Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
185
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α
1.1 Ισότητα τριγώνων.
1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων.
1.3 Θεώρημα του Θαλή.
1.4 Ομοιοθεσία.
1.5 Ομοιότητα.
1.6 Λόγος εμβαδών ομοίωνσχημάτων
Γενικές ασκήσεις 1ου ΚεφαλαίουΕπανάληψη – Ανακεφαλαίωση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ1o
✔ Θυμάμαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου(κύρια – δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων.
✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τακριτήρια ισότητας τριγώνων.
✔ Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.
AÓ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı›, ÙfiÙ ı· Ù·˘-ÙÈÛÙ› Ì ¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Δ1, Δ2, Δ3, Δ4.
1. ¡· ·ÔÙ˘ÒÛÂÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Û ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È Ó· ‚Ú›Ù Ì ÔÈÔ ·fi Ù·ÙÚ›ÁˆÓ· Δ1, Δ2, Δ3, Δ4 Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È.
2. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:∞μ = ....., μ° = ....., °∞ = .....,
∧
∞ = ....., ∧
μ = ..... Î·È ∧
° = .....
∫‡ÚÈ· Î·È ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ – ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È·ÚÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. √È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘∞μ° Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘
∧
∞, ∧
μ, ∧
°Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·, ‚, Á.
°È· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ ∏ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›·ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ, .¯. ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞° Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›·
∧
∞.√È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ϤÁÔÓÙ·ÈÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·˘Ù‹˜ .¯. ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ° Â›Ó·È ÔÈ
∧
μ Î·È ∧
°.ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È:
∧
∞ +∧
B +∧
° = 180Æ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
186
πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ1.1
∞
μ °·
‚Á
∞
∞μ °
°
μ ∞
°
μ
∞KH I
N
™ƒ£ §
ª
¢
∂
∑
B °
Δ1 Δ3
Δ2
Δ4
Οξυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ fiϘÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÍ›˜.
Aμβλυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈÌÈ· ÁˆÓ›· ·Ì‚Ï›·.
Ορθογώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈÌÈ· ÁˆÓ›· ÔÚı‹.
™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ÏÂ˘Ú¿ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÔÚı‹ ÁˆÓ›·ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·, ÂÓÒ ÔÈ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜.ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È:
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ∞μ = ∞° Ë ÏÂ˘Ú¿ μ° ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ÛËÌ›Ô∞ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.
™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÂÎÙfi˜ ·fi Ù· ·ÚÈ· ÛÙÔȯ›·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Ù· ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›·,Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È Ù· ‡„Ë.
ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Û ÌÈ· ¿ÏÏË ı¤ÛËÎ·È ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ Î·Ù¿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛ‹ ÙÔ˘ ·˘Ùfi ‰ÂÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ∞, μ, ° ı· ¿ÚÔ˘ÓÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞�, μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ı· ¿ÚÂÈ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞�μ�°�.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜,·ÊÔ‡ Î·È ·˘Ù¤˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ:
∞μ = ∞�μ�, μ° = μ�°�, ∞° = ∞�°� Î·È ∧
∞ = ∧
∞�, μ = ∧
μ�, ∧
° = ∧
°�.¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°�, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜, ϤÌ fiÙÈÂ›Ó·È ›Û·. ¢ËÏ·‰‹
ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.
187
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
∞ ∞
μ °
∞
μ °M
°μ
∞
°μ
∞
μ °∏
∞
μ °¢
∞
B� °�
μ °∞�
Σκαληνό, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¿ÓÈÛ˜.
Ισοσκελές, fiÙ·Ó ¤¯Âȉ‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜.
Ισόπλευρο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·ÈÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.
Διάμεσος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÌÈ· ÎÔ-Ú˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ̤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.
Διχοτόμος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÌÈ·ÎÔÚ˘Ê‹, ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· Û‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Î·Ù·-Ï‹ÁÂÈ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿.
Ύψος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔ-Ì¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fiÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Â›Ó·ÈοıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ı›· Ù˘·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.
IÛ¯‡ÂÈ ·ÎfiÌË Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ¢ËÏ·‰‹
ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.
™ÙÔ ÂÍ‹˜ Û οı ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ı· ıˆÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È. ∞˘ÙfiÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿,ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È.°È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙȤ¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ì ÏÈÁfiÙÂÚ·ÛÙÔȯ›· Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.√È ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.
∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶ – ° – ¶) °È· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ú·Î¿Ùˆ ‚·ÛÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÈÛfiÙËÙ·˜∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.
¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜∞μ = ∞�μ�, ∞° = ∞�°� Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓËÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË
∧
∞ = ∧
∞�.
∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ Ë
ÁˆÓ›· ∧
∞ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∧
∞� Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞μ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË
Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞�μ�, ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞�°� Î·È ÔÈ
ÎÔÚ˘Ê¤˜ μ, ° ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ì ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È
∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ‰‡ÔÏ¢ڤ˜ ›Û˜ (∞μ = ¢∂ = 4 cm, μ° = ∂∑ = 5 cm)Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË (
∧
μ =∧
∂ = 70Æ).∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹
∞° = ¢∑, ∧
° =∧
∑ Î·È ∧
¢ =∧
∞.
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜∧
°,∧
∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∂¢.°ÂÓÈο:™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.
188
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
B� °�μ °
∞�
∞
μ °
E
¢
∑
5 cm
5 cm
4 cm 4 cm
70Æ
70Æ
2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (° – ¶ – ° ).
™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó·¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË μ° = μ�°� Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂ-Ó˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜
∧
μ = ∧
μ� Î·È ∧
° = ∧
°�.∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ μ° Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ μ�°� Î·È Ë ÁˆÓ›·
∧
μ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ ÌÂÙË ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›·
∧
μ�, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ∧
° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∧
°� Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹∞ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞�.ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ∂Ô̤ӈ˜
∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿›ÛË (∞° = ¢∂ = 8 cm) Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ (
∧
∞ = ∧
¢ = 60Æ, ∧
° = ∧
∂ = 40Æ).∂Ô̤ӈ˜ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹
∧
μ = ∧
∑, ∞μ = ¢∑, μ° = ∂∑.
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ¢∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜∧
°, ∧
∂.
°ÂÓÈο:™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.
3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶ – ¶ – ¶).
™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó·¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜
(∞μ = ∞�μ�, μ° = μ�°�, ∞° = ∞�°�).∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ÙfiÙ·˘Ùfi Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°�, ÔfiÙ ٷÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. EÔ̤ӈ˜
∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ∞μ = ¢∂ = 3 cm, A° = ¢∑ = 6 cm Î·È μ° = ∂∑ = 5 cm. ÕÚ· ı· ¤¯Ô˘ÓÎ·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·,‰ËÏ·‰‹
∧
∞ = ∧
¢, ∧
μ = ∧
∂ Î·È ∧
° = ∧
∑.
189
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
∞�
μ� °�
∞
μ °
∞
μ° °�
∞�
μ�
∞
μ
°
8 cm
60Æ
40Æ
∞
μ
°
3 cm 6 cm
5 cm
¢
∂
∑
3 cm
6 cm
5 cm
∂
∑
¢ 60Æ
40Æ8 cm
∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓΔ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ·ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·.
™ÙÔ Û¯‹Ì· 1 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂ٘Ϣڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚı‹.™ÙÔ Û¯‹Ì· 2 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Î·È ÌÈ· οıÂÙËÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘˜ ›ÛË. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜̛· ÚÔ˜ Ì›·.
√È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂÂ›Ó·È ›Û·.
™ÙÔ Û¯‹Ì· 3 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.™Ù· Û¯‹Ì·Ù· 4 Î·È 5 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘Â›Ó·È 180Æ. ÕÚ· Â›Ó·È ›Û· ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.
√ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓÙÚÈÁÒÓˆÓ.∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›·›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ:¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Óñ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ‹ñ Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.
190
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
°
μ ∞�
°�
μ�™¯‹Ì· 1
™¯‹Ì· 3
∞
°
μ ∞�
°�
μ�
™¯‹Ì· 2
™¯‹Ì· 4 ™¯‹Ì· 5
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∞μ = ∞°) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ ∞¢.·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∞¢°.‚) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ
∧
μ = ∧
° Î·È fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‡„Ô˜.
Λύση·) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢, ∞¢° Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ
¤¯Ô˘Ó:ñ ∞¢ = ∞¢, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ñ ∞μ = ∞° ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ
∧
∞1 = ∧
∞2, ·ÊÔ‡ ∞¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∧
∞.ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜̛· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË.
‚) ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∞¢° Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›·ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙÂ
∧
μ = ∧
°, μ¢ = ¢° Î·È ∧
¢1 = ∧
¢2.∞ÊÔ‡ ›ӷÈ
∧
¢1 = ∧
¢2 Î·È ∧
¢1 + ∧
¢2 = 180Æ, ı· ¤¯Ô˘Ì ∧
¢1 = ∧
¢2 = 90Æ, ÔfiÙ ˉȯÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜. ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜, ·ÊÔ‡ μ¢ = ¢°. ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ:·) √È ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.‚) ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜, ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÚÔ˜ ÙË
‚¿ÛË ÙÔ˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∧
∞ = ∧
¢ = ˆ Î·È ∞° = °¢.¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∞μ = ¢∂.
Λύση™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°, °¢∂ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ∞° = °¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ
∧
∞ = ∧
¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ
∧
°1 = ∧
°2 ÁÈ·Ù› Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È °¢∂ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û ·˘Ù‹ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È fiÏ· Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜›Û·, ÔfiÙ ∞μ = ¢∂.
¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.
