudi npr. potres, rat,nezaposlenost i dr. Smatraju se problemom drutva u cjelini, pa ak i globalnim

problemom. Ovi rizici su izvan kontrole pojedinca koji trpe njihove posljedice paodgovornost za takve rizike preuzima drutvo a ne pojedinac.Pojedinani rizici imaju ograniene posljedice. Oni se javljaju kao posljedica

pojedinanih dogaaja i osjeaju ih pojedinci.

2.1.3 Subjektivni i objektivni rizici

Rizici ije ostvarenje ovisi o postupcima pojedinca su subjektivni rizici. Objektivnirizici su rezultat objektivnih okolnosti i relativno su lako mjerljivi.Ovise o predmetu osiguranja, njegovoj vrijednosti, veliini i uestalosti tete.

Rizinost se smanjuje s poveanjem broja predmeta izloenih riziku. to je brojosiguranih predmeta vei uz isto odstupanje i istu vjerojatnost tete, obvezaosiguravatelja je manja ako nastupi osigurani sluaj. S poveanjem broja jedinicaizloenih riziku osiguravatelj moe tonije, s veim stupnjem sigurnosti, predvidjeti

budue tete, jer se moe osloniti na djelovanje zakona velikih brojeva.

Ostvarenjesubjektivnog rizika ovisi o postupcima pojedinca, stoga je njegovu veliinuteko mjeriti. U svakom riziku obino su zastupljene obje vrste rizinosti, ali srazliitim udjelom: u nekima prevladavaju objektivni, a u drugima subjektivniimbenici.

Za ocjenu veliine rizika vana je i vjerojatnost nastupa nekog dogaaja ili sluaja.Postoji objektivni i subjektivni aspekt vjerojatnosti.

3


4/11

Objektivna vjerojatnostje relativna frekvencija nekog dogaaja, koja se temelji napretpostavci o velikom broju promatranih sluajeva i nepromijenjenim ostalimuvjetima. Moe se odrediti pomou dva naina:

- dedukcijom (a priori vjerojatnost);

- indukcijom (a posteriori vjerojatnost).

Subjektivna vjerojatnostje osobna procjena vjerojatnosti nastupa nakon dogaanja.Ovisi o karakteristikama osobe koja prosuuje rizinost: o njezinoj dobi, spolu,iskustvu, stupnju inteligencije i sl.

Vjerojatnost nije mogue poistovjetiti s objektivnim rizikom. Vjerojatnost je relativna

frekvencija odreenoga tetnog dogaaja a objektivni rizik je relativno odstupanje

stvarne od oekivane tete.

Vjerojatnost tete moe biti jednaka za dvije skupine promatranih objekata, dok

objektivni rizik moe biti razliit.

teteocekivane

tetaocekivanihodstvaarnihodstupanjerizikobjektivni =

Iz prethodne formule proizlazi odnos objektivnog rizika i vjerojatnosti tete: ako jeteta nastala, objektivni rizik je nula jer nema odstupanja stvarnih od oekivanih teta.Ako teta nije vjerojatna, objektivni rizik je nula (nema odstupanja stvarne odoekivane tete jer teta nije vjerojatna ).Objektivni rizik ( kao odstupanje od oekivanja ) je tonije odreen u velikom broju

promatranih sluajeva. Dakle, zakon velikih brojeva je zakon mnotva i osnovni jezakon u teoriji vjerojatnosti i statistici3.

Smisao zakona velikih brojeva je u injenici da odreeni dogaaj, promatramopojedinano, ako se ostvari predstavlja sluaj, dok u velikom broju promatranjapredstavlja zakonitost. Stoga je dogaaj koji je za pojedinca sluajnost, promatran umnotvu oekivani dogaaj.

Taj jeprirodni zakon formulirao vicarski matematiarJakob Bernoulli a kasnije ga jeprouio francuski matematiar i fiziar Simeon Denis Poisson, koji se posebno bavio

istraivanjima u podruju varijacija i vjerojatnosti.Na temelju istraivanja o veliini rizika i vjerojatnosti nastupa teta, proizlazisljedee:

- to je vei broj promatranih objekata izloenih riziku, uz jednaku vjerojatnosttete, objektivni rizik se smanjuje

- poveanjem vjerojatnosti tete odstupanje stvarnih od oekivanih teta sesmanjuje ako je broj jedinica izloenih riziku stalan

3. Statistiki i vjerojatnosni koncepti u osiguranju

33 V. Vrani, Vjerojatnost i statistika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1971

4


5/11

Metode koje se upotrebljavaju u upravljanju rizikom i osiguranju su statistikemetode, i teorija vjerojatnosti ili matematika obrada teorije sluaja koja senadograuje na zakon velikih brojeva. Stoga je nuno podrobnije objasniti mjerecentralne tendencije, mjere disperzije, vjerojatnost i teoretske distribucije vjerojatnostii zakon velikih brojeva.

