Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011 09.03users.auth.gr/hara/courses/history_of_math/presentation_9_03_11.pdf · Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο

Ε ό ξά Εαρινό εξάμηνο 201109.03.11

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Αρχαία Ελληνικά ΜαθηματικάΑρχαία Ελληνικά Μαθηματικά7ο αιώνα π.Χ ‐‐‐4ο αιώνα μ.Χ.7 αιώνα π.Χ 4 αιώνα μ.Χ.



Ραφαήλ (1483 1520)Ραφαήλ (1483-1520)«Η σχολή των Αθηνών» (~1510)Η σχολή των Αθηνών ( 1510)



Ευκλείδης (325 – 265 π.Χ.), (Αλεξάνδρεια)ΈργαΈργα

Στοιχεία ∆εδομένα∆εδομέναΦαινόμενα ή ΣφαιρικάΟπτικάΚατοπτρικάΚατοπτρικάΣτοιχεία ΜουσικήςΒιβλίο περί διαιρέσεωνΠορίσματαΠορίσματαΚωνικάΤόποι προς επιφάνειεςΨευδάριαρΜηχανικήΠερί βαρέων και ελαφρών σωμάτων



Στοιχεία του ΕυκλείδηΣτοιχεία του Ευκλείδη(«εισαγωγή στα μαθηματικά»)Σ λλ ή ό 13 β βλί άλΣυλλογή από 13 βιβλία-κεφάλαια:

Παρουσιάζονται με λογική σειρά οι βάσεις για τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής. ∆ηλαδή βάσεις για την αριθμητική (θεωρία αριθμών), για ης χής η ή β ς γ η ρ μη ή ( ρ ρ μ ), γτην γεωμετρία (σημεία, ευθείες, επίπεδα, κύκλοι, σφαίρες) και για την γεωμετρική άλγεβρα. Έτσι στηρίχτηκε κατά ένα μεγάλο μέρος στο έργο προηγούμενων μαθηματικών Θεωρούμε ότι η διάταξη (σειρά)έργο προηγούμενων μαθηματικών. Θεωρούμε ότι η διάταξη (σειρά) των προτάσεων είναι δική του όπως και πολλές από τις αποδείξεις.Τα βιβλία 1-6 αναφέρονται στη στοιχειώδη γεωμετρία του επιπέδουΤα βιβλία 7-9 αναφέρονται στη θεωρία των αριθμών. Τ β βλί 10 έ άΤο βιβλίο 10 αναφέρεται στους άρρητους.Τα βιβλία 11-13 αναφέρονται στη στερεομετρία.



Ι ά Χί ( Χ Ιπποκράτης της Χίου (~470 π.Χ‐410 π.Χ.)έ ψ ό Σ ίέγραψε και αυτός «Στοιχεία»

Θεαίτητος ο Αθηναίος(417‐369 π.Χ.)

Αρχύτας ο Ταραντίνος (428 ‐ 347 π.Χ.)«περιστερά»περιστερά

Εύδοξος από την Κνίδο (408 355 Εύδοξος από την Κνίδο (408‐355 π.Χ.)



ΟροιΟροι

α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.γ. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.δ. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.ς΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.ι΄ .Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα ι .Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.ια΄ .Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.ιβ΄ .Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.ιγ΄ .Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.ιδ΄ . Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.Ιε Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια] πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος Ιε. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.ις΄ . Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.ιζ΄ .Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.ιη΄ .Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.ιθ΄ .Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲτὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα.κ΄ .Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.κα΄ .Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.κβ΄ .Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.κγ΄ .Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.



ΑἰτήματαΑἰτήματα α΄. Αιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.

γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.

δ΄ Κ ὶ ά ὰ ὀ θὰ ί ἴ ἀλλήλ ἶδ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.

ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ ς ς μ ς ςαὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.



Ορισμός 10: όταν μία ευθεία τέμνει μία άλλη έτσι ώστε οι εφεξής γωνίες να είναι ίσες, τότε οι γωνίες αυτές λέγονται ορθές και οι ευθείες κάθετες η μία προς την άλλη

Αίτημα 4: όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες η μία προς την άλλη



Ορισμός 23: Παράλληλες είναι οι ευθείες που ανήκουν στο Ορισμός 23: Παράλληλες είναι οι ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και που δεν τέμνονται

Αίτημα 5: Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών με ς ζ γ ς ς γ μάθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες.



