Министерство образования и науки РФ

Московский государственный университет геодезии и картографии

Факультет дистанционных форм обучения

(заочное отделение)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа и контрольные работы №1-4 по курсу Высшая математика

Для студентов I курса всех специальностей

МОСКВА

2014

2

Составители: Кувекина Н.А. – профессор кафедры высшей математики, Маркарян Е.Г. – профессор кафедры высшей математики, Суворченкова Г.А.- доцент кафедры высшей математики, МИИГАиК.

Методические указания, программа, контрольные работы №1-4 и

решения демонстрационных вариантов по курсу «Высшая математика». –

М.: МИИГАиК, 2014. –72с.

Контрольные работы написаны в соответствии с утвержденной

программой курса «Высшая математика», рекомендованы кафедрой

высшей математики, утверждены к изданию методической комиссией

факультета дистанционных форм обучения.

Методические указания содержат программу курса, рекомендации по

выполнению контрольных работ и задания к ним.

Библиография – 6 названий.

Рецензенты: Баюк О.А., доцент кафедры теории вероятности и математической статистики Финансового университета при правительстве РФ Попиченко В.А. - доцент кафедры высшей математики, МИИГАиК

Московский государственный университет геодезии и картографии

2014

3

Введение.

Настоящие контрольные работы по высшей математике предназначены для студентов факультета дистанционных форм обучения МосГУГК I курса всех специальностей.

Изучаемый материал по высшей математике для студентов I курса устанавливается строго в соответствии с программой: элементы векторной и линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, комплексные числа и действия с ними, дифференциальное исчисление функции одной переменной, исследование функций с помощью производных, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, несобственные интегралы.

По этой части курса «Высшая математика» студент должен выполнить 4 контрольные работы №1-4.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно.

При выполнении контрольной работы необходимо: каждую работу выполнять в отдельной тетради (не более 12 листов),

оставляя широкие поля для замечаний рецензента; на обложке тетради писать разборчиво фамилию, инициалы, шифр и

номер контрольной работы; условия задачи выписывать полностью; решения задач и объяснения излагать четко в порядке очередности,

чертежи можно выполнять от руки. В каждой контрольной работе студент должен решать все те задачи,

номера которых оканчиваются на ту же цифру, на которую оканчивается номер учебного шифра студента (например, учебный шифр 58n-114, тогда студент с этим шифром должен в работе №1 должен решать задачи №4, №14, №24, и т.д..

В конце работы необходимо поставить дату её выполнения, свою подпись и отправить в деканат для проверки.

Не рекомендуется одновременно присылать несколько работ. Выполнение работ надо распределить равномерно на весь учебный год, например, на каждую работу отвести порядка 60 дней.

Если в работе нет ошибок, то она возвращается студенту с рецензией «работа допущена к зачёту». Если в работе найдены ошибки, то она возвращается студенту с рецензией «работа не допускается к зачету». В этом случае студент должен исправить отмеченные ошибки. Все исправления надо выполнять в той же тетради после рецензии преподавателя. Исправления должны быть отправлены на повторную рецензию.

В случае незначительных ошибок рецензия может быть такой: «работа допущена к зачёту после исправлений». В этом случае

4

исправления выполняются в той же тетради, но не отправляются на повторную рецензию.

Во время экзаменационной сессии студент должен получить зачет по каждой из 4 работ, выполняемых за первый год обучения. После этого студент допускается к экзамену. Экзамен сдается в устной форме.

Обращаем Ваше внимание на тот факт, что впервые в Методические указания включены демонстрационные варианты с подробными решениями тех задач, которые составляют основу всех разделов высшей математики 1 года обучения. Рекомендуем разобрать эти задачи прежде, чем приступать к решению соответствующей контрольной работы.

Желаем успехов!

5

Программа по высшей математике

для студентов 1 курса.

Векторная алгебра Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве. Действия над

векторами в координатной форме. Длина (модуль) вектора.

Определители II и III порядка. Способы их вычисления.

Скалярное произведение и его свойства. Угол между векторами.

Вычисление скалярного произведения в координатах.

Векторное произведение и его свойства. Вычисление векторного

произведения в координатах. Задача о площади треугольника,

построенного на двух векторах.

Смешанное произведение, его свойства и геометрический смысл.

Вычисление смешанного произведения в координатах. Задача об объёме

пирамиды, построенной на трех векторах.

Аналитическая геометрия. Виды уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.

Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Основные задачи на плоскость и прямую. Расстояние от точки до прямой в

пространстве. Расстояние между прямыми.

Кривые II порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса,

гиперболы и параболы. Преобразование координат на плоскости.

Линейная алгебра. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость.

Линейное векторное пространство, его размерность и базис.

Арифметическое - мерное пространство.

Матрицы. Линейные операции. Умножение матриц.

Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений

двумя способами: по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Ранг матрицы. Определение ранга с помощью элементарных

преобразований матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем

линейных уравнений методом Гаусса.

6

Введение в математический анализ. Действительные числа и их свойства. Понятие модуля действительного

числа.

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная

формы комплексного числа. Действия над комплексными числами:

сложение, умножение, деление и возведение в натуральную степень.

Формула Муавра. Операция извлечения корня –й степени из

комплексного числа.

Определение функции одного переменного и способы её задания.

Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и

графики.

Предел функции. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые

и бесконечно большие функции. Теоремы о пределах. Первый и второй

замечательные пределы.

Классификация бесконечно малых. Таблица эквивалентностей.

Определение непрерывности функции в точке. Свойства функций,

непрерывных на отрезке. Точки разрыва I и II рода.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Правила

дифференцирования. Таблица производных.

Производная сложной и обратной функции. Производная параметрически

заданной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Прием

логарифмического дифференцирования.

Дифференциал и его геометрический смысл. Инвариантность формы

дифференциала первого порядка. Производные и дифференциалы высших

порядков. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Формула Тейлора.

Разложение функций в ряд

Маклорена.

Возрастание и убывание функции. Экстремум, его необходимые и

достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значение функции на

отрезке.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Асимптоты.

Схема построения графиков функции.

7

Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства

неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные приемы

интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки,

метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование функций вида Интегрирование некоторых

иррациональных функций.

Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула

Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле и

формула интегрирования по частям.

Вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел вращения.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признак

сходимости несобственных интегралов.

Литература.

1. Д. В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры.

М. , Наука, 2003 г. и все издания.

2. Я. С. Бугров, С. М. Никольский Высшая математика Элементы

линейной алгебры и аналитической геометрии.

М. , Наука, 1988г. и все издания.

3. Д. Письменный Конспект лекций по высшей математике -М.: Айрис-Пресс,2011.

4. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. –М.: АСТ. Оникс 2009г и все издания.

5. Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление 1 и 2 том. –М.: Интеграл-пресс 2010 и все издания.

6. Г.Н. Берман Сборник задач по курсу математического анализа. Издательство Профессия Санкт-Петербург 2007 г и все издания

8

Контрольная работа №1.

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Линейная алгебра.

Литература:[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ].

Задачи №1-10

В задачах №1-10 даны координаты вершин пирамиды ABCD (таблица 1).

Найдите:

1. угол между рёбрами BA и BD;

2. площадь грани ABC;

3. высоту грани ABC, опущенную из вершины A;

4. объём пирамиды ABCD;

5. высоту пирамиды, опущенную из вершины D.

Таблица 1.

N A

B C D

1 (0; 2; -1) (3; -3; 0) (1; 3; 6) (2; 1; 1)

2 (1; -2; 1) (3; -1; -2) (8; -5; 6) (2; -1; -2)

3 (2; 0; 1) (4; -3; 1) (3; 1; 2) (7; -2; 2)

4 (-1; 1; 2) (5; 3; 7) (0; 0; 4) (0; 4; 6)

5 (0; 1; 2) (2; 2; 2) (6; 4; 3) (1; 0; 3)

6 (1; 2; 3) (3; 2; 4) (2; 1; 4) (4; 0; -2)

7 (2; -1; 0) (3; 1; 3) (3; -2; -5) (7; -3; -1)

8 (-1; -2; 1) (0; -1; -1) (0; -3; -5) (-1; -1; -3)

9 (0; -2; 3) (2; 0; 6) (2; -3; -2) (-10; 0; 4)

10 (3; -1; 0) (6; 0; 2) (8; -2; 1) (4; -6; 2)

Задачи №11-20

В задачах №11-20 даны координаты точек A, B, C, D (таблица 2). Найдите: 1. уравнение плоскости ABC;

2. расстояние от точки D до плоскости ABC;

3. уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно

плоскости ABC;

4. уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно

плоскости ABC;

9

5. уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой

BC;

6. расстояние от точки D до прямой BC;

7. расстояние между прямыми BC и AD.

Таблица 2. N

A B C D

11 (2; 1; 1) (1; -6; 1) (-1; 6; -2) (3; -2; 2) 12 (-2; 1; 2) (5; 2; 3) (0; 0; 5) (3; 3; 6) 13 (1; 2; -2) (4; 3; 0) (-4; 3; -3) (2; 1; 0) 14 (0; 2; 3) (5; 1; 6) (1; 0; 2) (1; 1; 1) 15 (1; 0; 2) (-4; 1; 3) (3; -1; 3) (2; -5; 5) 16 (1; 2; 3) (0; 3; -6) (3; 3; 1) (4; -1; -2) 17 (-1; 0; 3) (2; 5; 4) (2; -1; -1) (3; 1; -1) 18 (1; 1; 3) (2; -1; 2) (2; 3; 3) (4; 3; 5) 19 (2; -1; 0) (7; 0; 3) (2; 1; 1) (3; 2; 1) 20 (1; -3; 0) (6; -5; 7) (3; -2; 1) (5; -6; 1)

Задачи №21-30

В задачах №21-30 с помощью метода выделения полного квадрата

приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду,

постройте кривую, найдите и укажите координаты вершин и фокусов, а

также вычислите эксцентриситет кривой.

21.

22.

23.

24.

25.

26. .

27.

28.

10

29.

30. .

Задачи №31-40

В задачах №31-40 напишите уравнение параболы с вершиной в точке О (0;

0) симметричной относительно оси Oy и проходящей через точку А

(таблица 3)

Таблица 3.

N

A N A

31 (2; 2) 36 (-4; 8)

32 (-2; 2) 37 (4; -4)

33 (1; -1) 38 (-4; -4)

34 (-1; -1) 39 (6; 18)

35 (4; 8) 40 (-6; 18)

Задачи №41-50

В задачах №41-50 даны матрицы A и B. Вычислите .

11

Задачи №51-60

В задачах №51-60 решите заданную систему уравнений двумя способами:

1) способом Гаусса;

2) с помощью обратной матрицы.

51.

52.

12

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

Задачи №61-70

В задачах №61-70 исследуйте совместность системы линейных уравнений

и в случае совместности найдите все её решения методом Гаусса.

61.

13

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

14

Вопросы по теме «Элементы векторной алгебры и аналитической

геометрии. Линейная алгебра».

1. Дайте определения суммы и разности векторов, произведения вектора

на число. Запишите эти операции в координатной форме.

2. Приведите формулу для вычисления длины (модуля) вектора.

3. Укажите способы вычисления определителей второго и третьего

порядков.

4. Какие векторы называются коллинеарными?

5. Дайте определение скалярного произведения векторов и перечислите

его свойства. Что называется углом между векторами?

6. Запишите формулу для вычисления скалярного произведения в

координатах.

7. Укажите формулу для вычисления угла между векторами с помощью

их скалярного произведения. Приведите соотношения между

координатами двух взаимно перпендикулярных и двух коллинеарных

векторов.

8. Дайте определение векторного произведения двух векторов и

перечислите его свойства.

9. Напишите формулу для вычисления векторного произведения в

координатах.

10. Укажите формулу для вычисления площади треугольника,

построенного на двух векторах, с помощью их векторного

произведения.

11. Дайте определение смешанного произведения трёх векторов и

перечислите его свойства.

12. Запишите формулу для вычисления смешанного произведения в

координатах.

13. Как вычисляется объём пирамиды, построенной на трёх векторах, с

помощью их смешанного произведения?

14. Укажите различные уравнения прямой на плоскости.

15. Напишите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на

плоскости.

16. Укажите различные виды уравнения плоскости. Что такое нормальный

вектор плоскости?

17. Приведите формулу для вычисления расстояния от точки до

плоскости.

18. Запишите общие, канонические и параметрические уравнения прямой

в пространстве. Что такое направляющий вектор прямой?

19. Укажите формулы для нахождения угла между:

15

а) двумя прямыми;

б) двумя плоскостями;

в) прямой и плоскостью.

20. Запишите уравнение плоскости.

а) по точке и нормальному вектору;

б) по трём точкам.

21. Запишите уравнение прямой,

а) проходящей через 2 точки;

б) проходящей через данную точку параллельно данной прямой;

в) проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости.

22. Как вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве?

23. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя

скрещивающимися прямыми.

24. Дайте определение окружности. Запишите уравнение окружности с

центром и радиусом .

25. Дайте определение эллипса. Выведите каноническое уравнение

эллипса и

и постройте эллипс.

26. Укажите формулы, связывающие полуоси и расстояния между

фокусами

эллипса. Что называется эксцентриситетом эллипса?

27. Дайте определение гиперболы. Выведите каноническое уравнение

гиперболы и постройте её.

28. Укажите связь между полуосями и фокусным расстоянием гиперболы,

уравнения асимптот. Что называется эксцентриситетом гиперболы?

29. Дайте определение параболы. Выведите каноническое уравнение

параболы

и постройте её. Чему равен эксцентриситет параболы?

30. Приведите формулы преобразования координат при параллельном

переносе и повороте осей.

31. Дайте определение линейной зависимости и линейной независимости

векторов. Приведите примеры линейно зависимой и линейно

независимой системы векторов на плоскости и в пространстве.

32. Сформулируйте определение линейного векторного пространства, его

размерности, базиса. Приведите примеры.

33. Дайте определение матрицы и линейных операций над матрицами.

34. Что такое произведение 2-х матриц? Какие матрицы можно

перемножать?

16

35. Определите обратную матрицу и опишите алгоритм её нахождения.

Приведите примеры.

36. Сформулируйте правило Крамера решения систем линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ).

37. Выведите формулу матричного (с помощью обратной матрицы)

решения

СЛАУ.

38. Изложите метод Гаусса решения СЛАУ. Приведите примеры.

39. Что называется рангом матрицы? Как находится ранг матрицы с

помощью элементарных преобразований?

40. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Демонстрационный вариант контрольной работы №1.

Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды

Найти:

1) Угол между ребрами и

2) Площадь грани

3) Высоту грани опущенную из вершины

4) Объём пирамиды

5) Высоту пирамиды, опущенную из вершины

Решение:

1)Угол между рёбрами и – это угол между векторами и

(см. рисунок 1)

17

Так как

найдем координаты векторов их длины и скалярное

произведение

Скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений одноимённых координат этих векторов в

ортонормированном базисе откуда

По формуле (1)

2)Площадь треугольника равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, т.е.

Так как длина векторного произведения численно равна

то

18

Вычислим по формуле

В 1) найден вектор а вектор

откуда

Тогда длина этого вектора

По формуле (2)

3)Площадь треугольника равна половине произведения его

основания на высоту, опущенную из вершины :

откуда

Так как вектор (см. 2)), то

Подставляя (см. 2)), получаем из (3):

19

4)Объём пирамиды равен одной трети произведения площади

основания на высоту

где – высота пирамиды, опущенная из точки на основание Так

как площадь треугольника равна половине площади

параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, то

В – объём параллелепипеда, построенного на векторах , и

как на сторонах.

Объём этого параллелепипеда численно равен модулю смешанного

произведения векторов , , :

откуда

Смешанное произведение вычисляем по формуле

Тогда по формуле (5)

5) Из формулы (4) следует:

20

Задача 2. Даны координаты точек

Найти:

1) Уравнение плоскости .

2) Расстояние от точки до плоскости

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно

плоскости

4) Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно

плоскости .

5) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой

.

6) Расстояние от точки до прямой .

7) Расстояние между прямыми и .

Решение:

1)Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

не лежащие на одной прямой, имеет вид

откуда уравнение искомой плоскости

Проверим, что данные точки принадлежат этой плоскости,

подставляя их координаты в полученное уравнение:

21

Ответ:

2)Расстояние от точки до плоскости

вычисляется по формуле

откуда

3)Нормальный вектор плоскости

имеет вид

Значит нормальный вектор плоскости

есть вектор

Этот вектор является нормальным для любой плоскости,

параллельной плоскости

Уравнение плоскости с нормальным вектором

проходящей через точку имеет вид

Подставляя в уравнение координаты точки имеем

откуда

Ответ:

4)Канонические уравнения прямой, проходящей через точку

и имеющей направляющий вектор имеют вид

Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости

то её направляющий вектор перпендикулярен этой плоскости.

22

Значит, за можно взять нормальный вектор этой

плоскости, то есть .

Значит, уравнения искомой прямой, проходящей через точку

имеют вид

5)Если прямая параллельна прямой , то за её направляющий

вектор можно взять вектор

Искомая прямая проходит через точку и задаётся уравнениями

6)Расстояние от точки до прямой совпадает с высотой

параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах

(высота опущена из точки на сторону ).

Векторы и

образуют параллелограмм, площадь которого численно равна

Сначала найдём само векторное произведение

Длина этого вектора

численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах

как на сторонах.

С другой стороны площадь этого параллелограмма равна

произведению основания на высоту :

23

откуда

7)Расстояние между скрещивающимися прямыми – это

расстояние между параллельными плоскостями , содержащими эти

прямые. Оно равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах

как на сторонах:

Так как

24

Задача 3. С помощью метода выделения полного квадрата привести

уравнение кривой второго порядка

к каноническому виду; построить кривую, указать координаты вершин и

фокусов, а также вычислить эксцентриситет кривой.

Решение:

Дополняя выражение до полного квадрата, преобразуем

левую часть уравнения кривой:

откуда

Разделив обе части уравнения на 16, получим каноническое

уравнение гиперболы:

Центр этой гиперболы находится в точке –

действительная, мнимая полуоси.

Построим сначала основной прямоугольник: отложим от центра

влево и вправо по действительной оси по 4 единицы и получим 2

вершины гиперболы . Затем отложим от центра

по 2 единицы вверх и вниз по мнимой оси . Через 4 полученные

точки проведём прямые, параллельные

координатным осям:

25

В получившемся (основном) прямоугольнике проведём диагонали,

которые являются асимптотами гиперболы. Теперь можно построить 2

ветви гиперболы с вершинами в точках и .

Для нахождения координат фокусов гиперболы, расположенных на её

действительной оси на расстоянии от центра найдем

Тогда левый фокус а правый фокус

Теперь найдём эксцентриситет гиперболы

вершины;

фокусы;

Задача 4. Написать уравнение параболы с вершиной в точке

симметричной относительно оси и проходящей через точку

Построить график параболы, найти координаты фокуса и уравнение

директрисы.

Решение:

26

Парабола с вершиной в точке , симметричная относительно

оси задаётся уравнением где параметр

параболы есть расстояние от фокуса до директрисы

Так как точка принадлежит параболе, парабола лежит в

нижней полуплоскости, а, значит, её уравнение

Подставляя в это уравнение координаты принадлежащей параболе

точки найдем :

Построим график параболы

Вершина параболы находится посредине между лежащим

на оси симметрии фокусом и перпендикулярной этой оси

директрисой расстояние между которыми равно

27

Задача 5. Даны матрицы ,

Вычислить

Решение:

Так как при транспонировании матрицы строки матрицы

переходят в столбцы матрицы причем их порядковые номера

сохраняются, транспонированная матрица

Произведение матриц и определено, если число

столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя ,

при этом

где

Кратко последняя формула записывается в виде

(произведение - ой строки матрицы на – ый столбец матрицы ).

Находим по этому правилу

28

Наконец, вычислим

Задача 6. Решить систему уравнений

двумя способами:

1) с помощью обратной матрицы;

2) способом Гаусса.

Решение:

1) Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

с помощью обратной матрицы запишем СЛАУ в матричной форме:

Здесь – матрица системы,

столбец свободных членов,

а столбец неизвестных, которые надо найти.

Если матрица – невырожденная (то есть её определитель

, то существует обратная к матрица такая, что

29

где – единичная матрица. Умножая обе части

равенства ( на , получаем решение СЛАУ с помощью обратной

матрицы

Так как

матрица системы уравнений является невырожденной, и существует

обратная к ней матрица

,

где присоединённая матрица

– минор, соответствующий элементу в определителе

Так как исходная матрица размера , то

присоединённая для матрица тоже размера :

Заметим, что – определитель квадратной матрицы (в нашем

случае размера ), полученной вычеркиванием ой строки и ого

столбца из исходной матрицы . Приведём соответствующие выкладки:

30

Находим по формуле

Ответ:

Замечание. Сделаем проверку:

2) Метод Гаусса

Процесс решения СЛАУ по методу Гаусса состоит в последовательном

исключении неизвестных. На первом этапе (прямой ход) система

приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Второй этап

(обратный ход) заключается в решении получившейся ступенчатой (или

треугольной) системы.

Удобнее работать на первом этапе не с системой, а с расширенной её

матрицей

которая получена добавлением к матрице системы столбца свободных

членов .

Элементарные преобразования над строками - перестановка строк,

прибавление к строке другой строки, умноженной на любое число,

соответствуют перестановке и сложению уравнений СЛАУ, что не меняет

множества решений, то есть приводит к ступенчатой (или треугольной)

системе, равносильной исходной.

Удобнее, чтобы в левом верхнем углу стояла единица, поэтому

сначала переставим первую и вторую строки :

31

Для исключения неизвестной из всех уравнений, кроме первого, ко

второй строке полученной матрицы (эквивалентной исходной) прибавим

первую, умноженную на (-2), а к третьей строке прибавим первую:

Удобно было переставить вторую и третью строки для того, чтобы в

левом верхнем углу матрицы, получаемой вычеркиванием первой строки и

первого столбца, снова стояла единица.

Чтобы исключить неизвестную из всех уравнений, кроме первого

и второго, надо к третьему уравнению прибавить второе, умноженное на

(- 4) (что равносильно прибавлению к третьей строке матрицы второй,

умноженной на (-4)):

Полученная треугольная матрица соответствует системе:

имеющей единственное решение.

Осуществляя обратный ход метода Гаусса, последовательно

определяем неизвестные:

Задача 7. Исследовать совместность системы линейных уравнений

и в случае совместности найти все решения методом Гаусса.

32

Решение:

Выполняя элементарные преобразования над строками расширенной

матрицы системы

приводим систему к ступенчатому виду

Разделим последнее уравнение на (- 7):

Система ступенчатого вида имеет бесконечное множество решений.

Для их нахождения слагаемые, содержащие базисные неизвестные

оставляем в левых частях уравнений, а слагаемые, содержащие свободное

неизвестное , переносим направо:

Совершая обратный ход метода Гаусса, получаем:

Поэтому общее решение системы

Свободное неизвестное принимает произвольные значения,

поэтому система имеет бесконечное множество решений

33

Замечание. При приведении системы к ступенчатому виду мы

отбрасываем равенства вида соответствующие нулевым строкам

расширенной матрицы системы. А если в процессе приведения к

ступенчатому виду в расширенной матрице системы появится строка

то это соответствует уравнению что

свидетельствует о несовместности системы.

Контрольная работа №2.

Введение в математический анализ.

Литература: [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ].

Задачи №1-10

В задачах №1-10 найдите область определения функции.

34

Задачи №11-20

В задачах №11-20 установите, какие из указанных функций являются

чётными, нечётными или не являются ни чётными, ни нечётными.

Задачи №21-30

В заданиях №21-30 выполните действия.

35

Задачи №31-40

В задачах №31-40 представьте комплексное число в тригонометрической

и показательной формах. Используя тригонометрическую форму

комплексного числа , вычислите и найдите все значения корня .

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Задачи №41-50

В задачах №41-50 вычислите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя и

эквивалентностями.

36

37

38

Задачи №51-60

В задачах №51-60 вычислите пределы, используя эквивалентные

бесконечно малые.

39

Вопросы по теме контрольной работы №2

1. Дайте определения функции одного переменного, её области

определения и множества значений.

2. Дайте определения четной, нечетной и периодической функций.

3. Проведите классификацию функций. Укажите свойства основных

элементарных функций, начертите графики этих функций.

4. Дайте определение комплексного числа. Запишите комплексное число

в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

5. Сформулируйте правила сложения, умножения и деления комплексных

чисел, заданных в алгебраической форме.

6. Сформулируйте правила умножения, деления и возведения в

натуральную степень комплексных чисел, заданных в

тригонометрической форме.

7. Сформулируйте правило излечения корня из комплексного числа.

8. Дайте определение предела функции и предела числовой

последовательности.

9. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами.

10. Перечислите виды неопределенностей.

11. Сформулируйте теорему о первом замечательном пределе.

12. Сформулируйте теорему о втором замечательном пределе.

13. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых величин.

14. Сформулируйте теорему о замене отношения двух бесконечно малых

на отношение эквивалентных им величин.

Демонстрационный вариант контрольной работы №2.

Задача 1. Найдите область определения функции

Решение:

Областью определения функции называется множество

действительных чисел таких, что каждому элементу из множества

40

по правилу ставится в соответствие один и только один элемент из

множества действительных чисел .

Область определения функции может представлять собой: интервал

т.е. совокупность значений таких, что отрезок т.е.

совокупность значений таких что, полуинтервал т.е.

бесконечный интервал т.е. или т.е.

или , т.е. и т.п. Кроме того, область

определения может состоять из отдельных точек, совокупности интервалов

или отрезков, а также являться пустым множеством.

Область определения функции находят на основании областей

определения входящих в неё основных элементарных функций.

Заданная функция состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое

определено, если подкоренное выражение Второе слагаемое

определено, если Таким образом, для нахождения области

определения заданной функции необходимо решить систему неравенств

Решением системы неравенств является пересечение двух множеств:

и (см. рис. 1), а именно

Задача 2. Установите какие из указанных функций являются четными,

нечетными или не являются ни четными, ни нечетными:

1) 2) 3)

4) 5) 6) .

Решение.

41

Функция называется четной, если область определения

симметрична относительно нуля и для любого из выполняется

равенство

Функция называется нечетной, если область определения

симметрична относительно нуля и для любого из выполняется

равенство

Функция называется функцией общего вида, если она не

является четной или нечетной.

1) Заданная функция определена на симметричном множестве

. Заменяя на , получим

. Следовательно, это четная функция.

2) определена на Заменяя на ,

получим

– четная функция.

3) определена на симметричном множестве

Заменяя на , получим

.

Очевидно, что ни равенство (1), ни равенство (2) не выполняются.

Следовательно, это функция общего вида.

4) Заданная функция определена на множестве

. Это симметричное множество (см рис. 2).

Заменяя на получим

42

5) Область определения заданной функции совпадает с областью

определения , а именно . Это симметричное

множество (см рис. 3)

Заменяя на получим – нечетная

функция.

6) Область определения не является симметричным

множеством, т.к. . Следовательно, это функция общего вида.

Задача 3. Выполните действия

Решение.

Проведем умножение комплексных чисел, заданных в

алгебраической форме, по правилу умножения двучленов и учитывая, что

получим

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо

умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, а

именно

Далее проведем сложение

43

Задача 4. Представьте число в тригонометрической и

показательных формах. Вычислите и найдите все значения корня .

Решение:

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

имеют вид

и

где – модуль комплексного числа , а – главное

значение аргумента числа , причем и (см рис. 4)

Найдем для заданного числа: .

Найдем главное значение аргумента числа : .

Так как точка, изображающая число лежит во второй четверти (см. рис.

5), то

44

Следовательно, тригонометрическая форма числа имеет вид

показательная форма - .

Возведение в целую положительную степень комплексного числа

выполняется по формуле

Применяя формулу (5), найдем

Таким образом, Здесь обозначение

главного значения аргумента комплексного числа. Заметим, что при

нахождении этого значения было отброшено целое число периодов и

а именно так, чтобы главное значение аргумента принадлежало

интервалу .

Извлечение корня целой положительной степени для комплексного

числа выполняется по следующей формуле

где

45

Таким образом, существует ровно значений .

Применяя формулу (6) найдем

Выпишем эти числа:

Заметим, что точки комплексной плоскости, соответствующие

полученным корням, расположены на окружности с центром в точке и

радиуса и делят эту окружность на четыре равные дуги (см. рис. 6)

Рис.6

y

x

46

Задача 5. Вычислите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя и

эквивалентностями.

Решение:

1) В заданном пределе имеет место неопределенность т.к. и

числитель и знаменатель дроби являются неограниченными величинами

при . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, разделим

числитель и знаменатель на наивысшую степень знаменателя, а именно на

. Тогда

т.к. в числителе все слагаемые являются бесконечно малыми, а

знаменатель стремится к 1 при

2) Так как при числитель и знаменатель дроби обращаются в

нуль, то имеет место неопределенность . Преобразуем дробь, выделив

множитель как в числителе, так и в знаменателе, а именно

Заметим, что в процессе преобразования дроби числитель и

знаменатель разделили на , убрав тем самым неопределенность .

3) В заданном пределе также получается неопределенность при

подстановке . Для раскрытия этой неопределенности домножим

числитель и знаменатель на выражения и

Тогда

47

4) Для решения этого примера необходимо провести

тригонометрические преобразования и использовать первый

замечательный предел, а именно

5) Функция при представляет

неопределенность . Чтобы раскрыть эту неопределенность с помощью

второго замечательного предела, преобразуем дробь и

сделаем замену переменной, положив Тогда при

и

Задача 6. Вычислите пределы, используя эквивалентные бесконечно

малые.

Решение:

48

Как известно, если отношение двух бесконечно малых имеет предел,

то это предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых

эквивалентной ей бесконечно малой.

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых:

если , то

1) Применим переход к эквивалентным бесконечно малым, а именно

2) Так как и то в числителе дроби получается нуль.

Следовательно, прием перехода к эквивалентным величинам в такой

форме невозможен. Преобразуем разность следующим

образом:

и применим переход к эквивалентным величинам, а именно при

Тогда

3) Так как при , то

49

Контрольная работа №3.

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной».

Литература:[ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ].

Задачи №1-10

В задачах №1-10 для каждой из заданных функций найдите точки разрыва,

исследуйте их характер и сделайте схематический чертёж графика

функции в окрестности точек разрыва.

Задачи №11-20

В задачах №11-20 найдите производные данных функций

11. a) б) в)

г) .

50

12. a) б) в)

14. а) б) в)

г)

15. a) б) в)

г)

16. а) б) в)

г) .

17. а) б) в)

г)

18. а) б) в)

;

г)

19. а) б) в)

г)

51

20. а) б) ; в)

г)

Задачи №21-30

В задачах №21-30 найдите и функций, заданных параметрически.

21. 26.

22. 27.

23. 28.

24. 29.

25. 30.

Задачи №31-40

В задачах №31-40 вычислите пределы функций с применением правила

Лопиталя.

52

Задачи №41-50

В задачах №41-50 вычислите с точностью до приближенное значение

выражения

41. 46. .

42. 47. .

43. 48. .

44. 49. .

45. 50. .

Задачи №51-60

53

В задачах №51-60 найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на заданном отрезке

;

Задачи №61-70

В задачах №61-70 исследуйте функцию методами дифференциального

исчисления и постройте её график.

61. 66.

62. 67.

63. 68.

64. 69.

65. 70.

Вопросы к контрольной работе №3.

1. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на

отрезке.

54

2. Дайте определение точек разрыва функции. Приведите классификацию

точек разрыва.

3. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке

и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

4. Дайте определение производной функции, укажите геометрический и

механический смысл производной.

5. Напишите таблицу производных.

6. Сформулируйте правила дифференцирования.

7. Изложите правило логарифмического дифференцирования.

8. Сформулируйте теоремы о дифференцировании сложной функций, о

производной обратной функции.

9. Приведите теоремы о дифференцировании неявной функции и

функции, заданной параметрически.

10. Дайте определение производных высших порядков.

11. Дайте определение дифференциала функции. Укажите его

геометрический смысл.

12. Сформулируйте теорему о применении дифференциала к

приближенным вычислениям.

13. Сформулируйте теорему Ролля, укажите её геометрический смысл.

14. Сформулируйте теорему Лагранжа, укажите её геометрический смысл.

15. Изложите правило Лопиталя для раскрытия неопределённости вида

Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия

которых может быть использовано правило Лопиталя.

16. Напишите формулы Маклорена для функций:

17. Дайте определение возрастающей и убывающей функций.

Сформулируйте необходимый и достаточный признаки возрастания

(убывания) функции.

18. Дайте определение точки экстремума функции. Сформулируйте

достаточные условия экстремума функции.

19. Изложите правило нахождения наибольшего и наименьшего значения

дифференцируемой функции на отрезке.

20. Дайте определение выпуклости и вогнутости графика функции, точки

перегиба.

21. Сформулируйте достаточные условия существования точки перегиба

графика функции.

22. Дайте определение асимптот кривой. Укажите как находятся

вертикальные и наклонные асимптоты.

23. Изложите схему общего исследования функции.

55

Демонстрационный вариант контрольной работы №3.

Задача 1. Найдите точку разрыва функции исследуйте её

характер и сделайте схематический чертёж графика функции в окрестности точки разрыва. Решение:

Для функции область определения

В точке функция не определена.

Вычислим односторонние пределы функции в точке . Так как

Левосторонний предел бесконечный, поэтому точка – точка

разрыва 2-го рода. Схематический чертеж

Задача 2. Найдите производные функций.

Решение:

56

а)

Используя таблицу производных основных элементарных функций и

правила дифференцирования суммы и частного, получим

б)

Применяя правило дифференцирования произведения, имеем

Найдем Обозначим . По правилу

дифференцирования сложной функции имеем

Аналогично, является сложной функцией , где

и

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции

находим

Таким образом, подставляя найденные производные в (1), получим

в)

Данная функция является сложной функцией. После овладения

процедурой дифференцирования сложных функций, нет необходимости в

подробной записи, и можно обойтись без введения переменных и т.д.

57

г)

Данная функция является степенно-показательной вида

где .

Здесь основание и показатель степени зависят от .

Прологарифмируем обе части данного равенства:

Учитывая, что является функцией от , найдем производные обеих

частей равенства по

Задача 3. Найдите и параметрически заданной функции

Решение:

58

Система уравнений где дифференцируемые

функции и при этом определяет однозначную функцию

производная которой вычисляется по формуле

Производная второго порядка параметрически заданной функции

вычисляется по формуле

Применяя формулы для нахождения и , получим

Задача 4. Вычислите

Решение:

Имеем неопределенность . Преобразуем выражение, стоящее

под знаком предела,

59

можно применить правило Лопиталя:

Задача 5. Вычислите с точностью до приближенное значение .

Решение:

При достаточно малых полное приращение функции и

дифференциал можно считать приближенно равными между собой, т.е.

или . Эта формула применяется

в приближенных вычислениях.

Для вычисления перейдем к радианной мере углов:

Рассмотрим функцию в окрестности точки , в этом случае.

. Применяя приведенную формулу, получим

Задача 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Найдем критические точки функции на интервале

60

Точка , а . Вычислим

Вычислим значения функции на концах отрезка.

Сравнивая найденные значения получим

Задача 7. Исследовать функцию методами

дифференциального исчисления и построить график.

Решение:

Исследование функции целесообразно вести в

определенной последовательности.

Схема исследования функции:

1) Найти область определения функции.

2) Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.

3) Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

4) Найти координаты точек пересечения графика функции с осями

координат.

5) Найти асимптоты графика функции.

6) Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.

7) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба

графика функции.

8) По результатам исследования построить график.

61

1. Функция определена при любом действительном значении аргумента за исключением . Следовательно, область определения

данной функции состоит из промежутков и .

2. – точка разрыва функции, функция непрерывна на

интервалах и .

3.Функция не является ни четной, ни нечетной, функция непериодическая.

4. т.е. график функции не имеет точек пересечения с осями

координат. 5. Прямая – вертикальная асимптота, т.к.

Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты

то график функции не имеет наклонных асимптот.

6. Найдём

Точка – критическая точка. Рассмотрим знаки

производной

При и функция убывает.

При и функция возрастает.

Точка – точка минимума

7. Найдем и точки перегиба

62

на интервалах – положительна и график функции

вогнутый при Точек перегиба – нет.

8. Построим график функции.

Контрольная работа №4

Интегральное исчисление. Литература:[ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ].

Задачи №1-10 В задачах №1-10 найдите неопределённые интегралы.

1. 1)

3)

5)

63

2. 1) ; 2) ;

3)

5)

3. 1)

3) ; 4)

5)

4. 1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

5. 1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

6. 1) 2)

3) ; 4)

64

5) ; 6)

7. 1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

8. 1) 2)

9. 1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

10. 1) 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

Задачи №11-20.

В задачах №11-20 вычислите определенные интегралы.

65

11. 1) 2)

12. 1) 2)

13. 1) 2)

14. 1) 2)

15. 1) 2)

16. 1) 2)

17. 1) 2)

18. 1) 2)

19. 1) 2)

20. 1) 2)

Задачи №21-30

В задачах №21-30 вычислите несобственные интегралы или установите их

расходимость.

21. 1) 2)

22. 1) 2)

23. 1) 2)

66

24. 1) 2)

25. 1) 2)

26. 1) 2)

27. 1) 2)

28. 1) 2)

29. 1) 2)

30. 1) 2)

Задачи №31-40

В задачах №31-40 сделайте рисунок области, ограниченной графиками

заданных функций, и найдите её площадь.

31. ,

32.

33. ,

34.

35. ,

36.

37. ,

38.

39. ,

67

40.

Вопросы по теме контрольной работы №4

1. Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла.

2. Сформулируйте простейшие приемы интегрирования.

3. Перечислите виды подынтегральных функций, к которым применима

формула интегрирования по частям.

4. Изложите суть метода интегрирования алгебраических дробей.

5. В чем состоит метод интегрирования тригонометрических функций вида

.

6. Приведите примеры интегрирования простейших иррациональных

функций.

7. Дайте определение определённого интеграла.

8. Перечислите основные приемы вычисления определенного интеграла.

9. Перечислите основные приложения определенного интеграла.

10. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным

промежутком интегрирования, а также несобственных интегралов от

разрывных функций на конечном отрезке.

Демонстрационный вариант контрольной работы №4

Задача 1. Найдите неопределенные интегралы:

1) 2)

Решение: 1) С помощью замены переменной заданный интеграл сводится к

табличному.

68

Заметим, если является табличным, то

может быть легко найден с помощью подстановки . В этом

случае имеет место следующая формула:

где – первообразная функции .

2) Воспользуемся подстановкой . Тогда и

По аналогии с примером (1) имеем:

Заметим, что при применении операции «замена переменной или

подстановка» конечный результат записывают через старую переменную.

3) Заданный интеграл находится путем интегрирования по частям с

использованием формулы:

Для интегралов вида

где многочлен по степеням , за следует принять , а за –

соответственно одно из выражений Для

интегралов вида за

принимается соответственно а за – выражение

Формула (2) применяется к ряду интегралов, отличных от

приведенных выше. Общий принцип применения формулы (2) состоит в

следующем: за берётся такая функция, которая при

дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального

выражения, интеграл от которого известен или может быть легко найден.

Наш интеграл относится к интегралам вида где

69

– многочлен 2-ой степени. Полагая

получим , и

Применяя к интегралу правой части ещё раз формулу (2), получим

4) К заданному интегралу необходимо применить правило

интегрирования алгебраических (рациональных) дробей, т.к.

подынтегральная функция представляет правильную алгебраическую

дробь, знаменатель которой разложен на линейные множители.

В этом случае дробь можно представить в виде суммы простейших

дробей, а именно , где

неопределённые коэффициенты, вычисления которых проводится

по следующей схеме.

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и,

освобождаясь от знаменателей, получили

или

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и

правой частях последнего равенства, получим систему уравнений для

неопределённых коэффициентов :

Эта система решается методом исключения неизвестных (методом

Гаусса). Решая её найдём

Итак, разложение дроби имеет вид

70

Таким образом,

= =

5) Заданный интеграл относится к интегралам от

тригонометрических функций вида .

Использование тригонометрической формулы

позволяет найти первообразную для функции .

Применяя формулу (3) к данному интегралу, получим

= =

= .

6) Заданный интеграл относится к интегралам вида

. Для нахождения этого интеграла выделим в числителе

производную подкоренного выражения, а именно:

= = + .

Первый интеграл относится к интегралу вида

Следовательно,

71

Второй интеграл сводится к табличному путем выделения полного

квадрата из квадратного трёхчлена, а именно

Тогда

и

Задача 2. Вычислите определённые интегралы:

Решение:

1) Этот интеграл относится к интегралам вида

причем подынтегральная функция четная относительно .

В этом случае замена переменной приводит

интеграл к интегралу от алгебраической дроби. В нашем случае надо взять

подстановку и изменить пределы интегрирования, а именно

Тогда ,

и

2) К заданному интегралу применим формулу интегрирования по

частям, а именно

72

Полагая

получим

Задача 3. Вычислите несобственные интегралы или установите их

расходимость.

1)

Решение:

1) Заданный интеграл представляет интеграл с бесконечным

верхним пределом.

Как известно, несобственный интеграл от функции в пределах

от определяется равенством

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся и равен значению этого предела; если же предел

не существует или равен бесконечности, то интеграл называется

расходящимся.

Применим формулу (5) к данному интегралу:

Следовательно, данный интеграл сходится и равен

2) Применим формулу (5) к заданному интегралу:

73

Следовательно, интеграл расходится.

Задача 4. Сделайте рисунок области, ограниченной графиками заданных

функций и вычислите площадь этой области.

Решение:

Графиками функций являются

параболы с осями симметрии соответственно . В системе

строим графики этих функций и определяем область, ограниченную

ими.

Рис. 1

На рис. 1 область D ограничена сверху параболой

, а снизу параболой кроме того, переменная

меняется от -1 до 0. Тогда, искомая площадь вычисляется с помощью

определённого интеграла, а именно

D