Obras de Captación REV B

Obras de captación y conducción de aguas superficiales (Maestría) M.I. Juan José Muciño Porras


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6. DISEÑO DE REDES

Objetivo General del curso: El alumno diseñará obras hidráulicas de captación, conducción, almacenamiento y distribución de agua. Objetivo Específico del capítulo: El alumno diseñará los sistemas de distribución, atendiendo a las características particulares de cada proyecto.

Experiencias de Reynolds En la ecuación de la energía, desarrollada en el estudio de la dinámica de fluidos, para un volumen de control finito, y que se indica en la ecuación (6.1)

friciónbombaturbina2

2

1

2h h - h z

g 2vα

g ρp z

g 2vα

g ρp

++

++=

++ (6.1)

se observa que si bien se indujo al estudiante a entender y operar los términos relativos a las energías cinética y potencial gravitacional, y al trabajo desarrollado por las fuerzas de presión de acuerdo con el criterio de Euler, de ahí se desprenden los subíndices (1) y (2) de la expresión anterior (entrada y salida) de un volumen de control a estudiar. Además de poder incluir en el análisis a dispositivos que dar energía externa al sistema como es un bomba o que toman energía y la transforman como es una turbina (de ahí los signos que les corresponden); se dejó en esa ocasión, para un siguiente análisis el término correspondiente a la fricción. Éste es el momento de hacer tal análisis. Cuando en la expresión (6.1) no se toma en cuenta la fricción, se le conoce como la ecuación de Bernoulli, mientras que al incorporar el término relativo a la fricción, se le designa con el nombre de ecuación de la energía. Para tener una idea de la fricción, se puede pensar en dos piezómetros colocados a una distancia L uno del otro, con una tubería en posición horizontal y con el mismo diámetro (misma sección transversal) donde se hace pasar un flujo volumétrico permanente (gasto). La ecuación de la conservación de la masa es la misma en las secciones en donde se colocan los piezómetros, ya que el área es la misma y en consecuencia la velocidad lo es; mientras que la ecuación de la energía explicará la diferencia de alturas en los piezómetros que se observa, la altura del menisco colocado en el piezómetro de aguas arriba será mayor que la del colocado en el de aguas abajo, como la presión media está determinada por esa altura, se concluye que las presiones serán diferentes y las fuerzas que éstas producen también lo serán, pues la ecuación de la energía proviene del teorema del trabajo y la energía desarrollado en la mecánica clásica. Lo anterior significaría que si sólo la fuerza resultante de la diferencia de presiones actuara en el sentido del flujo, éste debería acelerarse, aumentando su velocidad al transcurrir el tiempo, de acuerdo a la segunda ley de Newton. Pero esto no sucede, y tiene que admitirse la existencia de otra fuerza de la misma magnitud y de sentido contrario que impide la aceleración y hace que la velocidad media se mantenga constante.


2

Esta fuerza se debe a la fricción (disipación de energía) entre el líquido y la pared del tubo y se explica normalmente en términos del esfuerzo tangencial que se produce entre ellos. Para estudiar este problema, de resistencia al flujo, resulta indispensable recordar la clasificación de los flujos y particularmente, la diferencia entre el comportamiento laminar, en transición y turbulento de los flujos; es decir:

a) Uniforme o no uniforme b) Permanente o no permanente c) Laminar, en transición o turbulento d) Unidimensional, bidimensional, tridimensional e) Subcrítico, crítico o supercrítico.

• Flujo o régimen uniforme. Es aquel flujo en que, sus características, como son: (velocidad,

tirante, presión, temperatura, etc.), no varían de un punto a otro. Si por el contrario, las características varían, se trata de un flujo no uniforme o variado.

• Flujo permanente o régimen permanente. Es aquel flujo que, sus características no varían en un intervalo de tiempo (t). Si por el contrario, sus características varían, se trata de un flujo no permanente o transitorio.

• Flujo laminar. Cuando su avance se da en forma de laminillas; es decir, parece que una lámina se desliza sobre la otra. Si no es así, se dice que el flujo puede ser turbulento o bien en transición, ver figura 6.1.

• Flujo unidimensional. Cuando el movimiento se puede representar en una sola dirección. • Flujo bidimensional. Cuando el movimiento se representa en 2 direcciones. • Flujo tridimensional. Cuando el movimiento se representa en 3 direcciones.

Figura 6.1 Flujo laminar, en transición y turbulento. (White, 2005)

Osborne Reynolds (1883) en base a estudios experimentales fue el primero en proponer el criterio para distinguir los flujos laminar, en transición y turbulento mediante el número adimensional que lleva su nombre, el cual permite evaluar el predominio de las fuerzas viscosas sobre las de inercia. En el caso de un conducto cilíndrico a presión (tubería a presión), el número de Reynolds se define así:

ν

=µ

ρ=

D v D v R e (6.2)


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donde:

Re, Número de Reynolds (adimensional) D, Diámetro del tubo (m) ρ , Densidad (m3/s) µ , Viscosidad dinámica (N s / m2) ν , Viscosidad cinemática (m2/s)

(Sotelo, 1989), indica que de acuerdo con diferentes investigadores el número crítico para el cual el flujo deja de ser laminar adquiere valores muy distintos que van desde 2,000 (determinado por el mismo Reynolds) hasta 40,000 (calculado por Eckman), atribuyendo semejante disparidad a los disturbios a la entrada del conducto; es interesante manifestar que los flujos definidos por este criterio, resultan propiamente de la viscosidad del fluido; para un fluido ideal (ausencia de viscosidad) no habría diferencia entre ellos, ver figura 6.2. En este escrito se tomará como valor crítico para régimen laminar a 2,300.

Figura 6.2 Condiciones de entrada para la cuantificación del número de Reynolds (White, 2005)

En condiciones de flujo laminar se puede demostrar que el efecto en las paredes hace que se deba trabajar al flujo en dos dimensiones, por lo que la velocidad será diferente en varios puntos de la sección

transversal comportándose según la siguiente expresión: )Rr - (1 u (r)u 2

2

máx= , donde a partir del centro de

la tubería, R es el radio de la misma y r es la posición que se le asigna a la distancia a partir del centro en donde se requiere conocer la velocidad. No obstante, en la mayoría de los problemas de ingeniería se puede aceptar la condición de que el flujo es unidimensional por lo que se puede trabajar con una velocidad media. El ejemplo siguiente aclara lo explicado, cuando es necesario analizar al flujo en dos dimensiones.


