М .У.№ 1833 Кривые поверхности

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ W РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(МИИТ)

Кафедра автоматизированного проектирования и графического моделирования

Методические указания к выполнению работы но начертательной геометрии

для студентов всех нестронтельных специальностей

Утвержденоредакционно-издательским

советом университета

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

МОСКВА 2003

УДК 744 М 54

Кривые поверхности: Методические указания к выполнению работы по начертательной геометрии/ С.В. Ларина, С.Н. Муравьёв, Ф.И. Пуйческу, М.А. Иванова М.: МНИТ, 2003. - 50 с.: ил.

Настоящие методические указания предназначены в помощь студен­там при изучении основных способов определения линии пересечения по­верхностей.

Собранный материал поможет студентам самостоятельно выполнить домашнее задание по начертательной геометрии на тему «Взаимное пере­сечение поверхностей». Заметим, что в рассматриваемых примерах, разме­щённых в методических указаниях, студентов знакомят не только со спосо­бами решения задач на тему «Взаимное пересечение поверхностей», но и с различными способами задания поверхностей на ортогональном чертеже.

Издание предназначено для студентов всех нестроительных специ­альностей.

Ил. 21, табл. 6, библиогр. - 4 назв.

© Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ), 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................ 41. СПОСОБ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ

ПЛОСКОСТЕЙ......................................................................................... 52. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, РЕШАЕМЫХ

СПОСОБОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ......................................................................................... 19

3. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ СФЕРИЧЕСКИХПОВЕРХНОСТЕЙ.................................................................................... 263.1. Пересечение соосных поверхностей.............................................. 263.2. Способ концентрических сфер....................................................... 263.3. Примеры задания поверхностей, решаемых способом

концентрических сфер..................................................................... 313.4. Способ эксцентрических сфер........................................................ 363.5. Примеры задания поверхностей, решаемых способом

эксцентрических сфер..................................................................... 383.6. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка 41

4. Построение развёрток поверхностей.................................................. 46СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................... 49

ВВЕДЕНИЕ

Многие детали представляют собой конструкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей называ­ется линией пересечения. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может рас­падаться на две и более составляющие. Эти составляющие могут быть как плоскими кривыми, так и прямыми линиями.

Для определения точек, общих для двух поверхностей, часто исполь­зуют вспомогательные секущие поверхности. Эти поверхности называют поверхностями-посредниками. Поверхности-посредники пересекают дан­ные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии пересечения.

Рассмотрим в общем виде использование посредников при решении задачи на построение линии пересечения (пт) двух заданных поверхностейФ 1 и Ф 2, ф 'п ф 2 = т . Из рпс. 1 видно, что посредник а пересекает заданную по­верхность Ф* по линии п, а поверхность Ф по линии 1.Точка К (в действительнос­ти точек может быть боль­ше), в которой пересекают­ся линии п и 1, общая для заданных поверхностей Ф 1 и Ф 2, и следовательно, при­надлежит линии их пересе­чения - линии Ш. Много­кратно повторяя такой при­ём, получаем ряд точек искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников используют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие спосо­бы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;б) способ вспомогательных сфер.Применение того или иного способа зависит как от типа данных по­

верхностей, так и от их взаимного расположения. Прежде чем перейти к рассмотрению более подробно каждого способа построения линии пересе­чения следует напомнить, что сначала надо определить так называемые её

опорные (характерные) точки. К ним относя гея:1. Точки, принадлежащие контурным (очерковым) линиям пересе­

кающихся поверхностей, среди которых будут и точки видимос ти;2. Точки, координаты которых X, Y и Z имеют экстремальные значе­

ния, то есть точки, наиболее и наименее удалённые от плоскостей проекций Г1,, 1Т и ГТ„

После определения опорных (характерных) точек переходя т к опре­делению промежуточных точек. Кроме того, следует иметь ввиду, что ли­пки пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения од­ноимённых проекций пересекающихся поверхностей.

1. СПОСОБ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Этот способ следует применять когда обе заданные поверхности возможно пересечь по графически простым линиям. К 'таким линиям отно­сятся прямые и окружности. Их возможные сочетания при использовании плоскостей-посредников приведены в табл. 1.1. Анализируя табл. 1.1 необ­ходимо отметить, что в результате использования одного посредника мож­но сразу получать 1, 2 или 4 точки, принадлежащие линии пересечения линии т . Рассмотрим на примерах построение линии пересечения двух поверхностей, используя способ вспомогательных проецирующих плоско­стей.

Пример 1.1. Построить линию пересечения конуса вращения ( Ф1 ) с поверхностью полусферы ( Ф2) (рис. 1.1). Рассмотрим возможность приме­нения плоскостей уровня в качестве посредников (Ф).

Фронтальные плоскости уровня, кроме проходящей через общую плоскость симметрии*, пересекают поверхность полусферы по окружно­стям, а поверхность конуса по гиперболам. Поэтому их не следует приме­нять в качестве посредников.

Проецирующие плоскости будут давать сложные для построения на чертеже линии, поэтому их также нецелесообразно использовать в каче­стве посредников.