Πρόταση 1Πρόταση 1, βιβλίο 1



Πρόταση 1 Με πλευρά δοθέν ευθύγραμμοΠρόταση 1 Με πλευρά δοθέν ευθύγραμμο τμήμα να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο

∆ίνεται το ΑΒκατασκευήή

κύκλου με κέντρο το Α,κύκλου με κέντρο το Β

(ακτίνα ΑΒ)(ακτίνα ΑΒ)

έστω C το σημείο τομής

Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων

Χρησιμοποιεί:Χρησιμοποιεί: 1. Αίτημα 3 (κατασκευή κύκλου)2. Αίτημα 1 (κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος)

( ξ )Χαρά Χαραλάμπους

Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘΙστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

3. Κοινή έννοια 1 (ίσα προς τρίτο και μεταξύ τους ίσα)

Πρόταση 32, βιβλίο 1βιβλίο 1



Πρόταση 47 (Πυθαγόρειο Θεώρημα)Πρόταση 47, (Πυθαγόρειο Θεώρημα)



Στο παραπάνω σχήμα: ΑΒ∆=ΒΓΖ,ΑΒ∆=1/2 κόκκινου Β∆ΛΜ, ΒΓΖ=1/2 ΒΖΗΑΆρα ΒΖΗΑ=κόκκινο Β∆ΛΜ

ΑΓΚΘ=κόκκινο ΛΜΓΕ

ΒΖΗΑ+ΑΓΚΘ=ΒΓΕ∆



ΒΖΗΑ+ΑΓΚΘ=ΒΓΕ∆

Κατασκευή τετραγώνου (ορ. 22 ισόπλευρα+ορθογώνια)με δοθείσα πλευρά,

(πρόταση 46)

Κατασκευή ευθείας κάθετη προς δοθείσα ευθεία, πρ. 11.Κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσου με δοθέν ευθύγραμμοΚατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσου με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα και με δεδομένο το ένα άκρο, (πρ. 2)Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρ. 1)Α δύο ρί α έ ο δύο λε ρές ίσες α ίσ ο α α ςΑν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες αντίστοιχα και τις βάσεις τους ίσες, τότε η γωνία η περιεχόμενη από τις ίσες πλευρές είναι ίση, (πρ. 8)

Κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσου με δοθέν θύ ή δ δ έ έ ά (ευθύγραμμο τμήμα και με δεδομένο το ένα άκρο, (πρ.

2)



Κατασκευή τετραγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρόταση 46)

Κατασκευή παραλλήλου από δοθέν σημείο προς δοθείσα ευθεία (πρ 31)

(πρόταση 46)

Κατασκευή παραλλήλου από δοθέν σημείο προς δοθείσα ευθεία, (πρ. 31) Αίτημα 1 (από δύο διαφορετικά σημεία περνάει μία ευθεία)Κατασκευή γωνίας ίση προς δοθείσα γωνία, της οποίας δίνεται η μία πλευρά και η κορυφή της επί δεδομένης ευθείας, (πρ.23)Αίτημα 2 (το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα)Αίτημα 2 (το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα)Αν οι εντός και εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (πρ. 27)

Σε κάθε τρίγωνο, κάθε εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε εντός και απέναντι γωνία του, (πρ. 16)να διχοτομηθεί δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα (πρ. 10)χ μη μ γρ μμ μήμ ( ρ )κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου (πρ. 1)να διχοτομηθεί δοθείσα γωνία (πρ. 9)δύο τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές

αυτές γωνίες ίσες, θα έχουν και τις τρίτες πλευρές ίσες και θα είναι ίσα, δηλ. θα έχουν ίσες ί ί ( 4)και τις αντίστοιχες γωνίες τους, (πρ. 4)

αίτημα 2 πρ. 2 (κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος ίσο με δεδομένο)πρ. 15: αν δύο ευθείες τέμνονται, σχηματίζουν τις κατακορυφήν γωνίες ίσες μεταξύ

τουςτους(πρ. 13) αν ημιευθεία συναντήσει ευθεία και σχηματισθούν γωνίες, τότε είτε αυτές είναι ορθές, είτε το άθροισμά τους είναι δύο ορθές. κοινές έννοιες (άθροισμα και αφαίρεση ίσων σε (από) ίσα



Κατασκευή τετραγώνου με δοθείσα πλευρά, (πρόταση 46)

Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε οι εντός-εναλλάξ γωνίες είναι

(πρόταση 46)

ς ρ η ς ς ξ γ ςίσες (πρ. 29)Πρ. 13

Οι γωνίες είναι ορθές ή το άθροισμά τους είναι ίσομε δύο ορθές.

Αίτημα 5 (αν εντός και επί τα αυτά άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές τότε οι ευθείες τέμνονται)

πρώτη πρόταση που χρειάζεται το αίτημα 5πρώτη πρόταση που χρειάζεται το αίτημα 5Κοινό αξίωμα (ισότητα προς τρίτο και μεταξύ τους ίσα)



Πυθαγόρειο Θεώρημα, πρ. 47, απόδειξη συνέχεια

αίτημα 4: όλες οι ορθές γωνίες ίσες μεταξύ τουςΠρ. 41: αν ένα παραλληλόγραμμο έχει την ίδια βάση με τρίγωνο πουΠρ. 41: αν ένα παραλληλόγραμμο έχει την ίδια βάση με τρίγωνο που περιέχεται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από αυτό του τριγώνου

Πρόταση 48: θέτει και αποδεικνύειτην αντίστροφη πρόταση του Πυθαγορείουη ρ φη ρ η γ ρ

Θεωρήματος!



