Obstruct

УДК 515.14ББК 22.152

С44

Скопенков А. Б.С44 Алгебраическая топология с геометрической точки зре-

ния. — М: МЦНМО, 2015. — 272 c.ISBN 978-5-4439-0293-7

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты матема-тики, важные для приложений: маломерные многообразия и вектор-ные поля на них, непрерывные отображения и их деформации. Показа-но, как при решении геометрических проблем естественно возникаютосновные идеи, понятия и методы алгебраической топологии: группыгомологий, препятствия и инварианты, характеристические классы.

Основные идеи представлены на простейших частных случаях,свободных от технических деталей, со сведением к необходимому ми-нимуму алгебраического языка. За счет этого книга доступна для на-чинающих, хотя содержит красивые сложные результаты. Для ее изу-чения желательно минимальное знакомство с графами, векторнымиполями и поверхностями, хотя все необходимые определения приво-дятся в начале. Часть материала преподнесена в виде задач, к боль-шинству из которых приведены указания.

Книга предназначена для студентов, аспирантов, работников нау-ки и образования, изучающих и применяющих алгебраическую топо-логию.

Это обновляемая версия, в некоторых местах отличающа-яся от изданной.

ISBN 978-5-4439-0293-7c⃝ Скопенков А. Б., 2015c⃝ МЦНМО, 2015

Оглавление

§ 1. Введение1.1. Зачем эта книга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Содержание и используемый материал . . . . . . . . . . 121.3. Для специалистов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5. Обозначения и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Словарик по теории графов . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7. Примеры поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 2. Наглядные задачи о поверхностях2.1. Разрезания и вырезания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Количество разрезающих кривых . . . . . . . . . . . . . 252.3. Графы на поверхностях и раскраски карт . . . . . . . . 262.4. Неравенство Эйлера для сфер с ручками . . . . . . . . . 282.5. Неравенство Эйлера для дисков с лентами Мёбиуса . . 302.6. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) . . 312.7. Топологическая эквивалентность дисков с ленточками . 35Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 38

§ 3. Векторные поля на плоскости3.1. Интересные примеры и теоремы . . . . . . . . . . . . . . 483.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отобра-жений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Число оборотов вектора и его применения . . . . . . . . 543.4. Гомотопическая классификация векторных полей . . . . 56Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 59

§ 4. Векторные поля на двумерных поверхностях4.1. Касательные векторные поля для сферы . . . . . . . . . 644.2. Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы . 654.3. Векторные поля и гомотопии для тора . . . . . . . . . . 674.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей 69

Оглавление 5

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия . . . . . . . 714.6. Касательные векторные поля общего положения . . . . 754.7. Построение касательных векторных полей по триангу-ляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.8. Нормальные векторные поля для двумерных поверхно-стей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.9. Построение гомологического инварианта векторных по-лей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 89

§ 5. Двумерные многообразия5.1. Гомеоморфность графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Гиперграфы и их гомеоморфность . . . . . . . . . . . . 945.3. Локально евклидовы гиперграфы . . . . . . . . . . . . . 985.4. Эйлерова характеристика 2-гиперграфов . . . . . . . . . 995.5. Ориентируемость локально евклидовых 2-гиперграфов 1065.6. Классификация двумерных многообразий . . . . . . . . 1085.7. Препятствие Уитни к вложимости . . . . . . . . . . . . . 1105.8. Двумерные симплициальные комплексы . . . . . . . . . 112Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 113

§ 6. Гомологии двумерных многообразий6.1. Критерий ориентируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2. Ориентируемость: циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3. Ориентируемость: гомологичность циклов . . . . . . . . 1176.4. Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифе-ля—Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5. Форма пересечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 126

§ 7. Инволюции7.1. Примеры инволюций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2. Классификация инволюций . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3. Другое доказательство теоремы классификации инво-люций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

§ 8. Векторные поля на многомерных поверхностях

6 Оглавление

8.1. Векторные поля на подмножествах евклидова простран-ства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2. Степень отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.3. Поверхности и касательные векторные поля на них . . . 1458.4. О существовании нормальных векторных полей . . . . . 1488.5. Отображения трехмерной сферы в двумерную . . . . . 1498.6. Классификация касательных векторных полей . . . . . 152Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 154

§ 9. Параллелизуемость трехмерных поверхностей9.1. Исторические замечания и формулировки результатов . 1589.2. Погружения и лемма о тривиальности . . . . . . . . . . 1609.3. Характеристические классы для 3-многообразий . . . . 1659.4. Простое доказательство теоремы Штифеля . . . . . . . 169Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 171

§ 10. Трехмерные многообразия10.1. Трехмерные комплексы и их гомеоморфность . . . . . 17510.2. Трехмерные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.3. Край, ориентируемость, эйлерова характеристика . . . 18010.4. Гомологии трехмерных многообразий . . . . . . . . . . 18210.5. Фундаментальная группа и накрытия (набросок) . . . 18610.6. Конструкции трехмерных многообразий (набросок) . . 191Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 192

§ 11. Наборы векторных полей11.1. О существовании наборов касательных полей . . . . . 19611.2. Характеристические классы для 4-многообразий . . . . 19811.3. Определение групп гомологий и формы пересечений . 20111.4. Характеристические классы для n-многообразий . . . 204Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 207

§ 12. Непогружаемость и невложимость12.1. Основные результаты о непогружаемости и невложи-мости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.2. Доказательства непогружаемости . . . . . . . . . . . . 21412.3. Нормальные классы Уитни как препятствия (набросок) 218

Оглавление 7

12.4. Степени двойки и классы Штифеля—Уитни (набросок) 220Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 223

§ 13. Расслоения и их применения13.1. Простейшие расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.2. Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23113.3. Классификация расслоений (набросок) . . . . . . . . . 23513.4. Приложение: классификация сечений . . . . . . . . . . 23813.5. Приложение: применение к гамильтоновым системам . 241Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 243

§ 14. Общие свойства гомологий14.1. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . 24514.2. Гомологии пары, вырезание и точная последователь-ность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24814.3. Другие точные последовательности . . . . . . . . . . . 25114.4. Двойственность Александера и ее применения . . . . . 25414.5. Двойственность Александера—Понтрягина . . . . . . . 258Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 259

§ 15. Гомотопическая классификация и ее применения15.1. Введение. Групповая структура . . . . . . . . . . . . . 26515.2. Точная последовательность расслоения . . . . . . . . . 26815.3. Классификация погружений . . . . . . . . . . . . . . . 27115.4. Набросок доказательства теоремы Кервера . . . . . . . 27715.5. Гомотопические группы сфер (набросок) . . . . . . . . 28015.6. Реализация циклов подмногообразиями (набросок) . . 282Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 284

§ 16. Препятствия к кобордантности16.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28616.2. Эйлерова характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . 28816.3. Сигнатура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28916.4. Числа Штифеля—Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29116.5. Числа Понтрягина и формула Хирцебруха . . . . . . . 29316.6. Пример сферы Милнора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29416.7. Набросок доказательства теоремы Кервера—Милнора 298

8 Оглавление

Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 300

§ 17. Заузливания и гомотопии17.1. Определение изотопии и инвариант дополнения . . . . 30517.2. Теоремы Уайтхеда и Гуревича . . . . . . . . . . . . . . 30917.3. Приложение: приклеивающий инвариант . . . . . . . . 31117.4. Приложение: другие категории и коразмерность 1 . . . 314Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . 315

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

§ 1. ВведениеNothing was changed, but now it made sense.

U. K. Le Guin. The Beginning Place1

1.1. Зачем эта книга

Лучшие результаты любой математической теории — важныеи интересные теоремы, в формулировках которых нет понятий изэтой теории, но при доказательствах которых без нее не обойтись.К сожалению, в большинстве учебников такие результаты недо-статочно доступны. Формулировки красивых результатов и важ-ных проблем, ради которых была придумана теория, приводят-ся только после продолжительного изучения этой теории (или неприводятся совсем). Это способствует появлению представленияо математике как о науке, изучающей немотивированные понятияи теории. Такое представление принижает ценность математики.

Таких блистательных результатов в алгебраической топологиимного. Для удобства читателя в этой книге они выделены жирнымшрифтом и, как правило, собраны в начале параграфов (вместес краткой историей вопроса). Алгебраическая топология являет-ся фундаментальной частью математики и имеет применения заее пределами. Как и в любой фундаментальной теории, ее основ-ные мотивировки и идеи можно доступно изложить человеку, неимеющему глубоких специальных познаний. Такому изложениюпосвящена эта книга (вместе с [ST34, BE82, Pr15, An03, PS97,E84, FT07, Sk09, Sk, Sk′] и другими книгами). Ее особенность —возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на«олимпиадных» примерах, т. е. на простейших частных случаях,свободных от технических деталей, и со сведением к необходи-мому минимуму алгебраического языка. Благодаря этому я на-деюсь сделать алгебраическую топологию более доступной и ин-

1Ничего не изменилось, но теперь все было понятно. (У.К. Ле Гуин. Из-начальное место. Пер. автора.)

10 § 1. Введение

тересной — в первую очередь студентам и работающим в другихобластях математикам.

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты ма-тематики, полезные для приложений: маломерные многообразияи векторные поля на них, непрерывные отображения и их дефор-мации. Приводятся естественные построения для решения инте-ресных топологических проблем и изящные доказательства кра-сивых теорем с ясными и доступными формулировками. Пока-зано, как при этом возникают полезные алгебраические понятия(группы гомологий, характеристические классы и т. д.)1. Именнона таких естественных построениях и доказательствах можно по-настоящему прочувствовать более общий теоретический матери-ал (а при наличии некоторой математической культуры — и воссо-здать его). Изучение, начинающееся с длительного освоения немо-тивированных общих понятий и теорий, делает малодоступнымизамечательные методы алгебраической топологии2. Часто изучив-шие курс могут воспроизвести сложную теорию, но не могут при-менить ее в простейшей ситуации, если не указано, что этой тео-рией нужно воспользоваться.

Новые вводимые понятия мотивированы тем, что интересночеловеку, не считающему их интересными «сами по себе», и чело-веку, не интересующемуся специально топологией (но уже имею-

1Важнейшие геометрические проблемы, ради которых была создана ал-гебраическая топология, в свою очередь были мотивированы предыдущимразвитием математики (причем не только геометрии, но и анализа и алгеб-ры). Мотивировать эти геометрические проблемы не входит в цели настоящейкниги. Я либо привожу ссылки, либо апеллирую к непосредственной геомет-рической любознательности читателя.

2Приведу лишь один пример из многих. Еще в XIX веке был придуманочень простой, наглядный и полезный инвариант многообразий — форма пе-ресечений, т. е. умножение в гомологиях поверхностей (п. 6.5, [Hi95]). Замеча-тельным открытием Колмогорова и Александера 1930-х годов явилось обоб-щение этого инварианта на произвольные полиэдры (умножение в когомоло-гиях). Умножение Колмогорова—Александера менее наглядно и определяетсяболее громоздко, чем форма пересечений, но зато имеет более продвинутыеприменения. Определение формы пересечений через умножение Колмогоро-ва—Александера делает малодоступными ее замечательные применения. По-этому форму пересечений иногда просто переоткрывают [Mo89].

1.1. Зачем эта книга 11

щему некоторое математическое образование). Например, доказа-тельством красивой теоремы, решением важной задачи, осмысле-нием естественной идеи. Определения новых понятий естествен-но появляются (и будут четко сформулированы) в этой ситуации,и потому их не обязательно знать заранее. В то же время длятех, кто уже изучал алгебраическую топологию, ее применениек конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным и ин-тересным.

Изложение построено «от частного к общему», «от простогок сложному», см. п. 1.2. Путь познания в какой-то мере повторя-ет путь развития. Такое изложение продолжает традицию, вос-ходящую к древности [P]. В современном преподавании матема-тики она представлена, например, журналом «Квант» и книга-ми «квантовских» авторов. Более подробно см. [Z09, стр. 9—14].Интересно, что приводимое изложение мне приходилось сначалапереоткрывать и лишь потом убеждаться, что первооткрывателирассуждали так же, ср. [Hi95].

Надеюсь, принятый стиль изложения не только сделает мате-риал более доступным, но позволит сильным студентам (для кото-рых доступно даже абстрактное изложение) приобрести матема-тический вкус. Он необходим, чтобы разумно выбирать проблемыдля исследования, а также ясно излагать собственные открытия,не скрывая ошибок (или известности полученного результата) зачрезмерным формализмом. К сожалению, такое (непреднамерен-ное) сокрытие ошибок часто происходит с математиками, воспи-танными на чрезмерно формальных курсах. Такое происходилои с автором этих строк; к счастью, почти все мои ошибки исправ-лялись перед публикациями.

Чтение этой книги и решение задач потребуют от читателяусилий. Однако эти усилия будут сполна оправданы тем, чтовслед за великими математиками XX века в процессе изучениягеометрических проблем читатель откроет некоторые основныепонятия алгебраической топологии. Надеюсь, это поможет емусовершить собственные настолько же полезные открытия (не обя-зательно в математике)!


Основная идея. Алгебраическая топология основана на сле-дующей простой идее, часто встречающейся при решении школь-ных (в частности, олимпиадных) задач. Невозможность некото-рой конструкции можно доказывать путем построения алгебраи-ческого препятствия (называемого также инвариантом). При-мером служит четность. Точно так же неэквивалентность кон-струкций часто доказывается путем построения алгебраическогоинварианта, их различающего (этот инвариант является препят-ствием к эквивалентности). Многие непохожие друг на друга за-дачи топологии естественно приводят к похожим препятствиям.В этой книге препятствия-инварианты, являющиеся целыми чис-лами или вычетами по модулю 2, есть почти в каждом параграфе.А группы гомологий появляются только в п. 4.9 и § 6.

Таким образом, значительная часть алгебраической тополо-гии — это изучение геометрических задач при помощи дискрет-ных, комбинаторных (в частности, алгебраических) методов. Ал-гебраическую топологию раньше называли комбинаторной.

Применения теории препятствий разбиваются на два шага.Первый и обычно более простой шаг — получение необходимо-го условия на языке теории препятствий. Он приводится в этойкниге. Второй и более сложный шаг — вычисление появляющих-ся препятствий. Он приводится лишь в виде наброска, цикла за-дач или просто ссылки (поскольку, по моему мнению, второй шаглучше описан в литературе, чем первый). Замечу, что в простей-ших ситуациях очевидно, что полученное необходимое алгебра-ическое условие является достаточным. А вот для более слож-ных геометрических проблем, которые здесь не приводятся (на-пример, о классификации многообразий или вложений), труднеевсего именно доказать достаточность полученного необходимогоусловия.

1.2. Содержание и используемый материал

Книга предназначена в первую очередь для читателей, не вла-деющих алгебраической топологией (хотя, возможно, часть ее бу-дет интересна и специалистам). Все необходимые алгебраические

1.2. Содержание и используемый материал 13

объекты (со страшными названиями «группы гомологий», «ха-рактеристические классы» и т. д.) естественно возникают и строгоопределяются в процессе исследования геометрических проблем.Для удобства читателя в п. 1.6, 1.7 приведены определения гра-фов и простейших поверхностей.

В книге сначала показаны те идеи, которые видны на двумер-ных многообразиях («поверхностях») (§ 2—7). Затем — идеи, кото-рые видны на трехмерных многообразиях (§ 8—10; § 8 интересендаже для частного случая трехмерных многообразий). Только по-том рассматриваются многомерные многообразия. При этом дву-мерные и трехмерные многообразия все-таки интересны мне несами по себе, а как простые объекты для демонстрации идей, при-носящих наиболее значительные плоды для многомерного случая.Характеристические классы по-настоящему незаменимы толькодля многообразий размерности выше трех.

Для многообразий методы алгебраической топологии наибо-лее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящемуинтересных и сложных результатов. В этой книге собраны некото-рые результаты и методы, касающиеся именно многообразий, а неполиэдров («многомерных графов»). Впрочем, для более глубоко-го изучения многообразий полиэдры все-таки понадобятся.

Ниже приведена схема существенной зависимости парагра-фов. Явные ссылки приведены и в тексте. Такие ссылки не от-ражены в схеме, если в одном параграфе используется резуль-тат из другого, но необходима только формулировка результата,а не более глубокое его понимание. Пунктир в схеме означает, чтоодин параграф нужен для мотивировки другого, но формальноне используется в нем. Номера пунктов у стрелки означают, чтоиспользуются только эти пункты (п. 15.5 используется только вп. 16.7 параграфа 16). Итак, начинать изучение книги можно с § 2или § 3.

Сложность материала (и количество используемых понятий)внутри каждого параграфа растет. Поэтому вполне разумно пе-реходить к новому параграфу, отложив на потом изучение окон-чания старого.


1.6 // 2 //___ 5 //

��@@@

@@@@

��

6

6.4��

1.7

AAA

AAAA

A

>>}}}}}}}}

77ooooooo7 10

10.4

!!BB

BB

10.4 //_______ 1414.2

((QQQQQ

QQQQQQ

QQQQ

3 //

**UUUUUUU

UUUUUUUU

UUUUUU 4 //

4.5

GG��

88.3 //

8.1, 8.5

��@@@

@@@@

99.3//

9.3

OO��

1111.4//

11.3

==||||||||12

12.3//___ 13 16

1515.1//

15.5, 16.7

33fffffffffffffffffffffffffffffff 17

При изучении примеров, мотивирующих общее понятие группгомологий, возникают все новые и новые частные случаи (п. 4.6,4.7, 4.9, 5.7, 6.1—6.4, 7.3, 8.3, 8.6, 9.3, 11.2). Полезно продуматьнесколько таких примеров перед знакомством с абстрактным из-ложением этого понятия в п. 11.3. Формально п. 11.3 не зависит отмногих предыдущих параграфов. Но в нем нет ответа на вопрос«зачем», важного для начала изучения любой теории.

Задачи.Большая часть материала сформулирована в виде задач. Кра-

сивые наглядные задачи, для решения которых не нужно никакихзнаний, приведены уже в самом начале. Обучение путем решениязадач не только характерно для серьезного изучения математи-ки, но и продолжает древнюю культурную традицию. Например,послушники дзэнских монастырей обучаются, размышляя над за-гадками, данными им наставниками [S].

Следует подчеркнуть, что многие задачи не используютсяв остальном тексте. В задачах сформулированы интересные и по-лезные факты или изложены идеи доказательства теорем. Чита-телю полезно ознакомиться с самими фактами и понимать идеидоказательств, даже если детали останутся недоступными. Приво-димые формулировки задач могут быть путеводителем по другимучебникам по алгебраической топологии, позволяя намечать инте-ресные конечные цели и отбрасывать материал, не являющийсядля этих целей необходимым. Полезнее всего обсуждать со спе-циалистом как решения задач, так и возникающие при решениитрудности.

1.3. Для специалистов 15

Для решения каждой задачи (без звездочки) достаточно зна-комства с настоящим текстом и не требуется никаких дополни-тельных понятий и теорий. Если используемые в задаче терминыне определены в этом тексте и вам незнакомы, то соответствую-щую задачу следует просто игнорировать. К важнейшим задачамприводятся указания и решения. Они расположены в конце каж-дого параграфа. Однако к ним стоит обращаться после прореши-вания каждой задачи.

Если задача выделена словом «теорема» («следствие» и т. д.),то ее утверждение важное. Как правило, мы приводим формули-ровку красивого или важного утверждения (в виде задачи) пе-ред его доказательством. (Часто происходит обратное, см. на-чало п. 1.1.) В таких случаях для доказательства утверждениямогут потребоваться следующие задачи. Это всегда явно огова-ривается в подсказках, а иногда и прямо в тексте. Поэтому еслинекоторая задача не получается, то читайте дальше. (На заня-тии задача-подсказка дается только тогда, когда студент подумалнад самой задачей.) Такой процесс обучения полезен, посколькумоделирует реальную исследовательскую ситуацию.

В указаниях к некоторым задачам встречаются ссылки наweb-страницу книги ([A] по состоянию на 20 февраля 2015 г.).Если, паче чаяния, ее адрес изменится, ее можно будет найти с по-мощью поисковых систем (возможно, через домашнюю страницуавтора).

1.3. Для специалистов

В § 9 приводится набросок простого доказательства теоремыШтифеля о параллелизуемости ориентируемых трехмерных мно-гообразий. Оно получено из обычно приводимого в книгах отбра-сыванием обозначений и терминов, не нужных для него, но нуж-ных для чего-то другого. Оно проще и доказательства из [Ki89],см. п. 9.2. В § 11—13 приводится набросок простого доказатель-ства теорем об алгебрах с делением и о невложимости проектив-ных пространств. В п. 16.2, 16.3, 16.6 приведены красивые важные


задачи по основам теории гомологий, которые могут быть исполь-зованы на семинарах по этой теме.

По возможности приводятся ссылки на книги и обзоры, а нена оригинальные статьи.

Стандартная терминология теории препятствий не использу-ется там, где (по мнению автора) она неудобна для начинающе-го. Приведем здесь сравнение обычной терминологии и приня-той в книге. Расстановки элементов группы G на i-симплексахтриангуляции T — то же самое, что i-мерные цепи на T с коэф-фициентами G. Группа таких расстановок обычно обозначает-ся Ci(T ;G). Множество ∂−1(0) всех циклов образует подгруппугруппы Ci(K;G), обозначаемую Zi(T ;G). Множество ∂Ci+1(T ;G)всех границ образует подгруппу группы Ci(K;G), обозначаемуюBi(T ;G). Когда G= Z2, мы пропускаем коэффициенты в обозна-чениях цепей, циклов, границ и гомологий.

В этой книге препятствия лежат в группах гомологий, а нев группах когомологий (изоморфных группам гомологий длямногообразий). Обозначения для характеристических классов ис-пользуются для классов, двойственных им по Пуанкаре. Этаточка зрения (двойственная принятой в учебниках, но обычнаядля первооткрывателей) позволяет наглядно изображать препят-ствия.

1.4. Благодарности

Выражаю благодарность А. Н. Дранишникову, Д. Б. Фуксу, А. Т.Фо-менко и Е. В. Щепину: я учился алгебраической топологии по кни-ге [FF89] и на семинаре Дранишникова—Щепина в Математиче-ском институте Российской академии наук.

Настоящая книга основана на лекциях, прочитанных авто-ром на мехмате Московского государственного университета им.М. В. Ломоносова, в Независимом московском университете, наФОПФ и ФИВТ Московского физико-технического института,в Летней школе «Современная математика», а также в Кировскойи Петербургской летних математических школах в 1994—2015 гг.

1.5. Обозначения и соглашения 17

(Материал статей [RS00, RS02] содержится в настоящей книгев существенно доработанном и расширенном виде.)

Благодарю С. Я. Аввакумова, П. М. Ахметьева, Ю. М. Бурма-на, М. Н. Вялого, А. А. Заславского, С. К. Ландо, С. В. Матвеева,С.А. Оленчука, В. В. Прасолова, Н. А. Приходько, М. Б. Скопенко-ва, А. Б. Сосинского, В. В. Успенского, Б. Р.Френкина и В. В. Шу-валова за многочисленные обсуждения, способствовавшие улуч-шению изложения. Благодарю С. Я. Аввакумова, С. А. Оленчукаи всех слушателей лекций за предоставление записок лекций ирешений некоторых задач. Благодарю С. А. Оленчука, В. В. Пра-солова и В. В. Шувалова за возможность использовать подготов-ленные ими компьютерные версии рисунков.

Эта книга посвящена памяти Юрия Петровича Соловьёва —замечательного математика, считавшего важным изложение ма-тематики на конкретном, доступном (и в то же время строгом)языке, в отличие от «птичьего» языка излишней абстракции.

Грантовая поддержка. Автор поддержан РФФИ, грантыномер 07-01-00648a, 06-01-72551-NCNILa, 12-01-00748-a и 15-01-06302,грантом Президента РФ МД-4729.2007.1, стипендией П. Делиня,основанной на его Премии Бальзана 2004 года, грантами фондаСаймонса 2011—2014 годов и стипендией фонда Д. Зимина «Ди-настия» 2014 года.

Интернет-страница автора: www.mccme.ru/~skopenko.

1.5. Обозначения и соглашения

Если вектор обозначен одной буквой (а не указанием его нача-ла и конца), то мы не пишем над ним знак вектора и не выделяемего жирным. Вот другие основные обозначения:

• |X| — число элементов в множестве X;• prk — проекция на k-й сомножитель декартова произведения;• ρ2 — приведение по модулю два;• Z(i) — группа Z для четного i и Z2 для нечетного i;• fx или f(x) — образ элемента x при отображении f ;• ∼ — гомотопическая эквивалентность пространств (п. 16.1);• ≃ — гомотопность отображений (п. 3.1);


• ∼= — диффеоморфность многообразий (п. 4.5), кусочно ли-нейная гомеоморфность гиперграфов и симплициальных ком-плексов (п. 5.2, 5.8), гомеоморфность подмножеств простран-ства Rm (п. 3.1), изоморфизм групп.

Номера задач обозначаются жирным шрифтом. Если условиезадачи является формулировкой утверждения, то в задаче требу-ется это утверждение доказать. Наиболее трудные задачи отме-чены звездочкой *.

Если некоторая задача не получается, то читайте дальше —следующие задачи могут оказаться подсказками.

1.6. Словарик по теории графов

Вероятно, вводимые здесь понятия знакомы читателю, но мыприводим четкие определения, чтобы фиксировать терминологию(которая бывает другой в других книгах).

Графом (без петель и кратных ребер) называется конечноемножество, некоторые двухэлементные подмножества (т. е. неупо-рядоченные пары) которого выделены. Синоним: одномерныйсимплициальный комплекс (компактный). Элементы данного мно-жества называются вершинами. Выделенные пары вершин на-зываются ребрами. Каждое ребро соединяет различные вершины(нет петель), и любые две вершины соединены не более чем однимребром (нет кратных ребер).

Графом (с петлями и кратными ребрами) называется квад-ратная таблица из целых неотрицательных чисел, симметричнаяотносительно главной диагонали.

При работе с графами удобно пользоваться их изображе-ниями. Вершины изображаются точками (например, на плоско-сти или в пространстве). Каждое ребро, соответствующее двух-элементному выделенному подмножеству, изображается ломаной(или кривой), соединяющей соответствующие точки. На изобра-жении ломаные могут пересекаться, но точки пересечения (кромедвух концов ребра) не являются вершинами. Важно, что графи его изображение — не одно и то же.

1.7. Примеры поверхностей 19

S1 букет замкнутых кривых K4

Рис. 1. Изображения различных графов (не все вершины отмечены!)

Путем в графе называется конечная последовательность вер-шин, в которой любые две соседние вершины соединены ребром.Циклом называется путь, в котором первая и последняя верши-ны соединены ребром. Граф называется связным, если любые двеего вершины можно соединить путем. Граф называется деревом,если он связен и не содержит циклов, не проходящих дважды нипо одному ребру. Ясно, что в любом связном графе существуетмаксимальное дерево, т. е. дерево, содержащее все его вершины.

Грубо говоря, подграф данного графа — это его часть. Фор-мально говоря, граф G называется подграфом графа H, если каж-дая вершина графаG является вершиной графаH и каждое ребрографа G является ребром графа H. При этом две вершины под-графа, соединенные ребром в графе, не обязательно соединеныребром в подграфе.

1.7. Примеры поверхностей

В § 2, п. 4.1—4.4 и § 7 слово «поверхность» можно понимать некак математический термин (определенный в п. 4.5), а как соби-рательное название определенных ниже фигур.

Если вы не знакомы с декартовыми координатами в простран-стве, то в начале книги координатные определения можно опу-стить и работать с наглядными описаниями и изображениями нарисунках.

Сферой S2 (стандартной) называется множество точек (x, y, z) ∈ R3,для которых x2 + y2 + z2 = 1:

S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1}.


(Это то же самое, что множество всех точек (x, y, z) вида

(cos φ cos ψ, sin φ cos ψ, sin ψ).)

Кольцом называется любая фигура, полученная из прямо-угольной полоски склейкой ее двух противоположных сторон«с одинаковым направлением», см. рис. 2. Например, боковая по-верхность

{(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, 0 6 z 6 1}

цилиндра является кольцом.

Рис. 2. Кольца

Тором T 2 (стандартным) называется фигура, образованнаявращением окружности (x− 2)2 + y2 = 1 вокруг оси Oy.

Рис. 3. Тор, лента Мёбиуса и боковая поверхность цилиндра

Наглядное описание. Тор — поверхность бублика, см. рис. 3слева. Тор получен из (двумерного) квадрата склейкой пар егопротивоположных сторон «с одинаковыми направлениями», т. е. безповорота, см. рис. 4 слева.


Рис. 4. Склейки прямоугольной полоски, дающие тор и ленту Мёбиуса

Лентой Мёбиуса называется любая фигура, полученная издлинной прямоугольной полоски склейкой двух ее противополож-ных сторон «с противоположным направлением», т. е. с поворотомна 180◦, см. рис. 4 справа. Стандартной лентой Мёбиуса называ-ется поверхность в R3, заметаемая стержнем длины 1, равномер-но вращающимся относительно своего центра, при равномерномдвижении этого центра по окружности радиуса 9, при которомстержень делает пол-оборота, см. рис. 3.

Сферой с g ручками (стандартной) Sg при g > 1 называется по-

верхность, заданная в R3 уравнением x2 +g∏

k=1

((z − 4k)2 + y2 − 4)2 = 1.

Сферой с нулем ручек (стандартной) S0 называется сфера S2.Сфера с g ручками изображена на рис. 5 (для двух и трех ру-чек; для одной ручки это тор).

Уравнениеg∏

k=1

((z − 4k)2 + y2 − 4) = 0 задает «цепочку окруж-

ностей» на плоскости Oyz (рис. 6). Сфера с g ручками являет-ся границей «трубчатой окрестности» этой цепочки в простран-стве. Поэтому, неформально говоря, сфера с g ручками полученаиз сферы вырезанием 2g дисков и последующей заклейкой g паркраевых окружностей этих дисков криволинейными боковыми по-верхностями цилиндров, см. рис. 7.

Сферой с дыркой (нестандартной) называется сфера, из кото-рой удалена внутренность двумерного диска. Аналогично опреде-ляются (нестандартные) тор с дыркой, сфера с ручками и дыркой,бутылка Клейна с дыркой и т. д. Формально говоря, (стандартной)сферой с g ручками и дыркой Sg,0 называется часть сферы с g руч-


Рис. 5. Сфера с тремя ручками и поле скоростей воды, сте-кающей по сфере с двумя ручками

Рис. 6. «Цепочка окружностей» на плоскости

Рис. 7. Приклеивание ручки

ками, лежащая не выше той плоскости, которая расположена чутьниже касательной плоскости в верхней точке (т. е. расположена вобласти z 6 4g + 2).

Нижеприведенные определения и содержащий их материалможно пропустить.


(a) (b)

Рис. 8. Бутылка Клейна: (a) склейка квадрата; (b) изображение в R3

Рассмотрим в R4 окружность x2 + y2 = 1, z = t= 0 и семействоее нормальных трехмерных плоскостей. Бутылкой Клейна (стан-дартной) K называется поверхность в R4, заметаемая окружно-стью ω, центр которой равномерно описывает рассматриваемуюокружность, а окружность ω в то же время равномерно пово-рачивается на угол π (поворачивается в движущейся нормальнойтрехмерной плоскости относительно своего диаметра, движущего-ся вместе с нормальной трехмерной плоскостью). Проекция на R3

изображена на рис. 8 (b). Бутылкой Клейна (нестандартной) на-зывается любая фигура, полученная такой склейкой пар проти-воположных сторон квадрата, при которой одна пара склеивается«с одинаковым направлением», а другая «с противоположным на-правлением», см. рис. 8 (a).

Неформально говоря, проективной плоскостью RP 2 называ-ется фигура, полученная из сферы S2 склейкой диаметральнопротивоположных точек, или, что эквивалентно, фигура, полу-ченная из круга склейкой диаметрально противоположных точекна его граничной окружности, или, что эквивалентно, фигура, по-лученная полученная такой склейкой пар противоположных сто-рон квадрата, при которой каждая пара склеивается «с противо-положным направлением», см. рис. 45 на с. 95.

Формально говоря, проективной плоскостью RP 2 называетсяобраз отображения S2 → R4, заданного формулой (x, y, z) 7→ (x2, xy, yz, zx),или, что эквивалентно,

RP 2 := {(a, b, c, d) ∈ R4 : ac= bd, abd+ b2c+ cd2 = bd, a> 0}.

§ 2. Наглядные задачи о поверхностяхWissen war ein bisschen Schaum, der uber eineWoge tanzt. Jeder Wind konnte ihn wegblasen,aber die Woge blieb.

E.M. Remarque. Die Nacht von Lissabon1

2.1. Разрезания и вырезания

2.1. Любой граф можно нарисовать без самопересечений(a) в пространстве;(b) в книжке с некоторым количеством листов, зависящим от

графа (рис. 9; определение дано после него);(c) в книжке с тремя листами.

Рис. 9. Книжка с тремя листами

Возьмем в трехмерном пространстве n прямоугольниковXY BkAk,k = 1, 2, . . . , n, любые два из которых пересекаются только по от-резку XY . Книжкой с n листами называется объединение этихпрямоугольников, см. рис. 9 для n= 3.

2.2. Разрежьте ленту Мёбиуса так, чтобы получилось(a) кольцо; (b) кольцо и лента Мёбиуса.2.3. Разрежьте бутылку Клейна так, чтобы получилось1Знание здесь — только пена, пляшущая на волне. Одно дуновение вет-

ра — и пены нет. А волна есть и будет всегда. (Э. М.Ремарк. Ночь в Лисса-боне. Пер. Ю. Плашевского.)

2.2. Количество разрезающих кривых 25

(a) две ленты Мёбиуса; (b) одна лента Мёбиуса.2.4. Вырежьте из книжки с тремя листами (рис. 9)(a) ленту Мёбиуса;(b) тор с дыркой;(c) сферу с двумя ручками и одной дыркой;(d) бутылку Клейна с дыркой.2.5. (a) Из сферы невозможно вырезать тор с дыркой.(b) Из сферы c меньшим числом ручек невозможно вырезать

сферу c большим числом ручек.(c) Из ленты Мёбиуса невозможно вырезать две непересекаю-

щиеся ленты Мёбиуса.Пункты (b,c) этой задачи Вы сможете решить, изучив п. 5.4.2.6. Для каждого g > 0 склейте сферу с g ручками из правиль-

ного 4g-угольника.

2.2. Количество разрезающих кривых

Теорема Жордана. Замкнутая несамопересекающаяся ло-маная на плоскости делит плоскость ровно на две части. Дветочки плоскости, не принадлежащие ломаной, лежат в однойчасти тогда и только тогда, когда их можно соединить неко-торой ломаной, не пересекающей данной ломаной.

2.7. (a) Нарисуйте на торе замкнутую кривую, при разрезаниипо которой тор не распадается на куски.

(a′) То же для ленты Мёбиуса.(b) Нарисуйте две замкнутые кривые на торе, при разрезании

по объединению которых тор не распадается на куски.(с) Нарисуйте на сфере с g ручками g замкнутых несамопе-

ресекающихся попарно непересекающихся кривых, объединениекоторых не разбивает ее.

(d) Нарисуйте на сфере с g ручками 2g замкнутых несамопе-ресекающихся кривых, объединение которых не разбивает ее.

Оказывается, при разрезании тора по объединению любыхтрех замкнутых кривых на нем или по объединению любых двухнепересекающихся замкнутых кривых на нем тор обязательно

26 § 2. Наглядные задачи о поверхностях

распадается на куски. (Здесь кривые могут быть самопересека-ющимися; однако интересен случай несамопересекающихся кри-вых, а случай самопересекающихся к нему легко сводится.) Этирезультаты — частные случаи следующих.

2.8. (a) Теорема Римана. Объединение любых g + 1 попар-но непересекающихся замкнутых кривых на сфере с g ручкамиразбивает ее.

(b) Теорема Бетти. Объединение любых 2g + 1 замкнутыхкривых на сфере с g ручками разбивает ее.

Доказать эти теоремы и утверждение 2.23.b Вы сможете послеп. 5.4.

2.3. Графы на поверхностях и раскраски карт

Граф с n вершинами, любые две из которых соединены реб-ром, называется полным и обозначается Kn. Через Km,n обозна-чается полный двудольный граф с долями из m и из n вершин:в нем имеются все ребра между вершинами разных долей. См.рис. 10.

Изображение без самопересечений графа на поверхности —изображение, для которого любые два ребра пересекаются толькопо их общим вершинам (в частности, если таких вершин нет, торебра не пересекаются). Формализация приведена в п. 5.2, но дляпервого знакомства она на обязательна.

2.9. Нарисуйте без самопересечений граф K5 без одного изребер на плоскости.

Рис. 10. Графы K5 и K3,3

2.3. Графы на поверхностях и раскраски карт 27

2.10. (a) Граф K5 невозможно нарисовать без самопересече-ний на плоскости.

(b) То же для графа K3,3.(c) Картой называется разбиение плоскости на многоуголь-

ники. Раскраска карты называется правильной, если разные мно-гоугольники, имеющие общую граничную кривую, имеют разныецвета. Докажите, что любую карту на плоскости можно правиль-но раскрасить в 6 цветов.

(d)* То же для 5 цветов. (Знаменитая гипотеза четырех красокутверждает, что и 4 цветов хватит, но ее доказательство гораздоболее сложно.)

Доказать теоремы 2.10, 2.12, 2.16, а также их неориентируемыеаналоги из п. 2.5, вы сможете после изучения п. 2.4.

Тор, лента Мёбиуса (и другие фигуры) предполагаются про-зрачными, т. е. точка (или подмножество), «лежащая на однойстороне поверхности»», «лежит и на другой стороне». Это анало-гично тому, что при изучении геометрии мы говорим, например,о треугольнике на плоскости, а не о треугольнике на верхней (илинижней) стороне плоскости.

2.11. Нарисуйте на торе без самопересечений граф(a) K5; (b) K3,3; (c) K6; (d) K3,4; (e) K7; (f) K4,4.

Оказывается, ни граф K8, ни граф K5,4 невозможно нарисо-вать на торе без самопересечений. Это частные случаи следующе-го результата.

2.12. Теорема. (a) Граф Kn невозможно нарисовать без са-мопересечений на сфере менее чем с (n− 3)(n− 4)/12 ручками.

(b) Граф Km,n невозможно нарисовать без самопересеченийна сфере менее чем с (m− 2)(n− 2)/4 ручками.

2.13. Любой граф можно нарисовать без самопересечений насфере с некоторым количеством ручек, зависящим от графа.

2.14. Нарисуйте на ленте Мёбиуса без самопересечений граф(a) K3,3; (b) K3,4; (c) K5; (d) K6.

2.15. Картой на торе называется разбиение тора на (криво-линейные и изогнутые) многоугольники. Раскраска карты на торе


называется правильной, если разные многоугольники, имеющиеобщую граничную кривую, имеют разные цвета. Любую ли картуна торе можно правильно раскрасить в

(a) 5 цветов? (b) 6 цветов?

Оказывается, любую карту на торе можно правильно раскра-сить в 7 цветов. Это частный случай следующего результата.

2.16. Теорема Хивуда. Если 0 < g < (n − 2)(n − 3)/12, толюбую карту на сфере с g ручками можно правильно раскраситьв n цветов.

Аналог этой теоремы для g = 0 верен: это гипотеза четы-рех красок. Ввиду результатов Рингеля о вложениях графа Kn

(см. замечание и ссылку перед задачей 2.21) n− 1 цветов не хва-тит при g > (n− 2)(n− 3)/12.

См. задачи для исследования о степенных последовательно-стях в [GDI].

2.4. Неравенство Эйлера для сфер с ручками

Плоским графом называется изображение без самопересече-ний графа на плоскости. Мы будем рассматривать только такиерисунки, на которых ребра изображаются ломаными, а не произ-вольными кривыми. Гранью называется каждый из связных кус-ков, на которые распадается плоскость при разрезании по всемребрам плоского графа.

2.17. (a) Нарисуйте без самопересечений граф на плоскости,чтобы некоторое ребро лежало только в одной грани.

(b) Для любого плоского графа с E > 1 ребрами и F гранямиверно неравенство 3F ≤ 2E.

Формула Эйлера. Для любого связного плоского графа с Vвершинами, E ребрами и F гранями верно равенство V − E + F = 2.

Доказательство приведено в п. 5.4, см. также [Pr14]. Далееэтим результатом можно пользоваться без доказательства.

2.18. В любом плоском графе есть вершина, из которой выхо-дит не более 5 ребер.

2.4. Неравенство Эйлера для сфер с ручками 29

Пусть на поверхности нарисован без самопересечений граф.Назовем гранью каждый из связных кусков, на которые распада-ется поверхность при разрезании по всем ребрам графа.

На торе можно нарисовать замкнутую кривую двумя спосо-бами так, чтобы при разрезаниях по ней при первом и при вто-ром способе тор распадался на разное количество кусков (зада-ча 2.7 (a)). То же справедливо для ленты Мёбиуса (задача 2.7 (a′)).Итак, количество граней зависит от способа изображения графана данной поверхности.

Тем не менее, аналог формулы Эйлера для поверхностей име-ется.

2.19. Неравенство Эйлера. Пусть на сфере с g ручкаминарисован без самопересечений связный граф с V вершинами и Eребрами. Обозначим через F число граней. Тогда

V −E + F > 2 − 2g.

Доказательство приведено в п. 5.4. Далее этим результатомможно пользоваться без доказательства. (Обычно в книгах вместонеравенства Эйлера, достаточного для решения многих интерес-ных задач, приводится более сложная формула Эйлера 5.13, дляформулировки которой нужно понятие клеточного подграфа.)

2.20. (a) Граф K8 невозможно нарисовать на торе без самопе-ресечений.

(b) Для любой сферы с ручками найдется граф, которыйневозможно нарисовать на ней без самопересечений.

Ориентируемым родом g(G) графа G называется наименьшеечисло g, для которого G можно нарисовать без самопересеченийна сфере с g ручками. Например, у графов K3 и K4 ориентируе-мый род равен 0, у графов K5, K6 и K7 он равен 1, а у графа K8

он равен 2.Задача 2.12 означает, что

g(Kn) > (n− 3)(n− 4)/12 и g(Km,n) > (m− 2)(n− 2)/4.

На самом деле в этих формулах неравенство можно заменить наравенство [Pr14, 13.1].


2.21. (a) В любом графе, нарисованном без самопересеченийна торе, есть вершина, из которой выходит не более 7 ребер.

(b) Если 0< g < (k − 1)(k − 2)/12, то в любом графе, нарисо-ванном без самопересечений на сфере с g ручками, есть вершина,из которой выходит не более k ребер.

2.22. (a) Существует алгоритм распознавания реализуемостиграфов на сфере (не используйте критерий Куратовского!).

(b) Для любого g существует алгоритм распознавания реали-зуемости графов на сфере с g ручками.

См. подробнее [MT01].

2.5. Неравенство Эйлера для дисков с лентами Мёбиуса

Диском с m лентами Мёбиуса называется объединение кругаи m «отделенных» ленточек, при котором каждая ленточка при-клеивается двумя отрезками к граничной окружности S кругаи направления на этих отрезках, задаваемые произвольным на-правлением на S, «сонаправлены вдоль ленточки», см. рис. 11.

Рис. 11. Диск с лентами Мёбиуса. Краевая окружность вы-делена жирным.

2.23. (a) Нарисуйте на диске с m лентами Мёбиуса m замкну-тых несамопересекающихся попарно непересекающихся кривых,объединение которых не разбивает его.