3.1 Mjere centralne tendencije

Statistika analiza opisuje velik broj podataka statistiko analitikim veliinama.mjere centralne tendencije

- mjere disperzijeTe mjere su izraz tendencije i gomilanja podataka oko neke vrijednosti. Najznaajnijemjere centralne tendencije su:4

Aritmetika sredina:( ) 11 2 3, , ,...,

i

n

in n

x

A x x x x n==

Geometrijska sredina: ( )

1

1 2 31

, , ,...,n n

n n i

i

G x x x x x=

=

Harmonijska sredina: ( )( )

1 2 31

1

, , ,..., n n

i

i

nH x x x x

x

=

=

Teinska kvadratna sredina: ( )12

21 2 3

1

1, , ,...,

n

n n i

i

M x x x x xn =

=

, pri emu

su 1 2 3, , ,..., nx x x x podaciPrimijetimo da vrijede nejednakosti5 meu mjerama centralne tendencije

( )( )

( )

112

211 2 3 1 2 3

1 11

1

1min , , ,..., max , , ,...,

n

in nni

n i i nnii

i

i

xn

x x x x x x x x x xn n

x

=

==

=

,tj. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

min , , ,..., , , ,..., , , ,...,, , ,..., , , ,..., max , , ,...,

n n n n n

n n n n n

x x x x H x x x x G x x x xA x x x x M x x x x x x x x

3.2 Mjere disperzije

Disperziju ili rasprenost podataka oko srednje vrijednosti moemo utvrditi pomoumjere disperzije. Najea mjera disperzije je standardna devijacija, koja pokazuje

prosjeno odstupanje numerike varijable od prosjeka.

44 M. Crnjac, D.Crnjac, Inequalities, differences and relationships between some statistic means,Zbirka radova XIII., Ekonomski fakultet u Mostaru, 2004, str. 171-186

5 M.Crnjac, Teorijska statistika za ekonomiste, Ekonomski fakultet Osijek, 1996., str. 80-83

5


6/11

Standardna devijacija za ne grupirane podatke dana je izrazom

=

= = = ( )x x

n

x

n x

i

i

n

i

i

n2

1

2

12

Standardna devijacija za grupirane podatke dana je izrazom.

=

=

F

H

GGGG

IJJJJ

=

=

=

=

=

=

f x x

f

f x

f

f x

f

i i

i

n

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

( )2

1

1

2

1

1

1

1

2

, pri emu je if

teinski faktor.

U distribuciji s relativno izraenim frekvencijama koje interpretiramo kaovjerojatnosti, umjesto izraza aritmetika sredina koristimo se terminom oekivanavrijednost.Oekivana vrijednost je mjera centralne tendencije sluajne varijable6x tj.

E x x p xii

n

ibg b= ==

1

.

Iz prethodnog izraza vidljivo je da je oekivana vrijednost varijable x aritmetika

sredina distribucije s relativno izraenim frekvencijama.Mjera odstupanja od oekivane vrijednosti je:

- varijanca 2

1

2 2

1

2= =

= =

( ) ( ) ( )x p x x p xii

n

i i

i

n

i

- standardna devijacija sluajne varijable kao prosjeno odstupanje vrijednostinumerike varijable od oekivane vrijednosti je:

= = = = ( ) ( ) ( ) .x p x x p xi i i ii

n

i

n2

1

2 2

1

Statika vjerojatnost (ili vjerojatnost a posteriori) povoljnog ishoda je graninavrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda dogaaja x ako broj pokuaja raste u

beskonanost tj.

P xx

nnbg=

lim

6 N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Zagreb, kolska knjiga, 1988.

6


7/11

x broj povoljnih ishoda sluajevan ukupan broj sluajeva

3.3 Distribucije vjerojatnosti (razdiobe vjerojatnosti)

Vjerojatnost je mogunost pojavljivanja nekog dogaaja u odreenom vremenskomrazdoblju. Nalazi se u granicama od nula do jedan. Ako je 0=p , dogaaj nijevjerojatan, a ako je 1=p , on je siguran. Teoriju vjerojatnosti postavio je francuskifilozof, matematiar i fiziar Blaise Pascal (16231662 ).Omjer broja povoljnih dogaaja prema broju svih moguih dogaaja daje vjerojatnostnastanka odreenog dogaaja.Tu definiciju postavlja francuski astronom i matematiar Pierre Simon de Laplace

(1749-1827).Vjerojatnost (a priori)se moe odrediti kad su unaprijed znani svi mogui dogaaji i

povoljni dogaaji,

( )x

p xn

= , koja je neprimjenjiva u osiguranju,

jer nije poznat ukupni broj sluajeva.

Teoretske distribucije se dijele na diskontinuirane distribucije i kontinuirane. One

svoju primjenu nalaze i u osiguranju, a prednost im je u tome to s odreenimstupnjem tonosti mogu odrediti kako esto e se odreeni dogaaj pojaviti, i ako nijeizvren veliki broj promatranja.