Горизонтальные плоскости уровня пересекают заданные поверх­ности по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций Г1| без искажения, а на плоскость проекций 1Г - в прямые, совпадающие с фронтальными следами секущих плоскостей.

Проведённый анализ всех возможных вариантов определяет необхо­димость использования в качестве посредников Ф вспомога тельных плос-

Общая плоскость симметрии включает к себя осп таламиых поверхностен.

Таблица 1.1

№ п/п Ф п Ф 1 = п Ф П Ф 2 = 1 пП1 = ( - )К

1 Прямая Прямая [X 12 Прямая Окружность X V3 Окружность Две прямые

i S t : !

4 Две прямые Две прямые /W5 Окружность Окружность Д£2/6 Окружность Окружность

аj

Рис. 1.1

костей, параллельных плоскости П! - горизонтальных плоскостей уров­ня. Их применение даёт наиболее простые и графически точные построения на чертеже, так как в этом случае окружности, по которым будут пересе­каться обе поверхности с горизонтальной плоскостью уровня, отобразятся на Г1| без искажения, как и основания поверхностей.

Решение задачи следует начинать с определения опорных (характер­ных) точек.

1. Точки, лежащие на очерковых образующих.Для определения точек (или точки), лежащих на очерковых обра­

зующих, введём посредник - фронтальную плоскость уровня, проходя­щую через оси заданных поверхностей (рис. 1.1). Занимая частное положе­ние, а именно р II П2, плоскость р (i и j) рассечёт конус по двум образую­щим AS и BS, а поверхность полусферы по полуокружности п. Фронталь­ные проекции A2S2 и S2B2 образующих AS и SB - крайние (очерковые) об­разующие конуса. Фронтальная проекция п2 полуокружности п - очерк по­лусферы на плоскости Г12.

Анализируя чертёж, заметим, что левая очерковая образующая кону­са A2S2 не имеет общих точек с очерковой полуокружностью п2, а правая очерковая образующая S2B2 пересекает очерковую полуокружность п2 в точке 12.

2. Высшая точка линии пересечения должна лежать в общей плос­кости симметрии. Напомним, что эта плоскость включает в себя оси задан­ных поверхностей. В данном примере (рис. 1.1) такой плоскостью является плоскость |3 (i II j) II П2, поэтому найденная точка 1(1 h 12) будет наивыс­шей точкой. Координата Z|~Zmilx.

3. Низшие точки сечения.Для определения таких точек введём посредник - горизонтальную

плоскость уровня, проходящую через основания заданных поверхностей - плоскость а6П | (рис. 1.1). Эта плоскость пересекает конус по окружности k(k|, k2), а полусферу - по окружности h(hb h2). На фронтальной плоскости проекций эти окружности, проецируясь в прямые линии, совпадают, а на горизонтальной - окружность k(kt) пересекается с окружностью h(h,) в точках 2| и 3| (Ь|Пк|=(:)2р~3|). Эти точки -• низшие точки сеченияz2-z3=zmin.

После выполнения пунктов 2 и 3, становится ясно, что нижний пре­дел вспомогательной секущей плоскости равен Z2, а верхний - Z \, то есть

у вен ^ у а с п ^ у <;сп^тп\ —* — ^тах ( i . i )

Особыми точками в данном примере будут точки 6 и 7 (рис. 1.2), в

Проекция линии касания (окружность р)

Рис. 1.2

которых полусфера касается образующих конуса.4. Точки касания образующих конической поверхности с по­

верхностью полусферы.Для нахождения точек касания полусферы и конической поверхно­

сти необходимо выполнить следующие построения:а) построить вспомогательную коническую поверхность \|/, обра­

зующие которой представляют собой множество прямых, проходящих через (-)S (S2) - вершину заданного конуса (Ф1) и касающуюся поверхностиполусферы Ф2 ( Ф22) по окружности р радиуса г (рис. 1.2);

б) определить линию пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной в точке S, то есть определить общие образующие, принад­лежащие вспомогательному конусу (\|/) и заданному (Ф1): \|/ П Ф1 = SE, SF.

