ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα 2: Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα

Σαββαΐδης Στυλιανός

Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Κυματική Εξίσωση σε χώρο χωρίς πηγές και απώλειες-Το Επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης

• Κυματική Εξίσωση σε χώρο με πηγές και απώλειες-Το Επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης

• Νόμος Διατήρησης της Ενέργειας και Διάνυσμα Poynting

4

Περιεχόμενα ενότητας-1/2

• Εξισώσεις Maxwell απουσία Πηγών & Απωλειών (σ=0) • Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ=0) • Το Επίπεδο Κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης • Εξισώσεις Maxwell σε χώρο με Πηγές & Απωλειών (σ≠0) • Κυμ. Εξίσωση σε χώρο με Πηγές & Απώλειες (σ≠0) • Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ≠0) • Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης • Εφαρμογή: Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης • Βάθος Διείσδυσης • Άσκηση: Υπολογισμοί Βάθους Διείσδυσης

5

Περιεχόμενα ενότητας-2/2

• Πόλωση Πεδίου • Νόμος Διατήρησης Ενέργειας • Διάνυσμα Poynting • Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια • Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος • Μέσο Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος • Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Διπολικής Κεραίας • Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας

6

Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα

Εξισώσεις Maxwell απουσία Πηγών & Απωλειών (σ=0)

• Οι σημειακές εξισώσεις Maxwell για αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΜ πεδία σε ένα χώρο (ε,μ), χωρίς πηγές και απώλειες, εκφράζονται ως εξής:

• Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της προαναφερόμενης υπόθεσης εργασίας είναι το ΗΜ πεδίο που ακτινοβολεί μια κεραία στον ελεύθερο χώρο.

8

0

0

0

0

=−×∇

=+×∇

=⋅∇

=⋅∇

Εωε

Ηωµ

jH

jE

H

E

Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ=0)-1/2

• Με αφετηρία τις σημειακές εξισώσεις Maxwell προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση:

• Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι μια παρόμοια εξίσωση ισχύει και για το μαγνητικό πεδίο:

9

( )

00

:Maxwell-Ampere N.

00 :Faraday Ν.

2

2222

2

=∂

∂−∇=+∇⇒

⇒

⋅∇∇+−∇=×∇×∇

=×∇

=×∇+×∇×∇⇒=+×∇

tEήE

EEE

j

jEjE

ΕεµΕεµω

ΕωεΗ

ΗωµΗωµ

00 2

2222 =

∂

∂−∇=+∇

tHHήHH

εµεµω

Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ=0)-2/2

• Οι προαναφερόμενες διαφορικές εξισώσεις 2ου βαθμού* για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι οι λεγόμενες κυματικές εξισώσεις:

* Για παράδειγμα ο Λαπλασιανός τελεστής ∇2 στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζεται ως εξής:

10

00 2

2222 =

∂

∂−∇=+∇

tEήE ΕεµΕεµω

00 2

2222 =

∂

∂−∇=+∇

tHHήHH

εµεµω

2

2

2

2

2

22

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Το Επίπεδο Κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης-1/2

• Μια απλή λύση της κυματικής εξίσωσης είναι η ακόλουθη:

• Η προαναφερόμενη λύση της κυματικής εξίσωσης ονομάζεται “Επίπεδο Κύμα” και αναπαριστά ένα κύμα το οποίο διαδίδεται στην θετική διεύθυνση του άξονα z και έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: – δεν έχει διαμήκη συνιστώσα (δηλ. για το συγκεκριμένο παράδειγμα

δεν έχει συνιστώσα κατά τον άξονα διάδοσης z) – η έκφραση του είναι ανεξάρτητη των εγκάρσιων συντεταγμένων

(δηλ. για το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν εξαρτάται από τις συντεταγμένες x,y)

11

( ) jkzeEzήxkztEtzE −=−= 00 )(ˆcos),( Εω

Το επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης-2/2

•Με την αντικατάσταση της έκφρασης του Επιπέδου Κύματος στην Κυματική Εξίσωση προκύπτει η εξής σχέση:

– c=1/(εμ)1/2 είναι η ταχ. διάδοσης του κύματος στο χώρο (ε,μ) – λ είναι το λεγόμενο μήκος κύματος (χωροταξική περίοδος του ΗΜ

κύματος) – k είναι η σταθερά διάδοσης του κύματος, γνωστή και ως κυματικός

αριθμός

Συνοψίζοντας το “Επίπεδο Κύμα” είναι ένα κύμα το οποίο παρουσιάζει σταθερή φάση σε επίπεδα εγκάρσια προς τη διάδοση ενώ μεταβάλλεται η φάση του κατά μήκος της διάδοσης.