(b) Объединение любыхm+ 1 замкнутых кривых на диске сmлентами Мёбиуса разбивает его.

2.6. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) 31

(c) Любой граф можно нарисовать без самопересечений надиске с некоторым количеством лент Мёбиуса, зависящим от гра-фа.

(d) Для каждого m> 0 склейте диск с m лентами Мёбиуса изправильного 4m-угольника.

2.24. Неравенство Эйлера. Пусть на диске с m лентами Мё-биуса нарисован без самопересечений связный граф с V вершина-ми и E ребрами, не пересекающий краевой окружности (рис. 11).Обозначим через F число граней. Тогда V − E + F > 2 −m.

2.25. (a) Граф K7 невозможно нарисовать на ленте Мёбиусабез самопересечений.

(b) Сформулируйте и докажите аналоги задачи 2.12 для дис-ков с лентами Мёбиуса.

2.26. (a) Любую карту на ленте Мёбиуса можно правильнораскрасить в 7 цветов.

(b) Сформулируйте и докажите аналог теоремы Хивуда длядиска с лентами Мёбиуса.

2.6. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность)

2.27. Можно ли нарисовать без самопересечений граф K5

(a) на сфере; (b) на боковой поверхности цилиндра (рис. 3)?

В этом параграфе понятие гомеоморфности (топологическойэквивалентности) не определяется строго, см. строгое определе-ние в п. 5.2. Для «доказательства» гомеоморфности в этом пара-графе нужно нарисовать цепочку картинок, аналогичную рис. 12.При этом разрешается временно разрезать фигуру, а потом скле-

Рис. 12. Тор с дыркой гомеоморфен диску с двумя ленточками


ить «берега» разреза. Например,• сфера без точки гомеоморфна плоскости, а боковая поверх-

ность цилиндра — кольцу на плоскости (здесь цепочку картинокможно получить из решения задачи 2.27);

• сфера с одной ручкой (рис. 7) гомеоморфна тору (рис. 3);• диск с двумя ленточками (рис. 12 справа) гомеоморфен тору

с дыркой (рис. 12 слева);• три ленточки на рис. 4 справа гомеоморфны (здесь уже не

обойтись без разрезания);• две ленточки на рис. 2 справа гомеоморфны (и здесь не обой-

тись без разрезания).Ленточки на рис. 4 справа и на рис. 2 справа не гомеоморфны.

Мы займемся негомеоморфностью в § 5, когда появится строгоеопределение.

Понятие гомеоморфности следует отличать от изотопности,см. задачу 6.21 (b) и п. 17.1.

2.28. (a, b) Фигуры на рис. 13 гомеоморфны тору с двумя дыр-ками.

(c) Фигура на рис. 14 (а) гомеоморфна тору с дыркой.(d) Гомеоморфна ли фигура на рис. 14 (b) сфере с ручками

и дырками? Если да, то чему равно их число?

aa

b

b

c

c

c

c

b

b

aa

Рис. 13. Диски с ленточками, отвечающие словам (abacbc)

и (abcabc), и их краевые окружности

2.29. (a, b, c, d) Фигуры на рис. 15 гомеоморфны сфере с двумяручками и одной дыркой.

2.6. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) 33

(a) (b)

Рис. 14. Чему гомеоморфны эти фигуры?

b b

a

a

c

c

d

dd

d

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a a

dd

c

c

d

d

b

b

aa

Рис. 15. Диски с четырьмя ленточками, не реализуемые на торе

(a) (b) (c)

Рис. 16. (a) Приклеивание вывернутой ручки (ср. рис. 7).(b) Диск с двумя «перекрученными» «отделенными» лен-точками. (c) Диск с ленточками, отвечающий слову (aabcbc)

с соответствием w(a) = 1 и w(b) = w(c) = 0.

2.30. (a) Лента Мёбиуса с ручкой гомеоморфна ленте Мёбиусас вывернутой ручкой, рис. 7, 16 (a).


∼=

?∼=

?

(a) (b)

Рис. 17. (a) Равноправны ли краевые окружности лентыМёбиуса с дыркой? (b) Гомеоморфны ли кольца с двумялентами Мёбиуса?

(b) Фигура на рис. 16 (b) (т. е. диск с двумя «перекрученны-ми» «отделенными» ленточками) гомеоморфна бутылке Клейна(рис. 8) с дыркой.

(c) Фигура на рис. 16 (c) гомеоморфна диску с тремя лентамиМёбиуса.

(d) Фигуры на рис. 17 (a) гомеоморфны.(e) Фигуры на рис. 17 (b) (т. е. кольцо с двумя «перекрученны-

ми» «отделенными» ленточками, приклеенными к одной краевойокружности кольца, и кольцо с двумя «перекрученными» ленточ-ками, приклеенными к разным краевым окружностям кольца) го-меоморфны.

Красивые примеры из задач 2.30 (d, e) важны, ибо показывают,что непохожие фигуры могут все-таки быть гомеоморфными.

Регулярной окрестностью графа в поверхности называетсяобъединение шапочек и ленточек, соответствующих вершинами ребрам графа, см. рис. 18 (формальное определение см. в концеп. 5.4).

2.31. Регулярные окрестности разных изображений без само-пересечений графа на плоскости (т. е. изоморфных плоских гра-фов, см. рис. 19) гомеоморфны.

2.7. Топологическая эквивалентность дисков с ленточками 35

Рис. 18. Шапочки, ленточки и заплатки

2.7. Топологическая эквивалентность дисковс ленточками

В этом пункте, не используя даже понятия графа, мы покажемодну из основных идей доказательства теоремы о классификации2-многообразий (п. 5.6).

Пусть имеется слово длины 2n из n букв, в котором каждаябуква встречается дважды. Возьмем двумерный диск (например,выпуклый многоугольник на плоскости). Ориентируем его крае-вую (=граничную) окружность. Отметим на ней непересекающи-еся отрезки, отвечающие буквам данного слова, в том порядке,в котором буквы идут в слове. Для каждой буквы соединим (необязательно в плоскости) соответствующие ей два отрезка ленточ-кой-прямоугольником (так, чтобы разные ленточки не пересека-лись). При этом стрелки на окружности должны быть противо-направлены «при переносе» вдоль ленточки, см. рис. 20. Дискомс n неперекрученными ленточками, отвечающим данному слову,

Рис. 19. Разные изображения графа на плоскости


называется объединение построенных диска и ленточек. Ср. [Sk,п. «Определение и примеры утолщений»].

Рис. 20. Стрелки, противонаправленные «при переносе»вдоль ленточки

Примеры дисков с неперекрученными ленточками приведенына рис. 12 справа, 13 и 15.

Неформально говоря, краевая окружность диска с ленточка-ми — связный кусок множества его точек, к которым он подхо-дит «с одной стороны». Краевые окружности дисков с ленточкамивыделены на рис. 13. Понятие краевой окружности определяетсястрого не в этом параграфе, а в п. 5.2.

2.32. (a) Сколько краевых окружностей может быть у дискас двумя неперекрученными ленточками?

(b) По слову длины 2n из n букв, в котором каждая буквавстречается дважды, постройте граф, число компонент связностикоторого равно числу краевых окружностей диска с неперекру-ченными ленточками, отвечающего данному слову. (Значит, эточисло можно находить на компьютере, не рисуя рисунка.)

Ленточки a и b в диске с ленточками называются перекрещи-вающимися, если отрезки, по которым они приклеиваются к дис-ку, чередуются на его краевой окружности — идут в циклическомпорядке (abab), а не (aabb).

2.33. (a) Число краевых окружностей диска с n неперекручен-ными ленточками не превосходит n+ 1.

(b) Если их ровно n+ 1, то никакие две ленточки не перекре-щиваются.

2.34. (a) Формула Эйлера. Диск с n неперекрученными лен-точками, имеющий F краевых окружностей, гомеоморфен сферес (n+ 1 − F )/2 ручками и F дырками.

(b)* Формула Мохара. Пусть имеется диск с n ленточками.Построим n × n-матрицу следующим образом. Если a = b и лен-

2.7. Топологическая эквивалентность дисков с ленточками 37

точки a и b перекрещиваются, то в клетке a× b поставим едини-цу. В остальных клетках поставим нули. Обозначим через r рангнад Z2 полученной матрицы. Тогда r четно и диск с ленточка-ми гомеоморфен сфере с r/2 ручками и некоторым количествомдырок.

Названия «формула Эйлера» и «формула Мохара» примени-тельно к результатам задач 2.34 и 2.36 (см. ниже) не общеприня-ты. Ср. с задачами 5.13 и 6.27 (f, g).

Пусть имеется слово длины 2n из букв 1, 2, . . . , n, в которомкаждая буква встречается дважды, и отображение w : {1, 2, . . . , n} → {0, 1}.Возьмем двумерный диск. Ориентируем его краевую окружность.Отметим на ней непересекающиеся отрезки, отвечающие буквамданного слова, в том порядке, в котором буквы идут в слове. Длякаждой буквы соединим (не обязательно в плоскости) соответ-ствующие ей два отрезка ленточкой-прямоугольником (так, чтобыразные ленточки не пересекались). При этом стрелки на окружно-сти должны быть противонаправлены «при переносе» вдоль лен-точки k, если w(k) = 0, и сонаправлены, если w(k) = 1. Дискомс n ленточками, отвечающим данным слову и отображению w,называется объединение построенных диска и ленточек.

На рис. 16 (b, c) и 11 изображены соответственно• диск с ленточками, отвечающий слову (aabb) с соответствием

w(a) = w(b) = 1,• диск с ленточками, отвечающий слову (aabcbc) с соответ-

ствием w(a) = 1 и w(b) = w(c) = 0,• диск с n лентами Мёбиуса, т. е. диск с ленточками, отвечаю-

щий слову (1122 . . . nn) с соответствием w(1) = w(2) = . . .= w(n) = 1.

2.35. (a) Сколько краевых окружностей может быть у дискас двумя ленточками?

(b) Чему может быть гомеоморфен диск с двумя ленточками?

2.36. (a) К одной из краевых окружностей диска с n лента-ми Мёбиуса и k > 0 дырками приклеим перекрученную (относи-тельно этой краевой окружности) ленточку. Полученная фигурагомеоморфна диску с n+ 1 лентой Мёбиуса и k дырками.


(b) Формула Эйлера. Диск с n ленточками, среди которых естьперекрученная, имеющий F краевых окружностей, гомеоморфендиску с n+ 1 − F лентами Мёбиуса и F − 1 дыркой.

(c)* Формула Мохара. Пусть имеется слово длины 2n из букв1, 2, . . . , n, в котором каждая буква встречается дважды, и нену-левое отображение w : {1, 2, . . . , n} → {0, 1}. Построим n× n-мат-рицу следующим образом. Если a = b и ленточки a и b перекре-щиваются, то в клетке a × b поставим единицу. В диагональнойклетке a× a поставим число w(a). В остальных клетках поставимнули. Обозначим через r ранг над Z2 полученной матрицы. То-гда соответствующий диск с ленточками гомеоморфен диску с rлентами Мёбиуса и некоторым количеством дырок.

Ответы, указания и решения к некоторым задачам

2.1. (a) Нарисуем данный граф (возможно, с самопересечени-ями) на плоскости так, чтобы ребра не самопересекались. Еслиобразовались точки пересечения (кроме вершин) более чем двухребер, то подвинем некоторые ребра так, чтобы остались толькодвукратные точки пересечения. Поднимем одно из каждых двухпересекающихся ребер в пространство так, чтобы каждое пересе-чение пропало.

(c) Можно считать, что точки самопересечения «хорошие»и лежат на одной прямой. Прилепим третий лист по этой пря-мой. Теперь в малой окрестности каждой из точек пересеченияребер поднимем одно из ребер «мостиком» над другим ребром натретий лист. Так все точки пересечения будут ликвидированы.

Рис. 21. Разрезы бутылки Клейна

Ответы, указания и решения к некоторым задачам 39

2.3. (a) Разрежьте рис. 8 справа плоскостью симметрии. Илисм. рис. 21 справа.

(b) См. рис. 21 слева.

2.5. (a) Следует из теоремы Жордана.(b) Следует из теорем Бетти-Римана 2.8 и 2.23.b.

2.7. (a) Делаем разрез вдоль меридиана.

(a’) Разрезать ленту Мёбиуса можно по средней линии.

(b) Сделаем первый разрез вдоль меридиана, а второй — вдольпараллели.

(c, d) Аналогично пунктам (а,b). См. рис. 22.

g = 1 g = 2

Рис. 22. Кривые, не разрезающие сферу с ручками


2.8. [Pr14, § 11.4]. Ссылку на теорему классификации можнозаменить ссылкой на экстремальное свойство 5.9.a.

2.9. Возможное решение изображено на рисунке.

Рис. 23. K5 без одного из рёбер

2.10. (a) Пусть граф K5 нарисован на плоскости без самопере-сечений. Тогда по формуле Эйлера 5 − 10 + F = 2. Значит, F = 7.Воспользовавшись утверждением 2.18, получаем 21 = 3F ≤ 20.Противоречие.

(b) Доказательство аналогично пункту (a). Так как граф K3,3

не содержит циклов длины три, то в границе каждой грани неменее четырех стрелок.

(c) Утверждение следует из аналога утверждения 2.18 для«степеней граней». Или при помощи конструкции двойственногографа (ср. с п. 6.5) оно сводится к аналогичному утверждению прораскраску вершин графа, которое следует из утверждению 2.18.

Рис. 24. Реализация непланарных графов


2.11. (a) Красивая реализация графа K5 на торе изображенана рис. 24. Имеются и другие решения. Например, можно нари-совать граф K5 на плоскости с одним самопересечением и... (до-думайте сами).

2.12. Аналогично задаче 2.20 (a).2.13. Используйте идею решения задачи 2.1.2.14. (a) Красивая реализация графа K3,3 на ленте Мёбиуса

изображена на рис. 24.2.16. Утверждение следует из аналога задачи 2.21 (b) для

«степеней граней». Или при помощи конструкции двойственно-го графа (ср. с п. 6.5) оно сводится к аналогичному утверждениюпро раскраску вершин графа, которое следует из задачи 2.21 (b).

2.17. (b) Идея доказательства. Граница каждой грани состо-ит не менее чем из трёх рёбер. Следовательно,

3 ≤ количества рёбер, ограничивающих первую грань

3 ≤ количества рёбер, ограничивающих вторую грань

. . .

3 ≤ количества рёбер, ограничивающих F -ую грань

Просуммируем значения в колонках. Сумма значений левой ко-лонки равна 3F . В сумме значений из правой колонки каждоеребро посчитано не более двух раз, так как принадлежит двумграням. Следовательно, сумма не превосходит 2E.

Рис. 25. К контрпримеру и его исправлению

Замечание. Приведённое рассуждение не является строгим,поскольку каждое из указанных неравенств неверно, например,


для графа, указанного на рис. 25 слева, и слова ‘посчитано’, ‘гра-ница грани состоит’, ‘количество рёбер, ограничивающих грань’не имеют формального смысла. Однако это рассуждение форма-лизуется методом подсчёта двумя способами.

Доказательство. Поставим около каждого ребра плоскогографа две стрелки в две грани, примыкающие к ребру (даже еслиэти грани совпадают, стрелок две). Тогда число стрелок (инымисловами, «гранерёбер») равно 2E = 20. В границе каждой гранине менее трех стрелок (этот факт мы не доказываем аккуратно).Поэтому 2E > 3F .

2.18. Если степень каждой вершины не меньше 6, то 2E > 6V .Можно считать, что граф связен и E > 1. Тогда по утвержде-

нию 2.17.b 2E > 3F . По формуле Эйлера V − E + F = 2. Значит,6 = 3(V − E + F ) 6 3V − E, откуда E 6 3V − 6. Противоречие.

2.20. (a) Аналогично утверждению 2.17.b 2E > 3F . Из этогои неравенства Эйлера получается противоречие.

(b) Аналогично п. (a) граф Kg+15 не вложим в сферу с g руч-ками.

2.21. Аналогично утверждению 2.17.b 2E > 3F .(a) По неравенству Эйлера 0 6 3(V − E + F ) 6 3V − E, от-

куда E 6 3V . Поэтому наименьшая степень вершины не больше2E/V 6 6.

(b) По неравенству Эйлера V − E + F > 2 − 2g. Значит,E 6 3V + 6g − 6. Обозначим через d наименьшую степень вер-шины. Тогда

V > d+ 1 и d6 2E

V6 6 +

12(g − 1)

V6 6 +

12(g − 1)

d + 1.

Поэтому g > (d− 2)(d− 3)/12. Так как g < (k − 1)(k − 2)/12, нера-венство d> k + 1 не выполнено.

2.22. Рассмотрите регулярную окрестность графа (см. рис. 18и определение после него). Используйте утверждение 2.5.ab.

2.27. Ответы: нельзя.(a) Пусть граф K5 нарисован на сфере без самопересечений.

Спроецируем без самопересечений сферу без точки, не лежащей


на K5, на плоскость. Получим плоскость, содержащую K5. Про-тиворечие.

(b) Граф K5 не планарен, а цилиндр можно спроецировать безсамопересечений на плоскость.

2.28. (a, b) См. рис. 26.Другое решение. Диск с ленточками, отвечающий слову (abab),

гомеоморфен тору с дыркой (рис. 12). При добавлении ленточ-ки (рис. 27 (b)) получается тор с двумя дырками. Докажите, чтодобавляемая ленточка не перекручена относительно той краевойокружности, к которой она крепится.

(d) Выделите максимальное дерево и докажите, что эта фигу-ра гомеоморфна диску с четырьмя ленточками.

c

a b

b

a c

Рис. 26. Диски с ленточками, отвечающие словам (abcabc)

и (abacbc), на торе

(b) (c) (d)

(a)

Рис. 27. Добавление ленточки

2.29. (b) Диск с ленточками, отвечающий слову (abab), гомео-морфен тору с дыркой (рис. 12). Он лежит в диске с ленточками,отвечающем слову (abcdabcd). При замене этого тора с дыркой надиск получится диск с двумя ленточками, имеющий одну крае-вую окружностью, т. е. тор с дыркой. (Можно и непосредственно


проверить, что получится диск с ленточками, отвечающий слову(cdcd).) Значит, диск с ленточками, отвечающий слову (abcdabcd),получен из двух торов с дырками склейкой по отрезкам краевыхокружностей. Поэтому данный диск с ленточками гомеоморфенсфере с двумя ручками с дыркой.

Другое решение. Выберем диск с тремя ленточками, рассмот-ренный в задаче 2.28 (b), см. рис. 13 справа. Он гомеоморфен то-ру с двумя дырками. При добавлении четвертой ленточки добав-ляется ручка и удаляется дырка, см. рис. 27 (a). Докажите, чтодобавляемая ленточка не перекручена относительно «согласован-ных» ориентаций тех двух краевых окружностей, к которым онакрепится.

2.30. (b) Используйте задачу 2.3 (a).(c) Фигура на рис. 16 (c) гомеоморфна ленте Мёбиуса с руч-

кой. Диск с тремя лентами Мёбиуса гомеоморфен ленте Мёбиусас вывернутой ручкой ввиду п. (b). Используйте п. (a). См. фото-графию в [A].

(d) См. рис. 28 (a).(e) См. рис. 28 (b). Или используйте (d).

∼=

∼=

∼ =

∼=

∼=

∼=

(a) (b)

Рис. 28. (a) Краевые окружности ленты Мёбиуса с дыркойменяются местами. (b) Гомеоморфизм строится при помо-щи разрезания.

2.31. Утверждение следует из формулы Эйлера.

§ 3. Векторные поля на плоскости

3.1. Интересные примеры и теоремы

Исследование векторных полей начал Анри Пуанкаре в каче-ственной теории дифференциальных уравнений. Эта теория име-ет приложения во многих областях естествознания. Сам Пуанкареприменял ее, в частности, к проблеме трех тел и небесной меха-нике. С тех пор векторные поля являются одним из важнейшихобъектов топологии и ее приложений. Подробные мотивировкисм. в «похвальном слове векторным полям» [An03].

В этом параграфе на языке векторных полей будут доказа-ны основная теорема топологии 3.20 и близкие красивые теоре-мы 3.1, 3.3.

3.1. Основная теорема алгебры. Любой непостоянный мно-гочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный ко-рень.

Этот результат вы сможете доказать после решения зада-чи 3.17.

«Нульмерной версией» основной теоремы топологии являетсятеорема о промежуточном значении непрерывной функции.

3.2. (a) На плоскости дано 2n красных и 2n синих точек обще-го положения (т. е. никакие три данные точки не лежат на однойпрямой). Тогда существует прямая, по каждую сторону от кото-рой находится по n красных и синих точек.

(b) На плоскости дан выпуклый многоугольник и точка z вненего. Тогда существует прямая, содержащая z и делящая много-угольник на две части равной площади.

(c) Для любого (выпуклого) многоугольника на плоскости су-ществует прямая, делящая его на две части с равными площадямии периметрами.

(d) Любой ли бутерброд с маслом можно разрезать прямоли-нейным разрезом на две равноценные части?

3.1. Интересные примеры и теоремы 49

(e) То же для бутерброда с маслом и сыром.(f) Вокруг любого выпуклого многоугольника на плоскости

можно описать квадрат.(g)* Любую плоскую выпуклую фигуру диаметра 1 можно по-

местить в правильном шестиугольнике, расстояние между проти-воположными сторонами которого равно 1.

Векторным полем на подмножестве плоскости называется се-мейство векторов v(x) на плоскости в его точках x.

Если начало каждого вектора перенести в начало коорди-нат на плоскости, то получится отождествление свободных век-торов и точек плоскости. Поэтому векторное поле на подмноже-стве плоскости — то же, что отображение из этого подмножествав плоскость.

Примеры векторных полей на плоскости (см. рис. 29): a(x, y) := (x, y)(радиальное), b(x, y) := (y,−x) (центральное), c(x, y) := (y, x) (сед-ловое), u(x, y) := (1, 0) (постоянное).

Рис. 29. Векторные поля на подмножествах плоскости

Пусть N ⊂ Rm и Y ⊂ Rn. Отображение f : N → Y называ-ется непрерывным, если для любых x ∈ N и ε > 0 существуеттакое δ > 0, что при любых y ∈ N , удовлетворяющих условию|x − y| < δ, выполнено неравенство |f(x) − f(y)| < ε. Если N за-мкнуто и ограничено, то это условие равносильно следующемуусловию равномерной непрерывности: для любого ε > 0 существу-ет такое δ > 0, что при любых x, y ∈N , удовлетворяющих условию|x− y|< δ, выполнено неравенство |f(x) − f(y)|< ε.

Далее все отображения и векторные поля считаются непре-рывными и прилагательное «непрерывное» опускается.

50 § 3. Векторные поля на плоскости

Отождествим R2 и C. Обозначим окружность и круг (диск)через

S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} = {z ∈ C : |z| = 1}

и

D2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 6 1}.

Векторное поле называется ненулевым, если все его векторы нену-левые.

3.3. Следующие утверждения эквивалентны.(1) Теорема непродолжаемости. Радиальное векторное по-

ле a(x, y) = (x, y) на граничной окружности S1 круга D2 не про-должается до ненулевого векторного поля на круге.

(2) Несминаемость круга на окружность. Не существуетотображения круга в его граничную окружность, тождествен-ного на этой окружности, т. е. отображения f : D2 → S1, длякоторого f(x) = x при x ∈ S1.

(Или, говоря неформально, барабан нельзя смять на его обод.)(3) Теорема Брауэра о неподвижной точке. Любое отоб-

ражение f : D2 → D2 круга в себя имеет неподвижную точку,т. е. такую точку x ∈D2, что f(x) = x.

В этой задаче требуется именно доказать эквивалентность, до-казывать сами утверждения не требуется. Утверждение (1) зада-чи 3.3 вытекает из задачи 3.17 (a) — см. ниже.

Два подмножества евклидова пространства называются го-меоморфными, если существуют взаимно обратные непрерывныеотображения между ними.

3.4. (a) Отрезок не гомеоморфен квадрату.(b) Теорема. Квадрат не гомеоморфен кубу.

Пункт (a) вы сможете решить прямо сейчас, а для пункта (b)нужны утверждения задач 3.3 и 4.6.

3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений 51

3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывныхотображений

Пусть на круге D2 задано семейство vt векторных полей, зави-сящее от параметра t ∈ [0, 1]. Эта зависимость называется непре-рывной, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что прилюбых x ∈D2 и s, t ∈ [0, 1], удовлетворяющих условию |s− t|< δ,выполнено неравенство |vs(x) − vt(x)| < ε. Например, семействоvt(x) := tx непрерывно зависит от параметра t, a vt(x) := {t}x—нет.

По семейству vt, t ∈ [0, 1], векторных полей можно определитьотображение V : D2 × [0, 1] → R2 формулой V (x, t) := vt(x).

3.5. Если зависимость от параметра непрерывная, то постро-енное отображение непрерывно.

Зависимость семейства vt, t ∈ [0, 1], векторных полей, задан-ных на подмножестве N ⊂ R2, называется непрерывной, если со-ответствующее отображение V : N × [0, 1] → R2 непрерывно. ДляN =D2 это определение эквивалентно вышеприведенному, а еслиN не замкнуто или не ограничено, то не эквивалентно.

3.6. Для любых двух векторных полей на плоскости существу-ет непрерывная деформация одного в другое, т. е. семейство vtвекторных полей, непрерывно зависящее от параметра t ∈ [0, 1],для которого v0 есть первое поле и v1 есть второе поле. (В отличиеот дальнейшего, векторное поле vt не предполагается ненулевым.)

Два ненулевых векторных поля называются гомотопными, ес-ли одно можно получить из другого непрерывной деформацией,в процессе которой поле остается ненулевым. Такой деформациейназывается семейство vt ненулевых векторных полей, непрерыв-но зависящее от параметра t ∈ [0, 1], для которого v0 есть первоеполе и v1 есть второе поле.

3.7. (a) Любое ненулевое векторное поле v на плоскости гомо-топно полю −v.

(b) Радиальное векторное поле на окружности гомотопно цен-тральному.


(Из задач 3.6 и 3.7 (b) видно, что при непрерывной деформа-ции векторного поля его траектории меняются разрывно.)

3.8. Любые два ненулевых векторных поля на N гомотопны,если

(a) N = 0 × [0, 1]; (b) N =D2; (c) N = 0 × R;(d) N — вся плоскость;(e) N — произвольное дерево на плоскости (см. определение

в п. 1.6).

3.9. (a) Каждое из утверждений задачи 3.3 равносильно тому,что

(∗) радиальное векторное поле на окружности S1 не гомотопнопостоянному.

(b) Ненулевое векторное поле на окружности S1 гомотопнопостоянному тогда и только тогда, когда оно продолжается накруг D2.

(c) Векторные поля v(z) := 9z3 − 2z2 + z − 1 и w(z) := z3 наокружности S1 гомотопны.

3.10. Для любых ненулевых векторных полей u, v, w на любойчасти плоскости

(a) v гомотопно v (рефлексивность);(b) если u гомотопно v, то v гомотопно u (cимметричность);(c) если u гомотопно v и v гомотопно w, то u гомотопно w

(транзитивность).

Векторное поле называется единичным, если все его векторыединичные.

3.11. (a) Любое ненулевое векторное поле гомотопно единич-ному.

(b) Два единичных векторных поля гомотопны тогда и толькотогда, когда существует семейство vt единичных векторных полей,непрерывно зависящее от параметра t ∈ [0, 1], для которого v0 естьпервое поле и v1 есть второе поле.

Единичное векторное поле на подмножестве плоскости — тоже, что непрерывное отображение из этого подмножества в окруж-

3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений 53

ность. Гомотопность отображений определяется аналогично го-мотопности векторных полей.

Два отображения f, g : N → S1 из подмножества N ⊂ R2 на-зываются гомотопными, если существует семейство ht : N → S1

отображений, непрерывно зависящее от параметра t ∈ [0, 1], длякоторого h0 = f и h1 = g. Непрерывная зависимость означаетнепрерывность соответствующего отображенияH : N × [0, 1] → S1.

Гомотопность отображений между подмножествами N ⊂ Rm

и Y ⊂ Rn определяется аналогично. Для гомотопности отображе-ний справедливы свойства, аналогичные гомотопности векторныхполей. Например, гомотопность отображений — отношение экви-валентности; любые два отображения круга в окружность гомо-топны.

3.12. Обозначим кольцо через A := {(x, y) ∈ R2 | 1 6 x2 + y2 6 2}.(a) Существует отображение r : A→ S1, тождественное на S1.(b) Любое отображение S1 → S1 продолжается до отображе-

ния A→ S1.(c) Для любых двух отображений A → S1 любая гомотопия

между их сужениями на S1 продолжается до гомотопии междуисходными отображениями.

3.13. (a) Для любого отображения f : [0, 1] → S1 любая гомо-топия отображения f |{0,1} продолжается до некоторой гомотопииотображения f .

(b) Для любого отображения f : D2 → S1 любая гомотопияотображения f |S1 продолжается до некоторой гомотопии отобра-жения f .

(c) Теорема Борсука о продолжении гомотопии. Для лю-бых подграфа A плоского графа N (см. определения в п. 1.6 и 2.4)и отображения f : N → S1 любая гомотопия отображения f |A про-должается до некоторой гомотопии отображения f .

(d) Приведите пример подмножеств A⊂N плоскости, отобра-жения f : N → S1 и гомотопии отображения f |A, не продолжаемойдо гомотопии отображения f .


3.3. Число оборотов вектора и его применения

Существует ли подмножество плоскости и негомотопные еди-ничные векторные поля на нем? Да. Например, седловое вектор-ное поле на окружности не гомотопно радиальному (а значит,и центральному). Доказательство негомотопности непросто. Длянего, и для доказательства вышеприведенных интересных теорем,необходимо следующее понятие.

Неформально говоря, степенью deg v ненулевого векторногополя v на окружности S1 называется число оборотов (против ча-совой стрелки) вектора v(x) при однократном обходе точкой xокружности S1 (против часовой стрелки).

Приведем строгое определение этого понятия. ОтображениеS1 → S1, соответствующее единичному векторному полю v, рав-номерно непрерывно. Поэтому существует целое M > 0, для кото-рого |v(x) − v(y)|< 2 при любом разбиении окружности на M рав-ных дуг и любых точек x, y одной дуги. Для k = 1, 2, . . . , M обо-значим через 2π∆k ∈ (−π, π) угол, на который нужно повернутьпротив часовой стрелки вектор v(e2πi(k−1)/M ), чтобы получитьвектор v(e2πik/M ). Более точно, ∆k ∈ (−1/2, 1/2) однозначно опре-деляется из условия

v(e2πik/M ) = v(e2πi(k−1)/M )e2πi∆k .

(Заметим, что ∆k зависят от v и M ; мы не указываем это в обо-значениях.) Определим1

deg v :=

M∑

k=1

∆k ∈ Z.

Аналогично определяется степень ненулевого векторного поля наокружности или отображения окружности в себя.

1Т. е.

deg v :=

∫ 2π

0

ds(u) := limmax(uk+1−uk)→0

{ m∑

k=1

∆k | 0 = u0 < u1 < . . . < um−1 < um =2π

},

где ∆k ∈ (−1/2, 1/2) при uk − uk−1 < 1/M однозначно определяется из усло-вия v(eiuk) = v(eiuk−1)e2πi∆k .

3.3. Число оборотов вектора и его применения 55

Нужно доказать корректность определения степени, т. е. то,что deg v действительно целое число, не зависящее от выборачисла M . Это можно доказать аналогично доказательству неза-висимости определенного интеграла от выбора последовательно-сти разбиений из его определения. Более удобный способ — зада-чи 3.15 (c, d).

3.14. (a) Найдите, хотя бы для одного M , степень стандарт-ной n-намотки wn, т. е. отображения S1 → S1 (или, что то жесамое, векторного поля на S1), заданного формулой

wn(z) = zn.

(b) Если u и v— ненулевые векторные поля на окружно-сти S1 и для любой точки z ∈ S1 векторы u(z) и v(z) симмет-ричны относительно касательной к окружности в точке z, тоdeg u+ deg v = 2.

Нам понадобится также непрерывная зависимость степени отвекторного поля (точнее, независимость от его гомотопии). Этоудобно доказать при помощи следующего обобщения определениястепени.

Поднятием (или угловой функцией) отображения s : N → S1

называется отображение s : N → R, для которого eis = s.

3.15. (a) Найдите все поднятия пути (т. е. отображения отрез-ка) s : [0, 2π] → S1, s(t) = eit.

(b) Найдите все поднятия композиции пути s из п. (a) и стан-дартной n-намотки wn.

(c) По единичному векторному полю v на окружности опреде-лим путь sv : [0, 1] → S1 формулой sv(t) = v(e2πit). Если sv — под-нятие пути sv, то deg v =

sv(1) − sv(0)

2π.

(d) Поднятие единственно, т. е. если s, s′ : [0, 1] → R — два под-нятия одного и того же пути [0, 1] → S1, причем s(0) = s′(0), тоs= s′.

3.16. (a) Лемма о поднятии пути. Любой путь s : [0, 1] → S1

имеет поднятие s : [0, 1] → R.


(a′) Для любых пути s : [0, 1] → S1 и точки x ∈ R, удовлетво-ряющих условию eix = s(0), существует поднятие s : [0, 1] → R пу-ти s, для которого s(0) = x.

(b) Лемма о поднятии гомотопии. Любое отображениеH : [0, 1]2 → S1 имеет поднятие.

(Название связано с тем, что в применениях отображение Hрассматривается в качестве гомотопии.)

(c) Степени гомотопных единичных векторных полей равны.(d) Стандартная n-намотка wn не гомотопна wm при m = n.(e) Существует отображение S1 → S1, не имеющее поднятия.3.17. (a) Ненулевое векторное поле на окружности не продол-

жается на круг, если число оборотов вектора при обходе этойокружности (точнее, степень) не равно нулю.

(b) Отображение f : S1 → S1 называется нечетным, еслиf(−x) = −f(x) для любого x ∈ S1. Степень любого нечетногоотображения S1 → S1 нечетна.

(b′) Никакое нечетное отображение S1 → S1 не продолжаетсяна круг D2.

(c) Если u и v— ненулевые векторные поля на окружности S1,причем |u(x)|> |v(x)| для любой точки x ∈ S1, то deg u= deg(u+ v).

(d) Найдите степень векторного поля v(z) := 9z3 − 2z2 + z − 1.3.18. (a) Для любого ненулевого векторного поля на кольце

степени его сужений на две граничные окружности кольца равны.(Напомним, что при определении степени используются ори-

ентации окружностей против часовой стрелки.)(b) Для любого ненулевого векторного поля на круге с дырка-

ми (рис. 30) степень его сужения на внешнюю граничную окруж-ность равна сумме степеней его сужений на внутренние граничныеокружности.

3.4. Гомотопическая классификация векторных полей

3.19. (a) Любое единичное векторное поле степени n на окруж-ности гомотопно wn.

(b) Любые два ненулевых векторных поля на окружности рав-ных степеней гомотопны.

3.4. Гомотопическая классификация векторных полей 57

Рис. 30. Круг (диск) с дырками

(c) Теорема продолжаемости. Ненулевое векторное полепродолжается с граничной окружности круга на круг тогдаи только тогда, когда число оборотов вектора при обходе этойокружности (точнее, степень) равно нулю.

Обозначим через VN (R2) множество единичных векторных по-лей на подмножестве N плоскости с точностью до гомотопностив классе единичных векторных полей (т. е. с точностью до непре-рывной деформации, в процессе которой векторное поле остаетсяединичным). «Нормировка» определяет взаимно однозначное со-ответствие между VN (R2) и множеством ненулевых векторных по-лей на N с точностью до гомотопности (задача 3.11). МножествоVN (R2) находится также во взаимно однозначном соответствиис множеством отображений N → S1 с точностью до гомотопно-сти.

3.20. Основная теорема топологии. Любое единичное век-торное поле v на окружности гомотопно стандартной deg v-на-мотке, и единичные векторные поля разных степеней на окруж-ности не гомотопны.

Любое отображение f : S1 → S1 гомотопно стандартной deg f -на-мотке, и отображения S1 → S1 разных степеней не гомотопны.

Иными словами, степень deg : VS1(R2) → Z является взаим-но однозначным соответствием, переводящим класс d-кратнойнамотки в число d.

Этот результат назван основной теоремой топологии по ана-логии с основной теоремой алгебры (из него основная теоремаалгебры и вытекает). Суть дела, конечно, лучше отражали бы на-звания «основная теорема алгебры полиномов» и «основная тео-


рема одномерной топологии», но эти названия не используются.Обобщения см. в § 8.

3.21. (a) Пусть N — несвязное объединение или букет k за-мкнутых кривых (рис. 1 в п. 1.6). Фиксируем произвольно на-правление на каждой из этих кривых. Для векторного поля vна N поставим на каждой из этих кривых степень сужения по-ля v на нее. Полученную расстановку k целых чисел обозначимdeg v. Тогда deg определяет биекцию VN (R2) → Zk.

(b) Для плоского графаN постройте биекцию VN (R2) → ZE−V+C == ZF−1. Здесь и в п. (c) используются определения из п. 1.6, 2.4;через E, V, C и F обозначаются количества ребер, вершин, ком-понент связности и граней графа.

(c) Для графаN (не обязательно плоского) постройте биекциюмежду множеством отображений N → S1 с точностью до гомотоп-ности и ZE−V+C .

3.22. Опишите VN (R2) для кругa N с n дырками (начнитес n= 0, 1).

Здесь «описать» означает построить «естественное» взаимнооднозначное соответствие между VN (R2) и некоторым «извест-ным» множеством. «Известность» множества означает как мини-мум описание количества его элементов, а как максимум — нали-чие «естественных» операций на множестве и на VN (R2), сохра-няемых соответствием.

3.23. Теорема гомотопности. Любые два единичных век-торных поля на диске D2, совпадающие на его границе, го-мотопны неподвижно на границе (т. е. гомотопны так, чтоvt(x) = v0(x) для любых x ∈ S1 и t ∈ [0, 1]).

Полем направлений на подмножестве плоскости называется се-мейство прямых l(x) в точках x, непрерывно зависящих от точ-ки x. Поля направлений связаны с лоренцевыми метриками, воз-никающими в физике [Ko01].

3.24. Определите гомотопность полей направлений и класси-фицируйте поля направлений с точностью до гомотопности наокружности в плоскости.

§ 4. Векторные поля на двумерныхповерхностях

4.1. Касательные векторные поля для сферы

Проблемы существования и классификации векторных полейи их наборов (вместе с близкой проблемой о гомотопической клас-сификации отображений) определяют лицо теории препятствий.Ее методы можно применять ко многим другим задачам (см., на-пример, другие параграфы этой книги и [Sk]).

Красивые результаты этого параграфа — теоремы о существо-вании (4.1 (b), 4.15, 4.29 (b), 4.33 (a)) и гомотопической классифи-кации (4.6 (d), 4.7 (c), 4.11 (b), 4.20) векторных полей и отображе-ний, а также теорема Борсука—Улама 4.8.

Расстоянием между касательными векторами# –

AA1 и# –

BB1

к сфере S2 в точках A, B ∈ S2 называется | # –

AB| + | # –

A1B1|. С ис-пользованием этого понятия расстояния непрерывность отобра-жения из S2 в множество всех касательных векторов к S2 опре-деляется аналогично п. 3.1.

Касательным векторным полем на подмножестве сферы S2

называется семейство касательных к ней векторов v(x) в его точ-ках x, непрерывно зависящих от точки x.

Рис. 33. Касательные векторные поля на сфере

4.2. Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы 65

4.1. (a) Постройте касательное векторное поле на сфере S2,у которого вектор нулевой только в одной точке.

(b) Теорема о еже. На стандарной сфере не существуетненулевого касательного векторного поля.

Два ненулевых касательных векторных поля называются го-мотопными, если одно можно получить из другого непрерывнойдеформацией, в процессе которой векторное поле остается ненуле-вым и касательным. Такой деформацией называется семейство vtненулевых касательных векторных полей, непрерывно зависящееот параметра t ∈ [0, 1], для которого v0 есть первое поле и v1 естьвторое поле.

4.2. Любые два ненулевых касательных векторных поля наверхней полусфереD2

+ := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1, x> 0} гомотопны.

Понятие касательного векторного поля на поверхностях вво-дится дословно аналогично случаю сферы. Гомотопность еди-ничных касательных векторных полей на поверхности определя-ется дословно так же, как и на сфере. Для приложений важноуметь описывать множество V (N) единичных касательных век-торных полей с точностью до гомотопности на поверхности N .Встречаются и более сложно формулируемые проблемы, для ре-шения которых полезно сначала научиться описывать множествоV (N). Здесь и далее по поводу слова «опишите» см. замечаниепосле задачи 3.22.

4.3. Опишите V (N) для(a) сферического слоя

{(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1,−1

26 z 6 1

2

};

(b) боковой поверхности цилиндра.

4.2. Нормальные векторные поля и гомотопии длясферы

Единичным нормальным векторным полем на окружностиS1 ⊂ R2 ⊂ R3 в трехмерном пространстве называется семействонормальных к ней (т. е. к касательной прямой к S1) единичных

66 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностях

векторов v(x) в точках x окружности, непрерывно зависящих отточки x ∈ S1.

Понятие гомотопности единичных нормальных векторныхполей вводится дословно так же, как и для единичных касатель-ных векторных полей.

Будем называть единичное нормальное векторное поле простонормальным полем.

4.4. (a) Постройте нормальное поле на окружности S1.(b) Постройте нормальное поле на окружности S1, не гомо-

топное уже построенному.(c) Опишите нормальные поля на окружности S1 с точностью

до гомотопности.

Далее в этом параграфе можно либо считать, что m= 4 (дажедля этого случая приводимые факты интересны), либо пропус-кать тот материал, в котором упоминается пространство Rm (ли-бо воспринимать задачи буквально, если вы не боитесь работатьс пространством Rm). Так как Rm = R2 × Rm−2 ⊃ R2 × 0, можнорассматривать S1 как подмножество в Rm приm> 2. Нормальныеполя на S1 ⊂ Rm определяются аналогично.

4.5. Любые два нормальных поля на S1 ⊂ Rm гомотопны приm> 4.

Доказывать это удобнее всего на другом языке.

4.6. (a) Постройте взаимно однозначное соответствие междуклассами гомотопности нормальных векторных полей на S1 ⊂ R4

и классами гомотопности отображений S1 → S2.(b) Любое отображение S1 → S2, образ которого не совпадает

с S2, гомотопно отображению в точку.(c) Любое отображение S1 → S2 гомотопно кусочно линейному

(определите, что это такое, ср. §8.1) или гладкому (определите,что это такое).

(d) Теорема. Любое отображение S1 → S2 гомотопно отоб-ражению в точку.

Единичным нормальным векторным полем на сфере S2 ⊂ R3

называется семейство единичных нормальных к ней (т. е. к каса-

4.3. Векторные поля и гомотопии для тора 67

тельной плоскости к S2) векторов v(x) в точках x ∈ S2, непрерыв-но зависящих от точки x ∈ S2. Пример: v(x) := x. Нормальныеполя на сфере S2 ⊂ Rm определяются аналогично.

4.7. (a) Постройте взаимно однозначное соответствие междуклассами гомотопности нормальных векторных полей на S2 ⊂ R4

и классами гомотопности отображений S2 → S1.(b) Любое отображение S2 → S1 продолжается на трехмерный

шар.(c) Теорема. Любое отображение S2 → S1 гомотопно отоб-

ражению в точку.(d) Любые два нормальных поля на сфере в R4 гомотопны.

