1

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΆ ΜΆΘΗΜΆΤΙΚΆ

ΓΙΆ ΤΗ Δrsquo ΤΆΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

IQΟ και οι φίλοι του

Μαθηματικώνστη χώρα των

Βασίλης Καραγιάννης ndash Μηνάς Καραγιάννης

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 1 732019 12846 μμ

2

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν 21211993όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας Απαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή εκμίσθωση ή δανεισμός μετάφραση διασκευή αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου

Eκδόσεις Πατάκη ndash Βιβλία για την εκπαίδευση Δημοτικό ΜαθηματικάΣειρά Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των ΜαθηματικώνΒασίλης Καραγιάννης Μηνάς Καραγιάννης Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των Μαθηματικών ndash Δ΄ ΔημοτικόυΥπεύθυνος έκδοσης Νίκος ΚύροςΕικονογράφηση Κώστας Ξύγκας Ζαχαρίας ΠαπαδόπουλοςΕικονογράφηση εξωφύλλου Κώστας ΞύγκαςΣχεδιασμός εξωφύλλου Εύη ΚαλλιονάκηΔιορθώσεις Σοφία ΚροκίδηΣελιδοποίηση Εύη ΚαλλιονάκηΦιλμ μοντάζ Μαρία Ποινιού-ΡένεσηCopyrightcopy για την εικονογράφηση Σ Πατάκης AEEΔE (Εκδόσεις Πατάκη) 2019Copyrightcopy Σ Πατάκης AEEΔE (Eκδόσεις Πατάκη) Βασίλης Καραγιάννης και Μηνάς Καραγιάννης 2019Πρώτη έκδοση από τις Eκδόσεις Πατάκη Αθήνα Μάρτιος 2019KET B012 KEΠ 9519ISBN 978-960-16-7304-2

Θέση υπογραφής δικαιούχων πνευματικής ιδιοκτησίαςεφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38 104 37 ΑΘΗΝΑ THΛ 2103650000 8011002665 2105205600 ΦAΞ 2103650069 KENTPIKH ΔIAΘEΣH EMM MΠENAKH 16 106 78 AΘHNA THΛ 2103831078YΠOKMA ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ ndash ΠΕΡΙΟΧΗ Βacute ΚΤΕΟ) 57009 ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘEΣΣΑΛΟNIKHΣ ΤΘ 1213THΛ 2310706354 2310706715 2310755175 ΦAΞ 2310706355Web site httpwwwpatakisgr bull e-mail infopatakisgr salespatakisgr

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 2 732019 12908 μμ

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

Άς γνωριστούμε 7

1Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 9Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Κλασματικές μονάδες ( 1

2 13

14 1

5 1

6 1

8 1

10 κά) ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

2Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 17

Πράξεις με εκατοντάδες έως το 3000 ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Τάνγκραμ ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

3Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 25

Πράξεις με χιλιάδες έως το 30000 ndash Συμμετρία ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

4Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 33

Δεκαδικά κλάσματα δεκαδικοί αριθμοί ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα ndash Συμμετρία

5Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 41

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

6Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 49

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Συμμετρία ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

7Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 57

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 3 632019 100654 πμ

4

8Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 65

Μέτρηση εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Τάνγκραμ

9Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 73

Κλάσματα ndash Τάνγκραμ ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μέτρηση μήκους εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Επίπεδα σχήματα

1ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 81

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μοτίβα με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

11Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 89

Κλασματικές μονάδες ( 12 1

4 18 κά) ndash Προβλήματα περιμέτρου

εμβαδού και χωρητικότητας ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

12Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 97

Συμμετρία ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

13Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 105

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς και ομώνυμα (δεκαδικά) κλάσματα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

14Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 113

Μέτρηση εμβαδού ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

15Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 121

Μέτρηση εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 4 632019 100654 πμ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

16Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 129

Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 1

2 14 1

8 κά) ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα

17Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 137

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης

18Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 145

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα

19Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 153

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 161

Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

21Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 169

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μέσου όρου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

22Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 179

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

Παράρτημα 189

Άπαντήσεις των ασκήσεων 235

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 5 632019 100654 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

2

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν 21211993όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας Απαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή εκμίσθωση ή δανεισμός μετάφραση διασκευή αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου

Eκδόσεις Πατάκη ndash Βιβλία για την εκπαίδευση Δημοτικό ΜαθηματικάΣειρά Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των ΜαθηματικώνΒασίλης Καραγιάννης Μηνάς Καραγιάννης Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των Μαθηματικών ndash Δ΄ ΔημοτικόυΥπεύθυνος έκδοσης Νίκος ΚύροςΕικονογράφηση Κώστας Ξύγκας Ζαχαρίας ΠαπαδόπουλοςΕικονογράφηση εξωφύλλου Κώστας ΞύγκαςΣχεδιασμός εξωφύλλου Εύη ΚαλλιονάκηΔιορθώσεις Σοφία ΚροκίδηΣελιδοποίηση Εύη ΚαλλιονάκηΦιλμ μοντάζ Μαρία Ποινιού-ΡένεσηCopyrightcopy για την εικονογράφηση Σ Πατάκης AEEΔE (Εκδόσεις Πατάκη) 2019Copyrightcopy Σ Πατάκης AEEΔE (Eκδόσεις Πατάκη) Βασίλης Καραγιάννης και Μηνάς Καραγιάννης 2019Πρώτη έκδοση από τις Eκδόσεις Πατάκη Αθήνα Μάρτιος 2019KET B012 KEΠ 9519ISBN 978-960-16-7304-2

Θέση υπογραφής δικαιούχων πνευματικής ιδιοκτησίαςεφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38 104 37 ΑΘΗΝΑ THΛ 2103650000 8011002665 2105205600 ΦAΞ 2103650069 KENTPIKH ΔIAΘEΣH EMM MΠENAKH 16 106 78 AΘHNA THΛ 2103831078YΠOKMA ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ ndash ΠΕΡΙΟΧΗ Βacute ΚΤΕΟ) 57009 ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘEΣΣΑΛΟNIKHΣ ΤΘ 1213THΛ 2310706354 2310706715 2310755175 ΦAΞ 2310706355Web site httpwwwpatakisgr bull e-mail infopatakisgr salespatakisgr

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 2 732019 12908 μμ

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

Άς γνωριστούμε 7

1Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 9Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Κλασματικές μονάδες ( 1

2 13

14 1

5 1

6 1

8 1

10 κά) ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

2Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 17

Πράξεις με εκατοντάδες έως το 3000 ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Τάνγκραμ ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

3Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 25

Πράξεις με χιλιάδες έως το 30000 ndash Συμμετρία ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

4Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 33

Δεκαδικά κλάσματα δεκαδικοί αριθμοί ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα ndash Συμμετρία

5Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 41

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

6Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 49

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Συμμετρία ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

7Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 57

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 3 632019 100654 πμ

4

8Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 65

Μέτρηση εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Τάνγκραμ

9Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 73

Κλάσματα ndash Τάνγκραμ ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μέτρηση μήκους εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Επίπεδα σχήματα

1ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 81

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μοτίβα με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

11Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 89

Κλασματικές μονάδες ( 12 1

4 18 κά) ndash Προβλήματα περιμέτρου

εμβαδού και χωρητικότητας ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

12Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 97

Συμμετρία ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

13Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 105

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς και ομώνυμα (δεκαδικά) κλάσματα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

14Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 113

Μέτρηση εμβαδού ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

15Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 121

Μέτρηση εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 4 632019 100654 πμ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

16Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 129

Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 1

2 14 1

8 κά) ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα

17Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 137

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης

18Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 145

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα

19Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 153

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 161

Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

21Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 169

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μέσου όρου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

22Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 179

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

Παράρτημα 189

Άπαντήσεις των ασκήσεων 235

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 5 632019 100654 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

Άς γνωριστούμε 7

1Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 9Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Κλασματικές μονάδες ( 1

2 13

14 1

5 1

6 1

8 1

10 κά) ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

2Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 17

Πράξεις με εκατοντάδες έως το 3000 ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Τάνγκραμ ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

3Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 25

Πράξεις με χιλιάδες έως το 30000 ndash Συμμετρία ndash Μοτίβα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo και laquoμισόraquo ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

4Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 33

Δεκαδικά κλάσματα δεκαδικοί αριθμοί ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα ndash Συμμετρία

5Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 41

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

6Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 49

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Συμμετρία ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη

7Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 57

Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 3 632019 100654 πμ

4

8Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 65

Μέτρηση εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Τάνγκραμ

9Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 73

Κλάσματα ndash Τάνγκραμ ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μέτρηση μήκους εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Επίπεδα σχήματα

1ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 81

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μοτίβα με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

11Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 89

Κλασματικές μονάδες ( 12 1

4 18 κά) ndash Προβλήματα περιμέτρου

εμβαδού και χωρητικότητας ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

12Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 97

Συμμετρία ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

13Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 105

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς και ομώνυμα (δεκαδικά) κλάσματα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

14Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 113

Μέτρηση εμβαδού ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

15Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 121

Μέτρηση εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 4 632019 100654 πμ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

16Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 129

Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 1

2 14 1

8 κά) ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα

17Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 137

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης

18Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 145

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα

19Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 153

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 161

Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

21Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 169

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μέσου όρου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

22Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 179

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

Παράρτημα 189

Άπαντήσεις των ασκήσεων 235

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 5 632019 100654 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

4

8Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 65

Μέτρηση εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Τάνγκραμ

9Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 73

Κλάσματα ndash Τάνγκραμ ndash Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μέτρηση μήκους εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Επίπεδα σχήματα

1ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 81

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς ndash Μοτίβα με δεκαδικούς αριθμούς ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

11Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 89

Κλασματικές μονάδες ( 12 1

4 18 κά) ndash Προβλήματα περιμέτρου

εμβαδού και χωρητικότητας ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

12Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 97

Συμμετρία ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

13Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 105

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς και ομώνυμα (δεκαδικά) κλάσματα ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα

14Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 113

Μέτρηση εμβαδού ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά

15Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 121

Μέτρηση εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Προβλήματα περιμέτρου ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 4 632019 100654 πμ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

16Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 129

Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 1

2 14 1

8 κά) ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα

17Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 137

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης

18Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 145

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα

19Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 153

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 161

Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

21Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 169

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μέσου όρου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

22Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 179

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

Παράρτημα 189

Άπαντήσεις των ασκήσεων 235

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 5 632019 100654 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΆ

16Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 129

Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Αναγωγή στην κλασματική μονάδα ndash Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και όγκου ndash Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 1

2 14 1

8 κά) ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Σύνθετα προβλήματα

17Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 137

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης

18Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 145

Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης ndash Μοτίβα

19Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 153

Προβλήματα περιμέτρου εμβαδού όγκου και μάζας (βάρους) ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα κίνησης ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 161

Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη ndash Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Ανάπτυγμα κύβου ndash Μοτίβα ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

21Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 169

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου εμβαδού και μέσου όρου ndash Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo laquoδιπλάσιοraquo laquoμισόraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

22Η ΕΝΟΤΗΤΆ ΆΣΚΗΣΕΩΝ 179

Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού ndash Συμμετρία ndash Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες laquoπερισσότεροraquo laquoλιγότεροraquo κά ndash Ασκήσεις παρατηρητικότητας λογικής κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης

Παράρτημα 189

Άπαντήσεις των ασκήσεων 235

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 5 632019 100654 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

6

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 6 632019 100655 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

7

gt

gt

gt

Γεια σας παιδιά

Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης

Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάςμια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικώνμε ποικίλες δημιουργικές ασκήσειςεμπλουτισμένα όμως με γρίφουςσπαζοκεφαλιές και κάθε λογήςπνευματικά παιχνίδιαΚάθε βιβλίο περιλαμβάνειbull Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο () είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίωνbull Παράρτημα με σύντομη θεωρία εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίεςbull Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους

Ειδικότερα μέσα από αυτά τα βιβλία

Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστεέξυπνα και πρωτότυπα

Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη τη φαντασία την παρατηρητικότητα τη συνδυαστική αντίληψητην ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο

Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα σιγά σιγά και σταθερά για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς

Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας

Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑΜε αγάπη

gtgt IQ ο Εξυπνούλης

Άς γνωριστούμε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 7 632019 100655 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

8

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 8 632019 100656 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

9

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 1 Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 2

Σημείωση Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα

231

24

4Ά B

2 41 3

1

3

41

3

4

Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A B) που ακολουθούν Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά κάθε στήληκαι κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς μία και μοναδική φορά

1H

A) Β) Δ) Γ) Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 9 632019 100656 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

10

1 3

1 4

A) 10 B) 11 Γ) 12 Δ) 20 Ε) 21

10 euro =

= euro

= euro

= euro

= euro

8 euro =

12 euro =

= 11 euro = 14 euro = 4 euro

Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού μεβάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα Για να διευκολυνθείς συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ndashή οριζόντια και κάθεταndash ανά δύο αυτά τα αθροίσματα

Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο 1 σε αυτήν την αρίθμηση Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 10 632019 100657 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

11

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 5

1 6

α = εκ β΄ = εκ

2

+ 6

x 6

x 8

+ 7

9

9 + 8

A) + 7

B) ndash 7

Δ) 7

Γ) x 7

Ε) x 9

εκβ΄

εκ 10 εκα

Ποιον αριθμό (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ) για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου

Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος 1 μέτρο Η α κορδέλα είναι 10 εκ μακρύτερη από τη β΄ Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 11 632019 100657 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

12

1 7

A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

1 8

Αν = euro

= euro

= euro

ndash

+

ndash

= 25 euro

=15 euro

325 euro = 05 euro

Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια Προσπάθησε

Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά 1000 ευρώ Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον Πόσοι μαθητές απουσίαζαν Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Tότε

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 12 632019 100658 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

13

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 9

Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 130 αγόρια Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ο Φοίβος έχει 10 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Ά B

A) 0 A) 1B) 10 B) 2

Γ) 20 Γ) 3Δ) 30 Δ) 4Ε) 40 Ε) 5

A)

A)

A)

A)

A)

B)

B)

B)

B)

B)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Γ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Δ)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

Ε)

1 1Ο

1

2

3

4

5

18

12

18

12

18

15

13

15

13

16

14

14

14

14

14

13

16

13

15

13

12

18

12

18

12

Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (1 2 3 4 5) είναι χρωματισμένο Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

1H

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 13 632019 100659 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

14

1 11 Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η) α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις

1 12 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω α) μία σειρά από 10 όμοια σπιτάκια β) μία σειρά από 100 όμοια σπιτάκιαγ) μία σειρά από 1000 όμοια σπιτάκιαΚύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

γ) A) 4000 Β) 4001 Δ) 4500Γ) 4100

οι) A) 40 Β) 41 Δ) 45Γ) 43 Ε) 50

β) A) 400 Β) 401 Δ) 450Γ) 410 Ε) 500

Ε) 5000

ΠΙΝΆΚΆΣ

Θέσεις

Θέσεις

Κυκλάκια

1η

23η 82η33η 100ή 129η 199η

2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

hellipοι)

β)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 14 632019 100659 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

15

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 13

1 14 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ α) Πόσα εκ είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

A

Δ

Ι

Γ

Ε

Κ

ΗΘ

Ζ

Β

οι) A) 12 εκ

Β) 24 εκ

Δ) 48 εκ

Γ) 36 εκ

Ε) 60 εκ

1H

Σημείωση Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες

Ά

B

β) A) 9

Β) 10

Δ) 13

Γ) 12

Ε) 14

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 15 632019 100659 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

16

1 15 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω

μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια αλλά μόνο μία φορά από το καθένα α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α Β Γ Δ Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό ( ) ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

1 16

οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι

Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια

Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι

Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι

Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι

β) A) 75 εκ Β) 78 εκ Δ) 90 εκΓ) 825 εκ Ε) 120 εκ

˛

˛

A)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 16 632019 100700 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

17

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

2 1 Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού laquoTα τενεκεδάκιαraquo σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις

Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι αυτό πέφτει μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό

Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε

οι)

β)

γ)

δ)

1

2

Κανόνες

ΕρωτήσειςΟ Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800 Πόσους βαθμούς πήρε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 1900 B) 2000 Γ) 2100 Δ) 2200 Ε) 2300

Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 600 B) 700 Γ) 800 Δ) 900 Ε) 1000

Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και 1000 Ποιο παιδί νίκησε Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης

Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς

Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργο-στόχο με 8 laquoπατώματαraquo (στρώσεις) Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

Α) 20 B) 27 Γ) 36 Δ) 45 Ε) 55

700 800

400

900

500

200

1000

600

300

100

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 17 632019 100700 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

18

Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου Κύκλωσε τη σωστή απάντηση

2 2

58 2

1 25 9 9

7 58 1 1

2 2

5 58 4

και καικαι και και

1 8

A) Β) Δ)Γ) Ε)

2 3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας

μικρότερα κυβάκια Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Πόσα από τα μικρά κυβάκια

Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες

Α) 3 B) 6 Γ) 8 Δ) 10 Ε) 12

Έχουν 1 έδρα τους χρωματισμένη

Α) 3 B) 4 Γ) 5 Δ) 6 Ε) 8

Δεν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη

Α) 7 B) 8 Γ) 9 Δ) 10 Ε) 11

οι)

β)

γ)

Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 18 632019 100701 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