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Ecuación de Darcy – Weisbach. Factores que influyen en la resistencia al flujo. En 1850, Henry Darcy (francés) y Julius Weisbach (alemán) y otros, dedujeron experimentalmente una expresión para calcular en un tubo la pérdida por fricción, que es de tipo universas (todo fluido, todo régimen) y se utiliza ampliamente en la actualidad; teniendo como inconveniente principal el tener que calcular el factor de fricción f, para cada tipo de flujo. En algunas circunstancias será sencillo utilizarla, como es el caso del flujo laminar, pero en otros, por ejemplo en flujos en transición será necesario emplear el diagrama de Moody o recurrir a la expresión de Colebrook y White. Se explicará esto más adelante. La celebrada ecuación de Darcy – Weisbach,

2gv

DLfh

2

f = (6.3)

Donde:

m/sen media, d velocidav,men tubo,del longitud ,L

m.en diámetro, ,m/sen gravedad, la den aceleració , g

aladimensionfricción defactor ,m.en fricción,por pérdida,

2

D

fhf

El factor de fricción, es función de la rugosidad (ε) y del número de Reynolds (Re) en el tubo, esto es:

Re) ,( ff ε= Si Sf representa la relación entre la pérdida de energía y la longitud del tubo en que esta ocurre (pendiente de fricción). La ecuación de Darcy - Weisbach, también se puede expresar como:

2gV

Df

LhfSf

2== (6.4)

Investigaciones experimentales sobre las pérdidas por fricción en tubos. a) Ecuaciones de Poiseuille, Nikuradse y Colebrook – White El factor de fricción, que aparece en la expresión de Darcy, representa una dificultad importante para su aplicación porque requiere que se conozca el tipo de flujo que circula en el tubo. Hagen en 1839 y Poiseuille en 1840, fueron los primeros en determinar el factor de fricción, en la expresión universal de Darcy – Weisbach con la limitante de que el flujo sea laminar, obteniendo la siguiente ecuación:

VD/ν

64Re64f == (6.5)

La cual es válida para tubos lisos o rugosos, y si el número de Reynolds, no rebasa el valor crítico de 2,300.


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A partir de los resultados experimentales acumulados hasta el año de 1913, Blasius formuló la siguiente expresión para tubos lisos:

1/4Re

0.3164f = (6.6)

Posteriormente, Colebrook y White presentaron la siguiente fórmula empírica, para la zona de transición de flujo laminar y turbulento en tubos comerciales, a saber:

+=

f Re2.51

3.71D / ε log 2 -

f1 (6.7)

b) Diagrama universal de Moody y solución de Swamme - Jain Con base en estos resultados, Moody preparó el diagrama universal, figura 6.3, que lleva su nombre, para determinar el coeficiente de fricción (f) en tuberías de rugosidad comercial que transportan cualquier líquido. La precisión en el uso del diagrama de Moody, depende de la selección de ( ε ), según el material de que está construido el tubo. En la tabla 6.1 se presentan los valores de ( ε ) para tubos comerciales.

Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta en tubos de diversos materiales.

Vidrio, cobre, plástico, hule e= 0.0015 mm Fierro fundido nuevo e= 0.25 mm Asbesto - cemento e= 0.025 mm Acero comercial e= 0.046 mm Fierro galvanizado e= 0.15 mm Cemento liso e= 0.3 a 0.8 mm Concreto e= 0.3 a 3 mm

No obstante, el esfuerzo desarrollado por investigadores posteriores a Nikuradse para presentar expresiones que se facilitaran el cálculo de las pérdidas en tubos comerciales, particularmente la expresión de Colebrook, debido a su dificultad de tener que proponer valores por no tener a f como variable explícita, se ha utilizado poco. Jain (1976) propuso una expresión para encontrar el valor del coeficiente f en forma explícita de acuerdo a la expresión (6.8), con la condición de que se cumplieran dos restricciones; una referente a la rugosidad relativa y otra respecto al tipo de flujo. Como se observa, los intervalos de aplicación encajan perfectamente en los problemas de la ingeniería civil razón por la cual, esta expresión debe ser utilizada para encontrar el factor de fricción y en consecuencia emplear la ecuación de Darcy – Weisbach como obligada en los cálculos hidráulicos al diseñar sistemas de abastecimiento de agua ya que los resultados mejoran a los obtenidos empleando la ecuación de Manning que sólo opera si el flujo es turbulento.

2

0.9e

R5.74

D 3.7 log

0.25 f

+

ε= , sujeta a estas restricciones 2-6 10

D 10 ≤ε

≤− y 5,000 8 e 10 R ≤≤ (6.8)


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Figura 5.3 Diagrama de Moody

Figura 6.3 Diagrama de Moody

Con el tiempo, las tuberías pierden capacidad de conducción, es decir se incrementa su factor de fricción “f” (lo cual ocurre en el cuerpo humano al reducirse la capacidad de las venas y las arterias). El siguiente ejemplo, ilustra la forma en la cual, los sistemas de bombeo con muchos años de servicio pueden verse afectados por requerir mayor cantidad de energía (bombeo) y en consecuencia mayor costo de consumo de energía eléctrica. Ejemplo 6.1 Una tubería con varios años de servicio de 2 m de diámetro tiene una rugosidad ε = 30 mm. Se pretende retirar el sarro acumulado durante su operación y aplicarle una recubrimiento de 12 mm de espesor que redeuciría la rugosidad a ε = 1 mm. ¿Cuánto se ahorraría en costos de bombeo por kilómetro de tubería si escurre agua a 20º C con un gasto de 6 m3/s? Las bombas y motores tienen una eficiencia del 80 %, y la potencia cuesta 40 centavos por kilowatt – hora. (Streeter, 1998) Problema 6.94.

Tubería en condición inicial ε1 = 30 mm ε1 /D1 = 0.015

m/s 1.91 2 x /4

6 V21 ==

πR1 = (1.91 x 2)/(9.94 x 10-7) = 3.84 x 106 y L = 1000 m

del diagrama de Moody f1 = 0.044 y con la ecuación de Darcy – Weisbach hf = 4.092 m

Tubería revestida ε2 = 1 mm ε2 /D2 = 1 mm/ 1976 mm = 0.0005

m/s 1.956 1.976 x /46 V 22 ==

π R2 = (1.956 x 1.976)/(9.94 x 10-7) = 3.89 x 106


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del diagrama de Moody f2 = 0.017 y con la ecuación de Darcy – Weisbach hf = 1.678 m

Por lo que se tiene una recuperación de carga de: 4.092 – 1.678 = 2.414 m / km

kW 177.5 0.80

6 x 2.414 x N/m 9806 eficiencia

Q h P

3f ==

∆=

γ

Ahorro al año (en pesos, considerando 1 dólar = 10 pesos), es entonces:

0.40 $/kwh x 177.5 kW x 24 h x 365 días/año = $ 621,960.00 /año

Ejemplo 6.2 Fluye agua a una velocidad de 2 m/s en una tubería de fierro fundido nuevo de 300 mm. Calcule la pérdida de carga en 50 m utilizando: (a) la expresión de Hazen – Williams; (b) la de Manning; y (c) la de Darcy – Weisbach. (Chin, 2006).

(a) Con el material indicado CH (coeficiente de Hazen – Williams) es 110, además L = 500 m, D = 0.30m,

V = 2 m/s, por lo que las pérdidas por fricción son (sólo sustituyendo valores):

( )

m 8.41 110

20.30

500 6.82 h85.1

17.1f =

=

(b) Con Manning, el coeficiente correspondiente al material es n = 0.013 y la ecuación para tubos es:

m 10.7 )30.0(

)2)(500((0.013) 6.35 h 3/4

22

f ==

(c) Para Darcy – Weisbach, la rugosidad absoluta es 0.26 mm y el número de Reynolds se encuentra como

Re = 6 x 105, con la viscosidad cinemática a 20º C, es 1 x 10-6 m/s2. El coeficiente f, por los métodos vistos es 0.0195

m 6.63 62.19

20.30500 0.0195 h

2

f =

=

Obsérvese que el último resultado proveniente del método universal es el más preciso; mientras que las expresiones de Hazen – Williams tiene un exceso del 27% y el de Manning el 61 %.