Каждое из эквивалентных утверждений следующей задачи 4.8является маломерным случаем теоремы Борсука—Улама. Отоб-ражение f : S2 → S1 называется эквивариантным (или нечет-ным), если f(−x) = −f(x) для любого x ∈ S2.

4.8. (a) Для любого отображения f : S2 → R2 существуеттакое x ∈ S2, что f(x) = f(−x) (т. е. в любой момент временина Земле найдутся диаметрально противоположные точки, в ко-торых температура и давление совпадают).

(b) Не существует эквивариантного отображения S2 → S1.(c) Если сфера S2 является объединением трех замкнутых

множеств, то одно из них содержит диаметрально противопо-ложные точки.

4.9. Для любых трех выпуклых многогранников в простран-стве существует плоскость, делящая каждый из них на две частиравных объемов.

4.3. Векторные поля и гомотопии для тора

Будем называть единичное касательное векторное поле про-сто полем (кроме п. 4.7).

Примеры полей на торе — «параллельное» и «меридиональ-ное» (см. рис. 34).

4.10. (a) «Параллельное» поле на торе гомотопно «меридио-нальному».


Рис. 34. «Параллельное» и «меридиональное» касательныевекторные поля на торе

(b) Любое поле v на на торе гомотопно полю −v.(c, d) Сформулируйте и докажите аналог задачи 3.11 для тора.(e) Приведите пример двух негомотопных полей на торе.

Доказать негомотопность полей на торе хочется при помощичисла Dp(v) оборотов вектора поля v при обходе по параллели то-ра (т. е. по окружности z2 + x2 = 9, y = 0). Но количество оборотоввектора поля при обходе по замкнутой кривой в пространстве неопределено. Поэтому для определения числа Dp(v) нужно непре-рывно отождествить касательные плоскости в разных точках то-ра (подумайте, что это значит и как это сделать). Вместо этогопредставим поле на торе в виде склейки единичного векторногополя на квадрате, лежащем в плоскости. Точнее, воспользуемсябез доказательства наличием взаимно однозначного соответствиямежду V (T 2) и множеством таких полей на квадрате [0, 1]2 ⊂ R2,что v(x, 0) = v(x, 1) и v(0, x) = v(1, x) для любого x с точностьюдо гомотопии в классе таких полей. Для такого поля на квадратеопределим Dp(v) как число оборотов вектора поля v при обходепо отрезку [0, 1] × 0 (см. п. 3.3).

Наличием такого соответствия (и аналогичного соответствиядля других поверхностей) можно и далее пользоваться без дока-зательства. (Заметим, что в [Pr15, § 7] оно используется даже безявной формулировки.) Ср. с решениями задач 4.1 (b), 4.2 и 4.3.

Аналогично определяется число Dm(v) оборотов вектора поляпри обходе по меридиану тора (меридиан — окружность (x− 2)2 + y2 = 1,z = 0, ср. с рис. 34). Аналогичное число можно получить, взявдругую замкнутую кривую на торе.

4.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей 69

4.11. (a) Обозначим через T 20 тор с дыркой, т. е. пересечение

тора T 2 с полупространством x6 5/2. ОтображениеDp ×Dm : V (T 20 ) → Z × Z,

определенное формулой Dp × Dm(v) := (Dp(v), Dm(v)), являетсявзаимно однозначным соответствием.

(b) Теорема классификации векторных полей на торе.ОтображениеDp × Dm : V (T 2) → Z × Z является взаимно однозначным соот-ветствием.

(c) Если на торе с дыркой заданы два поля, то их сужения накраевую окружность этой дырки гомотопны.

4.12. (a) Опишите множество нормальных полей на тореT 2 ⊂ R4 с точностью до гомотопности.

(b) Опишите множество отображений T 2 → S1 с точностью догомотопности.

Полем направлений на поверхности называется семейство ка-сательных к ней прямых l(x) в точках x, непрерывно зависящихот точки x. (Определите непрерывность сами.) По поводу связис лоренцевыми метриками см., например, [Ko01]. Гомотопностьполей направлений определяется аналогично гомотопности полей.

4.13. Классифицируйте поля направлений на торе с точно-стью до гомотопности.

4.4. Векторные поля и гомотопии для другихповерхностей

В каждой точке сферы с ручками Sg имеется касательнаяплоскость.

4.14. (a) На Sg,0 (см. п. 1.7) существует поле.(b) Опишите V (Sg,0).(c) Сужения любых двух полей на Sg,0 на краевую окружность

дырки гомотопны.

Для решения этой задачи полезно «изображение» сферы с руч-ками Sg,0 в виде диска с неперекрученными ленточками (см. п. 2.7,аналогично рис. 13, 15). Или можно представить поле на Sg,0 в ви-де склейки поля на плоском 8g-угольнике.


4.15. Теорема Эйлера—Пуанкаре (частный случай). Сре-ди сфер с ручками только тор имеет ненулевое касательное век-торное поле.

4.16. Подмножество A⊂X ⊂ Rm называется ретрактом мно-жества X, если существует отображение X → A, тождественноена A.

(a) Теорема Хопфа. Замкнутая гладкая кривая S ⊂ Sgв сфере с ручками Sg является ее ретрактом тогда и толькотогда, когда Sg − S связно.

(b)* При каком условии замкнутая гладкая кривая в дискес ленточками является его ретрактом?

(c) RP 2 не ретрагируется на RP 1.Диск с ленточками определен в п. 2.7; это то же, что сфера

с ручками, пленками Мёбиуса и хотя бы одной дыркой (см. п. 5.6),или связное 2-многообразие с непустым краем (см. п. 4.5).

4.17. (a) Опишите множество отображений Sg → S1 с точно-стью до гомотопности.

(b) Опишите множество нормальных полей на Sg ⊂ R4 с точ-ностью до гомотопности.

4.18. (a) Опишите множество отображений диска с n ленточ-ками в S1 с точностью до гомотопности.

(b) Любое отображение диска с ленточками в S2 гомотопноотображению в точку.

4.19. (a) Постройте поле на ленте Мёбиуса.(b) Гомотопно ли построенное вами поле v полю −v?(c) Верно ли, что сужения на краевую окружность ленты Мё-

биуса M любых двух полей на M гомотопны?Для решения этой задачи представьте поле на ленте Мёбиуса

в виде склейки единичного векторного поля на квадрате, лежа-щем в плоскости. Точнее, воспользуйтесь без доказательства на-личием взаимно однозначного соответствия между V (M) и мно-жеством таких полей на квадрате [0, 1]2 ⊂ R2, что для любого yвектор v(0, y) получен из вектора v(1, 1 − y) симметрией относи-тельно оси Ox (с точностью до гомотопии в классе таких полей).

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия 71

4.20. Теорема классификации векторных полей на лен-те Мёбиуса. Существует ровно два класса гомотопности еди-ничных касательных векторных полей на ленте Мёбиуса.

4.21. (a) Постройте нормальное поле на стандартной лентеМёбиуса M , рассматриваемой как подмножество в R4.

(b) Опишите множество нормальных полей на M ⊂ R4 с точ-ностью до гомотопности.

4.22. (a) На бутылке Клейна K существует поле.(b) Опишите V (K).(c, d*) То же, что в задаче 4.21, для стандартной бутылки

Клейна в R4.(e)* Любое отображение RP 2 → S1 гомотопно отображению

в точку.

Для решения пунктов (a, b) этой задачи представьте поле набутылке Клейна в виде склейки единичного векторного поля наквадрате, лежащем в плоскости. Точнее, воспользуйтесь без до-казательства наличием взаимно однозначного соответствия меж-ду V (K) и множеством таких единичных векторных полей наквадрате [0, 1]2 ⊂ R2, что для любого x выполняется равенствоv(x, 0) = v(x, 1) и v(0, x) получен из v(1, 1 − x) симметрией отно-сительно оси Ox (с точностью до гомотопии в классе таких полей).

4.23. (a) Если на поверхности существует поле, то существуети поле направлений.

(b) Обратное тоже верно (даже для многомерных подмногооб-разий, определяемых аналогично п. 4.5).

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия

Обозначим I := [0, 1]. Гладкой регулярной параметризованнойдвумерной поверхностью называется бесконечно дифференциру-емое отображение r : I2 → Rm (т. е. упорядоченный набор m отоб-ражений x1, x2, . . . , xm : I2 → R), для которого частные производ-ные не равны одновременно нулю; в точках границы одна или обечастные производные берутся односторонними. (Или, более уче-но, производная которого невырождена в любой точке.)


Двумерным гладким подмногообразием в Rm называется под-множество N ⊂ Rm, для любой точки x ∈N которого существуеттакая ее замкнутая окрестность Ox в Rm, что N ∩ Ox являетсяобразом r(I2) некоторой инъективной гладкой регулярной пара-метризованной двумерной поверхности r : I2 → Rm. Двумерныегладкие подмногообразия мы будем коротко называть 2-многооб-разиями или 2-поверхностями.

4.24. Следующие подмножества в R3 (определения и рисункисм. в п. 1.7) являются 2-многообразиями в R3:

(a) D2 ⊂ R2 ⊂ R3; (b) боковая поверхность цилиндра;(c) сфера; (d) тор; (e) лента Мёбиуса;(f) прообраз нуля при бесконечно дифференцируемой функ-

ции f : R3 → R, производная (т. е. градиент) которой ненулеваяв каждой точке.

4.25. Следующие подмножества в R4 являются 2-многообра-зиями в R4:

(a) любое 2-многообразие в R3 (если рассматривать R3 какподмножество в R4);

(b) бутылка Клейна; (c) проективная плоскость RP 2.

4.26. Не являются 2-многообразиями ни объединение двух(или трех) координатных плоскостей в R3, ни конус z2 = x2 + y2

в R3.

Касательной плоскостью TPN = TP к 2-многообразию N

в точке P называется плоскость, содержащая векторы ∂r

∂a(u, v),

∂r

∂b(u, v)

для некоторого отображения r : I2 → Rm из определения 2-много-образия, для которого r(u, v) = P (или, более учено, образ плос-кости R2 при производной в точке (u, v) отображения r; произ-водная — отображение, у него есть образ).

4.27. Это определение корректно, т. е. не зависит от выбораотображения r.

Теперь касательные и нормальные векторные поля на 2-много-образиях, обычные и единичные, определяются аналогично п. 4.1.

Подмногообразие в Rm называется связным, если любые двеего точки можно соединить лежащим в нем путем. (Это свой-

4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия 73

ство называют линейной связностью, но для подмногообразийоно равносильно связности.)

4.28. Опишите единичные нормальные поля с точностью догомотопности для заузленной гладкой замкнутой кривой в R3

(т. е. на линейно связном замкнутом 1-подмногообразии в R3;определение аналогично вышеприведенному; см. замечание послезадачи 3.22).

Множество всех тех точек x 2-многообразия N , для которыхсуществуют такие Ox ⊂ Rm и r : I2 → Rm из определения 2-мно-гообразия, что x ∈ r((0, 1)2), называется внутренностью IntN2-многообразия N . Если N компактно (т. е. замкнуто в общетопо-логическом смысле и ограничено [Pr14, § 4]) и IntN =N , то N на-зывается замкнутым (в смысле многообразий). Краем 2-многооб-разия N называется ∂N :=N − IntN .

Примеры замкнутых 2-многообразий: сфера, тор и сфера с gручками в R3, а также бутылка Клейна в R4.

Примеры 2-многообразий с непустым краем: кольцо, цилиндр,лента Мёбиуса, тор с дыркой.

Примеры некомпактных 2-многообразий без края: плоскость,внутренность 2-многообразия с непустым краем.

4.29. (a) На любом связном 2-многообразии с непустым краемсуществует ненулевое касательное векторное поле.

(b) Теорема Эйлера—Пуанкаре. На замкнутом связном2-многообразии имеется ненулевое касательное векторное полетогда и только тогда, когда эйлерова характеристика этого2-многообразия нулевая.

Определим эйлерову характеристику 2-многообразия.Для плоского выпуклого многоугольника ∆ гладкая регуляр-

ная параметризованная двумерная поверхность r : ∆ → Rm опре-деляется аналогично вышеприведенному определению с заменойI2 на ∆ и — в точках границы ∂∆ — частных производных на про-изводные по двум неколлинеарным направлениям. Если r инъек-тивно, то образ r(∆) называется криволинейным многоугольникомили гранью. Образы вершин и ребер многоугольника ∆ называ-ются вершинами и ребрами грани. Разбиением 2-многообразия на


многоугольники называется такой набор граней, что его объедине-ние есть данное 2-многообразие и любые две грани пересекаютсялибо по пустому множеству, либо по вершине, либо по ребру.

Теорема о триангулируемости. [MS74, теорема 10.6 из до-полнения; Pr14, 17.2] Для любого 2-многообразия и любого чис-ла ε > 0 существует такое разбиение 2-многообразия на много-угольники, что расстояние между любыми двумя точками лю-бой одной грани меньше ε.

Эйлеровой характеристикой разбиения T 2-многообразия Nна многоугольники называется число χ(T ) := V − E + F , гдеV, E, F — количества вершин, ребер и граней. Эйлеровой харак-теристикой χ(N) 2-многообразия N называется эйлерова ха-рактеристика произвольного его разбиения на многоугольники.Это определение корректно ввиду п. (a) теоремы на с. 97 и за-дач 5.6 (c), 5.13. Важно, что существуют простые способы вычис-лять эйлерову характеристику (см. п. 5.4). (Триангуляцией 2-мно-гообразия называется его разбиение на многоугольники, каждыйиз которых является треугольником. При определении можно бы-ло бы обойтись триангуляциями, но разбиения на многоугольникипонадобятся уже в п. 4.7.)

Теорема Эйлера—Пуанкаре доказана в следующих двух пунк-тах. Мы приводим два независимых (но по сути эквивалентных)доказательства. Первое более простое, но использует общее поло-жение (те, кто не владеют этой техникой, могут считать это дока-зательство эвристическим рассуждением). Второе доказательствоэлементарно, но более громоздко (поскольку фактически повто-ряет технические доказательства свойств общего положения).

Далее, если не оговорено противное, все многообразия счита-ются компактными.

Замечание (не используемое в дальнейшем). Взаимно одно-значное соответствие f : N → M между замкнутыми 2-многооб-разиями N ⊂ Rn и M ⊂ Rm называется диффеоморфизмом, ес-ли для любой точки x ∈ N найдутся окрестности Ox ⊂ Rn точ-ки x и Of(x) ⊂ Rm точки f(x), а также отображения r : I2 → Rn

и q : I2 → Rm из определения замкнутого 2-многообразия, для

4.6. Касательные векторные поля общего положения 75

которых fr = q. Замкнутые 2-многообразия N ⊂ Rn и M ⊂ Rm

называются диффеоморфными, если существует диффеоморфизмf : N → M . Соответствие между классами диффеоморфности2-многообразий и классами кусочно линейной гомеоморфностикусочно линейных 2-многообразий (см. п. 5.2), определяемое три-ангулируемостью, корректно определено и взаимно однознач-но. Поэтому и по кусочно линейной теореме классификации(см. п. 5.6) эйлерова характеристика замкнутого 2-многообразиянулевая тогда и только тогда, когда это 2-многообразие диффео-морфно тору или бутылке Клейна. Впрочем, проверять эту диф-феоморфность проще всего именно при помощи подсчета эйле-ровой характеристики. Теорема Эйлера—Пуанкаре для ориенти-руемых 2-многообразий (см. п. 4.8) вытекает из их классифика-ции, увлекаемости векторных полей диффеоморфизмами и част-ного случая этой теоремы для стандартных сфер с ручками (за-дача 4.15). Красивая идея доказательства этого частного случаяприведена в [Pr15, § 7]. Я не знаю полной реализации этой идеи,которая была бы проще общего доказательства.

4.6. Касательные векторные поля общего положения

Не существует одной теоремы или одного определения, фор-мализующего идею общего положения. Для каждого конкрет-ного доказательства формальное определение общего положе-ния выбирается по-своему — так, чтобы доказательство получи-лось. Подробнее см. [Ru73, 1.6.D], [RS72]. (Впрочем, в тех книгахв основном рассматривается кусочно линейное общее положение,а в этой — гладкое.)

В этом пункте v— касательное векторное поле на 2-многооб-разии N .

Окрестность произвольной точки x ∈ N в N назовем малой,если ортогональная проекция на касательную плоскость Tx пере-водит ненулевые касательные векторы в ненулевые. Эта проекцияпереводит поле v на окрестности в касательное векторное поле vxна части τx касательной плоскости Tx. Ясно, что любая точкаx ∈N имеет малую окрестность.


Поле v называется гладким, если для любой точки x ∈N суще-ствует такая ее малая окрестность, что поле vx, т. е. отображениеτx → Tx, бесконечно дифференцируемо.

Напомним, что производная отображения τx → Tx в точкеy ∈ τx является линейным оператором Tx → Tx; она представля-ется 2 × 2-матрицей в базисе в Tx.

Гладкое касательное векторное поле v называется полем обще-го положения, если для любой такой точки x, что v(x) = 0, и еемалой окрестности производная отображения τx → Tx невырож-дена в любой точке y ∈ τx.

Ясно, что ненулевое постоянное векторное поле на плоскостиявляется полем общего положения на плоскости, а нулевое посто-янное — не является. Другие нарисованные примеры касательныхвекторных полей (рис. 5 справа и др.) являются полями общегоположения. Полями общего положения являются

• ненулевое касательное векторное поле (если оно существует);• непостоянные векторные поля на рис. 29, см. также рис. 35, 36.

Определение числа Эйлера e(N). Возьмем на N поле общегоположения. Существование такого поля доказано (на более слож-ном языке) в [DNF79, Ч. II, § 13], [Pr14, V]. Из общности положе-ния вытекает конечность числа нулей поля. Числом Эйлера e(N)называется сумма знаков определителей производной в нулях по-ля. (Для определения знака нужна ориентация в Tx, но при обра-щении ориентации получается такой же знак.)

Рис. 35. Построение поля общего положения по разбиениюна многоугольники

4.6. Касательные векторные поля общего положения 77

Рис. 36. Векторное поле в окрестности вершины, особыхточек внутри грани и на ребре

Набросок доказательства корректности определения числаЭйлера, т. е. независимости от выбора поля общего положения.Обоснование утверждений, приведенных в этом наброске без до-казательства, можно найти, например, в [DNF79, Ч. II, § 13], [Pr14,18.1]. Существует гладкая гомотопия общего положения междудвумя полями v и v′ общего положения на N . Ее можно представ-лять себе как касательное векторное поле общего положения наN × I ⊂ Rm × I, векторы которого параллельны гиперплоскостиR3 × 0. Гладкость определяется аналогично предыдущему. Про-изводная в точке является линейным оператором τx × R → Tx; онпредставляется 3 × 2-матрицей. Общность положения означает,что в любой точке, в которой вектор нулевой, производная поляимеет ранг 2. Из общности положения (и подразумеваемой всюдукомпактности) вытекает, что множество нулей является несвяз-ным объединением замкнутых и незамкнутых кривых. На нихможно ввести ориентацию (подумайте как). Если одна из этихнезамкнутых кривых соединяет разные основания N × 0 и N × 1,то в соответствующих нулях полей v и v′ определители произ-водных имеют одинаковый знак, а если одинаковые, то разный.Поэтому e(v) = e(v′).

В двух примерах на с. 76 e(N) = 0 и e(N) = E − V + F = χ(N)соответственно. Первое очевидно, поясним второе. Знаки опре-делителей производной в нулях касательных векторных полей нарис. 36 равны +1, +1 и −1 соответственно. Можно рассмотреть но-вую достаточно мелкую триангуляцию, для которой особые точки


изображенного на рис. 35 векторного поля лежат внутри ее гра-ней. (Кроме того, из рис. 5 (b) видно, что e(Sg) = 2 − 2g.)

Отсюда следует необходимость в теореме Эйлера—Пуанка-ре 4.29 (b). Для доказательства достаточности нужно при e(N) = 0получить ненулевое касательное векторное поле из касательноговекторного поля общего положения «сокращением» точек разныхзнаков. Это делается аналогично [Pr14, § 18.3].

4.7. Построение касательных векторных полей потриангуляции

Приведем определение числа Эйлера через триангуляции и со-ответствующее доказательство теоремы Эйлера—Пуанкаре 4.29 (b).Оно похоже на [BE82, § 14], ср. [Pr14, § 18]. Его идея в том, чтобысначала построить ненулевое касательное векторное поле на вер-шинах некоторой триангуляции, затем продолжить его на ребраи потом продолжить его на грани1. Аналогичная идея работа-ет для нормальных векторных полей на 2-многообразиях (п. 4.8)и многомерных многообразий (п. 8.3). При развитии этой идеичисловой инвариант обобщается до групповых, см. п. 4.9, 5.7,6.1—6.4 (рассматриваемая в этих пунктах проблема в чем-то дажепроще проблем о векторных полях), 7.3, 8.3, 8.6, 9.3, 11.2.

Замечание. Роль теории препятствий состоит в сведении то-пологических задач на произвольном многообразии к похожимзадачам для простейших, модельных многообразий. Важно, чтодля применения теории препятствий можно воспользоваться ре-зультатом решения этих простейших задач, не вникая в егодоказательство. Указанные простейшие задачи могут решаться,в частности, средствами теории препятствий. Мы будем исполь-зовать понятие количества оборотов (п. 3.3) и теорему продолжа-емости 3.19 (c).

1Эта идея реализуется с использованием определенного ниже двойствен-ного разбиения на многоугольники. Можно было бы реализовать ее и дляисходного разбиения, но тогда возникающие объекты будут менее естествен-ны — см. определение границы в этом пункте и правило Кирхгофа в п. 4.9.

4.7. Построение касательных векторных полей по триангуляции 79

Определение двойственного разбиения на многоугольники дляразбиения U на многоугольники некоторого 2-многообразия (рис. 37).Выберем внутри каждой грани разбиения U точку. Обозначим по-U

U∗U∗0Рис. 37. Двойственное разбиение на многоугольники

лученное множество точек через U∗0 . Для каждого ребра a разбие-

ния U соединим кривой a∗ точки множества U∗0 , соответствующие

соседним вдоль ребра a граням. Сделаем это так, чтобы разныекривые пересекались (если вообще пересекались) только по об-щим концам. Кривая a∗ называется двойственным ребром к a.Объединение кривых a∗ разбивает 2-многообразие на многоуголь-ники. Получится разбиение 2-многообразия на многоугольники.Это разбиение называется двойственным к U и обозначается U∗.

Для сферы следующие рассуждения иллюстрируются рисун-ком 38. �1�2

Рис. 38. Векторное поле на объединении ребер разбиенияна многоугольники


Начало доказательства теоремы Эйлера—Пуанкаре 4.29 (b).Возьмем некоторое разбиение U 2-многообразияN на многоуголь-ники. Обозначим через U∗ двойственное разбиение. Выберем Uнастолько мелким, чтобы касательные плоскости в любых двухточках любой грани разбиения U∗ не были ортогональны.

В этом пункте слово «поле» означает «ненулевое касательноевекторное поле». Очевидно, что можно построить поле на U∗

0 . Яс-но, что это поле единственно (с точностью до гомотопии в классеполей на U∗

0 ). Поэтому и ввиду аналога для векторных полей тео-ремы Борсука о продолжении гомотопии 3.13 (c) существованиеполя на N равносильно продолжаемости построенного поля с U∗

0

на N .

Построение препятствующей расстановки. Возьмем произ-вольное ребро a разбиения U∗. Ввиду мелкости разбиения U орто-гональная проекция касательной плоскости в произвольной точкеэтого ребра на касательную плоскость Ta в некоторой фиксиро-ванной точке этого ребра переводит ненулевые векторы в ненуле-вые. Значит, касательные плоскости в разных точках этого ребраможно отождествить с одной плоскостью Ta. Если на плоскостилежит отрезок и в его концах заданы ненулевые векторы (лежа-щие в плоскости), то это поле из двух векторов можно продол-жить до поля на всем отрезке. Поэтому построенное на U∗

0 полеможно продолжить на объединение U∗

1 ребер двойственного раз-биения, см. рис. 38. Заметим, что такое продолжение неоднознач-но даже с точностью до гомотопии в классе полей на U∗

1 . Обозна-чим полученное на U∗

1 поле через v.Попробуем теперь продолжить поле v с U∗

1 на все N . Возь-мем произвольную грань ∆ разбиения U∗. Ввиду мелкости разби-ения U ортогональная проекция касательной плоскости в произ-вольной точке этой грани на касательную плоскость T∆ в некото-рой фиксированной точке этой грани переводит ненулевые векто-ры в ненулевые.

Возьмем ориентацию грани ∆, т. е. направление на замкнутойкривой ∂∆. Оно дает ориентацию на T∆. При обходе этой замкну-той кривой ∂∆ вдоль взятого направления ортогональная проек-

4.7. Построение касательных векторных полей по триангуляции 81

ция вектора поля v на T∆ повернется на некоторое целое числооборотов (п. 3.3). Ясно, что полученное число оборотов не зависитот ориентации грани ∆. Поставим это число в вершину ∆∗ исход-ного разбиения U , лежащую в грани ∆. (Например, для случая нарис. 38 в обоих вершинах будут стоять единицы. Придумайте, какпридать смысл этому утверждению, несмотря на то что для этогоразбиения не выполнено условие неортогональности касательныхплоскостей из начала доказательства.) Полученная расстановкацелых чисел в вершинах разбиения U называется препятствую-щей и обозначается ε(v). По теореме о продолжаемости 3.19 (c)

продолжение поля v с U∗1 на N возможно тогда и только

тогда, когда ε(v) = 0.

Определение различающей расстановки d(u, v). Если ε(v) = 0,то поле v не продолжается на N , но еще не все потеряно: можнопопытаться так изменить поле v на U∗

1 , чтобы препятствующаярасстановка стала нулевой. Для этого выясним, как ε(v) зависитот v.

Различие между полями v и u на U∗1 , совпадающими на U∗

0 ,можно измерять (и задавать) так. Возьмем направленное реб-ро a разбиения U . Выберем также ориентацию на объединениидвух граней разбиения U , в которых лежит a. Возьмем такое на-правленное ребро a∗ разбиения U∗, пересекающее ребро a ровнов одной точке, что «базис (a, a∗)» положительный в точке a ∩ a∗.Пусть точка x движется по ребру a∗ вдоль направления, а потомобратно. При движении «туда» будем рассматривать вектор u(x),а при движении «обратно» — вектор v(x). Поставим на направлен-ном ребре a разбиения U число оборотов ортогональной проекциирассматриваемого вектора на Ta∩a∗ при этом движении. (Напри-мер, для поля u на рис. 39 и поля v, направленного вертикальновверх, на ребре, направленном вправо, стоит −1.) Полученнуюрасстановку целых чисел на направленных ребрах разбиения Uназовем различающей и обозначим d(v, u).

При изменении ориентации на объединении двух граней раз-биения U , в которых лежит a, меняются и направление ребра a∗,и положительное направление отсчитываемых оборотов. Поэтому

82 § 4. Векторные поля на двумерных поверхностяхa∗u(x)Рис. 39. Подкручивание векторного поля, направленноговверх, на один оборот

число на ребре a не зависит от выбора ориентации. А вот призамене направления на ребре a∗ это число меняет знак.

Изменение препятствующей расстановки и определение гра-ницы ребра. При изменении поля на ребре a∗ «на +1 оборот»(рис. 39) к ε(v) прибавляется расстановка +1 в начале ребра aи −1 в его конце (и 0 на всех остальных вершинах). Эта расста-новка называется границей ребра a и обозначается ∂a. Нетруднопроверить, что если

d(v, v′) = n1a1 + . . .+ nsas,

тоε(v) − ε(v′) = n1∂a1 + . . .+ ns∂as.

Завершение доказательства. Из последней формулы вытека-ет, что сумма чисел препятствующей расстановки не зависит от v.Из рис. 35 видно, что эта сумма равна χ(N), см. пояснение в концеп. 4.6.

Приведем другое завершение доказательства. Оно длиннеепредыдущего, но является иллюстрацией общего подхода теориипрепятствий.

Определение группы H0(U ; Z), класса e(U) и другое заверше-ние доказательства. Назовем границей сумму с целыми коэф-фициентами n1∂a1 + . . .+ ns∂as границ нескольких ребер разби-ения U . Назовем расстановки ε1 и ε2 целых чисел в вершинахгомологичными, если ε1 − ε2 есть граница. Ясно, что

(i) при изменении поля v на U∗1 препятствующая расстановка

ε(v) заменяется на гомологичную расстановку;(ii) если ε(v) является границей, то можно так изменить v на v′

(на U∗1 , не меняя на U∗

0 ), чтобы получилось ε(v′) = 0;

4.8. Нормальные векторные поля для двумерных поверхностей 83

(iii) гомологичность является отношением эквивалентности намножестве расстановок.

(Для доказательства утверждения (ii) заметим, что если ε(v) == n1∂a1 + . . .+ ns∂as, то можно взять поле v′ на U∗

1 , для которогоd(v, v′) = n1a1 + . . .+ nsas, тогда получим ε(v′) = 0.)

Нульмерной группой гомологий H0(U ; Z) разбиения U (с ко-эффициентами Z) называется группа расстановок целых чиселв вершинах с точностью до гомологичности.

Классом Эйлера разбиения U называется класс гомологично-сти препятствующего цикла:

e(U) := [ε(v)] ∈H0(U ; Z).

Это определение корректно ввиду утверждения (i).Теперь теорема Эйлера—Пуанкаре вытекает из утверждений

(i) и (ii) вместе с нижеследующей задачей 4.30 (b).4.30. Возьмем произвольное разбиение U на многоугольники

замкнутого связного 2-многообразия N .(a) Определите группу H0(U ; Z) независимо от рассуждений,

в которых она появилась.(b) Существует изоморфизм H0(U ; Z) ∼= Z, при котором e(U)

переходит в χ(U) = χ(N).

4.8. Нормальные векторные поля для двумерныхповерхностей

2-многообразиеN называется ориентируемым, если существу-ет семейство ориентаций касательных плоскостей к N в точкахx ∈N , непрерывно зависящих от точки x ∈N .

4.31. (a) Любое ориентируемое 2-многообразие в R3 имеетнормальное поле.

(b) Никакое неориентируемое 2-многообразие в R3 не имеетнормального поля.

(c) Если ориентируемое 2-многообразие в R4 имеет нормальноеполе, то оно имеет пару линейно независимых нормальных полей.

(d) Верно ли утверждение п. (c) без предположения ориенти-руемости?


4.32. Любое 2-многообразие с непустым краем в R4 имеет нор-мальное поле.

4.33. (a) Теорема о нормальных полях. Любое ориенти-руемое 2-многообразие в Rm имеет нормальное поле.

(b) Никакое замкнутое 2-многообразие нечетной эйлеровой ха-рактеристики в R4 не имеет нормального поля.

(c) Существует 2-многообразие четной эйлеровой характери-стики в R4, не имеющее нормального поля.

(d) Существуют два замкнутых неориентируемых 2-многооб-разия в R4 одинаковой эйлеровой характеристики (т. е. диффео-морфных), одно из которых имеет нормальное поле, а другое —нет.

Вряд ли у вас получится решить эту задачу без решения сле-дующих!

4.34. Пусть N ⊂ R4 — замкнутое связное 2-многообразие.(a) Определите нормальное число Эйлера e(N) ∈ Z как препят-

ствие к существованию нормального поля.Указание. Можно действовать как в п. 4.6 или п. 4.7, заменяя

касательные поля на нормальные. Корректность этого определе-ния также доказывается аналогично случаю касательных вектор-ных полей.

(b) Препятствие из п. (a) полно, т. е. если e(N) = 0, то на Nсуществует нормальное поле.

(c) Пусть f : N → R4 — гладкое вложение (см. определениев п. 12.1), близкое к включению и в общем положении с N ,т. е. N ∩ f(N) есть конечное число точек, в каждой из которыхкасательные плоскости к N и к f(N) порождают все R4. Фикси-руем ориентацию на N и в R4. Для каждой из точек пересечениявозьмем положительные базисы e1, e2 и e′1, e′2 в касательных плос-костях к N и к f(N). Если e1, e2, e

′1, e

′2 — положительный базис

пространства R4, то назовем точку пересечения положительной,иначе отрицательной.

Докажите, что сумма знаков точек пересечения равна e(N).(d) Число e(N) четно.(e) Если N ориентируемо, то e(N) = 0.

§ 5. Двумерные многообразия

5.1. Гомеоморфность графов

Графы G1 и G2 называются изоморфными, если существуетвзаимно однозначное отображение f множества V1 вершин гра-фа G1 на множество V2 вершин графа G2, удовлетворяющее сле-дующему условию: вершины A, B ∈ V1 соединены ребром в томи только в том случае, если вершины f(A), f(B) ∈ V2 соединеныребром.

Неформально говоря, телом |G| графа G называется фигу-ра, получающаяся из конечного числа отрезков отождествлениемнекоторых их концов в соответствии с графом G. Формально телоопределяется, например, в [Sk, п. «Графы и их планарность»].

Рис. 42. Подразделение ребра

Операция подразделения ребра графа показана на рис. 42. Дваграфа называются гомеоморфными, если один можно получитьиз другого операциями подразделения ребра и обратными к ним.Или, что эквивалентно, если существует граф, который можно по-лучить из каждого из данных графов операциями подразделенияребра.

Определение гомеоморфности подмножеств евклидова про-странства приведено в п. 3.1. Оказывается, графы G1 и G2 гомео-морфны тогда и только тогда, когда фигуры |G1| и |G2| гомео-морфны. Этот критерий является мотивировкой для определениягомеоморфности графов, которое позволяет перевести изучениенекоторых фигур на чисто комбинаторный язык.

94 § 5. Двумерные многообразия

Одномерным полиэдром называется класс гомеоморфностиграфов. Топологу интересны именно полиэдры (часто тополог на-зывает их графами). Но графы и тела — удобные средства изуче-ния полиэдров и хранения их в компьютере. А комбинаторщикуи дискретному геометру интересны графы и тела. Но и полиэдрыоказываются им полезными.

5.2. Гиперграфы и их гомеоморфность

Дадим комбинаторное определение двумерного многообразия.Оно удобно как для теории, так и для хранения в памяти ком-пьютера.

Определение и примеры гиперграфов

A 2-dimensional hypergraph (shortly: 2-hypergraph) is a collectionof three-element subsets of a finite set. (2-гиперграф называют так-же 3-однородным гиперграфом или размерно однородным двумер-ным симплициальным комплексом, см. §5.8.)

Гранью (или гиперребром) называется трехэлементное под-множество семейства. Ребром называется двухэлементное под-множество множества вершин, содержащееся в некоторой грани.

склейка

Рис. 43. Построение тела полного 2-гиперграфа с 4 вершинами

Полным 2-гиперграфом с n вершинами (или двумерным осто-вом (n − 1)-мерного симплекса) называется семейство всех трех-элементных подмножеств n-элементного множества. См. рис. 43

5.2. Гиперграфы и их гомеоморфность 95

Рис. 44. Полный 2-гиперграф с 5 вершинами

для n = 4 (этот 2-гиперграф называется сферой) и рис. 44 дляn= 5.

Книжкой с n листами называется 2-гиперграф с вершинамиa, b, 1,2, . . . , n и гранями {a, b, 1}, {a, b, 2}, . . . , {a, b, n}. Для n = 3 см.рис. 9.

По триангуляции плоского многоугольника (или сферы с руч-ками, или диска с ленточками, или поверхности в Rm, см. п. 1.7,2.4, 4.5) естественно строится 2-гиперграф.

диск цилиндрлентаМёбиуса

сфера S2 тор T 2 проективная

плоскость RP 2

бутылка

Клейна K2

Рис. 45. 2-гиперграфы, полученные склейкой сторон квадрата, и их тела

Если задан 2-гиперграф и такая склейка его ребер, при кото-рой никакие вершины двух пересекающихся граней не склеива-


ются, то можно построить новый 2-гиперграф, полученный этойсклейкой ребер. См. первую и вторую строки на рис. 45 (там не на-рисована триангуляция квадрата, необходимые для определения2-гиперграфа).

Неформальное замечание о теле 2-гиперграфа

Как и по графу, по 2-гиперграфу строится геометрическая фи-гура, называемая его телом. Неформально говоря, эта фигураполучена склейкой треугольников, соответствующих граням 2-ги-перграфа. Склейка осуществляется не обязательно в трехмерномпространстве: либо в многомерном пространстве, либо даже аб-страктно, независимо от объемлющего пространства. Формальноеопределение см. в [Sk].

Например, на рис. 43 изображено построение тела полного2-гиперграфа с 4 вершинами. Тело 2-гиперграфа, построенногопо триангуляции поверхности, является этой поверхностью.

Более общим образом, 2-гиперграфы, как и графы, можно за-давать фигурами, в том числе «гладкими» и самопересекающими-ся, т. е. их телами. См. третью и четвертую строки на рис. 45. Од-на фигура задает много гиперграфов; все они гомеоморфны (см.следующий подпункт).

Несмотря на наличие тела, 2-гиперграф — комбинаторный объ-ект. Невозможно, например, взять точку на его грани. Однако«взятие точки на грани тела 2-гиперграфа» формализуется «взя-тием новой вершины нового 2-гиперграфа, образовавшегося приподразделении этой грани», см. рис. 46 справа. Мы не будем до-водить наглядные рассуждения до такого формализма.

Гомеоморфность гиперграфов

Определение изоморфности 2-гиперграфов аналогично слу-чаю графов. Операция подразделения ребра изображена на рис. 46слева.

5.1. Операция подразделения грани на рис. 46 справа выража-ется через операцию подразделения ребра и обратную к ней.

5.2. Гиперграфы и их гомеоморфность 97

Рис. 46. Подразделения ребра и грани 2-гиперграфа

Два 2-гиперграфа гомеоморфны, если один можно получитьиз другого операциями подразделения ребра и обратными к ним.

5.2. (a) 2-гиперграфы в каждой одной колонке на рис. 45 го-меоморфны между собой (для некоторых триангуляций квадра-тов), а из разных колонок — нет. (Указание: негомеоморфностьможно доказывать по мере чтения следующих пунктов.)

(b)* Любая триангуляция треугольника гомеоморфна про-стейшей.

Граф называется реализуемым в гиперграфе (или вложимымв гиперграф), если некоторый гиперграф, гомеоморфный данно-му, содержит некоторый граф, гомеоморфный данному.

Теорема. (a) 2-гиперграфы, соответствующие двум триан-гуляциям одной поверхности в Rm (см. определение в п. 4.5), го-меоморфны.

(b) 2-гиперграфы гомеоморфны тогда и только тогда, когдаих тела гомеоморфны.

Определения n-многообразий и n-гиперграфов аналогичныслучаю n= 2, ср. п. 10.1. Заметим, что

• аналог результата п. (a) верен и для n-многообразий,• аналог части «только тогда» в п. (b) верен и для n-гипер-

графов,


• аналог части «тогда» в п. (b) неверен для 5-гиперграфов.Двумерным полиэдром называется класс гомеоморфности 2-ги-

перграфа. Представляющий 2-гиперграф называется триангуля-цией соответствующего двумерного полиэдра. Для 2-гиперграфовсправедливы замечания, аналогичные сделанным в конце п. 5.1.

5.3. Локально евклидовы гиперграфы

2-гиперграф называется локально евклидовым, если для любойего вершины v все грани, ее содержащие, образуют цепочку

{v, a1, a2}, {v, a2, a3}, . . . , {v, an−1, an} или

{v, a1, a2}, {v, a2, a3}, . . . , {v, an−1, an}, {v, an, a1}

для некоторых попарно различных вершин a1, . . . , an.Если для всех вершин имеет место второй случай, то локально

евклидов 2-гиперграф называется замкнутым.Например, 2-гиперграфы на рис. 45 локально евклидовы. Из

них замкнуты только последние четыре.2-гиперграф, определенный диском с ленточками (см. п. 2.7),

локально евклидов. «Заклеив» каждую краевую окружность дис-ка с ленточками диском, получим замкнутый локально евклидов2-гиперграф.

5.3. (a) Существует не локально евклидов 2-гиперграф, к каж-дому ребру которого примыкают две грани.

(b) 2-гиперграф, гомеоморфный локально евклидову, сам ло-кально евклидов.

Измельчением 2-гиперграфа K называется 2-гиперграф, полу-ченный из K операциями подразделения ребер.

5.4. * Однородность. Для любых двух граней p и q локально-евклидова 2-гиперграфа существует его измельчение K (т.е. 2-ги-перграф, полученный из данного операциями подразделения ре-бер) и гомеоморфизм K →K, переводящий объединение граней вK, соответствующее p, в объединение граней в K, соответствую-щее q.

5.4. Эйлерова характеристика 2-гиперграфов 99

Кусочно линейным двумерным многообразием называется классгомеоморфности локально евклидова 2-гиперграфа. Если не будетпутаницы с понятием 2-многообразия из п. 4.5, то мы будем на-зывать кусочно линейное двумерное многообразие просто 2-мно-гообразием.

Вместо термина «локально евклидов 2-гиперграф» обычно ис-пользуется термин «триангуляция 2-многообразия». Это неудобнодля начинающего, поскольку при изучении 2-многообразий с ку-сочно линейной точки зрения изначальным объектом является2-гиперграф, а не 2-многообразие. До п. §5.7 мы используем тер-мин «локально евклидов 2-гиперграф», а после — «триангуляция2-многообразия».

Краем ∂N локально евклидова 2-гиперграфа N называетсяобъединение всех таких его ребер, которые содержатся тольков одной грани.

5.5. (a) Край является несвязным объединением окружностей,т. е. графов, гомеоморфных треугольнику.

(b) Количество краевых окружностей одинаково для гомео-морфных локально евклидовых 2-гиперграфов.

(c) 2-гиперграфы, «представляющие» цилиндр и ленту Мёби-уса, не гомеоморфны.

5.4. Эйлерова характеристика 2-гиперграфов

Определение и способы подсчета

Эйлеровой характеристикой 2-гиперграфа K с V вершинами,E ребрами и F гранями называется число

χ(K) := V − E + F.

5.6. (a) Найдите эйлеровы характеристики 2-гиперграфов,изображенных на рис. 45.

(b) Сформулируйте и докажите формулу для эйлеровой ха-рактеристики объединения.

(c) Эйлеровы характеристики гомеоморфных 2-гиперграфовравны.


Из связного локально евклидова 2-гиперграфа можно полу-чить новый операциями вырезания дырки (или, формально, удале-ния грани) и приклеивания ручки, см. рис. 7 (если хотите, форма-лизуйте эту операцию самостоятельно). Полученный 2-гиперграфне единственен (см., впрочем, начало п. 5.6). Однако в следующейзадаче Вы докажете, что эйлерова характеристика полученного2-гиперграф определена однозначно; этого достаточно для дока-зательства неравенства Эйлера 2.19.

5.7. (a) Вырезание дырки уменьшает эйлерову характеристи-ку на 1.

(b) Найдите эйлерову характеристику сферы с g ручками.(c) Сферы с разными количествами ручек не гомеоморфны.

(Этот факт неочевиден ввиду гомеоморфности фигур, кажущихсясовсем непохожими, см. п. 2.6.)

(d) Найдите эйлерову характеристику проективной плоскостиили бутылки Клейна с g ручками соответственно.

(e) Найдите эйлерову характеристику объединения шапочек иленточек, построенных по графу G, как на рис. 14.b и 18 (см.формальное построение в п. 5.4).

5.8. (a) Теорема. 2-гиперграф гомеоморфен сфере S2 (т. е. пол-ному 2-гиперграфу с 4 вершинами) тогда и только тогда, когдаон связен, замкнут локально евклидов, и его эйлерова характе-ристика равна 2.

(b) Следствие. Существует алгоритм распознавания гомео-морфности 2-гиперграфов сфере S2. (Говоря более формально, этоозначает существование алгоритма вычисления функции, котораяпо 2-гиперграфу выясняет, гомеоморфен ли он сфере S2. Анало-гичные формальные версии других алгоритмических результатовне приводятся.)

(c)* Оцените число шагов в алгоритме из (b), использующем(a), для 2-гиперграфов с n вершинами.

(d) Существует алгоритм, который по 2-гиперграфу, гомео-морфному сфере S2, строит последовательность подразделенийребер и обратных операций, приводящий данный гиперграф к S2.


(e)* Оцените число шагов в Вашем алгоритме из (d) для 2-ги-перграфов с n вершинами.

Вряд ли Вы сможете доказать утверждения (a,d) до изученияконца п. 5.4.

Аналог следствия 5.8.b• верен для 3-гиперграфов и сферы S3 (доказательство сложно

[Ma07]);• является нерешенной проблемой для 4-гиперграфов и сфе-

ры S4;• неверен для n-гиперграфов и сферы Sn при любом n> 5 .

Доказательство неравенства Эйлера 2.19

Неравенство Эйлера 2.19 вытекает из результата задачи 5.7.bи следующего утверждения.

Неравенство Эйлера. Если граф G с V вершинами и E реб-рами является подграфом замкнутого локально евклидова гипер-графа K и при этом имеется F граней, то V −E + F > χ(K).

Доказательство. Сформулируем и докажем следующие (не)равенства.

χ(K)(1)= χ(TG) +

F∑

j=1

χ(fj)(2)

6 V − E + F.

Через TG обозначено объединение шапочек и ленточек, построен-ных по графу G, как на рис. 14.b и 18 (см. формальное построениениже).

Через f1, . . . , fF обозначены гиперграфы ‘замыкания компо-нент связности дополнения K − TG’ (или, формально, компонен-ты связности 2-гиперграфа K ′′ −G, см. определение ниже).

Равенство (1) справедливо по формуле включений-исключений(задача 5.6.b).

Равенство (2) вытекает из χ(TG) = V − E и χ(fj) 6 1. Пер-вое из этих утверждений справедливо по формуле включений-исключений (задача 5.6.b), а второе — по следующему экстре-мальному свойству 5.9.d.


5.9. (a)* Экстремальное свойство. Число граней любого связ-ного локально евклидова 2-гиперграфа с V вершинами не меньше2V − 4. (Или, эквивалентно, число ребер не меньше 3V − 6. Или,эквивалентно, эйлерова характеристика не превосходит 2.)

Вот элементарная переформулировка (немного другого свой-ства). В парламенте из V человек имеется несколько (попарноразличных по составу) комиссий по 3 человека в каждой. Извест-но, что если два человека находятся в некоторой комиссии, тоони находятся ровно в двух комиссиях. Такие две комиссии на-зываются смежными. Известно также, что любые два человеканаходятся в двух комиссиях, которые можно соединить последо-вательностью комиссий, в которой любые две соседние комиссиисмежные. Докажите, что число комиссий не меньше 2V − 4.

(b) Верен ли аналог п. (a) с заменой локальной евклидовостина то, что каждое ребро содержится ровно в двух гранях?

(c) Верен ли аналог п. (a) с заменой связности и локальнойевклидовости на связность по граням и то, что каждое ребро со-держится ровно в двух гранях?

(d)* Экстремальное свойство. Эйлерова характеристика лю-бого незамкнутого локально евклидова 2-гиперграфа не превос-ходит 1.

(e)* Эйлерова характеристика любого локально евклидова2-гиперграфа, имеющего k краевых окружностей, не превосходит2 − k.

Решение п. (d) приведено в 5.4; п. (a) и (e) решаются анало-гично.

Дополнение G−H в графе G до набора вершин H образовановсеми вершинами графа G, не лежащими в H, и всеми ребрамиграфа G, ни один конец которых не лежит в H.

ПустьG— подграф 2-гиперграфаK (т.е. графа, образованноговсеми вершинами и ребрами 2-гиперграфа K). Дополнение K −Gобразовано всеми гранями 2-гиперграфа K, не пересекающими G.

Определение. Барицентрическим подразделением G′ графа Gназовем результат подразделения всех его ребер. Барицентриче-ским подразделением грани 2-гиперграфа назовем замену ее на


Рис. 47. Барицентрическое подразделение

шесть новых граней, полученных проведением «медиан» в тре-угольнике, представляющем эту грань (рис. 47). Барицентриче-ским подразделением K ′ 2-гиперграфа K назовем результат бари-центрического подразделения всех его граней.

Так как барицентрическое подразделение можно осуществитьс помощью конечного числа подразделений ребер, K ′ ∼=K.

Определение шапочек, ленточек и заплаток. Ср. рис. 18. Обо-значим через T ′′ 2-гиперграф, полученный из 2-гиперграфа T дву-кратным применением операции барицентрического подразделе-ния. Назовем

• шапочкой объединение всех граней 2-гиперграфа T ′′, содер-жащих некоторую вершину 2-гиперграфа T ;

• ленточкой объединение всех граней 2-гиперграфа T ′′, пе-ресекающих некоторое ребро 2-гиперграфа T , но не содержащихникакой вершины 2-гиперграфа T ;

• заплаткой компоненту связности объединения оставшихсяграней 2-гиперграфа T ′′.

Определение. Регулярная окрестность подграфа в 2-гиперграфе —объединение шапочек и ленточек, соответствующих вершинам иребрам подграфа. Или, формально, объединение граней второ-го барицентрического подразделения гиперграфа, ‘пересекающих’подграф.

Набросок другого доказательства неравенства Эйлера 2.19.По задаче 2.34.a объединение шапочек и ленточек (или, формаль-но, регулярная окрестность графа G в K) гомеоморфно сфере


с (2 − V + E − F )/2 ручками и F дырками. Тогда по утвержде-нию 2.5.b 2 − V + E − F 6 2g. (Это утверждение использует экс-тремальное свойство 5.9.ad.)

Циклы и доказательство экстремального свойства 5.9.d

Гомологическим циклом по модулю 2 в графе называется на-бор его ребер, для которого из каждой вершины выходит четноечисло ребер набора. Слова «гомологический» и «по модулю 2» да-лее опускаются. Циклы в смысле теории графов будем называть«замнутыми кривыми».

Например, в графах на рис. 1 имеется 2, 8 и 8 циклов, соот-ветственно.

5.10. (a) Сумма по модулю 2 (т. е. симметрическая разность)циклов есть цикл.

(b) Найдите число циклов в связном графе с V вершинами и Eребрами.

5.11. (Эта задача не используется в дальнейшем.) ГруппаH1(G) всех циклов в графе G с операцией суммы по модулю 2называется группой гомологий графа G (одномерной с коэффици-ентами Z2).

(a) Одномерные группы гомологий гомеоморфных графов изо-морфны.

(b) Для связного графа G с V вершинами и E ребрами имеетместо изоморфизм H1(G) ∼= ZE−V+1

2 .(c) Несамопересекающиеся замкнутые кривые в графе порож-

дают H1(G).

Назовем границей ∂a грани a гиперграфа набор ребер границыэтой грани. Ясно, что граница грани является циклом.

5.12. (a) Сумма по модулю 2 границ всех граней замкнутоголокально евклидова гиперграфа пуста.

(b) Сумма по модулю 2 границ всех граней связного незамкну-того локально евклидова гиперграфа непуста.


(c) Сумма по модулю 2 границ любого подмножества множе-ства всех граней связного незамкнутого локально евклидова ги-перграфа непуста.

(d) Сумма по модулю 2 границ любого собственного подмно-жества множества всех граней связного замкнутого локально ев-клидова гиперграфа непуста.

Доказательство экстремального свойства 5.9.d. При реше-нии задачи 5.10.b доказано, что в множестве циклов имеется по-рождающая система из E − V + 1 циклов. По утверждению 5.12.cмножество граней линейно независимо. Поэтому F 6 E − V + 1,откуда χ(K) = V − E + F 6 1.

Набросок другого доказательства экстремального свойства5.9.d. Обозначим через K(1) граф, являющийся объединениемвсех ребер данного 2-гиперграфа K. Можно проверить, что ре-гулярная окрестность максимального дерева графа K(1) гомео-морфна диску (т. е. полному 2-гиперграфу с тремя вершина-ми). Тогда регулярная окрестность графа K(1) гомеоморфна дис-ку с E − V + 1 неперекрученными ленточками. Число d крае-вых окружностей такой фигуры не превосходит E − V + 2 (за-дача 2.33). Для нашего диска с ленточками d > F + 1. ИтакE − V + 2 > d> F + 1, откуда χ(K) = V − E + F 6 1.

Клеточные подграфы и формула Эйлера

Набор вершин в графе называется клеточным, если каждыйсвязный кусок дополнения «гомеоморфен» открытому отрезку.Формально, набор вершин H в графе G клеточный, если каждаясвязная компонента дополнения G′ −H ′ гомеоморфна отрезку.

Подграф в 2-гиперграфе называется клеточным, если каждыйсвязный кусок дополнения гомеоморфен открытому диску. Фор-мально, подграф G в 2-гиперграфе K называется клеточным, ес-ли каждая связная компонента дополненияK ′′ −G′′ гомеоморфна

§ 6. Гомологии двумерных многообразий

I should say it meant something simple andobvious, but then I am no philosopher!

I.Murdoch. The Sea, the Sea1

6.1. Критерий ориентируемости

Определения кусочно линейного 2-многообразия, его ориенти-руемости и его триангуляции приведены в п. 5.2 и 5.5. Опреде-ления гладкого 2-многообразия и его триангуляции приведеныв п. 4.5; определение ориентируемости его триангуляции даетсяаналогично п. 5.5. В этом параграфе можно пользоваться любымиз двух подходов. Однако некоторые наглядные понятия и рас-суждения формализованы только на кусочно линейном языке.

Существует красивый и простой критерий ориентируемости2-многообразия: «не содержит ленты Мёбиуса» (четкая форму-лировка на кусочно линейном языке приведена в задаче 5.16 (c)).Существует следующий простой алгоритм распознавания ориен-тируемости связного 2-многообразия. Сначала ориентируем про-извольно одну грань триангуляции. Затем на каждом шаге будемориентировать грань, соседнюю с некоторой уже ориентирован-ной, пока не ориентируем все грани триангуляции или не получимнесогласованности ориентаций вдоль некоторого ребра.

В этом параграфе мы приведем алгебраический критерий ори-ентируемости, который по сути является лишь переформулиров-кой определения ориентируемости на алгебраическом языке. Ноон важен не сам по себе, а как иллюстрация теории препятствий.Кроме того, похожие соображения применяются для классифика-ции утолщений, см. [Sk, п. «Ориентируемость и классификацияутолщений»]. Ср. с п. 5.7, 4.9.

1Должен бы сказать, что это означает нечто простое и очевидное, однакоя не философ! (А. Мэрдок. Море, море. Пер. автора.)

6.2. Ориентируемость: циклы 115

Теорема ориентируемости. Замкнутое 2-многообразие Nориентируемо тогда и только тогда, когда его первый классШтифеля—Уитни w1(N) ∈H1(N) нулевой.

Группа H1(N) и класс w1(N) будут определены позже. Ониестественно возникают и строго определяются в процессе приду-мывания теоремы ориентируемости, к которому мы сейчас перей-дем. Вычисления группы H1(N) приведены в п. 6.4.

В этом параграфе слово «группа» можно рассматривать каксиноним слова «множество» (кроме задач 5.11, 6.16 и п. 6.5).И теорема ориентируемости, и приводимые построения останутсяинтересными.

6.2. Ориентируемость: циклы

Неформально говоря, клеточным разбиением 2-многообразияназывается его разрезание на части, топологические эквивалент-ные диску. Формально, клеточным разбиением 2-комплекса Tназывается пара T0 ⊂ T1 ⊂ T его подкомплексов, для которойT1 — клеточный граф в T и T0 — клеточный набор вершин в T1

(см. определения в п. 5.4). Граф T1 называется одномерным осто-вом клеточного разбиения. См. примеры «склейки из многоуголь-ников» в п. 5.2. Многие построения удобно проделывать не для2-комплексов, а для клеточных разбиений, ибо у «интересных»2-комплексов «много» граней, но можно найти их «экономные»клеточные разбиения. Для вычислений удобнее рисовать клеточ-ные разбиения, что менее громоздко, чем разбиения на много-угольники. Триангуляция является частным случаем клеточногоразбиения. Другие примеры фактически нарисованы на рис. 45.В нижеследующих рассуждениях, кроме примеров, читатель мо-жет заменить клеточные разбиения на триангуляции.

Определение препятствующего цикла. Возьмем произвольноеклеточное разбиение T данного 2-многообразия N . Возьмем на-бор o ориентаций на гранях разбиения T . Покрасим ребро разби-ения T в красный цвет, если ориентации граней, примыкающихк ребру с двух сторон, не согласованы вдоль этого ребра, т. е. за-дают на этом ребре одинаковые направления.

116 § 6. Гомологии двумерных многообразий

Рис. 51. Набор o ориентаций и препятствующий цикл ω(o)

Например, на рис. 51 бутылка Клейна представлена в видесклейки сторон квадрата, т. е. разбита на один многоугольник.Грани, примыкающие к горизонтальному ребру с двух сторон,совпадают. Но их (точнее, ее) ориентации не согласованы вдольэтого ребра. Кроме того, ориентация единственной грани согласо-вана с собой вдоль вертикального ребра.

Итак, если разбиение не является триангуляцией, то, даже ес-ли две грани, примыкающие к ребру, совпадают, их ориентациимогут быть не согласованы вдоль этого ребра. Кроме того, дляодной пары граней (совпадающих или нет) их ориентации могутбыть согласованы вдоль одного ребра и не согласованы вдоль дру-гого.

6.1. Для каждого ребра клеточного разбиения проективнойплоскости на один многоугольник (т. е. ее представления в видесклейки сторон квадрата, см. рис. 45) выясните, согласована ливдоль этого ребра с собой ориентация единственной грани.

Объединение красных ребер называется препятствующимциклом ω(o).

На рис. 51 препятствующий цикл состоит из горизонтальногоребра (жирные линии).

Многие из приведенных ниже фактов (например, задачи 6.2 (b, c, d))можно сначала доказать для триангуляций, а затем для клеточ-ных разбиений.

6.2. (a) Изобразите препятствующий цикл для клеточногоразбиения проективной плоскости на один многоугольник, см. рис. 45.

(b) Набор o ориентаций граней определяет ориентацию кле-точного разбиения тогда и только тогда, когда ω(o) = ∅.

6.3. Ориентируемость: гомологичность циклов 117

(c) Если N замкнуто, то из каждой вершины выходит четноечисло красных ребер (при этом считается, что каждая петля вы-ходит из вершины дважды).

(d) Дополнение до препятствующего цикла ω(o) (или, фор-мально, объединение граней второго барицентрического подраз-биения, п. 5.4, не пересекающих ω(o)) ориентируемо.

6.3. Ориентируемость: гомологичность циклов

Определение (гомологического) цикла (по модулю 2) приведе-но в п. 5.4. Например, объединение ребер клеточного разбиениябутылки Клейна на один многоугольник (рис. 51) является «вось-меркой», поэтому в этом графе четыре гомологических цикла помодулю 2.

Изменение препятствующего цикла и определение границыграни. Если ω(o) = ∅, то o не определяет ориентации клеточногоразбиения T . Но еще не все потеряно: можно попытаться изме-нить o так, чтобы препятствующий цикл стал пустым. Для этоговыясним, как ω(o) зависит от o. Ответ удобно сформулироватьс использованием суммы по модулю 2 (т. е. симметрической раз-ности) наборов ребер в произвольном графе.

Если T — триангуляция (или 2-комплекс), то назовем гомоло-гической границей ∂a грани a набор ребер геометрической грани-цы этой грани.

Для произвольного клеточного разбиения T 2-многообразияопределение границы более сложное. Назовем гомологической гра-ницей ∂a грани a набор всех тех ребер геометрической границыэтой грани, к которым грань примыкает с одной стороны (рис. 52).

Как и для циклов, слово «гомологическая» будем опускать.Для клеточного разбиения бутылки Клейна на один многоуголь-ник (рис. 51) граница единственной грани пуста.

6.3. (a) Что будет границей единственной грани клеточно-го разбиения проективной плоскости на один многоугольник(см. рис. 45)?

(b) Граница грани является циклом.


(c) При изменении ориентации одной грани a цикл ω(o) изме-няется на сумму по модулю 2 с границей этой грани: для получен-ного набора o′ ориентаций выполняется равенство ω(o′) − ω(o) = ∂a.

(d) При изменении ориентации нескольких граней a1, . . . , akцикл ω(o) изменяется на сумму по модулю 2 границ этих граней:для полученного набора o′ ориентаций выполняется равенство

ω(o′) − ω(o) = ∂a1 + . . .+ ∂ak.

Назовем границей сумму границ нескольких граней. Назовемциклы гомологичными (или сравнимыми по модулю границ), еслиих разность есть граница.

6.4. (a) При изменении набора o ориентаций препятствующийцикл ω(o) заменяется на гомологичный цикл.

(b) Если ω(o) является границей, то можно изменить o на o′

так, чтобы получилось ω(o′) = ∅.6.5. (a) Любые два цикла для клеточного разбиения сферы на

один многоугольник (см. рис. 45) гомологичны.(b) Краевые окружности на торе с двумя дырками гомологич-

ны (для любого клеточного разбиения).(c) Краевая окружность ленты Мёбиуса гомологична пустому

циклу (для любого клеточного разбиения).6.6. Для клеточного разбиения тора на один многоугольник

(см. рис. 45)

a

∂a

Рис. 52. Гомологическая (алгебраическая) граница сложной грани

6.4. Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифеля—Уитни119

(a) цикл «меридиан» не гомологичен пустому;(b) различные циклы не гомологичны.

6.7. Для клеточного разбиения проективной плоскости наодин многоугольник (см. рис. 45) различные циклы не гомоло-гичны.

6.8. Любые два цикла гомологичны для клеточного разбиенияшутовского колпака Зимана на один многоугольник.

(Шутовской колпак Зимана получается такой склейкой сто-рон треугольника ABC, при которой стороны склеиваются с на-правлениями

# –

AB =# –

AC =# –

BC.)

6.9. Гомологичность является отношением эквивалентностина множестве циклов.

6.10. (a) Любой цикл в 2-комплексе гомологичен некоторомуциклу в произвольном клеточном графе в этом 2-комплексе.

(b) Если два цикла в клеточном разбиении 2-комплекса гомо-логичны в 2-комплексе, то они гомологичны и в этом клеточномразбиении.

(c) Любой цикл становится гомологичным циклу, представлен-ному замкнутой несамопересекающейся кривой, после некоторогоизмельчения клеточного разбиения связного 2-многообразия.

6.4. Ориентируемость: гомологии и первый классШтифеля—Уитни

Напомним, в немного более общем виде, определения, мотиви-рованно введенные в предыдущих пунктах. Набор ребер клеточ-ного разбиения некоторого 2-комплекса называется циклом, еслииз каждой вершины выходит четное число ребер набора. (Слова«гомологический» и «по модулю 2» в этом и следующих определе-ниях опущены.) Для данного клеточного разбиения на множествециклов рассматривается операция сложения по модулю 2. Грани-цей ∂a грани a называется набор всех тех ребер геометрическойграницы этой грани, к которым грань примыкает с нечетного чис-ла сторон (рис. 52). Назовем границей сумму границ нескольких


граней. Два цикла называются гомологичными, если их разностьесть граница.

Одномерной группой гомологий H1(T ) с коэффициентами Z2

клеточного разбиения T называется группа циклов с точностьюдо гомологичности.

6.11. Для вышерассмотренных клеточных разбиений на одинмногоугольник сферы, тора, проективной плоскости, бутылкиКлейна (рис. 45, рис. 51) число элементов группы H1(T ) равно1, 4, 2, 4 соответственно.

Важно, что группа гомологий, возникающая при решении кон-кретной задачи об ориентируемости (и других задач!), короткоопределяется независимо от этой задачи.

В рассуждениях с классами гомологичности циклов удобносначала работать с представляющими их циклами, а потом до-казывать независимость от выбора представляющих циклов.

6.12. (a) Если T — клеточное разбиение 2-комплекса T ′, то|H1(T )| = |H1(T

′)|.(b) Одномерные группы гомологий гомеоморфных 2-комплек-

сов находятся во взаимно однозначном соответствии друг с дру-гом.

Первым классом Штифеля—Уитни клеточного разбиения Tнекоторого замкнутого локально евклидова 2-комплекса называ-ется класс гомологичности препятствующего цикла:

w1(T ) := [ω(o)] ∈H1(T ).

Это определение корректно ввиду утверждения 6.4 (a).Первым классом Штифеля—Уитни замкнутого 2-многообра-

зия N называется первый класс Штифеля—Уитни любого кле-точного разбиения T любого 2-комплекса, представляющего N :w1(N) := w1(T ). Это определение корректно в следующем смыс-ле.

6.13. При «естественных» биекциях (построенных вами прирешении задач 6.12 (a, b)) групп гомологий клеточных разбиенийгомеоморфных 2-комплексов первый класс Штифеля—Уитни од-

§ 8. Векторные поля на многомерныхповерхностях

8.1. Векторные поля на подмножествах евклидовапространства

Определения векторных полей (обычных, ненулевых и единич-ных) на подмножестве N ⊂ Rn+1 и их гомотопности аналогичныслучаю n= 1 (п. 3.1 и 3.2). Определение гомотопности отображе-ний приведено в п. 4.2.

Те, кому трудно работать со случаем n > 2, могут считать, чтоn = 2 — даже этот случай очень интересен. Начинать решениязадач разумно со случаев n= 1 и n= 2.

Обозначим

Dn+1 := {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : x21 + . . .+ x2

n+1 6 1} и

Sn := {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : x21 + . . .+ x2

n+1 = 1}.

8.1. Сформулируйте и докажите аналоги задач 3.6-3.13 (кроме3.9.c) для векторных полей на Rn+1 и отображений в Sn.

8.2. Следующие утверждения эквивалентны. (В этой зада-че требуется именно доказать эквивалентность, доказывать самиутверждения не требуется.)

(1) Теорема непродолжаемости. Радиальное векторное по-ле a(x) = x на граничной сфере Sn шара Dn+1 не продолжаетсядо ненулевого векторного поля на шаре.

(2) Несминаемость шара на граничную сферу. Не суще-ствует отображения шара в его граничную сферу, тождествен-ного на этой сфере, т.е. отображения f :Dn+1 → Sn, для кото-рого f(x) = x для любого x ∈ Sn.

(3) Теорема Брауэра о неподвижной точке. Любое отоб-ражение f :Dn+1 →Dn+1 шара в себя имеет неподвижную точ-ку, т.е. такую точку x ∈Dn+1, что f(x) = x.

8.2. Степень отображения 139

(4) Тождественное отображение сферы Sn не гомотопно посто-янному (т.е. отображению в точку).

8.3. (a) Теорема. Открытые шары IntDn = {x ∈ Rn : |x|< 1}и IntDk не гомеоморфны при n = k.

(b) Теорема. Тождественное отображение сферы S2k не го-мотопно антиподальному отображению (т.е. центральной сим-метрии с центром в начале координат).

(c) Радиальное векторное поле на S2k не гомотопно централь-ному.

Для доказательства этих результатов нужно понятие степениотображения, введенное Лейтзеном Эгбертом Яном Брауэром в1911 г. Более конкретно,

• утверждение 8.2.4 вытекает из задач 8.8.ab, 8.9.c и 8.10.ef(см. ниже).

• утверждение 8.3.a вытекает из задач 8.4.bc; задача 8.4.c вы-текает из утверждения 8.2.4.

• утверждения 8.3.b и 8.3.c эквивалентны и вытекают из задач8.8.bc, 8.9.c и 8.10.ef.

8.4. (a) Для любых k < n любое отображение Sk → Sn гомо-топно постоянному.

(Иными словами, в Rn+1 ненулевое векторное поле векторовиз Rn+1, заданное на границе шара Dk+1, продолжается до нену-левого векторного поля на Dk+1 при k < n.)

(b) Для любых k < n и точки x ∈ IntDn любое отображениеSk−1 → IntDn − {x} гомотопно постоянному.

(c) Для любого k существует отображение Sk−1 → IntDk − {0},не гомотопное постоянному.

Для решения пункта (a) этой задачи (ср. с задачей 4.6) нуж-на кусочно-линейная (или гладкая) аппроксимация, см. задачу8.6.ad.

8.2. Степень отображения

Cтепенью deg f отображения f : Sn → Sn называется суммазнаков прообразов регулярного значения при кусочно-линейной

140 § 8. Векторные поля на многомерных поверхностях

(или гладкой) аппроксимации. Далее мы объясним слова, ис-пользованные в этом определении, для кусочно-линейного случая.(Обобщения см., например, в §8.5, §15 и [Sk, §11 ‘Гомотопическаяклассификация отображений’].)

Это определение интересно даже для n= 1 (начинайте решатьпредложенные ниже задачи с этого случая — там, где он осмыс-лен). При этом для n= 1 оно отличается от приведенного в §3.3;ср. с задачей 8.11.a.

Обозначим через

SnPL := ∂In+1 = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : max(|x1|, . . . , |xn+1|) = 1}

поверхность (n+ 1)-мерного куба (или, более учено, стандартнуюкусочно-линейную сферу). Триангуляцией сферы SnPL называет-ся ее разбиения на конечное число n-мерных симплексов, любыедва из которых пересекаются по симплексу размерности менее n(в частности, могут не пересекаться). Отображение SnPL → SnPLназывается кусочно-линейным, если оно линейно на каждом сим-плексе некоторой триангуляции сферы SnPL. Ср. §4.5.

8.5. Какие из следующих отображений SnPL → SnPL являютсякусочно-линейными?

(a) постоянное. (b) тождественное.(c) антиподальное. (d) сужение на SnPL движения Rn+1 → Rn+1.(g) отображение S2

PL → S2PL, заданное формулой (x, y, z) 7→ (z2, x, y).

(h) ‘центральное проектирование’ из точки (1/2, . . . , 1/2), т.е.,отображение, ставящее в соответствие точке x ∈ SnPL вторую точ-ку пересечения со сферой SnPL прямой, проходящей через точки(1/2, . . . , 1/2) и x.

(i) π(Σwk)π−1 для k-кратной намотки wk : S1 → S1.

Надстройкой Σg над отображением g : S1 → S1 является отоб-ражение f : S2 → S2, определенное формулой

f(cos α cos θ, cos α sin θ, sin α) := (g(cos θ, sin θ) cos α, sin α).

Обозначим через π : Sa → SaPL центральную проекцию с центромв начале координат.

8.2. Степень отображения 141

8.6. (a) Отображения f, g : Sk → Sn гомотопны тогда и толькотогда, когдаπfπ−1, πgπ−1 : SnPL → SnPL гомотопны.

(b) Любое отображение SkPL → SnPL можно 1-приблизить кусочно-линейным. Т.е. для любого отображения f : SkPL → SnPL суще-ствует такое кусочно-линейное отображение g : SkPL → SnPL, что|f(x) − g(x)|< 1 для любой точки x ∈ SkPL.

(c) Любые два 1-близких отображения SkPL → SnPL гомотопны.(d) Любое отображение SkPL → SnPL гомотопно кусочно-линейному.(Заметим, что вместо рассмотрения сферы SnPL можно было

бы определить триангуляции и кусочно-линейные отображениядля Sn.)

Для любого отображения f : Sn → Sn по задаче 8.6.d суще-ствует кусочно-линейное отображение g : SnPL → SnPL, гомотоп-ное отображению πfπ−1. Возьмем триангуляцию из определениякусочно-линейности отображения g. Регулярным значением отоб-ражения g называется любая точка y ∈ SnPL, не лежащая в объ-единении g-образов границ симплексов триангуляции. Ясно, чтотакая точка существует.

8.7. (a)-(i) Найдите регулярное значение для каждого из отоб-ражений SnPL → SnPL, определенных в задаче 8.5.

(j) Для любого регулярного значения y кусочно-линейногоотображения g : SnPL → SnPL множество g−1(y) конечно.

Назовем знаком g-прообраза x точки y число +1, если огра-ничение g на симплекс триангуляции, содержащий точку x, со-храняет ориентацию, и число −1, если оно обращает ориентацию.Определим степень deg f как сумму dy(g) знаков g-прообразовточки y. 1

1А вот определение через гладкую аппроксимацию. (Обоснования не до-казанных здесь утверждений можно найти, например, в [Pr14, §18.1].) Любоеотображение f : Sn → Sn гомотопно гладкому отображению g. Точка y ∈ Sn

называется регулярным значением гладкого отображения g, если rk dg(x) = nдля любой точки x ∈ g−1(y). Для гладкого отображения g : Sn → Sn имеетсярегулярное значение y ∈ Sn. Тогда g−1(y) есть конечное число точек. Назовемзнаком прообраза x точки y знак определителя производной отображения gв точке x. Определим степень deg f как сумму знаков g-прообразов точки y.

8.3. Поверхности и касательные векторные поля на них 145

векторных полей на N с точностью до гомотопности в клас-се ненулевых нормальных векторных полей. Аналогично мно-гомерной основной теореме топологии 8.12.a доказывается, чтоdeg : V (Sn ⊂ R2n+1) → Z биекция.

8.13. (a) Опишите V (T 2 ⊂ R3).(b) Для сферы с ручками (т.е. замкнутого ориентируемого 2-

многообразия) N существует биекция deg : π2(N) → Z.(c) |π2(RP 2)| = 2.(d) Опишите π2(N) для сферы с ручками и пленками Мебиуса

(т.е. любого замкнутого 2-многообразия) N .

8.14. Любое отображение Sn → S1 при n> 2 гомотопно отоб-ражению в точку.

8.15. Опишите V (N ⊂ R5) для(a) N = S2; (b) тора N = S1 × S1; (c) ленты Мебиуса N ;

(d) бутылки Клейна N .

8.16. Любые два нормальных поля на 2-многообразии в Rm

гомотопны при m> 6.

8.3. Поверхности и касательные векторные поля на них

8.17. Определите следующие стандартные подмножества вRm. Касательные векторные поля на них определяются анало-гично началу §4.1. Докажите, что на каждом из них существуетненулевое касательное векторное поле.

(a) S1 × S1 × S1; (b) S2 × S1; (c) S3;(d) Декартово произведение сферы с ручками и S1; (e)

S2k−1; (f) S2k−1 × Sq.

Определения n-мерных гладких многообразий, их ориентируе-мости, замкнутости, края, касательных и нормальных векторныхполей и полей направлений на них, а также гомотопности вектор-ных полей, аналогичны случаю n= 2 (§4.5, §4.8). Те, кому трудноработать со случаем n > 3, могут считать, что n= 3 — даже этотслучай очень интересен.

Примеры многообразий приведены в задаче 8.17. Другие при-меры появятся далее, см., например, §§8.5, 8.6, 10. Интересно, что

146 § 8. Векторные поля на многомерных поверхностях

изучаемые методы позволяют доказать красивые нетривиальныерезультаты про многообразия, не используя знакомства с практи-чески никакими примерами.

8.18. (a-f,g,h,i) Сформулируйте и докажите многомерные ана-логи задач 4.24.abcdef, 4.25.a, 4.26 и 4.27.

Следующие результаты 8.19 лучше доказывать после задач8.20 и 8.21.

8.19. (a) Теорема. На любом нечетномерном многообразиисуществует ненулевое касательное векторное поле.

(b) Теорема. На n-мерной сфере существует ненулевое каса-тельное векторное поле тогда и только тогда, когда n нечетно.

(c) На любом многообразии с краем существует ненулевое ка-сательное векторное поле.

Триангуляция и разбиение на многогранники многообразияопределяются аналогично §4.5. Верна аналогичная теорема о три-ангулируемости.

8.20. (a) Ненулевое касательное векторное поле, заданное навершинах любой триангуляции 3-многообразия, можно продол-жить на объединение ее ребер.

(b) Ненулевое касательное векторное поле, заданное на объ-единении ребер любой триангуляции 3-многообразия, можно про-должить на объединение ее двумерных граней.

(c) Любые два ненулевые векторные поля на S1 ⊂ S3, каса-тельные к S3, гомотопны.

(d) Пусть дано ненулевое касательное векторное поле на S3 игомотопия его сужения на S1 ⊂ S3. Тогда эта гомотопия продол-жается до гомотопии всего исходного поля.

(c’) Любые два ненулевые касательные к 3-многообразию век-торные поля, заданные на объединении ребер произвольной три-ангуляции 3-многообразия, гомотопны.

(d’) Пусть дано ненулевое касательное векторное поле на3-многообразии и гомотопия его сужения на объединении реберпроизвольной триангуляции 3-многообразия. Тогда эта гомотопияпродолжается до гомотопии всего исходного поля.

8.3. Поверхности и касательные векторные поля на них 147

8.21. Пусть N — 3-многообразие и v— ненулевое касательноевекторное поле, заданное на объединении двумерных граней неко-торой его достаточно мелкой триангуляции.

(a) Постройте расстановку ε(v) целых чисел на тетраэдрахтриангуляции, препятствующую продолжению v на все N .

(b) Как расстановка ε(−v) получается из расстановки ε(v)?(c) Сумма чисел расстановки ε(v) не зависит от v.(d) Сумма чисел расстановки ε(v) равна нулю.(e) Если сумма чисел расстановки ε(v) равна нулю, то v про-

должается на все N .

Эйлерова характеристика разбиения многообразия на мно-гогранники определяется как знакопеременная сумма по k ко-личеств k-мерных граней (ср. §10.3). Эйлерова характеристикаχ(N) многообразия N определяется как эйлерова характеристикапроизвольного разбиения на многогранники этого многообразия.Аналогично случаю 2-многообразий доказывается, что эйлеровахарактеристика не зависит от выбора такого разбиения (болееконкретно, это следует из задач 10.10.cd и многомерного аналогатеоремы (b) после задачи 5.2). Важно, что существуют простыеспособы вычислять эйлерову характеристику (задача 10.10).

8.22. (a) Теорема Хопфа. На замкнутом многообразии су-ществует ненулевое касательное векторное поле тогда и толькотогда, когда эйлерова характеристика этого многообразия нуле-вая.

(b) Опишите πn(N) для компактного n-многообразия N .

Замечание. При помощи общего положения аналогично §4.6можно доказать формулы χ(M ∪N) = χ(M) + χ(N) − χ(M ∩N)(аддитивность) и χ(M ×N) = χ(M)χ(N) (мультипликативность).Приведем набросок доказательства мультипликативности. Каса-тельное векторное поле на M ×N является полем общего положе-ния, если обе его ‘проекции’ на сомножители — общего положения.Пусть u и v — касательные векторные поля общего положения наM и на N . Тогда u+ v — касательное векторное поле общего по-ложения на M ×N . Определим подмножества e(u) ⊂M , e(v) ⊂Nи e(u+ v) ⊂M ×N из конечного количества точек со знаком ана-

§ 9. Параллелизуемость трехмерныхповерхностей

It startled the well informed by being a newand fantastic idea they had never encountered.It startled the ignorant by being an old andfamiliar idea they never thought to have seenrevived.

G. K.Chesterton. The Man Who Knew Too Much1

9.1. Исторические замечания и формулировкирезультатов

Ученик Хайнца Хопфа Эдуард Штифель рассмотрел про-блему существования пары, тройки, etc. линейно независимыхкасательных векторных полей на многообразии. Ср. с задача-ми 8.29, 8.36 (a), 8.37 (a) и 8.38 (a). Напомним, что через Sg обо-значается сфера с g ручками; определения трехмерных многооб-разий, их ориентируемости, замкнутости, края, их разбиений намногогранники, касательных векторных полей на них аналогичныслучаю n= 2 (п. 4.5, 4.8).

9.1. Тройка линейно независимых касательных векторных по-лей существует на

(a) Sg × I; (b) Sg × S1.

9.2. (a) Любой набор из n− 1 линейно независимых касатель-ных векторных полей на ориентируемом n-многообразии можнодополнить до набора из n таких полей.

(b) Если на многообразии имеется набор из k линейно незави-симых касательных векторных полей, то имеется набор из k ор-тонормированных касательных векторных полей.

1Людей просвещенных его мысли поражали новизной и фантастичностью.Люди невежественные узнавали то, что давно думали сами, но никогда ненадеялись услышать. (Г.К. Честертон. Белая ворона. Пер. К. Жихаревой.)

9.1. Исторические замечания и формулировки результатов 159

(Эту задачу интересно решить даже для трехмерного много-образия.)

Развивая идеи Хопфа, Штифель около 1934 г. пришел к опре-делению характеристических классов. Любопытно, что Штифельначал со случая ориентируемых 3-многообразий и пытался по-строить пример такого многообразия, на котором не существуеттройки линейно независимых касательных векторных полей. Фор-мализация была завершена Норманом Стинродом в 1940-х гг. Припомощи построенной теории были доказаны следующий факт,а также многие другие результаты (см. § 11, 12, 13, 16).

Теорема Штифеля. На любом ориентируемом 3-многообра-зии существует тройка линейно независимых касательных век-торных полей.

Обобщения — теоремы 11.4, 11.8 (b) и 12.14.Далее пара (тройка, четверка, набор) ортонормированных ка-

сательных векторных полей называется просто парой (тройкой,четверкой, набором) полей.

Для доказательства следующего просто формулируемого фак-та также нужны характеристические классы. Вы сможете дока-зать его после задач 9.12 (a, b).

9.3. Для связного 2-многообразия F следующие условия рав-носильны:

• на F × S1 существует пара полей;• на F × I существует пара полей;• F имеет непустой край или четную эйлерову характеристи-

ку.

Из следующих двух задач далее (в п. 9.3) используются толькозадачи 9.4 (c, d, e) и 9.5 (a).

9.4. (a) Существует ровно два гомотопических класса отобра-жений окружности в RP 2. Нетривиальный гомотопический класспредставляется диаметром круга, из которого RP 2 получаетсясклейкой.

(b) Пространство SO3 ⊂ R9 положительных ортонормирован-ных реперов в R3 гомеоморфно (см. определение в п. 5.1)

§ 11. Наборы векторных полей

‘You mean...’ he would say, and then he wouldrephrase what I had said in some completelysimple and concrete way, which sometimes il-luminated it enormously, and sometimes madenonsense of it completely.

I. Murdoch. Under the Net1

11.1. О существовании наборов касательных полей

11.1. (a) Теорема о векторных полях. Если n + 1 = 2rm,где m нечетно, то на RPn не существует набора из 2r линейнонезависимых касательных векторных полей.

(b) Теорема об алгебрах с делением. Если на Rn имеетсяструктура алгебры с делением, то n есть степень двойки.

Более точно, алгебры с делением на Rn имеются только приn = 1, 2, 4, 8. Кроме того, на сфере Sn имеется n линейно неза-висимых касательных векторных полей только при n= 0, 1, 3, 7.Эти знаменитые теоремы Ботта—Милнора—Кервера (см. ссылкив [MS74, § 4]) доказываются также с использованием топологии(но гораздо более продвинутой) [Hi95].

В этом параграфе приводится построение характеристиче-ских классов. С их помощью доказываются эти теоремы, которыенетрудно вывести из теоремы о препятствии (см. п. 11.4) и задач11.20 (d), 11.25 (c, d). (Доказательство Хопфа, не использующеесистем векторных полей и характеристических классов [Hi95], бы-ло получено одновременно с доказательством Штифеля, исполь-зующим их.)

1«Вы хотите сказать...» — начинал он и пересказывал мои слова конкрет-но и просто, после чего моя мысль либо оказывалась много понятнее и глубже,либо оборачивалась полнейшей чепухой. (А. Мердок. Под сетью. Пер. М. Ло-рие.)

§ 12. Непогружаемость и невложимость

12.1. Основные результаты о непогружаемостии невложимости

Как писал Э. К. Зиман [Ze93], тремя классическими проблема-ми топологии являются следующие.

• Проблема гомеоморфизма. Когда данные два пространстваN и M гомеоморфны? Как описать множество классов гомео-морфности многообразий из заданного класса, например задан-ной размерности n?

• Проблема вложимости. Какие пространства N вложимыв Rm для данного m?

• Проблема заузливания. Какие вложения f, g : N → Rm изо-топны? Как описать множество изотопических класов вложенийN → Rm?

Определения гладкой гомеоморфности (=диффеоморфности)и кусочно линейной гомеоморфности приводятся в п. 4.5 и 5.2,гладкой и кусочно линейной вложимости — ниже и в п. 5.7, глад-кой и кусочно линейной изотопности — в п. 17.1 и 17.4.

Эти проблемы уже изучались в § 2, 5, 10 и будут изучатьсяв § 12 и в п. 14.4, 16.6, 16.7. См. также [Sk, SS]. Методы, применя-емые для изучения одной из них, применяются и для оставшихся,и для других проблем топологии и ее приложений. О близкихпроблемах см. п. 15.3, 15.4, § 16.

В 1935 г. Хопф рассказал о результатах Штифеля о наборахкасательных векторных полей (§ 9, 11) на Международной топо-логической конференции в Москве. Там выяснилось, что ХасслерУитни около 1934 г. тоже естественно пришел к определению ха-рактеристических классов, изучая проблему вложимости.

Мы работаем в гладкой категории, т. е. все многообразия, век-торные поля и отображения предполагаются гладкими, и слово«гладкий» пропускается. Определение погружения дано в п. 9.2.

212 § 12. Непогружаемость и невложимость

Погружение f : N → Rm компактного подмногообразия N ⊂ Rk

называется вложением, если оно инъективно.

Теорема Уитни. (a) Любое n-мерное многообразие вложимов R2n и погружаемо в R2n−1.

(b) Если n есть степень двойки, то RPn не погружаемов R2n−2 и не вложимо в R2n−1.

Теорема (a) не доказывается в этой книге, см. доказательствав [Ad93, Pr14′]. Теорема (b) следует из задачи 12.1 (a).

Доказательства Уитни невложимости основаны на рассмотре-нии наборов нормальных векторных полей на подмногообразии.Он ввел так называемые классы Штифеля—Уитни и нормальные(двойственные) классы Штифеля—Уитни многообразия. С техпор они играют большую роль в топологии и дифференциаль-ной геометрии. Обобщением является теория расслоений (см. § 13;хотя формально он не зависит от § 12, поработать с наборами нор-мальных полей полезно для мотивировки понятия расслоения из§ 13).

12.1. (a) Если RPn вложимо в Rm или погружаемо в Rm−1, то(m

n

)четно.

(b) Если RPn вложимо в Rm или погружаемо в Rm−1, то( i

n

)четно, как только m 6 i 6 2n (и даже

( i

s

)четно, как только

1 6 s6 n и m6 i6 2s, что вытекает из предыдущего и тождестваПаскаля, а поэтому не дает новой информации).

(c) Если n = 2n1 + . . . + 2nk — двоичное разложение числа n,то RP 2n1 × . . . × RP 2nk не погружаемо в R2n−k−1 и не вложимов R2n−k.

(d) Если RPn погружаемо в Rn+1, то либо n + 1, либо n + 2является степенью двойки.

Здесь п. (b) следует из п. (a). Задачи 12.1 (a, d) следуют иззадач 12.6 (c), 12.7 (d), 12.9, 12.11 (c) и 12.12 (c). Задача 12.1 (c)решается с использованием задач 12.6 (c), 12.7 (c, d).

Гипотезы Масси. Обозначим через α(n) количество единицв двоичной записи числа n.

Documents

Obstruct