19

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ2H

Τα παρακάτω κασκόλ (Α Β Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ μπορείς να βρεις α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση

2 4

Ά

B

Γ

2 5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α Β) για να ισχύει η ισότητα Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα

οι) A) 240 εκ

Β) 280 εκ

Δ) 360 εκ

Γ) 320 εκ

Ε) 400 εκ

β) A) 1600 τεκ

Β) 1800 τεκ

Δ) 2400 τεκ

Γ) 2000 τεκ

Ε) 3200 τεκ120 εκ

εκ

80 εκ

Ά

B

KETB012 BKM11304 IQ_D Dimindd 19 632019 100701 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

189

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

bull Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιεςbull Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudokubull Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κά)

Παράρτημα

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 189 632019 101019 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

190 128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 190 632019 101020 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

191128

ndash Γύρω microας τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές υπάρχουνσχήmicroατα ή αντικείmicroενα που αποτελούνται από δύο όmicroοια τmicroήmicroατα

ndash Όταν ένα σχήmicroα microπορεί να χωριστεί microε microια ευθεία γραmicromicroή σε δύο τmicroήmicroατα έτσιώστε το ένα τmicroήmicroα να είναι η αντανάκλαση του άλλου τότε είναι συmicromicroετρικό ωςπρος την ευθεία αυτή η οποία ονοmicroάζεται άξονας συmicromicroετρίας

ndash Ένα συmicromicroετρικό σχήmicroα microπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συmicromicroε-τρίας Για παράδειγmicroα

ndash Στα παρακάτω σχήmicroατα οι διακεκοmicromicroένες γραmicromicroές δεν είναι άξονες συmicromicroετρίαςγιατί αν και χωρίζουν τα σχήmicroατα σε δύο τmicroήmicroατα το ένα τmicroήmicroα δεν είναι αντανά-κλαση του άλλου Αν δηλαδή τα σχήmicroατα διπλωθούν κατά microήκος αυτών των γραmicro-microών τα δύο τmicroήmicroατά τους δε θα συmicroπέσουν

1 άξονας συmicromicroετρίας 2 άξονες

συmicromicroετρίας 3 άξονεςσυmicromicroετρίας 4 άξονες

συmicromicroετρίαςάπειροι άξονες

συmicromicroετρίας

Z Z

1 Αξονική συmicromicroετρία

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 128

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 191 632019 101020 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

192 130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 192 632019 101021 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

193130

Α) Γεωmicroετρικό microοτίβο

ndash Γεωmicroετρικό microοτίβο λέγεται το γεωmicroετρικό στοιχείο ( ) που επαναλαmicroβάνε-ται και δηmicroιουργεί ένα σχέδιο Για να δηmicroιουργήσουmicroε ή να επεκτείνουmicroε ένα σχέ-διο microε επαναλαmicroβανόmicroενα microέρη αρκεί να γνωρίζουmicroε το microοτίβο του και τον τρόποmicroε τον οποίο επαναλαmicroβάνεται

Β) Αριθmicroητικό microοτίβο

ndash Αριθmicroητικό microοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαmicroβανόmicroενη σχέση ανάmicroεσα σε microια σειρά αριθmicroών Η σειρά αυτή των αριθmicroών που δηmicroιουργήθηκε microε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθεαριθmicroός ονοmicroάζεται όρος της ακολουθίας

Γ) Σύνθετο microοτίβο

Σχ 1 Σχ 2 Σχ 3 Σχ 4

ndash Σύνθετο microοτίβο λέγεται το microοτίβο που ακολουθεί και γεωmicroετρικό και αριθmicroητικό microοτίβο Σε ένα σύνθετο microοτίβο το γεωmicroετρικό microοτίβο διακρίνεται συνήθως εύκολα Για να βρούmicroε όmicroως το αριθmicroητικό microοτίβο καταγράφουmicroε τα δεδοmicroένα σε πίνακα και εξετάζουmicroε ανΣτο παράδειγmicroά microας ο κανόνας είναι Προσθέτουmicroε 2 στο προηγούmicroενο σχήmicroα

2 Μοτίβα

1 3 5

+2 +2

7

+2+2

9

+2+2

11

+2+2

Για να δηmicroιουργηθεί η παρα-πάνω σειρά αριθmicroών προ-σθέτουmicroε κάθε φορά 2 στονπροηγούmicroενο αριθmicroό Ο κα-νόνας είναι Αριθmicroός + 2