Razdioba Funkcija gustoeNormalna ( )

2

2

1( ) exp , ,

22

xf x x

=

=srednja vrijednost =standardno odstupanje

7


8/11

Eksponencijalna( )

0, 0

, 0 .xx

f xe x

= > >

+

Za portfolio osiguranja vano je utvrditi koliko e u nekom razdoblju biti teta kao ikoliko e biti totalnih teta7. Uz pretpostavku totalnih teta jednakog iznosa jedinielement sluajnosti je broj teta odnosno relativna uestalost teta. Oekivani brojteta u nekom razdoblju nije teko utvrditi na temelju zapaanja u duljem roku.Za osiguravatelja je vano utvrditi potrebni broj osiguranja da bi s odreenimstupnjem sigurnosti mogao rei da stvarne tete nee odstupati od oekivanih za vieod odreenog postotka:

7 M. Sanjkovi, Elementarni prikaz primjene teorije rizika uz neka posebna ogranienja, Osiguranje iprivreda, god. XV, br. 11.-12.

8


9/11

Nz p p

E=

22

1( )

gdje je

N = potreban broj osiguranjap = vjerojatnost teteE= maksimalna greka koju je osiguravatelj voljan toleriratiz = koeficijent pouzdanosti iz tablica distribucije.

Prethodna jednakost uzima u obzir samo uestalost, a ne i veliinu teta.

4. Rizik u osiguranju

Teorija rizika razvijala se izvan teorije vjerojatnosti i matematike statistike. Brzi

razvoj aktuaristike poeo je razjanjavati specifinosti rizika u osiguranju.

4.1 Klasina teorija rizika

Za promatranje aktuarske teroije rizika potrebno je odrediti osnovne elemente uugovoru o osiguranju:

- naknada iz osiguranja, S- premija, P.

Osiguranik stjee svoje pravo na odtetu na temelju ugovora o osiguranju uplatompremije.Ako je vjerojatnost nastupa osiguranog sluaja p , premijaP je produkt odtete S ivjerojatnosti nastupa osiguranog sluaja tj.

P p S=

Prethodnom jednadbom je dano naelo ekvalencije koje je osnova teorije osiguranja.Prema naelu ekvivalencije oekivana vrijednost odtete jednaka je oekivanojvrijednosti premije.Ugovoreni odnosi u osiguranju mogu se definirati funkcijom distribucije ( )xF gdje

je ( )xF vjerojatnost da odtete nee biti vee od nekog iznosa x , pa je neto iliriziko premija dana izrazom :

0

( )P xdF x

= 8

Mjera rizika (odstupanje od oekivanja) odreuje se kao oekivani gubitakosiguravajueg drutva (ukoliko ugovor rezultira gubitkom) i odreuje sljedeomformulom:

8 dF(x) je distribucija vjerojatnosti tete p(x)

9


10/11

0

1( ) ( ) ( )

2P

x P dF x x P dF x

= ,

Rizik za osiguravatelja postoji samo ako je x vee od P (tete vee od premije) .Uvaavajui princip preferencije, osiguravatelj uspostavlja red meu ugovorima oosiguranju to se moe prikazati funkcijom u x

P x dF x

zb gb0

9

Iz prethodnog proizlazi da je oekivana korisnost to vea to je ugovor vie rangiran u

skali preferencija. Moemo uvesti pojam degeneriranogugovora, to je ugovor kojinee rezultirati ni gubitkom ni dobitkom. To ujedno znai da premija Q treba bitivea ili jednaka premiji za degenerirani ugovor:

0

(0) ( ) ( )u u Q x dF x

Funkcija u x predstavlja korisnost novca, uz pretpostavku da je:

u x, > 0 i u xg

,, < 0

Ovo nam pokazuje da je marginalna korisnost novca opadajua funkcija. Iz togaslijedi da je Q P , to znai da P treba uveati za faktor sigurnosti odnosno iznos

proporcionalan riziku.

Zakljuak

Matematiki pristup osiguranju je vrlo mono sredstvo u rjeavanju fenomena rizika uosiguranju. U radu je pokazano da se statistika i teorija vjerojatnosti uspjeno koristi urazmatranju problema koji ukljuuje neizvjesnost i rizik, osiguranje i ulaganje.Pokazano je da je marginalna korisnost kapitala monotona funkcija i da premiju Ptreba uveati proporcionalno riziku.Ovo je saznanje od velike vanosti za aktuare, tj. omoguuje aktuaru precizno

formuliranje problema.

9 Gdje je korist od ugovora (P-x) premije tete, a F(x) je varijabla

10


11/11

Literatura

1.Andrijaevi S., Petranovi V. (1999). Ekonomika osiguranja. Zagreb

2. M. Crnjac, D.Crnjac, Inequalities, differences and relationships between somestatistic means, Zbirka radova XIII., Ekonomski fakultet u Mostaru, 2004

3. M.Crnjac, Teorijska statistika za ekonomiste, Ekonomski fakultet Osijek, 1996.

4. F.Knight,Risk,Uncertainty and Profit,1999.

5. M. R. Greene, J. S. Trieschmann, Sandra G. Gustavson, Risk & Insureance,2000.

6. M. Sanjkovi, Elementarni prikaz primjene teorije rizika uz neka posebnaogranienja, Osiguranje i privreda, god. XV, br. 11.-12

7. V. Vrani, Vjerojatnost i statistika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1971

8. Vukadinovi, S. (1970). Elementi rauna verovatnoe i matematike statistike.

11

Documents

Obama Americki Presjednik