22
6.1. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE MÁXIMO Ó MÍNIMO. 6.2. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO 6.3. SIGNIFICADO DE LA PRIMERA DERIVADA 6.4. SINIFICADO Y APLICACIONES DE LA SEGUNDA DERIVADA

ocw.ehu.eus · TEOREMAS DEL VALOR MEDIO 6.3. SIGNIFICADO DE LA PRIMERA DERIVADA ˘ ˘ ˆ ... Interpretación gráfica del Teorema de Rolle ˝ ˛˚3 f:[0,2]fi (˛1)$)(˚ "&*

  • Upload
    vohanh

  • View
    220

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

������������ ���� ���������� ����������� ���

�� ��������� � �������� ����

������������ �������

������ �������������������

�������� �������

6.1. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE MÁXIMO Ó MÍNIMO.

������ �� � ����� ����������� ��� ������� �� ������ � �� ���� ��� �������������������� ���� �� � �

������� ���� � ����� � ����� ���� ������ �� � �������������� � ��� ��� ����� �� ��� �� �

6.2. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

6.3. SIGNIFICADO DE LA PRIMERA DERIVADA

������� � ���� ����� ������ ���� ����� �

������� ��������� � ����� ������� ������� ������ ��� �� � ��� ��� �

6.4. SINIFICADO Y APLICACIONES DE LA SEGUNDA DERIVADA

������� �� ������ ����� ������� �������� �� ������ � �������������������� ���� �� � �

������� ��������� � ����� ������� ������� ������ ����������� ��� �

������������� ����������������������������������������������������� 270 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� �� � � ��� � � ���� �� � � � ������� �� � �� ���� � � �� �� � �

������ ��� ����� �����������������

������������������� [ ]: ,f a b →� ��� 0 [ , ]x a b∈ ��

� �� �!�"#$%&� 0x ��'�#$����������������(�� ( )f x ��$��!�)$%�*+�!&�[ , ]a b �')���',!&�')�

[ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≥ ∀ ∈ �

- �� �!�"#$%&� 0x ��'�#$����������� ������(�� ( )f x ��$��!�)$%�*+�!&� [ , ]a b �')���',!&�')�

[ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≤ ∀ ∈ �

� � �'%&'� ����� �.%*�/ &'� %�/ -)0$� '�� !�'� !!�/ �� � ��� ��� �� � ���� ���

����������� � 0( )f x � '�� !�� !!�/ �� ������ ������ �� ���������� �� ���������� (�� ( )f x � �$�

[ , ]a b ��

� �)�!��1#$2),$�1#�'��2&$%)$#���$��!�)$%�*+�!&�2�**�(&� [ , ]a b 3�!���.)'%�$2)��(�!�

+�!&*��.%*�/ &�4'#"�*)&*�,�)$1�*)&* �(�� ( )f x ��$� [ , ]a b �5#�(�*6��7�*�$%)8�(����'%&�$&�

'�*6�� �'6� ')� !�� 2&$%)$#)(�(� (�� !�� 1#$2),$� '�� ()�'�� 9$)2�/ �$%�� �$� �!� )$%�*+�!&��

�-)�*%& ( , )a b ��

����������� ��� ���� :f D ⊂ →� � 3� �� !&'� "#$%&'� d D∈ %�!�'� 5#�� ∃� δ� :;�

+�*)1)2�$(&<�

( ) ( ) (ó ( ) ( )); ( - , )f d f x f d f x x d d Dδ δ> < ∀ ∈ + ∩ �

'�� !�'� (�$&/ )$�� ������ ��� �� ��� ��� �� � ���� ���� �������� ,� *�!�%)+&'� ,3� / #��

1*�2#�$%�/ �$%�3�/ =.)/ &'�,�/ 6$)/ &'���'�2�'��

������������� ����������������������������������������������������� 271 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� ��� �'%�'� (�1)$)2)&$�'� "&(�/ &'� (�(#2)*� �!7#$�'� *�!�2)&$�'� �$%*�� �'%&'�

"#$%&'<�

� �$��.%*�/ &��-'&!#%&��'�#$�2�'&�"�*%)2#!�*�(���.%*�/ &�!&2�!��

� �$�+�!&*��.%*�/ &� 4'#"�*)&*�,�)$1�*)&* ��'�9$)2&>�"�*&�"#�(��?�-�*�/ ='�(��#$�

"#$%&��.%*�/ &��

� �$��.%*�/ &�*�!�%)+&�"#�(��2&)$2)()*�,�$&�2&$�#$�"#$%&��.%*�/ &��-'&!#%&��

������ ���������� ����� �� � � �

���������������������� �� � ��

�������� ��� �)� ( , )d a b∈ � �'� #$� "#$%&� (�� / =.)/ &� 4/ 6$)/ & � !&2�!� "�*�� �!�

5#� f'(d)∃ 3��$%&$2�'�'��+�*)1)2��5#� '( ) 0f d = ��

� ��/ &'%*�2),$��

�#"&$7�/ &'�5#��'��%*�%��(��#$�/ =.)/ &>�"&*�(�1)$)2),$��'<�

( - ) - ( ) 0f d f dδ ≤ ��� ( ) - ( ) 0f d f dδ+ ≤ �

�&*�&%*���"�*%�3�%�/ -)0$�"&*�(�1)$)2),$�(��(�*)+�(��

0 0 0 00

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

h h

f x h f x f x h f xf x

h h+ −→ →

+ − + −′ = = �

�!�$#/ �*�(&*�(��!&'�(&'�!6/ )%�'��$%�*)&*�'��'�$�7�%)+&�,�2�*&>��!�(�$&/ )$�(&*�

�'�"&')%)+&��$��!�"*)/ �*&���$�7�%)+&��$��!�'�7#$(&>�"&*�%�$%&�!��9$)2��"&')-)!)(�(�

(�� 5#�� '��$� )7#�!�'� 4�� (�-�$� '�*!&� "�*�� 5#�� �.)'%�� !�� (�*)+�(�� (�� ( )f x �$� �!�

"#$%&�( ��'�5#���/ -&'�'��$�)7#�!�'���2�*&���"&*�%�$%& '( ) 0f d = ��

� �()�$%�� #$� "*&2�()/ )�$%&� �$=!&7&� +�*6�/ &'� 5#�� %�/ -)0$� 1@4. A;� 2#�$(&� '��

%*�%��(��#$�/ 6$)/ &>�!#�7&�!&'�/ =.)/ &'���/ 6$)/ &'�!&2�!�'��'%=$�)$2!#6(&'��$%*��

!&'�5#��!!�/ �*�/ &'�"#$%&'�')$7#!�*�'���

���������������!&'�"#$%&'�(��)$%�*+�!&�[ , ]a b ��"�*��!&'�5#��&�-)�$� ( ) 0f x′ = �&�-)�$�

$&��.)'%�� ( )f x′ 3�'��!�'�(�$&/ )$������������������

������������� ����������������������������������������������������� 272 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ ���� � ������� ��� ��� �� ���

��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ���

���� ����� �� ��

� ���%&(&�!&�+)'%&��$%�*)&*/ �$%��(�(#2)/ &'�5#�<�

� �!�5#��'��+�*)1)5#��5#�� '( ) 0f d = �$&�')7$)1)2��$�2�'�*)�/ �$%��5#����'���#$�

/ =.)/ &�,�/ 6$)/ &�!&2�!���'�(�2)*3�#$�"#$%&�')$7#!�*�$&�%)�$��"&*�5#��'��#$�

"#$%&��.%*�/ &���

� �!�+�!&*��.%*�/ &�"#�(��*�2��*��$�2#�!5#)�*��(��!&'��.%*�/ &'�(�!�)$%�*+�!&��

� �)� �!� +�!&*� �.%*�/ &� $&� *�2��� �$� !&'� �.%*�/ &'� (�!� )$%�*+�!&� '�*=3�

$�2�'�*)�/ �$%�3�#$�"#$%&�')$7#!�*��

� �)� &-'�*+�/ &'� !�� �)7#*�� ���3� +�/ &'� 5#�� $&� �.)'%�� 1@42 � ��

5#� '( ) '( ) '( ) 0f b f d f e= = = 3�5#��'&$�%&(&'�!&'�"#$%&'�')$7#!�*�'�(��!��1#$2),$���)$�

�/ -�*7&3� '�� 2#/ "!� ( ) ( )f c f a> � �� ( ) ( )f b f c> 3� "&*� %�$%&3� � 2� $&� �'� �.%*�/ &� 4$)�

'#"�*)&*3� $)� )$1�*)&* �� �&/ &� ( ) ( ) ( ) f e f d f b< < "&*� %�$%&� (� $&� �'� �.%*�/ &�� �)$�

�/ -�*7&����'��!��.%*�/ &�)$1�*)&*���-��!��.%*�/ &�'#"�*)&*���

Figura 6.1. Extremos de una función en un intervalo cerrado

� �� �.)'%�$2)�� (�� !&'� �.%*�/ &'� (�� #$�� 1#$2),$� 5#�(�� 7�*�$%)8�(�� ')� !��

1#$2),$� �'� 2&$%)$#�� �$� �!� )$%�*+�!&� [ , ]a b � �� (�-�$� 2&)$2)()*� 2&$� �!7#$&� (�� !&'�

')7#)�$%�'�"#$%&'<�

������������� ����������������������������������������������������� 273 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �#$%&'��$�!&'�5#��1@4. A;��

� �#$%&'��$�5#��!&'�5#��$&��.)'%��1@4. ��

� &'��.%*�/ &'�(�!�)$%�*+�!&3��'�(�2)*���,�-��

� � $��+�8�?�!!�(&��!�+�!&*�(��14. ��$�2�(��#$&�(���'%&'�"#$%&'3��!�/ ��&*�(��

�!!&'�'�*=��!��.%*�/ &�'#"�*)&*��3��!�/ �$&*3��!��.%*�/ &�)$1�*)&*�(��!��1#$2),$��$��!�

)$%�*+�!&�[ , ]a b ��

� ����������������� [ ]: 0,6f →� �(�1)$)(��"&*� ( ) 4 - 3f x x= − ��

x

1

2

3

4

y

f�c�

f�a� f�b�

I Ia�0 c�3 b�6

Figura 6.2. Función con extremo en un punto donde no existe la derivada.

