МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ2 УДК 539.3 ББК 38.112 Л39 Рецензент С.М. Чорний, канд. техн. наук, доцент Затверджено

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Київський національний університетбудівництва і архітектури

А.Д. Легостаєв

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

для студентів спеціальності 7.092101

“Промислове і цивільне будівництво”

Київ 2004

2

УДК 539.3ББК 38.112Л39

Рецензент С.М. Чорний, канд. техн. наук, доцент

Затверджено на засіданні кафедри будівельної механіки, протокол № 8 від 17 травня 2004 року

Легостаєв А.Д.Л39 Метод скінченних елементів: Конспект лекцій. –

К.:КНУБА, 2004. – 112с.

Викладені основні положення одного із сучасних чисельних методів розв’язання задач будівельної механіки –методу скінченних елементів. Наведені варіаційні принципи можливих переміщень і Лагранжа, на основі яких побудовані співвідношення скінченних елементів в формі переміщень для плоских і просторових стержневих конструкцій з елементами постійної і змінної жорсткості, плоско-напружених конструкцій, пластини, що згинається, масивних тіл.

Призначений для студентів спеціальності 7.09.21.01 “Промислове і цивільне будівництво” денної форми навчання.

УДК 539.3 ББК 38.112 А.Д. Легостаєв, 2004

КНУБА, 2004

3

Зміст

ВступЛекція 1.

1.1.1.2.

Лекція 2.2.1.2.2.

2.3.

Лекція 3.

3.1.3.2.

3.3.3.4.3.5.

3.6.

Лекція 4.

4.1.4.2.4.3.4.4.

4.5.

………………………………………...……….….…Вихідні положення………………………………….Основні поняття і постановка задачі………………Основні дії варіаційного числення…………….…..Запитання для самоконтролю ………..…………Варіаційні методи теорії пружностіОсновні співвідношення теорії пружності………..Робота зовнішніх і внутрішніх сил.Потенціальна енергія деформації……………….....Умови рівноваги деформованого тіла. Варіаційні принципи механіки ………………………………..Запитання для самоконтролю..………………...….Побудова співвідношень метода скінченних елементів для стержневих систем ………...……Вихідні положення…………………...……....……..Скінченний елемент плоскої стержневої конструкції. Функції форми стержневого скінченного елемента……………………………...Матриця жорсткості скінченного елемента…..…....Вектор зведених вузлових сил……………………Матриця жорсткості СЕ моделі плоскої стержневої конструкції…………………..………..Співвідношення МСЕ для стержня при просторовому навантаженні……………...…...……Запитання для самоконтролю ……………..…….…Співвідношення МСЕ для плоско-напруженої конcтрукції……………..…………………………....Вихідні положення………………………………….Побудова скінченноелементної моделі…………....Матриця жорсткості трикутного скінченного елемента………………………………….…………..Визначення зведених до вузлів сил в межах СЕ Побудова матриці жорсткості і вектора зведених до вузлів сил СЕМ пластини….……......

57711131414

18

2024

2525

283337

39

4146

474749

5253

55

4

4.6.

4.7.

4.8.

Лекція 5.

5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.5.7.5.8.5.9.

5.10.

5.11.5.12.

Лекція 6.6.1.6.2.

Лекція 7.

7.1.

7.2.

Обчислення напружень в межах скінченногоелемента і реакцій у в’язях …………………....….Прямокутний скінченний елемент плоско-напруженої конструкції……………………………Ізопараметричний скінченний елемент плоско-напруженої конструкції………………….…Запитання для самоконтролю ………………….....Співвідношення МСЕ для тонкої жорсткої пластини, що згинається ……………………………Вихідні положення………..…………………….…Гіпотези Кірхгофа……………………….……..….Переміщення в пластині………………………….....Деформації в межах пластини…………………...…Напруження в пластині…………………..………..Внутрішні зусилля……………………...………...…Робота внутрішніх сил…………………….………...Параметри скінченноелементної моделі……….…..Побудова функцій форми СЕ пластини………....…Матриця жорсткості СЕ пластини. Вектор приведених вузлових сил СЕ………….…Матриця жорсткості СЕМ пластини……...………..Узгоджений прямокутний скінченний елемент пластини, що згинається………………..Запитання для самоконтролю ………………..…...Співвідношення МСЕ для масивних тіл.……..……Вихідні положення……………………………..……Співвідношення для скінченного елемента в формі тетраедра……………………………..……..Запитання для самоконтролю ……………………...Вимоги щодо побудови скінченноелементної моделі пружних тіл …………………………………Загальна схема застосування МСЕ до розв’язку задач будівельної механіки………..…….Критерії збіжності наближених результатів, отриманих за допомогою МСЕ, до точних…….…..Запитання для самоконтролю …………………….Список літератури………..………………………….

58

59

6773

73737475767780848790

9092

93101102102

104106

107

107

108108109

5

ВСТУП

Метод скінченних елементів (МСЕ) виник як один з прийомів дослідження різних конструкцій. На теперішній час він повсюдно визнаний як загальний метод вирішення широкого кола задач в різних галузях техніки. Суть МСЕ полягає в апроксимації суцільного середовища з нескінченно великим числом ступенів вільності сукупністю підобластей (або елементів), що мають скінченне число ступенів вільності. Між цими елементами встановлюється взаємозв’язок. Визнання методу пояснюється простотою його фізичного тлумачення та математичної форми. Щодо задач будівельної механіки найбільше поширення мають співвідношення МСЕ у формі переміщень. У межах кожного елемента задаються функції, так звані функції форми, які визначають переміщення у внутрішній області елемента по переміщенням у вузлах. Вузли – це точки, де сполучаються скінченні елементи. Невідомими МСЕ є можливі і незалежні переміщення вузлів скінченноелементної моделі (СЕМ). Таким чином, СЕМ конструкції являє собою систему закріплених вузлів. Додаткові в’язі ставляться у напрямку можливих переміщень вузлів, підкреслюючи цим самим їх незалежність. По своїй суті СЕМ конструкції аналогічна основній системі класичного методу переміщень, який застосовується при розрахунку стержневих систем. Для досягнення сприйнятливої точності результатів розрахунків за МСЕ доводиться зменшувати розміри елементів, збільшуючи цим самим точність апроксимації геометричних характеристик і функцій переміщень в межах скінченного елемента. СЕМ складних конструкцій досягають сотень і навіть мільйонів ступенів вільності, а тому МСЕ є машинно-орієнтованим методом, реалізація якого можлива тільки засобами комп’ютерної техніки. Для застосування МСЕ на практиці необхідно володіти не тільки теорією, щодо задач механіки, а також і знаннями в області програмування.

Співвідношення МСЕ найчастіше будуються на базі варіаційних принципів механіки, в основі яких закладені два фундаментальних скаляра – потенціальна і кінетична енергія пружної конструкції. Визначення цих скалярів не залежить від

6

обраної системи координат, що дозволяє записувати співвідношення МСЕ в інваріантній формі.

Для забезпечення зручності програмування співвідношення МСЕ записуються в компактній матричній, або тензорній формі.

На сьогодні МСЕ досить повно математично обґрунтований і створені високоефективні програмні продукти, які весь час вдосконалюються разом із засобами програмування [1,2,3].

Технічний прогрес, особливо в області обчислювальної техніки, суттєво змінив погляди на постановку і розв’язання інженерних задач. Побудова розрахункової моделі тісно пов’язана з процесом обчислень і розділити ці два етапи на шляху отримання практичних результатів майже неможливо.

Широке застосування МСЕ в інженерній практиці сприяло включенню його до навчальних програм Вузів. МСЕ надає способи побудови математичної моделі явища, яке досліджується, виходячи з його фізичної суті. Враховуючи ці особливості методу можна вважати доцільним вивчати його як окрему дисципліну.

Перші підручники щодо МСЕ були написані досить складно [4], що спонукало створенню навчальних програм і методик викладання МСЕ студентам у доступній і в той же час строгій формі [6,7]. Значна робота в цьому напрямку виконана на кафедрі будівельної механіки КНУБА, де окрім фундаментальних підручників і навчально-методичних посібників [8,9,10] створено Програмний комплекс АСИСТЕНТ, апробований на міжнародних і республіканських з’їздах, конференціях і семінарах. Комплекс надає можливість перевірити знання студентів в інтерактивному режимі і сприяє розвитку навичок роботи з програмними продуктами при розв’язанні практичних задач.

Мета даної роботи полягає у викладенні основних положень МСЕ у легко доступній формі, орієнтованій на початкове знайомство з методом. Подання МСЕ виконується таким чином, що величини і поняття, йому притаманні, не вводяться заздалегідь, а витікають із суті задачі будівельної механіки.

На сьогодні коло проблем, які можна розв’язувати за допомогою МСЕ практично необмежене. Ми ж обмежимось розглядом задач про лінійне деформування пружних конструкцій від дії статичних навантажень.

7

Лекція 1. ВИХІДНІ ПОЛОЖЕННЯ

1.1. Основні поняття і постановка задачі

Розглянемо умови рівноваги твердого тіла, що деформується під дією заданих сил і визначених на поверхні тіла граничних умов у напруженнях і переміщеннях. Обмежимось розглядом малих переміщень, які мають лінійний зв’язок із статично діючими силами і відповідають закону Гука. Англійський фізик Р. Гук провів дослідження деформацій центрально-навантажених стержнів, виконаних із різних пружних матеріалів від дії статичної сили (рис.1).

Рис. 1

EA

Pl . (1.1)

Гук встановив залежність між величинами, що визначають цей процес (1.1):

У подальшому були введені величини l

ε – деформація,

A

Pσ – напруження, з урахуванням яких закон Гука набуває

вигляду: Eσ .

8

Коефіцієнт пропорційності Е визначає пружні характеристики матеріалу і має фізичну суть – напруження, що відповідає одиничній деформації.

Статично діюча сила зростає в часі поступово 0 PG . Переміщення, які вона породжує, теж зростають поступово без прискорень .

Визначимо роботу статичної сили на переміщенні, що нею породжено (рис. 2), враховуючи, що сила і переміщення змінюються.

Рис. 2

Прирощенню сили на нескінченно маленьку величину dPвідповідає прирощення переміщення d . Робота сили PP на переміщенні d має значення ddPPdA .

Остаточне значення роботи сили визначається за формулою

А= G

O

Pd . (1.2)

Нескінченно мала величина ddP більш високого рівня малості не врахована.

Введемо залежність між різновимірними величинами під знаком інтеграла:

P , (1.3)де – коефіцієнт піддатливості, що має фізичну суть переміщення точки, в якій додана одинична сила, в напрямку цієї сили. Співвідношення (1.3) встановлює одиницю виміру –(м/Н). З (1.3) випливає, що dPd .

9

Коефіцієнтові піддатливості відповідає інша важлива характеристика конструкції – коефіцієнт жорсткості /1k(н/м), який визначає силу, що викликає одиничне переміщення конструкції у напрямку цієї сили.

З урахуванням (1.3), рівняння (1.2) набуває вигляду:

A= G

O

PdP =22

0

2

GPG

.

Отримана формула Клапейрона, яка визначає дійсну роботу статично діючої сили на переміщенні, нею ж породженому в пружному тілі.

Введемо поняття: можливі переміщення і можлива робота сили, які матимуть досить широке застосування.

У механіці можливі переміщення визначаються як уявні нескінченно маленькі переміщення точок тіла, що можуть проявитися відповідно до накладених в’язів. Поняття можливіпереміщення не стосуються точок, в яких накладені зовнішні в’язі (закріплення тіла).

Для визначення можливої роботи припустимо, що здеформоване врівноважене тіло підлягає дії ще однієї статичної сили Р2 (рис.3).

Рис. 3

10

Переміщення, показані на рис. 3’ мають два індекси ij :

перший індекс відповідає напрямку переміщення, другий –номеру сили, що є причиною цього переміщення

Сила 1P не змінюється, але від дії сили Р2 з’являється додаткове переміщення 12 . Робота сили Р1 на цьому переміщенні визначається як добуток 12112 PA і називається можливою роботою сили Р1.

Переміщення 12 є можливим переміщенням у тому розумінні, що допускається в’язями, які закріплюють тіло. Збурюючий фактор щодо можливого переміщення не має принципового значення. Важливим є те, що можливі переміщення взагалі можна розглядати як своєрідний математичний експеримент щодо форми деформованого тіла. Можлива робота сили на можливому переміщенні записується без коефіцієнта 1/2, бо сила в процесі руху не змінюється.

Розглянемо ще одну величину – потенціальну енергію деформації. У процесі деформування тіла виникають внутрішні зусилля, які створюють опір зовнішнім силам і теж виконують роботу. Напрямки внутрішніх сил і відповідних їм переміщень взаємно протилежні і тому робота внутрішніх сил має від’ємний знак.

Роботі внутрішніх сил відповідає потенціальна енергія деформації тіла, яка накопичується в тілі і здатна забезпечити виконання роботи на повернення тіла до початкового недеформованого стану.

Потенціальна енергія деформації, для стержневої системи визначається за спрощеною формулою

dxdx

wdMdx

dx

duNdxMdxNU

lll l

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1 (1.4)

і має певне числове значення, що залежить у даному випадку від функцій переміщень

u = u(x) та xww .Визначення цих функцій і є однією із задач будівельної

механіки, які слід розв’язати.Запишемо (1.4 ) у дещо узагальненій формі:

11

U= l

dxxf )( ,

і допустимо, що кожній функції f (x), під знаком інтеграла відповідає числове значення величини U.

Змінні величини, числове значення яких залежить від функції, називаються функціоналами. Поняття “функція” і “функціонал” споріднені. Стосовно функції можна сказати, що вона забезпечує визначення числового значення залежно від іншого числового значення – аргументу. Або інакше – функція відображає числову область на числову область; в той час як функціонал – відображує функцію на числову область.

Якщо поставити задачу – знайти функцію, яка забезпечує функціоналу U найменше числове значення, то задача стає варіаційною.

У механіці сформульовані так звані варіаційні принципи, в яких екстремальність функціоналів, що мають енергетичну природу, виражає певні властивості механічної системи. Внаслідок цього проблеми механіки можна формулювати як варіаційні.

Розділ математики, що вивчає властивості функціоналів, називається варіаційне числення.

1.2. Основні дії варіаційного числення

Розглянемо функціонал

l

dxxfFI )( (1.5)

і функцію у=f(x), яка за припущенням надає стаціонарного значення визначуваному інтегралу (1.5). Стаціонарне значення функціоналу означає, що швидкість зміни його значень дорівнює нулю у випадку довільної нескінченно малої зміни функції.

З математичної теорії виходить, що пошук функції, яка є розв’язком задачі, можна обмежити випробуванням тільки таких функцій, які відрізняються від дійсної довільним чином, але на нескінченно малу величину. Не знаючи дійсної функції, змінену функцію запишемо у вигляді:

F(x)=f(x)+ (x),

12

де (х) – деяка довільна функція, що задовольняє умовам неперервності і диференційованості, – нескінченно мала величина.

Порівняємо значення зміненої функції F(x) із значенням функції f (x) для деякого довільного значення аргументу x. Різниця

)()()( xxfxFy називається варіацією функції f(x) (рис. 4).

Рис. 4

Природа процесу варіювання така, що змінюється тільки значення функції у = f(x). Значення аргументу x залишається фіксованим.

У порівнянні з диференціалом функції можна сказати, що dупороджується нескінченно малим змінюванням аргументу xd , у той час як варіація δу породжується новою функцією δу= )(x .

Якщо вважати, що граничні ординати f (a) і f (b) функції xfy фіксовані і не підлягають варіюванню, то цей випадок

відповідає “варіюванню при фіксованих граничних значеннях”.

13

Операціям диференціювання і варіювання функції притаманні перестановочні (комутативні) властивості. Варіація функції f (x) породжує зовсім нову функцію )(x .

Визначимо похідну від варіації функції

)()()( xxdx

dxfxF

dx

dy

dx

d (1.6)

і варіацію від похідної

)()()()()()()( xxyxxyxfxFxfdx

d . (1.7)

Із формул (1.6) та (1.7) випливає:

ydx

dy

dx

d .

Похідна від варіації дорівнює варіації від похідної.Аналогічно обчислимо варіацію визначеного інтеграла:

dxxfdxxfxFdxxfdxxFdxxfb

a

b

a

b

a

b

a

b

a .

Отже b

a

b

adxxfdxxf )()( – варіація від визначеного

інтеграла дорівнює визначеному інтегралу від варіації.

Запитання для самоконтролю

1. Поясніть суть понять: дійсна робота та можлива робота зовнішніх сил.

2. Дайте визначення поняттям: можливі переміщення; коефіцієнт піддатливості; коефіцієнт жорсткості. Фізична суть цих понять і одиниці їх виміру.

3. Дайте визначення потенціальної енергії деформації пружного тіла.

4. Що собою являють математичні поняття “функція” і “функціонал”?

5. У чому суть варіаційної постановки задачі механіки?6. У чому полягають відмінності понять диференціал

функції і варіація функції?

14

Лекція 2. ВАРІАЦІЙНІ МЕТОДИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

2.1. Основні співвідношення теорії пружності

Розглянемо пружне тіло, яке займає область V і обмежене поверхнею S, що складається з двох частин (рис. 5).

На S1 заданий вектор поверхневих сил – SP , а на S2 –вектор переміщень Su . Мається на увазі, що на S2 накладені в’язі, які можуть зміщуватись.

Вилучимо із тіла елементарний паралелепіпед перерізами, паралельними координатним площинам (рис. 6) і позначимо компоненти вектора напружень на його гранях

312312332211 T .

Перший індекс визначає напрямок відповідної компоненти;

другий – орієнтацію нормалі до площини грані. Виконується умова jiij (закон парності дотичних напружень).

Рис. 5

15

Рис. 6

Вектор переміщень довільної точки тіла подамо складовими по координатним осям

321 uuuu T .

Вважаємо, що деформація тіла здійснюється із збереженням неперервності матеріалу, тому переміщення є неперервними функціями координат.

Вектор деформацій має шість компонент

312312332211 T .

Перші три компоненти визначають відносну зміну довжини сторін елементарного паралелепіпеда. Три останні – суть деформації зсуву – зміна кутів між гранями елементарного паралелепіпеда. Напрямок зсуву визначає перший індекс.

Статичні співвідношення теорії пружності визначаються двома групами рівнянь: диференційними рівняннями рівноваги

.σττ

,τστ

,ττσ

0

0

0

33

33

2

32

1

31

23

23

2

22

1

21

13

13

2

12

1

11

Rxxx

Rxxx

Rxxx

(2.1)

16

і рівняннями, що визначають напруження на довільно орієнтованій площинці з направними косинусами нормалі (рис. 5)

cos 1= n1 , cos 2= n2 , cos3= n3.

Якщо нахилена площинка співпадає з обмежуючою поверхнею S1 і в її межах діє вектор поверхневих сил, маємо:

.σττ

;τστ

;ττσ

3332321313

3232221212

3132121111

nnnP

nnnP

nnnP

(2.2)

Рівняння (2.2) встановлюють зв’язок між силами на поверхні тіла і компонентами напружень поблизу поверхні. Вони характеризують статичні граничні умови. Вектор поверхневих сил визначається компонентами в декартовій системі координат.

Введемо наступні вектори – стовпці напружень:

31

21

11

1

τ

τ

σ

σ ,

32

22

12

2

τ

σ

τ

σ ,

33

23

13

3

σ

τ

τ

σ , (2.3)

та вектори-стовпці об’ємних і поверхневих сил

,

3

2

1

R

R

R

R

3

2

1

Р

Р

Р

Р ,

що дає можливість записати рівняння (2.1) і (2.2) у компактній матричній формі:

033

22

11

Rxxx

σσσ , (2.4)

332211 nnnP σσσ . (2.5)

Геометричні рівняння теорії пружності у формі Коші:

17

,,

,,

,,

1

3

3

131

3

333

2

3

3

223

2

222

1

2

2

112

1

111

x

u

x

u

x

ux

u

x

u

x

ux

u

x

u

x

u

(2.6)

які в матричній формі набувають вигляду:

u ,

де – матриця диференціювання:

13

23

12

3

2

1

0

0

0

00

00

00

xx

xx

xx

x

x

x

. (2.7)

Фізичні рівняння встановлюють зв’язок між деформаціями і напруженнями відповідно до закону Гука:

,τ,σσσε

;τ,σσσε

;τ,σσσε

313122113333

232333112222

121233221111

11

11

11

GE

GE

GE

(2.8)

де – коефіцієнт Пуассона, 12

EG – модуль зсуву.

18

Систему рівнянь (2.8) можна розв’язати відносно напружень і отримати фізичні рівняння у формі Ляме:

,γτ,εσ

γτ,θεσ

γτ,θεσ

31313333

23232222

12121111

2

2

2

GG

GG

GG

де

211

Eλ – пружна стала Ляме.

2.2. Робота зовнішніх і внутрішніх сил. Потенціальна енергія деформації

Роботу об’ємних і поверхневих сил, що статично діють на тіло, визначимо за формулою Клапейрона. Спочатку розглянемо нескінченно малі сили dVR та dSP , які діють в межах елементів об’єму dV та на площині поверхні dS . Якщо

321 uuuu T – вектор переміщень точок тіла, то елементарна робота об’ємних і поверхневих сил визначиться за формулами

2/dVRudA Tv і 2/dSPudA T

s відповідно.

Повна робота зовнішніх сил, витрачена на деформування тіла, визначається шляхом послідовного інтегрування по об’єму і поверхні:

V S

TT dSPudVRuА2

1.

Робота зовнішніх сил повністю витрачається на деформування тіла. Накопичена потенціальна енергія забезпечує виконання такої ж роботи на повернення тіла в недеформований стан при розвантаженні. Розглядатимемо оборотні процеси.

Обчислимо потенціальну енергію, накопичену здеформованим тілом. Спочатку обчислимо енергію в межах елементарного паралелепіпеда (рис. 6). Визначимо роботу сил, діючих на гранях елемента та розглянемо дію тільки нормального напруження 11σ (рис. 7).

19

Довжина елемента зросте на dx11ε , а сила 3211 dxdxσ виконає роботу:

22 11113211111 /εσ/ε dVdxdxdxσ .

Аналогічно, визначимо роботу сили, породженої напруженням 13 (рис.8).

22 13133132113 /γτ/γτ dVdxdxdx .

Рис. 7

Рис. 8

20

Розглядаючи роботу всіх сил у межах елементарного об’єму, обчислимо елементарну потенціальну енергію деформації

dVdU 31312323121233332222111121

γτγτγτεσεσεσ

або в компактній формі:

dVdVdU TT σεεσ21

21

.

Потенціальна енергія деформації тіла визначається шляхом інтегрування по об’єму тіла

V

T dVU σε21

.

2.3. Умови рівноваги деформованого тіла. Варіаційні принципи механіки

Розглянемо тіло, що знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил R і P .

Вважаємо стан рівноваги стійким і надання точкам тіла додаткових можливих переміщень

321uuuu T не змінить

цього стану.Можливим переміщенням відповідають можливі деформації

312312332211

δγδγδγδεδεδεδε T

і зміни енергії деформації. Варіація енергії деформації визначається співвідношенням

V

T dVU δεσδ

V

dV313123231212333322221111 δγτδγτδγτδεσδεσδεσ (2.9)

і чисельно дорівнює роботі внутрішніх сил на можливих переміщеннях. Внутрішні сили не змінюються і тому коефіцієнт

2/1 в (2.9) відсутній.

21

Виконаємо математичні перетворення в (2.9): скориставшись формулами Коші (2.6), зробимо заміну

,...,11

11 ux

,...,33

33 ux

31

13

31 ux

ux

,

і запишемо варіацію енергії деформації у вигляді:

V x

uU

1

111

2

222 x

u

3

333 x

u

+

3

2

2

323

2

1

1

212 x

u

x

u

x

u

x

udV

x

u

x

u

3

1

1

331

.

Враховуючи властивість парності дотичних компонент вектора напружень jiij , виконаємо групування членів:

V x

u

x

u

x

uU

1

331

1

221

1

111

2

332

2

222

2

112 x

u

x

u

x

u

3

223

3

113 x

u

x

udV

x

u

3

333 .

Введемо вектори:

3

3

3

2

3

1

3

2

3

2

2

2

1

2

1

3

1

2

1

1

1

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

T

T

T

δ

:δ

;δ

і використавши позначення векторів-напружень (2.3), запишемо варіацію енергії деформації у вигляді:

22

V

TTT

Vdx

u

x

u

x

uU 3

32

21

1. (2.10)

Подальші перетворення (2.10) виконаємо за схемою:

tS

t

S

t

S

, або

tS

t

S

t

S

,

де S і дві довільні неперервні функції аргументу t.

V

TTT dVux

ux

ux

U 33

22

11

V

T dVxxx

u3

3

2

2

1

1 , (2.11)

де вектори 321 ,,, u є неперервними функціями координат.

В (2.11) перший визначуваний інтеграл по об’єму замінимо поверхневим інтегралом за формулою Остроградського – Гауса

V S

SdnQnQnQdVx

Q

x

Q

xd

Q332211

3

3

2

2

1

1 ,

де 321 ,, QQQ – довільні диференційовані функції, визначені в області V; 32,1 ,nnn – напрямні косинуси зовнішньої нормалі до

поверхні S, яка обмежує цю область.У результаті отримаємо

1

1332211S

T SdnnnuU

V

T Vdxxx

u3

3

2

2

1

1 .

Інтегрування по поверхні виконується тільки для області S1 , де задані поверхневі сили.

Враховуючи (2.4) та (2.5) і умови рівноваги тіла, можемо записати:

23

R

xxx

3

3

2

2

1

1 ,

Pnnn 332211 .

Остаточно маємо 1

.1S V

TT dVRudSPuU

Права частина отриманого рівняння являє собою роботу зовнішніх сил на можливих переміщеннях і ми приходимо до рівняння

AU . (2.12)Співвідношення (2.12) визначає принцип можливих

переміщень стосовно до пружного деформівного тіла згідно з яким для врівноваженого тіла робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях дорівнює варіації потенціальної енергії деформації.

Введемо поняття – потенціал зовнішніх сил П, якому відповідає робота зовнішніх сил, що витрачається на повернення деформованого тіла у вихідне положення. Значення сил у даному випадку не змінюються.

Тоді виходить, що АП , і з (2.12) витікає, що

0 ПU .

Величина ПUV називається повною потенціальною енергією системи, а рівняння

0V (2.13)

є варіаційним рівнянням Лагранжа.Враховуючи той факт, що U і П обчислені для

зрівноваженого тіла, рівняння (2.13) стверджує, що в стані рівноваги повна потенціальна енергія має стаціонарне значення.

Розмірковуючи далі, можна сказати, якщо тіло знаходиться в стані стійкої рівноваги і під дією незначного зовнішнього фактора змінить свою форму, воно повинно повернутись до зрівноваженого стану після зняття збурюючого фактора. Таким чином, повернення до зрівноваженого стану вимагає витрат енергії і тіло у відхиленому стані має більшу енергію ніж у стані рівноваги. Стаціонарне значення повної енергії відповідає

24

мінімуму для умов рівноваги конструкції. Рівняння (2.13) є необхідною умовою рівноваги тіла.

Якщо тіло знаходиться в стані стійкої рівноваги, то з усіх можливих наборів переміщень, які визначатимуть його деформований стан, дійсними будуть ті переміщення, за якими повна енергія приймає найменше значення.


1. Запишіть у матричному вигляді статичні рівняння теорії пружності.

2. Запишіть у матричному вигляді геометричні рівняння теорії пружності.

3. Запишіть у матричному вигляді фізичні рівняння теорії пружності у прямій і зворотній формі.

4. Запишіть формулу визначення роботи внутрішніх сил стержневої конструкції.

5. Запишіть формулу визначення роботи внутрішніх сил плоско-напруженої конструкції.

6. Запишіть формулу визначення роботи внутрішніх сил просторової конструкції.

7. Сформулюйте варіаційний принцип можливих переміщень.

8. Сформулюйте варіаційний принцип Лагранжа.

25

Лекція 3. ПОБУДОВА СПІВВІДНОШЕНЬ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

ДЛЯ СТЕРЖНЕВИХ СИСТЕМ

3.1. Вихідні положення

Стержень є просторовим тілом, два розміри якого, ширина і висота, набагато менші за довжину. Це дає можливістьрозглядати його фізичну модель у вигляді лінії, яка проходить через центри перерізів. Якщо зовнішні сили, прикладені до стержня, розташовані в одній площині з його моделлю, можна вважати, що деформації стержня відбуваються у цій же площині. З математичної точки зору геометричні характеристики, переміщення і напруження в межах стержня є функціями одного аргументу. Співвідношення теорії пружності базуються на гіпотезі плоских перерізів стержня. Зв’язок між деформаціями і напруженнями відповідає лінійному закону Гука. У кожному перерізі стержня проявляються три переміщення – u, w, (рис. 9, а, б), з яких поздовжнє u і прогин w незалежні, а кут повороту виражається через прогин dxd /w . Для нескінченно малої ділянки стержня dx справедливі співвідношення [5] (рис. 9,в):

;;

dx

du

EA

dxNdu

.;xd

udAENxddu

.

IExd

wdEIM;

ρ

1

EI

M

x;dd;dx

wd

xd

d

ρ

1ρ;dxd

2

2

2

2

Потенціальну енергію деформації стержня природно обчислювати в локальній системі координат, вісь x якої співпадає з віссю стержня, а вісь y перпендикулярна до осі стержня (рис.9,а).

.2

1

2

1

2

1

2

12

2

ll l l

dxdx

wdMdx

dx

duNdMduNU (3.1)

26

а

б

в

Рис. 9

У компактному запису співвідношення (3.1) набуває вигляду:

l

T dxU2

1, (3.2)

де uD ; E ;

2

2

0

0

dx

ddx

d

D – матриця диференціювання;

27

EI

EAE

0

0– матриця фізико-геометричних

характеристик стержня;

w

uu – вектор незалежних переміщень у довільній точці.

Для підтвердження відповідності формули (3.2) співвідношенню (3.1), виконаємо наступні матричні дії:

22220

0

dxwd

dxdu

w

u

dxd

dxduD ,

M

N

dxwd

dxdu

EI

EA

dxwd

dxdu

EI

EAE 22220

0,

dxM

NdxwddxdudxU

ll

T 22

2

1

2

1

ll

dxdxwdMdxdxduN 22

2

1

2

1.

Слід звернути увагу на те, що компонентами вектора напружень у формулі (3.2), що визначає потенціальну енергію деформації стержня, є внутрішні зусилля. У подальшому при побудові співвідношень МСЕ для різних конструкцій формула, що визначає потенціальну енергію деформації, буде мати вигляд (3.2), але наповнення векторів деформацій і напружень буде відповідати гіпотезам і співвідношенням теорії пружності щодо конкретної конструкції.

28

3.2. Скінченний елемент плоскої стержневої конструкції. Функції форми стержневого cкінченного елемента

Розглянемо стержневу конструкцію, елементи якоїрозташовані в одній площині і завантажену довільним набором силових факторів (зосередженими силами і моментами, розподіленим навантаженням) (рис. 10).

Рис. 10

Поставимо задачу – обчислити вектор переміщень, що визначає деформований стан рами.

Для розв’язання цієї задачі будемо виходити з умови рівноваги конструкції. Скористаємось варіаційним принципом можливих переміщень

0 δAδUδV . Робота внутрішніх сил на можливих переміщеннях рами

визначається як сума робіт, обчислених для окремих її ділянок, що мають скінченні розміри. Попередньо позначимо ці ділянки і назвемо їх скінченними елементами (СЕ). Точки, де сполучаються СЕ називаються вузлами, які послідовно пронумеруємо (рис.10). Таким чином

dxMdxNUUS lS S l

S

SS

29

S l

T

S l S lSS S

dxdxdx

wd

dx

wdEIdx

dx

du

dx

duEA

2

2

2

2

. (3.3)

Робота внутрішніх сил у межах одного СЕ обчислюється в локальній системі координат, пов’язаній з цим елементом. Початок локальної системи розташуємо у вузлі СЕ, що має менший номер. Координатна вісь “x” орієнтована по осі стержня (скінченного елемента) у бік вузла з більшим номером. Вісь “y” перпендикулярна осі стержня і орієнтована таким чином, що поворот від осі “x” до “y” відбувається проти годинникової стрілки.

Робота внутрішніх сил залежить від функцій переміщень:

xuu ; xww .

Єдине, що ми знаємо про ці функції, це те, що вони неперервні і є можливість наближено подати їх у формі поліному.

Спочатку розглянемо функцію поздовжніх переміщень xuu :

2321 xcxccxu .

Виходячи з того, що в (3.3) ця функція пов’язана з першою похідною, обмежимось для її подання двома членами поліному

xccxu 21 . (3.4)

Коефіцієнти полінома виразимо через вузлові переміщення стержневого СЕ, показані на рис. 11, які нам теж поки що невідомі.

Рис. 11

30

Далі будемо дотримуватись напрямків вузлових переміщень, показаних на рис. 11, вважаючи їх додатними.

Таким чином, для x = 0 та x = l маємо два рівняння:

,0 11 vcx 421 vlcclx . (3.5)

З розв’язку системи рівнянь (3.5) отримаємо значення коефіцієнтів полінома:

;11 vc 142

1vv

lс .

Підставимо ці значення в (3.4) і отримаємо:

41141 11

vl

xv

l

xxvv

lvxu

. (3.6)

Функції l

xxN 11 і lxxN 4 називаються функціями

форми СЕ стосовно поздовжніх переміщень. Співвідношення (3.6) набуває вигляду: 4411 vxNvxNxu .

Функція форми – це поліном, який визначає вплив пов’язаного з нею вузлового переміщення на значення відповідного переміщення у внутрішній області СЕ.

Властивості функцій форми

1. Кількість функцій форми співпадає з числом вузлових переміщень в СЕ. Кожному вузловому переміщенню відповідає своя функція форми.

2. Функція форми змінюється в межах 01 xNі .Значення “1” функція форми приймає для координат вузла, з

яким пов’язано відповідне їй переміщення. Для координат інших вузлів функція форми приймає значення ”нуль”. Наприклад,

l

xxN 11 пов’язана з переміщенням v 1 першого вузла і тому

10

101 l

N ; а вже для другого вузла – 011 l

llN .

31

Далі визначимо функції форми, що стосуються прогинів стержня (рис.12).

Рис. 12

У формулу (3.3) функція прогинів xww входить у складі другої похідної по аргументу x і тому поліном, який наближено її визначає, повинен мати не менше трьох членів 2

321 xxxw . Коефіцієнти поліному, яких у даному випадку вже три, теж визначаються через вузлові переміщення (рис.12). Виникла необхідність підключити ще й кут повороту. Ми не маємо права довільним чином нехтувати одним з кутових переміщень, бо обидва вони рівноцінні. А тому вимушеним кроком є розширення поліному до чотирьох членів відповідно до чотирьох граничних умов щодо прогину (два прогини і два кути повороту у вузлах) (рис. 12).

.32

,

2432

34

2321

xxdx

dwx

xxxxw

Тоді: 210 vw , 320 v , (3.7)

53

42

321 v llllw ,

62

432 32 v lll . Розв’яжемо систему чотирьох рівнянь з чотирма

невідомими. З перших двох рівнянь (3.7) очевидно ,v21 .v32 А з третього і четвертого рівнянь, які утворюють

систему

32

.32

,

362

43

3253

42

3

vvll

lvvvll

отримуємо значення коефіцієнтів

.1212

,1323

625332234

6523223

vl

vl

vl

vl

vl

vl

vl

vl

Підставимо значення коефіцієнтів у поліном для xw і остаточно отримаємо:

6

2

52

2

3

2

22

2

32323

vl

xv

l

xv

l

xv

l

xxvvxw

.22

62

3

53

3

32

3

23

3

vl

xv

l

xv

l

xv

l

x

Після зведення подібних членів визначимо наступні функції форми:

32332 321

llxxl

xN ;

xllxxl

xN 22323 21

;

2335 321

lxxl

xN ;

2326

1lxx

lxN .

y

y

x

x

l

15

6

v

v

=1

=1

y

y

x

x

l

l

1

2

3

v

v

=1

=1

33

66553322 vxNvxNvxNvxNxw . Функції форми дають можливість визначити переміщення u

і w в довільній точці стержневого СЕ по значенням його вузлових переміщень. Стержень, що фактично є континуальним об’єктом, можна розглядати як дискретну систему, число степенів вільності якої визначається числом вузлових переміщень. Розглянутий стержневий СЕ має шість степенів вільності.

Вектор переміщень у довільній точці СЕ має дві незалежні компоненти, які можна виразити через переміщення вузлів за формулою

,vNu або в розгорнутому вигляді:

6

5

4

3

2

1

6532

41

00

0000

v

v

v

v

v

v

NNNN

NN

w

u

66553322

4411

vNvNvNvN

vNvN, (3.8)

де N – матриця функцій форми; v – вектор вузлових переміщень.

3.3. Матриця жорсткості скінченного елемента

Маючи наближене подання функцій переміщень (3.8), визначимо роботу внутрішніх сил на можливих переміщеннях (3.3).

vσ,vv BEEBNDuD ,

де NDB .

.vKvdxvBEBvdxU T

l

TT

l

Ts

ss

34

Матриця sl

T dxBEBK називається матрицею

жорсткості СЕ. Що це дійсно так, достатньо звернути увагу на розмірність її елементів. Робота U обчислюється в (Нм), переміщення v – в (м), тоді розмірність K в (Н/м), що відповідає розмірності коефіцієнта жорсткості.

Обчислимо коефіцієнти матриці жорсткості.

6532

41

2

2 00

0000

0

0

NNNN

NN

dx

ddx

d

NDB

26

2

25

2

23

2

22

2

41

00

0000

dx

Nd

dx

Nd

dx

Nd

dx

Nddx

dN

dx

dN

.00

0000

26252322

1411

BBBB

BB

sl

Ts xdBEBK

sl

dxBBBB

BB

EI

EA

B

B

B

B

B

B

26252322

1411

26

25

14

23

22

11

00

0000

0

0

0

0

0

0

0

0

35

66656362

56555352

4441

36353332

26252322

1411

00

00

0000

00

00

0000

KKKK

KKKK

KK

KKKK

KKKK

KK

.

Обчислимо деякі з коефіцієнтів матриці жорсткості

ll

x

dx

d

dx

dNB

111

11

;

lxl

llxxldx

d

dx

NdB

2

632

13

32332

2

22

2

22 ;

lxl

lxxldx

d

dx

NdB

2

632

13

2332

2

25

2

25 .

sl

l

fl

EAx

lEAEAdxBK ,

1

02

21111

sl sl

dxllxxl

EIdxBK22

6

2

222244

36

23

0

223

6

1212

24

34

36

l

i

l

EIxl

xl

x

l

l

.

ll

EJdxlxlxl

dxBBKK 2236

625225225

236

3 12

3

3612

3

436

l

i

l

EJ

l

lEJ

,

де і=ЕІ/l – погонна жорсткість згину.

36

У випадку стержня постійної жорсткості обчислення інтегралів не породжує труднощів. Якщо ж маємо справу зі стержнем змінної жорсткості, то момент інерції і площа перерізу стержня вже є змінними величинами. Закон зміни геометричних розмірів перерізу повинен бути заданим. Задача обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості значно спрощується, якщоінтегрування виконується чисельно, наприклад, за формулою Сімпсона.3

6

6

2

2

l

l

.

6,0

,6

,

,2

,0

,26

222

22

222

322

lB

Bl

B

lx

lx

x

lxl

B

6

6

2

2 2

2

l

l ll

.6,0

,6

,

,2

,0

,26

225

25

225

325

lB

Bl

B

lx

lx

x

lxl

B

l llll

lEIEIdxBBK

222225222566

00466

6

l

i

l

EI

l

EI

ll

lEI

1212

6

723636

6 2344

;

l l

i

ll

lEIEIdxBBK

2442222221236

00436

6;

або: 2262222 44

36llxx

lBB ;

0x ; 42

6222

3636

ll

lB ;

2

lx ; 02

22 B ;

lx ; 4

2226

222

3644

36

llll

lB .

37

3 36 64 4

2 2

l l

l l .1236

00436

6 44

22222

l

i

ll

EI

EIdxBKl

У випадку коли )(xfI , слід обчислити значення цієї функції у трьох точках, а інтеграл обчислити по Сімпсону

llll IBIBIB

E 222

22

22200

222 4

6.

Фізична суть коефіцієнту матриці жорсткості ijK СЕ – реакція

в і-й накладеній в’язі від одиничного зміщення j-ї в’язі.

3.4. Вектор зведених вузлових сил

Враховуючи те, що основними невідомими методу скінченних елементів МСЕ є переміщення вузлів СЕ, усі характеристики скінченноелементної моделі (СЕМ) зводяться до вузлів. А тому у випадку наявності в межах СЕ розподіленого навантаження, його теж треба звести до вузлів СЕ, виходячи з умови еквівалентності роботи розподілених зовнішніх сил на можливих переміщеннях і роботи зведених до вузлів сил на можливих переміщеннях цих вузлів.

Розглянемо випадок, коли в межах СЕ діє рівномірно розподілене навантаження (рис. 13).

Робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях визначається за формулою:

sl

Ts dxPuA ,

q

P0

– вектор зовнішніх сил.

Рис. 13

38

Тоді

ss l

T

l

TTs dx

q

N

N

N

N

N

N

dxPNA0

0

0

0

0

0

0

6

5

4

3

2

1

vv

.

0

0

6

5

3

2

Qvdx

qN

qN

qN

qN

v T

ls

(3.9)

Вектор 654321 QQQQQQQ T складається зі зведених до вузлів сил.

Визначимо деякі з компонентів вектора Q .1Q 0 – це очевидно з (3.9).

.23

34

2

321

0

334

3

323322

qlxl

xl

x

l

q

dxqllxxl

qdxNQ

l

l ls s

Аналогічно обчислюються інші компоненти вектора зведених сил.

3.5. Матриця жорсткості СЕ моделі плоскої стержневої конструкції

Невідомими МСЕ є можливі і незалежні переміщення вузлів скінченних елементів. Співвідношення МСЕ для стержневого СЕ

39

визначалися в локальній системі координат, виходячи з умов простоти запису роботи внутрішніх сил на переміщеннях, де вони природно мають фізичне трактування.

У випадку побудови співвідношень МСЕ для цілої конструкції, переміщення вузлів слід задавати у глобальній системі координат, яка вводиться для цілої конструкції і є загальною для всіх СЕ.

Співвідношення МСЕ для переміщень в глобальній системі будуються на основі отриманих співвідношень в локальній системі координат СЕ шляхом елементарних математичних перетворень з вектором переміщень (рис. 14).

Рис. 14

654321 vvvvvvv Ts , 654321 T

s – вектори вузлових переміщень скінченного елемента у локальній sv і глобальній s системах координат. Зв’язок між цими векторами визначається формулою

,v ss T

де T – матриця перетворень (матриця повороту). Позначимо ,αcos c а sαsin ,

40

тоді T

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

.

Визначення матриці жорсткості СЕ для вузлових переміщень у глобальній системі координат виконується формально:

,*ss

Ts

ssTT

sssTss

K

TKTKU

vv

де *

sK TKT sT – матриця жорсткості СЕ, що відповідає

переміщенням вузлів у глобальній системі координат. Аналогічно виконується перетворення вектора зведених вузлових сил.

;*

s

T

ss

TT

ss

T

sQQTQvA

.5

*QTQ T

Подальші дії щодо побудови матриці жорсткості СЕМ цілої конструкції виконуються в наступній послідовності.

Введемо вектор переміщень вузлів рами в глобальній

системі координат nTV 3321 , (n – загальне

число вузлів СЕ – моделі рами) і матрицю відповідності sI для

кожного скінченного елемента СЕМ рами.Матриця відповідності S-го СЕ забезпечує вибірку

компонент вектора V , які стосуються цього елемента VI ss . Виходячи з умов рівноваги рами, маємо:

Ss

Tsss

Ts QKAU

**

41

sTs

T

Sss

Ts

T QIVVIKIV **

,0~~ QVKV T (3.10)

де

sss

Ts IKIK

*~– матриця жорсткості СЕМ цілої

конструкції; s

ss QIQ *~– вектор зведених вузлових сил СЕМ

конструкції.Аналізуючи (3.10), зробимо висновок, що вектор можливих

переміщень вузлів рами V у загальному випадку не є нульовим. Компоненти його можуть приймати можливі нескінченно малі значення. Тоді виходить, що нульовим повинен бути другий співмножник у лівій частині (3.10):

0~~ QVK .

Таким чином, в математичному аспекті СЕМ рами являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь, у якій невідомими є дійсні переміщення вузлів СЕ – моделі в глобальній системі координат.

3.6. Співвідношення МСЕ для стержня при просторовому навантаженні

Віднесемо стержень до загальноприйнятої системи координат x y z (рис. 15,а), де вісь x співпадає з віссю стержня, а осі y та z – головні осі інерції перерізу стержня.

Стержень підлягає поздовжній деформації, скруту та поперечному згину в двох площинах – xoy та xoz. Якщо розміри перерізу стержня малі у порівнянні з його довжиною, то можна нехтувати зусиллями зсуву і вважити, що нормальні напруження в перерізі розподіляються по лінійному закону відповідно до гіпотези плоских перерізів.

42

У цьому випадку поздовжнє переміщення u(x), кут скрути стержня x та прогини

yw і

zw в напрямку осей oy та oz можна

вважати незалежними.

а б

Рис. 15

Робота внутрішніх сил на можливих переміщеннях визначається формулою:

l

zyyzxkpx dxMMMNU

l dx

du

dx

duEA

dx

d

dx

dGIkp

dx

x

dv

dx

vdEI

dx

wd

dx

wdEI yz

2

2

2

2

2

2

2

2

, (3.11)

де u, w ,v –лінійні переміщення в межах стержня по напрямку осей x,y,z, відповідно; , , – кути повороту перерізів стержня навколо осей x, y, z; EA, GIkp, EIy, EIz – поздовжня жорсткість стержня, жорсткість на скрут і жорсткості на згин відносно осі y та осі z. Кутові переміщення і є функціями прогинів v і w у напрямку осей OZ та OY.

(dx

dv

dx

dw ; ).

43

Наближене подання (апроксимацію) функцій незалежних переміщень у межах стержня виконаємо поліномами, число членів яких залежить від порядку похідних у формулі (3.11). Для функцій u(x) і (x) приймаємо лінійну апроксимацію, враховуючи той факт, що до (3.11) вони входять у складі першої похідної і поліном має два степені вільності – xccxu 21 .

А для xw і xv треба вже використовувати кубічний поліном, який має чотири степені вільності 3

42

321 xxxxw .Коефіцієнти поліномів, як і у випадку зі стержнем,

навантаженим у площині, виражаються через переміщення вузлів СЕ. (рис. 15,б) за вже визначеною схемою. Тому апроксимацію всіх чотирьох незалежних переміщень (u, , w, v) по області стержня подано через функції форми, які визначені для плоского стержня.

vNu , (3.12)

де auu ,vw,, – вектор переміщень у довільній точці СЕ (рис.15,б),

126

111054

9832

71

0000000000

00000000

00000000

0000000000

NN

NNNN

NNNN

NN

N –

– матриця функцій форми СЕ;

}{ 121110987654321 vvvvvvvvvvvvv T – вектор вузлових

переміщень СЕ, фізична суть яких показана на рис.15,б.

Наведемо розгорнуту форму співвідношення (3.12):

7711 vNvNxu , 99883322 vNvNvNvNxw , 111110105544 vNvNvNvNxv , 121266 vNvNx .

44

Функції форми мають вигляд

l

x

l

xlNN 161 ;

l

xNN 127 ;

323342 321

llxxl

NN ; ,21 323253 xllxx

lNN

23

310832

1lxx

lNN ; 23

2119

1lxx

lNN .

Математичні викладки щодо побудови матриці жорсткості (МЖ) просторового СЕ отримаємо за тією ж схемою, що і для плоского СЕ, виходячи з компактного запису (3.11):

l

Ts dxU ,

де

dxddx

vddx

wddxdu

v

w

u

dxd

dx

ddx

ddxd

uD

2

2

2

2

2

2

2

2

000

000

000

000

; (3.13)

kpkp

σ

M

M

M

N

GI

EI

EI

EA

Ey

z

z

y

x

y

z

000

000

000

000

.

Зробимо перетворення в (3.13) з урахуванням (3.12):

vv BND

45

Матриця жорсткості СЕ будується в локальній системі координат, в якій формули для обчислення роботи внутрішніх і зовнішніх сил мають просту структуру.

Стосовно побудови МЖ усієї конструкції потрібно виходити з того, що переміщення її вузлів повинні задаватися в глобальній системі координат XYZ , пов’язаній з конструкцією.

Установимо зв’язок між компонентами вектора вузлових переміщень, поданими в локальній і глобальній системах координат:

Tv , де – вектор переміщень у глобальній системі координат; T –матриця перетворень.

Формула, що визначає роботу внутрішніх сил на можливих переміщеннях дискретної моделі набуває вигляду:

l

Ts dxU SS

TS K }{][}{ νν

}{][}{}]{[][][}{ * STSS

TTS KTKT ,

де sK* = TKT sT – матриця жорсткості СЕ для переміщень

вузлів у глобальній системі координат.Для побудови матриці перетворень T подамо довільний

вектор R у двох ортогональних системах координат з базисами

321 lll і 321

ggg . Для зручності подальших записів усі

індексовані величини визначаються в глобальній системі координат: 321 lRlRlRR zyx

,

321 grgrgrR zyx ,

321 lRlRlR zyx

= 321 grgrgr zyx . (3.14)

Визначимо скалярні добутки лівої і правої частини (3.14) на базисні вектори 1g , 2g , 3g і врахуємо

ji

jigg i

jji при0

при1.

У результаті отримаємо систему рівнянь

46

.

,

,

333231

232221

131211

zyxz

zyxy

zyxx

RCRCRCr

RCRCRCr

RCRCRCr

або в компактній формі RCr .

Елементи матриці перетворень jiji

glC

є косинуси кутів

між i

l

та ig базисними векторами глобальної і локальної систем

координат.Перетворення координат локальної системи виконується

відповідно матричному співвідношенню:

112131

122232

112313

132333

322212

312111

112131

122232

332313

132333

322212

312111

21

22

23

23

22

21

11

12

13

13

12

11

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

m

m

u

m

u

u

m

m

u

m

u

u

2

22

23

23

22

21

11

12

13

13

12

11

1m

m

u

m

u

u

m

m

u

m

u

u

.


1. Як побудувати розрахункову модель пружного тіла за допомогою МСЕ?

2. Які величини приймаються за невідомі МСЕ?3. Що називається функціями форми для області СЕ? 4. Записати співвідношенні МСЕ для побудови матриці

жорсткості СЕ.5. Яка фізична суть коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ?6. Викладіть послідовність побудови СЕМ стержневої

конструкції.

47

Лекція 4. СПІВВІДНОШЕННЯ МСЕ ДЛЯ ПЛОСКО-НАПРУЖЕНОЇ КОНСТРУКЦІЇ


Параметри напружено-деформованого стану плоско-напру-женої конструкції залежать тільки від двох координат. Таким чином, область, що розглядається, двовимірна (рис. 16).

Розглянемо конструкцію, навантажену у своїй площині. При побудові співвідношень МСЕ для такої конструкції скористаємося гіпотезою про відсутність напружень у напрямку нормалі до серединної площини панелі. Вважаємо, що напруження по товщині конструкції не змінюються (рис. 17).

Рис. 16 Рис. 17

Співвідношення теорії пружності для області плоско-напруженої панелі мають вигляд:

– рівняння рівноваги:

,

,σ

0

0

22

22

1

21

12

12

1

11

Rxx

Rxx

або ,0 RT

48

де

2

1

R

R– вектор об’ємних сил;

12

2

1

0

0

xx

x

x

– матриця диференціювання;

=

12

22

11

– вектор напружень ( 2112 ).

– геометричні рівняння (у формі Коші):

1

2

2

1

122

2

221

1

11,,

x

u

x

u

x

u

x

u

.

u .

– фізичні рівняння:

,1

,,1

112222

12

12221111

EE

GEE

які відносно напружень мають вигляд:

.2

,,2

221122

1212221111 G

де ν,

ν

νλ

121 2

EG

E – коефіцієнти Ламе.

У матричній формі

E ,

49

00

02

02

E ,

1

2

2

1

2

2

1

1

dx

du

x

ux

udx

du

.

Робота внутрішніх сил на можливих переміщеннях

s

T

s

sdtsdtU 121222221111 . (4.1)

Робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях

s

iiT uQdxPuA ;

12

21

xq

xqP .

Компоненти вектора навантажень 2xqi і 12 xq враховують розподілення навантаження по товщині панелі.

4.2. Побудова скінченноелементної моделі

Розділимо конструкцію на скінченні елементи простої трикутної форми (рис. 18).Є два типи елементів, порядок нумерації вузлів яких показано на рис. 19. Область СЕ зберігає всі властивості континуальної конструкції. У двовимірній області СЕ проявляються два незалежних переміщення 1u і

2u вздовж координатних осей 1x і 2x відповідно.

Рис. 18

50

Рис. 19

Для побудови матриці жорсткості необхідно задати апроксимацію незалежних функцій переміщень по області СЕ і пов’язати її зі степенями вільності елемента. З формули для варіації потенціальної енергії (4.1) видно, що поліноми для апроксимації функції переміщень 211 , xxu і 212 , xxu повинні містити члени не нижче першого порядку. Лінійний поліном від двох змінних має третій порядок.

Для трикутного СЕ число постійних коефіцієнтів апроксимуючих поліномів кожної з незалежних функцій переміщень природно дорівнює трьом.

Наприклад, для 211 , xxu маємо:

23121211 , xxxxu . (4.2)

Значення коефіцієнтів поліному виразимо через переміщення вузлів СЕ (рис. 20), 531 v,v,v що відповідають переміщенню вздовж осі 1x .

Таким чином, 1311

1 ,0 vhhu ; 513

1 0,0 vu ;

3212

1 0, vllu ,

або в компактному запису vc .

Розв’язком системи лінійних рівнянь є значення коефіцієнтів поліному (4.2 ): vc 1 .

51 v ; 5321

vvl

; 1531

vvh

.

51

Після підстановки цих значень у поліном отримаємо:

512

31

12

211 1, vl

x

h

xv

l

xv

h

xxxu

.

Функції форми СЕ

l

x

h

xxxN

l

xxxN

h

xxxN 12

2151

2132

211 1,;,;,

виконують розподіл вузлових переміщень по області СЕ в напрямку х1. Наприклад, функція форми 215 , xxN розподіляє тільки вузлове переміщення 5v . Вона приймає значення одиниці для координат 3-го вузла (0,0) (рис. 20), до якого віднесене вузлове переміщення 5v . Для координат 1-го (0,–h) і 2-го (l,0) вузлів функція форми ),( 215 xxN набуває нульового значення .

Координати довільної точки в межах СЕ ),( )(2

)(1

ii xx у

функціях форми 531 ,, NNN визначають вплив вузлових

переміщень 531 vvv ,, на переміщення ),( 211ii xxu у цій точці.

Визначення переміщення 2u в напрямку осі 2x пов’язане з вузловими переміщеннями 642 vvv ,, (рис. 20):

621642142212212 vxxNvxxNvxxNxxu ,,,, .

Рис. 20

Функції форми 642 ,, NNN визначаються за тією ж схемою, що і 531 ,, NNN і тому можна вважати справедливими рівності 563412 ;; NNNNNN .

52

4.3. Матриця жорсткості трикутного скінченного елемента

Вихідною для побудови матриці жорсткості є формула щодо варіації потенціальної енергії для області СЕ (4.1). Коефіцієнти матриці жорсткості СЕ визначаються за стандартною схемою:

vNu ;

6

5

4

3

2

1

642

531

2

1

000

000

v

v

v

v

v

v

NNN

NNN

u

u

664422

553311

vNvNvN

vNvNvN;

vBvNu ; NB .

У розгорнутій формі:

642

531

12

2

1

000

0000

0

NNN

NNN

xx

x

x

B

1

6

2

5

1

4

2

3

1

2

2

1

2

6

2

4

2

2

1

5

1

3

1

1

000

000

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

N

53

lhlh

hh

ll

111001

100010

010100

; (4.3)

.vBEE

Остаточно маємо

eeTe

see

Te

Te

se

Tee vKvdsvBEBvdxU ,

де s

Te dsBEBK – матриця жорсткості СЕ.

4.4. Визначення зведених до вузлів сил в межах СЕ

Всі характеристики СЕ, включаючи і розподілені навантаження на контурі, зводяться до вузлів. Значення вузлових сил визначаються за формулою для обчислення роботи зовнішніх сил на можливих переміщеннях. Розглянемо варіант завантаженого СЕ, показаний на рис. 21,а.

а бРис 21

eTee

Te

l

Te

l

Te QvdxqNvxdquA 11 ,

54

де eQ – вектор зведених до вузлів сил від розподіленого навантаження в межах СЕ.

e

eTee xdqNQ 1

6

5

4

3

2

1

1

26

24

22

12

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Q

Q

Q

Q

Q

Q

xd

xqN

xqN

xqN

xdxq

N

N

N

N

N

N

el

.

Очевидно, 0531 QQQ .

l

xdxqh

xxdxqNQ 0112

211222 ,

що відповідає значенню 02 x для лінії, на рівні якої розташовано навантаження.

l

xdxqNQ 11244 , 11266 xdxqNQl .

Обчислення визначуваних інтегралів виконаємо чисельно за формулою Сімпсона.

1 12

графік функціїформи 3N

l

xNN 1

34 ;графік функціїнавантаження

55

2

2334 1

22

140

6q

qqq

lQ

6

22

623

23lqq

qql

.

аналогічно

6

2 236

lqqQ

.

Ординати графіка функцій навантаження прийняті з від’ємним знаком, бо орієнтація навантаження не співпадає з напрямком координатної осі 2ox .

Схема вузлових сил, що відповідає навантаженню, на рис.21,а наведена на рис. 21,б.

Номер зведеної до вузла сили співпадає з номером відповідного вузлового переміщення (див. рис. 20).

4.5. Побудова матриці жорсткості і вектора зведенихдо вузлів сил моделі пластини

Введемо вектор переміщень вузлів СЕМ пластини в глобальній системі координат

nnTV 2124321 ,

де n – загальне число вузлів СЕМ.Установимо залежність

VI ee , (4.4)

де e – вектор переміщень вузлів одного СЕ пластини; eI –матриця відповідності СЕ, яка забезпечує вибірку переміщень з повного набору V щодо конкретного СЕ.

На рис. 22 показана схема побудови матриці відповідності для 3-го СЕ.

56

Номеривузлів СЕ

Номери вузлів СЕМ

1 2 3 4 5 6 7 8Ло- кальн

ий №

Глобальний

№ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 2

2 11 1

2 72 11 1

3 62 1

Рис. 22

57

Розгорнута формула (4.4) для 3-го СЕ має вигляд:

.

0000100000000000

0000010000000000

0010000000000000

0001000000000000

0000000000001000

0000000000000100

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

11

14

13

4

3

Матриця відповідності для кожного скінченного елемента моделі конструкції будується аналогічним чином.

Побудова матриці жорсткості і вектора зведених до вузлів сил СЕМ конструкції виконується в наступній послідовності, починаючи з умов рівноваги конструкції:

e

eTee

T

eee QKAUAU

e. . (4.5)

Вузлові переміщення СЕ у глобальній системі координат позначені символам . Враховуючи залежність (4.4) у співвідношенні (4.5), остаточно отримаємо:

,0**

QVKV

QIVVIKIV

T

ee

Te

Tee

Te

T

(4.6)

58

де eeTee

IKIK *– матриця жорсткості СЕМ плоско–

напруженої панелі, елементи якої обчислюються шляхом підсумовування коефіцієнтів матриць жорсткості скінченних елементів, визначених матрицею відповідності.

Аналізуючи формулу (4.6) можна зробити висновок, що у загальному випадку компоненти вектора можливих переміщень СЕМ панелі V не будуть нульовими, а в такому разі нулю повинен дорівнювати зміст множника у дужках. Таким чином:

**0 QVK . (4.7)

Співвідношення (4.7) визначає математичний аспект скінченноелементної моделі як системи лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно дійсних переміщень вузлів СЕМ конструкції в глобальній системі координат від заданого навантаження, яке

характеризується вектором зведених до вузлів сил *Q .

4.6. Обчислення напружень у межах скінченного елемента і реакцій у в’язях

Компоненти вектора напружень визначаються відповідно до закону Гука:

eeee BEE ,

де матриця B (4.3) для плоско-напруженої конструкції є число-вою. Вектор вузлових переміщень СЕ e теж числовий.

Таким чином, компоненти вектора напружень не залежать від координат і в межах скінченного елемента плоско–напруженої конструкції не змінюються.

Розв’язавши систему лінійних рівнянь (4.7), визначимо вектор вузлових переміщень СЕМ конструкції:

*1*QKV

,

і вектор вузлових переміщень окремого СЕ: VI ee .

59

Що стосується реакцій в зовнішніх в’язях, то вони теж обчислюються за стандартною схемою МСЕ:

ie

ieei KR ,

де ieK – матриця жорсткості скінченних елементів, що притичні

до і-го вузла, в якому накладені зовнішні в’язі. У вузлах без в’язей (вільних вузлах) реакції повинні дорівнювати нулю, що відповідає умовам рівноваги незакріпленого вузла.

4.7. Прямокутний скінченний елементплоско-напруженої конструкції

Скінченноелементні моделі плоско-напружених конструкцій прямокутної форми природно будувати за допомогою прямокутних елементів з вузлами у вершинах. Вектор вузлових переміщень такого елемента має вісім компонент, а функції форми будуються явно на основі лінійних поліномів Лагранжа (рис. 23). Запропонована модель деформованого стану області скінченного елемента еквівалентна гіпотезі лінійного розподілу переміщень вздовж координатних осей.

Рис. 23

60

Кожний вузол має два незалежних переміщення 1u і 2u в напрямку координатних осей 1x і 2x відповідно. Таким чином, скінченний елемент має вісім степенів вільності і для апроксимації переміщень у його межах необхідно визначити вісім функцій форми.

Спочатку побудуємо функції форми, що стосуються переміщень 211 , xxu . Номер функції форми співпадає з номером відповідного їй вузлового переміщення.

,111 2121212111211 ab

xx

b

x

a

x

b

x

a

xxLxLxxN

,1 211212112213 ab

xx

a

x

b

x

a

xxLxLxxN

,2122211215 ab

xx

b

xxLxLxxN

ab

xxxLxLxxN 21

2212217 .

Отримані функції форми є неперервними функціями координат, числові значення яких змінюються в межах 01 iN . Значення “1” функція форми приймає для координат вузла СЕ з яким пов’язано відповідне її вузлове переміщення. Наприклад,

5N пов’язана з переміщенням 5v вузла № 3 (рис. 23), що має

координати :,0 32

31 bxx

10

,0 25

ab

x

b

bbN .

Для всіх інших вузлів ),( 215 xxN дорівнює нулю:

000

0,015

abbN ; 0

000,2

5

ab

a

baN ;

0),(45

ab

ba

b

bbaN .

Функції, утворені як добуток лінійних поліномів (багаточленів), називаються полілінійними.

Визначення функцій форми для апроксимації переміщень 212 , xxu у напрямку осі 2x виконуються за тими ж правилами,

61

що і для переміщень 211 , xxu , а тому слід вважати справед-ливими такі рівності:

12 NN ; 34 NN ; 65 NN ; 78 NN .Отримані функції форми дають змогу виразити переміщення

в довільній точці скінченного елемента через переміщення його вузлів

vNu ,або в розгорнутій формі:

8

7

6

5

4

3

2

1

8642

7531

2

1

0000

0000

v

v

v

v

v

v

v

v

NNNN

NNNN

u

u=

88664422

77553311

vNvNvNvN

vNvNvNvN.

Побудова матриці жорсткості СЕ виконується за стандарт-ною схемою шляхом перетворень у формулі, що визначає потенціальну енергію деформації для області скінченного елемента:

s

Te sdtU ,

vBvNu ,

8642

7531

12

2

1

0000

00000

0

NNNN

NNNN

xx

x

x

NB

62

1

8

2

7

1

6

2

5

1

4

2

3

1

2

2

1

2

8

2

6

2

4

2

2

1

7

1

5

1

3

1

1

0000

0000

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

N

x

N

3837363534333231

28262422

17151311

0000

0000

BBBBBBBB

BBBB

BBBB

ab

x

ab

x

ab

x

ab

x

bab

x

aab

x

ab

x

aab

x

b

ab

x

ab

x

bab

x

ab

x

b

ab

x

ab

x

ab

x

aab

x

a

21212121

1111

2222

1111

01

001

0

0001

01

.

vBEE ,

00

02

02

E –

матриця пружності, складовими якої є параметри Ламе для плоско-напруженої конструкції

121 2

EE, , TTTT BvvB ,

s

eTTT

e vKvdsvBEBvtU .

Числові вектори можливих v і дійсних v переміщень вузлів скінченного елемента винесені за знак інтеграла. Матриця

dsBEBtKs

T є матрицею жорсткості СЕ елементи якої

63

обчислюються в результаті виконання дій з матрицями під інтегралом. Матрицю пружності E запишемо в компактній формі.

00

0

0

2221

1211

EE

EE

E ,

де 22211 EE , 2112 EE .Таким чином маємо:

ds

s BBBBBBBB

BBBB

BBBB

EE

EE

BB

BB

BB

BB

BB

BB

BB

BB

t3837363534333231

18262422

17151311

2221

1211

3828

3717

3626

3515

3424

3313

3222

3111

0000

0000

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

KdstBBBBBBBB

BBBB

BBBB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

BEBEB

s

3837363534333231

28262422

17151311

3822282128

3712171117

3622262126

3512151115

3422242124

3312131113

3222222122

3112111111

0000

0000

64

65

Як приклад, розглянемо обчислення двох коефіцієнтів матриці жорсткості.

.

)(

22211

2

211

22

2

2

0

22

32

2

22

22

11

022

31

02

21

012

222

22

22

211122

21

21

2

211

22

1

21

23111

21111

233

31

113

322

3221

21

21

11

1 2

21

a

b

b

at

a

bE

b

at

a

btE

b

a

b

a

b

at

ba

x

ba

x

a

xtE

ba

x

ab

xx

bt

dxba

x

ba

x

atEdx

ba

x

ab

x

bt

dxEab

x

atdx

ab

x

bt

dSBEBtK

baaa

x x

xx

s

ds

ab

x

ab

x

bE

ab

x

ab

xtdsBBEBBtk

ss

1111

22373511171557

1

.

22

633

1

2

1

3

32

2221120

22

32

11

022

31

2

21

222

22

11122

21

21

1 2

a

b

b

at

a

btE

b

at

ba

xtE

ba

x

ab

xtdx

ba

xtEdx

ba

x

ab

xt

b

a

x x

Фізична суть коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ визначається процедурою їх обчислення: кожний рядок матриці жорсткості являє собою вектор реакцій у вузлі СЕ в напрямку вузлового переміщення, номер якого співпадає з номером рядка, від одиничних переміщень всіх інших вузлів СЕ.

У той же час кожний стовпець матриці жорсткості складається з реакцій у вузлах СЕ від одиничного вузлового переміщення, номер якого співпадає з номером стовпця. Таким чином, коефіцієнт матриці жорсткості ijk позначається двома

66

нижніми індексами: перший i – відповідає номеру рядка; другий j – номеру стовпця матриці жорсткості.

Якщо визначені дійсні переміщення вузлів скінченного елемента, реакції у вузлах визначаються за принципом незалежності вузлових переміщень у скінченному елементі:

VKR ,або в розгорнутій формі

888383282181

828323222121

818313212111

8

3

2

1

88838281

28232221

18131211

8

3

2

1

vkvkvkvk

vkvkvkvk

vkvkvkvk

v

v

v

v

kkkk

kkkk

kkkk

R

R

R

R

Вектор вузлових переміщень ev є визначальним для обчислення напружень в області скінченного елемента

ee vBE

12

22

11

8

7

6

5

4

3

2

1

3837363534333231

28262422

17151311

2221

1211

0000

0000

00

0

0

v

v

v

v

v

v

v

v

BBBBBBBB

BBBB

BBBB

EE

EE.

67

Значення компоненти 11 в розгорнутому вигляді має вигляд

828127271162612

515114241231311222121111111

vBEvBEvBE

vBEvBEvBEvBEvBE

.11

112

81

61

41

21

72

52

32

12

vab

xv

ab

x

bv

ab

xv

ab

x

b

vab

xv

ab

xv

ab

x

av

ab

x

a (4.8)

Аналогічно можна визначити інші компоненти вектора напружень.

Як видно із співвідношення (4.8), напруження по області СЕ визначаються лінійними функціями координат і є, таким чином, змінними величинами. Кожній точці з координатами 21, xxвідповідають значення компонент вектора напружень.

4.8. Ізопараметричний скінченний елемент плоско-напруженої конструкції

Процес створення скінченноелементної моделі конструкції складається з декількох етапів, першими з яких є побудова сітки скінченних елементів, вибір глобальної системи координат стосовно цілої конструкції і локальної системи – пов’язаної із скінченним елементом. Відповідальним етапом є визначення функцій форми, які забезпечують визначення переміщень у межах СЕ через переміщення його вузлів. Є різні способи побудови функцій форми, але вони повинні забезпечити виконання декількох умов стосовно апроксимації функцій переміщень:

1) виконання умов нерозривності переміщень не тільки у вузлах скінченних елементів, але й на їх границях;

2) забезпечення збереження похідних від функцій переміщень, що входять до пружного потенціалу eU ;

3) враховування переміщення скінченного елемента як жорсткого цілого. Це означає, що при зміщенні СЕ як твердого тіла, компоненти вектора деформацій дорівнюють нулю.

68

Враховуючи те, що співвідношення МСЕ формуються в локальній системі координат, то перелічені вимоги щодо функцій форми виконуються автоматично, якщо осі локальної системи орієнтовані по сторонам скінченного елемента. Такі випадки мають місце для СЕ стержневих конструкцій, прямокутних стінових панелей, прямокутних плит. Але на практиці зустрічаються конструкції з контуром довільного окреслення. У цьому випадку доводиться виконувати перетворення для апроксимації переміщень у глобальній системі координат, що призводило до розривів переміщень на границях скінченних елементів і, як наслідок – до втрати точності наближених розрахунків (рис. 24,а).

Виникла ідея відобразити плоский чотирикутний скін-ченний елемент загального виду на квадрат з локальною системою координат o , початок якої в центрі квадрата і осями, орієнтованими по його сторонах (рис.24,б).

а бРис. 24

Для подальшого використання СЕ у формі квадрата, необхідно встановити взаємно однозначний зв’язок між локальними координатами довільного чотирикутного СЕ і локальною системою координат СЕ у формі квадрата:

212

211

xxf

xxf

,

,

та ,

,

22

11

x

x . (4.9)

Для квадратного СЕ функції форми будуються досить просто. Введемо величини

ii

00, ,

69

де , – поточні координати; ii , – координати вузлів СЕ.Функції форми визначаються за формулою

00 1141

,iN і відповідають усім вимогам щодо

функцій форми:1) набувають значення одиниці для координат вузла, з яким

пов’язане відповідне вузлове переміщення і нульового значення для координат інших вузлів;

2) є неперервними функціями в системі координат, осі якої орієнтовані по сторонам СЕ.

Наприклад, для вузлового переміщення 3v , пов’язаного з вузлом № 2, координати якого 11 , (рис.24,б), функція форми набуває вигляду (при ii 00 , )

iiiiiiN 141

1141

3 , .

Для першого вузла: 011114

11,13 N .

Для другого вузла: 111114

11,13 N .

Для третього вузла: 011114

11,13 N .

Для четвертого вузла: 011114

11,13 N .

Наступним кроком формування скінченноелементної моделі є побудова матриці жорсткості СЕ.

dsBEBtKT

se ,

де

1

8

2

7

1

6

2

5

1

4

2

3

1

2

2

1

2

8

2

6

2

4

2

2

1

7

1

5

1

3

1

1

0000

0000

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

N

x

Nx

N

x

N

x

N

x

N

NB .

70

Компонентами матриці B є часткові похідні від функцій форми, визначених у локальній системі o скінченного елемента, по координатам глобальної системи 21xox , в якій визначаються співвідношення теорії пружності. Вважаючи наявність взаємооднозначного зв’язку між координатами систем (4.9), визначимо часткові похідні від функцій форми по координатам локальної системи, вважаючи їх функціями координат глобальної системи:

2

2

1

1

x

x

Nx

x

NN iii ,

)8...3,2,1(,2

2

1

1

i

x

x

Nx

x

NN iii .

У компактному запису для часткових похідних кожної функції форми маємо:

2

1

21

21

x

Nx

N

xx

xx

N

N

i

i

i

i

,

або

2

1

x

Nx

N

JN

N

i

i

i

i

, (4.10)

де

21

21

xx

xx

J .

Матриця, складена з часткових похідних від функції глобальних координат по координатам локальної системи називається матрицею Якобі. Це – числова матриця і завдяки цьому ми маємо змогу визначати часткові похідні від функції

71

форми по координатам глобальної системи. Із співвідношень(4.10) для кожної функції форми маємо

)7,5,3,1(,1

2

1

iN

N

J

x

Nx

N

i

i

i

i

.

Все було б просто, якби нам були відомі співвідношення (4.9), що встановлюють взаємо-однозначний зв’язок між системами координат. Для подолання цієї проблеми застосовано визначення координат точок в межах СЕ за тією ж схемою, що і визначення переміщень: координати довільної точки визначаються по координатах вузлів СЕ з використанням функцій форми для переміщень: XNx , (4.11)

де

2

1

x

xx – вектор координат внутрішньої точки СЕ у межах

довільного чотирикутного СЕ в глобальній системі координат ;

42

41

32

31

22

21

12

11 XXXXXXXXX T – вектор

координат вузлів СЕ в глобальній системі.

Співвідношення (4.11) у розгорнутій формі має вигляд:

42

41

32

31

22

21

12

11

8642

7531

2

1

0000

0000

X

X

X

X

X

X

X

X

NNNN

NNNN

x

x

4

28

3

26

2

24

1

22

4

17

3

15

2

13

1

11

XNXNXNXN

XNXNXNXN, (4.12)

72

в якому верхні індекси в дужках біля компонент вектора вузлових координат означають номер вузла СЕ.

З урахуванням (4.12) кожен з елементів матриці Якобі обчислюється за схемою

41

731

521

311

11 XN

XN

XN

XNx

,

а формула, що визначає матрицю Якобі в компактній формі має

вигляд:

42

41

32

31

22

21

12

11

7531

7531

XX

XX

XX

XX

NNNN

NNNN

J .

Передбачено, що для плоско–напруженої конструкції викону-ються рівності .,,, 78563412 NNNNNNNN Це є наслід-ком незалежності переміщень 21 uiu у довільній точці конст-рукції в напрямку осей 21 xix , відповідно.

Обчислення часткових похідних від функцій форми по координатам локальної системи скінченного елемента у формі квадрата не пов’язано з труднощами, бо функції форми визначені в локальних координатах цього ж СЕ.

Наприклад:

1

4

11

4

13N

.

Часткові похідні є функціями координат локальної системи координат СЕ у формі квадрата. Коефіцієнти матриці жорсткості СЕ обчислюються за формулою.

1

1

1

1

det, JGK e .

Обчислення визначуваного інтеграла виконується чисельно за квадратурними формулами Гауса.

Розглянутий скінченний елемент, у межах якого апроксимація функцій переміщень і геометрії виконується за однією схемою, називається ізопараметричним елементом. Якщо порядок апроксимуючої функції для геометрії нижче порядку апроксимуючої функції для переміщень, елемент називається субпараметричним. У випадку, коли порядок апроксимуючої

73

функції для геометрії вищий, ніж для апроксимації переміщень, скінченний елемент називається суперпараметричним.


7. Побудувати функції форми плоского чотирикутного СЕ на основі лінійних поліномів Лагранжа.

8. У чому полягає особливість побудови співвідношень МСЕ для ізопараметричного СЕ плоско-напруженої конструкції?

9. У яких випадках виникає необхідність введення ізопараметричних СЕ?

Лекція 5. СПІВВІДНОШЕННЯ МСЕ ДЛЯ ТОНКОЇЖОРСТКОЇ ПЛАСТИНИ, ЩО ЗГИНАЄТЬСЯ

1. Вихідні положення

Пластина – це призматичне або цилінд-ричне тіло, висота якого значно менша розмірів у плані. Розмір по висоті називається товщиною пластини (рис.25).

Рис. 25Площина, що ділить висоту пластини навпіл називається

серединною або базовою площиною.Лінія перетину бокової поверхні з серединною площиною

називається контуром пластини.Тонкою вважається пластина, для якої відношення товщини

до меншого розміру в плані знаходиться в межах 5

bt . Пластина

вважається жорсткою, якщо під дією поперечного навантаження

найбільший прогин при її деформації на перевищує 5

1 товщини.

74

Ми обмежимось розглядом прямокутної пластини. Введемо систему координат 321O xxx , початок якої і осі Оx1 та Оx2

розташовані в серединній площині. Вісь Оx3 – орієнтована по нормалі до серединної площини.

Задачу будемо розв’язувати в переміщеннях. У довільній точці пластини, яка розглядається як тривимірне тіло, проявляються три переміщення .,, 321 uuu Визначальним є переміщення по нормалі до серединної площини, яке називається прогином і позначається буквою w .

Задача вважається розв’язаною, якщо від заданого навантаження (а це звичайно рівномірно розподілене, нормальне до поверхні навантаження) встановлено спосіб обчислення переміщень wuu ,, 21 у довільній точці пластини.

Співвідношення МСЕ будуються на основі положень технічної теорії пружності, запропонованих фізиком Кірхгофом.

5.2. Гіпотези Кірхгофа

1. Гіпотеза прямих нормалей стверджує, що будь якапряма лінія нормальна до серединної площини недеформованої

пластини залишається прямою і нормальною до серединної поверхні деформованої пластини, а довжина прямої лінії не змінюється (рис. 26).

Суть цієї гіпотези полягає у відсутності зсуву між шарами пластини по товщині.

Рис. 26

Якщо осі декартових координат розміщені так, що площина

21xOx збігається з серединною площиною, то із першої частини гіпотези випливають такі рівності: 0,0 2313 .

Гіпотеза про незмінюванність довжини прямої лінії припускає, що лінійна деформація в напрямку осі 3x дорівнює нулю 033 .

75

2. Гіпотеза про відсутність тиску між шарами пластини, паралельними до серединної поверхні припускає, що напруженнями 33 порівняно з напруженнями 11 та 22 можна нехтувати, тобто 033 .

3. Гіпотеза про недеформованість серединної площини припускає, що в серединній площині пластини відсутні деформації розтягу, стиснення і зсуву. Тобто серединна площина є нейтральною. Отже у серединній площині переміщення

0)0,()0,,(,212211

xxuxxu .

5.3. Переміщення в пластині

Відповідно до гіпотези 1 про відсутність зсуву шарів, маємо

;0

,0

23

223

13

113

x

w

x

ux

w

x

u

.

,

23

2

13

1

x

w

x

ux

w

x

u

(5.1)

Після інтегрування (5.1) по 3x , маємо:

21232

2

21131

1

xxfxx

wu

xxfxx

wu

.

Постійні інтегрування )( 2,11 xxf та )( 2,12 xxf визначимо для

03 x . У межах серединної площини, згідно з гіпотезою 3, (відсутність переміщень 01 u ; 02 u .)

Звідки .0,0 212211 xxfxxf Таким чином маємо, що

76

32

3212

31

3211

xx

wxxxu

xx

wxxxu

. (5.2)

Проаналізуємо всі переміщення в довільній точці в межах пластини:

На серединній площині проявляється тільки прогин згідно з гіпотезою 2 (рис. 27), в довільній точці на нормалі, прогини будуть такі ж, як і у відповідній точці на серединній поверхні.

Переміщення по 1x та 2xвиражаються через функцію прогинів згідно з (5.2). Із сказаного можна зробити висновок, що для обчислення переміщень у довільній точці в пластині достатньо визначити функцію прогинів серединної поверхні 21xxww .

Рис. 27

Завдяки гіпотезам Кірхгофа, задача про згин тривимірного тіла стає двовимірною.

5.4. Деформації в межах пластини

Для визначення деформації використаємо такі рівняння:

31132

1

2

1

1

11xx

x

w

x

u

,

32232

2

2

2

2

22xx

x

w

x

u

,

312321

2

1

2

2

112 22 xx

xx

w

x

u

x

u

.

Другі похідні від функції прогинів по координатах 1x та 2xмають назву кривин або згинальних деформацій

21

2

11 x

w

; 22

2

22 x

w

;

77

та деформації скруту

21

2

12 xx

w

.

5.5. Напруження в пластині

Для визначення напружень використаємо фізичні рівняння теорії пружності:

;332211111

E

G12

12

;

331122221

E

; 013 ;

033 ; 023 .

або

.

,

112222

221111

1

1

EE

EE (5.3)

Розв’яжемо систему рівнянь (5.3) відносно напружень:

.1

1

1

1

22112

22

11

11

E

EE

EE

E

E

Аналогічно: .)( 1122222 1

E

Подамо напруження, як функції прогинів:

78

221123

22

2

21

2

23

11 11

v

v

Ex

x

w

x

wEx,

112223

21

2

22

2

23

22 11

v

v

Ex

x

w

x

wEx,

1212 G

21

2

3212 xx

wx

E

123

21

23

11

v

Ex

xx

wEx.

Що стосується напружень 1313 G і 2323 G , то виходить, що вони повинні дорівнювати нулю. Але таке положення не відповідає рівнянням рівноваги.

.

,

0

0

3

23

2

22

1

21

3

13

2

12

1

11

xxx

xxx

Розглядаємо навантаження, нормальне до серединної площини.

2

12

1

11

3

13

xxx

221

3

31

3

23

1 xx

w

x

wEx

21

2

2

3

1 xx

w

x

xE

22

2

22

2

22

2

21

2

12

3

1 x

w

x

w

x

w

x

w

x

Ex

2

2

2

21

2

12

3

1 x

w

x

w

x

Ex ,w

x

Ex 2

12

3

1

де

22

2

21

22

xx– оператор Лапласа.

Остаточно для напружень 13 і 23 маємо наступні диференціальні рівняння:

79

wx

xE

x

wx

xE

x

2

22

3

3

23

2

12

3

3

13

1

1 . (5.4)

Визначимо дотичні напруження шляхом інтегрування по

3x (5.4): 2132

12

23

1312

xxfwx

Ex

.

Постійну інтегрування 213 xxf визначимо з умов , що на

рівні обмежуючої поверхні пластини 2

13 x дотичне напруження

013 .

018 213

2

12

2

2133

xxfw

x

Ettx ,

звідки wx

Etxxf 2

12

2

213 18

.

Остаточно: wx

Etw

x

Ex 2

12

22

12

23

13 1812

.

.

аналогічно

;

wx

xtE

wx

xtE

2

2

23

2

223

2

1

23

2

213

412

412

Таким чином і переміщення і напруження в межах пластини є функціями прогину (рис. 28).

80

Рис. 28

5.6. Внутрішні зусилля

Внутрішні зусилля обчислюються на одиницю ширини перерізу пластини (рис. 29).

2

2

31111

t

t

dxN

2

2

33221120

1

t

t

dxxE

.

Рис. 29

2

2

331111

t

t

dxxM

2

2

323221121

t

tdxx

E

81

2

2

3

22112 31

t

t

xE

22112

3

112

Et

22

2

21

2

2211x

w

x

wDD ,

де 2

3

112

EtD – циліндрична жорсткість пластини.

2

2

2

2

12

3

32312331212 1121

t

t

t

t

Etdxx

EdxxM

21

2

12122

3

111112 xx

wDD

Et

.

Остаточно для визначення згинальних моментів і моментів скруту на одиницю ширини перерізу пластини маємо такі формули

,

22

2

21

2

221111 x

w

x

wDxDM

,

21

2

22

2

112222 x

w

x

wDxDM

21

21

2

121211 M

xx

wDDM

.

Погонна поперечна сила на одиницю ширини перерізу пластини:

82

3

2

2

2

2

23

22

123131 412

dxxt

wx

EdxQ

t

t

t

t

2

2

33

3

22

12 3412

t

t

xx

tw

x

E

1222412

322

12

ttttw

x

E

w

x

Et 2

1212

wx

D 2

1

Визначимо напруження через зусилля, виходячи із відношень:

D

Ex

x

wd

x

wD

x

wd

x

wEx

M 23

22

2

21

2

22

2

21

2

23

11

11

1

1 3

332

23 121

112t

x

Et

Ex

.

.12

,12

,12

3312

12

3322

22

3311

11

t

xMt

xMt

xM

2

3

2

3

2

3

2

32

2

2

2

3

2

1

13

4

6

412

112

12

4x

t

tx

t

Et

E

D

xt

E

Q

.

83

23

2

32

23

23

2

31

13

4

6

4

6

xt

t

Q

xt

t

Q

.

Q1 і Q2 визначаються оператором Лапласа і тому виникають складнощі з їх числовими визначенням.

Розглянемо умови рівноваги нескінченно малого фрагмента базової поверхні пластини від дії розподіленого навантаження ),( 21 xxq нормального до базової поверхні (рис.30).

Рис. 30

.03xF 213

2

2

1

1 , xxFx

Q

x

Q

.

211

11111122112

dxdxx

MMdxMdxMM x

84

1211

1112

2

1212 dxdxdx

x

QQdxdx

x

MM

2

),(22

12121

112

112

2

22

dxdxdxxxq

dxdxQ

dxdxdx

x

QQ

112211

11211112211 dxMdxdx

x

MdxMdxMdxM

dxdxQdxdxx

QdxdxQdxdx

x

M 2122

21

1

121112

2

12

2

1

0),(2

1

2

1

2

12

2121

212

212

2

2

dxdxxxqdxQdxdxx

Q.

Аналогічно записуються рівняння моментів відносно осі

1x . Після скорочення на 12dxdx і нехтування малими більш високого порядку, одержимо рівняння:

22

22

1

21

12

12

1

11

Qx

M

x

M

Qx

M

x

M

.

5.7. Робота внутрішніх сил

Відповідно до теореми Клапейрона робота внутрішніх сил для тривимірного тіла визначається формулою:

v

U 3333222211112

1

123232313131212

dxdxdx .

Що стосується пластини, то напруження 33 , 13 і 23 значно менші інших компонент і тому ними нехтують.

85

Остаточно формула для визначення роботи внутрішніх сил набуває вигляду

1231212222211112

1dxdxdxU

v . (5.5)

Враховуючи значення деформацій, як функцій прогину базової поверхні :

31111 x , 32222 x , 12 = 312 xі виконавши деякі математичні перетворення з (5.5), остаточно отримаємо:

s

t

t

dxdxdxxxxU2

2

1231231222322113112

1

s

dxdxMMM121212222211112

1 ,

де

2

2

331111

t

t

dxM – погонний згинаючий момент відносно осі

2x , який являє собою інтегральну характеристику нормальних напружень у напрямку осі х1;

2

2

332222

t

tdxM – погонний згинаючий момент відносно осі 2x ;

2

2

331212

t

tdxM – погонний момент скруту.

Робота зовнішніх розподілених нормальних до базової поверхні сил визначається формулою:

А= s

dxdxwxxq 2121 ),( .

У матричній формі співвідношення щодо роботи внут-рішніх сил мають вигляд:

86

dsUs

T 2

1,

де

12

22

11

21

2

22

2

21

2

21

2

22

2

21

2

2

22xx

w

x

w

x

w

w

xx

x

x

w ;

12

22

11

22

100

01

01

DE

12

22

11

12

1122

2211

1 M

M

M

D

D

D

;

2

3

112

EtD – циліндрична жорсткість пластини;

– коефіцієнт Пуассона; E – матриця пружності; – вектор деформацій по області серединної поверхні

пластини, компонентами якого є кривини:

–21

2

11x

w

– кривина серединної поверхні у напрямку

осі х1,

–22

2

22x

w

– у напрямку осі х2,

–21

2

12 xxw

– змішана кривина серединної поверхні;

87

– вектор напружень по області пластини, складовими якого є погонні згинаючі моменти і момент скрути.

З урахуванням усіх введених позначень функціонал повної потенціальної енергії тонкої жорсткої пластини, що згинається приймає вигляд:

П= S S

T wdsxxqds 21,2

1. (5.6)

5.8. Параметри скінченноелементної моделі

Пластину з прямокутним контуром розділимо на скінченні елементи теж прямокутної форми (рис. 31,а). Гіпотези Кірхгофа дають змогу розглядати скінченний елемент пластини у вигляді прямокутника як частини серединної площини (рис. 31,б).

Рис. 31

Деформований стан пластини визначається функцією прогинів серединної площини і тому задача вважатиметься розв’язаною, якщо ця функція буде визначеною:

21, xxww .

Враховуючи те, що функція, яку треба визначити є неперервною, апроксимацію її виконаємо поліномом. До

88

функціоналу повної потенціальної енергії (5.6) входять другі похідні від функції прогинів. А тому ступінь апроксимуючого поліному має бути не менше 2-го порядку. Постійні коефіцієнти поліному визначають через вузлові переміщення скінченного елемента, мінімальне число яких для кожного вузла дорівнює трьом (рис. 31,б): лінійне переміщення (прогин) w та два кутових переміщення ii

21 , відносно координатних осей х1 та х2.Керуючись прийнятими у технічній теорії згину пластин

позначеннями, будемо вважати

11

1 ,wx

w

; 22

2 ,wx

w

.

Викладені міркування дають змогу зробити висновок, що апроксимацію прогинів по області скінченого елемента можна виконати неповним поліномом 4-го ступеня від двох змінних:

2162

52

42312121 21xxxxxxxxw ,

3

11223

113210

39

2182

27 21121

xxxxxxxxxx .

У компактному запису апроксимація лінійних і кутових переміщень у межах скінченного елемента має вигляд

, pxxw 21 ,,,

11

211 x

p

x

wxxw

22

212 x

p

x

wxxw ,, . (5.7)

Коефіцієнти поліному виразимо через переміщення вузлів скінченного елемента. Використовуючи вже викладену методику, сформуємо систему алгебраїчних рівнянь відносно постійних коефіцієнтів поліному i , підставляючи координати вузлів скінченного елемента у функції переміщень (5.7):

2

1

,

,

w

w

w

(5.8)

89

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

221

31

2221

2112

322

21

21

222121

3212

31

32

31

2212

2121

22

2121

x

330220100

303202010

1

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

.

Координати чотирьох вузлів СЕ (0,0), (a ,0), (0,b ), (a,b )

(рис.29,б) по черзі підставляються в (5.8).У результаті утворюється система сумісних лінійних

алгебраїчних рівнянь дванадцятого порядку відносно постійних коефіцієнтів полінома i , яка в компактному запису має вигляд

vC , (5.9)

де v – вектор вузлових переміщень; C – матриця коефіцієнтів при невідомих i ( 12...,,2,1i ); – вектор коефіцієнтів полінома.

Розв’язок системи (5.9) виконується за стандартною схемою:

vC 1 . (5.10)

Матриця C є числовою матрицею і складається з координат вузлів СЕ. Сучасні обчислювальні засоби дають змогу

без проблем отримати зворотну матрицю 1C , що входить до (5.10).

90

5.9. Побудова функцій форми СЕ пластини

Функції форми визначають вклад кожного з вузлових переміщень в значення прогину Aw в довільній точці ),( 21 xxAскінченного елемента (рис. 31,б).

vNxxw 21, . (5.11)Де N матриця функцій форми; v – вектор вузлових

переміщень.Підставимо в перше рівняння (5.7) співвідношення щодо

компонент вектора коефіцієнтів полінома (5.10). Отримаємо наступну залежність:

vCppxxw 121, . (5.12)

Порівнюючи (5.11) (5.12), можемо зробити висновок, що матриця функцій форми визначається рівнянням.

1 CpN . (5.13)

5.10. Матриця жорсткості СЕ пластини. Вектор зведених вузлових сил СЕ

Виходимо з умов рівноваги навантаженої пластини:

eee AUAU 0.

Формула для обчислення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях у межах СЕ має стандартний вигляд:

S

T

edsU . (5.14)

Вектор деформацій визначається через вузлові переміщення:

vCBvCpvNw 11 , (5.15) pB .Таким же чином визначається і вектор напружень: vCBEE 1 . (5.16)

Підставимо (5.15) і (5.16) в (5.14), враховуючи дії, що стосуються транспонування матриць :

91

TTTT CBvCB 11

TTT BCv 1.

Остаточно отримуємо формулу для визначення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях в межах СЕ:

S

TTT

edsvCBEBCvU 11 .

Винесемо за знак інтеграла всі числові матриці:

vKvU TS ,

де 11 CdsBEBCKS

TT–

матриця жорсткості СЕ пластини. Матриця B в розгорнутій формі має вигляд:

p

xx

x

x

PB

21

2

22

2

21

2

2

2

2

2

121

2121

2112

330022200000

606020020000

060602002000

xxxx

xxxx

xxxx

.

Обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ пов’язано з інтегруванням матриць високого порядку, яке реалізується на комп’ютері з використанням чисельного інтегрування, наприк-лад, за квадратурними формулами Гауса.

Вихідною для побудови вектора приведених вузлових сил є формула, що визначає роботу зовнішніх сил на можливих переміщеннях

.1

S

T

S

TTT

S

TT

Se

QqdsPC

qdsNqdswA

(5.17)

92

Перетворення в (5.17) виконані з урахуванням співвідношень (5.11) і (5.13).

Вектор зведених вузлових сил, що відповідають рівномірно розподіленому навантаженню в СЕ інтенсивністю q визначається рівнянням

S

TT

S qdspCQ 1 , (5.18)

і при виконанні всіх дій в (5.18) остаточно отримаємо такеспіввідношення:

00

400

400

400

4q

abq

abq

abq

abQ T

S .

5.11. Матриця жорсткості СЕМ пластини

Позначимо:

TV )(2,

)(1,

)()15(2,

)15(1,

)15()2(2,

)2(1,

2)1(2,

)1(1,

1 nnn wwwwwwwwwwww –

вектор переміщень вузлів СЕ - моделі пластини.Співвідношення VIv ee , де eI - матриця

відповідності елемента, забезпечує вибірку вузлових переміщень щодо одного СЕ з повного набору переміщень вузлів СЕ – моделі пластини.

Починаючи з умов рівноваги пластини, викладемо всю послідовність дій, пов’язаних з побудовою СЕ - моделі пластини в математичному аспекті:

n

ee

Tn

e

n

eee

Tee

n

ee QvvKvAUAU

11 11

n

ee

Te

Tn

eee

TT QIVVIKIVe

11

0**

QVKV T .

93

Розглянемо випадок, коли можливі переміщення вузлів СЕ 0V , тоді

0** QVK ,

де

n

eee

Te IKIK

1

*;

n

ee

Te QIQ

1

*– відповідно матриця

жорсткості і вектор зведених вузлових сил СЕМ пластини.

Таким чином, у математичному аспекті СЕ - модель пластини являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно переміщень вузлів СЕМ у глобальній системі координат.

** 1 QKV .

Зведені співвідношення для СЕ пластини отримані Клафом.

5.12. Узгоджений прямокутний скінченний елемент

пластини, що згинається

При згині пластини неперервність між елементами слід задовольняти не тільки для функцій прогину, а також і для її перших похідних, ліквідуючи, таким чином, зломи на границях елементів. У неузгодженому елементі Клафа неперервність на границях зберігається тільки для прогинів. Неперервність щодо кутових переміщень задовольняється тільки у вузлах. Досягнення сприйнятливої точності результатів за допомогою таких елементів потребує використання досить густих сіток дискретної моделі.

Розглянемо скінченний елемент з чотирма степенями вільності у вузлі

ixx

ix

ix

i wwww2121 ,,, ,,, , (i=1,2,…, n),

які визначають прогин w і похідні

2,

1, 21

;x

ww

x

ww i

xix

,

94

що відповідають кутовим переміщенням навколо осей х2 та х1.

Четвертий степінь вільності

21

2

21 xx

ww i

xx

стосується

деформації скруту у вузлі. Верхній індекс у дужках визначає номер вузла. Скінченний елемент з 16-ма степенями вільності забезпечує на границях СЕ сумісність як по прогинах, так і по кутах повороту.

Функції форми для такого елементу можна записати у явному вигляді скориставшись функціями Ерміта (рис. 32). Для отримання поліномів )(),(),(),( 212202211201 xHxHxHxHнеобхідно а замінити на в, а х1 – на х2 у відповідних поліномах по 1x .

Визначення функцій форми наведено в табл. 1. Апроксимація функції прогинів у межах СЕ виконується за стандартною схемою:

16

121

iiivNxxw , ,

або в матричній формі: vNxxw 21, .

Розглянемо деякі функції форми в розгорнутому вигляді і перевіримо їх відповідність вимогам до функцій форми: приймати значення 1 для координат вузла, з яким пов’язано відповідне цій функції форми вузлове переміщення, і значення 0 – для координат інших вузлів. Розглянемо функцію форми N1,пов’язану з v1 (рис. 32):

332

323

321

3132011011 32

132

1bbxx

baaxx

axHxHN

32

21

32

21

31

332

31

32

3133 96264

1xabxxaxxbxbxxx

ba

332

2

33

2

32

1

3323 babxaxaxab .

95

321

313101 32

1aaxx

axH ;

122

1312111 2

1xaaxx

axH ;

21

313102 32

1axx

axH ;

21

312112

1axx

axH .

Рис.32

Для координат першого вузла: (х1=0, х2=0): N1=1;

другого вузла (х1=а, х2=0): 0321 333333

331 babaabba

N ;

третього вузла (х1=0, х2=в): 0321 333333

331 babababa

N ;

четвертого вузла (х1=а, х2=в): 333333331 264

1abbaba

baN

33333333333333 323962 babababababaab

018181 3333

33 baba

ba.

96

Таблиця 1№ вузла

СЕСтепінь

вільностіВузловепереміщення

Функціяформи

Визначення функціїформи

1v 1w 1N 201101 xHxH

2v 1

1xw, 2N 201111 xHxH

3v 1

2xw, 3N 211101 xHxH1

4v 1

21xxw, 4N 211111 xHxH

5v 2w 5N 201102 xHxH

6v 21xw, 6N 201112 xHxH

7v 2

2xw, 7N 211102 xHxH2

8v 2

21xxw, 8N 211112 xHxH

9v 3w 9N 202101 xHxH

10v 3

1xw, 10N 202111 xHxH

11v 3, 2xw 11N 212101 xHxH3

12v 3, 21xxw 12N 212111 xHxH

13v 4w 13N 202102 xHxH

14v 4, 1xw 14N 202112 xHxH

15v 4, 2xw 15N 212102 xHxH4

16v 4, 21xxw 16N 212112 xHxH

Розглянемо ще функцію форми N10, пов’язану з переміщенням v10 у третьому вузлі (х1=0, х2=в):

22

3231

221

31220211110 32

12

1bxx

bxaaxx

axHxHN

22

21

32

21

22

21

22

31

32

3132 64432

1xabxxaxxaxxbxxx

ba2

2123

212 32 xbxaxxa .

Враховуючи те, що Н11(х1) відповідає кутовому переміщенню 11, xww , значення “одиниця” для координат

третього вузла повинна приймати похідна:

97

22

232

2321

22

21

32

2132

1

10 3128961

bxaxaxaxxbxxxbax

N

.

Дійсно 13200001 3232

321

10

bababax

N.

Для координат першого вузла (0,0) – 01

10

x

N ;

для координат другого вузла (а, 0) – 01

10

x

N ;

для координат четвертого вузла (а , в) –

323232323232

321

10 32128961

bababababababax

N

020201 3232

32 bababa

Що стосується функції форми 21211216 xHxHN ;

22

322

21

31216

11bxx

baxx

aN =

22

21

32

21

22

31

32

3122

1xabxxaxxbxxx

ba

яка відповідає кутовим переміщенням 11 xww , і 22 xww ,

четвертого вузла, то значення одиниця для координат цього вузла (а , в) повинна прийняти змішана похідна:

213212

21

22

2122

21

162

46691

xabxxaxxbxxxbaxx

N

.

Дійсно, 146691 22222222

2221

16

babababa

baxx

N.

Для координат усіх інших вузлів похідна приймає значення “нуль”. При побудові матриці жорсткості скінченного елемента пластини скористаємося формулою, що визначає роботу внут-рішніх сил на можливих переміщеннях у межах СЕ:

21

1 2

dxdxUx x

Te .

98

Вектори деформацій і напружень визначаються через вузлові переміщення СЕ:

vBvNxxw 21 , vBEE .

де

21

00

01

01

DE ,

212

22

2

21

2

2 xx

x

x

NB

16151413121110987654321 NNNNNNNNNNNNNNNN

3,163,153,143,133,123,113,10938373635343332313

2,162,152,142,132,122,112,10928272625242322212

1,161,151,141,131,121,111,10918171615141312111

BBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBB.

Наведемо деякі з коефіцієнтів матриці B в розгорнутій формі:

32

21

31

332

31

32

31332

1

2

21

12

11 62641

xaxxbxbxxxbaxx

NB

3332

332

321

332

21 3239 babxaxaxabxabx

332

221

3321

32133 61812123624

1ababxaxxbxbxxx

ba ;

22

21

32

21

22

31

32

31322

2

2

22

102

2,10 64321

xabxxaxxbxxxbaxx

NB

221

2321

222

21 326 xbxaxxaxabx

212

2122

1221

312

3132 6121224612

1xbxaxxaabxxaxbxxx

ba .

vKvdxdxvBEBvU T

x x

TTe 21

1 2

,

99

де 1 1

21x x

T dxdxBEBK – матриця жорсткості скінченного

елемента пластини.

Обчислення значень коефіцієнтів матриці жорсткості можна виконати прямим інтегруванням поліномів, але більш раціонально використовувати чисельні методи інтегрування (квадратурні формули Гауса). Попередньо слід зробити перехід до нових відносних координат: bxyaxy 2211 , , які змінюються в межах від -1 до +1 (рис. 33).

Рис. 33

Формула для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості у відносних координатах набуває вигляду:

1

1

1

121 yddybaBEBK T .

Для чисельного інтегрування достатньо використати чотири точки вздовж кожної координати, щоб отримати точні результати [11].

Відповідно до квадратурних формул Гауса обчисленняінтегралу виконується за схемою:

100

4

1

4

122

11i j

y

yT

ji BEBHHabK ,

де ξі, (і=1,2,3,4) – координати точок інтегрування в системі від-носних координат у1, у2; Ні , (і=1,2,3,4) – вагові коефіцієнти квад-ратурних формул Гауса, значення яких наведено в табл. 2.

Таблиця 2і ξі Ні

1 -0.8611363115 0.3478548451

2 -0.3399810435 0.6521451548

3 0.3399810435 0.6521451548

4 0.8611363115 0.3478548451

Обчислення зведених до вузлів СЕ сил від розподіленого, нормального до базової поверхні навантаження виконується за формулою, що визначає роботу зовнішніх сил на можливих переміщеннях у межах СЕ:

eT

s

TT QvdspNvA ,

де s

T dspNQ вектор зведеного до вузлів СЕ

розподіленого навантаження. У випадках, коли інтенсивність розподіленого навантаження не змінюється в межах СЕ, обчислення компонентів вектора eQ може бути виконано в

замкненій формі:

Te babaab

abqQ 3,3,3

3.

Матриця жорсткості СЕМ пластини формується з коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ за допомогою матриці відповідності.

101


1. Дайте визначення і наведіть параметри тонкої жорсткої пластини як об’єкта досліджень.

2. Викладіть суть гіпотез Кірхгофа, на основі яких будуються співвідношення технічної теорії пружності стосовно тонкої жорсткої пластини.

3. Наведіть формули для визначення переміщень у межах пластини на основі гіпотез Кірхгофа.

4. Наведіть формули для визначення деформацій в межах пластини.

5. Покажіть графіки зміни нормальних і дотичних напружень по товщині пластини.

6. Наведіть формули, за якими напруження виражається через внутрішні зусилля пластини.

7. Наведіть формули стосовно визначення роботи внутрішніх сил в межах пластини.

8. Покажіть послідовність побудови функції форми для неузгодженого чотирикутного СЕ пластини.

9. Скільки степенів вільності має неузгоджений чотирикутний СЕ пластини? Які переміщення приймаються за невідомі МСЕ при розрахунку пластини.

10. Запишіть формулу для визначення напружень у довільній точці СЕ пластини.

11. Яка особливість побудови співвідношень МСЕ узгодженого СЕ пластини? Яке число степенів вільності узгодженого чотирикутного СЕ пластини?

12. Покажіть послідовність побудови функції форми узгодженого чотирикутного СЕ пластини.

102

Лекція 6. СПІВВІДНОШЕННЯ МСЕ ДЛЯ МАСИВНИХ ТІЛ


Для розрахунку масивних тіл за МСЕ використовуються співвідношення теорії пружності тривимірного напруженого стану, які звільнені від різних гіпотез і передумов, характерних деяким частинним задачам. Робота внутрішніх сил на можливих переміщеннях записується у вигляді:

v

U 333322221111

321232313131212

dxdxdx .

Робота зовнішних сил на можливих переміщеннях:

321332211 dxdxdxupupupAv .

Умови рівноваги масивного тіла в компактному матричному вигляді запишемо у відповідності з принципом можливих переміщень:

v

T

v

T dvpudvAU 0 ,

де 321 uuuu T вектор переміщень;

321 pppp T вектор зовнішніх сил;

231312332211T вектор деформацій;

231312332211T вектор напружень.

Напруження і деформації визначаються співвідношеннями:

uE ; ,

де [E] – матриця пружності; – матриця диференціювання.

Матриця пружності для ізотропного тіла має вигляд:

103

00000

00000

00000

0002

0002

0002

E ,

До складу цієї матриці входять:

211

E– коефіцієнти Ляме;

12E

;

Е – модуль Юнга; ν – коефіцієнт Пуасона.

Матриця диференціювання має вигляд:

13

23

12

3

2

1

0

0

0

00

00

00

,

де )3,2,1( ixi

i .

104

6.2. Співвідношення для скінченного елемента в формі тетраедра

Тетраедричний СЕ для просторової задачі аналогічний трикутному СЕ для плоскої задачі теорії пружності. Розглянемо тетраедр, показаний на рис. 34, який має 12 степенів вільності .

Вектор переміщень 321 uuuu T в довільній точці СЕ виражається через вузлові переміщення:

vNu .Матриця функцій форми

10741

10741

10741

00000000

00000000

00000000

NNNN

NNNN

NNNN

N ; (6.1)

121110987654321 vvvvvvvvvvvvv T – вектор вузлових переміщень.

Рис. 34

105

Для наведеного на рис. 34 тетраедричного СЕ функції форми визначаються наступними співвідношеннями:

;1 3211 c

x

b

x

a

xN ;1

4 a

xN ;2

7 b

xN

c

xN 3

10 .

Вони відповідають усім вимогам щодо функцій форми. При складанні матриці функцій форми (6.1) враховано той факт, що переміщення вузлів СЕ по напрямку осей х1, х2 та х3 є незалежними, а тому апроксимація переміщень для внутрішніх точок виконується за однією схемою для кожного з напрямків. З цього факту можна зробити висновок щодо справедливості рівностей:

;321 NNN ;654 NNN ;987 NNN 121110 NNN .

Подальші дії щодо обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ виконуються формально. Вихідною для побудови матриці жорсткості СЕ є формула для обчислення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях у межах СЕ:

dvUV

Te (6.2)

vBNu , vBEE , (6.3)

де NB . Матриця B в розгорнутій формі набуває вигляду:

12,610,6696766646361

12,511,5595856555352

11,410,4484745444241

12,3393633

11,2282522

10,1171411

0000

0000

0000

00000000

00000000

00000000

BBBBBBBB

BBBBBBBB

BBBBBBBB

BBBB

BBBB

BBBB

B .

Наведемо значення деяких коефіцієнтів матриці B :

106

ac

x

b

x

a

x

xx

NB

11 321

1

1

1

111

;

02

11

717

b

x

xx

NB ;

bx

NB

1

2

122

; (6.4)

bx

NB

1

2

153

;

02

33

767

b

x

xx

NB ;

cc

x

xx

NB

13

33

1010,6

.

З формули (6.4) видно, що матриця B є числовою матрицею, звідки робимо висновок – компоненти вектора деформацій і напружень у межах СЕ не змінюються.

Якщо підставити (6.3) в (6.2) отримуємо відому вже формулу для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості СЕ,враховуючи, що:

TTTT BvvB ;

dvUv

Te vKvvdvBEBv T

v

TT ,

де v

T vdBEBK – матриця жорсткості тетраедричного

скінченного елемента.


1. Яка послідовність побудови співвідношень МСЕ для масивного тіла?

2. Який характер зміни напружень у межах тетраедричного скінченного елемента?

3. Викладіть формули щодо побудови матриці жорсткості тетраедричного скінченного елемента .

107

Лекція 7. ВИМОГИ ЩОДО ПОБУДОВИ СКІНЧЕННО-ЕЛЕМЕНТНОЇ МОДЕЛІ ПРУЖНИХ ТІЛ

7.1. Загальна схема застосування МСЕ до розв’язку задач будівельної механіки

Побудуємо СЕМ на фізичному рівні.

Пружне тіло (як правило це континуальний об’єкт) ділиться на підобласті скінченних розмірів, які зберігають властивості тіла, що розглядається. Точки перетину ліній або поверхонь розділу мають назву вузлів СЕМ.

Вважається, що скінченні елементи сполучаються між собою тільки у вузлах.

Невідомими МСЕ є можливі і незалежні переміщення вузлів СЕМ у глобальній системі. Факт незалежності вузлових переміщень забезпечується накладанням абсолютно жорстких в’язей у вузлах в напрямку їх можливих переміщень.

Таким чином на фізичному рівні СЕМ являє собою систему закріплених вузлів.

На шляху до математичної моделі МСЕ в межах скінченного елемента будується система так званих функцій форми, які однозначно визначають переміщення у внутрішнійобласті СЕ через вузлові переміщення. Функції форми повинні забезпечити нерозривність переміщень як у вузлах, так і на границях скінченних елементів.

За допомогою функцій форми визначається система вузлових сил, еквівалентних заданому навантаженню, яка врівноважується внутрішніми напруженнями, що теж зводяться до вузлових сил у формі матриці жорсткості скінченого елемента.

У математичному аспекті СЕМ являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь стосовно невідомих переміщень вузлів моделі. Коефіцієнти системи рівнянь утворюють матрицю жорсткості СЕМ конструкції.

108

7.2. Критерії збіжності наближених результатів, отриманих за допомогою МСЕ, до точних

Визначимо достатні умови збіжності результатів:

– функції форми повинні забезпечити неперервність переміщень не тільки у вузлах СЕ моделі, а й на границях скінченних елементів.

– порядок поліномів функцій форми повинен бути не нижче порядку похідної від функції переміщень, що входить до формули обчислення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях.

– якщо порядок похідної від функції переміщень у формулі для обчислення роботи внутрішніх сил вище першого, то необхідно забезпечити умови нерозривності у вузлах СЕ і на його границях не тільки по переміщенням, а й по кутам повороту.

– функції форми мають враховувати переміщення СЕ як жорсткого цілого, що визначається нульовими значеннями деформацій.

Перелічені рекомендації отримані внаслідок досить складних математичних викладок.


1. Викладіть суть скінченноелементної моделі пружного тіла, що деформується на фізичному рівні.

2. Викладіть послідовність дій щодо побудови математичної моделі за допомогою метода скінченних елементів.

3. Викладіть суть скінченноелементної моделі у математичному аспекті.

4. Викладіть вимоги щодо функцій форми для забезпечення сприйнятливої точності результатів, отриманих за допомогою наближеного метода скінченних елементів.

109

Список літератури

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 541с.

2. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. Пер. С англ. – М.: Мир, 1977. – 420 с.

3. Программный комплекс “Лира-Windows”, НИИАСС, Киев, 1997.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 428 с.

5. Беляев Н.М. Сопротивление материалов: Учебник для втузов. – М.Л. ГИТТЛ, 1951. – 856 с.

6. Метод конечных элементов: Учебное пособие для вузов. /Под ред. П.М. Варвака. – Киев: Высш. шк. Головное изд-во, 1981. – 176 с.

7. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: Учеб. пособие для студентов авиац. спец. вузов. –М.: Высш. шк. 1985. –392 с.

8. Гранат С.Я., Мельниченко Г.И., Шишов О.В. Расчет стержневых систем методом конечных элементов с использованием ЭВМ. Методические указания по строительной механике для студентов ПГС, СТАЭ, ГС и слушателей ФПК. –К.: Изд. КИСИ, 1989. –72 с.

9. Баженов В.А., Сахаров А.С., Мельниченко Г.И., Черный С.М. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. –К.: КДТУБА, 1994. –368 с.

10. Баженов В.А., Гранат С.Я., Шишов О.В. Будівельна механіка. Комп’ютерний курс: Підручник. –К.: “ВІПОЛ”, 1999. –584 с.

11. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. –М.: Наука, 1967. – 310 с.

110

Для нотаток

111

Для нотаток

112

Навчальне видання

Легостаєв Анатолій Дмитрович

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

для студентів спеціальності 7.092101“Промислове і цивільне будівництво”

Редагування та коректура О.К. Чаплигіної

Комп’ютерна верстка О.В. Яворської

Підписано до друку 2004. Формат 60х841/16

Папір офсетний. Гарнітура Таймс. Друк на різографі.Ум. друк. арк. 6,51. Обл.-вид. арк. 7,0. Ум. фарбовідб. 57.Тираж 100 прим. Вид. № 27/І-04. Зам. №

КНУБА, Повітрофлотський проспект, 31, Київ-680, 03680

Віддруковано в редакційно-видавничому відділіКиївського національного університету будівництва і архітектури

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи ДК № 808 від 13.02.2002 р.

Documents

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ2 УДК 539.3 ББК 38.112 Л39 Рецензент С.М. Чорний, канд. техн. наук, доцент Затверджено