Ο ίδιος κανόνας ισχύεικαι για το παρακάτωσύνθετο microοτίβο

Σχέδιο 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο

Αριθmicroός τετραγώνων 1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2 +2

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 130

αυτό

συνδέονται microεταξύ τους microε κάποιον κανόνα

Όταν ένα σχήmicroα είναι συmicromicroετρικό ως προς έναν άξονα η επιφάνεια κάθε τmicroήmicroατος είναι το microισό του όλου Έτσι αν γνωρίζουmicroε το εmicroβαδόν ολόκληρου του σχήmicroατος διαιρώντας διά 2 microπορούmicroε να βρούmicroε το εmicroβαδόν κάθε τmicroήmicroατός του (και το αντίστροφο) Για παράδειγmicroα laquoΠόσο είναι το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου ΑΒΓ∆ microε πλευρά 4 εκraquo

Β

∆ 4 εκ

4 εκ

A

Γ

129

ndash Κάποια συmicromicroετρικά σχήmicroατα έχουν άξονα συmicromicroετρίας που τα τέmicroνει (όπως σταπροηγούmicroενα σχήmicroατα) ενώ άλλα είναι συmicromicroετρικά ως προς άξονα συmicromicroετρίαςπου βρίσκεται έξω από αυτάΓια παράδειγmicroα

ndash Επίσης στο διπλανό σχήmicroα βλέπουmicroε ότι οαριθmicroός 2 (θέση 1) έχει συmicromicroετρικό του τοναριθmicroό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α ενώ οιαριθmicroοί 2 και 5 (θέσεις 1 2 αντίστοιχα) έχουν ωςσυmicromicroετρικό τους τους αριθmicroούς 5 και 2 (θέσεις3 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β

Προσοχή

Το τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχει εmicroβαδόν (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ x 4 εκ = 16 τ

εκ

Αν πάρουmicroε ως άξονα συmicromicroετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ(ή τη διαγώνιο Β∆) το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α∆Γ και ΑΒΓ Έτσι για κάθεκόκκινο τmicroήmicroα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τmicroήmicroα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα Άρα το εmicroβαδόν των κόκκινων τmicroηmicroάτων του τετραγώνου είναι το microισό του ολόκληρου εmicroβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ∆ ∆ηλαδή 16 τ εκ 2 = 8 τ εκ

Πρόσεξε τηνκατεύθυνσητων ψαριώνhellip

α

θέση 3

θέση 4

θέση 1

θέση 2

β

KETA839 BKM11145 IQ_C Dim_parartima_IQ 23052018 1534 Page 129

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Parartimaindd 193 632019 101021 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

235

EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 50100 + 4 2

10

των ασκήσεων

Απαντήσεις

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 235 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

236

1η Ενότητα Ασκήσεων

11Σωστή απάντηση είναι η Ε

12

13

= 1 euro = 2 euro = 3 euro

= 4 euro

[Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης Για παρά-δειγμαΑν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σει-ράς με το άθροισμα της 2ης στήλης βρί-σκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 14 euro ndash 10 euro = 4 euroΑπό το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκου-με ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 10 euro 2 = 5 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 1ης στή-λης με τη συνολική τιμή από το ένα πα-γωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [11 euro ndash (5 euro + 4 euro)] 2 = (11 euro ndash 9 euro) 2 = 2 euro 2 = 1 euroΣυνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στή-λης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντου-ιτς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 euro ndash 1 euro = 3 euroΤέλος συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χω-νάκι μόνο του βρίσκουμε ότι το ένα παγω-τό ξυλάκι κοστίζει 5 euro ndash 3 euro = 2 euro]

14Σωστή απάντηση είναι η Ε) 21 [Στις σελί-δες 1 10 11 (δύο φορές) 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91 100)Προσοχή Το 50φυλλο τετράδιο έχει 100 σελίδες (2 σελίδες το 1 φύλλο)]

15Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ και η β΄ 45 εκ[Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 10 εκ της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας Δηλαδή 1 μ ndash 10 εκ = 100 εκ ndashndash 10 εκ = 90 εκ Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ 2 = 45 εκ και η α είναι 45 εκ + 10 εκ = 55 εκΑλλιώς Αν προσθέσουμε 10 εκ στο συνολι-κό μήκος των δύο κορδελών βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας 1 μ + 10 εκ = = 100 εκ + 10 εκ = 110 εκ Οπότε η α κορδέλα είναι 110 εκ 2 = 55 εκ και η β είναι 55 εκ ndash 10 εκ = 45 εκΣημαντική παρατήρηση Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαι-ρέσουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμούβ) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέ-σουμε τη διαφορά τους βρίσκουμε το δι-πλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού]