Análisis de las pérdidas locales

Las tuberías de conducción que se utilizan en la práctica de la ingeniería están compuestas en general por tramos rectos y curvos para ajustarse a la topografía del terreno por donde deberá pasar; también en esa longitud de conducción se tienen otra serie de posibles modificaciones a la geometría de la sección y a distintos accesorios para el control (válvulas y compuertas). Todas estas singularidades originan pérdidas de energía distintas a las de fricción vistas anteriormente, y que además se localizan en el sitio mismo del cambio de geometría o de la modificación del flujo. Este tipo de pérdida se conoce como pérdida local. Su magnitud se expresa como una fracción de la carga de velocidad inmediatamente aguas abajo del sitio donde se produjo la pérdida.


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Ecuación General

La ecuación general de la pérdida local es: g2

v K h2

LL = (6.9)

donde: hL,, pérdida de energía según el accesorio, en m

KL, coeficiente adimensional del tipo de pérdida que se trate, de la geometría del componente, que depende del número de Reynolds y de la rugosidad del tubo

v2/2g, carga de velocidad aguas debajo de la zona de alteración del flujo (salvo aclaración en contra), en m

En general las pérdidas totales son:

hT, total = hf ,fricción (mayores) + hL, locales (menores) 2gv

K 2gv

DL

f 2j

jj L,

2i

i

i

ii ∑∑ += (6.10)

Donde i representa cada tramo de tubería de que conste la conducción con diámetro constante y j representa cada accesorio que requiere la tubería para operar de acuerdo al diseño planteado y que origina una pérdida. En el caso que sea posible analizar a toda la tubería con un diámetro constante, la ecuación anterior se transforma en:

HT, total2g

v)K

DL(f

2

L∑+= (6.11)

Donde v es la velocidad media a través de todo el sistema (observe que v es constante dado que D lo es).

Pérdidas locales provocadas por distintos dispositivos Los coeficientes de pérdidas locales KL, son producto de la experimentación por lo que existen significativas diferencias respecto a los coeficientes que “se deban aplicar”. Se tienen en diferentes accesorios que pueden ser las siguientes, consideradas en conjunto como “pérdidas locales” en las tuberías a presión: entradas, salidas, cambios de dirección, ampliaciones abruptas o graduales, válvulas, etc. La siguiente información es útil para su cálculo. Pérdida por entrada. A la entrada de las tuberías se produce una pérdida por el efecto de contracción que sufre la vena líquida y la formación de zonas de separación, cuyo coeficiente ke depende, principalmente, de la brusquedad con que se efectúa la contracción del chorro. La figura 6.4, muestra diferentes tipos de entrada, desde la más adversa donde ke = 0.5, hasta la mínima que es la elíptica en cuyo caso ke = 0.04 a 0.1.


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Figura 6.4 Coeficientes de pérdidas por entrada, (Cengel, 2006)

Tabla 6.2 Coeficientes de pérdidas por expansiones, reducciones, válvulas, codos y tes. (White, 2004)

Figura 6.5 Comparación de pérdidas entre diferentes tipos de válvulas. (White, 2004)


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Ejemplo 6.3 Calcule la descarga para el sistema de la figura. (Streeter, 1998) Problema 12.4.

Al establecer la ecuación de la energía entre la entrada y la salida del tubo se tiene lo siguiente:

( ) ( )2gv

2gvv

0.122gv

0.360f

2gvv

0.122gv

0.230f

2gv

212

23

232

22

2

221

21

1

21 +

−++

−++=

Por continuidad (para tener v2 y v3 en términos en v1):

1

2

2 v0.30.2v

= y 1

2

3 v0.450.2v

= ;

[ ]0.0390.007339.506f0.037150f0.52gv

2 21

21 +++++= o bien

[ ]2121 506.391505833.0224.39 ffv ++= (1)

Suponiendo que ⇒== 015.021 ff en (1) s

mv 384.31 = ; smv 504.12 =

⇒×=×

××== 511

1 101.50.10.04

8800.23.384μρdv

R para tubo liso 0.016f1 =

⇒×=×

××== 422

2 109.90.10.04

8000.31.504μρdv

R 0.0175f2 =

∴ s

m1 3.267v = , sm2 1.452v = , s

m3 0.645v =

y smQ 31026.0= al comprobar 0.0.βvf´s → , entonces :

0.544m2gv2

1 = ; 0.1075m2gv2

2 = ; m 0.02122gv2

3 =

m 1.306h f1 = m 0.376h 2f =

ENTRADA FRICCION AMPLIACION FRICCION AMPLIACION SALIDA


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Análisis de conductos sencillos

El más sencillo, consiste de un conducto único alimentado en el extremo, aguas arriba por un recipiente o una bomba y con descarga libre o a otro recipiente. El conducto puede tener cambios geométricos u obstrucciones que producen pérdidas locales de energía, además de la propia de fricción. En la Fig. 6.9 se muestra el comportamiento de las líneas de energía y gradiente hidráulico, para el tubo que conecta dos recipientes; ambas líneas interpretan el significado físico de los términos en la ecuación de la energía. Para el análisis del conducto sencillo se utiliza la ecuación de continuidad y la de energía: La primera establece la invariabilidad del gasto en cualquier sección i del conducto; a saber:

iiVAQ = (6.12)

La segunda establece la constancia de la energía entre dos secciones transversales 1 y 2 del conducto, para lo cual se acepta, usualmente, que el coeficiente a en dichas secciones valga uno. Esto es:

∑∑ ++++=++2

1

2

1

222

2

211

1 22 tf hhg

Vpzg

Vpzγγ

(6.13)

donde:

∑2

1fh = suma de las pérdidas de fricción hf, en cada tramo de la sección 1a la 2;

∑2

1th = suma de las pérdidas locales que ocurren de la sección 1 a la 2 debidas a entrada, cambios de

sección, válvulas, etcétera. Los dos términos se expresan en razón de la carga de velocidad dentro del tramo de sección constante, si la pérdida es de fricción o aguas abajo del punto donde se produce la pérdida local. Por esta causa la ecuación de la energía contendrá los valores de la velocidad, en distintas secciones del conducto, mismos que se pueden sustituir por la velocidad, en un sólo tramo, utilizando la ecuación de continuidad.

Figura 6.6 Conducto sencillo. (Sotelo, 1989)

Si en el sistema de la Fig. 6.6, el recipiente de aguas abajo no existe, es decir, si el conducto descarga libremente a la atmósfera, el desnivel H se mide como la diferencia de niveles entre la superficie libre en


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el depósito superior y el centro de gravedad de la sección final del tubo. En cualquier caso, dicho desnivel será:

g

VhhH stf 2

2∑∑ ++= (6.14)

donde Vs2/2 g es la carga de velocidad en la sección final del conducto, considerada como energía final en el

caso de descarga libre, o como pérdida en el caso de descarga a otro recipiente. Se presentan dos tipos de problema:

a) Revisión. Conociendo H, la geometría y rugosidad del tubo, se desea calcular el gasto.