Λύσηº¤ÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ Ô˘ ÙÔ Ù¤ÌÓÂÈ ÛÙÔ
3
2
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
191
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
∞
μ °1 2¢
21
∞
μ
°
¢
∂
ˆ1 2
ˆ
ÛËÌÂ›Ô ª. ∞Ó ™ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘, ı··Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ™∞ = ™μ. ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ∞ª™, 쪙 Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ™ª = ™ª, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ηÈñ ∞ª = ªμ,·ÊÔ‡ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘ ∞μ.ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ™∞ = ™μ.
÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÛËÌ›ÔÙ˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.
¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘.
Λύσηº¤ÚÓÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ √z Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x
∧
Oy Î·È ¿Óˆ Û’·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ∞. ∞Ó ∞μ, ∞° ›ӷÈÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ÁˆÓ›·˜, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∞μ = ∞°.™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· √∞μ, √∞° ηȷڷÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ √∞ = √∞ ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ηÈñ
∧
√1 = ∧
√2, ·ÊÔ‡ Ë √z Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x∧
Oy.ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ηÈÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·,ÔfiÙ ∞μ = ∞°.
÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜
∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘.
4
192
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞ μ
(Â)
ª
™
μ
A
°
12
√ x
z
y
¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°Î·È ∞∂¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó·Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜∧
μ = ....., ∧
° = ..... Î·È μ° = ...... .
¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ·ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Î·È ¤¯Ô˘Ó ‰‡ÔÏ¢ڤ˜ ›Û˜ Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË.
¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘÈÛfiÙËÙ˜ ∞μ = ..... Î·È ∞° = .....
¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
∂›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘÈÛfiÙËÙ˜
∧
∞ = ..... , ∧
μ = ..... Î·È ∧
° = .....
¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜:·) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.‚) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.Á) ™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.‰) ™Â ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ηÈ
ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÁˆÓ›· ›ÛË.ÛÙ)∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó
Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË.
7
6
5
4
3
2
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
193
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
∞
°μ
∂¢
∞
B °7 cm
6 cm
45Æ
¢
∂ ∑
7 cm 6 cm
45Æ
∞
B °80Æ
70Æ
8 cm
¢
∂ ∑80Æ
70Æ
8 cm
∞
B °7 cm60Æ 45Æ
∫
§ ª7 cm60Æ
75Æ
¢
∂ ∑7 cm
60Æ
45Æ
∞¢
∂B °5 cm 5 cm
70Æ 50Æ
60Æ
∑
70Æ
60Æ 50Æ
∞
μ °
¢∂
∑8 cm
8 cm
7 cm
7 cm
5 cm
5 cm
∂›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
Δ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜.¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓÂ›Ó·È ›Û·.
¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù›Â›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞°¢.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ = ∞° Î·È ∞¢ = ∞∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë √‰ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ÁˆÓ›·˜ x
∧
Oy. ∞Ó √∞ = √μ Î·È ™ Ù˘¯·›Ô ÛËÌ›ÔÙ˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ™∞ = ™μ.
™ÙË ‚¿ÛË μ° ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙ ÛËÌ›· ¢, ∂, ÒÛÙÂ μ¢ = °∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞¢ = ∞∂.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È √∞ = √° Î·È √μ = √¢.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ° = ∞¢.
4
3
2
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
11
10
9
8
194
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞ °
μ
8 cm
55Æ
¢ ∑
∂
8 cm
35Æ
∞ B
°
50Æ
5 cm
∞ °
B
8 cm
6 cm
¢ Z
E
8 cm
6 cm
∫ §
ª
40Æ5 cm¢ ∂
∑
5 cm
40Æ
∞
B
°
¢
4 cm
4 cm
∞B
°
¢
∂
μ
O ™ ‰
y
x
A
√
°
¢ y
x∞ μ
K¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°Â›Ó·È 8 cm. ∞Ó Â›Ó·È ∞∑ = μ¢ = °∂ = 3 cm,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ ›ӷÈÈÛfiÏ¢ÚÔ.
™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞°ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· μ¢ = °∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ
∧
¢ = ∧
∂.
™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ∞° ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ∧
∞ Î·È ∧
°.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞μ = ∞¢ Î·È μ° = °¢.
¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.
Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞�¢�
›Û˜. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ∞μ = ∞�μ�
‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fiÙ· ÛËÌ›· μ Î·È ° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù·ÙÚ›ÁˆÓ· √∞μ Î·È √∞° Â›Ó·È ›Û·.
∞Ó √, ∞ Â›Ó·È Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞√‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· μ
∧
∞°.
Δ· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢μ° ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË μ°. ¡··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞¢ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜
∧
∞ηÈ
∧
¢.
12
11
10
9
8
7
6
5
195
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
∞
μ °
∑
∂
¢
3 cm
3 cm
3 cm
∞
B
¢ ∂
°
∞
B ¢ °
30Æ
70Æ
∞�
B� ¢� °�
30Æ
70Æ
√
μ
∞
°
O A
B
°
∞
B
¢
°
™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ∞ª Î·È ∞�ª� Â›Ó·È ›Û˜.∞Ó ∞μ = ∞�μ� Î·È μª = μ�ª�, ÙfiÙ ӷ ·Ô-‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·)
∧
μ = ∧
μ�.‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.
™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ªÂ›Ó·È ̤ÛÔ Ù˘ ‚¿Û˘ μ°. ∞Ó Â›Ó·È μ¢ = °∂,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ª¢∂ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢ª Î·È ∞∂ª Â›Ó·È ›Û·.
™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∞μ = ∞°) ӷʤÚÂÙ ∞¢ ⊥ ∞μ Î·È ∞∂ ⊥ ∞°. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = ∞∂, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.
™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∧
μ = ∧
¢ = 90Æ Î·È ∞μ = ∞¢. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ° = °¢Î·È fiÙÈ Ë ∞° Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ μ¢.
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧
∞ = 90Æ) Ó· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ μ¢. ∞Ó ¢∂ ⊥ μ°, Ó··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞μ = μ∂.
ªÈ· ¢ı›· (Â) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù·ÛËÌ›· ∞, μ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ Â˘ı›· (Â).
Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ¤¯Ô˘Ó ∧
∞ = ∧
∞� ηÈ∞μ = ∞�μ�. ∞Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞�¢� ›ӷț۷, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·)
∧
μ = ∧
μ�
‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.
∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞μ, °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘˜√ª, √¡ Â›Ó·È ›Û· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë ∞μ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙԢ·ÎÏÔ˘. ∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞° Î·È ∞¢ Â›Ó·È ›Û˜, Ó··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ μ° Î·È μ¢ Â›Ó·È›Û˜.
21
20
19
18
17
16
15
14
13
196
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
ªB °
∞�
ª�B� °�
∞
∞
B
¢
M
E
°
B
¢
M
E
°
∞
μ °
∞�
μ� °�¢�¢
√°
¢
∞μ
ª
¡
°
∞ μ
¢
√
ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ ·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿AÓ ¤Ó· ÏÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ÛÙË ı¿Ï·ÛÛ·, ÂÌ›˜ ÛÙÂÎfiÌ·ÛÙ ÛÙË ı¤ÛË μ ÛÙËÛÙÂÚÈ¿ Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞μ, ÙfiÙÂ:
ñ •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô μ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜¿Óˆ ÛÙËÓ ·Ú·Ï›· οıÂÙ· ÛÙËÓ ∞μ‰È·Ó‡Ô˘Ì ÌÈ·Ó ·fiÛÙ·ÛË μ°. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô °‚¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯. ÛÙÂÚÂÒÓÔ˘Ì ¤Ó·Ú·‚‰› Î·È Û˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·‰È·Ó‡Ô˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °¢ = μ°.
ñ ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ·ÊÔ‡ ‚¿ÏÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯.ÌÈ· ¤ÙÚ·, οÓÔ˘Ì ÛÙÚÔÊ‹ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜Î¿ıÂÙ· ÛÙË μ¢ ÛÙ·Ì·Ù¿Ì fiÙ·Ó ‚ÚÂıԇ̠ے¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È °Ê·›ÓÔÓÙ·È Ó· Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.
∏ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·fiÛÙ·ÛË ∞μ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ·fiÛÙ·ÛË ¢∂ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÙÚ‹-ÛÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙË ÛÙÂÚÈ¿.
ΔË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹, ϤÁÂÙ·È, fiÙÈ ÂÊ¿ÚÌÔÛ ÚÈÓ ·fi 2.500 ¯ÚfiÓÈ· ÂÚ›Ô˘ Ô £·Ï‹˜ ÔªÈÏ‹ÛÈÔ˜.
∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡
197
1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ
¢
∞
E
° B
¶Ò˜ ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚÔ˜ Ô £·Ï‹˜ fiÙÈ ∞μ = ¢∂; ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÂÙÂ;μÚ›Ù ÙȘ ¤ÓÙ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ·¤‰ÂÈÍÂ Ô £·Ï‹˜ Î·È ÛËÌÂÈÒÛÙ ÔÈ··’ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿.
198
✔ Μαθαίνω πότε παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σεμια ευθεία που τις τέμνει.
✔ Μαθαίνω να διαιρώ ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα τμήματα.✔ Μαθαίνω τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων
και πώς υπολογίζεται.✔ Mαθαίνω πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα προς
δύο άλλα τμήματα.
1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ‰È·ÈÛÙÒ-ÛÂÙ fiÙÈ ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ¢ı‡-ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.