Для нахождения образующих SE и SF пересечём поверхности Ф1 и V|/ сферой произвольного радиуса R с центром в точке S2, (рис. 1.2). Являясь соосной* с каждой из конических поверхностей, сфера пересечёт их по ок­ружностям t и t'. На плоскость П2 эти окружности спроецируются в виде прямых, перпендикулярных к осям поверхностей Ф1 и V)/. Искомые обра­зующие пройдут через точки пересечения окружностей t П t' = (:) Е, F. По­строив образующие SE и SF (Е2= t2 П t'2; E2sF2) на плоскости П2, перейдём к построению горизонтальных проекций (Еь F,) точек Е и F. Искомые точ­ки принадлежат окружности t, которая находится в плоскости 8, параллель­ной плоскости П|. Радиус окружности /?,== |m 2N2| определяется расстоя­нием от оси конуса (точка М2) до точки пересечения плоскости 8 (52) с его очерковой образующей (точка N2). Спроецировав точки Е2 и F2 на горизон­тальную проекцию окружности ti ( R ' ), получим горизонтальные проекции точек Е| и F|. Далее, соединяя эти точки с вершиной S|, получим горизон­тальные проекции искомых образующих S|Е| и S|Ft;в) найти точки 6 и 7, в которых образующие конической поверхности SE и SF касаются полусферы, то есть определить точки пересечения образую­щих SE и SF с окружностью р радиуса г (см. рис. 1.2), по которой вспомо­гательный конус \\1 касается поверхности полусферы. Итак, точка 6(62)=S2E2flp2; (62:=72). По линиям проекционной связи строим горизон­тальные проекции (•) 6|GSiF,, а (■) 7,£SiEi. В этих точках образующие заданной конической поверхности Ф1 касаются полусферы Ф“. Особен­ность этих точек заключается в том, что именно в них образующие кониче­ской поверхности на развёртке касаются линии пересечения.

' Напомним, что если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности.

Определив все характерные точки, перейдём к построению проме­жуточных точек.

5. Определение промежуточных точек.Напомним, что для их построения будем использовать в качестве по­

средника - горизонтальные плоскости уровня. Введение таких плоско­стей должно выполняться с учётом неравенства (1.1). На рис. 1.1 показаны две плоскости уровня а' и у. Каждая из них определяет пару точек на буду­щей линии пересечения. Рассмотрим плоскость у. Она пересекает конус по окружности е. Радиус окружности Rc. Эта же плоскость пересекает полу­сферу по окружности f радиуса R,. Центр окружности Rc лежит на оси i, а центр окружности Rf - на оси]. На плоскости Г12 эти окружности принад­лежат вспомогательной плоскости у II П|, то есть совпадают со следом у2, а на П| они проецируются в натуральную величину. Построив проекции ок­ружностей на Пл, получим точки 4| и 5Ь в которых эти окружности пересе­каются. Фронтальные проекции (42;;:52) точек 4 и 5 принадлежат фронталь­ной проекции у2 плоскости у, см. рис. 1.1. Таким же образом строят и дру­гие промежуточные точки, используя в качестве посредников горизонталь­ные плоскости уровня.

Далее, последовательно соединяя все полученные точки, с учётомвидимости строят искомую линию ГП= Ф 1 П Ф 2 . Точность построения бу­дет зависеть от количества использованных посредников. Окончательное решение задачи приведено на рис. 1.3.

Пример 1.2. Построить линию пересечения поверхности конуса Ф1 с поверхностью полусферы Ф2.

Оси заданных поверхностей расположены на разном расстоянии от плоскости П2, то есть Y^Yj (рис. 1.4). Прежде чем начать определение то­чек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей111—Ф ПФ" , рассмотрим более подробно, как следует определять харак­терные точки этой линии.

Определение низших точек. Введём в качестве посредника (рис. 1.4) плоскость а (сх2). Плоскость а, принадлежащая плоскости П) и прохо­дящая через основание конуса и полусферы, рассечёт, соответственно, по­верхности Ф1 и Ф2 по окружностям к и й , горизонтальные проекции кото­рых пересекутся в точках 11 и 2\. По линиям проекционной связи строим их фронтальные проекции 12 и 22 (см. рис. 1.4). Точки 1 и 2 определяют ниж­ний предел вспомогательной секущей плоскости а, то есть Z |.r;Zmm.

Определение высшей точки сечения. Для того, чтобы установить область поиска общих точек заданных поверхностей, необходимо опреде­лить верхний предел использования вспомогательных секущих плоскостей, параллельных плоскости П|, то есть определить координату Z высшей точ-

ки. Высшая точка линии пересечения должна лежать в об­шей плоскости сим­метрии р поверхнос­тей, которая пройдёт через ось конуса и q ^7ось сферы (рис. 1.5).Плоскость (3 пересе­кает конус по обра­зующим SA'. и SB', а полусферу по полу­окружности п\ Для нахождения точки 3 пересечения образу­ющей SB' с полуок­ружностью п' необ­ходимо выполнить следующие построе­ния (см. рис. 1.5):

1) преобразо­вать чертёж так. что­бы плоскость р стала параллельной новой плоскости 11, и тогда полуокружность п' спроецирует- ся на Hi без искажения. Для -лого необходимо выполнить замену плоско­сти Г12 на плоскость П4 (рцП4), а это значит, что от системы П2/11| надо пе­рейти к системе П4/П|. Ось Хы должна быть параллельна следу р, (Х,411р|);

2) построить новые проекции образующих SA', SB' и полуокружно­сти п' на плоскости Г14 (см. рис. 1.5). При этом необходимо помнить, что при переходе от одной системы к другой, расстояние от новой проекции точки (например, S4) до новой оси Хы, равно расстоянию от преобразуемой проекции (S2) до предыдущей оси Х!2, то есть | S4 Х,4| ^ | S2 Х|21. Точка 0 4 в новой системе должна принадлежать оси Хи, так как точка 0 2 принадле­жит оси Х!2;

3) в пересечении образующих 5 4 В\ и п\ определится высшая точ­ка 3(34). Её горизонтальная проекция 3, должна принадлежать горизон­тальному следу Pi (см . рис. 1.5). Для определения фронтальной проекции 32 высшей точки 3 следует использовать координату Z точки 3. После выпол­нения таких преобразований видно, что верхний предел Znulv вспомогатель­ных секущих плоскостей равен Z3.

и

Для определения промежуточных точек в интервале Z mj]1 < Z'"" < Z max,необходимо провести некоторое количество секущих плоскостей-посредни­ков, параллельных плоскости Г1,. Но прежде чем перейти к построению промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей, необхо­димо найти точки, в которых образующие конической поверхности каса-

ются полусферы. При этом следует помнить, что эти точки сначала надо найти в системе П4/П(, а далее, определив координаты Z этих точек, перей­ти в систему ГЬ/П|. Эпюрное решение, связанное с определением точек 6 и 7, в которых образующие конической поверхности касаются сферы, приве­дено на рис. 1.6. Метод, используемый при нахождении таких точек, под­робно описан настр. 10, рис. 1.2.

Рис. 1.6

На следующем рис. 1.7 показаны построения точки 4, в которой ли­ния пересечения заданных поверхностей m касается правой очерковой об­разующей конуса. Заметим, что левая образующая конической поверхности с поверхностью полусферы не пересекается. Итак, для того чтобы опреде-

лить точку 4, необходимо ввести плоскость-посредник у, проходящую че­рез ось конуса i и расположенную параллельно плоскости ГЬ (рис. 1.7). Эта плоскость пересечёт конус по образующим SA и SB, а поверхность полу­сферы по окружности к радиуса г'. В пересечении фронтальной проекции S2B2 образующей SB с фронтальной проекцией к2 окружности к (г') полу­чим фронтальную проекцию 42 точки 4. Учитывая, что точка 4 принадле­жит плоскости у, по линии проекционной связи определяем её горизон­тальную проекцию 4 1GE у|.

Там же на рис. 1.7 показано построение промежуточных точек 5 и 8 линии m посредством плоскости-посредника а ' . Плоскость а ' , параллель­ная плоскости П|, пересечёт поверхность конуса по окружности f радиуса R ' , а поверхность полусферы по окружности е радиуса R " . На плоскости П2 их проекции совпадут с фронтальной проекцией Ос\ плоскости а ' , а на горизонтальной плоскости проекций окружности спроецируются в нату­ральную величину. В пересечении горизонтальных проекций f, и е, окруж­ностей f и е получим точки 5) и 8 1, принадлежащие линии пересечения за данных поверхностей: f) ( R ' ) П е, (R " ) = (:) 5ь 8|. Их фронтальные про­екции 52 и 82 находим по линии проекционной связи на а'-,.

Многократно повторяя вышеописанные действия по определению промежуточных точек для различных плоскостей-посредников и с учётоминтервала Z min < Z AC" < Z m}i, получаем набор точек, принадлежащих

искомой линии т = Ф 1 П Ф~ .На рис. 1.8 показано окончательное решение задачи. Ранее найден­

ные точки последовательно соединены плавной кривой (без особых точек) с учётом их относительной видимости.

Обратимся к заданному условию задачи (рис. 1.4). Из чертежа видно, что Yj больше Yj. Следовательно, поверхность полусферы находится ближе к наблюдателю, а это значит, что все точки линии пересечения, которые будут находится перед плоскостью 5 (5,) (5 - плоскость главного меридиа­на полусферы, расположенная параллельно плоскости ГЬ и проходящая че­рез центр сферы), будут видимы на П2, а точки, которые находятся за плос­костью 5, на П2 будут невидимы. Границей раздела видимости для линии пересечения будет точка 9 (рис. 1.8). Но она не может бы ть найдена точно, так как плоскость б пересекает полусферу по окружности п (ip; п2), а конус - по гиперболе. Поэтому, на рис. 1.8 эта точка построена приближённо, как точка пересечения линии m с плоскостью S, то есть на П, мы имеем Qp^irpn б,.

8,

Рис. 1.8

2. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, РЕШЕМЫХСПОСОБОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ

ПЛОСКОСТЕЙ

Напомним, что поверхности на ортогональном чертеже могут зада­ваться: а) линиями очертания; б) аксонометрическими проекциями; в) оп­ределителем (а именно, его геометрической частью).

На всех рисунках, кроме рис. 1, приведённых в методических указа­ниях при рассмотрении способов решения задач на «Взаимное пересечение поверхностей», поверхности на ортогональных чертежах заданы линиями их очертания.

Далее, в табл. 2.1 и 2.2 приводятся примеры задач, которые могут быть решены способом параллельных вспомогательных плоскостей. В табл.2.1 поверхности заданы аксонометрическими проекциями.

В табл. 2.2 понерхности заданы геометрической частью определите­ля.

Таблица 2.2

3. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЗЛ. Пересечение соосных поверхностей

Соосными поверхностями называют поверхности, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям (рис. 3.1). Причём, число окружностей равно числу точек пе­ресечения очерковых меридианов поверхностей. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут проецироваться на данную плоскость в виде отрез­ков прямых (например, на плоскость П2), а на плоскость ГД - в виде окруж­ностей.

В случае (рис. 3.2), если одной из соосных поверхностей вращения является сфера, а центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то в их пересечении получается окружность - общая параллель. Эго свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических* сфер.

3.2. Способ концентрических сфер

Способ концентрических сфер можно применять для построения ли­нии пересечения двух поверхностей, каждая из которых содержит семейст­во окружностей, по которым её могут пересекать концентрические сферы, общие для двух поверхностей, то есть заданные поверхности должны быть поверхностями вращения.

Сферы с общим центром называются концентрическими.

0

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Кроме того, заданные поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, расположенную параллельно одной из плоскостей проекций. И, наконец, третье — оси заданных поверхностей должны пересекаться. Точ­ка пересечения осей будет центром всех вспомогательных секущих сфер- посредников.

Пример 3.1. Построить линию пересечения m поверхностей конуса и тора, оси которых i и j пересекаются в точке О и параллельны плоскости проекций П2 (рис. 3.3).

Убедимся в том, что предлагаемая задача не может быть решена по­средством вспомогательных параллельных плоскостей уровня, рассмотрен­ных нами ранее (см. рис. 1.1). Действительно, в горизонтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство окружностей, а на поверхности гора - семейство кривых четвёртого порядка. Во фронтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство гипер­бол, а на поверхности гора - кривые четвёртого порядка. Поскольку в рас­сматриваемых плоскостях уровня поверхности не содержат- одних только простейших линий (прямые и окружности), то эти плоскости нельзя ис­пользовать в качестве плоскостей-посредников.

Однако, две плоскости при решении данного примера могут и должны быть использованы. Одной из таких плоскостей будет плоскость, проходящая через оси заданных поверхностей, то есть общая плоскость симметрии а (он), параллельная плоскости П2 (рис. 3.3).

Плоскость а, являясь плоскостью главного меридиана заданных по­верхностей, рассечёт обе поверхности по очерковым образующим: конус - по образующим SQ и ST, а тор - по линиям к и к’. Пересечение главных меридианов поверхностей определяет опорные точки линии пересечения Си D: S2T2nk2: (-)D2; S2T2fl k\ =(• )C2. Напомним, что точки С и D принад­лежат плоскости главного меридиана, а это значит что горизонтальные проекции точек С(С|) и D(D)) должны принадлежать горизонтальной про­екции плоскости а (ор), то есть (:) Ci, D |6ai.

Вторая плоскость уровня, которую можно использовать при реше­нии задачи, будет плоскость (3 (р2), параллельная плоскости II, и проходя­щая через ось j. Такая плоскость пересечёт гор по линиям п и п' - очерко­вым образующим тора на плоскости Пь а конус - по окружности е. Радиус окружности - г0. Горизонтальные проекции Ki и L, точек К. и L получены в местах пересечения горизонтальной проекции окружности et (гс) с горизон­тальными проекциями линий щ и п[ : е,П п[ =(• )К]; е|Пп,=( • )Li. В точках К! и L| проекция пр кривой m касается горизонтального очерка тора и де­лится на видимую и невидимую части.

Рис. 3.3

Легко увидеть, что в предлагаемой задаче исходные поверхности удовлетворяют всем требованиям, которые позволяют использовать сферы- посредники для построения линии пересечения конуса и тора, а именно, конус и тор - поверхности вращения, их оси пересекаются и параллельны плоскости проекций П2.

Вспомогательные сферы-посредники переменного радиуса будут иметь общий центр - точку О пересечения осей i и j заданных поверхно­стей ((•) О = i П j ). На каждой из этих сфер будут располагаться окружно­сти — простейшие линии каркаса тора и конуса. Определим границы изме­нения радиусов сфер-посредников, если область их значений выражаетсянеравенством: Rmm < R 'IC" < Дтах.

Определение сферы минимального радиуса. Сфера минимального радиуса (Rmjn) должна быть вписанной в одну поверхность и пересекать другую. Обратимся к рис. 3.3. Из чертежа видно, что в данном примере сфера минимального радиуса будет вписана в поверхность конуса. Для того чтобы определить радиус сферы, необходимо из точки 0 2 провести нор­маль к образующей конуса. Отрезок | 0 2N21 - радиус минимальной сферы, которая может быть использована при решении задачи. Прямая ь пред­ставляет собой фронтальную проекцию окружности t радиуса г, - линии касания поверхности конуса Ф1 со сферой минимального радиуса. Очеркомсферы минимального радиуса на плоскость П2 будет окружность/^. Сфера минимального радиуса, как соосная с поверхностью тора, пересечёт тор по окружности а, которая проецируется на П2 в отрезок а2. В пересечении ок­ружностей t и а определим точки А и В, принадлежащие заданным поверх­ностям: ьПа2=(:)А2, В2, (А2=В2).

Определение сферы максимального радиуса. В общей плоскости симметрии а1|П2 (рис. 3.3) расположены фронтальные очерковые линии поверхностей тора и конуса, которые на П2 пересекаются в точках С2 и IX Расстояние от точки 0 2 до наиболее удалённой точки пересечения очерко­вых образующих, в данном примере точка С2, будет радиусом наибольшей сферы - Rmax, так как | 0 2С21 > | 0 2D21, то есть Rmax= | 0 2С21.

Для определения промежуточных точек и с учётом неравенстваR nun - R '!U’ ^ ^ mах проведём вспомогательную секущую сферическую поверхность Ф1 произвольного радиуса Rj с центром в точке 0 2 = ь П j 2, которая спроецируется на Г12 в окружность 12. Будучи соосной с каждой из двух заданных поверхностей, вспомогательная сфера Ф1 пересечёт поверх­ность тора Ф" по окружности b (Ф2ПФ-Ь), а поверхность конуса Ф1 - по окружности f (ф 'П Ф -f). Окружности b и f спроецируются на плоскость П2 в отрезки прямых линий Ь2 и/?,, перпендикулярные соответствующим осям

поверхностей вращения. Искомые точки Е и F линии пересечения поверх­ностей будут находится в местах пересечения окружностей b и f, то есть на П2 в пересечении отрезков прямых Ь2 и f2 ((:)E2F2=b2nfy). Построение гори­зонтальных проекций промежуточных точек не вызывает затруднений и осуществляется посредством горизонтальных проекций окружностей (ли­ний каркаса) поверхности конуса Ф1 (см. рис. 3.3 - построение горизон­тальных проекций точек A(Ai), В(В,), Е(Е,) и F(F,)). Искомая линия пере­сечения пш Ф 1 П Ф 2 заданных поверхностей вращения представляет собой пространственную кривую, не имеющую особых точек. Поэтому, получен­ные точки должны быть последовательно соединены плавной кривой лини­ей с учётом видимости заданных поверхностей. Все точки линиит - ф ' п Ф 2, которые на плоскости П2 находятся выше плоскости (3 ф 2) будут на плоскости П, видимыми, а точки, которые находятся ниже плос­кости [3 (р2), на плоскости П| будут невидимыми. Па рис. 3.4 показано на­глядное изображение задачи 3.1.

i

Рис. 3.4В тех случаях, когда оси поверхностей вращения не параллельны

плоскости проекций, применению способа концентрических сфер должно предшествовать преобразование эпюра.

3.3. Примеры задания поверхностей, решаемых способом концентрических сфер

В табл. 3.1 и 3.2 приведены примеры задач, которые могут быть ре­шены способом концентрических сфер.

В табл. 3.1 пересекающиеся поверхности заданы аксонометрически­ми проекциями.

Таблица 3.1

В табл. 3.2 поверхности заданы геометрической частью определите­ля.

Таблица 3.2

3.4. Способ эксцентрических сфер

Способ эксцентрических сфер* может быть использован для по­строения линии пересечения поверхностей (т=Ф'ПФ2) в том случае, когда одна из заданных поверхностей - поверхность вращения (Ф1), а вторая по­верхность (Ф") - циклическая. Причём, обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.

Напомним, что циклическая поверхность образуется при движении окружности постоянного или переменного радиуса. Траектория, по кото­рой перемещается центр окружностей, формирующих циклическую по­верхность называется линией центров (f). Рассмотрим сущность этого спо­соба на следующем примере.

Шш мер 3.2. Построить линию пересечения поверхности кольца (1/4 часть открытого тора) Ф1 с поверхностью кругового конуса Ф2 (рис. 3.5).

Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии а (он), парал­лельную плоскости Г12. Плоскость а включает в себя ось конуса i, перпен­дикулярную плоскости Пь и линию центров f. Возможность использования способа эксцентрических сфер обуславливается тем, что обе поверхности несут на себе семейства окружностей, по которым они могут пересекать­ся эксцентрическими сферами. Па поверхности тора Ф1 нас интересует то семейство окружностей, принадлежащих пучку плоскостей (3, ось которого совпадает с осью j кольца ( j JL ГЬ ).

Решение задачи следует начать с определения опорных точек 5 и 6. Эти точки 5 и 6, находящиеся на пересечении экватора кольца и фронталь­ного очерка конуса, построены с помощью плоскости а||П2, проходящей через ось конуса и линию центров f кольца. Для построения произвольных точек линии m проведём через ось кольца j некоторую плоскость (3± П2, которая пересечёт кольцо по меридианальной окружности t, фронтальной проекцией которой будет отрезок прямой А2В2. Через окружность t можно провести множество сфер, центры которых лежат на перпендикуляре b к плоскости р, проведённого через центр О окружности t. Из этого множест­ва выделим одну сферу, которая будет соосна с поверхностью конуса, то есть с центром в точке О' пересечения перпендикуляра b и оси конуса i. Для изображения такой сферы на чертеже проведена окружность радиуса R с центром 0 2 (О, = /2 П М , проходящая через концевые точки А2, В2 отрезка [А2В2], изображающего окружность t.

Построенная сфера-посредник, как соосная с поверхностью конуса, пересечёт его по окружности п, которая проецируется на П2 в отрезок

Сферы переменного радиуса и переменного центра называются эксцентрическими.

Рис. 3.5

[CtDi]. Так как построенная сфера содержит окружности t и п, то они пере­секутся между собой в точках I и 2, принадлежащих одновременно и кону­су и кольцу, а потому являются точками искомой линии пересечения. По­строение горизонтальных проекций этих точек понятно из чертежа.

Аналогичным построением, применяя плоскости |У, (З2 и гак далее, находим любое нужное количество точек линии пересечения. При этом каждый раз приходится проводить сферы-посредники из различных цен­тров, лежащих на оси конуса.

3.5. Примеры задания поверхностен, решаемых способом эксцентрических сфер

В табл. 3.3 приведены примеры пересекающихся поверхностей, ко­торые могут быть решены способом эксцентрических сфер.

В табл. 3.3 поверхности заданы геометрической частью определите­ля.

Таблица 3.3

3.6. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен про­изведению порядков этих поверхностей. Поэтому, две поверхности второ­го порядка* в общем случае, всегда пересекаются по кривой четвёртого порядка. При определённых условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой кривой. В некото­рых частных случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кри­вые второго порядка. Ниже рассмотрим сформулированные в теоремах условия, при которых линия пересечения двух поверхностей второго по­рядка распадается на две кривые второго порядка.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка содержат общую кривую второго порядка, то они пересекаются ещё по одной кривой второ­го порядка.

Рис. 3.6

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовые ко­ординаты которых удовлетворяют уравнениям второй степени.

На рис. 3.6 изображены две поверхности второго порядка - цилиндр Ф1 с осью i _L Г1 [ и конус Ф2 с осью j ||П2. Две заданные поверхности пере­секаются по одной плоской кривой - окружности t, общему основанию двух заданных поверхностей, принадлежащему плоскости у (у2). Второй плоской кривой будет линия п - эллипс, все точки которой принадлежат плоскости р (р2), перпендикулярной плоскости П2 и проходящей через точ­ки А(А2) и В(В2) пересечения очерковых образующих конуса и цилиндр а. Точки А и В принадлежат общей плоскости симметрии а (аО заданных по­верхностей (см. рис. 3.6).

Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго по­рядка имеют касание в двух точках (А и В), то линия их пересечения рас­падается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых про­ходят через прямую, соединяющую точки касания.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 2 (см. рис. 3.7). За­даны две цилиндрические поверхности вращения Ф1 и Ф2, одинакового диаметра. Заданные поверхности имеют двойное касание в точках А и В. Так как в этих точках обе поверхности имеют общие касательные плоско­сти а (<Х|) и р (р|), то, по теореме 2, линия пересечения заданных поверхно­стей распадается на две плоские кривые второго порядка (t и п), которые должны проходить через точки касания А, В и точки С, D, Е и F - точки пересечения очерковых образующих, принадлежащих общей плоскости симметрии y(Yi), параллельной плоскости Г12 и проходящей через оси за­данных поверхностей. Линии t и п, принадлежащие, соответственно, плоскостям 6(§2) и — два одинаковых эллипса, большие оси кото­рых, соответственно, равны отрезкам C2D2 и E2F2. Эти отрезки - фронталь­ные проекции плоских кривых t и п, а горизонтальные проекции этих линий совпадают с горизонтальной проекцией цилиндра Ф1. Натуральная величи­на эллипса t построена с применением метода замены плоскостей проекций (то есть от системы П2/П| сделан переход к системе П2/П4). Плоскость ото­бражения П.( расположена параллельно плоскости ( ^ ) .

Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго по­рядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка t и п. В общем случае, плоскости 8 и у этих кривых проходят через прямую m пересечения плоскостей а и (3 линий касания исходных поверхностей с третьей (рис. 3.8). В частности, как показано на рис. 3.9, линии t и п прохо­дят через прямую, соединяющую точки А и В пересечения линий касания.

Пусть заданы две поверхности второго порядка: конус Ф1 и цилиндр Ф2. В соответствии с теоремой 3 поверхности конуса Ф1 и цилиндра Ф", описаны около третьей поверхности Ф’ сферы, и следовательно, перссека-

ются по эллипсам t и п, принадлежащим плоскостям 6(62) и S'(S'2) . Фрон­тальные проекции эллипсов изобразятся, соответственно, прямыми E2F2 и C2D2, которые проходят через точки пересечения очерковых образующих заданных поверхностей, принадлежащих плоскости a (ut) - общей плоско­сти симметрии, параллельной плоскости П2 и включающей оси заданных поверхностей.

Видимыми на П, (см. рис. 3.9) будут те дуги эллипсов, которые на­ходятся выше плоскости р (р2), проходящей через ocbj. Точки видимости I, 2 и 3, 4, горизонтальные проекции которых являются точками касания про­екций 1| и п, и горизонтальных очерковых образующих цилиндра, делят проекции t| и П| эллипсов на видимые и невидимые части.