Solución. Supuesto que se desconoce la zona de flujo (laminar, transición o turbulento) en la que trabaja el tubo, la velocidad y los coeficientes de pérdida son incógnitas. Si la sección 1 se elige dentro del depósito superior y la 2 dentro del inferior, de tal manera que la velocidad de llegada sea despreciable, de la ecuación de la energía se tiene:

∑∑ ++=

+−

++=

2

1

2

1

22

2

211

1 22 tfs hhg

Vpzg

VpzHγγ

(6.15)

en que Vs es la velocidad en la sección final de la tubería.

Problemas de revisión

Como se explicó anteriormente, existen tres tipos de problemas en tuberías; uno de ellos, abordado con anterioridad busca encontrar las pérdidas por fricción, hf, que corresponde al tipo de problemas más sencillo. Otro, no menos importante, aunque más complicado, corresponde al problema cuando se desea encontrar el flujo volumétrico o gasto en una tubería. El problema ya no es directo, porque no es posible calcular el número de Reynolds para que conjuntamente con el valor de la rugosidad relativa (ε/D), se pueda encontrar f, de la expresión de Darcy – Weisbach. En este caso, el método tradicional consiste en suponer que el flujo es turbulento, esto significa que el número de Reynolds no tiene peso en el problema, porque corresponde a una zona donde existen líneas paralelas al eje de las abscisas y todo se le da a la rugosidad relativa; con este valor se puede encontrar la velocidad a partir de la ecuación de Darcy – Weisbach un valor de f, que corresponde a la suposición de flujo turbulento; con el valor de la velocidad encontrado, se calcula ahora un número de Reynolds y conjuntamente con el valor de la rugosidad relativa se puede encontrar un segundo valor de f, éste se compara con el valor inicial; en caso de que no coincidan los valores, se repetirá el cálculo hasta que en dos cálculos consecutivos se repita el valor, dentro de cierta tolerancia. Un método alternativo que elimina la necesidad de realizar cálculos iterativos, fue propuesto también por Swamme y Jain (1976), así para encontrar el gasto, en forma explícita, propone la siguiente expresión:

+=

L /h D g 1.784

3.7D / ln

Lh D g

D 0.965 - Qf

f2

Dυε (6.16)


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Ejemplo 6.4 La curva característica de carga frente a gasto de una bomba centrífuga se muestra

en la figura adjunta. Si con esta bomba se transporta agua a 20° C por una tubería de fierro fundido de 120 m de longitud y 30 cm de diámetro, ¿cuál será el gasto en m3/s? (White, 2004) Problema 6.80.

Tomar para el agua, ρ = 998 kg/m3 y µ = 0.001 kg / m*s. Para el tubo de fierro galvanizado tomar ε = 0.26 mm, por lo que ε/d = 0.26/300 = 0.000867. El cálculo de las pérdidas trae como resultado la carga dinámica de la bomba.

/smen Qcon ,Q 20 - 80 h (D) (g) Q L f 8

2g D V L f 32

bomba52

22≈===

πfh

Operando f 4080 20

80 Q o ,Q 20 - 80 (0.3) (9.81) Q (120) f 8 22

52

2

+===

πfh

Suponiendo f = 0.02, entonces Q = 0.887 m3/s, Re = (4ρQ)/(πµD) = 3.76 x 106; en una segunda iteración con ε/D = 0.000867, se afinan f = 0.0191 y Re = 3.83 x 106, conduce a un gasto Q = 0.905 m3/s.

Problemas de diseño

El problema más importante dentro de la trilogía de problemas de tubos, es sin duda el que corresponde a problemas de diseño, esto es, encontrar el diámetro más adecuado para transportar el fluido en un tubo a presión. En este caso, el problema se complica aún más debido a que no es posible utilizar de inicio el diagrama de Moody, ya que los parámetros necesarios para entrar no se tienen, ni por el eje de las abscisas (no es posible calcular el número de Reynolds), ni se tiene la posibilidad de encontrar la rugosidad relativa para suponer que el flujo es turbulento como en el caso anterior. Para este caso, se combinan las ecuaciones de conservación de la masa y de la energía par dejar todo en función de los datos, como a continuación se indica:

1. Se propone un valor de f (f1), generalmente se considera adecuado un valor de f = 0.02 2. Se despeja el diámetro de la ecuación de Darcy – Weisbach

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f

2f

g hQ L 8 D

=

π

3. Se calcula el valor del número de Reynolds


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D1

υπQ 4

υD v R e

==

4. Se calcula la rugosidad relativa ε / D. 5. Con los valores calculados de Re y ε / D, se puede realizar la consulta al diagrama de Moody o

bien con la expresión de Jain, ver ecuación (7. ), para conocer el valor de f. 6. Con este nuevo valor de f (f2), se repite el proceso desde el punto (2) hasta que un nuevo valor

de f (f3, f4) coincida con el anterior (normalmente en las primeras dos cifras significativas). Así, Swamme y Jain (1976), presentaron la siguiente ecuación para encontrar de manera explícita el diámetro de un tubo dentro de un rango muy adecuado para los problemas de la ingeniería civil, generalmente en zonas de transición; los autores indican que se tienen resultados que varían del orden del 5 % respecto a los métodos tradicionales de cálculo. La expresión es:

04.0

2.5

f

9.475.4

f

21.25

h gL Q

h gQ L 0.66

+

= υεD (6.17)

Sujeta a las siguientes restricciones: 3,000 ≤ Re ≤ 3 x 108; 10-6 ≤ ε/D ≤ 2 x 10-2

Ejemplo 6.5 Una conducción a presión de hierro galvanizado debe responder con un gasto de 200 l/s durante un incendio. Si la longitud de la tubería de suministro es de 35 m y la pérdida de carga en la tubería no debe exceder 50 m, calcule el diámetro mínimo de la tubería que puede ser empleado. Use tanto el método tradicional como el de Jain. En este caso ε = 0.15 mm, L = 35 m, Q = 0.2 m3/s, hf = 50 m, ν = 1.00 x 10-6 m2/s, resolviéndolo por el método de Jain - Swamme.

m 0.14 50 x 9.81

35)2.0)( x10(1 50 x 81.9

0.2 x 3500015.0 0.66 D

04.05.2

4.96-75.42

1.25 =

+

=

El método tradicional exige suponer un valor de f, calcular un diámetro preliminar, a partir del cual se puede calcular un número de Reynolds e ingresar al diagrama de Moody, para calcular un segundo valor de f, repetir el proceso y cuando en dos cálculos consecutivos de f no cambie, se acepta el valor anterior.

