М ИН И СТЕРСТВО ОБРА ЗО ВА Н И Я И НАУКИ РО ССИЙ СКО Й Ф ЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ Ф ЕД ЕРА Л ЬН Ы Й У Н И В ЕРС И ТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО П РЕЗИ Д ЕН ТА РО С СИИ Б. Н. ЕЛЬЦ И Н А

С. Н. Васильев,В. Т. Шевалдин

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата

по направлениям подготовки 010100 «Математика», 010200 «Математика и компьютерные науки»,

090301 «Компьютерная безопасность»,230700 «Прикладная информатика»

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2014

УДК 517.518.45(075.8) В191

Рецензенты: отдел аппроксимации и приложений

Института математики и механики им. H. Н. Красовского УрО РАН (заведующий отделом

доктор физико-математических наук А.Г. Бабенко);Р. Р. Акопян, кандидат физико-математических наук,

заведующий кафедрой прикладной математики (Озерский технологический институт, филиал НИЯУ МИФИ)

Васильев, С. Н.В191 Гармонический анализ : [учеб. пособие] / С. Н. Ва

сильев, В. Т. Шевалдин; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал, федер. ун-т. - Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2014. — 79 с.

ISBN 978-5-7996-1178-1Учебное пособие создано на материале лекций, прочитан

ных авторами по основам преобразования Фурье в многомерных евклидовых пространствах.

Для студентов, знакомых с основами математического анализа, теории меры и интеграла Лебега.

УДК 517.518.45(075.8)

©Уральский федеральный университет, 2014 ISBN 978-5-7996-1178-1 ©Васильев C. H., Шевалдин В. Т., 2014

Предисловие.............................................................. 5Введение.................................................................... 6

1. Некоторые сведения из теории функций действительного переменного ............................................. 7

2. Введение непрерывного преобразования Фурье наоснове рядов Фурье.................................................. 10

3. Преобразование Фурье в пространстве Li(JBLN) . . 134. Свойства преобразования Ф у р ье .......................... 135. Свертка двух функций............................................ 186. Дифференцирование преобразования Фурье . . . 217. Преобразование Фурье от производной (одномер

ный случай).............................................................. 248. Примеры вычисления непрерывного преобразова

ния Ф урье................................................................. 259. Методы суммирования радов Ф урье.................... 2710. Методы вычисления интегралов от несуммируе-

мых ф ункций........................................................... 3111. Примеры методов суммирования.......................... 3312. Обращение преобразования Ф урье....................... 3413. Поточечное обращение преобразования Фурье . . 3914. Преобразование Фурье функций из пространства

L 2(Rn ) ....................................................................... 4215. Обращение преобразования Фурье в 1/2 (R^) . . . 4816. Пример вычисления обратного преобразования

Фурье.......................................................................... 4917. Принцип неопределенности Гейзенберга.............. 5018. Теорема отсчетов.................................................... 5219. Преобразование Фурье обобщенных функций . . . 5520. Приложения преобразования Ф у р ье .................... 5921. Формула суммирования П уассона....................... 6322. Преобразование Фурье дискретных сигналов . . . 65

23. Различные варианты определения непрерывного преобразования Ф урье............................................ 71

24. Преобразование Фурье функции с компактным носителем................................................................ 72

25. Оконное преобразование Фурье............................. 74Список библиографических ссылок .................... 77Предметный указатель........................................... 78

Предисловие

Данное пособие отражает содержание курса “Гармонический анализ”, который неоднократно был прочитан авторами в Институте математики и компьютерных наук УрФУ (ранее — математико-механический факультет УрГУ) и представляет собой краткий конспект односеместрового курса наших лекций. Материал рассчитан на студентов старших курсов, обучающихся по направления бакалавриата “Математика”, “Математика и компьютерные науки” и “Компьютерная безопасность”. Предполагается, что слушатели курса хорошо владеют методами математического анализа функций нескольких переменных и знакомы с основами интеграла Лебега, функционального анализа (в частности, с теорией линейных операторов в нормированных пространствах), комплексного анализа и теории приближения функций.

Значительная часть пособия представляет собой изложение основных формул и теорем гармонического анализа на многомерных евклидовых пространствах. Здесь мы руководствовались стремлением показать, как в теории преобразования Фурье методы вещественного и комплексного анализа сравнительно легко обобщаются с одномерного случая на многомерный. Доказательства основных результатов проводятся по схеме первой главы монографии И. Стейна и Г. Вейса “Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах” [1]. Далее мы отступаем от изложения основ гармонического анализа по этой книге американских математиков, переходя к функциям одной переменной, чтобы сформулировать наиболее значимые, на наш взгляд, применения непрерывного и дискретного преобразований Фурье и подготовить студентов к пониманию следующего за гармоническим анализом курса лекций “Теория всплесков”.

Гармонический анализ (или анализ Фурье) — раздел математики, в котором изучаются свойства функций с помощью их представления в виде рядов или интегралов Фурье. Современный гармонический анализ — хорошо разработанный предмет, который можно рассматривать и как междисциплинарную область научных исследований, и как их эффективный аппарат. Методы анализа Фурье активно используются как в теоретических исследованиях, так и во многих прикладных и инженерных задачах. В частности, преобразование Фурье существенно применяется для обработки различных сигналов в теории информации. На методах гармонического анализа основаны, например, такие популярные форматы сжатия мультимедийных данных, как JPEG, MPEG и MP3. Знаменитая теорема отсчетов Уиттекера —Найквиста —Котельникова—Шеннона (см. § 18) фактически является основой современного цифрового мира, предоставляя базу для перевода аналоговых данных в дискретные и обратно.

В последние годы интерес к гармоническому анализу сильно возрос ввиду появления нового, бурно развивающегося (особенно за рубежом) направления математических исследований, которое сейчас в России принято называть теорией всплесков. По существу, появился новый, технически весьма удобный в приложениях метод представления и анализа функций одной и нескольких переменных. Эта теория имеет истоки в классических областях математики: в математическом анализе (дифференциальное и интегральное исчисление), теории функций вещественного переменного, теории ортогональных рядов, теории функций комплексного переменного, функциональном анализе, но прежде всего, конечно, в анализе интегралов Фурье и других интегральных представлений. Основные подходы и методы гармонического анализа и теории всплесков базируются на результатах классиков математической нау

ки Ж. Фурье, А. Лебега, H. Н. Лузина, С. Банаха, Д. Гильберта, А. Зигмунда, Дж. Литлвуда, Р. Пэли, К. Шеннона, Н. Винера и многих других.

1. Некоторые сведения из теории функций действительного переменногоВекторные величины х = (а?і,... ,х ^ ) , t = ( t i , . . . , ідг) бу

дем обозначать полужирным шрифтом. Скалярное произведение будем обозначать (х, t) = Хд-Li хк^к, длину (модуль) вектора — |х| = у/х\ + . .. + х2ы.

Приведем несколько фактов из теории функций действительного переменного, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Более подробные сведения и доказательства изложенных фактов можно найти в [2-4].

Измеримость произведения измеримых множеств. Пусть X С R*, У С R1 (к,1 € N), множества X , Y измеримы по Лебегу и их меры Цк{Х) и ßi(Y) конечны. Тогда Я = Х х У = { ( х ; у ) | х € Х , у € У } измеримо в пространстве Е.к+1, причем Цк+і(Н) = H k(X )m (Y ) .

Измеримость подграфика функции. Пусть X С Rn, X измеримо и / : X —»• R = R U оо. Если функция / измерима и неотрицательна на X и Jx fd x < оо, то множество Я = {(x ;j/) I X € X , у 6 [0,/ (х ) ]} измеримо в Rn+1, причемМп+і(Я) = f x f dx-

Комплекснозначные функции. Наряду с функциями / : R^ —)• R (N € N) (принимающими вещественные значения) можно рассматривать комплекснозначные функции/ : R* С,

/(х) = f ( x x N) = U{x) + iV(x),

где U, V : RN -* R, | / | = (Я2 + V2)1/2.