12

λππωωεµωεµωεµω 22000ˆˆ0 2

2

222

02

0222 ===⇒=−⇒=−⇒=+−⇒=Ε+∇ −−

cf

ckk

ckzeEzeEkE jkzjkz

Εξισώσεις Maxwell σε χώρο με Πηγές & Απωλειών (σ≠0)

• Οι σημειακές εξισώσεις Maxwell για αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΜ πεδία σε ένα χώρο (ε,μ), χωρίς πηγές και απώλειες, εκφράζονται ως εξής:

• Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της προαναφερόμενης υπόθεσης εργασίας είναι το ΗΜ πεδίο που διαδίδεται μέσω ενός αγώγιμου υλικού 13

a

f

JjH

jE

H

E

=+×∇

=+×∇

=⋅∇

=⋅∇

Εωε

Ηωµ

ρ

0

0

Κυμ. Εξίσωση σε χώρο με Πηγές & Απώλειες (σ≠0)

• Με αφετηρία τις σημειακές εξισώσεις Maxwell προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση:

• Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι μια παρόμοια εξίσωση ισχύει και για το μαγνητικό πεδίο:

14

( )

∇=

∂Ε∂

−∂Ε∂

−∇

∇=Ε−Ε+∇⇒Ε+

∇=+

∇=Ε+∇⇒

⇒

⋅∇∇+−∇=×∇×∇

Ε+=Η×∇

=Η×∇+×∇×∇⇒=Η+×∇

ερ

µσεµερ

ωµσεµωωµσερ

ωµερ

εµω

ωε

ωµωµ

fffa

f

a

ttEήjEjJjE

EEE

jJ

jEjE

2

222222

2

:Maxwell-Ampere N.

00 :Faraday Ν.

00 2

2222 =

∂∂

−∂

∂−∇=−+∇

tH

tHHήjHH

µσεµΗωµσεµω

Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ≠0)-1/2

• Έστω ένα επίπεδο Η/Μ κύμα διαδιδόμενο στη θετική διεύθυνση του άξονα των -z- μέσα σε ομογενές, γραμμικό, ισότροπο και στάσιμο μέσο με σταθερές σ, ε, και μ. Εξετάστε τα χαρακτηριστικά της διάδοσης ενός Επίπεδου Κύματος στο χώρο αυτό.

• Με την αντικατάσταση της έκφρασης του Επίπεδου Κύματος στην Κυματική Εξίσωση προκύπτει η εξής σχέση:

• Συνοψίζοντας όταν το “Επίπεδο Κύμα” διαδίδεται μέσω ενός αγώγιμου μέσου φθίνει με εκθετικό ρυθμό [exp(-kimag)] κατά μήκος της διάδοσης

15

[ ]

imagreal

jkzjkzjkzf

f

jkkkjkkj

zeEjzeEzeEkEjE

−=⇒

−=⇒=−−⇒

⇒=−+−⇒==

∇=−+∇ −−−

ωεσεµωωµσεµω

ωµσεµωρερ

ωµσΕεµω

10

0ˆˆˆ00

2222

002

0222

Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ≠0)-2/2

• Για τον υπολογισμό του k=kreal-jkimag πρέπει να λυθεί η ακόλουθη εξίσωση:

• Η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων που τελικά προέκυψαν δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

16

( )

===

==−

⇒

⇒

−=−−⇒

−=−=

=

σωεπου

µε

ωεσεµω

µεµµεεωεµω

ωεσεµω

ωεσεµω

QόQ

kkk

kkk

jkkkkjjkkk

rrimagreal

rrrrimagreal

imagrealimagrealimagreal

,2

121

22

200

2222

222222

0

0

21

21

2

21

21

2

1)11(2

1)11(2

0

0

−+=

++=

Qkk

Qkk

rrimag

rrreal

µε

µε

Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης

• Ορίζουμε το μέγεθος Q ως εξής:

• Ο συντελεστής ποιότητας Q εκφράζει κατά πόσο ένα μέσο όπου διαδίδεται ένα ΗΜ κύμα είναι καλός μονωτής ή όχι

• Τυπικά ένα μέσο θεωρείται μονωτής όταν Q≥100, και αγωγός όταν Q <0.01

17

σω

σω

Εσ

τηταςαγωγιµµατοςρετηταυκνΠ

πισηςµετατµατοςρετηταυκνΠτηταςοιΠςυντελεστΣ

εεε==∂

∂

=⇒

⇒==

EEiE

tQ

όύό

όύόόήQ

)(

Εφαρμογή: Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης

• Ο χαλκός είναι καλός αγωγός για την περίπτωση των συνεχών και εναλλασσόμενων ρευμάτων συχνότητας 60 Hz. Εξετάστε από ποια συχνότητα και πάνω ο χαλκός αρχίζει να συμπεριφέρεται ως μονωτής. (σcu=5.8×107 mhΩ/m, ε0=8.85 ×10-12 F/m)

