Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μέρος 10

Μετρήσεις και ακρίβεια

Βασική Επεξεργασία

Στατιστική Ερμηνεία

Μετάδοση Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μέτρηση

Μια συλλογή ποσοτικών (αριθμός amp μονάδα μέτρησης)

ή και ποιοτικών δεδομένων που περιγράφει μία ιδιότητα

ενός φαινομένου ή ενός αντικειμένου

Πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός ειδικού οργάνου

(πχ χάρακας θερμόμετρο χρονόμετροhellip)

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Ακρίβεια

Καθορίζεται από το όργανο

Αναλογικά όργανα

Η μικρότερη υποδιαίρεση

Ψηφιακά όργανα

Από τον κατασκευαστή

(απόλυτη τιμή ή ποσοστό)

Μεταξύ 7 και 8 προς το 7

Μέτρηση 7 plusmn 05119888119898

Μεταξύ 6 και 8 προς το 8

Μέτρηση 8 plusmn 01119888119898

Με σφάλμα 0001g

Μέτρηση 0568 plusmn 0001119892

Με σφάλμα 2

Μέτρηση 057 plusmn 001119892

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Images

httpswwwnhsaustraliacomauProfessional-digital-scale-50g-x-0-001g-mg-Scale-pscales-

cx-128-50g-0001ghtm

httpswwwmathsisfuncommeasureerror-measurementhtml

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μέτρηση

Μια συλλογή ποσοτικών (αριθμός amp μονάδα μέτρησης)

ή και ποιοτικών δεδομένων που περιγράφει μία ιδιότητα

ενός φαινομένου ή ενός αντικειμένου

Πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός ειδικού οργάνου

(πχ χάρακας θερμόμετρο χρονόμετροhellip)

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Ακρίβεια

Καθορίζεται από το όργανο

Αναλογικά όργανα

Η μικρότερη υποδιαίρεση

Ψηφιακά όργανα

Από τον κατασκευαστή

(απόλυτη τιμή ή ποσοστό)

Μεταξύ 7 και 8 προς το 7

Μέτρηση 7 plusmn 05119888119898

Μεταξύ 6 και 8 προς το 8

Μέτρηση 8 plusmn 01119888119898

Με σφάλμα 0001g

Μέτρηση 0568 plusmn 0001119892

Με σφάλμα 2

Μέτρηση 057 plusmn 001119892

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Images

httpswwwnhsaustraliacomauProfessional-digital-scale-50g-x-0-001g-mg-Scale-pscales-

cx-128-50g-0001ghtm

httpswwwmathsisfuncommeasureerror-measurementhtml

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Ακρίβεια

Καθορίζεται από το όργανο

Αναλογικά όργανα

Η μικρότερη υποδιαίρεση

Ψηφιακά όργανα

Από τον κατασκευαστή

(απόλυτη τιμή ή ποσοστό)

Μεταξύ 7 και 8 προς το 7

Μέτρηση 7 plusmn 05119888119898

Μεταξύ 6 και 8 προς το 8

Μέτρηση 8 plusmn 01119888119898

Με σφάλμα 0001g

Μέτρηση 0568 plusmn 0001119892

Με σφάλμα 2

Μέτρηση 057 plusmn 001119892

Παράδειγμα

Παράδειγμα

Images

httpswwwnhsaustraliacomauProfessional-digital-scale-50g-x-0-001g-mg-Scale-pscales-

cx-128-50g-0001ghtm

httpswwwmathsisfuncommeasureerror-measurementhtml

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Σφάλματα κατά τη μέτρηση

Συστηματικά σφάλματα

Λάθη στη χρήση οργάνων σχεδιασμό πειραματικής διάταξης

Μπορούν να αποφευχθούν

Τυχαία σφάλματα

Περιορισμένη ακρίβεια οργάνωναισθήσεων

Είναι αναπόφευκτα

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Παράδειγμα Χρονομέτρηση κούρσας 100m