Το τετράγωνο είναι ένα σχήμα Στο ΠυθαγόρειοΤο τετράγωνο είναι ένα σχήμα . Στο Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε άθροισμα τετραγώνων. Τι σημαίνει αυτό?αυτό?

Οπότε τι σημαίνει εμβαδόν? (δεν είναι ανάμεσα στους ορισμούς!



Γεωμετρική Άλγεβρα

Βιβλίο 2Βιβλίο 2

(γενικευμένο παράδειγμα)

a (b+c+d)= a b+ a c +a d



Πρόταση 4, βιβλίο 2, Στοιχεία: Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί απόΠρόταση 4, βιβλίο 2, Στοιχεία: Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί από σημείο σε δύο τμήματα, το τετράγωνο του όλου τμήματος είναι ίσο με τα τετράγωνα των δύο τμημάτων και το διπλάσιο ορθογώνιο που ορίζουν τα δύο τμήματαδύο τμήματα



Α∆ΘΚ+ΛΕΗΘ =ΓΕΖΒ



Πρόταση 5, βιβλίο 2, Στοιχεία Αν ευθ. τμήμα διαιρεθεί από το μέσο του σε δύο ίσα τμήματα και από ένα σημείο του σε δύο άνισα τμήματα, το ορθογώνιο που ορίζουν τα ημ μήμ ρ γ ρ ζάνισα τμήματα μαζί με τετράγωνο που έχει πλευρά το τμήμα με άκρα τα σημεία διαίρεσης είναι ίσα με το τετράγωνο που έχει πλευρά το μισό του αρχικού τμήματος.αρχικού τμήματος.

ADHK+LEGH=CBFE



Βιβλίο 2



Πρόταση 11, βιβλίο 2, Στοιχεία Να διαιρεθεί δοθέν τμήμα ώστε το ορθογώνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέροςπου έχει πλευρά το άλλο μέρος.

Ε ίΕρμηνεία:τμήμα =ΑΒ=α, ΑΒDC τετράγωνο,χωρίζουμε ΑΒ σε ΑΗ και ΗΒ.χωρίζουμε ΑΒ σε ΑΗ και ΗΒ.θέλουμε το x=AH να είναι τέτοιο ώστε

HBDΚ =HGFA.Λύση:

Έ Ε ό ACΈστω Ε το μισό του AC,ΕF=EB

AFGH τετράγωνο τότε ΑΗ=x



Βιβλίο 9Βιβλίο 7β

ΘεωρίαΑριθμώνΑριθμών



Υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων, βιβλίο 9, πρ. 20

«Αν δοθεί οποιοδήποτε πλήθος πρώτων αριθμών τότε υπάρχουν πάντα περισσότεροι από αυτό τουπάρχουν πάντα περισσότεροι από αυτό το πλήθος»

Ορισμός 12: πρώτος λέγεται ο αριθμός που μετριέται μόνο από τη μονάδα

Απόδειξη με γενικευμένο παράδειγμα (δίνονται 3 ξ (πρώτοι και αποδεικνύεται ότι υπάρχει τέταρτος) και με εις άτοπον απαγωγή.



Παρένθεση: Η συνάρτηση ζ(s) του Riemann (1826-1866) και Κατανομή πρώτων αριθμών (1859)Κατανομή πρώτων αριθμών (1859)

Η υπόθεση του Riemann:έ δ ά ζ( )τα μη τετριμμένα μηδενικά της ζ(s)

έχουν τη μορφή ½+i t όπου tπραγματικός.



Παρένθεση: Η συνάρτηση ζ(s) του Riemann (1826-1866) και Κατανομή πρώτων αριθμών (1859)

Όταν Re(s)>1 τότε

Και όταν 0< Re(s)<1 ισχύειΚαι όταν 0< Re(s)<1 ισχύει

(τα s=-2,-4,… μηδενίζουν την ζ(s) και είναι τα τετριμμένα μηδενικά της)



Βιβλίο 12Βιβλίο 12

2 2: :a A d D=

(δες διάλεξη 2.03.11 και Εύδοξος)



Στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη υπάρχουν κάποια κενά και ελλείψεις(χρειάζονται και άλλοι ορισμοί και αξιώματα )(χρειάζονται και άλλοι ορισμοί και αξιώματα.) ενδεικτικά1.1: κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου: γιατί οι δύο κύκλοι τέμνονται?