Análisis hidráulico de sistemas de tubos

Los conceptos básicos del análisis de sistemas de tubos se aplican también a sistemas de tubos múltiples. Sin embargo, el procedimiento de solución es más complicado y puede ser iterativo. Considere lo siguiente:

a. Tuberías en serie

b. Tuberías en paralelo


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Tuberías en serie

El sistema de tubos indicado en la figura 6.7 tiene un gasto constante Q, que pasa por tres tubos con diámetros D1, D2, D3.

a b1 2 3

Figura 6.7 Esquema de tubos en serie

Dos reglas importantes se aplican a este problema:

1. El gasto (flujo volumétrico) es el mismo por cada sección de tubo. Para la condición de flujo incomprensible, la ecuación de conservación de la masa se expresa como

Q1 = Q2 = Q3 = Q o = constante D2

1 V1 = D22 V2 = D2

3 V3 (6.18)

2. La pérdida de carga total (fricción y locales) es igual a la suma de las pérdidas totales en cada tramo.

)K ( g 2

v )K (

g 2v

)K ( g 2

v h 3

3

3 323

22

2 222

11

1 121

b - a t, ∑∑∑ +++++=D

LfD

LfD

Lf (6.19)

y así sucesivamente para cualquier número de tuberías. Lo anterior queda aclarado con el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.6 Una tubería horizontal tiene una expansión repentina desde D1 = 8 cm hasta D2 = 16 cm. La velocidad del agua en la sección más pequeña es p1 = 300 kPa. Cuando se considera el factor de corrección de energía cinética como 1.06 tanto en la entrada como en la salida, determine la presión corriente abajo p2, y estime qué habría ocurrido si se hubiera usado la ecuación de Bernoulli. (Cengel, 2006) Problema 8.61.

A partir de la ecuación de la conservación de la masa y para flujo incompresible, se puede obtener la velocidad en la sección 2, que es de V2 = 2.5 m/s.

Para una expansión brusca, 0.5625 0.160.08 - 1

DD

- 1 AA

- 1 2

2

22

21

2

menor

mayor =

=

=

=LK

La pérdida de carga por la expansión es:

m 2.87 )m/s (9.81 2

m/s) (10 (0.5625) g 2

V K 2

221

L ===Lh


16

Como la tubería es horizontal y no hay ni bombas ni turbinas, se aplica la ecuación de la energía como sigue:

L

22

22

21

11 h

2gV

α ρgp

2gV

α ρgp

++=+ Al despejar para encontrar p2 = 322 kPa

En el caso que no se hubiera considerado la pérdida por expansión, se utilizaría la ecuación de Bernoulli; con un desarrollo igual al anterior, p2 = 347 kPa El error = p2 (Bernoulli) – p2 = 347 – 322 kPa = 25 kPa; en % (25 kPa) / 322 kPa = 7.8 %

Ejemplo 6.7 Se tiene agua a 15º C que se drena de un depósito grande con el uso de dos tuberías de plástico horizontales conectadas en serie. La primera tubería mide 20 m de largo y tiene un diámetro de 10 cm, mientras que la segunda tubería mide 35 m de largo y tiene un diámetro de 4 cm. El nivel del agua en el depósito está a 18 m sobre la línea central de la tubería. La entrada de la tubería tiene borde agudo y la contracción entre las dos tuberías es repentina. Si se desprecia el efecto del factor de corrección de energía cinética, determine la razón de descarga del agua en el depósito. (Cengel, 2006) Problema 8.75.

Sección 1 en la superficie libre del depósito y la 2 a la salida de la tubería

Aplicando la ecuación de la energía, con las secciones a superficie libre, con z2 = 0 al pasar el PHC en el centro de la tubería, además de V1 = 0, se tiene que:

h 2gV

m 18 valores,dosustituyen h 2gV

α z L

22

L

22

21 +=+= (1)

Donde:

2gV

K DL f h h h

22

Llocales L,fricción L,TOTALL,

+=+== ∑Lh

Como se tienen 2 diámetros de la conducción, habrá 2 velocidades, con la conservación de la masa ρV1A1 = ρV2A2 con los datos se tiene: V1 = ((4 cm2)/(10 cm2)) V2 (2)

Por lo que la pérdida de carga total se tendrá que expresar así:

2gV

K DL

f 2gV

K DL

f 22

ncontraccióL,2

22

21

entradaL,1

11

++

+= ∑∑Lh

)m/s (9.81 2

V 0.46

m 0.04m 35 f

)m/s (9.81 2V

0.5 m 0.10

m 20 f 2

22

22

21

1

++

+=Lh (3)

El flujo volumétrico, los números de Reynolds y los factores de fricción se expresan así:

Tinaco 18 m

35 m 20 m

1

2


17

/4)D (π V A V V 2

222 == /4)m) (0.04 ( V A V V 2222 π== (4)

μD V ρ

R 11e1 =

s * mkg/ 10 x 1.138m) (0.10 V )kg/m (999.1

R 3-1

3

e1 = (5)

μD V ρ

R 22e2 =

s * mkg/ 10 x 1.138m) (0.04 V )kg/m (999.1

R 3-2

3

e2 = (6)

+=

1e1

1

1 f R2.51

3.7ε/D

log 2.0 - f1 (7)

+=

2e2

2

2 f R2.51

3.7ε/D

log 2.0 - f1 (8)

Se tiene en consecuencia un sistema de 8 ecuaciones con 8 incógnitas; utilizando algún método es posible resolverlo con los siguientes resultados:

/sm 0.00595 V 3= V1 = 0.757 m/s V2 = 4.73 m/s f1 = 0.0196 f2 = 0.0162 Re1 = 66,500 Re2 = 166,200 hL = 0.13 + 16.73 = 16.86 m Finalmente, se observa que se tiene flujo turbulento; las consideraciones son válidas.

Tuberías en paralelo El segundo sistema de tuberías, que se muestra en la figura 6.8, tiene tuberías en paralelo. En este caso las pérdidas son las mismas para todos los tubos y el gasto total es la suma de los gastos individuales de cada tubería. Figura 6.8 Esquema de tubos en paralelo Dos reglas básicas se aplican a este sistema de tuberías:

1. El gasto total que entra en el sistema de tubos en paralelo es igual a la suma de los gastos de cada tubería individual.

2. La caída de presión total a través del sistema en paralelo es igual a la caída de presión a través de cada segmento paralelo individual.

Ya que el caso especial de ninguna energía cinética o potencial se cambian a través de las secciones, obtenemos:

Ht = (hf + hm) 1 = (hf + hm) 2 = (hf + hm) 3 (6.20) y

QT = Q1 + Q2 + Q3 (6.21)

a b

1

2

3Q

TQ

T


18

Ejemplo 6.8 Cierta parte de unas tuberías de hierro fundido de sistema de distribución de agua involucra dos tuberías en paralelo. Ambas tuberías paralelas tienen un diámetro de 30 cm y el flujo es totalmente turbulento. Una de las ramas (tubería A) mide 1000 m de largo, mientras que la otra rama (tubería B) mide 3000 m de largo. Si la razón de flujo (gasto) a través de la tubería A es de 0.4 m3/s, determine la razón de flujo a través de la tubería B. No considere pérdidas locales y suponga que la temperatura del agua es de 15º C. Demuestre que el flujo es totalmente turbulento y por lo tanto el factor de fricción es independiente del número de Reynolds. (Cengel, 2006) Problema 8.82.

