Objectifs du chapitre sur la corrélation

Comprendre ce qu’est une corrélation

Savoir représenter une corrélation à l’aide d’un diagramme de dispersion du coefficient de corrélation

score au WRAT 3

605040302010

scor

e to

tal d

es p

lurie

ls (

sur

20)

30

20

10

0

-10

niveau scolaire du p

6,00

4,00

2,00

Total Population

2 façons de représenter une corrélation (1)

Visuellement: tableau de contingence

(données qualitatives) diagramme de dispersion

(données quantitatives): coordonnées de 2 variables sur plan cartésien

2 façons de représenter une corrélation (2)

Mathématiquement: coefficient de Bravais-Pearson

Coefficient standardisé de covariance (données continues) variant entre –1 et +1 0 indique l’absence d’association

indique la force et la direction de la relation

autres: φ, Spearman, bisériel, etc.

L’équation du coefficient de

corrélation de Bravais-Pearson

La formule conceptuelle

La formule de calcul

_

i

_

i

YYXXr

YYXX

22

_

i

_

i

xy

NN

N

YXXY

r

YY

XX

2

2

2

2

xy

Mnémonique La formule conceptuelle

…

s’écrit aussi

_

i

_

i

YYXXr

YYXX

22

_

i

_

i

xy

ssvarCo

ryx

xy

xy

Un exemple: calcul et interprétation:

association ou cause-effet?

# cigognes population

125 55000

150 55500

175 65000

200 67500

248 68000

250 70000

250 75000

Un exemple: calculCigo-gnes

Popu-lation

C2 P2 CxP

125 55000 15625 3.0250 x 109 6875000

150 55500 22500 3.0802 x 109 8325000

175 65000 30625 4.2250 x 109 11375000

200 67500 40000 4.5562 x 109 13500000

248 68000 61504 4.6240 x 109 16864000

250 70000 62500 4.9000 x 109 17500000

250 75000 62500 5.6250 x 109 18750000

1398 456000 295254 3.0035 x 1010 93189000

Exemple de calcul (1)

NN

N

YXXY

r

YY

XX

2

2

2

2

xy

7

45600003003500000

7

1398 -295254

7

4560001398-93189000

r22xy

7

00207930000003003500000

7

1954404 -295254

7

637480000-93189000

rxy

Exemple de calcul (2)

NN

N

YXXY

r

YY

XX

2

2

2

2

xy

0297050000003003500000279200.57 -295254

91069714-93189000rxy

920974.3.2301135

2119286

773.18161x70213.261

2119286

32985000016053.429

2119286rxy

Nombre de cigognes

260240220200180160140120

Po

pu

latio

n d

e la

vill

e

80000

70000

60000

50000

Problèmes 9.1-9.3bébé fertile % nais.

6,1 43,0 9,2

7,1 55,3 12,0

7,4 48,5 10,4

6,3 38,8 9,8

6,5 46,2 9,8

5,7 39,9 7,7

6,6 43,1 10,9

8,1 48,5 9,5

6,3 40,0 11,6

6,9 56,7 11,6

Problèmes 9.1-9.3: calculs

Y X1 X2 YX1 YX 2 Y2 X1 2 X22 X1X2

6,1 43,0 9,2 262,30 56,12 37,21 1849,00 84,64 395,60

7,1 55,3 12,0 392,63 85,20 50,41 3058,09 144,00 663,60

7,4 48,5 10,4 358,90 76,96 54,76 2352,25 108,16 504,40

6,3 38,8 9,8 244,44 61,74 39,69 1505,44 96,04 380,24

6,5 46,2 9,8 300,30 63,70 42,25 2134,44 96,04 452,76

5,7 39,9 7,7 227,43 43,89 32,49 1592,01 59,29 307,23

6,6 43,1 10,9 284,46 71,94 43,56 1857,61 118,81 469,79

8,1 48,5 9,5 392,85 76,95 65,61 2352,25 90,25 460,75

6,3 40,0 11,6 252,00 73,08 39,69 1600,00 134,56 464,00

6,9 56,7 11,6 391,23 80,04 47,61 3214,89 134,56 657,72

67 460 102,5 3106,54 689,62 453,28 21516 1066,4 4756,09

Calcul 9.1

NN

N

YXXY

r

YY

XX

2

2

2

2

xy

10460

215161067

-453,28

1046067

-3106,54

22

xyr

2116021516448,9 -453,28

3082-3106,54

10211600

2151610

4489 -453,28

1030820

-3106,54

xyr

,6239,49

24,54

09x18,872

24,54

3564,38

24,54

,xyr

rxy en tant qu’estimateur de ρ

biais: surévaluation solution: réduire l’indice

correction mathématique:

utilisation en régression,alors N-2 = N-p-1

2N

1N11 r

r2

xy

ajusté

Comment savoir si rxy égale 0 ou non?

test t:

avec N-2 comme dl

règle de jugement à l’oeil:si le résultat de ce calcul est plus grand que 2, alors rxy est différent de 0

r

rt 2

xy

xy

dl1

2N

D’autres coefficients de corrélation (1)

: corrélation pour 2 variables nominales

rpb: corrélation entre une variable

nominale et une variable à intervalles égaux

N

χφ

2

total

qpqp

pb σN

nnMMr

= r

L’exemple des cigognes

# cigognes population

125 00 55000 00

150 00 55500 00

175 00 65000 00

200 00 67500 00

248 11 68000 11

250 11 70000 11

250 11 75000 11

Popu-lation < 67998

Popu-lation < 67999

# cigognes

< 201 4 0

# cigognes

> 202 0 3

72857143.27142857.17142857.12857143.17

3x37

3x33

7

4x37

4x30

7

3x47

3x40

7

4x47

4x44

χ

2222

2

D’autres coefficients de corrélation (2)

rb: corrélation pour une variable nominale en pratique mais

continue en réalité

: corrélation entre deux variables ordinales

y

nnx

σN

MMr qp

total

qpb

1NN

D61r

2

N

1i

2

s

Un exemple de calcul pour le r de Spearman

(1)# cigo-gnes

Rang cig.

Popu-lation

Rang popu.

Diff. rangs

125 1 55000 11 00

150 2 55500 22 00

175 3 65000 33 00

200 4 67500 44 00

248 5 68000 55 00

250 6.5 70000 66 +0.5+0.5

250 6.5 75000 77 -0.5-0.5

1497

5061

1

61

21

2

,

NN

Dr

N

is

8570,99107142112

11

167

11

487

31

sr

Un exemple de calcul pour le r de Spearman

(2)

Problèmes 9.1-9.3bébé rbrb fertile rfrf Diff. D2

6,1 22 43,0 44 -2 4

7,1 88 55,3 99 -1 1

7,4 99 48,5 7,57,5 1,5 2,25

6,3 3,53,5 38,8 11 2,5 6,25

6,5 55 46,2 66 -1 1

5,7 11 39,9 22 -1 1

6,6 66 43,1 55 1 1

8,1 1010 48,5 7,57,5 2,5 6,25

6,3 3,53,5 40,0 33 ,5 ,25

6,9 77 56,7 1010 3 9

De la corrélation aux corrélations

les tableaux de corrélation: relations multiple 2 x 2

savoir trouver les patrons à l’œil

l’analyse factorielle:

approche mathématique pour réduire les tableaux de corrélations en éléments principaux

Un exemple: calcul et interprétation:

association ou cause-effet?

# cigognes population

125 55000

150 55500

175 65000

200 67500

248 68000

250 70000

250 75000

Réflexion

Cote 1 Cote 2

1 11

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17