Συστηματικά και Τυχαία σφάλματα

httpswwwfirstclasswatchescoukblog201606the-history-of-timekeeping-at-the-olympic-games

httpswwwnprorg20110727138719485when-owens-beat-hitler-and-the-olympics-changed

Images httpswwwyoutubecomwatchv=jB0n35UIv-s

100m

ΜΠΑΜΈναρξη Κούρσας

Λήξη

χρονομέτρησης

Έναρξη

χρονομέτρησης

Χρονική

Διάρκεια Αγώνα

(μέτρηση)

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Αντίδραση στον ήχο

Αντίδραση σε εικόνα

Παρατηρητής

Οπτικό vs Ακουστικό ερέθισμαΔιαφορά χρόνου αντίδρασης

Διάδοση Ήχουasymp03s

Πει

ρα

μα

τικ

ή

Διά

ταξη

Αδράνεια

Χρονόμετρο

Ακρίβεια

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ ) Σφάλμα ΈΝΑ (1) σημαντικό ψηφίο

Ακρίβεια Μέτρησης συμφωνεί με σφάλμα

[Ακρίβεια Μέτρησης] ge [Ακρίβεια Οργάνου]Στρογγυλοποίηση Παραλείπεται το τελευταίο ψηφίο (ΤΨ) και αν [ΤΨ]gt5 rarr +1 στο επόμενο ψηφίο (ΕΨ)

ΠαράδειγμαΈχουμε υπολογίσει (λεπτομέρειες στη συνέχεια) για χρονικό διάστημα

t=2166s δt=0236s ακρίβεια χρονομέτρου 01s

Σφάλμα 0236[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 2154[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119957 = 120784 120784 plusmn 120782 120784 119956

Ειδική περίπτωση [ΤΨ]=5 +1 στο επόμενο

λόγω προηγούμενης στρογγυλοποίησης

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]=5

0 24 02

215 22

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Παράδειγμα 2Έχουμε υπολογίσει για κάποιο μήκος

x=13264m δx=0363m ακρίβεια 001m

Σφάλμα 0363[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 13264[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119961 = 120783120785 120785 plusmn 120782 120786 119950

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]gt5

[ΕΨ]+1=3

0 36 04

1326 133

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Δύο περιπτώσεις ακόμαΈχουμε υπολογίσει για κάποια μάζα

m=1423kg δm=23kg

Σφάλμα δm=20kg (ένα σημαντικό ψηφίο) και μέτρηση m=1420kg

οπότε m=(1420plusmn20) kg

Έχουμε μετρήσει μια διαφορά δυναμικού V=105034V και δV=00282V

Σφάλμα δV=003V και μέτρηση V=1050V

οπότε V=(1050plusmn003) kg

Προσοχή κρατάμε και το μηδέν στο 1050 γιατί δείχνει την ακρίβεια της μέτρησης

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Στατιστική

Ερμηνεία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Παράδειγμα Χρονομέτρηση κούρσας 100m

Συστηματικά και Τυχαία σφάλματα

httpswwwfirstclasswatchescoukblog201606the-history-of-timekeeping-at-the-olympic-games

httpswwwnprorg20110727138719485when-owens-beat-hitler-and-the-olympics-changed

Images httpswwwyoutubecomwatchv=jB0n35UIv-s

100m

ΜΠΑΜΈναρξη Κούρσας

Λήξη

χρονομέτρησης

Έναρξη

χρονομέτρησης

Χρονική

Διάρκεια Αγώνα

(μέτρηση)

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Αντίδραση στον ήχο

Αντίδραση σε εικόνα

Παρατηρητής

Οπτικό vs Ακουστικό ερέθισμαΔιαφορά χρόνου αντίδρασης

Διάδοση Ήχουasymp03s

Πει

ρα

μα

τικ

ή

Διά

ταξη

Αδράνεια

Χρονόμετρο

Ακρίβεια

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ ) Σφάλμα ΈΝΑ (1) σημαντικό ψηφίο

Ακρίβεια Μέτρησης συμφωνεί με σφάλμα

[Ακρίβεια Μέτρησης] ge [Ακρίβεια Οργάνου]Στρογγυλοποίηση Παραλείπεται το τελευταίο ψηφίο (ΤΨ) και αν [ΤΨ]gt5 rarr +1 στο επόμενο ψηφίο (ΕΨ)

ΠαράδειγμαΈχουμε υπολογίσει (λεπτομέρειες στη συνέχεια) για χρονικό διάστημα

t=2166s δt=0236s ακρίβεια χρονομέτρου 01s

Σφάλμα 0236[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 2154[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119957 = 120784 120784 plusmn 120782 120784 119956

Ειδική περίπτωση [ΤΨ]=5 +1 στο επόμενο

λόγω προηγούμενης στρογγυλοποίησης

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]=5

0 24 02

215 22

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Παράδειγμα 2Έχουμε υπολογίσει για κάποιο μήκος

x=13264m δx=0363m ακρίβεια 001m

Σφάλμα 0363[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 13264[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119961 = 120783120785 120785 plusmn 120782 120786 119950

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]gt5

[ΕΨ]+1=3

0 36 04

1326 133

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Δύο περιπτώσεις ακόμαΈχουμε υπολογίσει για κάποια μάζα

m=1423kg δm=23kg

Σφάλμα δm=20kg (ένα σημαντικό ψηφίο) και μέτρηση m=1420kg

οπότε m=(1420plusmn20) kg

Έχουμε μετρήσει μια διαφορά δυναμικού V=105034V και δV=00282V

Σφάλμα δV=003V και μέτρηση V=1050V

οπότε V=(1050plusmn003) kg

Προσοχή κρατάμε και το μηδέν στο 1050 γιατί δείχνει την ακρίβεια της μέτρησης

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ ) Σφάλμα ΈΝΑ (1) σημαντικό ψηφίο

Ακρίβεια Μέτρησης συμφωνεί με σφάλμα

[Ακρίβεια Μέτρησης] ge [Ακρίβεια Οργάνου]Στρογγυλοποίηση Παραλείπεται το τελευταίο ψηφίο (ΤΨ) και αν [ΤΨ]gt5 rarr +1 στο επόμενο ψηφίο (ΕΨ)

ΠαράδειγμαΈχουμε υπολογίσει (λεπτομέρειες στη συνέχεια) για χρονικό διάστημα

t=2166s δt=0236s ακρίβεια χρονομέτρου 01s

Σφάλμα 0236[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 2154[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119957 = 120784 120784 plusmn 120782 120784 119956

Ειδική περίπτωση [ΤΨ]=5 +1 στο επόμενο

λόγω προηγούμενης στρογγυλοποίησης

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]=5

0 24 02

215 22

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Παράδειγμα 2Έχουμε υπολογίσει για κάποιο μήκος

x=13264m δx=0363m ακρίβεια 001m

Σφάλμα 0363[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 13264[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119961 = 120783120785 120785 plusmn 120782 120786 119950

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]gt5

[ΕΨ]+1=3

0 36 04

1326 133

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Δύο περιπτώσεις ακόμαΈχουμε υπολογίσει για κάποια μάζα

m=1423kg δm=23kg

Σφάλμα δm=20kg (ένα σημαντικό ψηφίο) και μέτρηση m=1420kg

οπότε m=(1420plusmn20) kg

Έχουμε μετρήσει μια διαφορά δυναμικού V=105034V και δV=00282V

Σφάλμα δV=003V και μέτρηση V=1050V

οπότε V=(1050plusmn003) kg

Προσοχή κρατάμε και το μηδέν στο 1050 γιατί δείχνει την ακρίβεια της μέτρησης

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Παράδειγμα 2Έχουμε υπολογίσει για κάποιο μήκος

x=13264m δx=0363m ακρίβεια 001m

Σφάλμα 0363[ΤΨ]=6gt5

[ΕΨ]+1=4

Μέτρηση 13264[ΤΨ]=4lt5

Τελικά

119961 = 120783120785 120785 plusmn 120782 120786 119950

[ΤΨ]=4lt5

[ΤΨ]gt5

[ΕΨ]+1=3

0 36 04

1326 133

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Δύο περιπτώσεις ακόμαΈχουμε υπολογίσει για κάποια μάζα

m=1423kg δm=23kg

Σφάλμα δm=20kg (ένα σημαντικό ψηφίο) και μέτρηση m=1420kg

οπότε m=(1420plusmn20) kg

Έχουμε μετρήσει μια διαφορά δυναμικού V=105034V και δV=00282V

Σφάλμα δV=003V και μέτρηση V=1050V

οπότε V=(1050plusmn003) kg

Προσοχή κρατάμε και το μηδέν στο 1050 γιατί δείχνει την ακρίβεια της μέτρησης

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Στρογγυλοποίηση ndash Σημαντικά Ψηφία (Ψηφία με ΝΟΗΜΑ )

Δύο περιπτώσεις ακόμαΈχουμε υπολογίσει για κάποια μάζα

m=1423kg δm=23kg

Σφάλμα δm=20kg (ένα σημαντικό ψηφίο) και μέτρηση m=1420kg

οπότε m=(1420plusmn20) kg

Έχουμε μετρήσει μια διαφορά δυναμικού V=105034V και δV=00282V

Σφάλμα δV=003V και μέτρηση V=1050V

οπότε V=(1050plusmn003) kg

Προσοχή κρατάμε και το μηδέν στο 1050 γιατί δείχνει την ακρίβεια της μέτρησης

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndash Μέση Τιμή Μετρήσεων

Για το ίδιο μέγεθος παίρνουμε Ν μετρήσεις 119961120783 119961120784 hellip 119961119925

Υπολογίζουμε το μέσο όρο ή μέση τιμή (σύμβολίζεται 119961 ή 119961 )

lt 119961 gt = (119961120783 + 119961120784 +⋯+ 119961119925)119925 ή lt 119961 gt =120783

119925σ119946=120783119925 119961119946 (σχέση 1)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120783= 1006667

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120783= 101s

Εφαρμογή σχέσης (1)

lt 119957 gt120784= 1008333

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 119957 gt120784= 101s

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Αντιμετώπιση τυχαίων σφαλμάτων ndashΤυπική απόκλιση (σφάλμα)

Υπολογίζουμε τυπική απόκλιση 120648 =120783

120500minus120783σ119946=120783120500 ( 119961 minus 119961119946)

120784 (σχέση 2)

και σχετικό σφάλμα δxltxgt (σχέση 3)

Μετρήσεις set1

αα t(s)

1 101

2 10

3 102

4 101

5 101

6 99

Μετρήσεις set2

αα t(s)

1 103

2 101

3 102

4 101

5 102

6 96

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120783 = 010328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120783= 01s

Εφαρμογή σχέσης (2)

120648120784 = 0248328

Στρογγυλοποίηση

Μόνο σημαντικά ψηφία

lt 120648 gt120784= 02s

119925 = 120788 lt 119957 gt120783= 101s 119925 = 120788lt 119957 gt120784= 101s

Και δxltxgt asymp 00099 (σχέση 3) Και δxltxgt asymp 00198 (σχέση 3)

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

lt 120648 gt120783= 01slt 119957 gt120783= 101s

δxltxgt asymp 00099

Παράδειγμα 1

lt 120648 gt120784= 02slt 119957 gt120784= 101s

δxltxgt asymp 00198

Παράδειγμα 2

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

9

95

10

105

11

0 2 4 6

Χρ

όνο

ς t

(s)

Αριθμός μέτρησης

Φυσική σημασία ερμηνεία

Ίδιο ltxgt

ίδια η τιμή μεγέθους

που μετρήθηκε

Μικρότερο σ και δxltxgt

Μεγαλύτερη ακρίβεια

Μικρότερη διακύμανση

τιμών γύρω από το ltxgt

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Οι μετρήσεις με τυχαία σφάλματα ακολουθούν κανονική κατανομή

119918 119961 =120783

120784120645120648119942minus(119961minus 119961 )120784

120784120648120784

x η τιμή μιας μέτρησης ltxgt η μέση τιμή σ η τυπική απόκλιση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

(Την είδατε

Την ξεχάσατε)

Ίδια μέση τιμή

σ=2α (Παρ2)

σ=α(Παρ1)

Τυπική απόκλιση σ Όσο μεγαλύτερη είναι

τόσο πιο umlαπλωμένεςuml είναι οι τιμές

Κατανομή Δίνει και πιθανότητα να

βρεθεί τιμή σε συγκεκριμένη

απόσταση από το ltxgt

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη ΑΒΓ

Γνωστή σχέση Γ=f(AΒ)

Μέτρηση για Α ΑplusmnδΑ Β ΒplusmnδΒ

Θέλουμε υπολογισμό Γ υπάρχει ΚΑΙ σφάλμα

Πιθανό Σφάλμα στον υπολογισμό του Γ 120633120490120784 = (120655119943

120655119912120633120488)120784+(

120655119943

120655119913120633119809)120784

(σχέση 4)

Μετάδοση Σφαλμάτων- ΕξισώσειςΠότε rarr Μετράμε κάποια μεγέθη προκειμένου να υπολογίσουμε ΆΛΛΟ

μέγεθος από γνωστή σχέση

Πώς rarr

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε μήκος x και πλάτος y ορθογώνιας αίθουσας

Μέγεθος που υπολογίζουμε Εμβαδόν S της αίθουσας

Γνωστή σχέση S=xy

119961 = 120786 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119962 = 120790 plusmn 120782 120782120782120783 119950Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119930

120655119961= 119858

120655119930

120655119962= 119961

Πιθανό Σφάλμα u 120633119826120784 = (119962120633119857)120784+(119961120633119858)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτητας

δS= 0008944 δS=0009m2

Τελικά 119930 = (120785120784 plusmn 120782 120782120782120791)119950120784

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 1

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων

Μετρήσεις και

ακρίβειαΒασική

επεξεργασία

Εργαστήριο Φυσικής Ι ndash Εισαγωγικό Μάθημα

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών- Πανεπιστήμιο ΚρήτηςΚΠ Παπαδόπουλος 2019

Μεγέθη που μετράμε χρονικό διάστημα δt ndash Απόσταση S

Μέγεθος που υπολογίζουμε Ταχύτητα u

Γνωστή σχέση u=xt

119930 = 120783120782120782 plusmn 120782 120782120782120783 119950 119957 = 120783120782 120783 plusmn 120782 120783 119956 (τιμές από το παράδειγμα 1 )

Εφαρμογή σχέσης 4

Μερικές παράγωγοι 120655119958

120655119957= minus

119930

119957120784120655119958

120655119930=

120783

119957

Πιθανό Σφάλμα u 120633119854120784 = (minus119930

119957120784120633119853)120784+(

120783

119957120633119826)120784

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε το πιθανό σφάλμα στον υπολογισμό της (μέσης)

ταχύτηταςδu= 0098029655 δu=01ms

Τελικά 119958 = (120791 120791 plusmn 120782 120783)119950119956

Μετάδοση Σφαλμάτων- Παράδειγμα 2

Στρογγυλοποίηση

Στατιστική

Ερμηνεία

Μετάδοση

Σφαλμάτων