Cálculo de la velocidad en la tubería A; de la ecuación de conservación de la masa, para flujo incompresible se tiene:

VA = m/s 5.659 /4(0.3m) π

/sm 0.4 /4πD

V2

3

2 ==

Cuando dos o más tuberías están en paralelo en un sistema de tubos, la pérdida de carga (y/o caída de presión) debe ser la misma para cada tubería. Normalmente se desprecian las pérdidas locales, por lo que sólo se toma en cuenta a las pérdidas por fricción a través de la ecuación de Darcy, suponiendo que el flujo es turbulento y el factor de fricción f, es independiente del número de Reynolds.

g 2V

DL

f g 2

V

DL

f2B

B

BB

2A

A

AA = ; téngase en cuenta que DA = DB (datos) y que fA = fB (que tiene que ser comprobado),

Despejando:

m/s 3.267 m 3000

m 1000 m/s) (5.659 LL

V VB

AAB ===

Por lo que el flujo volumétrico en el tubo B es:

/sm 0.231 V A 3BC ==BV

Como se supuso flujo totalmente turbulento, esto es independiente del número de Reynolds, habrá que probarse tal propuesta.

El cálculo del número de Reynolds se hará en la tubería B; ya que es la velocidad menor, y por lo mismo garantiza que el flujo en el tubo A es turbulento.

Al sustituir valores R vale 8.6 x 105 en la tubería B > 4,000, al calcular la rugosidad relativa 0.00026 m/ 0.30 m = 0.00087 y con estos valores ir al diagrama de Moody, se comprueba que existe el flujo turbulento.


19

Problema de los tres depósitos

El tercer sistema de tuberías corresponde al llamado “problema de los tres depósitos”, es decir son tres depósitos interconectados. La suposición clave es que todos los gastos se dirigen hacia el punto de unión, por lo que debe cumplirse que: Q1 + Q2 + Q3 = 0 (6.22) lo que implica que obviamente que alguno de los flujos debe ir en sentido inverso al indicado, es decir es una suma algebraica. Por otro lado la carga piezométrica debe ser tal que en la unión, es única. Lo anterior se puede expresar como:

g ρ

p z h u

u u += (6.23)

donde pu es, la presión manométrica en ese punto. La pérdida de carga en cada rama, suponiendo que p1 = p2 = p3 = 0 (tomada en la superficie de los depósitos (expuesta a la presión atmosférica), debe ser tal que:

u 11

1 12

11 h z

dLf

g 2

V h −==∆ u 2

2

2 222

2 h z d

Lf

g 2V

h −==∆ u 33

3 323

3 h z dLf

g 2

V h −==∆ (6.24)

El procedimiento consiste en suponer un valor de hu y con ello se calculan V1, V2 y V3 de las tres ecuaciones anteriores. Posteriormente se obtienen los valores de Q1, Q2 y Q3, aplicando la ecuación de la conservación de la masa. Se comprueba que el valor es el adecuado cuando se cumple que la suman de gastos es igual a cero. Si se supuso una altura piezométrica hu muy alta, la suma de los gastos será negativa y se tendrá que bajar el valor supuesto. Se procederá en forma inversa en caso de que la suma resulte positiva. Ejemplo 6.8 En la figura adjunta, encuentre el flujo a través del sistema cuando no existe la bomba en el sistema.


20

008.0=∈

AJD 005.0=

∈

BJD 01.0=

∈

CJD

032.0=Af 032.0=Bf 032.0=Cf

( )

( )

( )2

2

2

5

22

2

5

22

2

5

6.775

42

2.0600038.017

2480

42

2.0300032.027

8266

42

2.01000032.030

CC

j

BB

j

AA

j

Q

g

Qxxh

Q

g

Qxxh

Q

g

Qxxh

=

=−

=

=−

=

=−

π

π

π

( )mh j ( )s

lAQ ( )slBQ ( )s

lCQ ( )slΔQ

26 21.87 20.08 107.72 -66

24 26.94 34.78 95 33.28

21.5 32.06 47.09 76.17 -2.98

21.7 31.69 46.23 77.84 -0.075

22 31.11 44.90 80.29 -2.99

Redes En las tuberías interconectadas (donde el agua recircula formando circuitos) el flujo en una salida determinada proviene de varios circuitos y se llaman redes de tuberías. Por lo general este tipo de problemas es complejo y hace uso de soluciones iterativas en donde se balancean primero los circuitos elementales hasta que se satisfagan todas las condiciones de flujo. En una red de tuberías las siguientes condiciones deben satisfacerse:

1. La suma algebraica de las caídas de presión en cada circuito debe ser cero. 2. El flujo que entra a un nudo debe ser igual al que sale de ella. 3. La ecuación de Darcy-Weisbach, o alguna fórmula exponencial de fricción equivalente (siempre

que se tenga la seguridad del régimen), debe satisfacerse en cada tubería; es decir, debe mantenerse una relación adecuada entre pérdida de carga y gasto en cada tubería.

La primera condición establece que la caída de presión entre dos puntos cualesquiera en el circuito, por ejemplo A y G (Figura 6.9) debe ser la misma en la trayectoria AG que en la trayectoria AFEDG. La segunda condición es la ecuación de continuidad.


21

No es conveniente resolver los problemas de redes en forma analítica debido a su dificultad; por el contrario, se usan los métodos de aproximaciones sucesivas, dentro de los cuales destaca el método de Hardy Cross que supone de inicio que los flujos en cada tubería satisfacen la ecuación de continuidad en cada nudo. A continuación se calcula una corrección al flujo en cada circuito y se usa para afinar el balance en los circuitos. Las pérdidas locales se puede incluyen como longitudes equivalentes en cada tubería. Las ecuaciones exponenciales son usadas en la forma hf = r Q n, donde r = RL/D m. El valor de r es una constante para cada tubería (con excepción de la ecuación de Darcy-Weisbach) y se determina antes de balancear el circuito. El término de corrección se obtiene como sigue:

ΔQQQ 0 += (6.25) donde Q es la descarga correcta y ∆Q es la corrección. Entonces para cada tubería

( ) ( ).....ΔQnQQrΔQQrrQh 1n0

n0

n0

nf ++=+== − (6.26)

Si ∆Q es pequeña comparada con Q0 todos los términos de la serie posteriores al segundo pueden ser despreciados. Para un circuito:

0QrnΔQQrQQrQh 1n0

1n00

1nf =+== −−−

∑∑∑ ∑ (6.27)

donde ∆Q se elimina de la sumatoria por ser el mismo para todas las tuberías en el circuito; se han tomado valores absolutos para tomar en cuenta la dirección de la sumatoria alrededor del circuito. La última ecuación se resuelve para Q en cada circuito de la red:

∑∑

−

−

−=∆ 1n0

1n00

Qnr

QQrQ (6.28)

Figura 6.9 Red de tuberías.

Cuando se aplica ∆Q a cada tubería en un circuito según la ecuación (6.28) la dirección es importante; es decir, se suman los flujos en la dirección de las manecillas del reloj y se restan en la dirección contraria. Los pasos para un procedimiento aritmético se resumen como sigue:


22

1. Por medio de un examen cuidadoso de la red, supóngase la mejor distribución de flujos que satisfaga la ecuación de continuidad. 2. Para cada tubería en un circuito elemental calcúlese y súmese la pérdida neta de carga Σhf = Σr Q n. También calcúlese Σr n Q n-1 para el circuito. El signo negativo, de la ecuación (5.40) genera la corrección que se suma algebraicamente a cada flujo en el circuito. 3. Analícese otro circuito elemental y repítase el proceso de corrección del paso 2. Hágase lo propio para todos los circuitos elementales. 4. Repítase 2 y 3 las veces necesarias hasta que las correcciones (∆Q) sean arbitrariamente pequeñas. Las redes muy sencillas, como la mostrada en la figura 6.9, pueden ser resueltas con una calculadora programable. En los casos de redes mayores o para redes que contienen varios depósitos, bombas de suministro o ayuda, es conveniente programar el método de balanceo de circuitos de Hardy Cross en una computadora digital. Un programa de este tipo se ejemplifica en la siguiente sección. Un número de métodos más generales se encuentran se pueden encontrar. Por lo general se basan en el método de balanceo de Hardy Cross o el de balanceo de nodos. En los métodos más generales el sistema es modelado como un conjunto de ecuaciones simultáneas que se resuelven por el método de Newton - Raphson. Ejemplo 6.9 Utilice una calculadora de bolsillo para encontrar el flujo que pasa en cada tubería de la red mostrada, n = 2. (Streeter, 1998) Problema 12.54. Los gastos en la primera columna son supuestos, las gráficas adjuntas lo muestran. Primera corrección:

h = r QN h h/Q Q Otro Q corregido

Circuito 1 x (60)2 + 3,600 60 - 1.5 + 58.5 I 3 x (5)2 + 75 15 - 1.5 - 1.25 + 2.25 2 x (40)2 - 3,200 80 - 1.5 - 41.5 Σ + 475 155 Circuito 2 x (30)2 + 1,800 60 + 1.25 + 31.25 II 3 x (5)2 - 75 15 + 1.25 + 1.5 - 2.25 1 x (45)2 - 2,025 45 + 1.25 - 43.75 Σ - 300 120


23

Segunda corrección:

h = r QN h h/Q Q Otro Q corregido

Circuito 1 x (58.5)2 3,422.25 58.5 + 0.024 + 58.524 I 3 x (2.25)2 + 15.19 6.75 + 0.024 + 0.105 + 2.379 2 x (41.5)2 - 3,444.5 83 + 0.024 - 41.476 Σ - 3,200 148.25 Circuito 2 x (31.25)2 1,953.13 62.5 - 0.105 + 31.145 II 3 x (2.25)2 - 15.79 6.75 - 0.105 - 0.024 - 2.379 1 x (43.75)2 - 1,914 43.75 - 0.105 - 43.855 Σ - 300 113

Gastos propuestos al inicio

Primera corrección Segunda corrección

Ejemplo 6.10 El sistema de distribución de agua de tres circuitos del Ejemplo 4.8 no está funcionando eficazmente. La demanda de agua en el nudo F se está cumpliendo, pero no a la presión requerida por el cliente industrial. La compañía de agua ha decidido aumentar el diámetro de una tubería de la red en 5 cm. Determine qué tubería debe ser reemplazado para tener el mayor impacto en la presión en el sistema, en concreto la presión en el nodo F. (Pista: Examine la tabla de resultados del ejemplo 4.8 para las pérdidas de carga, gastos, tamaños de tuberías. Una tubería se destaca como la mejor opción, aunque hay un segundo tubo que está sólo un poco peor.) Vuelva a colocar el tubo de su elección (aumentar el diámetro por 5 cm) y determine el aumento de presión en el nodo F. (Problema 4.4.6, del libro Fundamentals of Hydraulic Enginnering Systems, Robert J. Houghtalen, 4th edition, Prentice Hall, 2010)

25

60 30 100 5 55 75 40 45

25 58.524

31.145

75

43.855 41.476

5.55 100


24

Tubo Q (m3/s) Diámetro (m) Longitud (m) e/D f K (s2/m5)

AB 0.200 0.30 300 0.00087 0.019 194 AD 0.100 0.30 250 0.00087 0.019 162 BC 0.080 0.20 350 0.00130 0.021 1898 BG 0.120 0.20 125 0.00130 0.021 678 GH 0.020 0.20 350 0.00130 0.021 1898 CH 0.030 0.20 125 0.00130 0.021 678 DE 0.100 0.20 300 0.00130 0.021 1627 GE 0.000 0.15 125 0.00173 0.022 2992 EF 0.100 0.20 350 0.00130 0.021 1898 HF 0.050 0.15 125 0.00173 0.022 2992

El aumento en el diámetro de la tubería se realizó en el tramo AD

Red Tubo Q (m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s) 1 AB 0.200 194 7.76 38.8 0.201

BG 0.120 678 9.76 81.36 0.121

GE 0.000 2992 0.00 0 0.001

AD 0.100 162 1.62 16.2 0.099

DE 0.100 1627 16.27 162.7 0.099

∆Q = - 0.001 m3/s

( ) ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

+=∆

/Qh /Qh 2

h - hQ

ccfcccfc

fccfc

Red Tubo Q (m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s) 2 BC 0.080 1898 12.15 151.84 0.076

CH 0.030 678 0.61 20.34 0.026

BG 0.121 678 9.93 82.038 0.125

GH 0.020 1898 0.76 37.96 0.024

∆Q= 0.004 m3/s

Red Tubo Q (m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s) 3 GH 0.024 1898 1.09 45.55 0.037

HF 0.050 2992 7.48 149.6 0.063

GE 0.001 2992 0.00 2.992 -0.012

EF 0.100 1898 18.98 189.8 0.087


25

∆Q = - 0.013 m3/s

Segunda iteración Red Tubo Q (m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s)

1 AB 0.201 194 7.84 39.0 0.201

BG 0.125 678 10.59 84.75 0.125

AD 0.099 162 1.59 16.04 0.099

DE 0.099 1627 15.95 161.07 0.099

EG 0.012 2992 0.43 35.90 0.012

∆Q = 0.00069 m3/s

Red Tubo Q (m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s) 2 BC 0.076 1898 10.96 144.248 0.079

CH 0.026 678 0.46 17.628 0.029

BG 0.125 678 10.59 84.75 0.122

GH 0.037 1898 2.60 70.226 0.034

∆Q = - 0.003 m3/s

Red Tubo Q(m3/s) K (s2/m5) hf (m) hf/Q (s/m2) Nuevo Q (m3/s) 3 GH 0.034 1898 2.19 64.53 0.034

HF 0.063 2992 11.88 188.496 0.063

GE 0.012 2992 0.43 35.904 0.012

EF 0.087 1898 14.37 165.126 0.087

∆Q = - 0.0008 m3/s

Cálculo de la presión:

Tubo Q(L/s) Longitud (m) Diámetro (cm) hf (m) ΔP (kPa) AB 201 300 30 7.80 76.36 AD 99 250 30 1.60 15.66 BC 79 350 20 11.00 107.69 BG 122 125 20 10.60 103.77 GH 34 350 20 2.20 21.54 CH 29 125 20 0.50 4.90 DE 99 300 20 15.90 155.66 EG 12 125 15 0.40 3.92 EF 87 350 20 14.40 140.98 HF 63 125 15 11.90 116.50

TANQUE

N/m3 m

P= ϒh= 9790 50 = 489.5 kPa NODO F

Pf= PA - Δ P AD - ΔP DE - ΔP EF = 177.20 kPa


26

Siguiendo el ejemplo 4.8, de nuevo se cumple con los gastos solicitados, y una vez incrementado el diámetro de la tubería en el tramo AD se notó una mejoría de la presión en el nodo F, pero aún sigue siendo ineficaz, por lo que se propone probar aumentando el diámetro a una tubería más. Ejemplo 6.11 Las dos circuitos en el sistema de distribución de agua en el ejemplo 4.9 no funcionan bien. La demanda de agua en el nodo F está siendo cumplida pero no la presión requerida por el cliente industrial. (Al cliente le gustaría tener una presión de 14 m de columna de agua en la entrega). La compañía de agua ha decidido incrementar el diámetro de una tubería en el sistema por 5 cm. Determine que tubería reemplazar para tener el mayor impacto en la presión del sistema, específicamente la presión en el nudo F. (Pista: examine los cálculos de la tabla del ejemplo 4.9 para pérdidas, gastos y tamaño de tuberías. Una tubería es la mejor opción, sin embargo hay una segunda tubería que solamente es ligeramente peor). Reemplace la tubería de su elección (incremente el diámetro por 5 cm) y determine si la presión se incrementó en el nodo F. (Problema 4.4.8, del libro Fundamentals of Hydraulic Enginnering Systems, Robert J. Houghtalen, 4th edition, Prentice Hall, 2010).

Tubo Longitud Diámetro e/D f K Q Unión Elev. AB 300 0.3 0.00087 0.019 194 0.2 A 48 BC 350 0.2 0.00130 0.021 1898 0.1 B 46 BF 350 0.2 0.00130 0.021 1898 0.1 C 43 CF 125 0.2 0.00130 0.021 678 0.05 D 48 DC 300 0.2 0.00130 0.021 1627 0.05 E 44 EF 300 0.2 0.00130 0.021 1627 0.1 F 48 DE 125 0.2 0.00130 0.021 678 0.2 G 60 GD 250 0.3 0.00104 0.02 170 0.25

Las pérdidas de carga se calculan con la siguiente fórmula:

hf = k Q2 Para corregir el gasto se utiliza la siguiente fórmula:

( ) ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

+=∆

/Qh /Qh 2

h - hQ

ccfcccfc

fccfc

Primera iteración:

Red Tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) 1 BC 0.1000 1898 19.0 190.0 0.09795

CF 0.0500 678 1.7 34.0 0.04795

BF -0.1000 1898 -19.0 190.0 0.10205

∆Q = 0.00205 m3/s

Red Tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) 2 DE 0.20000 678 27.20 136 0.15416

EF 0.10000 1627 16.30 163 0.05416

DC 0.05000 1627 4.05 81 0.09584

CF 0.04795 678 1.58 33 0.09379

∆Q = 0.045584 m3/s


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afluencia tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) ABCDG AB 0.2000 194 7.80 39 0.17886

BC 0.1000 1898 19.00 190 0.07886 DC -0.0958 1627 -14.95 156 0.11699 GD -0.2500 170 -10.75 43 0.27114

∆Q = 0.02114 m3/s

Segunda iteración:

Red Tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) 1 BC 0.0979 1898.00 18.2 186.0 0.09095 CF -0.0938 678.00 6.0 -64.0 0.10079 BF -0.1021 1898.00 -19.8 194.0 0.10905

∆Q = 0.0070 m3/s

Red Tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) 2 DE 0.1542 678.00 16.2 105.0 0.15416 EF 0.0542 1627.00 4.8 88.0 0.05416 DC -0.0958 1627.00 -15.0 156.0 0.09584 CF -0.0938 678.00 -6.0 64.0 0.09379

∆Q = 0.000 m3/s

afluencia tubo Q (m3/sec) K (sec2/m5) hf (m) hf/Q (sec/m2) Nuevo Q (m3/s) ABCDG AB 0.1789 194 6.26 35 0.16225

BC 0.0979 1898 18.22 186 0.08133 DC -0.0958 1627 -14.95 156 0.11246 GD -0.2711 170 -12.47 46 0.28775

∆Q = 0.01661 m3/s

Resultando lo siguiente:

Tubo Q (m3/s) hf (m) Unión Elev. Carga Total (m)

carga de presión (m)

AB 0.1622 6.2600 A 48 85.0000 37.0000 BC 0.0909 18.2181 B 46 78.7400 32.7400 BF -0.1091 -19.7983 C 43 60.5219 17.5219 CF -0.1008 6.0027 D 48 89.5274 41.5274 DC -0.0958 -14.9518 E 44 73.3411 29.3411 EF 0.0542 4.7657 F 48 68.5755 20.5755 DE 0.1542 16.1863 G 60 102.0000 42.0000 GD -0.2878 -12.4726

La tabla anterior muestra que reemplazando la tubería GD con un diámetro de 30 cm produce los resultados deseados. Es decir, que la presión en el punto F se encuentra dentro de los requerimientos de 14 m de columna de agua. Si se hubiese reemplazado la tubería BF con un diámetro de 25 cm no hubiese dado los resultados requeridos; de esta manera la tubería GD es la mejor opción.


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BIBLIOGRAFÍA. Chin D A, Water – Resources Engineering, Prentice Hall, 2nd Edition, 2006 Comisión Federal de Electricidad, Manual de Obras Civiles, Diversos Fascículos. Comisión Nacional del Agua, Manual de Agua Potable, Alcantarillado y Saneamiento. Diversos Fascículos. Houghtalen R J, Akan A O, Hwang N H C, Fundamentals of Hydraulic Engineering Systems, 4th. Ed.,2010 Jain A E, Accurate explicit equation for friction factor, ASCE, Journal of the Hydraulics Division, May 1976. López C R A, Elementos de diseño para acueductos y alcantarillados, Ed. Escuela Colombiana, 2a ed. 2003 Mays L, Water Resources Engineering, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 2005 Roberson J A, Cassidy J J, Chaudhry M H, Hydraulic Engineering. Wiley, 2ª. Edition, 1998

Saldarriaga J, Hidráulica de tuberías, Alfaomega, Universidad de los Andes, 2011. Sotelo A G, Hidráulica General, Volúmenes 1 y 2, Limusa, 1979 US Bureau of Reclamation, Design of Small Canal Structures. A water resources technical publication,1978 Enlaces en internet www.usbr.gov Diversas publicaciones del U. S. Bureau of Reclamation (USBR) www.usace.army.mil Diversas publicaciones del U.S. Army Corps of Engineers (USACE) www.iingen.unam.mx Diversas publicaciones del Instituto de Ingeniería de la UNAM

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