1

МЕХАНИКА

Механика изучает законы и свойства механического движения. Механическим движением тела называется изменение положения тел или частей те-

ла в пространстве относительно друг друга с течением времени. Очевидно, что характер движения тела определяется телом, относительно которого рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета. Для задания положения тела необходима также система координат, а для отсчета времени – способ отсчёта времени. Все это вместе (тело отсчета, система координат и способ отсчёта времени) образуют систему отсчета. Причем тело от-счета в выбранной системе координат имеет постоянные координаты. В механике часто используются следующие упрощенные модели реальных тел: абсолют-но твердое тело и материальная точка. Абсолютно твердым телом называется тело, у которого расстояние между двумя любыми его точками остается постоянным в процессе движения. Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого пренебрегается по сравнению с другими наиболее характерными размерами, имеющимися в данной рассмат-риваемой задаче. Любое механическое движение твердого тела можно представить в виде суперпозиции (совмещения) двух основных видов механического движения: поступательного и враща-тельного. Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, же-стко связанная с телом, перемещается в пространстве параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, двигаются по параллельным траекториям, и в каждый момент времени имеют одинаковые как по величине, так и по направлению скорости и ускорения. Поэтому рассмотрение поступательного движения всего тела можно свести к изучению движения какой-либо точки этого тела. Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки тела опи-сывают в пространстве окружности, центры которых лежат на одной прямой, а сами ок-ружности находятся в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

КИНЕМАТИКА

Кинематика – раздел механики, в котором

изучается механическое движение материаль-ного тела без рассмотрения причин, по кото-рым это движение происходит. Введем основ-ные понятия, которыми необходимо будет пользоваться в дальнейшем.

Будем рассматривать движение тела1, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат (рис-1). Линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, называется траекторией.

Положение тела на траектории движения одно-значно определяется радиус-вектором. Радиус- вектор – это вектор, проведенный из начала ко-ординат в точку нахождения тела. В процессе

1 Под телом, в рамках кинематики, мы будем понимать материальную точку

Рисунок 1

2

движения его длина и направление изменяются, а его начало неподвижно. Если радиус-вектор спроецировать на оси координат, то его проекции будут, очевидно, равны соответ-ствующим координатам точки нахождения тела.

Начнем наблюдать за телом, когда оно находится в точке А (рис-2). Пусть в показания ча-сов в этот момент t A , а радиус-вектор тела равен rA . Тело движется вдоль траектории от

точки А к точке В. Когда тело находится в точке В показание часов равно t В , а радиус-

вектор rB . Показание часов это и есть момент времени. В большинстве задач момент вре-мени равный нулю будет совпадать с моментом начала движения, то есть часы включаются в тот момент, когда начинается рассмотрение движения. Тело двигалось из А в В в течении интервала (промежутка) времени B AΔt=t – t . Если бы показание часов в точке А было рав-но нулю, то интервал времени был бы равен показанию часов в точке В. Чаще всего так и

поступают при решении задач: за начало отсчета времени берут момент, когда тело находится в начальной точке. В начальный момент движения радиус вектор Ar

, в конце Br . Разность этих двух

векторов B AΔr=r -r называется перемещением те-ла. Перемещение – вектор, проведенный из на-чальной точки движения в конечную точку (см. рис.). Модуль перемещения измеряется в метрах. Проекции вектора перемещения на оси координат ОX и ОY равны соответственно: B AxΔr =Δx=x -x ,

B AyΔr =Δy = y – y . В общем случае модуль век-тора перемещения можно найти по формуле:

B A B A2 2Δr= (x -x ) +(y -y ) .

Путь s - сумма длин участков траектории от точки А до точки В, измеряется в мет-рах. Путь величина всегда положительная и неубывающая. В общем случае Δr S≤

, при-чём знак равенства справедлив только при движении тела вдоль прямой в одну сторону. Задача 1.1. На рис-3 показана траектория A-B-C движения материальной точки из А в С. На сколько процентов путь, пройденный точкой, больше модуля её перемещения, если АВ = ВС= 20 м, а ОВ = 12 м. Дано: АВ = ВС = L=20 м; ВО = H = 12 м;

S- Δrx= 100%-?

Δr

Решение: Путь точки равен S = АВ + ВС = 2L, а модуль перемещения 2 2Δr =AC=2 L -H .

Отсюда находим 2 2 2 22L-2 L -H L- L -H

a = 100% = 100% = 25%2 2 2 22 L -H L -H

⋅ ⋅

Ответ: 25%.

Рисунок 2

Рисунок 3

3

1.2. Человек прошел по проспекту 240 м, затем повернул на перекрестке и прошел в перпендикулярном направлении еще 70 м. На сколько процентов путь, пройденный человеком, больше модуля его пере-мещения? {24%}

1.3. Вертолет пролетел на север в горизонтальном полете 18 км, затем повернул строго на восток и проле-тел еще 24 км. Вычислить пройденный путь и модуль полного перемещения. {42 км, 30 км}

1.4. Мяч упал с высоты 3 м вертикально вниз, отскочил от пола и был пойман после отскока на высоте 1 м. Во сколько раз путь, пройденный мячом, больше модуля перемещения мяча? {2}

1.5. Турист поднялся на возвышенность высотой 10 м и с углом при основании 30°, а затем спустился с этой же высоты по уклону с углом при основании 60° . Чему равны путь и модуль перемещения тури-ста? {31,55 м; 23,1 м}

1.6. Камень, брошенный с высоты 10 м над поверхностью Земли вертикально вверх, достигает максималь-ной высоты 30 м и падает на Землю. Определить путь, пройденный камнем и модуль его полного пере-мещения. {50 м; 10 м}

1.7. Самолет пролетел по прямой 600 км, затем повернул под прямым углом и пролетел еще 800 км. Чему равен модуль вектора перемещения самолета? {103 км}

1.8. Определить путь и перемещение конца минутной стрелки длиной 2 см за 15 мин. {3,14 см; 2,83 см} 1.9. Движущийся автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Во сколько раз путь, прой-

денный при этом автомобилем, больше модуля перемещения? {1,57} 1.10. Перемещение тела, движущегося по окружности, оказалось равным радиусу окружности. Определить

путь, пройденный телом. Радиус окружности 1 м. {1,05 м} 1.11. Небольшое тело движется по окружности, имеющей радиус 1 м. Определить путь и модуль перемеще-

ния тела за время, в течении которого оно совершило 0,25 оборота. {1,57 м; 1,41 м} 1.12. Искусственный спутник движется по круговой орбите радиусом 40000 км с периодом обращения 1 су-

тки. Определить путь и величину перемещения спутника за 12 часов. {1,257.105 км; 8.104 км} 1.13. Камень бросают с башни высотой 8 м под некоторым углом к горизонту, и он падает на Землю на рас-

стоянии 6 м от башни. Определить модуль полного перемещения камня. {10 м} 1.14. Автомобиль проехал 500 м по прямой горизонтальной дороге. Затем он проехал по мосту, который

представляет собой дугу окружности (радиус окружности 500 м) с углом раствора 600 и далее по пря-мой проехал еще 500 м. Определить путь, пройденный автомобилем и модуль его перемеще-ния.{1523,3м;1500м}

1.15. Локомотив, двигаясь прямолинейно, проехал путь 3 км, затем совершил поворот, описав четверть ок-ружности радиусом 1 км, и проехал дальше еще 9 км. Вычислить пройденный путь и модуль полного перемещения. {13,57 км; 10,8 км}

1.16. Тело переместилось из точки А с координатами (-4; 3) в точку В с координатами (4; 3), а затем - в точку С с координатами (4; -3). Определить его путь и перемещение. Координаты заданы в метрах. {14 м;10 м}

1.17. Тело переместилось из точки с координатами х1 =2 см, у1 = 0 в точку с координатами х2 = 1 см и у2=1 см, а затем - в точку с координатами х3 = -2 см и у3 = -1 см. Постройте график и с его помощью опреде-лите путь и модуль перемещения тела. {5,02 см; 4,12 см}

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.

Вектор средней скорости срV

– векторная величина, равная отношению пере-

мещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло: cpΔrV =Δt

.

Вектор средней скорости срV

совпадает по направлению с вектором перемещения Δr . Средняя скорость прохождения пути (средняя путевая скорость) – скалярная величина, равная отношению пройденного пути к тому промежутку времени, за который этот путь пройден:

1 2

1 2

ΔS S +S +…+SnV = =ср Δt t +t +…tn

Совет. Решая задачи на определение средней скорости необходимо помнить очевидную, в общем-то, вещь: значение средней скорости больше самой минимальной скорости тела на данном участке и меньше максимальной: min cp maxV V V≤ ≤ . Часто учащиеся допускают ошибку: считают, что средняя скорость является средним арифметическим начальной и конечной скоростей. Это действительно имеет место в некоторых частных случаях, но

4

пользоваться этим не следует. Единственным определением средней скорости прохожде-ния пути является вышеприведённая формула. Задача 2.1. Определить среднюю скорость автомобиля на всем участке движения в следующих двух случаях: a) Первую половину пути он движется со скоростью 40 м/с, а вторую половину со скоро-стью 20 м/с. b) Первую половину времени автомобиль движется со скоростью 40 м/с, а вторую поло-вину времени со скоростью 20 м/с. Дано: V1 = 40 м/c; V2 = 20 м/с. Vср1-? Vср2-? Решение. a. Обозначим весь путь, пройденный телом за S. Тогда, пользуясь определением средней

скорости, имеем: 1 2

ср1S

V =t +t

, где St =1 2V1

и St =2 2V2

- времена прохождения первой и

второй половины пути, соответственно. Тогда 1 2ср1

1 2

1 2

S 2V V мV = 26,7S S V +V c

2V 2V

= ≅+

b. Обозначим полное время движения автомобиля за t . Полный путь будет состоять из

двух частей: первая часть пути tS =V1 1 2

, пройденная автомобилем за первую половину

времени со скоростью 1V , и вторая часть пути tS =V2 2 2

, пройденная автомобилем за

вторую половину времени со скоростью V2 . По определению средней скорости име-

ем:1 2

1 2 1 2

t tV +VS +S V +V2 2V = = = =30м/сср2 t t 2.

Ответ: a) 26,7 м/с b) 30 м/с. Задача 2.2. Поезд прошел путь 200 км. В течение 1 часа он двигался со скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на время 30 мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения поезда. Дано: S = 200 км =2⋅105 м, t1 =1ч=3600 с, t2 =30 мин = 1800 с, V1 = 30 м/с, V2 = 10 м/с; V ср-? Решение. По определению средней скорости S +S +SS 1 2 3V = = ср t t + t + t1 2 3

. По условию задачи выделим три

участка. На первом участке S1=V1t1. S2=0 (поезд сделал остановку). Третий участок S3 = S – (S1+S2) =S-(V1t1+ 0) поезд прошел за время S3t = 3 V3

. Средняя скорость на всем пути

1 11 2

3

SV = =13,7 м/с.cp S-Vt +t +

Vt .

Ответ: 13,7 м/с.

2.3. Велосипедист движется по траектории в форме окружности с постоянной по модулю скоростью. Чему равно отношение средней скорости прохождения пути, равного половине окружности, к модулю сред-ней скорости перемещения? {1,57}

2.4. Найти среднюю скорость тела в двух случаях: а) первую четверть времени тело двигалось со скоростью 7,0 м/с, оставшееся время – со скоростью 4,0 м/с; б) первую четверть пути тело двигалось со скоростью 7,0 м/с, оставшуюся часть пути – со скоростью 4,0 м/с. {a) 4,75 м/с; б) 4,48 м/с}

2.5. Найти среднюю скорость автомобиля, если первую треть пути он движется со скоростью 20 м/с, вто-рую треть пути – со скоростью 24 м/с, а последнюю треть пути со скоростью 30 м/с? {24 м/с}

5

2.6. Первые 20% всего пути тело двигалось со скоростью 10 м/с, следующие 50% пути - со скоростью 12 м/с, оставшуюся часть пути - со скоростью 15 м/с. Найти среднюю скорость движения на всем пути. {12,25 м/с}

2.7. Первые 25% всего пути тело двигалось со скоростью 3 м/с, вторые 25% всего пути - со скоростью 6 м/с, оставшуюся часть пути - со скоростью V. Найти эту скорость, если известно, что средняя скорость движения тела на всем пути оказалась равной 4 м/с. {4 м/с}

2.8. Велосипедист проехал за 5 секунд 40 м, за следующие 10 секунд – 100 м, и за последние 5 сек – 60 м. Найти среднюю скорость прохождения всего пути. {10 м/с}

2.9. В течение первых 5 часов поезд двигался со средней скоростью 54 км/ч, а затем в течение 4 часов — со средней скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за все время движения. {10,55 м/с}

2.10. Первые 3/4 времени своего движения поезд шел со скоростью 72 км/ч, остальное время — со скоро-стью 36 км/ч. Какова средняя скорость движения поезда на всем пути? {17,5 м/с}

2.11. Первую половину пути тело двигалось со скоростью V1, а вторую – со скоростью на 4 м/с большей, чем V1. Средняя скорость движения тела на всем пути оказалась равной 3 м/с. Найти скорость движения те-ла на второй половине пути. {6 м/с}

2.12. Средняя скорость поезда на всем пути равна 12 м/с, причем 40% всего пути он двигался со скоростью в два раза меньшей, чем на оставшемся пути. Каковы скорости поезда на этих участках? {8,4 м/с;16,8 м/с}

2.13. Первую половину пути поезд шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Какова скорость на каждом участке пути, если средняя скорость прохождения всего пути равна 12 м/с? {15 м/с, 10м/с}

2.14. Найти среднюю скорость движения тела, если известно, что первую половину пути тело двигалось со скоростью, меньшей средней скорости на 2 м/с, а вторую – со скоростью, на 3 м/с большей средней скорости. {12 м/с}

2.15. Первую треть пути автомобиль двигался со скоростью 10 м/с, вторую треть пути – со скоростью , в два раза меньшей, чем на оставшейся части пути. Найти скорости, с которыми двигался автомобиль на ка-ждом участке, если средняя скорость движения автомобиля на всём пути оказалась равной 15 м/с. {15м/с, 30м/с.}

2.16. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в три раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составляет 6 км/ч. Какова средняя скорость катера на первой половине пути? {3,3 м/с}

2.17. Автомобиль проехал расстояние 30 км с постоянной скоростью 20 м/с, затем разгрузился и вернулся в начальный пункт со скоростью 25 м/с. Определить время разгрузки, если средняя скорость на всем пу-ти оказалась равной 18 м/c. {10,6 мин}

2.18. Велосипедист, проехав 4 км со скоростью 12 км/ч, остановился и отдыхал в течение 40 мин. Оставшие-ся 8 км пути он проехал со скоростью 8 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути. {1,66 м/с}

2.19. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч. Половину времени, затраченного на прохождение оставшейся части пути он шёл со скоростью 15 км/ч, а другую половину времени – со скоростью 45 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля на всём пути. {9,09 м/с}

Скорость характеризует быстроту движения точки. В процессе движения скорость может меняться. Мгновенная скорость – скорость точки в данный момент времени. Опре-деляется мгновенная скорость как производная радиус- вектора по времени:

Δr drV= lim =

Δt 0 Δt dt→

, где dt - бесконечно малый промежуток времени, настолько малый, что

в течение этого промежутка скорость можно считать неизменной, dr - вектор бесконечно малого перемещения, совершенного телом за время dt .

Мгновенная скорость – векторная величина. Вектор мгновенной скорости направлен всегда вдоль касательной к траектории движения в интересующей нас точке. Обозначим проекции вектора V

на оси ОX и ОY соответственно XV и YV , тогда справедливо соот-

ношение: X Y

2 2 2V =V +V , непосредственно вытекающее из теоремы Пифагора. Если в процессе движения модуль и направление вектора мгновенной скорости ос-

таются постоянными, то такое движение называется равномерным. Очевидно, что направ-ление скорости будет постоянным, только если движение тела будет прямолинейным. Так что равномерным может быть только прямолинейное движение. Оно так и называется – равномерное прямолинейное движение. В случае прямолинейного равномерного движе-

6

ния величина скорости определяется известным выражением: ΔS

V=Δt

, где Δt - интервал

времени, за который тело проходит отрезок пути Δs . Единица измерения скорости – метр на секунду (м/с).

В ряде задач приходится рассматривать движение тела относительно двух систем от-счёта, которые движутся друг относительно друга. В этом случае справедлив закон сло-жения скоростей (для скоростей значительно меньших скорости света):

0V=V +V′

,

где V, V′

- скорости тела в неподвижной и движущейся системах отсчёта, соответственно, а 0V

- скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной. Задача 3.1. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом 600 к вертикали. Какова скорость капель относительно Земли, если скорость движения поезда 15 м/с? Дано: α = 600 ; V0 =15 м/с. V -? Решение: По закону сложения скоростей 0V=V +V′

, где V

- ско-рость капель относительно неподвижной системы отсчёта-Земли,

0V

- скорость поезда (скорость движущейся системы отсчёта, свя-

занной с поездом, относительно неподвижной Земли)), V′

- ско-рость капель относительно движущейся системы отсчёта (связан-

ной с поездом). Из рисунка 4 видно, что 01V=V ctgα=15 =8,67м/с3

.

3.2. Две вагонетки катятся навстречу друг другу со скоростями 0,5 м /с и 0,4 м /с. Через какое время ваго-

нетки столкнутся, если первоначальное расстояние между ними 135 м? {150 с} 3.3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 45 км/ч, в течении 10 с прошел такой же путь, какой автобус,

двигающийся в том же направлении с постоянной скоростью, прошел за 25 с. Найдите величину их относительной скорости. {7,5 м/с}

3.4. Сколько времени сидящий у окна пассажир поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть про-ходящий мимо него встречный поезд, скорость которого равна 36 км/ч, а длина – 150 м? {6 c}

3.5. Рыбак, плывя по течению реки с постоянной относительно воды скоростью, проплывая под мостом, потерял удочки. Через пол часа он заметил пропажу и повернул обратно. На расстоянии 4 км от моста он встретился с удочками. Определить скорость течения реки. {4 км/ч}

3.6. Моторный катер проходит расстояние между двумя пристанями против течения за 1час. За такое же время это расстояние проходит по течению плот. За какое время пройдет это расстояние по течению катер? {20 мин}

3.7. Самолет летит их пункта А в пункт В и обратно со скоростью 600 км/час относительно воздуха. Сколько времени затратил самолет на весь полет, если вдоль линии полета непрерывно дует ветер по-стоянного направления со скоростью 20 м/с? Расстояние между пунктами 900 км. {3,04 часа}

3.8. Во сколько раз время проезда одного и того же расстояния на катере туда и обратно по реке больше, чем по озеру? Скорость течения реки 3 км/ч, скорость катера относительно воды в обоих случаях 10 км/ч. {2,2}

3.9. Скорость движения лодки относительно воды в два раза больше течения реки. Во сколько раз больше времени занимает поездка между двумя пунктами против течения, чем по течению? {3}

3.10. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, на-правленные под углом 60º к вертикали. Определить скорость капель относительно Земли, если поезд движется со скоростью 36 км/ч? {5,77 м/с}

3.11. При горизонтальном ветре, скорость которого 10 м/с, капли дождя падают под углом 30º к вертикали. При какой горизонтальной скорости ветра капли будут падать под углом 60º к вертикали? {30 м/с}

3.12. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки 1,2 м/с катер дви-гался перпендикулярно берегу со скоростью 3,2 м/с? Под каким углом к берегу должна быть направ-лена эта скорость? {3,42 м/с; 69,40}

Рисунок 4

7

3.13. Лодка движется перпендикулярно берегу реки. Ее скорость относительно воды равна 2 м/с. Опреде-лите время движения лодки к другому берегу, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 м/с. {46,2 c}

3.14. Катер, переправляясь через реку шириной 600 м, двигался перпендикулярно течению реки со скоро-стью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько метров будет снесен катер течением, ес-ли скорость течения 1,5 м/с? {225 м}

3.15. Гребец сообщает лодке скорость 2 м/с относительно воды. Под каким углом к течению реки он дол-жен направить лодку, чтобы плыть точно поперек реки, если скорость ее течения 1 м/с? {1200}

3.16. Эскалатор метро спускает неподвижно стоящего человека за 90 с. По неподвижному эскалатору чело-век спускается за 2 мин. За какое время спустится человек по движущемуся эскалатору? Скорости движения человека и эскалатора во всех случаях неизменны. {51,4 с}

3.17. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём человека в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за три минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору? {45 c}

3.18. Колонна автомашин длиной 2 км движется со скоростью 36 км/ч. Из начала колонны выезжает мото-циклист, который, достигнув ее конца, возвращается обратно. Скорость мотоциклиста постоянна и равна 54 км/ч. Сколько времени будет в пути и какой путь пройдет мотоциклист пока он снова на-гонит начало колонны? {8 мин; 7,2 км}

3.19. Два велосипедиста едут по взаимно перпендикулярным дорогам со скоростями 10,8 км/ч и 14,4 км/ч, соответственно. Чему равна их относительная скорость? {18 км/ч}

3.20. Две прямые дороги пересекаются под углом 60º. От перекрестка в одну сторону удаляются по ним две машины: одна со скоростью 60 км/ч, другая со скоростью 80 км/ч. Определить величину скорости, с которой одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно. {72,1 км/ч; 122 км/ч} Ускорение – векторная величина показывает, как быстро изменяется скорость тела.

По определению ускорение это производная скорости по времени: ΔV dVa= lim =Δt dtΔt 0→

, где

dt - бесконечно малый промежуток времени, в течение которого ускорение можно считать постоянным, а dV

- бесконечно малый вектор изменения скорости. Если в процессе движения ускорение тела постоянно по модулю и по направлению, такое движение называют равнопеременным. Равнопеременное движение может быть и прямо-линейным и криволинейным. В случае прямолинейного движения можно различать рав-ноускоренное и равнозамедленное движение. При равноускоренном прямолинейном дви-жении направления векторов ускорения и мгновенной скорости совпадают, а при равно-замедленном прямолинейном движении направления этих векторов противоположны.

При равнопеременном движении ускорение можно определить по формуле: B AV –V

a=Δt

, где AV

, BV

- скорости тела, соответственно, в начальной А и конечной В точ-

ках; B AΔt = t - t - интервал времени движения от точки А до точки В. Если движение тела криволинейное, то, вообще говоря, ускорение направлено под

некоторым углом к траектории движения (имеется в виду угол между касательной к тра-ектории и вектором ускорения).

Совет. Вообще важно помнить, что направление вектора ускорения не определяет направление движения тела.

При решении задач кинематики важно знать зависимости вида: r = r(t) , V = V(t)

, которые позволяют определить положение и скорость тела в любой момент времени. Это и есть основная задача кинематики – определить координаты и скорость тела в любой мо-мент времени, зная начальные условия и закон по которому движется тело. Точный вид этих зависимостей определяется характером движения тела. Рассмотрим случаи равно-мерного и равнопеременного движения.

Прямолинейное равномерное движение – движение, при котором скорость тела по-стоянна по модулю и по направлению, а ускорение равно нулю: V=const

, a=0 .

8

При этом радиус вектор тела зависит от времени следующим образом: 0r=r +Vt

. Это уравнение векторное. В скалярном же виде оно будет иметь вид (в проекции на ось ОХ, направленной параллельно скорости тела): 0 xx=x +V t , где 0r

- радиус вектор тела в на-

чальный момент времени t=0 , 0x - проекция вектора 0r на ось ОХ или, другими словами,

начальная координата тела. 4.1. Две автомашины движутся по дороге с постоянными скоростями 10 м/с и 15 м/с. Начальное расстояние

между машинами равно 1 км. За сколько секунд вторая автомашина догонит первую? {200 с} 4.2. Две автомашины движутся по взаимно перпендикулярным шоссейным дорогам равномерно со скоро-

стями 54 км/ч. и 72 км/ч. На каком расстоянии друг от друга окажутся автомобили через 10 мин. после встречи у перекрёстка? {15 км}

4.3. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 м/с, второго 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в первый момент времени равно 200 м. Найти время и координату места встречи мотоциклистов, приняв за начало отсчета начальное положение вто-рого мотоциклиста. {20 с; 400м}

4.4. Из города А выехали с одинаковыми скоростями два автомобиля, второй через 12 мин после первого. Они поочередно, с интервалом в 14 мин, обогнали одного и того же велосипедиста. Во сколько раз ско-рость автомобилей больше скорости велосипедиста? {7}

4.5. Два тела движутся навстречу друг другу так, что за каждые 10 с расстояние между ними уменьшается на 16 м. Если эти тела будут двигаться в одном направлении с прежними по величине скоростями, то за 5 с расстояние между ними увеличится на 3 м. С какой скоростью движется каждое из тел? (1,1 м/с; 0,5 м/с)

Для равнопеременного движения зависимости радиус-вектора и вектора скорости от

времени имеют вид: 0 0

2atr = r +V t +

2

; 0V=V + at

. Эти векторные уравнения, будучи спрое-

цированными на оси координат ОX и ОY , имеют вид:

x0 0x

2a tx = x +V t +

2,

x 0x xV =V + a t

y0 0y

2a ty = y + V t +

2,

y 0y yV =V + a t .

Следствием этих уравнений является еще одно полезное уравнение: 2 2x 0x

x

V –Vx = xo 2a

+ ; 2 2y 0y

y

V –Vy = yo 2a

+ .

Здесь 0x - начальная координаты тела (координата тела в момент времени 0t = ), 0V

-

вектор начальной скорости тела (вектор скорости в момент времени 0t = ), 0x 0yV , V - его

проекции на оси координат. a , ax y - проекции вектора ускорения a на оси координат. В

этих уравнениях x, y - координаты тела в произвольный момент времени t (мгновенные координаты); V

- вектор мгновенной скорости тела (скорости тела в момент времени t ); XV и YV - проекции вектора мгновенной скорости на оси ОX и ОY. Необходимо пони-

мать, что Xt, x, y, V , VY - переменные величины, а , , , ,0 0 0x 0y x yx , y V V a a - постоянные в

процессе равнопеременного движения (однажды и навсегда заданные в начальной точке движения). Эти постоянные величины называются начальными условиями.

9

При решении задач кинематики на равнопеременное движение целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

• Внимательно прочитать задачу, записать краткое условие, определить характер движе-ния тела (прямо- или криволинейное, равномерное или равнопеременное).

• Нарисовать рисунок, на котором отобразить: начальное положение тела, начальную ско-рость, ускорение тела, примерную траекторию движения. Изобразить положение инте-ресующих нас точек на траектории движения тела, а также отметить координаты этих точек и скорость тела в этих точках. Наш интерес к этим точкам определен условием за-дачи. Изобразить на рисунке оси координат. Направления координатных осей выбира-ются произвольно, но, конечно так, чтобы уравнения для дальнейшего решения выгля-дели как можно менее громоздко. Также необходимо четко указать начало координат. Если движение тела прямолинейное, то, очевидно, достаточно выбрать одну ось коорди-нат и направить ее вдоль прямой, по которой тело движется.

• Записать кинематические уравнения движения: 2

x0 0x

a tx = x + V t +

2,

2y

0 0ya t

y = y + V t +2

, x 0x xV = V + a t , y 0y yV = V + a t .

• При необходимости можно применить формулы: 2 2x 0x

x

V -Vx = xo 2a

+ , 2 2y 0y

y

V -Vy = yo 2a

+ .

• Определить начальные условия: значения начальных координат ( 0 0x , y ), значения про-екций начальной скорости ( 0x 0yV , V ). Определить проекции ускорения ( a , ax y ).

• Подставить значения начальных условий в кинематические уравнения движения. Полу-ченная таким образом система уравнений является системой кинематических уравнений, приспособленных для решения данной конкретной задачи.

• Рассмотреть интересующие нас точки на траектории движения тела. Определить значе-ния необходимых величин в этих точках (координат, проекций скорости) и подставить эти значения в полученные ранее кинематические уравнения движения. Теперь получат-ся уравнения, содержащие не переменные величины: время, координаты и проекции скорости, а вполне конкретные значения, определяющие ту или иную точку траектории, в которой находится тело в некоторый конкретный момент времени.

• Решить полученную систему уравнений для данной «особой точки» относительно неиз-вестных величин. Получить расчетные формулы для искомых величин.

• Произвести проверку размерности (наименование величины). • Подставить численные значения, сделать расчет и проанализировать полученный ре-

зультат. Задача 5.1. Спуск длиной 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,3 м/с2. Найти скорость лыжника в конце пути. Дано: 1t =20 c , 1x =100 м , 2a = 0,3 м/с . - ?1V

Уравнение движения лыжника 2

0 0at

r = r + V t +2

, уравнение скорости

0V = V + at

. С учётом начальных условий

0 0X 0 Xx = 0, V = V , a = a , проецируя на ось X имеем:

2

0at

x = V t +2

и

10

X 0V = V + at . Интересующая нас точка на траектории движения – это точка 1. В точке 1: 1t = t , 1x = x , x 1V = V . Подставим значения вре-мени, координаты и скорости для точки 1 в кинематические уравнения движения. Получим:

21

1 0 1at

x =V t +2

,

1 0 1V =V + at .

Решив эту систему уравнений с двумя неизвестными 0V и 1V

относительно неизвестной 1V . В результате получим: 2

1 11

1

2x + at мV = = 8

2t с.

Графики движения лыжника изображены на рисунке 6. Ответ: 8 м/с.

Задача 5.2. За 2 с тело прошло путь 10 м, причем скорость увеличилась в 3 раза. Определить ускоре-ние тела и его начальную скорость. Дано: 1t =2 c , 1x =10 м , 1 0V 3V= . 0V -? a-? Решение. Кинематические уравнения движения тела и его скорости имеют вид:

2

0 0at

r = r + V t +2

, x 0V =V +at ,

и, с учётом начальных условий

0 0 0 xxx =0, V =v , a =a , в проекции на ось Ох: 2

0at

x=V t+2

,

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

11

x 0V =V +at . В точке 1 координата тела равна пройденному пути: x=x =101 м , и в момент времени

1t=t =2 c скорость по условию задачи в 3 раза больше начальной: x 1 0V =V =3V . Подставляя

эти значения, получим для точки 1:21

1 0 1at

x =V t +2

, 0 0 13V =V +at .

Отсюда 2121

xa= =2,5 м/с

t, 1

01

xv = =2,5 /с

2tм .

Ответ: 2,5 м/с2; 2,5 м/с. Задача 5.3. Поезд движется со скоростью 20 м/с. При торможении до полной остановки он прошёл расстояние в 200 м. Определите время, в течение которого происходило торможение. Дано: 0 1 1V 20 м / с, x 200 м; t ?= = − Решение. Кинематические уравнения движения тела и его скорости имеют вид:

2

0 0at

r = r + V t +2

, 0V=V +at

,

и, с учётом начальных условий (см. рисунок 8) 0 0 0 xxx =0, V =v , a = – a , в проекции на ось Ох:

2

0at

x=V t –2

,

x 0 –V =V at . В точке 1 координата тела равна пройденному пути: x=x =2001 м , и в искомый момент времени

1t = t скорость по условию задачи равна нулю (по-езд остановился) X 1V V 0= = . Для координаты и скорости в точке 1 имеем:

21

1 0 1atx V t2

= − ,

0 10 V at= − . В этой системе уравнений две неизвестные: ускорение поезда a и искомый момент остановки поезда 1t . Исключая ускоре-

ние получим: 0 11

V tx2

= , откуда: 11

0

2xt 20 cV

= = .

Графики зависимости координаты, проекций скорости и уско-рения поезда от времени представлены на рисунке 9. Ответ: 20 с.

Рисунок 8

Рисунок 9

12

5.4. Лыжник спускается с горы длиной 180 м. Сколько времени займет спуск, если ускорение лыжника рав-но 0,5 м/с2, а начальная скорость 4 м/с? {20с}

5.5. Тело начинает двигаться равноускоренно вдоль некоторой оси с начальной скоростью 10 м/с. Какой должна быть величина ускорения, чтобы за 2 с оно сместилось на 10 м относительно начальной точки движения? {5 м/с2}

5.6. Торможение поезда метро началось на расстоянии 200 м от станции. На каком расстоянии от станции окажется поезд, идущий со скоростью 30 м/с, через 7 с после начала торможения с ускорением 5 м/с2? {112,5 м}

5.7. За две секунды движения тело прошло путь 20 м, при этом его скорость, не меняя направления, увели-чилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Определить ускорение тела. {5 м/с2}

5.8. За одну секунду движения тело прошло путь 10 м, при этом его скорость, не меняя направления, увели-чилась в 4 раза по сравнению с первоначальной скоростью. Каково было ускорение тела? {2 м/с2}

5.9. Двигаясь с ускорением 0,5 м/с2, тело на пути 60 м увеличило свою скорость в 4 раза. Найдите началь-ную скорость тела. {12м/с}

5.10. Известно, что точка за 10 с прошла 30 м, причем ее скорость увеличилась в 5 раз. Определить ускоре-ние, считая его постоянным. {0,4 м/с2}

Задача 6.1. Тело, двигаясь равноускоренно с начальной скоростью V0, приобретает, пройдя некото-рое расстояние, скорость V2. Какова была скорость тела V1, когда оно прошло половину этого расстояния. Дано: ; 0 2 1V , V V -? Решение.

Применим к решению этой зада-

чи формулу 2 2x 0x

0x

V –Vx = x

2a+ .

Учитывая, что начальные усло-вия имеют вид:

0 0x 0 xx = 0, V = V , a = a (см. рису-нок 10) запишем ее для двух то-

чек (см. рис): для точки с координатой 1x : 2 2

1x 0x1

x

V –Vx =

2a, и точки с координатой 2x :

2 22x 0x

2 1x

V –Vx = 2x =

2a.

Из двух последних уравнений после преобразований имеем: 2 20 2

1V +VV =

2.

Ответ: 2 20 2

1V +VV =

2.

Задача 6.2. Двигаясь равноускоренно, тело проходит за 5 с расстояние 30 см, а за следующие 5 с – 80 см. Определить начальную скорость и ускорение тела. Дано: 1 x =0,3м , 1t =5c , 2x =1,1м , 2t =10c ; 0V - ?, a - ?

Решение: Уравнение движения тела 2

0 0a t

r = r + V t +2

, с учётом начальных условий

0x = 0 , 0x 0V = V , xa = a , получим зависимость

Рисунок 10

Рисунок 11

13

координаты тела от времени:2

0at

x = V t +2

. Рассмотрим точку 1. В момент времени 1t = t

координата точки равна 21

1 0 1at

x = V t +2

, в момент времени 2t = t 22

2 0 2at

x =V t +2

. Получи-

ли систему уравнений с неизвестными 0V и a , решая которую получим:

( ) 22 1 1 2

1 2 2 1

2 x t -x ta= =0,02 /с

t t (t -t )м .

2 21 2 2 1

01 2 2 1

x t -x tV = =0,01 /с

t t (t -t )м .

Ответ: 0,01 м/с, 0,02 м/с2. Задача 6.3. Автомобиль, трогаясь с места и двигаясь равноускоренно, первый километр прошел за 6 мин. За какое время он проедет второй километр пути? Дано: x =1км = 1000 м1 , t = 6 = 360 с1 мин , 2 1- xx = x = 1 км = 1000 м∆ . Δt-?

Решение. Движение автомобиля прямолинейное рав-ноускоренное. Совместим начало оси Х с начальной точкой движения. Начальная ко-ордината 0x =0 , проекция начальной ско-

рости на ось 0xV =0 (по условию задачи), проекция ускорения на ось ОX: a =ax . Та-ким образом, координата автомобиля зави-

сит от времени по закону:2at

x =2

. На тра-

ектории движения автомобиля нас будут интересовать две точки 1 и 2. Обозначим интер-вал времени, в течение которого автомобиль проходит второй километр пути Δt . Тогда показание часов в точке 2 будет равно Δ2 1t = t + t , а координата точки 2 будет равна

Δ2 1x = x + x . Тогда для точки 1 имеем: 21

1at

x = 2

,а для точки 2: ( )2

Δ12

a t + tx =

2. Выполнив

преобразования, получим: Δ1Δ 11

x + xt = t –1 149,4cx

≈

.

Ответ: 149,4 с. 6.2. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя некоторое расстояние, приобрело ско-

рость 14 м/с. Чему была равна скорость тела, когда оно прошло половину этого расстояния? {10 м/с} 6.3. Тело, двигаясь равноускоренно с начальной скоростью 1 м/с, приобретает, пройдя некоторое расстоя-

ние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела, когда оно прошло половину этого расстояния. {5 м/с} 6.4. Пуля, летящая со скоростью 141 м/с, попадает в дерево и проникает на максимальную глубину 6 см.

Определить скорость пули на глубине 3 см. Движение пули считать равнозамедленным. {100 м/с} 6.5. При торможении от скорости 40 км/ч до полной остановки автомобиль прошел путь 16 м. Какой путь

пройдет этот автомобиль на той же дороге при снижении скорости от 100 км/ч до 60 км/ч? Считать, что ускорение при торможении постоянно и одинаково в обоих случаях. {64 м}

6.6. С какой скоростью надо бросить камень вдоль горизонтальной поверхности катка, чтобы он, скользя с ускорением 0,5 м/с2, остановился на расстоянии 100 м от начального положения? {10 м/с}

6.7. Через 4 с после начала торможения скорость автомобиля была вдвое меньше начальной. Через сколько секунд от начала торможения, скорость автомобиля будет в четыре раза меньше начальной. {6 c

6.8. При взлете разбег самолета длится 25 с. Определить путь, пройденный самолетом по взлетной полосе, если, пройдя ¾ длины разбега, самолет приобрел скорость 51 м/с. Ускорение самолета считать постоян-ным. {736 м}

Рисунок 12

14

6.9. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, за первые 2 с прошло 16 м, а за следующие 2 с прошло 8 м. Определить начальную скорость и ускорение тела. {10 м/с, 2 м/с2}

6.10. При равноускоренном движении тела без начальной скорости путь, пройденный телом за 5-ю секунду больше пути, пройденного за 1-ю секунду на 10 м. Определить ускорение тела. {2,5 м/с2}

6.11. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит путь 5 м и останавливается. Определить начальную скорость и ускорение тела. {50 м/с, 10 м/с2}

6.12. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего движения прошло расстояние 100 м, а за первые 10 с – расстояние 300 м. Определить начальную скорость тела. {10м/с}

6.13. Зa первую секунду равноускоренного движения тело проходит путь равный 1м, а за вторую - 2м. Оп-ределить модуль начальной скорости тела. {1м/с}

6.14. Тело, скатывающееся с наклонной плоскости с некоторой начальной скоростью, за первые 3с проходит 2 м, а в последующие три секунды 4 м. Считая движение равноускоренным, определите начальную ско-рость тела. {1/3 м/с}

6.15. Тело, движущееся прямолинейно, пройдя путь 3 м приобретает скорость 4 м/с, а пройдя еще 4 м приоб-ретает скорость 6 м/с. Определить начальную скорость тела, считая движение равноускоренным. {1 м/с}

6.16. Шарик, пущенный вверх вдоль наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной L каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за τ с, второй за 3τ с. Найти скорость шарика в конце первого отрезка пути. {5L/6τ}

6.17. Автомобиль, трогаясь с места и двигаясь равноускоренно, первый километр прошел за 6 мин. За какое время он проедет второй километр пути? {2,49 мин}

6.18. Тело, двигаясь из состояния покоя, проходит 10 м и приобретает скорость 2 м/с. Чему будет равна ско-рость тела, после того как тело пройдет еще 20 м. Ускорение остается все время постоянным. {3.46 м/с}

6.19. На последнем километре пути скорость поезда уменьшилась на 10 м/с. Определить изменение скорости на предпоследнем километре пути. Движение по прямой равнозамедленное. {4 м/с}

Задача 7.1. Пущенное вверх по наклонной плоскости тело через время 4 с оказалось ниже своего пер-воначального положения на расстоянии 16 м вдоль плоскости. В этот момент значение скорости тела было равным 10 м/с. Определить ускорение тела и значение начальной скорости. Построить графики движения. Дано: 1t = 4 c , 1v =10 /см , L=16 м ; 0V -?

Решение. Направим ось ОХ вверх вдоль наклонной плоскости. Начало оси выберем в первона-чальной точке движения. При движении по наклонной плоскости вектор ускорения на-правлен вниз вдоль наклонной плоскости (см. рис 13). Начальные условия: x = 00 , V = V0X 0 , проекция ускорения на ось

ОХ: a = -ax .Тогда проекции на эту ось кине-

матического уравнения движения и его скорости имеют вид: 2

0at

x = V t - 2

, x 0V = V - at . В

интересующей нас точке 1: 1t = t , x = x = - L1 , x 1V = -V . Кинематические уравнения в

точке 1:21

0 1at

–L = V t -2

, 1 0 1-V = V - at . Решая эту систему уравнений, находим:

0 1

1

V +V 2a = = 3 /сt

м , 1 10

1

V t -2Lv = = 2 м/с

t. Если подставить числа, то кинематические урав-

нения движения будут выглядеть так: 2x = 2t - 1,5t , xV = 2 - 3t . Графики этих функций представлены на рисунке 14. Вершина параболы на графике x = x(t) соответствует координате

Рисунок 13

15

20Vx 0,67 м

2a′ = ≈ и моменту времени 0t V a 0,67 c′ = ≈ .

Ответ: 3 м/с2, 2 м/с.

Задача 7.2. Тело начинает соскальзывать по наклонной плоскости и за 10 с проходит путь, равный 2 м. Считая движение равноускоренным, определить модуль ускорения тела и его ско-рость в этот момент времени. Дано: 1 10t c= , 1 2x м= , a − ? Решение.

Движение прямолинейное равноускоренное, описывается уравнениями:

2

0 0atr r V t2

= + +

(1)

0V V at= +

(2) Вектор ускорения направлен вниз вдоль на-клонной плоскости. Начальная скорость равна нулю (в условии сказано: «тело начинает со-

Рисунок 14

Рисунок 15

16

скальзывать … »). Направим ось координат ОХ вниз вдоль наклонной плоскости (см. рис.), начало оси выберем в начальной точке движения, начало отсчета времени совмес-тим с началом движения. Тогда начальные условия для нашей задачи будут иметь вид: 0x 0= , 0xV 0= , xa a= . (3) Проецируя (1) и (2) на ось ОХ, с учетом значений начальных условий (3) получим кине-матические уравнения движения нашего тела:

2atx2

= , (4)

xV at= . (5) Нас интересует точка 1 с координатой 1x x= , в которой тело находится в момент времени

1t t= и имеет скорость x 1V V= . Подставим эти значения в уравнения (4) и (5) и получим систему уравнений:

21

1atx2

= , (6)

1 1V at= . (7) Из (6) находим ускорение:

121

2xat

= . (8)

Подставим (8) в (7) и найдем скорость тела в точке 1: 1

11

2xVt

= . (9)

Подставим числовые значения в расчетные формулы (8) и (9): 2

мa 0 04с

,= , 1мV 0 4с

,= .

Ответ: 0,04 м/с2; 0,4 м/с. Задача 7.3. Тело, которому была сообщена начальная скорость 10 м/с, движется после этого вдоль прямой с постоянным ускорением 2 м/с2 и направленным противоположно начальной ско-рости. Определить путь, пройденный телом за 8 с движения.

Дано: 0мV 10с

= , 2

мa 2с

= , 1t 8c= . s - ?

Решение. Движение прямолинейное равнопе-ременное. Описывается уравнения-ми:

2

0 0atr r V t2

= + +

, (1)

0V V at= +

. (1а) Начальные условия:

0x 0= , 0x 0V V= , xa a= − . Спроеци-руем (1) и (1а) на ось Х с учетом значений начальных условий получим:

2

0atx V t2

= − , (2)

x 0V V at= − . (3) Для нахождения пути проследим за движением тела. Из начальной точки тело движется замедленно, его скорость уменьшается, и в точке 2 (см. рисунок) скорость становится рав-

Рисунок 16

17

ной нулю. Затем тело движется в обратном направлении. В момент времени 1t 8c= тело находится в точке 1. Значение пути зависит от того, куда движется тело в этот момент. Если скорость его в точке 1 направлена вправо, то путь, пройденный телом к этому мо-менту равен координате точки 1, то есть 1s x= . Если же скорость тела направлен влево – это означает, что тело возвращается из точки 2 и путь, пройденный им к этому моменту равен

2 2 1 2 1s x x x 2x x= + − = −( ) . (4) Определим координату, и скорость тела в момент времени 1t 8c= :

21

1 0 1atx V t 16м2

= − = , (5)

1x 0 1мV V at 6с

= − = − . Проекция скорости тела в точке 1 отрицательна, это значит, что

тело в этот момент движется влево. Следовательно, путь определяется формулой (4). Для нахождения 2x рассмотрим момент времени 2t , когда тело находится в точке 2. Скорость тела в этот момент равна нулю. Запишем кинематические уравнения движения для этой точки:

22

2 0 2atx V t2

= − , 0 20 V at= − . Из этой системы уравнений находим:

20

2Vx2a

= . (6)

Подставим (5) и (6) в (4) получим: 2 20 1

0 1V ats V t 34мa 2

= − + = .

Ответ: 34 м. 7.4. Пущенное вверх по наклонной плоскости тело через время 10 с оказалось ниже своего первоначального

положения на расстоянии 20 м вдоль плоскости. В этот момент значение скорости тела было равным 12 м/с. Определить значение начальной скорости. {8 м/с}

7.5. По наклонной доске пустили снизу вверх небольшой шарик. В точке L, находящейся на расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1с и через 2с после начала движения. Определить ве-личину скорости шарика в точке L. {0,15 м/с}

7.6. По наклонной доске скользит вверх небольшой шарик. В точке, находящейся на расстоянии 30 см от начальной точки, шарик побывал дважды: через 1 с и 3 с после начала движения. Определить расстоя-ние от начальной до верхней точки траектории. {0,4 м}

7.7. Тело, которому была сообщена начальная скорость 5 м/с движется после этого вдоль прямой с постоян-ным ускорением 2 м/с2, направленном противоположно начальной скорости. В некоторый момент вре-мени модуль скорости тела в 3 раза больше начальной. Определить путь, пройденный телом к этому моменту. {62,5 м}

7.8. Тело, которому была сообщена начальная скорость 12 м/с, движется после этого вдоль прямой с посто-янным ускорением, направленным противоположно начальной скорости, и равным 3 м/с2. Определить путь, пройденный телом за 6 с движения. {30 м}

7.9. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью 10 м/с и постоянным ускорением 5 м/с2, направленном в сторону, противоположную начальной скорости. Определить, во сколько раз путь, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль её перемещения спустя 5 с после на-чала движения. {2,6}

7.10. Тело, которому сообщена начальная скорость 4 м/с движется вдоль прямой с постоянным ускорением 2 м/с2, направленным противоположно начальной скорости. В некоторый момент времени величина его скорости становится в 2,5 раза больше начальной скорости. Определить путь, пройденный телом к это-му моменту времени. {29 м}

Задачи с использованием графиков

Задача 8.1. Мотоциклист и велосипедист движутся по прямолинейному участку дороги навстречу друг другу со скоростями 10 м/с и 5 м/с соответственно. В начальный момент расстояние между ними

18

равно 210 м. Определить: время и место их встречи; в какие моменты времени расстояние меж-ду ними равно 120 м; пути, пройденные мотоциклистом и велосипедистом к моменту их встречи. Задачу решить аналитически и графически. Дано: V1 = 10 м/с, V2 = 5 м/с, L0 = 210 м, L2 = 120 м; xвстр - ? tвстр - ? t′ - ? t′′ - ? S1 - ? S2 - ? Решение.

Свяжем систему отсчета с землей, приняв за на-чало координат место нахождения мотоцикли-ста в начальный момент времени. Обозначим мгновенные координаты мотоциклиста и вело-сипедиста 1x и 2x соответственно; начальные координаты 01x и 02x ; проекции скоростей 1XV и

2XV . Учитывая, что

01 02 0 1X 1 2X 2x 0 x L V V V V= = = = −; ; ; и так как ускорения мотоциклиста и велосипедиста равны нулю, уравнения зависимости их координат от времени выглядят следующим обра-зом:

1 1x V t= и 2 0 2x L V t= − . (1) В момент встречи 1 2 встрx x x= = и встрt t= , т. е. 1 встр 0 2 встрV t L V t= − , откуда

0встр

1 2

L 210t 14 cV V 10 5

= = =+ +

. Подставляя полученное значение в любое уравнение (1) по-

лучим координату места встречи 1 0встр

1 2

V Lx 140 мV V

= =+

.

Определим моменты времени, в которые расстояние между мотоцикли-стом и велосипедистом равно 1L . Рас-стояние между телами равно модулю разности их координат. В нашем случае:

1 1 2 1 0 2L x x V t L V t= − = − + , это уравне-ние эквивалентно совокупности уравне-ний: 1 1 0 2L V t L V t′ ′= − + и

( )1 1 0 2L V t L V t′ ′= − − + ,

откуда 0 1

1 2

L Lt 6 cV V

−′ = =+

(соответствует

заданному расстоянию между мотоцик-листом и велосипедистом до встречи)

и 0 1

1 2

L Lt 22 cV V

+′′ = =+

(соответствует за-

данному расстоянию между мотоциклистом и велосипедистом после встречи). Определим пути 1S и 2S , пройденные мотоциклистом и велосипедистом до встречи:

1 01 1 встр

1 2

V LS V t 140 мV V

= = =+

; 2 02 2 встр

1 2

V LS V t 70 мV V

= = =+

.

Графики зависимости координат мотоциклиста и велосипедиста от времени изображены на рисунке. Эти зависимости имеют вид прямых, наклоненных к оси времени под углами соответственно 1α и 2α , причем 1 1X 1tg V Vα = = и 2 2X 2tg V Vα = = − .

8.2. Построить графики движений двух тел, описываемых уравнениями x1= -1 + 2t см и х2 = 2 + t см, в одной

системе координат и по графикам определить, через сколько времени с момента t=0 координаты этих

Рисунок 17

Рисунок 18

19

тел станут одинаковыми и какой она будет. Время t выразить в секундах, а координату х — в сантимет-рах.

8.3. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением X = 1 + 2t - 2,5t2. Определить величину ускорения тела и величину его скорости через 2 с после начала движения. {5 м/с2; 8 м/с}

8.4. Используя графики зависимости проекции скорости тела от времени vx=vx(t) (см. рис 19) построить гра-фики зависимости проекции ускорения от времени ax=ax(t) и определить путь, пройденный телом. Дви-жение прямолинейное вдоль оси X.

Ответ: а) 200 м; б) 110 м; в) 89,1 м; г) 205,5 м. Графики представлены на рисунке.

Рисунок 19

Рисунок 20

20

8.5. Используя график зависимости проекции ускорения от времени (рисунок 21) определить среднюю ско-рость движения тела, если начальная скорость в обоих случаях равна нулю. Движение прямолинейное вдоль оси X.

Ответ: а) 5,8 м/с; б) 3,5 м/с.

Движение тела под действием силы тяжести. Одним из видов равнопеременного движения является движение под действием силы тя-жести, которое, независимо от направления движения, происходит с одним и тем же уско-рением a=g , направленным вертикально вниз. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат и применяют уравнения равнопеременного движения. Замечание: при решении задач этого раздела принимать g=10м/с2 и силу сопротивления воздуха не учитывать.

Движение по вертикали.

Задача 9.1. С высоты h=4 м над поверхностью Земли бросили камень вертикально вверх с начальной

скоростью V0=10 м/с.. Определить: максимальную высоту, на которую поднимется камень, время полета камня и скорость с которой он упа-дет на Землю. Определить путь, пройденный телом. Дано: h , 0V . H - ? , 2t - ? , 2V - ? , s - ? Решение. Выберем начало оси ОХ на поверхности Земли, а саму ось направим вер-тикально вверх (рис. 22). Время отсчитываем с момента броска тела. То-гда начальная координата тела 0x = h ,проекция начальной скорости на

ось ОХ 0x 0V = V . Проекция ускорения xa = – g . Тогда проекции на ось Ох кинематического уравнения движения тела и его скорости имеют

вид:2

0gt

x = h + V t –2

, x 0V = V – gt . Определим максимальную высоту

подъема Н. В этой точке 1 (самой верхней точке траектории) скорость тела становится равной нулю. Тогда для этого момента времени 1t имеем:

21

0 1gt

H = h + V t –2

, 0 10 = V – gt . Исключив из этих уравнений 1t , полу-

чим:20V

H = h +2g

.

Рисунок 21

Рисунок 22

21

Для определения времени полета и конечной скорости рассмотрим точку 2. Координата этой точки равна нулю, а проекция скорости отрицательна: x=0 , x 2V = – V . Тогда

22–0 2

gt0=h+V t

2, 2 0 2–V =V – gt .

Из квадратного уравнения для t2

имеем два корня:2

0 02

V ± V +2ght =

g.

Поскольку время не может быть от-рицательным (отрицательное время соответствовало бы событиям, про-изошедшим до броска тела, а они нам неизвестны) выбираем такое решение

при котором 2t >02

0 02

V + V +2ght =

2.

Используя это значение, получим для скорости падения тела на Зем-

лю: 202V = V +2gh .

Графики движения тела показаны на рисунке 23. 9.2. С высокого обрыва без начальной скоро-

сти падает камень. Какую скорость он будет иметь через 3с от начала падения? {30 м/с}

9.3. В некоторый момент времени скорость падающего тела равна 6 м/с. Какой будет скорость тела через 2 с? {26 м/с}

9.4. Шарик отпустили без начальной скоро-сти с высоты 125 м. а) в какой момент времени шарик упадет на Землю? {5 с} б) в какой момент времени высота шари-ка уменьшится в 2 раза? С какой скоро-стью движется шарик на этой высоте? {3,54 c; 35,4 м/с} в) в какой момент вре-мени скорость шарика достигнет полови-ны максимальной скорости? На какой вы-соте он находится в этот момент? {2,5c; 93,75м/с}

9.5. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. Через какое время 1t высота, на которой нахо-дится шарик, будет составлять половину первоначальной высоты? С какой скоростью 1V движется ша-

рик на этой высоте? { 1t H / g= ; 1V gH= } 9.6. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. Через какое время 1t после начала движения

скорость шарика будет составлять половину его максимальной скорости? На какой высоте h он будет находиться в этот момент? { 1t H / 2g= ; h 3H / 4= }

9.7. Шарик отпустили без начальной скорости с высоты Н. На какой высоте будет находиться шарик в мо-мент времени, равный половине времени падения? Какова его скорость в этот момент? { h 3H / 4= ; 1v gH / 2= }

9.8. Тело, брошенное вертикально вверх из точки, находящейся над землей на высоте 8 м, падает на землю через 2 с после броска. С какой скоростью брошено тело? {6 м/с}

9.9. Тело брошено вертикально вверх с высоты 40 м с начальной скоростью 5 м/с. На какой высоте окажется тело через 2 с? {30 м/с}

Рисунок 23

22

9.10. С высоты 25 м тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Через сколько секунд оно упадет на землю? {4,2 c}

9.11. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на Землю через 5 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту оно поднялось? {25 м/с, 31,25 м}

9.12. С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх с поверхности земли, чтобы время от момента броска до момента падения тела на землю равнялось 3 с? {15 м/с}

9.13. С неподвижного аэростата, находящегося на высоте 1125 м, произведен вертикально вниз выстрел, причем пуля вылетела со скоростью 200 м/с. За какое время и с какой скоростью пуля достигнет Земли? {5 c, 250 м/с}

9.14. Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли. Во сколько раз скорость тела меньше первона-чальной скорости на высоте, составляющей 8/9 максимальной высоты подъема? {3}

Задача 10.1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Какой путь пройдет тело за тре-тью секунду своего движения? Дано: 0V = 25 м/с , 1t = 2 c , 2t = 3 c ; S -? Решение.

Движение прямолинейное с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения и описывается уравнениями:

2

0 0at

r = r + V t +2

, 0V=V +at

. Спроецируем их на ось ОX: 2

x0 0x

a tx=x +V t+

2, x 0x xV =V +a t . Определим начальные усло-

вия: 0 0x 0 xx = 0, V = V , a = - g . Подставляя значения начальных

условий, получим: 2

0gt

x = V t -2

, x 0V =V - gt . Отметим, что третья

секунда полета начинается в момент времени 1t = t = 2c и закан-

чивается в момент 2t = t = 3c . Значит нужно найти путь, прой-

денный телом в промежуток времени от 1t до 2t . В момент

1t = t тело будет находиться в точке с координатой 1x = x , а в

момент 2t = t в точке с координатой 2x = x . Определим коорди-

наты 1x и 2x : 21

1 0 1gt

x = V t - =302

м , 22

2 0 2gt

x = V t - =302

м .

Как видно координаты этих точек равны друг другу. То есть это одна точка, в которой те-ло находилось дважды: сначала, двигаясь вверх (в момент 1t ) затем двигаясь вниз (в мо-

мент 2t ). При этом в некоторый момент 3t тело находилось в наивысшей точке траекто-

рии с координатой 3x . Таким образом, путь, пройденный телом за третью секунду движе-

ния, будет равен: ( ) 3 1s = 2 x - x . Координату x3 определим, рассмотрев точку 3 (скорость в

этой точке равна нулю): 3t = t , 3x = x , xV = 0 . Для точки 3 имеем: 23

3 0 3gt

x = V t -2

, 0 30=V -gt .

Найдя 03

Vt =

g, получим:

20

3V

x =2g

и значение пути: 2 20 1

0 1V gtS = 2 - V t + =2,5 м2g 2

.

Ответ: 2,5 м. Задача 10.2.

Рисунок 24

23

Тело падает на Землю с некоторой высоты без начальной скорости. Первую половину пути тело двигалось со средней скоростью 12,5 м/с. С какой высоты падало тело? С ка-кой скоростью тело падает на Землю? Определить среднюю скорость на всем пути движения тела. Дано: ср1V = 12,5 /см . H-? 2V - ? срV - ? Решение.

Движение прямолинейное равнопеременное. Описывается уравнениями

0 0

2atr = r + V t +

2

, 0V=V +at

. Спроецируем эти уравнения на ось ОХ, кото-

рую выберем вертикально вверх, а начало ее на поверхности Земли (см. рис.), получим:

0x

0x

2a tx=x + V t +

2, 0xx xV =V +a t . Начальные условия:

0 0x xx = H, V = 0, a = – g .

Таким образом, кинематические уравнения движения тела имеют вид: 2gt

x=H –2

, V = – gtx . Условием задачи задана средняя скорость движе-

ния тела на первой половине пути, то есть от начальной точки с координа-

той x = H до точки 1 с координатой Hx =

2. Рассмотрим точку 1: в этой

точке тело находится в момент времени 1t = t , имеет координату Hx =

2.

Поэтому для этой точки имеем: 12H gt

= H - 2 2

.

Средняя скорость на каком-либо участке пути равна по определению: пол

полcpS

V = t

.

В нашем случае: пол

HS =

2,

пол 1t = t . Таким образом:

ср1 1

HV =

2tи

1 ср1

Ht =

2V. Используя эти

выражения, получим искомую высоту: ср124V

H= = 62,5 мg

. Для нахождения скорости в мо-

мент падения на Землю рассмотрим точку 2. Этому соответствует момент времени 1t = t ,

координата x = 0 , скорость x 2V = – V . Подставив эти значения в уравнения движения, по-

лучим для точки 2: 22gt

0=H –2

, 2x 2V = – gt . Соответственно, 22Ht =g

и 2x

V -35,36 м/c≈ .

Знак «минус» означает, что скорость в точке 2 направлена вниз. Определим среднюю ско-рость на всем пути. Полный путь тела

полS = H , полное время движения

пол 2t = t и, следо-

вательно, ср ср12

H gHV = = = V 2 17,68 м/ct 2

≈ .

Обратите внимание: средняя скорость на разных участках одного движения разная. Ответ: 62,5 м, 35,36 м/с, 17,68 м/с.

10.3. Падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело? {31,25 м}

10.4. Падающее с некоторой высоты без начальной скорости тело прошло последние 25 м пути за 1 с. Найти высоту, с которой падало тело. {45 м}

Рисунок 25

24

10.5. Падающее без начальной скорости тело за последнюю секунду своего движения пролетело половину всего пути. Найти время полета и высоту, с которой упало тело. {3,5 с, 6,25 м}

10.6. Тело падает без начальной скорости с высоты 80 м. Какой путь оно пройдет в последнюю секунду падения? {35 м}

10.7. Тело падает с высоты 500 м без начальной скорости. Какое расстояние тело пройдет за последнюю секунду своего падения? {95 м}

10.8. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой высоты, прошло последние 30 м за время равное 0,5 с. Определить высоту, с которой начало падать тело, и время падения. {195,31 м}

10.9. Груз падает с некоторой высоты без начальной скорости. За 5 с до падения на Землю величина его скорости равна 150 м/с. С какой высоты падал груз? {2000 м}

10.10. Тело начало падать с высоты H без начальной скорости. В некоторый момент времени падающее тело находилось на высоте 1100 м, а спустя 10 с после этого – на высоте 120 м над поверхностью Земли. С какой высоты H падало тело? {1215,2 м}

10.11. Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, за время τ после начала движения про-ходит расстояние в пять раз меньшее, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти

высоту H, с которой падало тело. { ( )( )2H g 11 21 / 25= τ + }

10.12. Определить, на сколько метров путь, пройденный падающим без начальной скорости телом, в течении десятой секунды, больше пути, пройденного телом в течении предыдущей секунды. Начальная ско-рость тела равна нулю. {10 м}

10.13. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое? {45 м}

10.14. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 50 м/с. Каков модуль полного перемещения и путь, пройденный телом по истечении 10 с от начала движения? {0; 250 м}

10.15. Камень, брошенный вертикально вверх, дважды был на одной и той же высоте — спустя 0,8 и 1,5 с после начала движения. Чему равна эта высота? {6 м}

10.16. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 21 м/с. Определить время между моментами прохождения телом половины максимальной высоты. {3 c}

10.17. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Некоторую точку тело проходит дважды с ин-тервалом времени 2 с. Определить высоту этой точки. {40 м}

10.18. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду своего движения? {2,5 м}

10.19. С балкона бросают камень вертикально вверх. Через 1 с камень оказывается на максимальной высоте, а еще через 3 с камень падает на Землю. На какой высоте находится балкон. {40 м}

10.20. С балкона высотой 25 м тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Какой путь пройдет тело к моменту падения на Землю? {47,5 м}

10.21. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Найдите путь, пройденный телом за 4 с от начала движения. {50 м}

10.22. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдите путь, пройденный телом за 3 с от начала движения. {25 м}

10.23. Тело, падая без начальной скорости, достигает Земли за 4с. За какое время оно достигло бы Земли, если его бросить с той же высоты вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с? {8 с}

10.24. С вертолета, находящегося на высоте 300 м выпал груз. Через какое время груз достигнет Земли, если вертолет поднимается со скоростью 5 м/с. {8,3 c}

Криволинейное движение тела под действием силы тяжести.

Задача 11.1. Тело бросили с высоты h , сообщив ему скорость V0 в горизонтальном направлении. Оп-ределить величину скорости и угол, под которым она направлена к горизонту в момент времени, равный половине времени падения тела на землю. Дано: h, V0, tA = 0,5⋅tпад . VA- ?, β-?. Решение. Тело движется с постоянным ускорением – ускорением свободного падения. Запишем за-

висимость радиус вектора тела и его скорости от времени: 2at

r=r +V t+0 0 2

, V=V +at0

. Для

описания движения тела брошенного горизонтально в поле силы тяжести Земли необхо-

25

димо ввести две оси координат в проекциях на эти оси уравнения движения имеют вид: 2a txx = x +V t +0 0x 2

,2a ty

y = y +V t +0 0y 2, V =V + a tx 0x x y 0y yV =V + a t .

Начальные условия для этого случая:

0 0 0x 0 0Y Yx = 0; y = h; V = V ; V = 0; a = 0; a = – gx . Подставляя начальные условия в уравнения движения получим

0x=V t , 2gt

y=h –2

, 0V = Vx , YV = – gt . Сначала оп-

ределим момент времени падения падt . Для этого

рассмотрим точку с координатой y = 0 . Для этой

точки имеем соотношение: пад2gt

0=h –2

, откуда

пад2ht =g

. Теперь рассмотрим точку A, в которой

находится тело в момент времени падtt =

2. Необ-

ходимо определить величину скорости AV и ее направление в пространстве в этот момент

времени (угол β ). Запишем для этого момента соотношения: Ax 0V =V , падAy

tV = – g

2⋅ . То-

гда: 2 2

пад2 2 2Ax Ay 0A

g tV = V +V = V +

4, Ay пад

Ax 0

V gttgβ= = –

V 2V.

Ответ: gh2V = V +0A 2, 2ghα=arctg –

2V0

.

Задача 11.2. Тело бросили горизонтально с высоты h=100 м с начальной скоростью 5 м/с. Записать уравнение траектории движения тела. Определить дальность полета. Решение.

Зависимости координат брошенного тела от време-ни, с учетом начальных условий (см. предыдущую задачу), имеют вид:

0x = V t , 2gt

y=h –2

.

Исключая из этих уравнений время (выразив t из первого уравнения и подставив во второе) получим зависимость координаты y от координаты x:

2

20

gxy h2V

= − . Это и есть уравнение траектории.

Подставив числа получим: 2y 100 0,2 x= − ⋅ . При y 0= , x L= , где L - дальность полета тела.

Подставляя значения координат в уравнение траектории получим: 0L V 2h g= = 22,4 м. Ответ: 2y 100 0,2 x= − ⋅ ; 22,4 м.

Рисунок 26

Рисунок 27

26

11.3. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 м/с, на высоте 500 м сброшен груз без

начальной скорости относительно вертолета. На каком расстоянии по горизонтали от места выброса упадет груз? Сколько времени он будет падать? {400 м; 10 c}

11.4. Камень, брошенный горизонтально со скоростью 15 м/с, упал на землю со скоростью 25 м/с. Сколько времени длился полет камня? {2c}

11.5. С вышки брошен камень в горизонтальном направлении. Через 2с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня. {20 м/с; 28,3 м/с}

11.6. Камень бросили горизонтально с балкона, и через 4 с он упал на Землю на расстоянии 10 м от балкона (по горизонтали). С какой скоростью брошен камень? {2,5 м/с}

11.7. Пуля вылетает из горизонтально расположенного ружья со скоростью 300 м/с. На каком расстоянии от места выстрела упадет пуля, если высота ружья над поверхностью Земли равна 1,2 м? {147 м}

11.8. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 5 м/с, равна высоте, с которой его бросили. Чему равна эта высота? {5 м}

11.9. Из окна, расположенного на высоте 5 м от земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоя-нии 8 м от дома. С какой скоростью был брошен камень? {8 м/с}

11.10. Тело, брошенное горизонтально со скоростью 20 м/с упало на землю через 3 с. На каком расстоянии от точки броска произойдет падение? {75 м}

11.11. Летящий на высоте 180м со скоростью 100м/с самолёт сбрасывает груз на палубу корабля, идущего в том же направлении со скоростью 36км/ч. Каким должно быть расстояние (по горизонтали) между са-молетом и кораблём, чтобы груз попал на палубу корабля? {540м}

11.12. Тело бросили горизонтально со скоростью 40 м/с с некоторой высоты. Определить величину и направ-ление его скорости через три секунды. {50м/c; arctg(-0,75)= -370}

11.13. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 м/с, на высоте 500 м сброшен груз без начальной скорости относительно вертолета. С какой скоростью, и под каким углом к горизонту груз упадет на Землю? {108 м/с; -680}

11.14. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Найти угол между вектором скорости и горизонтом в момент падения. {arctg(-0,5)=-26,60}

11.15. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 м/с. Определить эту высоту, если относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 300. {3,75 м}

11.16. Тело брошено горизонтально с высоты 20м с некоторой скоростью V0. Найти эту скорость, если из-вестно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 450. {20 м/с}

11.17. Два камня брошенные горизонтально с разных высот упали в одну точку. Во сколько раз отличаются начальные скорости камней, если высоты, с которых бросали камни, отличаются в 4 раза. Камни бро-сают из точек, лежащих на одной вертикали. {16}

11.18. На каком расстоянии друг от друга упали на землю камни, брошенные в одном направлении из точки, находящейся на высоте 125 м, с горизонтальными скоростями, отличающимися на 16 м/с. {80 м}

11.19. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении, равна половине высоты, с которой брошено тело. Определить угол, который образует с горизонтом скорость тела при его падении на зем-лю? {-760}

11.20. С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м со скоростью 180 км/час, выпал груз. На какой высоте скорость груза будет составлять с горизонтом угол 600? {125 м}

11.21. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты H со скоростью 10 м/с. Определить эту высоту, если на высоте 10 м скорость тела составляла с горизонтом угол 600. {25 м}

11.22. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 м/с, на высоте 500 м сброшен груз без начальной скорости относительно вертолета. Через какое время после выброса его скорость составляла с горизонтом угол 450? {4 c}

11.23. Тело брошено горизонтально с высоты 40 м с некоторой скоростью V0. Найти эту скорость, если на высоте 20 м скорость тела составляла с горизонтом угол 450. {20 м/с}

11.24. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 10 м/с. Написать уравнение траектории движения тела, если известно, что на высоте 10 м скорость тела составляла с горизонтом угол 600. {y = 25 – 0,05.x2 }

11.25. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 м/с. Написать уравнение траектории движения тела, если известно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 300. {y = 3,75 – 0,022.x2}

11.26. Дано уравнение движения тела, брошенного горизонтально: y = 25-0,05.x2. Определить, под каким углом к горизонту направлена скорость тела на высоте 10м. {-600}

11.27. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 м/с. Написать уравнение траектории движения тела в виде y=f(x), если известно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 300. {y = 3,75 – 0,022·x2}

27

11.28. Написать уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально, которое через 4 с упало на расстоянии 100 м от места броска. {y = 80 – 0,022·x2}

11.29. Тело брошено горизонтально с высоты 45 м. В некоторый момент времени скорость составляла с гори-зонтом угол 300, а через 1 с скорость составила с горизонтом угол 600. Под каким углом к горизонту тело упадет на землю? {-740}

Задача 12.1. Определить максимальную высоту и дальность полета тела, брошенного с высоты 20 м от поверхности Земли под углом 600 к горизонту. Начальная скорость тела 30 м/с.

Дано: 0h=20 м, V =30 м/с, α=60 ; H-? L-?0 Решение.

Кинематические уравнения для движения с постоянным ускорением: 2

0 0atr r V t2

= + +

,

0V=V +at

. Спроецируем эти уравнения на оси координат :

x0 0x

2a tx = x + V t +

2, y

0 0y

2a ty = y + V t +

2, x 0x xV =V + a t , Y 0Y YV = V + a t

Начальные условия для данной ситуации:

0 0x = 0; y = h ; 0x 0V =V cosα ; 0y 0V =V sinα ;

a = 0; a = – gx y ;

С учетом начальных условий:

0x = V cosα t⋅ , 2

0gty h V sin t2

= + α ⋅ − ,

0V =V cosαx , y 0V =V sinα-gt . Траекторией

движения тела является парабола (рисунок 28). В верхней точке параболы касательная к ней горизонтальна (параллельна оси ОX). Мгновенная скорость тела направлена по

касательной к траектории движения, следовательно, в верхней точке мгновенная скорость параллельна оси ОX. Пусть в момент времени Ht = t тело находится в точке с координатой

y = H . В этой точке проекция на ось Y вектора мгновенной скорости YV =0 и уравнения

движения для этой точки имеют вид: HH0

2gtH = h + V sinα t –

2⋅ , H0=V sinα-gt0 . Откуда

получаем: H0V sinα

t =2g

и 02 2V sin α

H = h +2g

. Для определения дальности полета рассмотрим

точку с координатами x=L; y=0 . Для этой точки уравнения движения будут выглядеть

следующим образом: LL=V cosα t0 ⋅ и 2L

Lgt

0=h+V sinα t -0 2⋅ , где Lt - момент времени, в

который тело находится в рассматриваемой точке (то есть время полета тела). Решая

последнее уравнение имеем два корня: L1,2

2 2V sinα ± V sin α+2gh0 0t =g

, из которых

Рисунок 28

28

физический смысл имеет только положительный. Таким образом окончательно получаем:

L

2 2V sinα+ V sin α+2gh0 0t =g

и

0 0 02 2V cosα V sinα+ V sin α+2gh

L = g

.

Подставляя числа получим: H=42,5 м , L 104 .≈ м Ответ: 42,5 м, 104 м. Задача 12.2. Тело брошено вверх под углом α к горизонту с начальной скоростью V0 . Вывести урав-нение траектории движения тела и нарисовать ее для двух случаев: 1) тело брошено с поверхности Земли; 2) тело брошено с высоты h над землей. Дано: 0V , α, h; y = y(x) . Решение.

Движение тела будет происходить в вертикаль-ной плоскости (перпендикулярной поверхности Земли). Для описания такого движения выберем систему координат следующим образом: ось ОX направим горизонтально вдоль поверхности зем-ли, ось ОY вертикально вверх. Начало системы координат выберем на поверхности земли. Мы будем искать уравнение траектории в виде зави-симости координаты y от координаты x , то есть будем искать функцию вида y y(x)= . Любое движение в поле силы тяжести земли (независи-мо от направления движения) является движени-ем с постоянным ускорением – ускорением сво-

бодного падения. Запишем зависимость радиус вектора тела от времени:

0 0

2atr = r +V t +

2

и спроецируем его на оси координат:

2a txx = x + V t +0 0x 2и 0

y0y

2a ty = y + V t +

2. Преобразуем эти уравнения для случая, когда

бросают с поверхности Земли, определив начальные условия: x = 0; y = 00 0 ; V = V cosα0x 0 ; V = V sinα0y 0 ; a = 0; a = – gx y ;

Подставляя начальные условия, получаем уравнения: 0x = V cosα t⋅ , 0

2gty = V sinα t –

2⋅ .

Эти уравнения определяют траекторию движения тела в параметрической форме. Исклю-

чив из них переменную 0

xt =

V cosα, получим явную зависимость координаты y от коор-

динаты x :

0

g 2y = – x + tgα x2 22V cos α⋅ . Это уравнение является уравнением параболы, проходящей

через начало координат, ветви которой направлены вниз (коэффициент при 2x отрица-тельный). Парабола изображена на рисунке 29, где показаны также максимальная высота полета (точка y = H – вершина параболы) и дальность полета (точка x = L, y = 0 ).

Рисунок 29

29

Рассмотрим второй случай, когда тело бросают с высоты h . В этом случае начальные ус-ловия имеют вид: 0 0x = 0; y = h ; 0xV =V cosα0 ; 0y 0V =V sinα ; x ya = 0; a = – g ;

Получим: 0x=V cosα t⋅ ,

0

2gty=h + V sinα t –

2⋅ . Исключая время

получим уравнение траектории: 2gy = – x + tgα x + h2 22V cos α0

⋅ . Это урав-

нение параболы, которая пересекает ось Y в точке y = h (см. рис 30).

Замечание. При α=0 2 2

0

gy = – x + h2V

.

Этот случай соответствует броску с высоты в горизонтальном направлении.

Траектория представляет собой параболу с вершиной в начальной точке.

12.3. Тело брошено с поверхности Земли под углом 300 к горизонту. Полное время полета оказалось рав-ным 2 с. Найти начальную скорость тела. {20м/с}

12.4. Диск, брошенный с поверхности Земли под углом 450 к горизонту, достиг наибольшей высоты 15м. Какова наибольшая дальность полета диска? {60 м}

12.5. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 20 с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд. {500 м}

12.6. Камень, брошенный с поверхности Земли под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 20 м. Найдите время полета камня. {4 с}

12.7. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить угол, под кото-рым бросили тело, и начальную скорость, если известно, что в наивысшей точке траектории, нахо-дящейся на высоте 5 м, тело имело скорость 10м/с. {14,14 м/с; 450}

12.8. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить угол, под кото-рым тело упало на Землю, если известно, что в наивысшей точке траектории, находящейся на высо-те 3,75 м, тело имело скорость 5 м/с. {-600}

12.9. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить дальность полё-та тела, если известно, что в наивысшей точке траектории, находящейся на высоте 20 м, тело имело скорость 4 м/с. {16м}

12.10. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Через какое время оно окажется на высоте, равной половине максимальной? {0,21 c; 1,21 c}

12.11. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью10 м/с.Чему равны даль-ность и высота полета камня, если его максимальная скорость во время полета вдвое больше мини-мальной скорости? {8,7 м; 3,75 м}

12.12. Камень брошен с поверхности Земли под углом α к горизонту. Найти отношение дальности полета к максимальной высоте подъема, если sinα = 0,8. {3}

12.13. Дальность полета тела равна максимальной высоте его подъема над поверхностью Земли. Под ка-ким углом брошено тело с поверхности Земли? {760}

12.14. Камень брошен с поверхности Земли под углом 530 к горизонту. Найти отношение максимальной высоты подъема к дальности полета. {0,33}

12.15. Небольшое тело бросают с поверхности Земли со скоростью 100м/с под углом 600 к горизонту. Че-рез какое время скорость тела будет составлять угол 300 с горизонтом? {5,8с}

12.16. Лягушка прыгает под некоторым углом к горизонту и через 0,6 с приземляется на расстоянии 80 см от места прыжка. Определить скорость лягушки в момент прыжка. {3,28 м/с}

12.17. Какую минимальную скорость мальчик должен сообщить мячу, чтобы перебросить его на другой берег реки шириной 12 м. {11 м/с}

12.18. Под каким углом к горизонту брошено тело с поверхности земли, если начальная точка, наивысшая точка траектории и точка падения на землю образуют равносторонний треугольник. {740}

12.19. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Написать урав-нение траектории его движения. {y = -0,2x2 +1,7x}

Рисунок 30

30

12.20. Из одной и той же точки с поверхности земли одновременно бросили два тела. Первое бросили вер-тикально вверх со скоростью 6 м/с, второе – под углом 30º к горизонту с такой же по модулю ско-ростью. Найти расстояние между телами через 0,2 с. {1,2 м}

12.21. С высоты 2 м под углом 450 к горизонту брошен камень, который падает на землю на расстоянии 43 м по горизонтали от места бросания. Найти время полёта камня? {3с}

Движение двух тел.

Задача 13.1. Тело бросают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Од-новременно с высоты 50 м над поверхностью Земли бросают второе тело вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Определить время и место их встречи.

01v =20 м/c , h=50 м ,

02v =5 м/с .

встречи встречиt - ?, h − ?

Решение. Уравнения движения тел, с учетом начальных условий имеют вид (ось ОX направим верти-кально вверх, начало оси – на поверхности Зем-ли):

Для первого тела: 2

01gtx V t2

= − , для второго

2

02gtx h V t2

= − − .

В момент встречи встречиt t= координаты тел ста-новятся одинаковыми:

2 2встречи встречи

01 встречи 02 встречи

gt gtV t h V t

2 2− = − − . Из

этого уравнения найдем момент встречи

встречи01 02

ht 2 cV V

= =+

. Подставляя встречиt в одно

из уравнений движения, получим координату места встречи:

( )( )

201 02 01

встречи 201 02

2 V V V ghx 20м

2 V V

+ −= =

+.

Ответ: 2 с; 20 м. Задача 13.2. Два тела бросили вертикально вверх с одинаковой скоростью 20 м/с через 1 с одно после другого. Определить где и когда они встретятся. Дано: 0V =20 м/с, τ = 1 с; встречиx ?− ; встречиt ?−

Решение. Здесь главное правильно составить кинематические уравнения движения. Направим ось координат ОХ вверх, а начало оси координат расположим на поверхности Земли. Тогда, с учетом начальных условий, кинематические уравнения имеют вид: для

первого тела:0

2gtx =v t –1 2

, для второго тела:0

2gt'x =v t' –2 2

.

В первом уравнении t – время, показываемое часами, которые запущены в момент броска первого тела. Во втором уравнении t' – время, которое показывают часы, запущенные од-новременно со вторым телом. Для решения задачи нужно выбрать какие-то одни часы, например, первые. Для этого запишем связь между показаниями первых и вторых часов.

Рисунок 31

31

Второе тело брошено через время τ после броска первого тела. Это значит, что в момент броска второго тела вторые часы показывали момент времени t' = 0 , а первые часы в этот момент показали момент времени t = τ = 1 c . Очевидно, вторые часы всегда будут отста-вать от первых на τ = 1 c , так, что можно записать: t' = t – τ . Учитывая это, уравнения

движения будет иметь вид: 0

2gtx =v t –1 2

и ( ) ( )0

2g t–x =v t– –2 2

ττ при t ≥ τ . Теперь от-

счет времени t ведется от момента броска первого тела. Встреча двух тел означает, что их координаты становятся равными в один и тот же момент времени. Обозначим этот момент времени

встречиt = t , а координату тел в момент встречи

встречиx = x = x1 2 . Тогда:

встречи

встречи 0 встречи

2gtx = v t –

2,

( ) ( )встречивстречивстречи 0

2g t – τx = v t –τ –

2.

Приравняв, имеем:

( ) ( )встречивстречивстречи0 встречи 0

22 g t –τgtv t = v t –τ

2 2− −

. Из последнего уравнения находим

встречи

V τot = + =2,5 cg 2

. После чего найдем

встречи

2 2V gτ0x = =18,25 м2g 8

− .

Графики движения тел изображены на рис. 32. Ответ: 2,5 с; 18,25 м. Задача 13.3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V01 = 15 м/с. Через 1 с верти-кально вверх бросают второе тело. Какую начальную скорость V02 нужно сообщить второму телу, чтобы оба тела упали на Землю одновременно. Дано: V01 = 15 м/с, τ = 1 с; V02 - ? Решение.

Кинематические уравнения движения тел имеют вид (см. рис 33):

01

2gtx =v t –1 2

и ( ) ( )02

2g t–x = v t–2 2

ττ − .Начало отсчета времени совпа-

дает с моментом броска первого тела. По условию задачи оба тела пада-ют на Землю в один и тот же момент времени

паденияt = t . Координаты тел

в этот момент равны нулю. Поэтому для момента падения кинематиче-ские уравнения движения будут иметь вид:

падения

01 падения

2gt0 = v t

2− , ( ) ( )падения

падения02

2g t – τ0 = v t – τ

2− . Приравнивая

правые части уравнений, получим:

Рисунок 32

Рисунок 33

32

0102

2v – gτv = = 10 м/с

2. Причем тела упадут на Землю в момент 01

падения

2vt =

g, то есть через

3 с после броска первого тела. На рисунке 34 показаны графики движения обоих тел. Ответ: 10 м/с.

Задача 13.4. С высоты начинает падать без начальной скорости тело. Одновременно с ним с поверх-ности Земли под углом α бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в возду-хе. Расстояние по горизонтали между точками бросания равно L. Показать, что угол α не зависит от начальной скорости V0 второго тела, и определить этот угол, если H = 3L

.

Решение: Напишем уравнения движения обоих тел в проекциях на оси ОХ и ОY:

Для первого тела: 1 0x = v cosα t⋅ ; 2

1 0gty =v sinα t-2

⋅ .

Для второго тела 2x L= ; 2

2gty =H-2

. В момент встречи

встрt = t координаты положения тел равны друг другу, т.е. х1 = х2 и y1 = y2. Следовательно: 0 встрL=v cosα t ⋅ и

2 2встр встр

0 встр

gt gtv sinα t - =H-

2 2⋅ . Получив встр

0

Lt =v cosα

,

имеем 00

Lv sinα =Hv cosα

⋅ . Или Htgα=L

. Из этого следует,

что угол бросания не зависит от начальной скорости второго тела. Окончательно tgα= 3 ; α =600. Ответ: 600

Рисунок 34

Рисунок 35

33

13.5. Два тела свободно падают с разных высот и достигают Земли одновременно. Время падения перво-

го тела 2 с, второго 1 с. Найти разность начальных высот падения первого и второго тел. Начальные скорости тел равны нулю. {15 м}

13.6. Движение двух материальных точек задано уравнениями X1= 25 + 2t – 4t2 и Х2 = 60 + 2t +0,5t2. В какой момент времени скорости этих тел будут одинаковыми? {0 c}

13.7. По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномер-но со скоростью 5 м/с, а другое равноускоренно без начальной скорости с ускорением 2 м/с2. Через какое время второе тело догонит первое? {5 c}

13.8. Два камня находятся на одной вертикали на расстоянии 20 м друг от друга. В некоторый момент времени верхний камень бросают вертикально вниз со скоростью 2 м/с, а нижний камень отпускают без начальной скорости. Через какое время камни столкнутся? Какой путь пройдет к этому моменту каждый камень? {10 c; 520 м; 500 м}

13.9. С башни высотой 20 м одновременно бросают два шарика: один вертикально вверх со скоростью 15 м/с, другой вертикально вниз со скоростью 5 м/с. Каков интервал времени, отделяющий моменты падения шариков на Землю? {2,45 с}

13.10. Из двух точек, находящихся на одной вертикали на расстоянии 50 м, бросили одновременно на-встречу друг другу два тела с одинаковой скоростью 5 м/с. Определить, через какое время и на ка-ком расстоянии от верхней точки тела столкнутся. {5 c, 150 м}

13.11. Тело свободно падает с высоты 45 м. Одновременно с высоты 75 м бросили второе тело. Какова на-чальная скорость второго тела, если оба тела достигли земли одновременно? {10 м/с}

13.12. С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально вниз тело с высоты 20 м, чтобы оно упа-ло на землю на 1 с быстрее тела, падающего с той же высоты без начальной скорости? {15 м/с}

13.13. Два тела брошены одновременно, одно – вертикально вверх с высоты 20 м и с начальной скоростью 20 м/с, а другое – вертикально вниз с высоты 120 м и начальной скоростью 20 м/с. Через сколько времени после начала движения встретятся эти тела? {2,5 с}

13.14. Из точки, расположенной на большой высоте от поверхности земли. одновременно бросают два те-ла с одинаковой скоростью 20 м/с, первое вертикально вниз, второе вертикально вверх. Через какое время после броска тела будут находиться на расстоянии 200 м друг от друга? {5 c}

13.15. Первое тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. В тот же момент с той же по величине начальной скоростью вертикально вниз из точки, соответствующей наивысшей точке траектории полета первого тела, брошено второе тело. На какой высоте от по-верхности земли встретятся тела? {55 см}

13.16. С крыши с интервалом времени в 1 с падают одна за другой две капли. Определить расстояние ме-жду каплями через 2 с после начала падения второй капли. {25 м}

13.17. Стоя на краю скалы высотой 180 м над землей, мальчик выронил камень. Вслед за этим через 1 с он уже бросил второй камень вертикально вниз с некоторой начальной скоростью. Определить эту скорость, если оба камня упали на землю одновременно. {31 м/с}

13.18. Два шарика брошены из одной точки с одинаковыми начальными скоростями, равными 5 м/с, вер-тикально вверх с интервалом времени 0,5 с один после другого. Через какое время после вылета первого шарика, они встретятся в полете? Сопротивлением воздуха пренебречь. {0,75 с}

13.19. Аэростат опускается вертикально вниз с постоянной скоростью 10 м/с. Из аэростата бросают ка-мень вертикально вверх со скоростью 2 м/с относительно земли. Найти максимальное расстояние между камнем и аэростатом в процессе движения. {7,2 м/с}

13.20. Из аэростата, опускающегося равномерно вниз со скоростью 5 м/с, в момент нахождения его на вы-соте 100 м над поверхностью Земли бросили вертикально вниз небольшое тело со скоростью 10 м/с относительно аэростата. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и аэро-стата? {16,8 м}

13.21. Из аэростата, опускающегося равномерно вниз со скоростью 5 м/с, бросили вертикально вверх не-большое тело со скоростью 10 м/с относительно аэростата. Через какое время после броска тело и аэростат вновь окажутся на одной высоте? {2 c}

13.22. Аэростат опускается равномерно вниз со скоростью 5 м/с. В какой-то момент из него подбрасывают вертикально вверх небольшое тело с начальной скоростью 30 м/с относительно аэростата. Какое расстояние окажется между телом и аэростатом в момент нахождения тела в наивысшей точке сво-ей траектории? {43,75 м}

13.23. Аэростат начинает подниматься с земли равноускоренно вертикально вверх и за 10 с достигает вы-соты 200 м. Через 5 с после старта из аэростата выпадает камень без начальной скорости относи-тельно него. Какой максимальной высоты достигнет камень? Каким будет расстояние между аэро-статом и камнем в момент его падения на землю? {70 м; 231 м}

13.24. Тело с начальной скоростью 20 м/с и ускорением 0,2 м/с2 начинает двигаться из точки А по прямой в точку В, отстоящую от А на расстоянии 3,46 км. Через 20 с из точки В в точку А начинает равно-ускоренно двигаться другое тело с начальной скоростью 7 м/с. Через 100 с после начала движения

34

первого тела они встретились. Найти ускорение второго тела и его скорость в момент встречи. {0,03125 м/с2; 4,5 м/с}

Последовательные этапы движения с различными ускорениями. Задача 14.1. Двигатель ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх, сообщает ей по-стоянное ускорение равное 10 м/с2. В течении какого минимального времени должен про-работать двигатель, чтобы ракета достигла максимальной высоты 250 м? Дано: 2a 10 м с= / H = 250 м , mint -?

Решение. Движение ракеты состоит из двух этапов. Первый – это движение с ускорением a при работающем двигателе (на рисунке слева). Как только двигатель выключается, ускорение ракеты становится рав-ным ускорению свободного падения, поэтому второй этап – дви-жение с ускорением свободного падения g (на рисунке справа). При этом ракета еще некоторое время продолжает подниматься до максимальной высоты H , а затем падает. На каждом этапе движение ракеты – равноускоренное, поэтому

описывается уравнениями: 0 0

2atr = r + V t +

2

, 0V = V + at

,которые

будучи спроецированными на ось ОХ имеют вид:

0x

0x

2a tx = x + V t +

2; 0xx xV = V + a t .

Рассмотрим первый этап движения ракеты. Начальные условия для этого этапа:

0 0 xx = 0, V = 0, a = a . С уче-

том этих условий уравнения движения для первого этапа имеют вид: 2at

x = 2

, x

V =at .

Пусть двигатели выключаются в неко-торый момент времени

1t . К этому мо-

менту ракета поднимается на высоту h и приобретает скорость 1V . Рассмат-

ривая точку 1, получим: 12at

h=2

и

1 1V = at . Эти значения будут являться

начальными для следующего этапа движения – с ускорением свободного падения. Рассмотрим второй этап движения ра-кеты (начало отсчета времени для этого этапа выберем в точке 1). Начальные

условия: 10

2atx = h =

2,

0 1 1V = V = at . Учи-

тывая это, получим кинематические уравнения для второго этапа движения

1

2 Рисунок 36

Рисунок 37

35

ракеты (с выключенным двигателем): 11

2 2at gtx= + at t –

2 2,

1xV =at – g t . Минимальность

времени работы двигателя (1 min

t = t ) означает, что высота H = 250 м является для ракеты максимальной (скорость ракеты на этой высоте равна нулю). Если время работы двигателя будет меньше искомого

mint , то ракета не долетит до высоты H . Поэтому для точки

2:2

t = t , x = H , X

V = 0 . Уравнения движения для этой точки имеют вид:

min 2min 2

2 2at gtH = + at t –

2 2,

min 20 = at – gt . Выражая

2t , имеем

min2

att =

g. Используя это значение, получим: min

2at aH= 1+2 g

, откуда min

2Ht = = 5 caa 1+g

.

График зависимости координаты ракеты от времени показан на рисунке 37 (красная линия – подъем с ускорением a при работающих двигателях, зеленая – движение под действием силы тяжести, когда двигатели не работают). Ответ: 5 с. 14.2. Тело двигалось 20 с равномерно, затем в течении 20 с равноускоренно. Определить скорость равно-

мерного движения, если путь за все время движения равен 275 м, а скорость за второй промежуток времени удвоилась. {5,5 м/с}

14.3. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и проходит путь 120 м. Первые 80 м он движется равноускоренно, а оставшиеся 40 м – равномерно и проходит их за 2 с. Какова средняя скорость дви-жения автомобиля на всем пути? {12 м/с}

14.4. Автомобиль начинает двигаться с места и двигаясь равноускоренно за 10 с развивает скорость 20 м/с. Далее он движется равномерно и прямолинейно в течении 5 с. Затем автомобиль тормозит в течении 5 с до полной остановки. Определить путь, пройденный автомобилем. {250 м}

14.5. Тело движется с постоянной скоростью 3 м/с в течение 5 с, после чего начинает двигаться равноуско-ренно с ускорением 0,2 м/с2. Чему будет равна его скорость через 15 с от начала движения и какой путь пройдет тело за это время. {5 м/с; 55 м}

14.6. Тело, двигаясь прямолинейно с ускорением 3 м/с2 достигло скорости 15 м/с, а затем двигаясь 25 с равнозамедленно с некоторым ускорением, остановилось. Определить путь, пройденный телом за все время движения. Начальная скорость равна нулю. {225 м}

14.7. Мальчик, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, съехал на санках с горы длиной 50 м за 10 с, а затем проехал по горизонтальному участку ещё 25 м до остановки. Найдите ускорение мальчика на втором участке движения. {2 м/с2}

14.8. Парашютист прыгает с самолёта. Первые 2 с он свободно падает, а затем 20 с опускается с постоян-ной скоростью до земли. С какой высоты прыгал парашютист? {420 м}

14.9. Двигатель ракеты, взлетевшей вертикально вверх работал в течение 20 с. Ракета, продолжая двигаться еще некоторое время, достигла максимальной высоты 1,5 км. Найти ускорение ракеты во время рабо-ты двигателей. {5 м/с2}

14.10. Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх с поверхности земли работали в течение 10 с и со-общали ракете постоянное ускорение 30 м/с2. Какой максимальной высоты над поверхностью земли достигнет ракета после выключения двигателей? {6000 м}

14.11. В течение 20 с ракета поднимается с постоянным ускорением 0,8g, после чего двигатели ракеты вы-ключаются. Через какое время после этого ракета упадет на землю? {44 с}

14.12. Тело начинает двигаться вдоль прямой без начальной скорости с постоянным ускорением. Через 30 секунд ускорение тела меняется по направлению на противоположное, оставаясь таким же по величи-не. Через какое время от начала движения тело вернётся в исходную точку? {102,3 с}

14.13. Тело начинает двигаться вдоль прямой без начальной скорости с постоянным ускорением. Через 28 с ускорение тела меняется по направлению на противоположное, и уменьшается по величине на 4%. Через какое время после этого тело вернется в исходную точку? {70 c}

14.14. Аэростат поднимается с Земли с ускорением 1,5 м/с2 вертикально вверх без начальной скорости. Че-рез 20 с после начала движения аэростата из него выпал предмет. Определить какое расстояние предмет пролетит за последнюю секунду своего падения. {78,55 м}

36

14.15. Аэростат поднимается с Земли с ускорением 0,5 м/с2 вертикально вверх без начальной скорости. Че-рез 30 с после начала движения аэростата из него выпал предмет. Определить через какое время после этого предмет окажется на Земле. {8,37 с}

14.16. Аэростат поднимается с постоянной скоростью 6 м/с. На высоте 50 м с него сбрасывают груз без на-чальной скорости относительно аэростата. Найти время падения груза на землю. Определить его ско-рость в момент соприкосновения с землей. {3,8 с; 32,2 м/с}

Кинематика равномерного движения по окружности.

Движение по окружности с постоянной по модулю

скоростью – криволинейное движение, траекторией ко-торого является окружность и при котором модуль ско-рости материальной точки остается постоянным. Угловая скорость ω – величина, характеризующая бы-строту движения тела по окружности, равная отноше-нию угла поворота ϕ радиуса, связанного с точкой, к промежутку времени ∆t за который этот поворот про-изошел:

t∆ϕ

ω =∆

.

Единица измерения угловой скорости – радиан в секун-ду (рад/с). При описании движения тела по окружности углы измеряются в радианах.

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью V формулой V = ω R.

Период вращения T – время одного полного оборота материальной точки по окруж-ности. Период вращения можно представить в виде:

tT =N∆ ,

где t∆ - интервал времени, в течении которого происходит N оборотов по окружности. За время, равное одному периоду, отрезок, соединяющий материальную точку с цен-

тром окружности, поворачивается на угол 2π радиан, а тело проходит путь 2πR . С уче-том этого связь периода с линейной и угловой скоростями выражается формулами:

2πRV=T

, 2πω=T

.

Частота вращения ν - величина, численно равная числу оборотов, совершаемых те-лом за единицу времени (одну секунду), определяется формулой:

Nt

=∆

ν ,

и связана с периодом T формулой: 1T

=ν .

Связь частоты с линейной и угловой скоростями: V=2π R⋅ν ; ω=2πν .

Единица измерения периода – секунда (с), единица измерения частоты обратная секунда (с-1) Равномерное движение точки по окружности – движение с ускорением, но это не равноускоренное движение.

Рисунок 38

Рисунок 39

37

Центростремительное (нормальное) ускорение an – ускорение при равномерном движе-нии по окружности, оно характеризует изменение направления вектора скорости. В каж-дой точке траектории ускорение направлено к центру окружности – перпендикулярно (по нормали) к касательной, проведенной к окружности в данной точке (рис-39).

22

nVa = = ω R = V ωR

.

Задача 15.1. Найдите радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на обо-де, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 3 см ближе к оси колеса. Дано: -2

1 2 2r = 3 10 м, V = 2,5 V ; V , R - ?∆ ⋅ ⋅ Решение.

При вращении диска угловая скорость всех его точек одинакова. Действительно, за один и тот же интервал времени отрезки, соединяющие точки 1 и 2 (см. рисунок 40) с центром окружности, поворачиваются на один и тот же угол. 1 2ω =ω

Точка 1 находится на ободе диска и движется по ок-ружности, радиус которой равен радиусу диска. Обозна-чим его R . Радиус окружности, по которой вращается точка 2, обозначим r . Из условия задачи следует: R r r− = ∆ . Угловые скорости точек 1 и 2 можно выра-

зить формулами: 1 21

V 2,5Vω = =R R

и 22

Vω =r

. Осуществляя

подстановки, получим: Rr = 2,5

и -25R = r = 5 10 м3

∆ ⋅ .

Ответ: 5 см. Задача 15.2. Сфера радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 90 об/мин. Опреде-лить нормальное ускорение точек сферы, направление на которые из центра сферы со-ставляет угол 600 с вертикалью. Дано: -1 0

nR=1 м, ν=1,5 с , α=60 ;a -? Решение.

Точки сферы, направление на которые из центра сферы со-ставляет угол α с вертикалью, лежат на окружности радиу-са sinR α⋅ (см. рисунок 41). Тогда нормальное ускорение этих точек равно: 2

na =ω R sinα⋅ , где ω - угловая скорость вращения сферы, которая связана с частотой формулой:

2ω πν= . Из уравнений имеем 2 2 2

na = 4π R sin α 76,93 /⋅ ≈ м сν . Ответ: 76,93 м/с2.

Рисунок 40

Рисунок 41

38

Задача 15.3. Стержень длиной 50 см вращается с частотой 36 об/мин вокруг перпендикулярной к не-му оси пересекающей линию стержня, при этом один его конец движется с линейной скоростью 60 см/с. Найдите линейную скорость другого конца стержня.

Дано: -11 2

мL=0,5 м, =0,6 c ,V =0,6 ; V -?с

ν

Решение. Стержень вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей че-

рез точку О. Угловая скорость всех точек вращающе-гося стержня одинакова и равна ω . Скорости концов стержня 1V и 2V связаны с угловой скоростью ω формулами

1 1 1V = ωR = 2π Rν , 2 2 2V = ωR = 2π Rν . (Здесь учтено, что ω = 2πν ). Кроме того, выполняется очевидное соотношение: 1 2R + R = L , где L - длина стержня. Складывая уравнения, получим:

( )1 2 1 2V +V = 2π R +R = 2π Lν ν , откуда получаем

окончательно: 2 1V =2π L – V 1,284≈мс

ν .

Ответ: 1,284 м/с. Задача 15.4. Две материальные точки одновременно начинают движение по окружности из одного положения в противоположных направлениях. Через какой промежуток времени от нача-ла движения они встретятся, если период обращения одной точки 3 с, а второй – 6 с? Дано: 1 2Т = 3 с, Т = 6 с. t - ?∆ Решение.

К моменту встречи отрезки, соединяющие первую и вторую точ-ки с центром окружности, повернутся на углы 1ϕ и 2ϕ , соответ-ственно (рисунок 43). Причем, как видно из рисунка 1 2 2πϕ ϕ+ = . (Период обращения первой точки меньше, значит она движется быстрее и к моменту встречи пройдет больший путь.) Из определения угловой скорости следует, что

1 11

2π= ω t = tT

∆ ∆ϕ , 2 22

2π = ω t = tT

∆ ∆ϕ (здесь учтено, что 2πω = T

);

t∆ - интервал времени от начала движения до момента встречи. Подставляя эти выражения в исходное, получим:

1 2

2π 2πt + t = 2πT T

∆ ∆ ,откуда находим искомое время:

1 2

1 2

T Tt = = 2 cT +T

∆ .

Ответ: 2 с.

15.5. Двигаясь по окружности с постоянной по модулю скоростью, равной 10 м/с, тело переместилось из точки 1 в точку 2 по дуге с углом раствора 60°. Найдите модуль изменения скорости тела. {10 м/с}

15.6. Точка движется по окружности с постоянной скоростью 50 см/с. Вектор скорости изменяет направле-ние на 300 за время 2c. Каково нормальное ускорение точки? {0,13 м/с2}

15.7. Колесо велосипеда при равномерном вращении совершает 2,5 оборота за 0,2 с. На какой угол повер-нется спица колеса за время 0,01 с? {450}

Рисунок 42

Рисунок 43

39

15.8. При равномерном вращении колесо повернулось на 2π/3 рад за 7 с. Определить период вращения дис-ка. {21 c}

15.9. На плоскости диска проведена прямая линия от его центра к краю по радиусу. Диск начал равномерно вращаться, при этом прямая линия повернулась на угол 800 за 4 с. Найти период вращения диска. {18 с}

15.10. Угол поворота колеса, имеющего радиус 0,1 м, изменяется по закону φ = π · t. Найти линейную ско-рость точек обода колеса. {0,34 м/с}

15.11. Путь, пройденный материальной точкой при ее равномерном движении по окружности, изменяется с течением времени по закону S = 6,28·t. Найти частоту вращения точки, если радиус окружности равен 10 см. {10 с-1}

15.12. Материальная точка движется по окружности, имеющей радиус 10 см. Пройденный путь зависит от времени по закону S= A··t, где А = 1 м/с. Найти угловую скорость точки. {10 рад/с}

15.13. Материальная точка движется по окружности, имеющей радиус 10 см. Пройденный путь зависит от времени по закону S= A·t, где А = 2 м/с. Найти число оборотов, сделанных ею за 5 с движения. {15,92}

15.14. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на расстоянии 30 см от оси, проходят за некоторое время путь 4 м. Сколько оборотов за это время сделает диск? {2,12}

15.15. Колесо диаметром 50 см делает 720 оборотов за 4 минуты. Определить линейную скорость точек обо-да колеса. {9,42 м/с}

15.16. Колесо делает 100 оборотов за 1 мин. Определить период вращения колеса. {0,6 с} 15.17. Как изменится ускорение точек обода колеса при уменьшении периода вращения колеса в 5 раз?

{увеличится в 25 раз} 15.18. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с пе-

риодом обращения 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии 200 км от поверхности Земли. Радиус Земли 6400 км. {0,001 c-1; 6,6 км/с}

15.19. По краю вращающейся с угловой скоростью ω = 0,1 рад/с карусели радиусом 5 м, шагает мальчик. Определить нормальное ускорение мальчика, если известно, что поворачивая обратно и шагая с прежней скоростью, мальчик перестает перемещаться относительно Земли. {0,05 м/с2}

15.20. Сфера радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 90 об/мин. Определить нормаль-ное ускорение точек сферы, направление на которые из центра сферы составляет угол 600 с вертика-лью. {77 м/с2}

15.21. Центростремительное ускорение человека, находящегося на карусели на расстоянии 6,4 м от ее цен-тра равно 10 м/с2. Определить линейную скорость человека. {8 м/с}

15.22. Определить модуль скорости точек земной поверхности на экваторе. Радиус Земли принять равным 6400 км. {465 м/с}

15.23. Определить скорость орбитального движения Земли, считая радиус её орбиты равным 150 млн км. {2,987.104 м/с}

15.24. Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 100 м со скоростью 10 м/с. С каким ускоре-нием он проходит закругление? {1 м/с2}

15.25. Чему равен радиус закругления дороги, если по ней движется автомобиль с центростремительным ускорением 2 м/с2 при скорости 72 км/ч? {200 м}

15.26. Два танка двигаются навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. Когда расстояние между ними равно 1,5 км танки, не меняя величин скоростей начинают разворот по окружностям одинаковых радиусов и через 31,4 с расстояние между ними становится минимальным и равным 500 м. Определить скорость танков. {25 м/с}

15.27. При равномерном подъёме груза с помощью лебедки, диаметр барабана которой равен 18 см, ско-рость подъёма груза равна 0,9 м/с. Определите частоту вращения барабана. {1,47 с-1}

15.28. Минутная стрелка часов на 20% длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца се-кундной стрелки больше, чем минутной стрелки? {50}

15.29. Минутная стрелка часов в четыре раза длиннее секундной стрелки. Найти отношение линейных ско-ростей концов названных стрелок. {15}

15.30. Скорость точек рабочей поверхности шлифовального круга не должна превышать100 м/с. Найти пре-дельную частоту вращения круга диаметром 40 см. {79,8 с-1}

15.31. Праща, оружие древних людей, представляет собой камень, привязанный к веревке. Камень вращает-ся по окружности с частотой 2 об/с. Расстояние от центра вращения равно 2 м. Чему будет равна ско-рость вылетевшего камня. {25,1 м/с}

15.32. Определить радиус маховика и центростремительное ускорение точек на его ободе, если при враще-нии скорость точек на ободе равна 6 м/с, а точек, находящихся на расстоянии 15 см ближе к оси, рав-на 5,5м/c. {1,8 м; 20 м/с2}

15.33. Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Каковы радиус и угловая скорость вращения колеса? {0,3 м;10 с-1}

40

15.34. Стержень длиной 1м вращается с частотой 1 c-1 вокруг оси, проходящей через стержень перпендику-лярно ему. Нормальное ускорение одного из концов стержня 16 м/с2. Определить линейную скорость другого конца. {3,73 м/с}

15.35. Стержень длиной 50 см вращается с частотой 72 об/мин вокруг перпендикулярной к нему оси пере-секающей линию стержня, при этом один его конец движется с линейной скоростью 1 м/с. Найдите линейную скорость другого конца стержня. {2,77 м/с}

Комбинированные задачи Задача 16.1. Ось с двумя дисками, жестко закреплёнными на ней и расположенными на расстоянии 0,9 м друг от друга, вращается с частотой 2500 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, проби-вает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 300. Найти скорость пули. Дано: n = 2500 об/мин = 125/3 об/с; ϕ = 300 = π/6; L = 0,9 м. Vп - ? Решение.

Время пролёта пулей расстояния между дисками Lt =

Vп∆ равно времени поворота дисков

на угол ϕ: t =2πnϕ

∆ . Отсюда L=

V 2πnпϕ . Следовательно: 2πnL 2π 125 0,9 6

V = = = 450 м/сп 3 π⋅ ⋅ ⋅

ϕ ⋅.

Ответ: 450 м/с. 16.2. С каким периодом вращаются колеса, равномерно движущегося без пробуксовки со скоростью 144

км/ч автомобиля, если их радиус 30 см. 16.3. Тонкостенный шар радиусом 1 м вращается с угловой скоростью 628 рад/с относительно оси, прохо-

дящей через его центр. С какой минимальной скоростью должна лететь пробивающая шар пуля, что-бы в оболочке шара было только одно отверстие. Траектория пули проходит сквозь центр шара. {400 м/с}

16.4. Вагон шириной d, движущийся прямолинейно со скоростью v, был пробит пулей, двигавшейся все время перпендикулярно плоскости движения вагона. Смещение отверстия в стенках вагона относи-тельно друг друга равно L. Определить скорость движения пули. {Vпули=d∙v/L}

16.5. Волчок, вращаясь с частотой 20 об/с, свободно падает с высоты 5м. Сколько оборотов сделает он за время падения? Начальная скорость падения волчка равна нулю. {20}

16.6. Пуля, выпущенная из винтовки, попадает во вращающийся с частотой 50 об/с тонкостенный цилиндр диаметром 20 см. Найдите скорость пули, если выстрел произведен в направлении диаметра цилинд-ра, а к моменту вылета пули из цилиндра входное отверстие сместилось на 1 см. {628 м/с}

16.7. Мальчик равномерно вращает камень, прикрепленный к легкой веревке, по окружности, лежащей в вертикальной плоскости. Период вращения 0,25 с. Центр окружности находится на высоте 150 см от

Рисунок 44

41

поверхности земли. Длина нити 40 см. В тот момент, когда камень находится в верхней точке окруж-ности мальчик отпускает веревку. С какой скоростью камень упадет на Землю. {12 м/с}

16.8. Человек катается на карусели радиусом 15 м. Выпавший из его рук предмет упал на землю на рас-стоянии 20 м от оси карусели. Определить период вращения карусели. Карусель расположена в гори-зонтальной плоскости на высоте 3 м от земли. {6,6 c}