16Σωστή απάντηση είναι η Δ) 7 [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιό-στροφα έχουμε διαδοχικά9 x 6 = 54 54 9 = 6 6 + 6 = 12 12 2 = 6 6 x 8 = 48 48 + 8 = 56 56 + 7 = 63 και 63 7 = 9]

17Σωστή απάντηση είναι η Δ) 10 [Αρχικά το εισιτήριο ήταν 1000 euro 50 == 20 euro Στη συνέχεια έγινε 20 euro + 5 euro = 25 euro Έτσι στην εκδρομή συμμετείχαν 1000 euro 25 euro = 40 μαθητές άρα απουσίασαν 50 ndash ndash 40 = 10 μαθητές]

231

24

4

Α B

1

3

41

3

4

23

13241

1 4 2132

4 3 212

43

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 236 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

237

18Έχουμε Ρακέτα = 175 euro Καραβάκι = 275 euro Μπάλα = 425 euro[Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το κα-ραβάκι κοστίζει 325 euro ndash 05 euro = 275 euroΑντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση βρίσκουμε ότι η μπά-λα κοστίζει 275 euro + 15 euro = 425 euroΤέλος αντικαθιστώντας την τιμή της μπά-λας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει 425 euro ndash 25 euro = 175 euro]

19A Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20[Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι 90 + + 130 = 220 και τα μισά 220 2 = 110 Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι 110 ndash 90 = 20]Β Σωστή απάντηση είναι η Β) 2[Ο Φοίβος έχει 20 x 10 = 200 βόλους Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους Δηλα-δή ο Παύλος έχει 400 ndash 200 = 200 βόλους περισσότερους Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων Θα δώσει 200 2 = 100 βόλους ή 100 50 = 2 κουτιά Αλλιώς Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν (20 xx 10) + (50 x 8) = 200 + 400 = 600 βόλους Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων το καθέ-να πρέπει να έχει 600 2 = 300 βόλους Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο 400 ndash ndash 300 = 100 βόλους ή 100 βόλ 50 βόλ == 2 κουτιά Έτσι ο Φοίβος θα έχει 200 + + 100 = 300 βόλους και ο Παύλος 400 ndash ndash 100 = 300 βόλους]

11OΟι σωστές απαντήσεις είναι

1 E) 12 2 Γ) 1

4 3 Ε) 12

4 Α) 12 5 Ε) 1

2

[Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων 1 2 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη όπως το τετράγω-νο 4 Δηλαδή

Σ΄ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το 1

2 του τετρα-γώνου Άρα το χρωματισμένο μέρος του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του

]

111α) Το μοτίβο είναι

β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέ-σεις (πολλαπλάσια του 4) Έτσι έχουμε

bull 23 4 = 5 και περισσεύουν 3 Άρα στην 23η θέση θα βρί-σκεται το 3ο κυκλάκιbull 33 4 = 8 και περισσεύει 1 Άρα στην 33η θέση θα βρίσκε-ται το 1ο κυκλάκιbull 82 4 = 20 και περισσεύουν 2 Άρα στην 82η θέση θα βρί-σκεται το 2ο κυκλάκιbull 100 4 = 25 Άρα στην 100ή θέση θα βρίσκεται το 4ο κυ-κλάκιbull 129 4 = 32 και περισσεύει 1 Άρα στην 129η θέση θα βρί-σκεται το 1ο κυκλάκιbull 199 4 = 49 και περισσεύ-ουν 3 Άρα στην 199η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι]

112Σωστές απαντήσεις είναια) Β) 41 β) Β) 401 γ) Β) 4001[Αναλυτικά Για το πρώτο σπιτάκι χρειά-

1

2

3

4

5

Θέσ

εις

Κυκ

λάκι

α

23η

82η

33η

100ή

129η

199η

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 237 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

238

ζομαι 5 σπιρτόξυλα ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευ-ρά ανά δύο συνεχόμενα) Έτσι για να σχη-ματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 xx 1) + (4 x 9) = 5 + 36 = 41 σπιρτόξυλαβ) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 99) = 5 + 396 = 401 σπιρτόξυλαγ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι (5 x 1) + + (4 x 999) = 5 + 3996 = 4001 σπιρτό-ξυλαΑλλιώς Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρ-τόξυλα εκτός από το πρώτο που χρειάζε-ται 1 σπιρτόξυλο παραπάνω Έτσι για να σχηματίσω α) 10 όμοια σπιτάκια χρειάζο-μαι 1 + (4 x 10) = 1 + 40 = 41 σπιρτόξυλα β) 100 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 100) = 1 + 400 = 401 σπιρτόξυλα γ) 1000 όμοια σπιτάκια χρειάζομαι 1 + (4 x x 1000) = 1 + 4000 = 4001 σπιρτόξυλα]

113α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ[Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ 3 = 24 εκ και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι 24 εκ 3 = 8 εκ ή 72 εκ 9 = 8 εκ Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ x 6 =48 εκ]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 13[Σχηματίζονται9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ ΔΚΙ ΔΕΚ ΕΚΖ ΙΘΓ ΙΚΘ ΚΗΘ ΚΖΗ ΖΒΗ)3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ ΔΗΓ ΕΒΘ)1 πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ) Συνολικά 9 + 3 + 1 = 13 τρίγωνα]

114

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0 το με-τατρέπουμε σε 9]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2 το με-τατρέπουμε σε 3]

115Σωστές απαντήσεις είναια) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετρα-γωνάκι β) Δ) 90 εκ [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ 4 = 75 εκ ενώ η πλευρά του μωσαϊ-κού είναι 75 εκ x 3 = 225 εκ Άρα η περί-μετρος του μωσαϊκού είναι 225 εκ x 4 == 90 εκ Αλλιώς 75 εκ x 12 = 90 εκ]

116Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα) Δηλαδή 4 x 16 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα) Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό δηλαδή 64 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα)Χρωματισμένα είναι 31 τριγωνάκια Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 ndash 31 = 1 τριγωνάκι (τέταρτο) Δηλαδή

]

2η Ενότητα Ασκήσεων

21α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2300 Δηλαδή 800 + 400 + 500 + 200 + 300 + + 100 = 2300β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900 Δηλαδή 900 + 500 + 600 + 200 + 300 + + 100 = 2600γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης Δηλαδή

Α

Β

˛

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 238 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ

239

bull Νίκος 700 + 400 + 200 + 100 = = 1400bull Γιάννης 1000 + 600 + 300 + 100 == 2000 Αφού 2000 gt 1400 νίκησε ο Γιάννηςδ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36[Ξεκινώντας από την κορυφή του πύρ-γου-στόχου βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια Έτσι έχουμε1ο πάτωμα 1 τενεκεδάκι2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκιαΣυνολικά 36 τενεκεδάκια]

22Σωστή απάντηση είναι η Δ) [Γιατί 1 9 9 και 2 9 8 1 + 9 + 9 = 2 + + 9 + 8 19 =19]

23α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 12 [Τα 12 κυβάκια βρίσκονται στις 12 ακμές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση]β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6 [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι Αλλιώς 1 στην 1η στρώση 4 στη 2η στρώση και 1 στην 3η στρώση από κάτω]γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9 [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου δηλαδή 4 στην 1η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση και το άλλο 1 κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση στο εσωτερικό του κύβου στην laquoκαρδιάraquo του γιrsquo αυτό και δε φαίνεται]

24α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 3200 τεκ

[α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κα-σκόλ) είναι 120 εκ ndash 80 εκ = 40 εκ Συγκρί-νοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομ-μάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 120 εκ + 40 εκ = 160 εκ Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορ-θογώνιου κομματιού του βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ ndash 40 εκ) 2 = 40 εκ 2 = 20 εκ Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (160 εκ + 20 εκ) x 2 = 180 εκ x 2 = 360 εκ β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος xx πλάτος = 160 εκ x 20 εκ = 3200 τεκ]

25

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6 το μετατρέπουμε σε 9]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6 μετα-τρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8]

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και το-ποθετώντας το στο πρώτο 1 μετατρέπου-με το + σε ndash και το πρώτο 1 σε 7]Αλλιώς

[Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο 1 μετατρέ-πουμε το + σε ndash και το δεύτερο 1 σε 7]

Α

Α

Β

Β

KETB012 BKM11304 IQ_D Dim_Lyseisindd 239 632019 103500 πμ