7

Определение 1. Комплекснозначная функция f измерима на множестве Е С если ее вещественная и мнимая части U и Ѵ измеримы на Е и

( f(x)dx = f U(x)dx + i ( V(x)dx.J E J E J E

По свойству интеграла Лебега функция / суммируема тогда и только тогда, когда функция |/ | суммируема. Для комплекснозначных функций верно то же свойство, только модуль здесь понимается как модуль комплексного числа, то есть І/І = VU2 + V 2.

Теорема Фубини. Пусть X С Rk, Y С М.1, X , Y измеримы, функция /(х ;у ) : Шк+1 —> С измерима на Н = X x Y . Тогда если / суммируема на Н (т. е. существует и конечен интеграл Jfj f dfi), то существуют повторные интегралы f x (Jy fdy)dx и f y i f x f dx)dУ’ причем

L * * ' L ( / /dy) dx=ir (/*/Лі) dy-При этом интегралы f y fd y и Jx fd x существуют почти всюду и функции

^ (х) = / / ( х ; у М у и G(у )= [ /(х;у)Ас JY J x

измеримы и суммируемы на X и Y соответственно.Обратная теорема Фубини. Пусть функция /(х; у) :

Шк+1 —> С измерима на Н = X х У и хотя бы один из повторных интегралов

/ [ l/(x;y)Mydx или f f |/(х ;y)\dxdy J X J У «/ У J X

существет и конечен. Тогда / суммируема на Н и, следовательно, выполнено заключение теоремы Фубини. В частности,

L fdß=L { I !dy) dx=fr (/*/Лс) iy'8

Приведем пример, показывающий, что существование повторных интегралов не гарантирует суммируемости / на Н и равенства двойного и повторных интегралов.

Пусть X = Y = [-1,1],

/( ) = / 5 ^ Р "Р" *г + »2>°.М ’у) \ 0 при х = у = 0.

Так как функция /(х , у) нечетна по х и нечетна по у, то /(х, y)dy = 0 при всех х 6 [—1, 1], аналогично/* х/(х, y)dx = 0 при всех у € [—1,1]. Таким образом, повторные интегралы существуют и равны между собой. Однако функция /(х, у) несуммируема на [—1, 1]2, так как ее модуль несуммируем:

I dx і : \f(x ,y )\dy> j j \f(x ,y)\dxdy = + 00. x2+y2̂ l

В этом несложно убедиться, сделав полярную замену х — г cos (р и у = г sin у?:

1 2тг/ V I ХУ I , , f f \rsin

Приведем пример, показывающий, что без существования суммируемой мажоранты нельзя менять местами интеграл и переход к пределу.

Для последовательности функций £п(я) = пхп~1, х е [0,1], имеем

1 = lim / £n d x ^ lim £n dx — 0.n^°° Jo Jo n~+°°

Теорема Фату. Пусть на измеримом множестве G С RN задана такая сходящаяся почти всюду на G последовательность суммируемых функций { fn}neN> что последовательность интегралов по G от их модулей ограничена в совокупности, то есть существует такое положительное число М, что

/ | / n | dx ^ М для всех п ^ 1.J g

Тогда предельная функция / = lim / п суммируема на G ип-> оо

Іс I/I dx ^ М.Отметим, что приведенная в предыдущем примере последо

вательность функций удовлетворяет условиям теоремы Фату. Несмотря на то что предельный переход под знаком интеграла недопустим, предельная функция суммируема и интеграл от предельной функции не превосходит предела интегралов от функций последовательности (хоть и не равен ему).

2. Введение непрерывного преобразования Фурье на основе рядов ФурьеДля 27г-периодических суммируемых функций одной пере

менной можно определить п-е суммы Фурье

71(Snf) (t) = y + E (afc cos kt + h sin k t) ,

fc=l10

где а/с = £ f f(t) cos kt dt (к = 0, . . . , п) и bk = £ f f(t) sin kt dt-n — tt

(к — 1, . . . , n). Суммы Фурье можно записать и в другой форме, которая подходит и для комплекснозначных функций:

(Snf ) (t) = ^ 2 ckelkt, где ск = J f(t)e~lktdt.к = —п ^

Известно, что если функция / непрерывна, а функция / ' кусочно-непрерывна на периоде, то имеет место поточечная сходимость (іSnf)( t) —> f ( t ) для всех t 6 [—7г, 7г]. Однако Snf — всегда 2тг-периодическая функция, даже если / — функция с конечным носителем. Многие физические процессы (например, остывание нагретого тела) не являются периодическими. Значит, описывать и моделировать такие процессы периодическими функциями не имеет смысла. Таким образом, для непериодических функций разложение в ряд Фурье хоть и допустимо, но не всегда является естественным.

Попробуем расширить конструкцию сумм Фурье так, чтобы она подходила для функций, заданных на бесконечном промежутке. Возьмем / G Li(R) и рассмотрим суммы Фурье для функции / на отрезке [—М, М]:

(«"/) м = Ек = —п

где Cĵ — 2̂ 7 /(1)е~гк&сИ, причем число М будем увеличивать до бесконечности (далее выкладки в этом параграфе будем делать без строгого математического обоснования, однако из последующего изложения будет ясно, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию / приводимые рассуждения верны).

Введем функцию

h(w) = f f( t)e -2niwidt. (1)J R

В силу суммируемости / на оси R значение интеграла по отрезку [—М, М] при М —> 4-00 будет стремиться к значению интеграла от / по всей вещественной оси. Следовательно, при больших М имеем приближенное равенство cjf « jj^h (2x7), и отсюда

Более того, если обозначить Wk = то, используя очевидное равенство гг* — Wk-i = 2Ж, последнее выражение можно переписать в виде

{Sn f ) (t) « ^ 2 { wk - Wk-i)h(wk)e2mWkt.k = —n

Это классическая интегральная сумма Дарбу (при п 4 оо область интегрирования будет стремиться к бесконечности), и при М 4 оо диаметр разбиения будет стремиться к нулю. Таким образом, с одной стороны, (S„ f) (t) -4 f(t) при t e [—M, Л/], а с другой стороны, (S„ f) (t) -4 f R h(w)e2ntwtdw, откуда получаем равенство

f(t) = f h(w)e2nitwdw. (2)J R

Определение 2 . Функция h, определенная формулой (1), называется (непрерывным) преобразованием Фурье функции / £ L(R) и обозначается = f = h.

В приложениях часто функцию / называют сигналом, а ее преобразование Фурье / называют спектром сигнала /.

Определение 3. Формулу (2) называют обратным преобразованием Фурье.

Далее будет показано, что функция h не всегда суммируема по Лебегу, однако в некотором смысле формулу (2) применять можно.

3. Преобразование Фурье в пространстве L\ (RN)Функцию от нескольких действительных переменных мож

но раскладывать в ряд Фурье по каждой переменной по очереди. Попробуем для суммируемой функции двух переменных применить преобразование Фурье сначала по одной, а потом по другой переменной. Пусть f { t \ , t2) € Li(R2), тогда

( ( / ) £ ) * > ь « * ) = J Q f е~2™ « Ч і 2 =

/ / f ( t u t2)e-2̂ mtl+Wit^d h d t2.Jr Jr

Заметим, что повторный интеграл удовлетворяет условию обратной теоремы Фубини, так как интеграл от модуля подынтегральной функции равен интегралу от |/ |, а эта функция по предположению суммируема на R2. Значит, можно менять порядок интегрирования и интегрировать по всему пространству R2. Выражение w\t\ -\-w2t2 в показателе экспоненты является скалярным произведением векторов w и t. Те же рассуждения верны и для большего количества переменных. Таким образом, можно определить преобразование Фурье для функций от N переменных: для / € L\{RN)

fr/(w) = / ( w) = [ f ( t ) e - 2̂ ^ d t . (3)

Из того, что = 1, следует, что |/( t)e -27r*(w,t)| =|/( t) | € Li (Rn ). Значит, преобразование Фурье суммируемой функции / определено при любом фиксированном w.

4. Свойства преобразования ФурьеЗдесь и далее будем обозначать L = Li(R^), | | / | | l =

II/IIl^ r*)-

Свойство 1. Равномерная непрерывность преобразования Фурье.

Теорема 1. Для любой функции / € L верны утверждения:

1) / — ограниченная функция;2) II/IIc(rn) ^ II/IU;3) функция f равномерно непрерывна на RN.Доказательство. Утверждения 1) и 2) следуют из нера

венства

dt == I / f(t)e^2nî d t ^ f I f{ t)e -2niiwV I J r* J rv 1

/ |/(t)|dt = ||/||L.J r*

Для доказательства равномерной непрерывности возьмем wb w2 € и рассмотрим

|/(Wl) - /(w2)| = I f(t)dt <

[ L -27ri(wb t) _ e -2iri(w2,t) |y ( t ) |d t .JR" I

Из того, что / G Li(Rn ), следует, что

Ve>0 3A> 0 : / |/(t)|dt < e.|t|>*

Значит, для любых wi,w2 G КЛ'J |e -2**(w i,t) _ e -2)rt(w3,t) | |/(t)|dt ̂ J 2|/(t)|dt < 2e.

|t|>A |t|>A14

Заметим, что для любых 1,^2 € R имеет место неравенство №

|е‘¥>і _ е*ѵа| = Н etv>d

то есть норма оператора S не превосходит единицы. Непрерывность оператора преобразования Фурье следует из его ограниченности и линейности.

Свойство 3. Из определения преобразования Фурье имеем

Следовательно, если / ^ 0 почти всюду на R^, то /(0) = Jrn f(t)d t = fRN |/( t) |A = ||/ | |l , то есть норма оператора S достигается на любой знакопостоянной функции и равна единице.

Теорема 2 (Римана—*Лебега, о преобразовании Фурье суммируемой функции). Для любой функции / € L имеет место сходимость / ( w) -> 0 при w —> оо.

Доказательство. В силу того, что функция / суммируема, имеем

RN\[-A,A]Nпоказать, что для любого положительного числа А величина

f f(t)e~27r̂ w,i^dt стремится к нулю при w —► оо.ЬМ ]"

Из теоремы Лузина следует (см., например, [4]), что для любой функции / , суммируемой на измеримом ограниченном множестве Е С RN, для любого е > 0 существует непрерывная функция (р такая, что JE |/( t) - 0 З і4 > 0 : J |/( t) |d t< £ .

Отсюда / |/(t)e~27ri(w,t)|dt < e, поэтому достаточно

+ f e- 2wi(w.fc)y,(t jdtJ[-A,A]n J[-A,A]N

е + / ,-27r»(w)

Таким образом, достаточно для непрерывной функции • О при w —> сю.У[-іМ]*

По теореме Кантора непрерывная функция 0, что — ^(*2)! < ПРИ ЛК)быхti, t 2 6 удовлетворяющих неравенству |ti — іг| < S. Разобьем куб [—А, А]^ равномерной сеткой на меньшие одинаковые кубики Bk так, чтобы диаметр маленького кубика не превышал S. Выберем в каждом Bk по одной точке s* и определим функцию д на каждом кубике Bk тождественно равной y?(s*). Тогда для любого t из большого куба выполнено неравенство И *) - S(t)| = H t ) - ¥>(sfc)| < и, значит,

[ e~2ni^ g ( t ) d t - f e -2*«wV

что равносильно условию JBk е g(t)dt —> 0 при w -» оодля всех В^. В силу того что g(t) =

Заметим, что определение свертки симметрично относительно / и 5 , так как

( / * 9) (х) = / Д х - t)

Отсюда по обратной теореме Фубини существует двойной интеграл и существует второй повторный интеграл от функции F(x, t). Следовательно, по основной теореме Фубини функция /і(х) = / rN F(x,t)dt определена для почти всех х £ RN и суммируема на R^. Кроме того,

F(x, t )dtdx< У У |F(x,t)|dtdx = IIöHlII/IIl-r a t k * R N RJV

Теорема доказана. □

Теорема 4 (о преобразовании Фурье свертки). Пусть f ,g € L . Тогда ( f * g)(w) = / ( WM W)-

Доказательство. Пусть h = f * g, тогда

h( w )= [ e -™ W (f* g ) ( t)d t =J RN

f f / ( t - u)ö(u)dudt =J RN JfrN

f f e_27ri(w»t)y(t - u)g(u)dudt.В предыдущей теореме было доказано, что повторный интеграл от модуля

У У |e_27ri(w’t)/( t - u)g(u)|dudt = J J |/(t - u)Mu)|dudtR N R N R N R N

существует; значит, по обратной теореме Фубини порядок интегрирования можно менять. Отсюда

Mw) — [ [ e-27r*(w,t)/( t — u)

Сделав замену х — t — и, получим

h(vf)= f д(u) / e~27rî x+^ f(x )d xd u =Jrn J rn

f g(u)e~2irî [ e~2ni(w,x)f(x)dxd\i =J r n J r n

I g(u)e~2̂ w'uUn f e~2xi^ f ( x ) d x = f(w)g(w),JR* JR*

что и требовалось доказать. □

6. Дифференцирование преобразования ФурьеДля / € L\(Rn ) рассмотрим вопрос дифференцирования

преобразования Фурье / ( w) = J e_2ir*(w,t)/(t)cit. Рассмот-RN

рим векторы w = (it>i, W2, . . . , lujv) n t = (tj, i2, . . . , tff), тогда e(w,t) _ ew\tiewiti ewNtN формально продифференцировать формулу (3) для / ( w) по переменной wk, то получим

>"Ч! ^ ( w ) = [ (-2 x itk)e-2xi^ f ( t ) d t .9 w k J r n

Обозначим через

P„(u) = Р(щ, u2, . . . , uN) = % ... u1̂k!+...+kN4n

fcl,-,fcAf€Nu{0}

многочлен от N переменных степени п (по совокупности переменных). Тогда дифференциальный оператор, ассоциированный с Рп, определяется равенством

Р п (т > )/= Cfei ....кі+...+kN^n OWl •■■a w N

fci,...,fe^eNu{o}

Таким образом, формально получаем формулу для дифференцирования преобразования Фурье:

Рп{Ѵ)І = / Pn(-2m t)e~2vi^ f ( t ) d t = (Pn(-2 m t)f(t))A. Jrn

Следовательно, преобразование Фурье сопоставляет оператору дифференцирования оператор умножения на полином. Однако дифференцировать интеграл по параметру можно не всегда, значит, вывод этой формулы требуется строго обосновать.

Теорема 5 (о дифференцировании преобразования Фурье). Пусть f £ L i (Rn ) и tk f £ Li(R^). Тогда функция f непрерывно дифференцируема по на всем пространстве RN и справедлива формула

у которого на fc-м месте стоит ненулевое число h. По определе-

[ (-2n itk)e-2̂ ^ m d t = -2ni(tkf)(w). (6)o™k Jrn

к

нию частной производной = Um G(h,w), где

h

e-2nihtk _ jТак как lim --------= —2nit^, для доказательства фор-/i-ю h

мулы (6) остается обосновать только возможность предельного перехода под знаком интеграла. В условиях данной теоремы выполнены условия теоремы Лебега (см. §1). Действительно, го неравенства (4) следует, что

|e- 2irihtk _ u |e

от одномерной функции f(t) = будет по крайней мере дважды дифференцируемо, а преобразование Фурье от функции /W = i+t7 недифференцируемо в начале координат (см. пример в § 16). Если же функция убывает на бесконечности быстрее любой степени (например, / ( t) = или / ( t) = ),то ее преобразование Фурье будет бесконечно дифференцируемо. В частности, отсюда следует, что преобразование Фурье будет бесконечно дифференцируемо для всех функций, имеющих носителем ограниченное множество, то есть таких, у которых / ( t) = 0 при |tj ^ С (см. пример в §8).

7. Преобразование Фурье от производной (одномерный случай)

Теорема 6 (о преобразовании Фурье от производной). Пусть N = 1, функция f абсолютно непрерывна, f G L(R) и / ' G Z/(R). Тогда

/ ' (w) = 27Гiwf(w). (7)

Доказательство. По условию теоремы для любого w G Ш существует интеграл fR e~27r%wif(t)dt. Значит, существует предел величин f*Ae ~27riwif'(t)dt при А -> -foo. Применяя интегрирование по частям, находим, что

Л А Лj е-2™ t f ' ( t )dt = е—2 j _ J(-2Kiw )e~2*iwtf(t)dt. (8)

- А ~ А - А

Покажем, что /(±Л) —»• 0 при А оо. В самом деле, для любых ti, 2̂ £ -К, І2 ^ верна оценка

В силу суммируемости |/ '( і) | на R для любого е > 0 можно подобрать достаточно большое число А > 0 так, что если £і,І2 > А (либо $і,І2 < ~ А), то I f'(t)\ dt ^ е . Иными словами, для функции f(t) выполнено условие Коши существования предела как при t -+ + 00, так и при t -> —00. Значит, /(f) —>• С\ при t -у +00 и f(t) -+ С2 при t —>• —00 (Ci, С2 € R). Но f(t) суммируема на R, следовательно, С\ — Сч — 0. Поэтому, переходя к пределу в (8), получаем требуемое равенство. Теорема доказана. □

Следствие 2. Пусть / € L(R) непрерывно дифференцируема п раз и fW 6 L(R) для всех к = 1 ,.. ., п. Тогда

/М (w) ' (2niw)nf(w).

Замечание 1 . Из последней формулы для любого w Ф О немедленно следует оценка

І/М І =/(n) (из)(2н iw)n

К/M(27r)n|«;|n |w|n "

Это означает, что преобразование Фурье от / быстро стремится к нулю при w - 1 оо (со скоростью |гг|- ”). Таким образом, чем больше непрерывных суммируемых производных имеет функция / , тем быстрее стремится к нулю ее преобразование Фурье.

Замечание 2. Выражения (6) и (7) можно получить, формально дифференцируя по параметру преобразование Фурье (3) и его обратное преобразование (2).

8. Примеры вычисления непрерывного преобразования ФурьеПример 1. Пусть N = 1, /(f) = X\-h,h], то есть f( t) = 1

при |£| ^ h и /(f) = 0 при |£| > h. Тогда

/(из) = j J-h

h - 2niwtdt _ e~2wiwh - eM S i p 2ttwh—2mw низ

Для любого п € N функция tnf(t) суммируема на R, поэтому / бесконечное число раз непрерывно дифференцируема. Однако сама функция / не только не дифференцируема, но и разрывна, поэтому ее преобразование Фурье f(w ) на бесконечности убывает очень медленно, со скоростью |н>|-1. Более того, / несуммируема по Лебегу, так как fR l^^ldx = + 00.

Пример 2. Рассмотрим функцию Гаусса / в(t) = е- “2̂ 2 (t € Rы,а ф 0).

A ( w ) = [ e -2iri(w,t)e-o2lt !2dt =Jrn

f f -2iri( J2 f̂ctfc)-o2( £ ‘Ik I/ ... / e V*=1 ) Vfc=i )d tx ...d tN =

Jr JrN

, - 2 i r i w k t k - a 4 l d t i d t N =I. L S'П /ь=іУи fc=l

где Ja(w) = f R e~2mWT~a2r2dr. Выделим в показателе экспоненты полный квадрат:

—2mwr — а2т2 — — ((ат)2 + 2mwr -b (mw/a)2) + (niw/a)2 —

—{ат + mw/a)2 — n2w2/a2

и запишем

Ja(w) = J e-(aT+niwM2-*2w2/a2dT = e~n2w2/ai J e~{aT+*iw/a^ dr.R R

Из курса ТФКП следует, что последний интеграл совпадает с интегралом Эйлера — Пуассона dr, значение которого

26

равно у/п/а. Таким образом,

к=1

то есть f a совпадает с / 0 с точностью до множителей перед функцией и в ее аргументе. При а = у/тг получаем

разования Фурье. Функция Гаусса (так же, как и ее преобразование Фурье) убывает быстрее любой степени |t| и бесконечное число раз непрерывно дифференцируема.

9. Методы суммирования рядов ФурьеВ § 8 приведен пример разрывной функции, у которой пре

образование Фурье несуммируемо по Лебегу. Аналогичная ситуация возникает и для рядов Фурье. Например, если взять функцию f(t) = t для t € (—7г, 7г], периодизировать ее с периодом 2тг и разложить в комплексный ряд Фурье, то получим

Несложно заметить, что ряд из коэффициентов Фурье функции / сходится не абсолютно, поэтому в некоторых точках t частичные суммы ряда Фурье (5П/ ) (t) = $І£=_П(—1)* могут сходиться к / довольно медленно. Более того, суммы Snf не могут сходиться к / равномерно, так как они непрерывны на

всей вещественной оси, а предельная функция (периодизация функции / на всю вещественную ось) разрывна.

Можно построить непрерывную функцию, ряд Фурье которой расходится во всех рациональных точках. Чтобы улучшить сходимость численных методов аппроксимации суммами Фурье, можно находить приближенные значения / более устойчивыми методами, чем простое суммирование первых членов ряда Фурье.

Линейные методы суммирования рядов Фурье.Пусть задана система чисел Л = {а£^}, к е Z, п € N. Определим линейный метод суммирования ряда Фурье:

{/„(/, Л, і )= £ А Unf является линейным оператором. Если все числа равны единице, то получим обычные суммы Фурье (метод Фурье).

Рассмотрим оператор Un, отображающий / в Unf, как линейный оператор в пространстве непрерывных функций (то есть Un : С -¥ С). Имеем

п , ч п А

называют ядром линейного метода суммирования. Для метода Фурье это ядро называется ядром Дирихле:

і п п • 2п+1ГЛ / \ 1 V"4 ікх 1 I S m —2—XA . M = j £ « = 2 + S ° “ f c c = _ 2 S l _ -

k=—n k= 1 1

Из курса функционального анализа известно, что норма оператора Un (как оператора из С[—7г,7г] в С[—тг,7г]) вычисляется по формуле

І Ы £ = sup \\unf \ \ c =ІІ/ІІС = 1

sup m ax—! / f ( T ) K n ( t - T ) d T = — f \Kn [r)\dr .|/(r)|

функции /). Из теории приближения функций (теорема Чебышева) известно, что полином наилучшего приближения т* существует и единственен. Имеем

II/ - SnfWc = II/ - Г* + Т * ~ Snf\\c < II/ - г* Не + \К - SnfWc-

Поскольку для любого тригонометрического полинома степени к < п верно равенство т* = SnTfc, то

II/ - SnfWc < II/ - т*\\с + ||т; - SnfWc =

EnU) + н а д - Sn/He = En{f) + wsn(< - M e ^E n ( f ) + ||Sn||g||T* - /ІІС = E n ( f ) ( 1 + ||S„||g).

Теорема доказана. □Метод Фейера. Существуют и другие методы суммиро

вания рядов Фурье. Например, для того, чтобы старшие коэффициенты не оказывали слишком большого влияния на сумму, суммы Фурье можно усреднять. Сумма Фейера определяется как среднее арифметическое первых ть сумм Фурье:

п' * — &of + • • * + ^п-І/LjnJ — •Ti

При этом = 1 — ^ (к — - п , . . . , п). Ядро Фейера Kn(t) =

2nsin (̂±) неотРиЦательноI следовательно, ||Gn||g = 1. Для любой функции / G С[—7г, 7г] тригонометрические полиномы G nf равномерно сходятся к / при п -» оо, более того, ||/ — Gn/ | |c ^ пИ/Ис- Это довольно медленная скорость сходимости, и добиться большей скорости на классе С[—7Г, 7г] невозможно. Отметим, что даже для функции / = cos рх суммы Фейера Gnf не совпадают с / ни при каких р ф 0 и п € N.

Метод Валле Пуссена. Если мы хотим в линейном методе сохранить тригонометрические полиномы, но избежать влияния старших коэффициентов ряда Фурье, можно усреднять не

начальные суммы Фурье, а суммы с большими номерами, например, от п до 2п — 1. Суммы Валле Пуссена определяются формулой

V f — QlLlL^n+1/ • • • + S in -ifn

Здесь

A

Таким образом, для обращения преобразования Фурье необходимо расширить понятие интеграла так, чтобы можно было вычислять интеграл в (2) и для несуммируемых по Лебегу функций.

Рассмотрим функцию Ф : RN —> С со следующими свойствами:

1) Ф суммируема на RN;2) Ф ограничена на RN\3) Ф непрерывна в точке 0 = (0,0, . . . , 0);4) Ф(0) = 1.

Определение 5. Функция Ф, обладающая свойствами (1)—(4), называется ядром Ф-метода суммирования.

Лемма 1. Если / G L\(RN) и Ф — ядро Ф-метода суммирования, то выражение fRN Ф(ей)/(1)сИ имеет предел при е —> 0 и

lim [ Ф(еІ)/(І) 0 из свойств ядра метода суммирования (3) и (4) получаем Fe(t) —>• Ф(0)/(t) = / ( t). Таким образом, выполнены условия теоремы Лебега (см. §1). Значит, верны равенства

lim [ Ф(е1)/(Ь)(И= [ lin ^ (e t) /(t)d t = / /(t)d t,£_)>0 J rn J r " JRN

что и требовалось доказать. □Обозначим через £ф множество функций / (вообще говоря,

не обязательно суммируемых), для которых выполнены следующие условия:

1) / измерима на RN\2) существует такое £о > 0, что для всех е (0 < е < £о)

функции Ф(et)/(t) суммируемы;3) существует конечный предел величин jRN Ф(еЬ)/(і)сИ

при £ —У 0.Семейство функционалов { l£(f) = Jrn $ (£ t)/(t)d t}e при

фиксированной функции Ф называют Ф-методом суммирования функции / и говорят, что интеграл JrN /( t)d t (возможно, расходящийся) вычисляется Ф-методом. При этом записывают:

(Ф) / f( t)d t = lim [ Ф(еІ)/(Ь)

функции, а также, например, функция f(t) = cos t. Действительно,

г /* + о о 2 s/ e~£W cos tdt = 2 / e_et cos tdt = r -> 0 при e -> 0.

Уо 1 +Отсюда следует, что методом Абеля суммируемы любые тригонометрические полиномы, не содержащие константы.

Метод Гаусса — Вейерштрасса. Пусть Ф(Ь) = е~а М — ядро Гаусса—Вейерштрасса. Тогда преобразование Фурье ядра тоже является функцией Гаусса —Вейерштрасса, что делает этот метод особенно удобным для обращения преобразования Фурье.

12. Обращение преобразования ФурьеДокажем еще одно важное свойство преобразования Фурье,

известное как формула умножения.

Теорема 8 (формула умножения). Для любых функций /, д £ L i (Rn ) верно равенство

[ /(w )p(w)dw = [ f(x)g(x)dx. (9)Jr ” Jr ”

Доказательство. Для любых / , j G L\(RN) существует повторный интеграл

[ [ |e- 2™(w’t)/(x )0(w )|dxdw = f f |/ ( x)fl(w)| dxdw =J f t N J f t N I I J r h J R N

/ |/(x)|*c [ Iö(w)|dw = Wf UWg hJRN JRN

(то есть переменные x и w разделяются). Следовательно, по обратной теореме Фубини существует двойной интеграл, а значит, существуют и равны повторные интегралы

f /(w)p(w)dw = [ [ /(x)e~2,r̂ w’t)dx(/(w)dw =J r n Jrn J rw

34

/ f f(x)g(w)e~2ni^ d w d x =Jrn Jrn

f /(x ) [ g(w)e-2*i^ d w d y : = f f(x)g(x)dx,J R * J R " J R N

что и требовалось доказать. □

Теорема 9 (об обращении преобразования Фурье суммируемой функции). Пусть функция Ф удовлетворяет условиям (1 )—(4) на ядро метода сумирования и дополнительно выполнены условия:

5) Ѵ = Ф € і 1(Каг);6) J r n 0 имеем

/ е(/, t) = [ $ (£w)/(w)e2’r,(w’t)dw -у / ( t)Jrn

ѳ метрике пространства L\(RN).

Доказательство. Пусть g(w) = $(ew)e2ir'(w,t) для фиксированных t и е. Тогда

д ( х ) = f д{w)e~2ni^ 'xU w = j Ф (ew)e2,ri(w■t) e - 2,ri(w-x>dw = R N R N

f $ ( e w ) e - 2,r’(w-x- tW = 4 r / Ф(и)е~2,гі< du = / r n 7 r n

/sПодставляя выражения для g и g в формулу умножения (9), получаем равенство

Лг(/,t) = f(w)g(w)dw = ^ /(x)^-v? ( “ J ” ) dx-

35

Сделаем замену у -- тогда х = еу + 1, dx = eNdy,

W > t ) = f f(ey + t)

Доказательство. В силу определения пространства Лебега Lp(Rn ) для произвольного е > 0 найдется достаточно большое число А > 0 такое, что Jjt |>y| |/( t) |pdt < £р- Без ограничения общности далее считаем, что |и| < А. Тогда

( [ l/( t + u)|pA ^ < е

и по неравенству треугольника в норме Ьр имеем

( / І/(* + u) - < 2е.\J\t\>2A J

Из теоремы Лузина (см., например, [4]) следует, что для любой функции / е Lp(E), заданной на множестве конечной меры Е, для любого е > 0 существует непрерывная функция д G LP(E) такая, что | |/ — д\\ір(Е) < е- Возьмем Е = {t : |t| ^ ЗЛ} и выберем для / на множестве Е такую непрерывную функцию д. На множестве G = { t : |t| ^ 2А} верны неравенства

l|Au/||Lp(G) = l|/(t + u ) - / ( t ) | |MG) =

||/( t + u) - g(t + u) + g{t + u) - g(t) + g(t) - f { t ) \ \ c p (G) ^

||/( t + u) - g(t + u)||Lp(G) + ||p(t + u) - 0(t)||MG) +

Il3(t) - f ( t ) \ \ L p (E ) < 2e + ||5(t + u) - ö(t)||Lp(G)-

В силу непрерывности д на компактном множестве Е эта функция по теореме Кантора является равномерно непрерывной. Следовательно, для любого £і > 0 можно выбрать 8 > 0 такое, что если |и| < 8 и |и| < А у то |

Если взять ei = e\G\ 1/р, то получим ||Ди/ | |р < Зе. В силу произвольности числа е > 0 отсюда следует утверждение теоремы.

□Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 9 об

обращении преобразования Фурье. Тогда существует последовательность чисел {еп}™=1, £п > О, £п -> 0 такая, что

/(*) почти всюду на RN.

Доказательство. Из сходимости последовательности функций по норме L\(RN) следует ее сходимость по мере. Как известно (см., например, [4]), из сходящейся по мере последовательности функций всегда можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. □

Доказательство. Пусть для некоторой функции / ее преобразование Фурье / суммируемо. Значит, по лемме 1 из § 10 h ( f ^ ) / rn /(w )e2?ri(t ’w)dw при £ -> 0. По предыдущему

следствию существует подпоследовательность {£n}^Li, для которой величины (/, t) почти всюду сходятся к / . Следовательно, правая и левая части (11) равны почти всюду. □

Следствие 5. Если / € L i(RN), / € Li(RN) и / непрерыв-

Доказательство. Если / € Li(R^), то по теореме 1 функция / RW /(w )e2,r*(t,w)dw равномерно непрерывна. По предыдущему следствию она почти всюду совпадает с / ( t). Две непрерывные функции, совпадающие почти всюду, обязательно сов-

Следствие 4. Если / € Li(Rn ) и / € Li(R^), mo

почти всюду на R (11)

на на RN, то

для всех t € RN. (12)

падают всюду. □

Следствие 6, Преобразование Фурье взаимно однозначно отображает L на $L. То есть / і = /2 тогда и только тогда, когда /i(t) = / 2(t) почти всюду на .

Доказательство. Пусть / ь /2 € L. Если / і = / 2, то для функции / = / і — /2 преобразование Фурье равно / = / і — /2 = О G Отсюда по следствию 4 получаем, что функция /почти всюду равна нулю, то есть / і = /2 почти всюду. □

Следствие 7. Если функция / G Ха(К^) непрерывна на Rn и / G mo

Z(t) = ( / n - t ) .21 12Замечание. Ядро Гаусса—Вейерштрасса Ф(х) = е“а |х|

при любом вещественном а Ф 0 удовлетворяет всем требованиям теоремы 9 (см. пример 2 в § 8).

13. Поточечное обращение преобразования Фурье

На практике для вычислений требуется знание обратного преобразования Фурье не в пространстве Li(Rn ) или почти всюду, а в конкретной точке. Чтобы значение функции / из L\(Rn ) в отдельной точке имело смысл, естественно наложить условие непрерывности функции / в этой точке. Для доказательства возможности поточечного обращения преобразования Фурье в точках непрерывности самой функции нам потребуется следующая техническая лемма.

Лемма 2. Пусть z(t) — неотрицательная невозрастпаю- щая на [0,+оо) функция и z(|t|) € L i (Rn ). Тогда tn z(t ) —>■ О при т -> +оо.

Доказательство. Пусть 5(0, г) = {t : |t| ^ г} — шар радиуса г > 0. Очевидно, что объем шара в пропорционален

N -й степени радиуса, то есть \B(0,r)\ = r^|J5(0,1)|. Рассмотрим величину

Л(т)= f z{\t\)dt.В силу суммируемости ^(|t|) на Шм величина А(т) стремится к нулю при т —> + 00. Кроме того, в силу невозрастания z(r) на [О, +оо) верно неравенство

А(т) 2 z(t ) J \d t = z(r) (|В(0 ,т)| - |В(0 , І ) |) = 5 0.

Следовательно, 0 ^ rNz(r) < А(т)/К -» 0, откуда получаем утверждение леммы 2. □

Теорема 1 1 . Пусть ядро Ф обладает свойствами (1)— (6) из теоремы 9 и, кроме того, (р(t) = ^(|t|) (радиальная функция), где z(r) — неотрицательная невозрастающая на [О,+оо) функция. Тогда для любой / 6 L i (R.n ) и для любой точки непрерывности t Е RN функции f имеет место сходимость

L 4>(ew)/(w)e2m(*,,t)dw ^ { у ) при £ —> 0.Доказательство. Обозначим

и покажем, что ее можно сделать сколь угодно малой для достаточно малых е > 0. В силу непрерывности функции / в точке t для любого £і > 0 найдется такое 6 > 0, что І/(У + 1) — /( t ) | < £і ПРИ всех ІУІ < Значит,

/ І/(У + 1) - / ( t ) | M y ) dy < j\y\

e N sup

s W

В силу леммы 2 имеем e~Nz (^) -> 0 при е -* О, что завершает доказательство теоремы 11. □

Замечание. Ядро Гаусса—Вейерштрасса Ф(х) = е~М2 удовлетворяет всем требованиям теоремы 11.

Следствие 8. Если суммируемая функция f непрерывна в точке 0 = (0 ,0 ,..., 0) и ее преобразование Фурье неотрицательно на всем RN, то f суммируема и \\/\\ь = J^n fdw =/(О).

Доказательство. Возьмем ядро Гаусса—Вейерштрасса Ф(х) = е~ІхІ . В силу непрерывности функции / в точке О по теореме 11 выполнено соотношение І£ = Ф(еѵг)/(ѵг)(1ѵг —» /(О) при е —> 0. Значит, при малых е > 0 интегралы Іе ограничены в совокупности. Таким образом, для функций Ф(sw)f(w) выполнены условия теоремы Фату (см. §1). Следовательно,предельная функция / ( w) = lin^(ew )/(w ) суммируема, и из

£—►0леммы 1 и теоремы 11 имеем \\/\\ь = f^N fdw = /(О). □

Замечание. Из данного следствия, в частности, вытекает, что условие (6), накладываемое на ядро метода суммирования в теоремах 9 и 11, следует из условий (1)—(5). Более того, из условия (5) и следствий теоремы 9 вытекает, что само ядро Ф эквивалентно некоторой равномерно непрерывной и равномерно ограниченной функции. Таким образом, условия (2) и (3) в некотором смысле зависят от условий (1) и (5).

14. Преобразование Фурье функций из пространства Ьг(МЛГ)

Для любого множества Е с с конечной мерой Лебега имеет место вложение классов функций Ь^ІЕ) с Ь\(Е), так

как в силу неравенства Гельдера

И/I ll = / І/І • 1 й = ( / , 1) < ІІ/ІЫІ1ІІ2 = ІІЛЬѵТЩJ e

Однако все пространство RN имеет бесконечную меру, и легко показать, что Ьг(RN) £ L2(RN) и L2(RN) оо и потому несуммируема на R^. При этом /2 6 поскольку интеграл по r n от квадратаэтой функции конечен.

Так как функции из пространства L2(RN) в общем случае несуммируемы, то есть не принадлежат L\(RN), интеграл в формуле (3) не определен ни при каких w. Значит, формулу преобразования Фурье (3) нельзя использовать для функций из класса L2(RN). Однако для функций из множества Li(R^) П L2(RN) можно определить преобразование Фурье по стандартной формуле (3). Кроме того, из теории функций действительного переменного известно, что для любого р € [1, +оо) множество непрерывных функций с ограниченным носителем всюду плотно в Lp. В частности, отсюда следует, что множество L\(Rn ) DL2(Rn ) плотно в L2(RN). Таким образом, преобразование Фурье можно определить для всюду плотного в L2(Rn ) множества. Следующая теорема доказывает, что на этом множестве преобразование Фурье является линейным непрерывным оператором.

̂Теорема 12. Если f € L2(RN) n Li (Rn ), mo J € L2(RN) иІІ/ІЬ = Ц/Ha.

Доказательство. Рассмотрим функцию д(t) = / ( —t). Очевидно, что функция д так же, как и / , лежит в пересечении

L2(Rn ) П Li(Rn ). Определим функцию

Л(х) = ( / * g)(x) = [ f(t)g{x - t)dt = j / ( t ) / ( t - x)dt.Jr n Jrn

Из неравенства Коши —Буняковского следует, что при любом фиксированном х выполнено неравенство |/і(х)| ^ ІІ/ІЫЫІ2 = ІІ/ІІ2- Следовательно, функция h определена всюду. По теореме 3 о свертке (см. § 5) функция h суммируема. Кроме того, h равномерно непрерывна, так как для любого х € R

\h(x + u) — Л(х)| = f /(*0Ы Х + u — t) — g(x - t))dt Jrn

£IRN

ІІ/ ІІ2-|ІР (-+ и )-5ОІІ2 = ||/|І2-|!Ац0ІІ2,и по теореме 10 величина ||Дир|І2 стремится к нулю при и —> О.

Рассмотрим преобразование Фурье функіщи h. По теореме 4 имеем h — f д. Найдем д:

д( w )= / g ( t ) e - M ^ d t = f 7 (—t)e_27r’(w,t)dt =

f '/ ( - t je 2̂ ^ ) * = / /(x)e~27ri(w’x)dx = / ( w).Jrn Jrn

^ /S "̂S /4Следовательно, /i(w) = /(w )/(w ) = |/(w )|2 > 0. Таким образом, суммируемая функция h удовлетворяет всем условиям следствия 8. Значит, h суммируема и fRN h(w)dw = h(0). Из суммируемости функции h = |/(w )|2 следует, что / € L/2(Rn ) и, кроме того,

ІІ/ІІ2 = / | / |2rfw = / /idw = /і(О) --yRJV yRN

/ /(t)/(0-(-t))A= / l/prft = ІІЛІІ.Теорема 12 доказана. □

Из доказанной теоремы следует, что в пространстве L2(RN) оператор преобразования Фурье, определенный на множестве L2(RN)r\L\(RN), сохраняет норму элемента и, значит, является изометричным.

По теореме Хана — Банаха (см. [2]) непрерывный оператор, заданный на подмножестве L2(RN), можно продолжить на все пространство с сохранением нормы. Так как множествоК = L2(RN) П L\(Rn ) п л о т н о в пространстве L2(RN), такое продолжение единственно (в этом случае говорят, что оператор продолжается по непрерывности). То есть для произвольной функции / G L2(RN) можно определить У/ как предел У/„ при п —> оо для любой последовательности / п, сходящейся к / по норме пространства Ь2(К^). Например, для / € L2(RN) можно взять последовательность сходящихся к / функций из К:

f (t) _ / /(*) ПРИ |t| < n, , N)/ n W _ \ 0 при |t| > n (n G ^ -

Все функции f n лежат в классе К и ||/ — f n\\2 -»• 0 при п -» оо. Следовательно, преобразование Фурье функции / можно определить как предел функций то есть

/ ( w) = lim [ f(t)e~2ltî d t f e L2(RN).n^°° J\t\Hn

Важно отметить, что в этой формуле под пределом имеется в виду не числовой предел, а предел последовательности функций пространства L2(RN). При фиксированном w этот предел может не существовать,

Для преобразования Фурье функций из L2(RN) верны многие свойства, которые были у преобразования Фурье функций из Lx(Rn ).

Лемма 3 (формула умножения для L2(RN)). Для любых f , g € L2(Rn ) верно равенство

[ fg d t = І fg d t. (13)yRN yRw

Доказательство. Пусть f , g € Хг(КЛГ). Рассмотрим последовательности функций { fn}neN € К и {

Докажем, что Я — $L2(RN) является замкнутым подпространством в L2(RN). Пусть д — предельная точка множества Я, то есть д = lim / п для некоторой последовательно-

п —ЮС

сти функций / п € L2(JBLn ). Так как последовательность {/„} сходится, то она фундаментальна, а так как ||/„ — / т |І2 = II/» —/т|І2, то последовательность {/„} тоже фундаментальна. В силу полноты пространства L2(RN) существует / = lim f n.

п —>00Из непрерывности преобразования Фурье следует, что / = lim f n = д. Иными словами, для произвольной функции

изведение, но и скалярное произведение через норму, а именно:

(о, Ь) = 1 (||а + 6||2 - ||а - Ь||2 - г||о + гЬ||2 4- г\\а - гЬ||2) .

Так как нормы у функции и ее преобразования Фурье совпадают, то скалярные произведения функций и их преобразований Фурье тоже будут совпадать. Теорема (14) доказана. □

15. Обращение преобразования Фурьев і 2(Rw)

Теорема 15. Преобразование Фурье взаимно однозначно отображает Z/2(RW) на L2(R^), причем (5 - 1

В силу обобщенного равенства Парсеваля имеем (ф, / ) = (

17. Принцип неопределенности Гейзенберга

Определим для функции / : R —> R центр (математическое ожидание)

" - І Ш /»(|Л,)|2Аи радиус (дисперсию)

Математическое ожидание показывает, где находится центр масс функции, а дисперсия показывает, насколько далеко от этого центра “масса” функции распределена в пространстве. Можно заметить, что при умножении на константу или сдвиге функции вдоль вещественной оси (то есть при замене аргумента t на t — to) дисперсия функции не изменяется. Заметим, что при сдвиге функции вдоль вещественной оси ее преобразование Фурье домножается на множитель, равный по модулю единице:

U f ( t + t0) )= e 2*iwt°3f,

поэтому центр масс и дисперсия преобразования Фурье также не изменяются при сдвиге / и домножении на константу. Аналогично при сдвиге преобразования Фурье вдоль вещественной оси не изменяется центр масс функции.

Если мы сжимаем функцию вдоль вещественной оси (то есть делаем замену аргумента t на at), то для сохранения среднеквадратичной нормы функции надо домножить ее на коэффициент у/а:

\\fc(t)\\l = \\y/äf(at)\\22 = f a\f(at)\2dt= j \f(t)\2dt = \\f\\2.wR */R

50

Тогда преобразование Фурье сжатой и нормированной функции будет иметь следующий вид:

( /« )Ѵ )= / ^ / ( а * )е - 2™ ‘

Интегрируя последнее выражение по частям, с учетом того, что /(±оо) = 0 (см. доказательство теоремы 6), получаем, что

ь = / т М л = ( |/(е)Р«й = Il/Ul = 1J R JRС учетом теоремы 6 и равенства Парсеваля находим

с = [ \ f f dt = ll/'lli = U f n i =J R

Квадратный трехчлен р(х), как интеграл от модуля, неотрицателен, следовательно, его дискриминант неположителен. Значит, Ь2 — 4ас ^ 0, или 1 — 1б7г20-2

Теорема 17 (теорема отсчетов Уиттекера — Найквис- та—Котельникова —Шеннона). Пусть непрерывная функция / € T2(R) такова, что для некоторого а > 0 при всех |ж| > а выполнено /(ж ) = 0 . Тогда

,, ч (~ l)fcsin27rfo , / к \ , _fi t) = > —----------- ;— / I — — ) для всех t € R. (14)и г, 2тгіо + ігк \ 2а) ѵ ’

/ЧДоказательство. В условиях теоремы функция / сумми

руема на Ш с квадратом и равна нулю вне интервала [—а,а]. Следовательно, эта функция суммируема на R, и в силу формулы обращения преобразования Фурье имеем

f(t) = j f(x )e2ntxtdx = J f(x)e27rlxtdx. (15)Кроме того, можно разложить f в ряд Фурье на отрезке [—а, а]:

/ 0е) = У с*е‘«*ж, где Cfc = —— f f(x)e~ '°kxdx.k e z а J -а

Сравнивая выражение для с* с формулой (15),^получаем, что °к = ^ / ( - ^ ) . Подставив в (15) разложение / в ряд Фурье, получим

'Ю- £ £ ( = ' ( - s ) ' * * - ) « “ * -

Так как / “а etxbdx = е Ьа~£ = 2sigba) то

_ 1 ^ t ( к \ 2 sin(27rat + ж к) _V W 27Г< + 7Г̂ “

53

E (—l)fcsin27rat / к \2nat 4- тѵк I 2а )Теорема 17 доказана. П

Комментарии. Теорема отсчетов играет ключевую роль при оцифровке аналоговых данных. Фактически в ней утверждается, что если спектр сигнала ограничен, то весь аналоговый сигнал можно точно восстановить по дискретному набору его значений. Согласно формуле (14) для точного восстановления сигнала надо записывать значения сигнала с частотой вдвое выше, чем максимальная частота, присутствующая в сигнале. Известно, что человек воспринимает звук с частотой колебаний не выше 48 КГц. Значит, для точного воспроизведения музыки достаточно записывать значения сигнала с частотой 96 тыс. раз в секунду.

К сожалению, если применять формулу (14), когда условия теоремы отсчетов не выполнены (то есть в сигнале присутствуют более высокие частоты), сигнал исказится, причем помехи в спектре будут и в области ниже граничной частоты а. Значит, если в исходном звуке присутствовала неслышимая человеком высокочастотная помеха, то после оцифровки и восстановления по формуле (14) появятся дополнительные шумы. Такие шумы можно услышать, например, когда по телефону стандарта GSM передают музыку. Это происходит потому, что звук в стандарте GSM оцифровывается с частотой 8 КГц. Для передачи голоса этого достаточно (максимальная частота колебаний голосовых связок человека — 3 КГц), а в музыке содержатся колебания с более высокими частотами.

В двумерных сигналах (например, в изображениях) также могут быть искажения, связанные с невыполнением условий теоремы отсчетов. Для дискретизации изображений правило, которое следует из теоремы отсчетов, обычно формулируют так: размеры пикселя (минимального дискретного элемента изображения) должны быть вдвое меньше размеров самых мелких деталей, которые представляют интерес в данном

изображении. Для устранения помех, вызванных недостаточной частотой дискретизации, используются различные методы сглаживания сигналов.

19. Преобразование Фурье обобщенных функций

При решении практических задач часто возникает потребность наряду с обычными функциями использовать такие объекты, как точечная масса, или брать такую производную от разрывной функции, чтобы интеграл от нее совпадал с исходной функцией. Для обычных функций из пространства Ьр это невыполнимо так как интеграл по множеству меры ноль должен быть нулевым, а интеграл с переменным верхним пределом обязательно должен быть непрерывным. Однако существует возможность математически строго ввести обобщенные функции, для которых в некотором смысле это возможно.

В курсе функционального анализа доказывается, что линейный функционал Р, непрерывный на пространстве LP(E) (Е С R, 1 < р < оо), имеет вид P f = f E f(t)g(t)dty где g(t) Е Lq(E), причем p и q — сопряженные числа, то есть р + I = 1- Пространство всех непрерывных линейных функционалов на некотором пространстве называется пространством, сопряженным к данному. Известно, что чем шире пространство функций, тем уже класс линейных непрерывных функционалов на этом пространстве, то есть уже сопряженное пространство. Если взять очень узкое пространство, которое вложено в пересечение всех пространств Lp, то сопряженное пространство будет очень широким.

Рассмотрим пространство бесконечно гладких быстро убывающих на бесконечности функций

S = {ір : Vife, m € N tkip(m\ t ) € C(R) П Li(R)} .

55

Будем считать, что последовательность {ѵ?п} сходится к у? в 5, если для любого натурального т последовательность равномерно сходится к при п —> оо. На этом пространстве непрерывными являются не только функционалы, представимые в виде интеграла с какой-либо функцией, но и многие другие. Например, непрерывным на S функционалом будет (р(хо) — значение функции (р € S в отдельной точке или даже

константу, а также линейную замену аргумента. Можно определить операцию дифференцирования, используя интегрирование по частям:

Pg'V = / 4>(t)gf{t)dt - - f p'(t)g(t)dt = -P g

обычными функциями (из L\ и Z/2), совпадает с обычным преобразованием Фурье.

Найдем для примера преобразование Фурье от 5-функции. Нам необходимо найти такую “функцию” д = 5, чтобы выполнялось равенство

[

Любопытно отметить, что утверждение теоремы 4 о преобразовании Фурье свертки верно, если в качестве одного из множителей взять 5-функцию. Фактически 5-функция является единицей для операции свертки.

Также во многих случаях для обобщенных функций сохраняются свойства, связанные с дифференцированием преобразования Фурье (теоремы 5 и 6). Например, если взять разрывную функцию / из примера 1 в § 8 и рассмотреть ее производную в обобщенном смысле, то утверждение теоремы 6 о преобразовании Фурье производной будет выполнено:

7 и = - Щ - ьМ(і ) ) = т * + h ) ~ s(t - h)) =

е2nihw _ е- 2жііш = 2і gin (2iriwh) = 2mwf{w).

Аналогично можно убедиться, что (Зг5/)(г*;) = 2тгiw, соответственно w = где производная от 5-функции определяется равенством

[

где g(t) — известная функция, а функцию /(£) надо найти. В силу формулы ^7) для к = 0 ,1 ,.. .,п верно равенство ■5(f^)(x ) = (2nix)kf ( x ). Значит, применив преобразование Фурье к обеим частям линейного дифференциального уравнения, получим

71

^ 2 а к(2піх)к/(х) = д(х). к=О

Отсюда следует, что

= — ____

Значит, после обратного преобразования Фурье получим общее решение исходного уравнения:

/(,1 _ ~ -і 9W _ [ п > Ег=оч(йп*)*

При положительных значениях х интеграл в последнем выражении равен сумме вычетов подынтегральной функции по верхней полуплоскости, а при отрицательных — сумме вычетов по нижней полуплоскости. Отметим, что для нахождения вычетов придется найти корни характеристического многочлена рп(т) = Ylk=o акткі а именно эта операция и составляет основную трудность при решении дифференциального уравнения обычным способом. Кроме того, здесь требуется обоснование того, что прямое и обратное преобразования Фурье от обеих частей уравнения существуют.

Применение преобразования Фурье для решения волнового уравнения. Рассмотрим классическое волновое уравнение

d2h _ 2d2h dt2 ~ a dx2’

которое описывает поведение натянутой бесконечной струны h = /і(х, t) в точке х в момент времени t. Пусть известны положение струны в начальный момент времени /і(х,0) = f(x)

и скорость каждой точки струны в этом состоянии ^ ( # , 0) =д(х) (это стандартная задача Коши для уравнений математической физики). Рассмотрим преобразование Фурье волнового уравнения по переменной х:

Без доказательства примем, что линейные операции преобразования Фурье по переменной х и дифференцирования по переменной t можно поменять местами. Тогда с учетом теоремы 6 получаем равенства

Для фиксированного w это обычное дифференциальное уравнение вида ип = — b2u, общим решением которого является функция u(t) = С\ sin bt + С2 cos bt; следовательно,

h(w, t) = Ci (w) sm(2anwt) + C2(w) cos(2a7rwt). (18)

Коэффициенты C\(w) и C2(w) можно найти, применив преобразование Фурье к начальным условиям /і(х, 0) = f (x) и