18

100≥=σωεQ

100108,5

1085,827

12

≥⋅⋅ −fπ

Hzf 2012

7

101085,814,32

108,5100≅

⋅⋅⋅⋅⋅

≥−

Βάθος Διείσδυσης

• Όταν το κύμα διανύσει απόσταση 1/kimag τότε το πλάτος του θα ελαττωθεί στο 1/e της αρχικής του τιμής. H συγκεκριμένη αυτή απόσταση, όπου το πλάτος του κύματος εξασθενεί κατά 1/e, την ονομάζουμε βάθος διείσδυσης και τη συμβολίζουμε με το γράμμα δ:

• Ουσιαστικά το βάθος διείσδυσης ενός υλικού αποτελεί μία ένδειξη για τη δυνατότητα του ΗΜ πεδίου να διεισδύσει στο εσωτερικό του υλικού.

19

ikίά 1

=≡ σδυσηςδιεθοςβδ

Άσκηση: Υπολογισμοί Βάθους Διείσδυσης

• Ένα ΗΜ κύμα με πλάτος ηλεκτρικού πεδίου διέρχεται από υλικό με βάθος διείσδυσης δ=10cm. Πόσο θα είναι το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου όταν το κύμα θα έχει διανύσει L=40cm εντός του υλικού;

20

δ// LO eEE =

mVe

mVE /366,0/204 ==

Πόλωση Πεδίου-1/3

• Έστω ένα κύμα που οδεύει στον άξονα z, έχοντας δύο συνιστώσες Ex και Ey:

• Το συνολικό στιγμιαίο διάνυσμα, δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

• Για z=0 οι προηγούμενες εκφράσεις τροποποιούνται ως εξής:

• Απαλείφοντας τα ημωt και συνωt προκύπτει:

• Το Ey γράφεται ως εξής:

21

)δkztω(ημEE ),kztω(ημEE yx +−=−= 21

)δkztω(ημEy)kztω(ημExE +−+−= 21

[ ]ηµδωσυνσυνδωηµΕδωηµηµω )()()(E , 22y1 tttEtEEx +=+==

21

2xx

E

E-1συνωt ,

EE

tημω ==1

−+= 2

2

12

1

1E

Εημδσυνδ

EE

EE xxy

Πόλωση Πεδίου-2/3 • Υψώνοντας την έκφραση για το Εy στο τετράγωνο και αναδιατάσσοντας

τους όρους της εξίσωσης προκύπτει η ακόλουθη έκφραση:

• Η εξίσωση περιγράφει μια έλλειψη με κλίση, όπως φαίνεται και στο Σχήμα

22

12 222

22

2

2121

2=+−⇔=+− yyxx

yyxx cEEbEΕaδημE

ΕΕΕ

συνδEE

EE

( )

++++= δσυνEEEEEEOA 22

21 2

221

42

41

22

21

( )

++−+= δσυνEEEEEEΒO 22

21 2

221

42

41

22

21

( )

−= − δσυν

ΕΕ

ΕΕεφτ

22

21

211 221

x

y

x

z

x

y

E

E y E

Α Β τ

Σχήμα 1.6. Ελλειπτικά Πολωμένο Κύμα.

Πόλωση Πεδίου-3/3

• Γραμμική Πόλωση (Ε1=0 ή Ε2=0 η δ=0, ±π)

• Κυκλική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη όταν Ε1=Ε2 & δ= ±π/2 )

• Ελλεπτική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη)

23

Σχήμα 1.7. (α) Γραμμική (β) Κυκλική και (γ) ελλειπτική πόλωση

(α) (β) (γ)

Νόμος Διατήρησης Ενέργειας • Ο Ν. Διατήρησης της Ενέργειας στο εσωτερικό μιας κλειστής επιφάνειας

μπορεί να διατυπωθεί μαθηματικά ως εξής:

– Pem είναι η εξερχόμενη ισχύς από την κλειστή επιφάνεια – Wem,εσ είναι η αποθηκευμένη ΗΜ ενέργεια στο εσωτερικό της κλειστής

επιφάνειας και η παράγωγος αντιστοιχεί στο ρυθμό μεταβολής της – Pμετ είναι η ισχύς στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας, η οποία

μετατρέπεται σε ΗΜ μορφή

24

[ ] µετεσ PWdtdP emem =+ ,

S

∫= dVwW emem εσ,

Sd

∫= SdSPem

Γεωμετρικοί Ορισμοί σχετικά με το Ν. Διατήρησης Ενέργειας

Διάνυσμα Poynting

• Η εξερχόμενη από την κλειστή επιφάνεια ΗΜ ισχύς (Pem) δίνεται από τη σχέση:

– S είναι το λεγόμενο διάνυσμα Poynting του οποίου

• το μέτρο αντιστοιχεί στην πυκνότητα ροής της ΗΜ ισχύος

• η διεύθυνση του στην κατεύθυνση διάδοσης της ΗΜ ισχύος

25

( ) )(WattSdHESdSPSS

em ∫∫ ×==

Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια-1/2

26

• Η χωρική πυκνότητα we της ηλεκτρικής ενέργειας στη γενική περίπτωση είναι:

– Για ισοτροπικά υλικά ισχύει:

– Για γραμμικά υλικά ισχύει:

– Για γραμμικά και ισοτροπικά υλικά ισχύει:

DdEwD

e

⋅= ∫0

dDEwD

e ⋅= ∫0

DEwe

21

=

εε

2221 2

2 DEEDwe ===

Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια-2/2

27

• Η χωρική πυκνότητα wm της μαγνητικής ενέργειας στη γενική περίπτωση είναι:

– Για ισοτροπικά υλικά ισχύει:

– Για γραμμικά υλικά ισχύει:

– Για γραμμικά και ισοτροπικά υλικά ισχύει:

BdHwB

e

⋅= ∫0

dBHwB

e ⋅= ∫0

BHwe

21

=

µµ

2221 2

2 BHHBwe ===

Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος

• Έστω ένα επίπεδο αρμονικά κύμα με:

– Το διάνυσμα Poynting για το επίπεδο κύμα είναι:

• Όπου z είναι η κυματική αντίσταση του χώρου διάδοσης:

28

)(ˆ kztExE O −= ωσυν

)(ˆ kztHyH O −= ωσυν

yxkztHkztEHES OO ˆˆ)()( ×−⋅−=×= ωσυνωσυν

zkztkkztEE OO

O ˆ)(ˆ)( 222 −Ε=−Ζ

= ωσυνµεωσυν

zkztO ˆ)(221

212

−+Ε= ωσυν

µε

εµ

==o

oHEZ

Μέσο Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος

• Εφόσον ενδιαφερόμαστε για την μέση τιμή του ανύσματος του Pοynting, με την ολοκλήρωση σε μία περίοδο της χρονικά αρμονικής μεταβολής προκύπτει η ακόλουθη σχέση:

– Εφόσον οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου εκφράζονται από τις μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις, η μέση τιμή της πυκνότητας της ακτινοβολούμενης ισχύος παρέχεται από τη σχέση:

29

∫

−+=

T

O dtkztzT

S0

2 ) (221

21ˆ1 ωσυνΕ

µε

zzHzZ

zS OO

OO ˆ

2ˆ

21ˆ

2ˆ

21 2

22

2 ΖΗεµΕ

Εµε

====

[ ]∗×= HES

Re21

Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Διπολικής Κεραίας

Έστω διπολική κεραία μήκους d, η οποία τροφοδοτείται με ρεύμα της ακόλουθης μορφής:

και ακτινοβολεί ΗΜ πεδίο με τις ακόλουθες συνιστώσες:

Να υπολογιστεί η μέση ακτινοβολούμενη ισχύς της κεραίας

30

)sin(2)( tItI rms ω=

)sin(sin22

, 0φωθπ

ΗΖΗ φφθ +−== krtr

kdIE rms

Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας-1/2

• Η μέση ακτινοβολούμενη ισχύς της κεραίας μπορεί να υπολογιστεί με την ολοκλήρωση του μέσου διανύσματος Poynting σε μία κλειστή σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r:

– Όπου Z=120π και

31

∫∫ ∫∫∫ =⇒ΖΗ

===ππ π

φ θθφθθ0

3222

0

2

0

2

sin)(15sin2

ˆ dIkdPddrdSSrdSSP rmsavS

rS

av

( ) ( ) ( )34

3coscoscoscos1cossinsin

03

0

2

0

2

0

3 =

−=−==

=

=∫∫∫

θ

πθ

πππ θθθθθθθθ ddd

Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας-2/2

• Με την αντικατάσταση του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει η τελική έκφραση για τη μέση ακτινοβολούμενης ισχύος:

– Ενώ για τη μέση πυκνότητα ακτινοβολούμενης ισχύος

ισχύει η ακόλουθη έκφραση:

32

22)(20 rmsav IkdP =

rr

kdrZH

EHES rms ˆsin)(215ˆ

2ˆˆ

2

222

2θΙ

πφΗθ φ

φθ ==×=×=

Τέλος Ενότητας

Κυμ. Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ κύμα