ŘÍZENÍ JAKOSTIA SPOLEHLIVOSTI

Pavel Fuchs David Vališ

Josef ChudobaJan KamenickýJaroslav Zajíček

Obsah prezentace• Charakteristiky jednotlivých metod v teorii spolehlivosti• Matematický popis Markovských procesů• Markovské procesy ve spolehlivosti• Řešení Markovských procesů

z ... metoda je způsobilá nz ... metoda není způsobilá nebo vhodná

Charakteristiky nejpoužívanějších metod ve spolehlivosti

Použití metody • Markovova analýza (MA) je metoda, pomocí které lze zjistit

dynamické parametry pohotovosti a bezporuchovosti systému.• Metoda je popsána v normě ČSN IEC 1165.• MA se využívá u systémů se složitou strategií údržby. Je to

například (příklady jsou uváděny na dvou jednotkách):– Prioritní údržba - při poruše se opraví vždy první a potom až druhá

komponenta.– Různé doby do obnovy - při poruše komponenty 1 a následně

komponenty 2 je jiná doba opravy než při poruše komponenty 2 a následně komponenty 1.

– Pravidelné údržbové zásahy - každý týden se komponenta zkoumá zda nevznikne v blízké budoucnosti porucha.

• Metoda je značně obtížná na přípravu a vypracování, proto se doporučuje, aby zpracovatel analýzy prozkoumal, zda místo Markovovy analýzy není vhodnější využít metody FTA (Analýza stromu poruchových stavů) nebo RBD (Analýza blokového diagramu bezporuchovosti).

Odlišení MA od metody RBD a FTA• Metoda RBD umožňuje zjistit parametry pohotovosti a

bezporuchovosti celé komponenty a následně matematicky analyzovat celý systém.

• Metoda FTA je rozšířením metody RBD o možnost zjistit parametry pohotovosti a bezporuchovosti i některé funkce, která může přecházet mezi jednotlivými komponentami.

• Metody FTA, RBD umožňují modelovat pouze poruchu/obnovu a ne částečnou degradaci komponenty.

• Markovovu analýzu využíváme pro složitější strategie údržby.• Metody FTA, RBD mají výhodu, že je možné modelovat i jiné než

exponenciální rozdělení jednotlivých funkčních bloků. MA toto neumožňuje.

• Metoda RBD je specifikována blokovým diagramem, metoda FTA stromem poruch a metoda MA je charakteristická přechodovým diagramem stavů.

Hod mincí

• Dva možné výsledky pokusu– padne orel nebo panna– každý pokus padne se stejnou pravděpodobností P=0,5

• Při opakování pokusu s vracením mince zpět do osudí se pravděpodobnost nezmění.

• Jaká je pravděpodobnost, že když padne orel, že v následujícím pokusu padne znova orel?

5,05,0

5,05,0

orel

pannaorelpannaP

Markovské procesy

• Pro Markovský řetězec platí:– Stav systému v okamžiku tn je závislý pouze

na stavu v okamžiku tn-1.

– Řetězec je popsán podmíněnými pravděpodobnostmi, které vyjadřují: byl-li v okamžiku tn-1 systém ve stavu jn-1, bude v okamžiku tn ve stavu jn.

– Tyto pravděpodobnosti se nazývají pravděpo-dobnosti přechodu.

Hod kostkou

• Šest možných výsledků pokusu 1 až 6

• Jaká je pravděpodobnost, když padne 1, v následujícím pokusu padne znova 1?

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

167,0167,0167,0167,0167,0167,0

6

5

4

3

2

1654321P

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání

• 3 možné výsledky nejvyššího ukončeného vzdělání základní, střední, vysoké školství

• Jaká je pravděpodobnost, když otec má ukončený některý druh vzdělání, že syn/dcera bude mít ukončený nějaký druh vzdělání?

8,01,01,0

2,07,01,0

2,03,05,0

vysoké

stredni

zakladnivysstrzakP

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání

• 1. generace vzdělání základní• Pravděpodobnost, že 2. generace má vzdělání

střední– P=0,3

• Pravděpodobnost, že 3. generace má vzdělání vysoké– P=0,5*0,2+0,3*0,2+0,2*0,8=0,1+0,06+0,16– P=0,32

Pravděpodobnost nejvyššího vzdělání

8,01,01,0

2,07,01,0

2,03,05,0

P

68,018,014,0

32,054,014,0

32,038,03,02P

)()1( xPpxp

)()2( xPPpxp

)()( xpPnxp n

5,033,017,0

5,033,017,0

5,033,017,0nP

Pravděpodobnost ukončení vzdělání

• Matice P udává pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými náhodnými výsledky pokusu.

• Vektor p udává pravděpodobnost jednotlivých výsledků náhodného pokusu.

• Umocňování matice P se získá vektor p, který v tomto příkladě znamená pravděpodobnost ukončení vzdělání po n-té generaci.

Příklad absorpčního stavu

• Absorpční stav je možný výsledek, který když padne, může padnout dále již jen stejný výsledek.

• Například modelování poruchy u neopravovaného výrobku – výrobek, který je v poruše bude vždy v poruše

100

2,07,01,0

2,03,05,0

P

100

36,052,012,0

36,036,028,02P

100

100

100nP

Příklad se spojitým časem

• V předcházejících příkladech se jednalo o modely s diskrétními kroky. Každý diskrétní krok lze nahradit určitým časovým úsekem.– Př. Den lze rozdělit na jednotlivé okamžiky.

• Rozdělení na jednotlivé okamžiky lze provést limitním přechodem, kde časový okamžik t se blíží 0.

• V případech, kde je potřeba spojitý čas, lze využít intenzit přechodů.

• Platí pro malé t pij=ijt

• Pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými stavy lze vypočítat jako součin intenzity přechodu a času.

Základní definice• Markovovy procesy lze užít pro model s diskrétním stavem a

spojitým časem– Např. studium n součástek v čase.– Existují modely i se spojitým/diskrétním stavem a

spojitým/diskrétním časem.

• Komponenta - Součástka nebo soubor součástek, které pracují jako jediná entita.

• Funkční stav - Stav systému, ve kterém systém vykonává požadovanou funkci.

• Nefunkční stav - Stav systému, ve kterém systém nevykonává požadovanou funkci.

Základní definice

Základní definice• Stav - Stav systému je určitá kombinace stavů komponent.• Přechod - Změna z jednoho stavu do jiného, která je obvykle

výsledkem poruchy nebo obnovy.• Pravděpodobnost přechodu mezi stavy - Pravděpodobnost

přechodu mezi jedním stavem a jiným stavem za čas t.• Počáteční stav - Stav systému v čase t = 0.• Absorpční stav - Stav, ze kterého nejsou možné žádné přechody,

jakmile se do něho přejde.• Obnovitelný systém - Systém obsahující komponenty, které mohou

mít poruchu a potom mohou být obnoveny do svého funkčního stavu, aniž by způsobily poruchu systému.

Značky a zkratky• Každý stav v přechodovém diagramu je reprezentován kroužkem

nebo obdélníkem.• Popis stavů se umísťuje uvnitř značky stavu.• Šipka přechodu vyznačuje směr přechodu jako výsledek poruchy

nebo obnovy.• Intenzity obnov/poruch se píší u šipky přechodu.

• Intenzita poruch mezi stavem x a y - xyt)

• Intenzita obnov mezi stavem x a y - xyt)

Druhy úloh• Metodou MA je možné řešit úlohy bezporuchovosti i pohotovosti.• Úlohy bezporuchovosti můžeme dále rozdělit na úlohy:

– Po poruše se neprovádí žádný opravný zásah.

– Po poruše systému se systém dále neopravuje, při poruše na jednotlivých komponentách se jednotlivé komponenty opravují.

• Úlohy pro výpočet bezporuchovosti mají vždy alespoň jeden absorpční stav - stav ze kterého nejdou žádné přechody.

• V úlohách pohotovosti se celý systém může opravovat. V modelu nesmí být žádný absorpční stav.

Ukazatele• Pohotovosti

– Funkce okamžité pohotovosti A(t)– Funkce okamžité nepohotovosti U(t)– Střední doba do poruchy součástky MTBF– Střední doba do obnovy součástky MTTR

• Bezporuchovosti

– Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t1,t2)

– Střední doba do poruchy součástky MTBF– Okamžitá intenzita poruch

Pravidla konstrukce diagramu• Každý stav se má identifikovat značkou, která umožňuje, aby se

analytik v postupu jednoznačně odkazoval na tento stav. Identifikátorem je obvykle písmeno nebo číslo.

• Pro srozumitelnost diagramu přechodů mezi stavy je vhodné do značky zahrnout popis stavů buď přímo, nebo pomocí odkazu na seznam vysvětlivek. Jestliže se používá popis, požaduje se identifikátor stavu umístit do kroužku/obdélníku v blízkosti značky stavu.

• Stavy se mají uspořádat tak, aby stav umístěný nejvíce vlevo byl plně funkční stav a stav (stavy) vpravo byl (byly) nefunkční stav (stavy) systému. Relativní pozice mezilehlých stavů mají být takové, aby byl přechod zleva doprava výsledkem poruchy a aby se dosáhlo přechodu zprava doleva opravou nebo obnovou. Z praktických důvodů může existovat přechod od pravého okraje k levému okraji pokud to nevede ke zvýšení počtu křížení čar přechodů.

• Stavy systému odpovídající stejnému počtu nefunkčních jednotek mají být svisle zarovnány.

Pravidla konstrukce diagramu

• Přechody mezi stavy se mají vyznačit čarami se šipkami propojujícími určité stavy. Čára se šipkou vpravo představuje poruchu a čára se šipkou vlevo představuje obnovu. Jestliže je možné dosáhnout přechodu mezi dvěma stavy jak poruchou, tak obnovou, potom se mají tyto určité stavy propojit jedinou čarou se šipkami na obou koncích.

• Šipky na čarách představujících přechody se mají označit návěštími s odpovídajícími intenzitami přechodů. To je možné provést buď přímo vyznačením těchto intenzit nebo pomocí odkazu na jejich seznam.

• Pokud je to možné, má každý přechod spojovat pouze sousední značky stavu. Jestliže porucha ze stejné příčiny uvádí do nepoužitelného stavu dvě nebo více jednotek, smí se některý stav obejít.

Pravidla konstrukce diagramu

• Analytik musí zajistit, aby budoucí chování systému záviselo pouze na přítomném stavu systému a ne na způsobu, jakým se systém do tohoto stavu dostal. Tato podmínka se musí zajistit, aby byl diagram přechodů bez paměti dokonce i tehdy, když reálný systém paměť má.

• Intenzity poruch a intenzity obnov u všech jednotek v analyzovaném systému musí být konstantní v čase. Předpoklad konstantní intenzity obnov je třeba ověřit nebo udat podmínky za jakých byl předpoklad splněn.

Pravidla konstrukce diagramu

Systém s jednou jednotkou• Systém s jednou komponentou, stav 0 plně funkční, stav 1 nefunkční stav

• Tento přechodový diagram se nahrazuje pro zjednodušení schématu na:

• Systém s degradovaným stavem. Stav 0 plně funkční stav, stav 1 částečně poruchový stav, stav 2 poruchový stav.

0 1

0 1

1

1

2

2

plně funkčnístav

degradovanýstav

nefunkční stav(absorpční stav)

0 1P01(t)P10(t)

Funkční stav Nefunkční stav

Příklad s více jednotkami• Pravidla vytvoření přechodového diagramu

– Systém se rozdělí na jednotlivé komponenty např. metodou RBD.

– Zjistí se zálohování mezi jednotlivými komponentami z metody RBD.

– Každé komponentě se přiřadí nejhorší možný následek poruchy.– Definují se všechny možné následky poruch na komponentě.– Pro každou komponentu se vytvoří porucha. Na každém

poruchovém stavu se zjistí intenzita poruch do dalších možných stavů a intenzita obnov do ostatních stavů.

– Na každém stavu, který označuje poruchu jedné komponenty, modelujeme poruchu další komponenty. Pro každé poruchy 2 komponent zjistíme intenzitu poruch do dalších stavů a intenzitu obnov.

– Postupuje dále až do vytvoření celého přechodového diagramu.

Příklad s více jednotkami

• Paralelní zálohování jednotky 1 součástkami 1a, 1b.• Při poruše jednotky 2, 3, 4 dojde k poruše systému.• Při poruše jednotky 1a nebo 1b systém není v poruše.• Existují 3 možné typy stavů

– Bezporuchový stav– Degradovaný stav– Poruchový stav systému

Systém s více jednotkami• Porucha na komponentě 2, 3, 4

porouchá celý systém – dále nemůže vzniknout další porucha.

• Je porucha na komponentě 1a– Porucha komponenty 1b –

porucha celého systému– Porucha komponenty 2,3,4 –

porucha celého systému

• Obdobně pro komponentu 1b

• Zadáme pro všechny přechody intenzity poruch.

• Snažíme se zjednodušit schéma. Zde je možné sloučit komponenty 2, 3 a 4.

Příklad systému se dvěma jednotkami• Mějme elektrickou síť, která napájí systém. Při výpadku elektrické

sítě je v systému záložní akumulátor, který je schopen po dobu 10 hodin systém napájet. Akumulátor se nabije za 4 hodiny. Intenzita poruch záložního akumulátoru je 10-4h-1. Intenzita oprav záložního akumulátoru je 10-2h-1.

Elektrická síť má střední dobu do výpadku 1000h a průměrný výpadek trvá 1 hodinu. Vytvořte přechodový diagram pro výpočet pohotovosti celého napájení.

• Systém má 2 funkční bloky – akumulátor, el. síť.• Systém je paralelně zálohován.• Porucha jednoho funkčního bloku nevyvolá poruchu celého

systému. Porucha obou funkčních bloků vyvolá poruchu celého systému. Budou tedy 3 úrovně stavů – stav bez poruchy, stav s výpadkem 1 zdroje, stav s výpadkem obou zdrojů.

Příklad systému se dvěma jednotkami

• El. síť 0,001h-1 =1h-1

• Akumulátor 0,0001h-1 =0,01h-1

• Stav 0 – el. síť i akumulátor jsou v pořádku0,001h-1 0,0001h-1

• Stav 1 – el. síť má výpadek =1h-1 0,1h-1 0,0001h-1

• Stav 2 – akumulátor je v poruše=0,01h-1 0,001h-1

• Stav 3 – v poruše nejdříve el. síť, akumulátor se vybije=1h-1 =0,01h-1

• Stav 4 – v poruše nejdříve akumulátor, el. síť jako druhá42h =0,01h-1

Příklad systému se dvěma jednotkami

Příklad: Modelování počtu poruch• Pomocí Markovských procesů lze řešit počet poruch v určitém časovém

úseku

• Jednotlivé stavy označují počet poruch komponenty. Stav 0 znamená, že bylo 0 poruch na zařízení, stav 1 byla jedna porucha atd.

• Výsledkem modelování je určení pravděpodobnosti, že za čas t bylo právě n poruch.

• Speciální případ modelování Poissonova rozdělení.

Matematické řešení systému

• Systém s jednou komponentou

• Do pole aij zapisujeme intenzitu přechodu ze stavu i do stavu j. Prvky na diagonále dopočítáváme tak, aby součet intenzit v řádku dal 0.

• Řešení pomocí soustavy lin. dif. rovnic 1. řádu.

A

t

tP

tP

tP

aaaa

aa

aaaa

aaaa

aaaaa

ttP

ttP

ttP

k

kkkkk

kii

k

k

kj

k

)(

.

.

)(

)(

...

.......

.....

.......

...

...

..

)(

.

.

)(

)(

2

1

321

1

3332313

2322212

11312111

2

1

Sestavení rovnic• P(t+t)=A(t)P(t)t)

– Součin AP je vektorový součin– Získáme soustavu lin. dif. rovnic– Počáteční podmínky zadáváme každému stavu, součet musí

být 1. Obvykle stav, který je plně funkční má poč. podm. rovné 1 a ostatní stavy jsou nulové

– Soustavu řešíme obvykle numericky– Řešení např. Eulerovou metodou, metody Runge-Kutta,

metoda Monte Carlo

Příklad s více jednotkami pokrač.• Sestavíme soustavu diferenciálních rovnic. Intenzita =10-6h-1

– 1. sloupec stav 0– 2. sloupec stav 1a– 3. sloupec stav 1b – 4. sloupec stav 234:

• Počáteční podmínky:

• Řešení:

0

0

0

1

)0(

)0(

)0(

)0(

4

3

2

1

P

P

P

P

t [h]

STAV

0 1a 1b 234

0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000

5000 0,9753 0,0049 0,0049 0,0149

10000 0,9512 0,0096 0,0096 0,0295

15000 0,9277 0,0141 0,0141 0,0440

20000 0,9048 0,0185 0,0185 0,0582

25000 0,8825 0,0226 0,0226 0,0723

t [h]

STAV

0 1a 1b 234

30000 0,8607 0,0266 0,0266 0,0861

35000 0,8395 0,0304 0,0304 0,0997

40000 0,8187 0,0341 0,0341 0,1131

45000 0,7985 0,0376 0,0376 0,1263

50000 0,7788 0,0409 0,0409 0,1393

t

tP

tP

tP

tP

ttP

ttP

ttP

ttP

)(

)(

)(

)(

1000

3300

3030

35

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

4

3

2

1

Příklad kompresorové stanice

Závěr a použití• Markovovy procesy používáme pro modelování

– Opravovaných systémů– Zálohovaných systémů– Systémů, které nemají konstantní intenzitu poruch/oprav– Prioritních zálohování– Pravidelné údržby

• Výhody– Možnost modelování složitějších modelů než pomocí RBD, FTA– Dynamické výsledky R(t), A(t)

• Nevýhody– Složitá příprava metody, při řešení nutná numerická matematika

PoděkováníTento text pro výuku byl vytvořen s podporou ESF

v rámci projektu: „Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika

v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy“, číslo projektu CZ.04.1.03/3.2.15.3/0442.

Děkuji Vám za pozornost.