Проекция линии касания

4. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

Известно, что поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок называются развёртывающимися. Фигуру, полу­ченную в результате совмещения поверхности с плоскостью называют раз­вёрткой. Развёртки таких поверхностей строят приближённо, так как в про­цессе построения они заменяются (аппроксимируются) вписанными в них многогранными поверхностями. Обычно на практике в цилиндрическую и коническую поверхности вписывают призму и пирамиду, в основании ко­торых берут правильный многоугольник. Для обеспечения достаточной точности аппроксимации длину стороны многоугольника принимают рав­ной четверти диаметра окружности, то есть в основании многогранника будет правильный 12-угольник.

Пример 4.1. Построить развёртку боковой поверхности кругового цилиндра, приведённого на рис. 4.1.

На рис. 4.2. построена развёртка кругового цилиндра диаметра d, ко­торый развернулся в прямоугольник с основанием длиной 2т и высотой, равной высоте цилиндра. Для того чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины окружности, впишем в основание цилиндра пра­вильный 12-уголышк. На рис. 4.1 это построение выполнено на плоскости n.j-Li, па которую цилиндр проецируется в окружность. Периметр 12- уголышка принимаем за длину основания прямоугольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности кругового цилиндра заменяем, с достаточ­ной для практики точностью, развёрткой боковой поверхности прямой пра­вильной 12-уголыюй призмы, вписанной в данный цилиндр.

Для построения развёртки на рис. 4.2 проводим горизонтальную прямую и на ней последовательно откладываем от сё произвольной точки 10 стороны правильного 12-угольника, вписанного в основание цилиндра. Далее, через точки 10, 20, 30, ..., 120 проводим перпендикуляры к прямой и на них откладываем длины соответствующих образующих, взятых с фрон­тальной проекции цилиндра, так как длины образующих цилиндра проеци­руются на ГЬ без искажения. Соединив концы образующих плавной кри­вой, получим развёртку боковой поверхности цилиндра, ограниченной кри­вой т .

Пример 4.2. Построить развёртку боковой поверхности кругового конуса, пересекающегося с цилиндром (рис. 4.1).

Развёртка прямого кругового конуса (рис. 4.3) представляет собой сектор круга радиуса 1 с длиной дуги 2ttR, где 1 - длина образующей кону­са, a R - радиус окружности его основания. Прямолинейные образующие конуса переходят при развёртывании в радиусы этого сектора, а его парал­лели - в дуги окружностей с центром S0. Чтобы не вычислять длину дуги

сектора круга, в основание конуса вписываем правильный 12-угольник (на чертеже показаны только его вершины 1, II, III, XII). Для построения развёртки из произвольной точки S() описываем дугу радиуса I. Затем из точки VП0, лежащей в меридианальной плоскости симметрии а, засекаем по шесть дуг слева и справа от точки VII0, хорды которых равны стороне 12-угольника. Таким образом развёртку боковой поверхности кругового конуса заменяем развёрткой правильной 12-угольной пирамиды, вписанной в данный конус.

Во

т о

Во

CQ

2о Зо 4о 5о 6о 7о 8о 9о 10о Но 12о 1о

2ttR

Рис. 4.2

Чтобы нанести, на развёртке линию пересечения т , необходимо на каждой образующей о т л о ж и т ь натуральную величину длины отрезка со­ответствующей образующей конуса до точки пересечения с линией т . Для построения, например, точки Е этой линии образующая SE повёрнута во­круг оси конуса в положение очерковой образующей SE ' || /7 ,, когда она изображается на IT в натуральную величину, то есть | SjE'-, |=| S E |=| S Q Е {) | . Соединив плавной кривой построенные такимобразом точки, получим развёртку кривой т .

Развёртки наклонных цилиндра и конуса строят, заменяя эти по­верхности вписанными в них наклонными 12-угольными призмой и пира­мидой, соответственно, за рёбра которых принимают образующие цилинд­ра и конуса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Начертательная геометрия: Учебы, для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. - изд. 7-е, перераб. и доп., - М: Высш. шк., 2000. - 224 с.: ил.

2. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. - Киев: Бу/ивельник, 1970. - 391 с.

3. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. - М: Высш. шк., 1970. - 239 с.

4. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебн. для втузов. - М.: Машиностроение, 1983. -240 с.

Q

Учебно-методическое издание

Светлана Викторовна Ларина Сергей Николаевич Муравьёв,

Фёдор Ильич Пуйческу,Нина Александровна Иванова

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания к выполнению работы по начертательной геометрии для студентов

всех нестроительных специальностей

Формат 60x84 1/16. Изд. № 2 0 £ Подписано к печати - ^ ^^Заказ № /2^1. I {спа £/^ ,^ 'Уел. псч. л. -3 t 25. Тираж5 0 0 экз.

127994, Москва, ул. Образцова, 15. Типография МИИТа