2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘,ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â�;
ÿÛ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÌÂٷ͇ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, μ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜,¤ÙÛÈ ÒÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, μ° Ó· Â›Ó·È ›Û·ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›· ∞�,μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ù·Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°� Â›Ó·È ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì ∞�¢ // Â, μ�∂ // Â Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞�μ�¢ Î·È μ�°�∂·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ∞�¢ = μ�∂ ÁÈ·Ù› ∞�¢ = ∞μ, μ�∂ = μ° ˆ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó
∞∞�¢μ, μμ�∂° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ¤¯Ô˘Ì ∞μ = μ°.ñ
∧
μ2� = ∧
°2� ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â�.
ñ∧
∞1� = ∧
μ1� ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ∞�¢, μ�∂Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â�.
Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ÕÚ·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜›Û·, ÔfiÙ ∞�μ� = μ�°�. ∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:
∞Ó ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
§fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ1. 2
∞
B
°
¢
∂
Â
Â1
Â2
Â3
�
∞�
μ�
°�
2
2
1
1
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ (∞μ // °¢) ·Ó ·fiÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞¢ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ª¡ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ∞μ, ª¡, ¢°, ·ÊÔ‡ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞¢, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ηÈÛÙËÓ μ°. ÕÚ· μ¡ = ¡°.
√ÌÔ›ˆ˜, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ·Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // μ° Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞μʤÚÔ˘Ì ª¡ // μ°, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ Â, ª¡, μ° ·ÊÔ‡ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞μ, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ηÈÛÙËÓ ∞°. ÕÚ· ∞¡ = ¡°.∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:
∞Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ Ì›·¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ÙfiÙ ·˘Ù‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘.
¢È·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ = 5 cm Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì Û ÙÚ›·›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È 1,66... cm, ÔfiÙ ηı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿‰ÂÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·.ªÔÚԇ̠fï˜ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞μ Û ÙÚ›· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ·ÓÂÚÁ·ÛÙԇ̠̠ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ˆ˜ÂÍ‹˜:∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ËÌÈ¢ı›· ∞xÎ·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ÙÚ›·‰È·‰Ô¯Èο ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∂∑, ∑∏.∂ÓÒÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· μ, ∏ Î·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∑, ∂, ∞ʤÚÓÔ˘Ì ∑¢, ∂°, ∞y ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË μ∏. √È ·Ú¿ÏÏËϘ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ ∞x ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù·, ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞μ. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì ∞° = °¢ = ¢μ.ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∞μ Û 4, 5, 6, ..., Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù·.
H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓñ ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Î·È Û ÌÈ· ¢ı›·  ¿ÚÔ˘Ì ٤ÛÛÂÚ· ‰È·‰Ô-
¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ∞μ, ÙfiÙ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Ï¤Ì fiÙÈ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 4 � ∞μ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì °¢ = 4 � ∞μ.
∏ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: = 4. °¢∞μ
199
1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
∞ μ
¢
ª
ª
¡
¡
°
(Â)∞
μ °
∞ ° ¢ μ
∂
y
x
∑
∏
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙԢ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 4.
ñ ∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢,
¢μ, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞° Â›Ó·È ›ÛÔ Ì � ∞μ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ:
∞° = � ∞μ ‹ = .
§¤Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ:
∞¢ = � ∞μ ‹ = .
¢ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞° ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È ,
ÂÓÒ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È .
™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:
√ ÏfiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ
Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Î·È Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï, ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï � ∞μ.
ñ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ = 3 cmÎ·È °¢ = 6 cm, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒ-ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
∞μ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È ,
‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜ =
√ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ÂÊfiÛÔÓ¤¯Ô˘Ó ÌÂÙÚËı› Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ¢∂ = 120 cm Î·È ZH = 1,5 m, ÙfiÙÂ
= = =
¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· Ì‹ÎË ÙÔ˘˜.∞Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ .¯. = 2, ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ
fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢, ·ÏÏ¿ ‰Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì‹ÎԘοı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Â›Ó·È ∞μ = 80 cm Î·È °¢ = 40 cm ‹ ∞μ = 18 cmÎ·È °¢ = 9 cm Î.Ù.Ï.
∞μ°¢
45
120 cm150 cm
120 cm1,5 m
¢∂∑∏
Γενικά
12
3 cm6 cm
12
°¢∞μ
23
13
23
∞¢∞μ
23
13
∞°∞μ
13
13
200
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞ B
° ¢(Â)
4 � AB
∞ ° ¢ μ
∞
° ¢
μ3 cm
6 cm
∞Ó¿ÏÔÁ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·
∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ = 9 cm Î·È °¢ = 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ
ÚÔ˜ ÙÔ °¢ Â›Ó·È = 3. √ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∂∑ = 6 cm ηÈ
∏£ = 2 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£ Â›Ó·È = 3.
¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ = = 3, ‰ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ ÚÔ˜ ÙÔ °¢ ›ӷÈ
›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ·
ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, ∂∑ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢, ∏£.
Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó
ÈÛ¯‡ÂÈ = .
∏ ÈÛfiÙËÙ· = ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰.
Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÎÚÔÈ fiÚÔÈ, ÂÓÒ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·‚, Á ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ì¤ÛÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜.™Â ÌÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙȘÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË·˘Ù‹ ˆ˜ ·, ‚, Á, ‰ ıˆÚԇ̠ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.
√È ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Â›Ó·È:
ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ fiÚˆÓÂ›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ fiÚˆÓ.
ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘ÌÂÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ ‹ ÙÔ˘˜ ¿ÎÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Î·È Ó·ÚÔ·„ÂÈ ¿ÏÈ ·Ó·ÏÔÁ›·.
ñ §fiÁÔÈ ›ÛÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î·È ›ÛÔÈ Ì ÙÔÏfiÁÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ·ÚÈıÌËÙÒÓ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.
· Á · Á · + Á ∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙÂ ⎯ = ⎯ = ⎯
‚ ‰ ‚ ‰ ‚ + ‰
· Á · ‚ ‰ Á ∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙÂ ⎯ = ⎯ ‹ ⎯ = ⎯
‚ ‰ Á ‰ ‚ ·
· Á∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙ ·‰ = ‚Á
‚ ‰
Á‰
·‚
Á‰
·‚
Γενικά
∂∑∏£
∞μ°¢
∂∑∏£
∞μ°¢
201
1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
∞ ° ¢B
∂ ∏ £∑
9 cm
6 cm2 cm
3 cm
™Â ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ¤¯Ô˘Ì ¯·Ú¿ÍÂÈ ÙÔ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ.·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢ Î·È ¢μ.
‚) ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÏfiÁÔÈ , , .
Λύση·) OÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3, Â4 ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ Â˘ı›· ˙1, ÔfiÙÂ
ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞μ. ÕÚ· ∞° = °¢ = ¢μ.
‚) ∞ÊÔ‡ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢, ¢μ Â›Ó·È ›Û·, ¤¯Ô˘ÌÂ:
= , = , = = 1
∞Ó ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°,¢∂ // μ° Î·È ∂∑ // ∞μ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ:·) ∑ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ°
‚) ¢∂ =
Λύση·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ ∞μ Î·È ¢∂ // μ°, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°. ∂Âȉ‹
∂ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ∞° Î·È ∂∑ // ∞μ, ¤¯Ô˘Ì ∑ ̤ÛÔ μ°.
‚) ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢∂∑μ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜
ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËϘ, ¿Ú· ¢∂ = μ∑. ŸÌˆ˜ μ∑ = , ÔfiÙÂ Î·È ¢∂ = .
ÕÌÂÛ· ÏÔÈfiÓ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:
ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿Ï-ÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘.
∞Ó ∞¢ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° (∧
∞ = 90Æ)Î·È ¢∂ // ∞μ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ:·) ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞°
‚) ∞¢ =
Λύση·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ Ù˘ μ° Î·È ¢∂ // ∞μ, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°.
‚) ∂Âȉ‹ ¢∂ // ∞μ Î·È ∞μ ⊥ ∞°, ı· Â›Ó·È ¢∂ ⊥ ∞°. ÕÚ·, ¢∂ ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ∞°Î·È ·fi ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ∞¢ = ¢°.
μ°2
3
μ°2
μ°2
μ°2
2
22
A¢μ°
32
Aμ∞¢
13
A°∞μ
∞¢μ°
∞μ∞¢
∞°∞μ
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
202
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
˙1
˙2
˙3
Â1 Â2 Â3 Â4
∞
°
¢
μ
¢ ∂
∑μ °
∞
∞ B
°
∂ ¢
ŸÌˆ˜ ¢° = , ÔfiÙÂ Î·È ∞¢ = . ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:
∏ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛËÌ ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜.
∞Ó ∞, μ, °, ¢ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ٤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞μ = 2 cm,μ° = 4 cm Î·È °¢ = 3 cm, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, °¢ ›ӷȷӿÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· μ°, ∞°.
Λύση
E›Ó·È = = Î·È = = .
ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, °¢ ›ӷÈ
·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· μ°, ∞°.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
AÓ μ�μ // °°� // ¢¢� Î·È Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ °¢ ÙÔ˘‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ Â›Ó·È 4 cm, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›ÙÂÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ.
™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë∂∑ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:
·) = ‚) =
Á) = ‰) = μ°∞°
∞μ∞°
μ°∞μ
∞μμ°
4
3
2
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
°¢∞°
∞μμ°
12
3 cm6 cm
°¢∞°
12
2 cm4 cm
∞μμ°
4
μ°2
μ°2
203
1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
∞ μ ° ¢2 cm 4 cm 3 cm Â
4
4
Â
Â1
Â2
Â3
�
5
x
∞ ° ¢ B
x
°�
¢�
μ�
∞ B
¢
∂4
4
5
6
∑
°
∞ B °4 cm 12 cm
∞Ó ∞μ = μ° = °¢ = ¢∂Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:
·) = ‚) = Á) = ‰) = Â) =
¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ∞Ó ∞μ = 8 cm Î·È °¢ = 12 cm, ÙfiÙ = .
‚) ∞Ó = , ÙfiÙ ∞μ = 2 Î·È °¢ = 3.
Á) √ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì 1.
‰) ∞Ó = , ÙfiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢.
Â) √ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È 2.
ÛÙ) ∞Ó ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ, ÙfiÙ = .
˙) √ ÏfiÁÔ˜ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ
ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È .
μϤÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· = Ë ª·Ú›· ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ∞μ = 1 Î·È °¢ = 4,
ÂÓÒ Ë ∂ϤÓË ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÙÔ °¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ∞μ. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô¤¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ // ¢∂ // ∏£Î·È μ° // ∂∑ // £π.∞Ó ∞¢ = ¢∏, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Î·È ÙÔ y.
·) ªÂ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ = 7 cm Û ¤ÓÙ ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ¿Óˆ ÛÂ
ÌÈ· ¢ı›·  ӷ ۯ‰ȿÛÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢ = ∞μ,
¢∑ = ∞μ Î·È ∑∏ = ∞μ.
‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
i) ii) iii) iv) v) °¢ZH
ZH¢∑
ABZH
¢∑°¢
°¢∞μ
65
45
25
2
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
14
∞μ°¢7
13
12
∞ª∞μ
25
∞μ°¢
23
∞μ°¢
23
∞μ°¢
6
∞°°∂
∞∂μ°
∞°∞∂
μ¢μ∂
∞μ∞¢
5
204
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞ μ ° ¢ ∂
∞B
°
¢
∂∏π
x
y
43
£
∑
™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
·) ‚) Á)
™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧
∞ = 90Æ) Â›Ó·È ∞μ = 6 cm Î·È μ° = 10 cm. ¡· ˘ÔÏÔ-Á›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
·) ‚) Á)
¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ 4 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.
∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞° ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏË-ÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢, Ó· ʤÚÂÙ ∂∑ // ∞¢.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) Δ· ÛËÌ›· ∂, ∑ Â›Ó·È Ì¤Û· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ¢°
·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.‚) Δ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, ∞° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù·
ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∞ª.
™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∧
μ = ∧
¢ = 90Æ.AÓ ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μª = ª¢.
ŒÓ· ·ÁÚfiÎÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÂÓfi˜ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞μ°¢. √ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ ÙÔ˘ı¤ÏÂÈ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘,ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÙÔ ÂÚÈÊÚ¿ÍÂÈ ·ÏÏ¿ ÙËμ° ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÙË ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÁÈ·Ù›·ÚÂÌ‚¿ÏÏÂÙ·È ¤Ó·˜ ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜ Ô˘Û¯ËÌ·Ù›ÛÙËΠ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›·‚ÚÔ¯fiÙˆÛË, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÛ¯‹Ì·. ¶Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙËÓ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ;
8
7
6
5
∞μ∞°
∞°μ°
∞μμ°
4
∞°μ°
μ°∞μ
∞μ∞°
3
205
1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ
∞ B
°
2 cm
1 cm
∞
ª
B
°
∂
∑¢
∞
μª
°
¢
ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜
Ô
Ù¿Ì
È
∞ μ
°¢
206
✔ Μαθαίνω το Θεώρημα του Θαλή και πώς να το χρησιμοποιώγια τον υπολογισμό του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματοςκαι του λόγου δυο τμημάτων.
1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ÂÈϤÍÂ-Ù ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Ô˘ Ó· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.
2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘,ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ô˘ ÂÈϤͷÙ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Î·È ÛÙËÓ Â� ‰‡Ô¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘;
¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, μ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜,¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞μ = 2 � μ°.∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›·∞�, μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÁÈ·Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°� ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·Ó¿ÏÔÁËÛ¯¤ÛË. ¢ËÏ·‰‹ ∞�μ� = 2 � μ�°�.¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙÔ˘ ∞μ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜Â1, Â2, Â3, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, ‰, Â2, Â3 ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·,ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â˘ı›· Â�. ¢ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ∞�ª� = ª�μ� = μ�°� ηÈÂÔ̤ӈ˜ ∞�μ� = 2 � μ�°�.¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, ·Ó ∞μ = 2 � μ° ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ∞�μ� = 2 � μ�°�, ÔfiÙÂ:
= ‹ = .
∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, μ° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ·ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°�.
∞Ó ÙÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË. ¢ËÏ·‰‹:
·Ó Â1 // Â2 // Â3 ÙfiÙÂ = =
∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹.∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÏfiÁˆÓ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜
= Î·È = .∞°∞�°�
∞μ∞�μ�
B°μ�°�
∞μ∞�μ�
∞°∞�°�
B°μ�°�
∞μ∞�μ�
Γενικά
B°μ�°�
∞μ∞�μ�
2 � B°2 � μ�°�
∞μ∞�μ�
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹1. 3
∞
ª
B
°
Â
Â1
‰
Â2
Â3
�
ª�
∞�
μ�
°�
∞Ó ÛÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ·˘Ù¤˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ fiÚÔ˘˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÂÍ‹˜
·Ó·ÏÔÁ›Â˜ = Î·È = .
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ·Ó ¢∂ // μ° Î·È ·fiÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // μ°, ÙfiÙ ÔÈ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, ¢∂, μ° ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙȘ Ï¢ڤ˜∞μ, ∞° ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ·.
¢ËÏ·‰‹, = , ÔfiÙÂ Î·È = .
∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = , ÙfiÙ ¢∂ // μ°. ∂Ô̤ӈ˜:
°È· ‰‡Ô ÛËÌ›· ¢, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÈÛ¯‡Ô˘Ó:
ñ ∞Ó ¢∂ // μ° ÙfiÙÂ = .
ñ ∞Ó = ÙfiÙÂ ¢∂ // μ°.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∞μ = 9, ∞∂ = 4 Î·È ∂° = 6.∞Ó ¢∂ // μ° Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· x, y.
Λύση™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°, ÔfiÙ ·fiÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:
= ‹ = ‹ 10x = 36 ‹ x = 3,6.
ÕÚ· y = 9 – 3,6 ÔfiÙÂ y = 5,4.
M¤Û· ·fi ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô ∞μ°¢ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÚ·-Â˙›Ô˘ Ì ∞¢ = 50 m Î·È μ° = 60 m ¤Ú·Û ¤Ó·˜‰ÚfiÌÔ˜ ·Ú¿ÏÏËÏÔ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ∞μ,°¢ Ô˘ ›¯Â Ï¿ÙÔ˜ 10 m Î·È ¯ÒÚÈÛ ÙÔ ÔÈÎfiÂ-‰Ô ÛÙ· ‰‡Ô, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·.∞Ó Â›Ó·È ∞∂ = 22 m Î·È ∑¢ = 18 m, Ó· ˘ÔÏÔÁÈ-ÛÙÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ μ∏,£°, ∏£.
Λύση∂Âȉ‹ ∞μ // ∂∏ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:
2
910
x4
∞μ∞°
∞¢∞∂
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
∞∂∂°
∞¢¢μ
∞∂∂°
∞¢¢μ
∞∂∂°
∞¢¢μ
∞∂∂°
∞¢¢μ
¢μ∂°
∞¢∞∂
∞�μ�∞�°�
∞μ∞°
∞�μ�μ�°�
∞μμ°
207
1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
¢ ∂
(Â)∞
μ °
¢ ∂
∞
μ °
x 4
6y
9
∞ B
¢ °
E
Z £
H
22 m
10 m
18 m
60 m
= ‹ = ‹ 50 � μ∏ = 1320 ‹ μ∏ = 26,40 m.
EÂȉ‹ ∞μ // ∑£ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ
= ‹ = ‹ 50 � £° = 1080 ‹ £° = 21,60 m.
ÕÚ· ∏£ = 60 – (26,40 + 21,60) ‹ ∏£ = 12 m.
AÓ ∞μ, ∂∑, ∏£, ¢° Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, Ó·Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:
·) = ‚) = Á) =
AÓ ¢∂ // μ°, Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿-ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó ›ӷÈÏ·Óı·Ṳ̂Ó˜:
·) = ‚) =
Á) = ‰) =
ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÚ·¤˙ÈÔ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘. ∂›¯Â‰›ÎÈÔ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
·) ‚) Á) ‰)
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ //  // °¢. ¡· Û˘ÌÏËÚÒ-ÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οıÂÏfiÁÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ.
21. ⎯312. ⎯313. ⎯2
4. 3
BK·. ⎯K°∫°‚. ⎯μ°μ°Á. ⎯μ∫
™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞
5
∞μμ°
√∞√μ
μ°√°
√μμ°
4
3
∞∂∞°
∞¢∞μ
∞°∂°
∞μ∞¢
∂°∞∂
∞¢¢μ
∞μ∞°
¢μ∂°
2
μ£μ°
∑£∑°
μ∑£°
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
6050
£°18
μ°∞¢
£°∑¢
6050
μ∏22
μ°∞¢
μ∏∞∂
208
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞ μ
∑
£
°¢
∞ μ
∑
°¢
∂
3
4
6
4 5
76
∏
∂
∂
∞
μ °
¢
Â2
Â1
Â3
∞
√
Â
3
4
2
Â�∞�
μμ�
°� °
Â
A B
° ¢
∫
3
6
Á‚·
™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚·-ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· μ∑.
™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿-ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·μ∑ Î·È ∑°.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ Ù·Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √° Î·È ∂∑.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°, ∂∑ // ∞μ.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ // ∫§ // °¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›-ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √∫ Î·È ∫°.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∂∑ // ¢° Î·È ∂∏ // μ°.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ x, y.
K¿ÔÈÔ˜ Û˘Ó·ÚÌÔÏfiÁËÛ ÌÈ· Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ÛȉÂÚÒ-ÛÙÚ·, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ηȉȷ›ÛÙˆÛ fiÙÈ Ë Û·Ó›‰· ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·.¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜;
8
7
6
5
4
3
2
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
209
1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹
∞
∂ ∑6
14
B
°¢
18
∞
∂ ∑4
6
B
°¢
8
A
x 18
¢8
μ °
∂x
∞
64¢
μ °∑
∂
x5
21 18√
∞ ° ∂14 10
Â1
Â2
μ ¢ ∑
B ¢
∞°
√
12
18 610
∫
§
∞μ
°¢
∑ ∂
∏y
x 12
89
18
∞ °34 cm
65 cm
68 cm
√
μ¢
28cm
210
✔ Μαθαίνω να βρίσκω το ομοιόθετο ενός σχήματος.✔ Γνωρίζω με ποιες σχέσεις συνδέονται τα ομοιόθετα σχήματα.
1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Î·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó· ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √.
2. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞�, √μ�, √°�,√¢� ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÙˆÓ √∞, √μ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Î·È Ó·Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘.
3. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞�, √μ�, √°�,√¢�, ÌÈÛ¿ ÙˆÓ √∞, √μ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Î·È Ó· Û˘-ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘. ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;
ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÛËÌ›Ԣ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· √, ∞ Î·È ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √∞ ¿ÚÔ˘Ì¤ӷ ÛËÌÂ›Ô ∞�, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞� = 2 � √∞, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔÛËÌÂ›Ô ∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2.
∞Ó ∞� ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ √∞, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞� = � √∞,
ÙfiÙ ÙÔ ∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = .
∏ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ ÏÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔıÂÛ›·. ΔÔ ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜, ÂÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÏÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜. ∂›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ¤¯ÂÈ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘.
ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞�μ�, fiÔ˘ ∞�, μ� Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ ÙԢ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ. ∂Âȉ‹ √∞� = 2 � √∞ ηÈ
√μ� = 2 � √μ, ı· ¤¯Ô˘Ì = = 2, ÔfiÙ ∞μ // ∞�μ�.
∂Ô̤ӈ˜Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.
∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ� Î·È ∞μ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞�μ� = 2 � ∞μ ‹ = 2.A�μ�Aμ
√μ�√μ
√∞�√∞
12
12
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
√ÌÔÈÔıÂÛ›·1. 4
O ∞
∞O
∞�
∞�
√
∞
μ
∞�
μ�
∞�
μ�
AÓ ∞�μ� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÙfiÙÂ:
∞�μ� = � ∞μ ‹ = .
ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÁˆÓ›·˜ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x
∧
∞y Ì ΤÓÙÚÔ√ Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï (.¯. Ï = 2), ·›ÚÓÔ˘Ì¤ӷ ÛËÌÂ›Ô μ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞x, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿∞y Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· μ�, ∞�, °� Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›-¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ μ, ∞, °. √Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ Ë ÁˆÓ›·x�
∧
∞�y�, Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙË Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x∧
∞y.∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ x
∧
∞y = x�∧
∞�y�. ∂Ô̤ӈ˜
√È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.
ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙÔ ÔÌÔÈfi-ıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞μ°¢ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ∞�μ�°�¢�, fiÔ˘ ∞�, μ�, °�, ¢� Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfi-ıÂÙ· ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ∞, μ, °, ¢. √È Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ Áˆ-ӛ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ Ì ÙȘ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢, ÔfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:
= = = = 2 Î·È ∧
∞� = ∧
∞, ∧
μ� = ∧
μ, ∧
°� = ∧
°, ∧
¢� = ∧
¢.
ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ∞μ°¢.
∞Ó ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÔÌÔ›ˆ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:
= = = = ηÈ∧
∞� = ∧
∞, ∧
μ� = ∧
μ, ∧
° � = ∧
°, ∧
¢� = ∧
¢.
ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛËÙÔ˘ ∞μ°¢.
ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.
ñ √È ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È·Â˘ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.
ñ ∞Ó ÙÔ ÔχÁˆÓÔ ¶� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ Ì ÏfiÁÔ Ï, ÙfiÙ ÙÔ ¶� ›ӷȖ ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó Ï > 1– ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó 0 < Ï < 1 ηȖ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¶, fiÙ·Ó Ï = 1.
Γενικά
12
12
¢�∞�¢∞
°�¢�°¢
μ�°�μ°
A�μ�Aμ
12
¢�∞�¢∞
°�¢�°¢
μ�°�μ°
A�μ�Aμ
12
∞�μ�Aμ
12
12
211
1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·
√∞
μ
°
∞�
μ�
°�
y�
x�
x
y
∞�
∞�μ�
°�¢�
μ�
¢�
°�
∞
O
μ
°¢
ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Î‡ÎÏÔ˘ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜Î‡ÎÏÔ˘ (∫, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï(.¯. Ï = 2), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ÛËÌ›Ԣ ∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∫� Î·È ∞� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.√Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (∫�, Ú�), fiÔ˘ Ú� = ∫�∞�, Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘(∫, Ú). ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∫�∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔÏ = 2, ÔfiÙ ∫�∞� = 2 � ∫∞, ‰ËÏ·‰‹ Ú� = 2Ú.
M ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô √ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢, ÏÂ˘Ú¿˜ 1,5 cmÎ·È ÏfiÁÔ Ï = 3, Ó· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙfi ÙÔ˘ Î·È Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
Λύση™ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ ·›ÚÓÔ˘Ì·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· √∞� = 3 � √∞,√μ� = 3 � √μ, √°� = 3 � √°, √¢� = 3 � √¢.To ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3,
ÔfiÙÂ: = = = = 3.
ÕÚ·, ∞�μ� = 3 � ∞μ = 3 � 1,5 = 4,5 cm.OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì μ�°� = °�¢� = ¢�∞� = 4,5 cmEÂȉ‹ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜, ÙÔ ÙÂÙÚ¿-Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ ı· ¤¯ÂÈ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜.∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘›Û˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜. ÕÚ· ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.
¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿.™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ·) Ï = 5 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÙÔ ....... ‚) Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ μ Â›Ó·È ÙÔ .......
Á) Ï= ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ° Â›Ó·È ÙÔ ....... ‰) Ï = ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∂ Â›Ó·È ÙÔ .......35
13
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
¢�∞�¢∞
°�¢�°¢
μ�°�μ°
A�μ�Aμ
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
212
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∫�
Ú�
∞�
∫Ú
∞
O
∞�
∞
¢
μ
°
B�
°�¢�
1,5 cm
√
√ A μ ° ¢ ∂
™Â ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ù· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ·;
¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·:
¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞μ°¢ Ì ÏÂ˘Ú¿ 3 cm.
·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ: i) Ï = ii) Ï = 2.‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Ô˘ ۯ‰ȿ۷ÙÂ.
¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ = 12 cm ηÈ
∞° = 9 cm. ªÂ ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ Î·È ÏfiÁÔ Ï = Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ
ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.
N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·-ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô √ ÂÎÙfi˜ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √ Î·È ÏfiÁÔÏ = 3. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô Ó¤Ô˜ ·ÎÏÔ˜ ı· ¤¯ÂÈ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÂÓÓ·ϿÛÈÔÂÌ‚·‰fiÓ.
4
3
23
2
12
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
3μμ§∫ƒ∞μ°∞¢™ª™ª°ƒ¡
3∞∫ƒ
OÌÔÈfiıÂÙÔÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
§fiÁÔ˜ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜
∫¤ÓÙÚÔÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜
E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì·
3
2
213
1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·
∞ K § μ
¢ ¡ ª °
ƒ
™
∞
μ
°
2 cm
45Æ
(Σχ. 1) (Σχ. 2) (Σχ. 3)
¡· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌ›· ∫, §, ª, ¡, ƒ ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ:
– ΔÔ ∫ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ .
– ΔÔ ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ § Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ÏfiÁÔ 2.
– ΔÔ §ª Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ .
– ΔÔ ∞μ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫¡ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ 3.
√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ 2 Î·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜:·) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ‚) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Á) ¤Ó· Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.
¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ÙÚ›· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ó· ¯·Ú¿ÍÂÙ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Î·È Ó· ¿ÚÂÙ ٷÛËÌ›· ∞(–1, 1), μ(2, 2) Î·È °(0, –2).·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°� ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ
·ÍfiÓˆÓ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. ªÂ ÔÈ·Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ;
‚) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°� ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(1, 1),ÏfiÁÔ Ï = 2 Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. πÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁËÛ¯¤ÛË ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ;
™ÙȘ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∞° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ÔÚ›ÛÂÙ ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙÂ
∞¢ = ∞μ Î·È ∞∂ = ∞°. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢∂ // μ° Î·È ¢∂ = μ°.
¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢∂ ÛÙËÓÔÌÔÈÔıÂÛ›· ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· Ù·ÛËÌ›· ∞�, μ� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ·ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, μ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.
9
13
13
13
8
7
6
23
13
5
214
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
B °
∞
°∂
A
B
¢
μ�
A�
215
✔ Μαθαίνω πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια.✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞�μ�°�¢� (‹ ¶�) ¤¯Ô˘Ó‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞μ°¢ (‹ ¶) Î·È ÔÈ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÙÂÙڷχ-ÚˆÓ Â›Ó·È ›Û˜.
1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢-ÚÔ ∞�μ�° �¢� (‹ ¶�) Ô˘ ›ӷÈÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì Τ-ÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2.
2. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢-ÚÔ Ô˘ ۯ‰ȿ۷Ù Ì ÙÔ ¶�.
3. ¶ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈÁÈ· Ù· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶Î·È ¶�;
ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ·∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ·, ÙfiÙ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘¿ÏÏÔ˘. ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· ¶ Î·È ¶� Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ٷϤÌ fiÌÔÈ· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ¶ ≈ ¶�. ∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:
Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
∞Ó fï˜ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ¶�, ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ ‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÂÍËÁ‹ÛÔ˘ÌÂfiÙÈ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, ÙfiÙ Ҙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈfi ÙÔ˘;∞˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ (‹ ¶) Î·È ∞�μ�°�¢� (‹ ¶�), ÒÛÙ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¶� Ó·Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ¶ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›Û˜. ∞Óۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�° �¢� (‹ ¶�) ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙfiÙ ٷÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶� Î·È ¶� Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜›Û˜. ΔÔ ¶� ˆ˜ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, Ì ÏfiÁÔ 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘, ¿Ú· Î·È ÙÔ ›ÛÔ ÙÔ˘ÔÏ˘ÁÒÓÔ ¶� Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, ÔfiÙ ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶ Î·È ¶� Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ΔÔ ›‰ÈÔ ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓ ·Ó ÙÔ ¶� ‹Ù·Ó ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶.Δ· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∞�μ�°�¢� Ù· ۯ‰ȿ۷ÌÂ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ:
= = = = 2 (1) ηÈ∧
∞� = ∧
∞, ∧
μ� = ∧
μ, ∧
°� = ∧
°, ∧
¢� = ∧
¢ (2)
Î·È ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
AÓ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
Γενικά
¢�∞�¢∞
°�¢�°¢
μ�°�μ°
A�μ�Aμ
∞
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
OÌÔÈfiÙËÙ·1.5
μ�
μ∞∞�
¶�
¢�
°�
O
¶
¢
°
¢‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÔÌÔ›ˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ
(.¯. = 2), ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÁÔÓÙ·È ÔÌfiÏÔÁ˜ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ϤÁÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜.
∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó Â›Ó·È ‹ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÌÔÈfiıÂÙ· ηÈÂÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ’ ·˘Ù¿ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÌÔÈÔı¤ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹:∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.
Afi ÙË Û¯¤ÛË (1) Î·È ÁÓˆÛÙ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ¤¯Ô˘ÌÂ:
Ï = = = = = = . ÕÚ·
√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ oÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
§fiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ – ∫ϛ̷η√È ¯¿ÚÙ˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁˆÁÚ·ÊÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË, ‰ËÏ·‰‹·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi. ΔÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ù˘ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛ˘ ηıÔÚ›-˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Îϛ̷η ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË Ô˘ ·Ó·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿Óˆ Û’ ·˘ÙfiÓ. ∏ Îϛ̷η Â›Ó·È ÔÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙÔ ¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË, ‰ËÏ·‰‹Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Îϛ̷η 1 : 2000000 ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ
¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Â›Ó·È Ï = , ÔfiÙ 1 cm ÛÙÔ ¯¿ÚÙË Â›Ó·È 20 km ÛÙËÓ
Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·.
N· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
Λύση√È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ·∞μ°¢∂ Î·È ∞�μ�°�¢�∂� ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ:
= = = =
·ÊÔ‡ Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ Î·È ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·-ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ÛÔÈ.Δ· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ÂÊfiÛÔÓ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜
Â›Ó·È Ê = 180Æ – = 180Æ – 72Æ = 108Æ.360Æ5
∂∞∂�∞�
¢∂¢�∂�
°¢°�¢�
μ°μ�°�
AμA�μ�
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
12000000
ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶�ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶
A�μ� + μ�°� + °�¢� + ¢�∞�∞μ + μ° + °¢ + ¢∞
¢�∞�¢∞
°�¢�°¢
μ�°�μ°
A�μ�Aμ
A�μ�Aμ
216
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
μ
°¢
∂ Ê
Ê
Ê
ÊÊ
∞�
μ�
°�¢�
∂� Ê
Ê
Ê
ÊÊ
ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ·ÂÚÔʈÙÔ-ÁÚ·Ê›· ÂÓfi˜ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈÛ¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ¤¯ÂÈ ÂÚÈÊÚ·¯Ù›ÌÂ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· Ì‹ÎÔ˘˜ 270 m. ¡·‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜. ªÂ ÔÈ· Îϛ̷η ¤¯ÂÈʈÙÔÁÚ·ÊËı› ÙÔ ·ÁÚfiÎÙËÌ·;
ΛύσηTÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞μ°¢ Ù˘ ·ÂÚÔʈÙÔÁÚ·Ê›·˜ Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ ∞�μ�°�¢�, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi.
ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ = = Ï (1).
√ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Â›Ó·È 2 � 4 + 2 � 5 = 18 cm, ÂÓÒ ÙÔ˘ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ›ÛË ÌÂÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û˘ÚÌ·ÙÔϤÁÌ·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ 270 m ‹ 27000 cm.
ÕÚ· Ï = = ÔfiÙÂ = = .
∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:A�¢� = 1500 � ∞¢ = 1500 � 4 = 6000 cm ‹ A�¢� = 60 m.¢�°� = 1500 � ¢° = 1500 � 5 = 7500 cm ‹ ¢�°� = 75 m.¢ËÏ·‰‹, ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 60 m Î·È 75 m. ∏ ÎÏ›-
̷η ʈÙÔÁÚ¿ÊÈÛ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = ‰ËÏ·‰‹ 1 : 1500.
¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ¢‡Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‚) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Á) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‰) ¢‡Ô ÚfiÌ‚ÔÈ Â›Ó·È Û¯‹Ì·Ù· fiÌÔÈ·.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ÛÙ) ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
11500
11500
¢°¢�°�
A¢A�¢�
11500
1827000
¢°¢�°�
A¢A�¢�
2
Γενικά
217
1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·
∞μ
°¢5 cm
4 cm
¶ÔÈ· ·fi Ù· ÔχÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜
Â›Ó·È fiÌÔÈ·;
™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙȘ ‰È·ÛÙ¿-ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÔÈ· ·’ ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
AÓ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∞�μ�°�¢� ›ӷÈfiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:·) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢ ÚÔ˜ ÙÔ
∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ......................‚) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞�μ�°�¢� ÚÔ˜
ÙÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ......................Á) ∞Ó Ë ÁˆÓ›·
∧
μ Â›Ó·È 110Æ, ÙfiÙÂ Î·È Ë ÁˆÓ›· ....... Â›Ó·È 110Æ.
‰) √ ÏfiÁÔ˜ Ï = Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì .......
Â) ∏ ÏÂ˘Ú¿ μ° Â›Ó·È ›ÛË Ì ....... cm.
™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞μ°¢ Î·È ∂∑∏£Â›Ó·È fiÌÔÈ·; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.·) ‚)
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
A�μ� + μ�°� + °�¢� + ¢�∞�∞μ + μ° + °¢ + ¢∞
4
3
2
218
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
M §
∫
∞
∂ ∑
∏£π
μ
°¢
∫
£∞
1ÌÔÓ
H
∂B
πZ
¢ °
π∫§ª
∂∑∏£
∞μ°¢
¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ
A£π∫
AEZH
∞μ°¢
¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ
∞ B
°¢
8 cm
12 c
m 15 cm
∞�μ�
°�
¢�
∞ μ
°¢
∂ ∑
∏£
6 cm
5 cm
2 cm
3 cm
∞ B
°
∂
¢
9 cm
4 cm
6 cm 6 cm120Æ
∑
∏£
60Æ
¶3
¶2
¶7¶6
¶1
¶5¶4
1ÌÔÓ
∞Ó Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∂∑∏£ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚)
ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 24 cm Î·È 18 cm. ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ı¤ÏÔÓÙ·˜Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ ÙËÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ 20 cm, ÛΤÊÙËΠӷ ÌÂÈÒÛÂÈ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ηٿ 4 cm.◊Ù·Ó ÛˆÛÙ‹ Ë ÛΤ„Ë ÙÔ˘; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·Ó ÂÓÒÛÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙˆÓ ∫∞, ∫μ,∫°, ∫¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ∞μ°¢.
™ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∞∫ = ∞°, ∂∑ // ∞¢ Î·È ∏£ // ∞μ.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ΔÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÌÂ
ÙÔ ∞μ°¢.‚) ΔÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÌÂ
ÙÔ ∫£°∑.
ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÍÂΛÓËÛ ÙÔ Úˆ› ·fi ÙÔ Û›ÙÈ ÙÔ˘ª Î·È ·ÊÔ‡ ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯¤‰ÈÔ, ¤ÊÙ·Û ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘ ™.ΔÔ ÌÂÛË̤ÚÈ Â¤ÛÙÚ„ ۛÙÈ ÙÔ˘ ·fi ¿ÏÏÔ‰ÚfiÌÔ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ Î·È ·fi ÙÔ Û›ÙÈÂÓfi˜ Ê›ÏÔ˘ ÙÔ˘ Ô˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô º. ∞ÓË Û˘ÓÔÏÈ΋ ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘ ¤Î·ÓÂ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ‹Ù·Ó640 m, Ó· ‚Ú›Ù fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· Û›ÙÈ· ÙˆÓ‰‡Ô ʛψÓ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Îϛ̷η ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘;
6
145
4
3
2
219
1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·
∞ μ
∂
∑
A
∏
£
°
¢
6,3
cm
x
9 cm
6 cm
B
°¢
130Æ E
∑∏
£
x
∞ B∂
∏∫
∑
£
°¢
M
º™
1cm
1cm
220
M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
ŸÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°, ¢∂∑, fiˆ˜ ηȉ‡Ô ÔχÁˆÓ·, Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁÂ˜Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.
¢ËÏ·‰‹ ·Ó ¤¯Ô˘Ó = = Î·È ∧
∞ = ∧
¢, ∧
μ = ∧
∂, ∧
° = ∧
∑.
°È· Ó· Â›Ó·È ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· fiÌÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ÈÛfiÙËÙ˜; ∂˘Ù˘¯Ò˜ fi¯È.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜(∧
∞ = ∧
¢ Î·È ∧
μ = ∧
∂).AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ ¿Óˆ ÛÙÔ ∞μ°, ÒÛÙÂ Ë ÁˆÓ›·
∧
¢ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›·
∧
∞, ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∂∑ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙË μ�°� Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧
μ, ∧
μ� ı· ›ӷțÛ˜. ÕÚ· μ�°� // μ° Î·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:
= = ‹ ∞μ� = � ∞μ Î·È ∞°� = � ∞μ
ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ�°� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° ÛÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ
, ÔfiÙ ∞μ�°� ≈ ∞μ°. ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢∂∑, ∞μ�°� Â›Ó·È ›Û·, ı· Â›Ó·È Î·È ¢∂∑ ≈ ∞μ°.
∂Ô̤ӈ˜
∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·,ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË Î·È ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.
ŒÓ·˜ ÚÔ‚ÔϤ·˜ ¶ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Î·È ÊˆÙ›˙ÂÈ ¤Ó· ‰¤ÓÙÚÔ μ°. ∏ ÛÎÈ¿ ÙÔ˘‰¤ÓÙÚÔ˘ ÛÙÔ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÙ›ÚÈÔ ÊÙ¿ÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ ÙÔ˘ 4Ô˘ ÔÚfiÊÔ˘. ∞Ó ÙÔÈÛfiÁÂÈÔ Î·È Î¿ı fiÚÔÊÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‡„Ô˜ 3 m Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘ ·fi ÙÔÓÚÔ‚ÔϤ· Â›Ó·È 8 m, ÂÓÒ ·fi ÙÔ ÎÙ›ÚÈÔ Â›Ó·È 12 m, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘.
ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¶μ° Î·È ¶μ�°� Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·,·ÊÔ‡
∧
μ = ∧
μ� = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ∧
¶ÎÔÈÓ‹. ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜,ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔ-Á˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹
= (1).¶μ¶μ�
μ°μ�°�
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
23
23
23
23
∞°�∞°
∞μ�∞μ
μ°∂∑
∞°¢∑
∞μ¢∂
B ∞
B °
¢
∂ ∑
3 cm
2 cmμ� °�
°�
μ�
°
¶ 8 m 12 mμ
∏ ÛÎÈ¿ ηχÙÂÈ ÙÔ ÈÛfiÁÂÈÔ Î·È 4 ÔÚfiÊÔ˘˜, ÔfiÙ ı· ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ μ�°� = 5 � 3 = 15 m.
ÕÚ· Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È = ‹ 20 � μ° = 120, ÔfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘
‰¤ÓÙÚÔ˘ Â›Ó·È μ° = 6 m.
™’ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· μ° = 10 cm Î·È ∞° = 8 cm Ó·¯·Ú·¯ı› ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· ηÈÓ· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ›ÛÔÈ ÏfiÁÔÈ. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢° Î·È ¢μ.
ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞¢° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ·ÊÔ‡
∧
∞ = ∧
¢ = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›·∧
° ÎÔÈÓ‹. ¢ËÏ·‰‹, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı·¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. √È ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓÂ›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜.
ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì = = (1).
∞fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) ¤¯Ô˘Ì = ‹ = .
ÕÚ· 10 � ¢° = 64, ÔfiÙ ¢° = 6,4 cm. ∂Âȉ‹ μ° = 10 cm Î·È ¢° = 6,4 cm ¤¯Ô˘ÌÂμ¢ = 10 – 6,4 ‰ËÏ·‰‹ μ¢ = 3,6 cm.
¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·;·) ‚) Á)
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
8¢°
108
∞°¢°
μ°∞°
∞°¢°
∞μ∞¢
μ°∞°
¢°∞¢∞°∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢°
∞°∞μB°∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°
∧
ˆ = ∧
Ê ∧
° ÎÔÈÓ‹∧
∞ = ∧
¢ = 90ÆÿÛ˜ ÁˆÓ›Â˜
2
88 + 12
μ°15
221
1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·
∞
¢
μ
°
ˆ
Ê8 cm
10 cm
50Æ 60Æ
50Æ
60Æ
50Æ
60Æ80Æ
60Æ 30Æ60Æ
N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
N· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ˘˜ ›ÛÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.·) ‚) Á)
N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ¢‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË, Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Á) ¢‡Ô fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.‰) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÁˆÓ›· 40Æ, Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ÛÙ)√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ,
Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
·) ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∂∑∏Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ·ÚÈıÌfi ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÌÔÈ·;
¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚) Á)
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
5
4
3
2
222
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
¢
∂ ∑μ
30Æ
°75Æ
∞ ∑ ∂
¢
B °
= = = = = =
∞
μ
°
¢
A
B °
¢
∂
∑
∂
∑
∞ B ∂
∏£
∑
°¢
∞
∞
B
B
B°
° °
¢
¢
∂
∂ ∂¢
9 cm
8 cm12 cm
x
6 cm
4 cm
12 c
m
4 cm
x
∞
6 cm
x
8 cm
¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧
∞ = 90Æ) Î·È ∞¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢μ Î·È ∞¢° Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∞Ó ¢μ = 4 cm Î·È ¢° = 9 cm, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÌ‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢.
™ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ = 8 cm Î·È ∞° = 12 cm ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È ∂, ÒÛÙ ∞¢ = 2 cm Î·È ∞∂ = 3 cm. N··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ¢∂ // μ°‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂, ∞μ° Â›Ó·È fiÌÔÈ·.
¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ∞μ ÙÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡,
·Ó ∞° = 12 m, °¢ = 28,8 m, E¢ = 60 m ηÈ∧
∞ = ∧
¢ = 90Æ.
¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞∂°, μ∂¢Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
MÚÔÛÙ¿ ÛÙÔ Ì¿ÙÈ Ì·˜ Î·È Û ·fiÛÙ·ÛË 0,4 mÎÚ·Ù¿Ì ηٷÎfiÚ˘Ê· ¤Ó· Ú·‚‰› ∞μ = 0,5 m. ∞ÓÌÂÙ·ÎÈÓËıÔ‡ÌÂ Î·È ÛÙ·ıԇ̠۠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∑Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÔÈ Â˘ı›˜ √∞, √μ Ó· ηٷϋÁÔ˘ÓÛÙË ‚¿ÛË Î·È ÛÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜ ÂÓfi˜Ú·‰ÈÔʈÓÈÎÔ‡ ÛÙ·ıÌÔ‡, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë·fiÛÙ·Û‹ Ì·˜ ·fi ÙËÓ ÎÂÚ·›· Â›Ó·È °∑ = 16,8 m.ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜;
™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∂∑ // ¢°, μ∏ // ∞¢ Î·È ∂£ // ∞¢. ¡· ·Ô‰Â›-ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· μ∏∂, ∂£° ›ӷÈfiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
7
6
5
4
3
2
223
1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·
∞
°
¢∂
∞
μ
¢
∂
8
63x
x
°
∞ B
∏∂∑
£°¢
12 cm
x
9 cm
15 cm
μ
28 cm
μ
∞
° ∑
¢
∂
√
16,4 m 0,4 m
0,5 m
√ ÁÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 1,36 m.¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘·Ù¤Ú· ÙÔ˘;
∏ ıˆڛ· ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ‹ ·fi Ù· ̤۷ ÙÔ˘ 7Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã. ªÂ ÙË‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ıˆڛ·˜ ·˘Ù‹˜ Ô £·Ï‹˜ Ô ªÈÏ‹ÛÈÔ˜ (624 - 547 .Ã.), ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÙ¿ÛÔÊÔ‡˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ηÙfiÚıˆÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÙÔ˘Ã¤ÔÔ˜ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘, ·ÔÛÒÓÙ·˜ ÙÔ ı·˘Ì·ÛÌfi ÙÔ˘ ‚·ÛÈÏÈ¿ Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘,ÙÔ˘ ÕÌ·ÛÈ.¢Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙȘ Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛÂ Ô £·Ï‹˜ Û’ ·˘Ùfi ÙÔ Â›Ù¢ÁÌ¿ÙÔ˘. √ ¶ÏÔ‡Ù·Ú¯Ô˜, ˆÛÙfiÛÔ, Ì·˜ ‰ÈËÁÂ›Ù·È Ù· ÂÍ‹˜:
«∞ÊÔ‡ ¤ÛÙËÛ ÙÔ Ú·‚‰› ÙÔ˘ Ô£·Ï‹˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘˘Ú·Ì›‰·˜ ·fi Ù· ‰‡Ô fiÌÔÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ·ʋ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘ ‹ÏÈÔ˘,·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ o ÏfiÁÔ˜ Ô˘ ›¯Â ËÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÚÔ˜ ÙË ÛÎÈ¿Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ‹Ù·Ó Ô ›‰ÈÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔÔ˘ ›¯Â ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ÚÔ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘».
√ ¢ÈÔÁ¤Ó˘ Ô §·¤ÚÙÈÔ˜, Ì¿ÏÈÛÙ·, ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ô £·Ï‹˜ ̤ÙÚËÛ ÙË ÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜,fiÙ·Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ¤ÁÈÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘.
∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡
8
224
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
B
¢ ∞�
μ�
°�
·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ‹ÏÈÔ˘
ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙÂ, Ò˜ Ô £·Ï‹˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙÂÏÈο ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘˘Ú·Ì›‰·˜, ·ÊÔ‡ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Ù˘ ÛÎÈ¿˜ ¢∞�;
225
✔ Mαθαίνω τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά ομοίωνπολυγώνων.
ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ¤Ó· Á‹Â‰Ô Ì¿ÛÎÂÙ Ì Îϛ̷η 1 : 50. ΔÔ Û¯¤‰ÈÔ Â›¯Â ‰È·-ÛÙ¿ÛÂȘ 60 cm x 30 cm.1. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Áˤ‰Ô˘.2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘ ÚÔ˜ ÙÔ
·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Áˤ‰Ô˘.3. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ‚ڋηÙ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
Ù˘ Îϛ̷η˜ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘.
™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞μ°¢ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·,‚. ∞Ó Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞�μ�°�¢� ÌÂÙÚÈÏ¿ÛȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ, ÙfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·˘Ùfi ›ӷÈfiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = 3.Δ· ÂÌ‚·‰¿ ∂�, ∂ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ›ӷÈ:
∂� = 3· � 3‚ Î·È ∂ = · � ‚ÔfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:
= = 32
¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ›ӷțÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
√ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ÛÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∞° ÂÓfi˜ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ¿ÚÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂
·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙ ∞¢ = ∞μ Î·È ∞∂ = ∞°, ÙfiÙÂ
Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂, Ô˘ ›ӷÈ
ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ∞ ηÈ
ÏfiÁÔ . ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ
ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = .
°È· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞μ°) ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ:
= = � = � = ( )2.3
535
35
∞∂∞°
∞¢∞μ
1� � ∞¢ � ∞∂21� � ∞μ � ∞°2
(∞¢∂)(∞μ°)
35
35
35
35
3· � 3‚· � ‚
∂�∂
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
§fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ1. 6
∞
·
3·
3‚
‚
B
°¢∞�
¢�
B�
°�
∞
B
°
¢
∂
¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞¢∂, ∞μ° Â›Ó·ÈÎ·È ¿ÏÈ ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶)Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶�) Î·È ‰‡Ô ÔÌfiÏÔÁ˜Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 2 cm Î·È 4 cm ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. √ ÏfiÁÔ˜
ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ (¶) ÚÔ˜ ÙÔ (¶�) Â›Ó·È Ï = = ,
ÔfiÙ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂ Î·È ∂� ÈÛ¯‡ÂÈ =( )2= .
™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô ¢,
Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ∞¢ = ∞μ. ∞fi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ·Ú¿Ï-
ÏËÏË ÛÙË μ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ∞° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂. ∞Ó ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Â›Ó·È 18 cm2, Ó· ‚ÚÂı›ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ¢∂°μ.
ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂ Î·È ∞μ° ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›·
∧
∞ ÎÔÈÓ‹ Î·È ∧
¢1 = ∧
μ, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜Î·È › Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ¢∂, μ° Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ∞μ.¢ËÏ·‰‹, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·
Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = = . ÕÚ· ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞μ°) ÈÛ¯‡ÂÈ
= ( )2‹ = ‹ (∞¢∂) = 8 cm2.
TÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ¢∂°μ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ (¢∂°μ) = 18 cm2 – 8 cm2 = 10 cm2.
™Â ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ∞μ, ∞°,∞¢ ηٿ ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿-Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏. ¶fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞∂∑∏ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓÙÔ˘ ∞μ°¢;
ΛύσηΔo ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ 2.
2
49
(∞¢∂)18
23
(∞¢∂)(∞μ°)
23
∞¢∞μ
23
1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
14
12
∂∂�
12
24
Γενικά
226
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
B
¢1
∂
°
∞
B°
¢
∏
∑∂
4 cm2 cm
¶�
¶
ÕÚ· ∞∂∑∏ ≈ ∞μ°¢, ÔfiÙÂ = ( )2= ( )2
= .
EÔ̤ӈ˜, (∞∂∑∏) = 4(∞μ°¢), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔÂÌ‚·‰fiÓ ·fi ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢.
∞Ó Ù· ÔχÁˆÓ· ¶1, ¶2 Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂1, ∂2.
E1 = ...E2 E1 = ...E2 E1 = ...E2
N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:·) ∞Ó ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È
....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.‚) ∞Ó ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÈÛoχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ
ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.Á) ∞Ó ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm Î·È ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ fiÌÔÈfi˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ
ÏÂ˘Ú¿ 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ....................... ÊÔÚ¤˜ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘.
ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶1 Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶2 Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ .
√ °È¿ÓÓ˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ¶1 Â›Ó·È ÙÔ 16% ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ¶2.Œ¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // μ°.
¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // B°.∞Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 18 cm2,ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°.
2
(∞¢∂)(∞μ°)
1
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
253
2
1
EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
14
12
∞μ∞∂
(∞μ°¢)(∞∂∑∏)
227
1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
4 cm
2 cm
¶1
¶2
¶1
¶2
4 cm
2 cm
¶1 ¶2
∞
B °
¢ ∂
2 cm
3 cm
∞
B °
∂¢ 3 cm
5 cm
™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ ∞μ = 1 cm Î·È °¢ = 5 cm, ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ∞° Î·È μ¢Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ √. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √°¢Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √∞μ.
∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ μ°, °∞, ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙÂÓ· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
·) ‚)
∞Ó ∂ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, ¢∑ // μ° Î·È¢∏ // ∞°, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ∂1, ∂2,
∂3 ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∂1 = ∂ , ∂2 = ∂ Î·È ∂3 = ∂1.
™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ó· ʤÚÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:
·) ‚)
™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙÂ Ù˘¯·›ÔÛËÌÂ›Ô √. ∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ√∞, √μ, √°, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°.‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜
Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ٷ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°.
ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 40 cm2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ô˘ı· ÚÔ·„ÂÈ, ·Ó ʈÙÔÙ˘Ëı›:·) ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË 120% ‚) ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË 75%.
∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·˘ÍËı› ηٿ 30%, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù fiÛÔ %ı· ·˘ÍËı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘.
√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÌÂÈÒıËηÓηٿ 20%, ÁÈ·Ù› ·˘Í‹ıËΠÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰ÈÏ·ÓÒÓ‰ÚfïÓ. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ % ÌÂÈÒıËΠÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ÔÈÎÔ¤‰Ô˘.
10
9
8
34
7
(∞μ¢)(∞μ°)
(∞μ¢)(∞°¢)
6
19
49
5
(¢∂∑)(∞μ°)
(∞∑∂)(∞μ°)
4
3
228
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô
∞
¢ ∑
∏B
∂1
∂3
°
8 cm
4 cm
3 cm4
cm∞
B
¢
°
∞
B°
√
∞ Kμ
°¢
ª §
¢
∂ ∑
∂2
∞Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞¢∂ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.
¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞μ°¢ Î·È ÛËÌ›· ∑, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ∞μ Î·È μ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞∑ = μ∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ¢∑ = ∞∂ ‚) ¢∑ ⊥ ∞∂.
™Â ¢ı›·  ӷ ¿ÚÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, μ Î·È °. ¶ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜Â˘ı›·˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ∑ Î·È μ°∏. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ∞∏ = °∑.
™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È μ° = μ�°�, ∧
μ = ∧
μ� Î·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ μª Î·Èμ�ª� Â›Ó·È ›Û˜. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È μ¢ // ∞° Î·È ¢∂ // °μ.·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √¢ Î·È √∂.‚) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ √μ2 = √∞ � √∂.
ŒÓ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm. N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ.
√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô √.∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ √μ Ó· ʤÚÂÙ ª∂ ⊥ ∞¢ Î·È ª∑ ⊥ °¢.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ª∂¢∑.
ªÂ ÏÂ˘Ú¿ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ∞°, ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢ ÏÂ˘Ú¿˜x, Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞°∂∑.
·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ .
‚) ∞Ó (∞°∂∑) = 200 cm2, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ x.
(∞°∂∑)(∞μ°¢)
8
7
6
5
4
3
2
1
°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 1Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À
229
1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ
∞
B ¢ ∂°
∞ B
E
°¢
Z
O
AB
∂x
y
°¢
5 cm3 cm
6 cm
∞ B
ª
∑
∂
°¢
O
8 cm
∞ μ
°¢
∑
∂
x
x
x
x
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // μ°
Î·È (∞¢∂) = (∞μ°). ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.
™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // μ°,¢∑ // ∞° Î·È ∂∏ // ∞μ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:
·) μ∑ = °∏ ‚) (¢∂∏∑) = � (∞μ°)
ñ ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.
ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó:– ¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË (¶ – ° – ¶).– ª›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (° – ¶ – °).– ΔȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (¶ – ¶ – ¶).
ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó:– ¢‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.– ª›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.
ñ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ·Ó ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ.
ñ §fiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï ÁÈ· ÙÔÓÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï � ∞μ.
ñ Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = .
ñ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹. ΔÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ¢ı›˜, ·Ó Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË.
ñ √ÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞� Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜√∞ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ √∞� = Ï � √∞.
ñ Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.ñ √È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.ñ ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÔχÁˆÓ· Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.ñ ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜
›Û˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.ñ Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ñ ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜
Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.ñ ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙÂ:
– √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.– √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.
Γ . ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ – ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Á‰
·‚
Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ
Α. IΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 1o˘ K∂º∞§∞π√À
1649
10
916
9
230
M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô∞
B °
¢ ∂x
3 cm
∞
B °
¢ ∂
Z H
2 cm
5 cm