� ��1#$2),$��'�2&$%)$#���$��!�)$%�*+�!&� [0,6] ��3�"&*�%�$%&3��!2�$8���!�+�!&*�

/=.)/&���/6$)/&��

� �)� &-'�*+�/&'� !�� 7*=1)2�� (�� !�� 1#$2),$� &-'�*+�/&'� 5#�� $&� �.)'%�� �$� �!�

)$%�*)&*�(�!�)$%�*+�!&� [0,6] �$)$79$�"#$%&�%�!�5#� '( ) 0f x = >�')$��/-�*7&�.A���'�

#$�"#$%&��$��!�5#��$&��.)'%�� '(3)f ���'�(�2)*�.A���'��!�9$)2&�"#$%&�')$7#!�*�(��!��

1#$2),$����!2�$8���!�/=.)/&���

� �!�+�!&*�/6$)/&�!&��!2�$8���$�!&'��.%*�/&'�(�!�)$%�*+�!&3��'�(�2)*��$�.A;���

.A����

������������� ����������������������������������������������������� 274 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ��� �� ��� �� �� �� �� �

� &'� %�&*�/ �'� 5#�� �� 2&$%)$#�2),$� +�/ &'� �� �$#$2)�*� $&'� +�$� �� "�*/ )%)*�

2&$&2�*�"*&")�(�(�'�(��!��1#$2),$���%*�+0'�(��'#�(�*)+�(����'%&'�*�'#!%�(&'�'&$�(��

7*�$�#%)!)(�(���!��?&*��(��(�2)*�2#�$(&�#$��1#$2),$�"*�'�$%��#$�/ =.)/ &�&�/ 6$)/ &��

�������� ��� ������ �� ���� ������ � ����� ��� ������� � ���� [ ]: ,f a b →� � �'� #$��

1#$2),$�%�!�5#��

� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �

- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b �

2 � ( ) ( )f a f b= ��

�$%&$2�'3��.)'%���!�/ �$&'�#$�"#$%&�.&∈ ( , )a b �%�!�5#��� 0'( ) 0f x = ��

� ��/&'%*�2),$��

� �&*�'�*� ( )f x �2&$%)$#���$� [ , ]a b 3�%�$(*=3��!�/�$&'3�#$��.%*�/&�'#"�*)&*���

#$��.%*�/&�)$1�*)&*���

� �#"&$7�/&'� 5#�� �'%�� �.%*�/&� �'� #$� "#$%&� (�!� )$%�*)&*� (�!� )$%�*+�!&�

( , )a b ���$%&$2�'3�(�-��'�* 0'( ) 0f x = 3�"&*�5#�� ( )f x ��'�(�*)+�-!��%&(&'�!&'�

"#$%&'�(�!�)$%�*+�!&� ( , )a b ��

� �$� 2�'&� 2&$%*�*)&3� !&'� �.%*�/&'� '#"�*)&*� �� )$1�*)&*� 2&)$2)()*=$� 2&$� !&'�

"#$%&'� �.%*�/&'�(�!� )$%�*+�!&����� -�� �&/&� ( ) ( )f a f b= 3� �$%&$2�'� ( )f x �

'�*=�2&$'%�$%���3�"&*�%�$%&3� '( ) 0 ( , )f x x a b= ∀ ∈ ���

� �$�2#�!5#)�*�2�'&3��.)'%���!�/�$&'�#$�"#$%&� 0 ( , )x a b∈ �%�!�5#��� 0'( ) 0f x = ��

�&(&��'%&�'��"#�(��&-'�*+�*��$�!���)7#*��������

� � -'0*+�'��5#���'� 2&$()2),$�$�2�'�*)��!��(�*)+�-)!)(�(�(�� ( )f x � �$� ( , )a b �

"#�'� �$� 2�'&� 2&$%*�*)&� $&� "&(*6�/&'� �'�7#*�*� 5#�� �.)'%�� #$� 0 ( , )x a b∈ %�!� 5#���

0'( ) 0f x = ���&/&�"#�(��&-'�*+�*'���$��!��B�/"!&������

������������� ����������������������������������������������������� 275 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

x

y

a bxo

Figura 6.3. Interpretación gráfica del Teorema de Rolle

� ����������������3� [ ]: 0, 2f →� �(�1)$)(��"&*<�

( ) 1f x x= −1 ; 0 1

1; 1 2x x

x x

− ≤ ≤�= � − ≤ ≤�

��

�'%�� 1#$2),$� $&� %)�$�� $)$79$� "#$%&� �$� �!� )$%�*)&*� (�!� )$%�*+�!&� [0, 2] � %�!�

5#� '( ) 0f x = 3� �� ')$� �/ -�*7& (0) (2)f f= �� C�&$%*�()2�� 0'%&� �!� ��&*�/ �� (��

&!!�D�

� ���� "&*5#�� !�� 1#$2),$� $&� �'� (�*)+�-!�� �$� .A�3� �� "&*� %�$%&� $&� 2#/ "!�� !��

'�7#$(��2&$()2),$�(�!���&*�/ ����

� ���������������/ &'%*�*�5#��!���2#�2),$�5 2 1 0x x+ − = �%)�$��#$����',!&�#$��*�68�

*��!���

� ��1)$)/ &'�!��1#$2),$�5( ) 2 1f x x x= + − 3�2&$%)$#����(�*)+�-!���$�2#�!5#)�*�

"#$%&���#�'%&�5#��

(0) 1 0(1) 2 0

f

f

= − <= >

!�� 1#$2),$� 2�/ -)�� (�� ')7$&� �$� �!� )$%�*+�!&� [0,1] � �3� �"!)2�$(&� �!� ��&*�/ �� (��

E&!8�$&� "&(�/ &'� 7�*�$%)8�*� 5#�� !�� 1#$2),$� '�� �$#!�� �$� �'�� )$%�*+�!&� �3� "&*�

%�$%&3��.)'%��#$��*�68�(��!���2#�2),$�(�(���

������������� ����������������������������������������������������� 276 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �#"&$7�/ &'�5#��!���2#�2),$�%)�$��(&'�*�62�'�*��!�'� 0 1 y x x ���$��'%��2�(&�

'��2#/ "!�<�

� 1�2&$%)$#���$� 0 1[ , ]x x �

� 1�(�*)+�-!���$� 0 1[ , ]x x �

� 0 1( ) ( )f x f x= ��

� �$� �'%�'� 2&$()2)&$�'� �!� ��&*�/ �� (�� &!!�� �1)*/ �� 5#�� �$� �!� )$%�*+�!&�

0 1[ , ]x x � (�-�� �.)'%)*� #$� "#$%&� 3x � %�!� 5#�� 3'( ) 0f x = �� �#�'%&� 5#��

4'( ) 5 1 0f x x= + ≠ 3� $&� '�� 2#/ "!�� �!� ��&*�/ �� (�� &!!��� !7&� (�� !&� 5#�� ?�/ &'�

'#"#�'%&�(�-��'�*�1�!'&�����!�'�%*�'�2&$()2)&$�'�(�!�%�&*�/ ��!��9$)2��5#��"#�(��

'�*�1�!'���'� 0 1( ) ( )f x f x= ���'�(�2)*3�5#��!���2#�2),$�$&�"#�(��%�$�*�(&'�*�62�'�

*��!�'�()'%)$%�'����

�������� ��� �������� ���� ������ ������ ��� ��������� ���� [ ]: ,f a b →� � #$��

1#$2),$�%�!�5#��

� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �

- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b �

�$%&$2�'3��.)'%���!�/ �$&'�#$�"#$%&� 0 ( , )x a b∈ �%�!�5#�� ′ = −−

f xf b f a

b a( )

( ) ( )0 ��

� ��&/ 0%*)2�/ �$%�� ')7$)1)2�� 5#�� �.)'%�� #$� "#$%&� (�� ( )f x � �$� 5#�� !��

%�$7�$%����!��2#*+���'�"�*�!�!����!��*�2%��5#��#$��!&'�"#$%&'� ( , ( )) y ( , ( )).a f a b f b �

������������� ����������������������������������������������������� 277 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

x

y

a bxo

Figura 6.4. Interpretación gráfica del Teorema de del V.M. de Lagrange

� !�������"�#����

�&$')(�*�/&'�!��1#$2),$�?4. �(��(�1)$)(��"&*�

( ) ( )( ) ( ) ( )

f b f ah x f x x a

b a−� �= − −� �−�

�'%��1#$2),$�'�*=�2&$%)$#���$�[ , ]a b ���(�*)+�-!���$� ( , )a b �')�!&��'�14. ��

�&*�&%*��"�*%���

( ) ( ) y ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h a f a h b f b f b f a f a h a h b= = + = = �

�$� 2&$'�2#�$2)�� �� !�� 1#$2),$� ?4. � !�� �'� �"!)2�-!�� �!� ��&*�/�� (�� � �� �3� "&*�

%�$%&3��.)'%)*=�#$�"#$%&�.&��$� ( , )a b �"�*���!�5#� '( ) 0oh x = >�"&*�!&�5#�3�"�*���'��

"#$%&��

0 0

( ) ( )0 ( ) ( )

f b f ah x f x

b a−′ ′= = −−

�3�"&*�%�$%&�

0

( ) ( )( )

f b f af x

b a−′ =−

��

� ����'%��%�&*�/��'��(�(#2�$�1=2)!/�$%��(&'�2&*&!�*)&'�42#���(�/&'%*�2),$�

&/)%)/&' ��

������������� ����������������������������������������������������� 278 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

��������������)�14. ��'�(�*)+�-!���$� ( , )a b �� '( ) 0 ( , )f x x a b= ∀ ∈ 3��$%&$2�'��'�1��'�

2&$'%�$%���$�%&(&��!�)$%�*+�!&� ( , )a b ���

�������������)� 1� 4. � � �� � 74. � '&$�(�*)+�-!�'� �$� ( , )a b �� '( ) '( ) ( , )f x g x x a b= ∀ ∈ 3�

�$%&$2�'�'��+�*)1)2��14. A74. F2&$'%�$%���

� � -'�*+�/ &'�5#��!&'���&*�/ �'�(�!���!&*�� �()&�(�� � ����(��� ����

$&'�(�$� )$1&*/ �2),$� '&-*�� ( )f x � ��"�*%)*�(�� (́ )f x �� ���/ &'�#$��B�/ "!&�(��2,/ &�

�"!)2�*!&��

� ���� �����$�����&'�2&2?�'�"�%*#!!���5#)"�(&'�2&$�*�(�*��'%=$�')%#�(&'���G�H/ �(��

()'%�$2)���$�#$���#%&")'%����#�$(&�#$�2�/ ),$�"�'��B#$%&��!�"*)/ �*&�(���!!&'�'��

!�� / )(��#$�� +�!&2)(�(�(��I;�H/ J?�� �#�%*&�/ )$#%&'�(�'"#0'3��!� "�'�*� B#$%&��!�

&%*&�2&2?�3��'%��!��/ )(��K;�H/ J?���*&-�*�5#���$��!79$�/ &/ �$%&�(�!�%*���2%&��!�

2�/ ),$�?��'#"�*�(&�!&'��;;�H/ J?��

� ����'4% �!��1#$2),$�5#��$&�(���!�/ &+)/ )�$%&�(�!�2�/ ),$3�5#��'��'#"&$��5#��

�'�2&$%)$#����(�*)+�-!���$��!�)$%�*+�!&�[ ]1150, 3��!�%)�/ "&�/ �()(&��$�?&*�'��

� �)�'4% ��'�!��()'%�$2)��*�2&**)(��(�'(���!�)$'%�$%��%A;3�'��%)�$��5#��

115(0) 0 ( ) 8s y s= = �

!��+�!&2)(�(�/ �()��'�*=�

115

1 115 15

( ) (0) 8120

0m

s sv

−= = =−

� �&*��!���&*�/ ��(�!���!&*�� �()&�(���7*�$7��

� ( )1150 00, tal que '( ) 120mt v t v∃ ∈ = = ��

�&*�%�$%&3��$��!79$�/ &/ �$%&�(�!�%*���2%&�?��'#"�*�(&�!&'��;;�H/ J?���

� �

������������� ����������������������������������������������������� 279 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

��������!����&*�/��(�!���!&*���()&���$�*�!)8�(&�(����#2?������� [ ]: ,f a b →� �

#$��1#$2),$�%�!�5#��

� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �

- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b ��

�$%&$2�'3� 0 ( , ) x a b∃ ∈ �%�!�5#�����[ ( ) - ( )] '( ) [ ( ) - ( )] '( )f b f a g x g b g a f x= �

� !�������"�#����

� ��*���!!&3��!�)7#�!�5#���$��!���&*�/ ��(��� ���3�(�1)$)/ &'�!��1#$2),$�

?4. �(��!��')7#)�$%��1&*/ ��

( ) ( )[ ( ) - ( )] - ( )[ ( ) - ( )]h x f x g b g a g x f b f a= �

� ��(�'�!�'�?)",%�')'�(�!�%�&*�/ �3� ( )h x ��'�2&$%)$#���$� [ , ]a b ���(�*)+�-!���$�

( , )a b ��

� �&*�&%*��"�*%��

( ) ( )[ ( ) - ( )] - ( )[ ( ) - ( )] ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )h a f a g b g a g a f b f a f a g b g a f b h b= = = �

� �&*�%�$%&3���!��1#$2),$� ( )h x �'��!��"#�(���"!)2�*��!���&*�/ ��(�� � ��"&*�

!&�5#���1)*/ �/ &'�5#�� 0 ( , ) x a b∃ ∈ %�!�5#��

0 0 00 '( ) '( )[ ( ) - ( )]- '( )[ ( ) - ( )]h x f x g b g a g x f b f a= = �

2&/ &�5#�*6�/ &'�(�/ &'%*�*���

� �)� ( ) ( ) y '( ) 0 g b g a g x≠ ≠ !��)7#�!(�(��$%�*)&*�"#�(���'2*)-)*'��(��!��1&*/ ��

( ) ( ) '( )( ) ( ) '( )

f b f a f xg b g a g x

− =−

� ����'%��*�!�2),$�"#�(��&-%�$�*'���!�%�&*�/ ��(��@LM �����

������������� ����������������������������������������������������� 280 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

��������"������������� %&'���������$�1���7�(&'�1#$2)&$�'�%�!�'�5#��

� � lim ( ) 0 lim ( ) 0x a x a

f x y g x→ →

= = �

- �'( )

lim'( )x a

f xg x→

∃ �

�$%&$2�'3�( ) '( )

lim lim( ) '( )x a x a

f x f xg x g x→ →

= ����

� �'�(�2)*3��!�!6/ )%��(�!�2&2)�$%��(��(&'�1#$2)&$�'�5#��%)�$(�$���2�*&�"�*��#$�

(�%�*/ )$�(&� +�!&*� (�� !�� +�*)�-!�3� �'� )7#�!� 4')� �.)'%� � �!� !6/ )%�� (�!� 2&2)�$%�� (�� '#'�

1#$2)&$�'�(�*)+�(�'�"�*���!�/ )'/ &�+�!&*�(��!��+�*)�-!���

� ()���*�"��������

� �#"&$)�$(&�5#���.)'%�$��

(

(

'( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim

'( ) ( ) ( ) ( )

n

nx a x a x a x a

f x f x f x f xó ó ó

g x g x g x g x→ → → →

′′ ′′′′′ ′′′

� �

"&(*�/ &'��"!)2�*��!���&*�/ ��(��@LM ����'#2�')+�/ �$%���

� �� *�7!��(�� N?O")%�!� '��"#�(�� �"!)2�*�%�/ -)0$��$� )$(�%�*/ )$�2)&$�'� (�!�

%)"&� ∞∞ 3�')�$(&���2#�!5#)�*�$9/ �*&�(�!�2&$B#$%&�(��!&'�$9/ �*&'�*��!�'�

�/ "!)�(&��

������������� ����������������������������������������������������� 281 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ����� � � � �� ���� �� � ���� � �

������ � ���� ����������� ���� ����� ��

������������������ :f D ⊂ →� � ��

!��� ( )f x ��'�"��"�������$��� ,x y D⇔ ∀ ∈ �%�!�5#�� ( ) ( )x y f x f y≤ ≤ �

"�� ( )f x ��'���"��"�������$��� ,x y D⇔ ∀ ∈ �%�!�5#�� ( ) ( )x y f x f y≤ ≥ �

��� ( )f x �'� �����"��� ����� "��"������ �$� �� ,x y D⇔ ∀ ∈ � %�!� 5#�� x y< �

( ) ( )f x f y < �

#��� ( )f x �� 1#$2),$� 1� '�*=� �����"���� ����� ��"��"������ �$� �� ,x y D⇔ ∀ ∈ ��������

%�!�5#�� x y< � ( ) ( )f x f y > �

������ �������� : ( , )f a b → � �(�*)+�-!���$� ( , )a b 3��$%&$2�'�

� � �)� '( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ ���� ( )f x ��'�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��

- � �)� '( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ ����� ( )f x ��'�(�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��

� !�������"�#����

�&$')(�*�/&'�(&'�"#$%&'�2#�!�'5#)�*��2���(�(�!�)$%�*+�!&� ( , )a b �%�!�'�5#�� c d< ��

�.)'%�� #$� 0 ( , )x c d∈ � 5#�� +�*)1)2� 0

( ) ( )'( )

f d f cf x

d c−=−

�� �#�'%&� 5#� c d< 3�

�$%&$2�'��

� �)� '( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ 3 � '( ) 0of x > � ( ) ( ) , ( , )f d f c c d a b> ∀ ∈ � �

( )f x ��'�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��

� �)� '( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ 3 � '( ) 0of x < � ( ) ( ) , ( , )f d f c c d a b< ∀ ∈ � �

( )f x ��'�(�2*�2)�$%���$� ( , )a b ���

� �'%�� %�&*�/�� $&'� (�� )$1&*/�2),$� (�� 2&/&� �'� ( )f x � �� "�*%)*� (�!�

2&$&2)/)�$%&�(�� '( )f x ���'%��*�'#!%�(&�$&'�+����"�*/)%)*�(�2)()*�2#�$(&�#$��1#$2),$�

"*�'�$%��#$��.%*�/&�!&2�!��$�#$�"#$%&3��'6�2&/&��!�2�*=2%�*�(��()2?&��.%*�/&��

������������� ����������������������������������������������������� 282 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ ����������� ��� ��� �������

����� ��� ���� � � �� � �

�� �����

� ���� 0x %�!�5#� 0'( ) 0f x = �,�$&� 0'( )f x∃ ���$%&$2�'<�

� �#�$(&�0

0

'( ) 0

'( ) 0

x x f x f

x x f x f

� < > ↑��

> < ↓��� 0x ��'�#$�� +��� ��������*���

x

y

x�xo

f '�x��of '�x��o

x�xoxo

Figura 6.5. Comportamiento de '( )f x en un máximo relativo

� �#�$(&�0

0

'( ) 0

'( ) 0

x x f x f

x x f x f

� < < ↓��

> > ↑��� 0x ��'�#$�� ,��� ��������*���

x

y

x�xo

f '�x��of '�x��o

x�xoxo

Figura 6.6. Comportamiento de '( )f x en un mínimo relativo

������������� ����������������������������������������������������� 283 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �#�$(&�0

0

'( ) 0

'( ) 0

x x f x f

x x f x f

� < > ↑��

> > ↑��� � ,� -)�$� �

0

0

'( ) 0

'( ) 0

x x f x f

x x f x f

� < < ↓��

> < ↓���

�$%&$2�'� 0x �$&��'�$)�/ =.)/ &�$)�/ 6$)/ &�*�!�%)+&��

x

y

x�x0

f '�x0��0

f '�x��0

f '�x��0

x�x0x0

x

y

x�x0

f '�x0��0

f '�x��0

f '�x��0

x�x0x0

Figura 6.7. Comportamiento de '( )f x cuando no hay extremo relativo

� ���������-�����

�#"&$7�/&'�5#��!��1#$2),$�(�*)+�(��+)�$��(�(��"&*�!��7*=1)2��(��!���)7#*����K���

5#�*�/&'� (�%�*/)$�*� !&'� )$%�*+�!&'� (�� 2*�2)/)�$%&� �� (�2*�2)/)�$%&� �� '#'�

�.%*�/&'�*�!�%)+&'��

� �)�1@4. :;��$�4�3- �14. ��'�2*�2)�$%���$�4�3- �41���$�4�3- �

� �)�1@4. P;��$�4�3- �14. ��'�(�2*�2)�$%���$�4�3- �41���$�4�3- �

������������� ����������������������������������������������������� 284 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�&*�%�$%&<�

� 1��'�2*�2)�$%���$�4��3�� �

� �1��'�(�2*�2)�$%���$�4��3�� �4��3F� �

� �)�#$��1#$2),$�%)�$���$�#$�"#$%&�.;� #$��.%*�/ &�!&2�!��$%&$2�'<��)��.)'%��

1@4.; �'��2#/ "!��5#��1@4.; A;���

� ��-�/ &'�/ )*�*�!&'�"#$%&'�(&$(�3�&�-)�$�$&��.)'%��!��"*)/ �*��(�*)+�(��&�

0'%���'�2�*&��

� �$� .A��3� � 1@4�� A;��3 '( ) 0

3 '( ) 0

x f x f

x f x f

� < − < ↓��

> − > ↑�� �.A��� �'� #$� "#$%&�(��

/ 6$)/ &�!&2�!��

� �$� .A��3� 1@4�� A;�1 '( ) 0

1 '( ) 0

x f x f

x f x f

� < − > ↑��

> − < ↓�� �.A��� �'� #$� "#$%&� (��

/ =.)/ &�!&2�!��

� �$� .A�3� 1@4. A;� �2 '( ) 0

2 '( ) 0

x f x f

x f x f

� < < ↓��

> < ↓���.A�� $&� �'� #$� "#$%&�

�.%*�/ &�!&2�!��

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-8

-6

-4

-2

2

4

f'�x�

Figura 6.8. Gráfica de '( )f x

������������� ����������������������������������������������������� 285 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ���� � � � ���� ��� � ��� �� ��� �� �

� ���� � �

������ ����������������������

����������� #�� ��� ()2�� 5#�� #$�� 1#$2),$� .�/� ������ ��� "��"�*����� ��������� 0�"���

����)��."��*���/���$�#$�)$%�*+�!&� ( , )a b �')� ( , )x a b∀ ∈ �!��%�$7�$%����!��2#*+���$��'��

"#$%&�5#�(��"&*�(�-�B&�(��!��2#*+���

x

y

6.9. Gráfica de una función convexa

����������� $�� ��� ()2�� 5#�� #$�� 1#$2),$� .�/� ������ ��� "��"�*����� ��������� 0�"���

�)����."��"�*�/� ��$�#$�)$%�*+�!&� ( , )a b �')� ( , )x a b∀ ∈ �!��%�$7�$%����!��2#*+���$��'��

"#$%&�5#�(��"&*��$2)/ ��(��!��2#*+���

x

y

Figura 6.10. Gráfica de una función cóncava

������������� ����������������������������������������������������� 286 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

��������#������ : ( , )f a b → � �(�*)+�-!���$� ( , )a b 3��$%&$2�'�

� � �)� ''( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ ���� 'f ↑ ( )f x ��'�2&$+�.���$� ( , )a b ��

- � �)� ''( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ ����� 'f ↓ ( )f x ��'�2,$2�+���$� ( , )a b ��

�����������%���)��$�#$�"#$%&� 0x �'��+�*)1)2���

0

0

''( ) 0

''( ) 0

x x f x

x x f x

< >�� > <�

�&�-)�$�0

0

''( ) 0

''( ) 0

x x f x

x x f x

< <�� > >�

'��()2��5#�� 0x ��'�#$���������� ����#����

� �'�(�2)*3�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��'�#$�"#$%&��$��!�5#��?���#$�2�/ -)&��$��!�

'�$%)(&�(��!��2&$2�+)(�(�(��!��2#*+����#�'%&�5#��#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��'�#$�"#$%&�

�$��!�5#��!��"*)/ �*��(�*)+�(��"�'��(��'�*�2*�2)�$%����(�2*�2)�$%��&���!��)$+�*'���$�

�'��"#$%&�')��.)'%��!��'�7#$(��(�*)+�(��$�2�'�*)�/ �$%���'%��?��(��'�*�2�*&���'�(�2)*�

')��.;�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$3�')�∃ ′′ � ′′ =f x f x( ) ( )0 0 0 ��

� ���������������

�#"&$7�/ &'�5#��!��1#$2),$�(�*)+�(��+)�$��(�(��"&*�!��7*=1)2��(��!���)7#*����K���

5#�*�/ &'�(�%�*/ )$�*�!&'�)$%�*+�!&'��$�!&'�5#��!��1#$2),$��'�2,$2�+��,�2&$+�.��

��!&'�"#$%&'�(��)$1!�.),$��

� 'f ↑ ��$�4��3�� �4�3F� ��� ( )f x ��'�2&$+�.��4��3�� �4�3F� �

� � 'f ↓ ��$�4��3� �4�3F� ( )f x �2,$2�+���$�4��3� �4�3F� �

� �$�.A����2 ' ''( ) 0

2 ' ''( ) 0

x f f x

x f f x

� < − ↑ >��

> − ↓ <�� �.A�����'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��

� �$�.�A��1 ' ''( ) 0

1 ' ''( ) 0

x f f x

x f f x

� < ↓ <��

> ↑ >����.�A���'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��

� �$�.A���2 ' ''( ) 0

2 ' ''( ) 0

x f f x

x f f x

� < ↑ >��

> ↓ <�� �.A����'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��

������������� ����������������������������������������������������� 287 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

&'�"#$%&'�(��)$1!�.),$�'&$�!&'��.%*�/ &'�(�� '( )f x ���

������ ���������� ����������� ��� ������

��� �� � ��

��������$������ 0x �#$�"#$%&�"�*���!�5#� 0(́ ) 0f x = ���) 0"( ) 0f x > ���$%&$2�'����'�

#$� / 6$)/ &>� ')� 0"( ) 0f x < � �$%&$2�'� ()2?&� "#$%&� '�*=�#$� / =.)/ &�� �$� 2�'&� (�� 5#��

0"( ) 0 f x = "&(*6��'�*�2#�!5#)�*�2&'���

� !�� �����"�#�����

�!�(�'�**&!!&�(�����!&*�(��&*(�$���(��()2?��1#$2),$�$&'�(�*6�<�

2

( ) ( ) ( )2!h

f a h f a f a′′+ − ≈ �

�!� ')7$&� (�� f a h f a( ) ( )+ − � (�"�$(�� (�!� ')7$&� (�� ′′f a( ) �� � -%�$)0$(&'�� �!�

*�'#!%�(&��

� �!�')7#)�$%��*�'#!%�(&�5#���'�#$��7�$�*�!)8�2),$�(�!��$%�*)&*��

��������%����)�( 1 (( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0n nf a f a f a f a y f a−′ ′′ ′′′= = = = = ≠� 3�'�*=<�

� � �)�$��'�"�*3� ( ( ) 0nf a > a ��'�#$�/ 6$)/ &�*�!�%)+&���

- �� �)�$��'�"�*3� ( ( ) 0nf a < a ��'�#$�/ =.)/ &�*�!�%)+&���

2 �� �)�$��'�)/ "�* a ��'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��

� !�������"�#����

��(�'�!�'�2&$()2)&$�'3��!�(�'�**&!!&�(�����!&*�(��&*(�$�$��$��!�"#$%&���$&'�()2��

5#��

( ( )( ) ( )

!

nnf a

f a h f a hn

+ − ≈ ���

� �)�$� �'�#$�$9/ �*&�"�*��� ( ( ) 0nf a > ( ) - ( ) 0f a h f a + > x a = � �'� #$�

/ 6$)/ &�*�!�%)+&���

������������� ����������������������������������������������������� 288 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �)� $� �'� #$� $9/ �*&� "�*� ��( ( ) 0nf a < ( ) - ( ) <0f a h f a + x a = � �'� #$�

/ =.)/ &�*�!�%)+&���

� �)�$��'�#$�$9/ �*&�)/ "�*�nh �2�/ -)��(��')7$&� ( ) - ( )f a h f a + �2�/ -)��

(��')7$&� x a = ��'�$)�/ =.)/ &3�$)�/ 6$)/ &�*�!�%)+&3� x a= ��'�#$������

� ���������1�����(&��!�*�2)$%&3�?�!!�*��!�=*���/ =.)/ ��(�!�*�2%=$7#!&��"&��(&��$�

�!��B��� ��2&$�!&'�&%*&'�+0*%)2�'��$�!��2#*+��� 212 - y x= ��

��1#$2),$�5#��$&'�(���!�=*���(�!�*�2%=$7#!&�)$'2*)%&��$�!��"�*=-&!���'�

2( ) 2 (12 - ); [0, 12]A x x x x= ∈ �

�&/ &� 4. A;� 4+�!&*� / 6$)/ &� (�� !�� 1#$2),$ � �$� !&'� �.%*�/ &'� (�!� )$%�*+�!&� �!�

/ =.)/ &��'%�*=��$��!�)$%�*)&*���'�*=�#$�"#$%&�%�!�5#��Q4. A;�

2 2'( ) 2(12 - ) - 4 0A x x x= = �

2 2'( ) 24 - 6 0 4 2A x x x x= = = = ± �

��'2�*%�/ &'��!�+�!&*�$�7�%)+&�"&*5#��$&��'%=�(�$%*&�(�!�)$%�*+�!&��

"( ) -12 "(2) -24 A x x A= = ��$� 2x = �?���#$�/ =.)/ &��

x

y

.

Figura 6.11. Rectángulo inscrito en la parábola 212 - y x= �

������������� ����������������������������������������������������� 289 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������ ����������� ��� ��� �������

����� ��� ���� � �������

�� �����

� ����.&�#$�"#$%&�')$7#!�*3�%�!�5#� 0''( ) 0f x = �,�$&� 0''( )f x∃ ���$%&$2�'<�

� �#�$(&�0

00

''( ) 0 'x x

f x f f xx x

<� < ↓ � >�

� ��'�#$��+�����������*���

x

y

x�xo

f ''�x��o

f ''�x��of ''�x��o

x�xoxo

Figura 6.12. Comportamiento de '( )f x en un máximo relativo

� �#�$(&� 0''( ) 0f x > �&�-)�$�0

00

''( ) 0 'x x

f x f f xx x

<� > ↑ � >�

� ���'�#$�

� ,��� ��������*���

x

y

x�xo

f ''�x��o

f ''�x��of ''�x��o

x�xoxo

Figura 6.13. Comportamiento de '( )f x en un mínimo relativo

������������� ����������������������������������������������������� 290 Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� �#�$(&�0

0

''( ) 0 '

''( ) 0 '

x x f x f f

x x f x f f

� < < ↓��

> > ↑��

�&�-)�$��

� � ������0

0

''( ) 0 '

''( ) 0 '

x x f x f f

x x f x f f

� < > ↑��

> < ↓��

���

0x ���'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��

x

y

x�x0

f ''�x0��0

f ''�x��0

f ''�x��0

x�x0x0

x

y

x�x0

f ''�x0��0

f ''�x��0

f '�x��0

x�x0x0

Figura 6.14. Comportamiento de ''( )f x cuando no hay un punto de inflexión