Ορισμός εμβαδού?

Πλήρης αξιωματοποίηση της Ευκλείδιας (3-διάστατης) γεωμετρίαςεπιχειρήθηκε από τον Hilbert το 1899 στο βιβλίο του Grundlagen der Geometrie (βάσεις της Γεωμετρίας).

Πρότεινε 21 αξιώματα, (χρησιμοποίησε 9 πρωταρχικές έννοιες (3 όρους: σημείο, ευθεία, επίπεδο και 6 βασικές σχέσεις για αυτές τις έννοιες, όπως ανήκει και ισότητα). Το 1902 αποδείχτηκε ότι ένα από τα 21 αξιώματα ήταν περιττό.



ερ ό

David Hilbert: 1862-1943 ΓερμανίαDavid Hilbert: 1862-1943 Γερμανία

Συλλογή 23 προβλημάτων το 1900 στο διεθνές συνέδριο σο Παρίσι (υπόθεση του Riemmann, Goldbach)

Πανεπιστήμιο του Göttingen από το 1895ήμ g

69 Ph.D., Felix Bernstein , Hermann WeylRichard Courant, Erich Hecke , Wilhelm Ackermann

Ernst Zermelo, John von Neumann, Emmy Noether



Σ Θ ί λλ ί Hilb t 1888 έδ ξ θ ώΣτη Θεωρία των αναλλοίωτων ο Hilbert το 1888 απέδειξε θεώρημα ύπαρξης πεπερασμένου σύνολο γεννητόρων

Gordan D i t i ht M th tik D i t Th l iGordan : Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.(απορρίπτοντας την πρώτη φορά την εργασία στο Math. Annalen )

1920 ρό ρα α ο Hilbert ε α αθη α ά Ήθελε α δείξε ό1920: πρόγραμμα του Hilbert =«μεταμαθηματικά». Ήθελε να δείξει ότι1. Όλα τα μαθηματικά παράγονται από ένα σωστά διαλεγμένο πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων και2. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι συνεπές

όμωςτο 1931 ο Godel με το Θεώρημα της μη πληρότητας απέδειξε ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί η συνέπειαα έδε ξε ό ε α αδύ α ο α α οδε χθε η συ έ ε αή ασυνέπεια.



Βραβεία στα μαθηματικά:

Fields medal (αντίστοιχο του Nobel 15,000 $ κάθε 4 χρόνια 1936, 1950)χρ , )Προκήρυξη για 1 εκατομμύριο δολλάρια Clay Mathematics Institute: Riemann hypothesis, Poincaré yp ,conjecture, Hodge conjecture, Swinnerton‐Dyer conjecture, solution of the Navier‐Stokes equations, formulation of Yang‐Mills theory, and determination of whether NP‐problems are actually P‐problems.



Η ίΗ εικασία του Poincaré (1904) στη ΤοπολογίαΤοπολογία

Perelman (1966-) Ρωσία

2002 (η απόδειξη)2006 (η αποδοχή)2006: Fields medal2006: Fields medal

[κάθε 4 χρόνια] (αρνήθηκε)2010: βραβείο 1,000,000 $

Clay Institute (αρνήθηκε)y ( ρ ή η )



Α ήΑσκήσειςΝ λ ώ λ έ όδ ξΝα συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες στην απόδειξη της πρότασης 12.2 [Στοιχεία]

Να αποδείξετε τη μέθοδο της εξάντλησης του ξΕυδόξου.

Να επιχειρηματολογήσετε γιατί ο Ευκλείδης δε χρησιμοποίησε αποδείξεις όπως στις διαφάνειες 6 και 7, (28.2.11) για την απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος



Να αποδείξετε την πρόταση 2 11 [Στοιχεία]Να αποδείξετε την πρόταση 2.11, [Στοιχεία]

Να χρησιμοποιήσετε τη πρόταση 2.11 για να βρείτε τη γραφικά τη λύσηΝα χρησιμοποιήσετε τη πρόταση 2.11 για να βρείτε τη γραφικά τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Η ό ό ά ό ύ έΗ επόμενη πρόταση περιγράφει τον τρόπο εύρεσης του κέντρουδοθέντος κύκλου. Να κάνετετο αντίστοιχο σχεδιάγραμματο αντίστοιχο σχεδιάγραμμακαι να αποδείξετε (σύγχρονα)την αντίστοιχη πρόταση.

Ν ξ ή όδ ξ ό 9 20 [Σ ί ]Να εξηγήσετε την απόδειξη της πρότασης 9.20 , [Στοιχεία] για την πληθυκότητα των πρώτων αριθμών.



Documents

Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011 09.03users.auth.gr/hara/courses/history_of_math/presentation_9_03_11.pdf · Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο