Міністерство освіти і науки України

Запорізький національний університет

ГРИЩАК ДМИТРО ДМИТРОВИЧ

УДК 517.928; 629.783 (0.43.5)

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІКИ АЕРОКОСМІЧНИХ

СИСТЕМ НА БАЗІ ГІБРИДНИХ АСИМПТОТИЧНИХ МЕТОДІВ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Запоріжжя – 2017

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Запорізькому національному університеті Міністерства освіти і

науки України

Науковий керівник доктор технічних наук, професор,

Гоменюк Сергій Іванович,

Запорізький національний університет,

декан математичного факультету

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Гук Наталія Анатоліївна

Дніпровський національний університет

імені Олеся Гончара,

завідувач кафедри комп’ютерних технологій;

доктор технічних наук, професор

Шейко Тетяна Іванівна,

Інститут проблем машинобудування

ім. А. М. Підгорного

Національної академії наук України,

головний науковий співробітник

відділу математичного моделювання

й оптимального проектування

Захист відбудеться « 2 » листопада 2017 р. о 14.00 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 при Запорізькому національному

університеті (69066, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Запорізького національного

університету (69066, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66)

Автореферат розісланий « 28 » вересня 2017 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Н. О. Кондрат’єва

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом особлива увага дослідників аерокосмічних систем приділяється нелінійним динамічним моделям, які мають складну поведінку у зв’язку із наявністю характеристик конструкцій, залежних від координат і часу. Необхідність дослідження таких моделей стимулюється як загально науковими потребами, зокрема внутрішнім розвитком теорії моделювання з пізнанням закономірностей нелінійних процесів і застосуванням їх у інформаційних технологіях, так і великою кількістю прикладних задач проектування складних об’єктів аерокосмічної техніки. Спираючись на сучасні досягнення аналітичних, зокрема, асимптотичних і чисельних методів дослідження на базі існуючих програмних комплексів відкривається можливість нелокального дослідження і формування достатньо повного представлення про особливості поведінки нелінійних систем. Не зважаючи на існування досить потужних чисельних програмних комплексів, для якісного аналізу нелінійних систем із змінними параметрами необхідні удосконалені математичні моделі на базі ефективних аналітичних, у тому числі наближених, розв’язків, які із застосуванням чисельних методів дають змогу надати достовірний аналіз досліджуваних конструкцій на етапі проектування. Дослідження математичних моделей нелінійних процесів в аерокосмічних системах, зокрема супутників, які рухаються в площині еліптичної орбіти, нелінійної динаміки і демпфування аерокосмічного апарату поблизу збуреної поверхні, моделі ракети-носія з концентрованою рухомою із заданою швидкістю масою, залежною від часу, є актуальними з точки зору розвинення і застосування гібридних асимптотичних методів, які сприяють створенню сучасних чисельних алгоритмів розв’язку задач, що зводяться до нелінійних сингулярних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась відповідно до «Тематичного плану НДР, які виконуються в межах основного робочого часу викладачів» Запорізького національного університету на 2014-2016 рр. за темою «Гібридні аналітико-чисельні методи розв’язку актуальних задач неоднорідного середовища» (№ ДР 0114U002656), а також відповідно до «Тематичного плану НДР, що фінансуються за рахунок коштів бюджету МОН України ДВНЗ «ЗНУ» на 2015-2016 рр. «Математичне моделювання конструкцій неоднорідної структури на базі сучасних інформаційних технологій» (№ ДР 0115U000761).

Метою дисертаційної роботи є удосконалення математичного моделювання та методів чисельного аналізу нелінійних динамічних процесів в аерокосмічних системах і розширення області застосування гібридних асимптотичних методів з отриманням нових наближених аналітико-чисельних розв’язків актуальних лінійних і нелінійних задач динаміки систем із змінними параметрами.

Досягнення мети роботи передбачає вирішення таких завдань:

побудова наближеного аналітичного розв’язку задачі нелінійної динаміки осцилятора змінної за часом довжини і маси, що обертається із заданою швидкістю;

аналіз математичної моделі та створення алгоритму наближеного аналітичного розв’язку задачі нелінійної динаміки супутника, що обертається в площині еліптичної орбіти;

2

візуалізація динамічного процесу коливань супутника в площині кругової і

еліптичної орбіт;

створення математичної моделі та розв’язок задачі нелінійної динаміки і

демпфування літального апарату поблизу збуреної поверхні;

аналітико-чисельний аналіз на базі гібридного асимптотичного підходу

нелінійної динаміки літального апарату з рухомою із заданою швидкістю масою,

залежною від часу;

візуалізація динамічного процесу коливань літального апарату з рухомою,

залежною від часу концентрованою масою;

порівняння здобутих наближених аналітичних залежностей задач

дослідження із даними, отриманими на базі прямого чисельного інтегрування

основних сингулярних нелінійних диференціальних рівнянь із змінними

коефіцієнтами.

Об’єктом дослідження є нелінійні динамічні процеси в системах із змінними

параметрами, зокрема обертового осцилятора із змінними за часом довжиною і

масою, супутника, який рухається в площині еліптичної орбіти, літального апарату

поблизу збуреної поверхні і конструкції ракети-носія з рухомою, залежною від часу

локалізованою масою.

Предмет дослідження – математичні моделі і наближені аналітичні розв’язки

задач нелінійної динаміки аерокосмічних систем, які зводяться до сингулярних

нелінійних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами.

Методи дослідження. Запропоновані у дисертаційній роботі математичні

моделі нелінійної динаміки систем аерокосмічної техніки базуються на

використанні гібридних асимптотичних підходів на базі методів збурення, фазних

інтегралів (метод ВКБ) та, в ряді випадків, застосуванні методу ортогоналізації

Гальоркіна для отримання наближених аналітичних розв’язків. Результати здобутих

наближених аналітичних розв’язків порівнюються із даними прямого чисельного

інтегрування основних рівнянь досліджуваних процесів із застосуванням систем

комп’ютерної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі на базі

гібридного асимптотичного підходу запропоновані нові математичні моделі з

аналітико-чисельним алгоритмами дослідження і візуалізації досліджуваних

процесів, а також отриманими вперше наближеними аналітичними розв’язками

задач, які описуються сингулярними диференціальними рівняннями зі змінними

коефіцієнтами та їх системами:

вперше розв’язана задача нелінійної динаміки обертового осцилятора

змінної довжини і маси;

набув подальшого розвитку математичний апарат застосування гібридних

асимптотичних методів до аналізу нелінійних коливань моделей конструкцій

аерокосмічної техніки, зокрема, супутника, який рухається в площині еліптичної

орбіти, з отриманням уточненого аналітичного розв’язку нелінійного рівняння

В. В. Белецького;

3

вперше надані чисельні результати досліджених задач нелінійної динаміки

аерокосмічних систем в залежності від характеру зміни параметрів конструкцій і

зовнішнього навантаження;

при застосуванні гібридного асимптотичного підходу дістала подальший

розвиток ідея поєднання запропонованих наближених аналітичних розв’язків

нелінійних проблем динаміки із застосуванням існуючих чисельних програмних

комплексів і візуалізації динамічних процесів;

обґрунтована ефективність здобутих наближених аналітичних розв’язків у

порівнянні із прямим чисельним методом дослідження.

Достовірність отриманих результатів забезпечується коректністю та

строгістю математичних постановок розглянутих задач, зіставленням отриманих

результатів із відомими розв’язками і достатнім узгодженням здобутих наближених

аналітичних залежностей із прямим чисельним інтегруванням основних рівнянь та

фізичними представленнями досліджуваних явищ.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані нові

математичні моделі нелінійної динаміки конструкцій аерокосмічної техніки, а також

отримані наближені аналітичні розв’язки актуальних задач дозволяють

рекомендувати здобуті у дисертаційній роботі залежності для подальшого розвитку

теорії математичного моделювання, а також практичного використання при

проектуванні конструкцій нової техніки. Результати дослідження запроваджені у

практику Державного підприємства «Конструкторське бюро «Південне»

ім. М. К. Янгеля» (м. Дніпро) і навчальний процес Запорізького національного

університету.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати, які виносяться на

захист, отримані автором самостійно, в роботах, виконаних у співавторстві і

опублікованих спільно в наукових виданнях, що входять до спеціалізованих

переліків Міністерства освіти і науки України, здобувачу належить: у роботі [1] –

математична модель та наближений аналітичний розв’язок нелінійної задачі; в

роботі [6] – аналіз математичних моделей аерокосмічних систем; в роботі [7] –

виконання огляду чисельних методів; в роботах [8-13] – математичні моделі та

аналітико-чисельні розв’язки.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційного

дослідження доповідались на XI Міжнародній науково-технічній конференції

«АВІА-2013», (НАУ, 21-23 травня 2013, Київ, Україна), VI Всесвітньому Конгресі

«Безпека в Авіації та Космічні Технології» (Київ, 23-25 вересня 2014, Україна),

3 Міжнародній Конференції «Методи і Системи в Навігації та Контроль Руху

(MSNMC)», (Київ, 14-17 жовтня 2014), IV Міжнародній Науковій конференції

«Nonlinear Dynamics» ND – KhPI, 2013» (Севастополь, 19-22 липня 2013, Україна),

V Міжнародній Науково-технічній Конференції «Actual Problems of Applied

Mechanics and Strength of Structures» (Запоріжжя, 21-24 травня 2015, Україна),

V Міжнародній Науковій конференції «Nonlinear Dynamics» ND – KhPI, 2016»

(Харків, Україна), VI Міжнародній Науково-технічній Конференції «Actual Problems

of Applied Mechanics and Strength of Structures» (Запоріжжя, 25-28 травня 2017,

Україна). У повному обсязі робота доповідалась на розширеному засіданні кафедр

4

програмної інженерії, прикладної математики і механіки, фундаментальної

математики та інформаційних технологій Запорізького національного університету.

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 13 робіт, в

яких відображено основний зміст дисертаційної роботи та етапи її підготовки. З них:

2 монографії (одна англомовна) [5-6], 5 статей (4 у наукових фахових виданнях і

одна стаття у періодичному закордонному виданні) [1-4, 7], праця, яка додатково

відображає результати дисертації [8], 4 тези [9, 11-13], у тому числі матеріалів

наукових праць VI Всесвітнього Конгресу «Безпека в Авіації та Космічні

Технології» (Київ, 23-25 вересня 2014, Україна) і 1 стаття у науково-метричному

виданні із індексом SCOPUS [10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із анотації,

вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків. Загальний

обсяг роботи складає 159 сторінок. Робота містить 59 рисунків, список

використаних джерел з 86 найменувань (на 9 сторінках) та 6 додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи подано загальну характеристику роботи,

обґрунтовано актуальність теми дослідження, окреслено її зв’язок з науковими

програмами, сформульовано мету і завдання дослідження, охарактеризовано

наукову новизну, достовірність і практичну значимість отриманих у роботі

результатів, подано інформацію про публікації за темою роботи та особистий внесок

здобувача, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг.

У першому розділі на основі аналізу літературних джерел, опублікованих як у

вітчизняній так і закордонній журналах, надано аналітичний огляд сучасного стану і

висвітлено передумови виникнення проблем дослідження за темою дисертації,

обґрунтовано необхідність їх подальшого вивчення та розв’язку, актуальність теми

дисертаційної роботи, включаючи питання математичного моделювання,

викладаються основні ідеї роботи. Відзначено, що суттєвий вклад у розробку теорій

та методів математичного моделювання і застосування асимптотичних методів був

зроблений вітчизняними вченими.

Наведений огляд сучасного стану проблеми математичного моделювання

нелінійної динаміки конструкцій аерокосмічної техніки свідчить про те, що з точки

зору аналітичних методів дослідження не достатньо повно освітлені підходи

асимптотичного аналізу в проблемі математичного моделювання, особливо для

конструкцій, параметри яких залежать від часу. Тому дисертаційне дослідження

спрямоване на удосконалення математичного моделювання та методів чисельного

аналізу нелінійних динамічних процесів в аерокосмічних системах і розширення

області застосування гібридних асимптотичних методів.

У другому розділі запропоновані математична модель та метод дослідження

задачі нелінійної динаміки обертового математичного маятника з довжиною і

масою, залежними від часу при заданому характері зовнішнього навантаження. На

основі гібридного асимптотичного підходу пропонується математична модель і

дається порівняння здобутого аналітичного розв’язку з прямим чисельним

інтегруванням основного рівняння задачі.

5

Обертаючий математичний маятник розглядається в якості динамічної моделі

системи із змінними у часі параметрами, тобто системи (яка складається з

коливального шару, маса якого є функцію часу), що «вкладена» у внутрішню

поверхню твердого тонкостінного двомірного тору радіусу L t : шар може без

тертя сковзати у внутрішній поверхні тору, а сам тор може обертатися з кутовою

швидкістю , в загальному випадку залежною від часу. Суттєвим є з’ясування

впливу характеру зміни параметрів маятника у часі та введення нового ступеня

свободи, а саме обертання тороїдальної оболонки із заданою швидкістю на

динамічну поведінку системи.

В неінерціальній системі координат основне диференціальне рівняння задачі

має вигляд

2

2

02

sinsin2

1

d dD t t F t

dt dt t

, (1)

де 2

0

0

g

L – параметр власної частоти коливань лінеарізованої системи;

( )

1 1

t tD t

t t

– функція зміни маси та довжини маятника за часом;

2

1t t – функція зміни швидкості обертання маятника від часу; 2

2 00 2

02

– відносний параметр частот коливань; F t – функція зовнішнього навантаження.

На першому етапі застосування гібридного асимптотичного методу розв’язок

рівняння (1) представляється у вигляді розкладу за методом збурення по параметру

:

0 1

0

...N

i

i

i

t t t t

. (2)

Після підстановки (2) у рівняння (1) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових

степенях параметру , отримується зв’язана система лінійних неоднорідних рівнянь

зі змінними коефіцієнтами

0 : 2

0 0

2

d dD t F t

dt dt

, (3)

1 :

221 1 00 02

sinsin2

1

d dD t t

dt dt t

. (4)

Розв’язок рівняння (3) має вигляд:

6

0 1

2

expexp

exp.

exp

F tt P t dt dt c dt

P t dt

F t P t dt dtc dt

P t dt

(5)

Довільні константи визначаються із початкових умов

0 00 1, 0 0 (6)

і мають форму:

1 2

exp, .

exp exp

F t P t dt dtF tc dt c dt

P t dt P t dt

(7)

Чисельний аналіз вимушених коливань лінійної системи зі змінними у часі

параметрами, зокрема, у випадку лінійного закону зміни параметрів у часі, наведені

на рис. 1, 2.

Рисунок 1 – Співставлення аналітичного

(5) та чисельного розв’язків

Рисунок 2 – Тривимірна залежність

розв’язку (5) від частоти зовнішнього

навантаження і часу

Якщо нелінійну складову у правій частині рівняння (1) не розкладати у ряд

Маклорена, то загальний розв’язок нелінійної задачі можна представити у формі:

1exp

exp

F t dtv t P t dt dt s

P t dt

7

02

0 0

2

sinsin 2

exp1

exp exp

v tt v t

F t dt P t dt dttdt s

P t dt P t dt

(8)

02

0 0

sinexp sin 2

1.

exp

v tP t dt dt t v t

tdt

P t dt

Прийнявши параметри досліджуваної системи за значеннями:

2

1t t

, 2

1L t t , 2

exp 1 1P t dt t (9)

розв’язок нелінійної задачі буде мати вираз:

2 21

1 0 1 0 0 0

1

2 1 1 1 1

2

00 0

cos1, , sin 2 sin

1

sin 1 cos 1

sin sin 2 .1

tv t s t v t v t dt

t

s Ci t Si t

v t dt v t dtt

(10)

Довільні сталі 1s і

2s обчислюються із початкових умов.

Результати чисельного аналізу для вільних коливань маятника змінної за

часом довжини за експоненціальним законом надано на pис. 3.

а)

б)

Рисунок 3 – Порівняння аналітичних та чисельного розв’язків

для випадку власних коливань

8

З урахуванням обертання маятника та наявності вимушеної зовнішньої сили

розв’язок нелінійної задачі із застосуванням асимптотичного підходу на базі методів

збурення і фазних інтегралів у випадку змінної довжини і маси за часом буде мати

вигляд:

1

1 10.25

1

cos1exp sin

2

t F t K tV t dt K t s dt

K tQ t

1 1 1

1 2

1 1 1

cos sin coscos

N t K t F t K t N t K tdt K t s dt dt

K t K t K t

,(11)

де

2 3

0 0

12N t t V t

t

.

Результати порівняння аналітичних і чисельних розв’язків задачі динаміки

обертового маятника надано на рис. 4.

Рисунок 4 – Порівняння аналітичного та чисельного розв’язків

для випадку вимушених коливань обертового маятника із змінними довжиною

і масою за експоненціальним законом

Запропоновані наближені аналітичні розв’язки і результати аналізу можуть

бути застосовані для поширення використання гібридного асимптотичного підходу

для отримання розв’язків актуальних нелінійних задач динаміки конструкцій і

систем із змінними параметрами, зокрема аерокосмічної техніки, а також

дослідження в подальшому ефекту спонтанного порушення діаграми біфуркації

нелінійної системи.

У третьому розділі надається наближений аналітичний розв’язок та

чисельний аналіз математичної моделі нелінійних коливань супутника в площині

еліптичної орбіти на базі застосування гібридного асимптотичного методу.

У припущенні, що супутник рухається у центральному гравітаційному полі

так, що його центр мас знаходиться у площині еліптичної орбіти, основне нелінійне

диференціальне рівняння проблеми із змінними коефіцієнтами має вигляд:

9

2

21 cos 2 sin sin 4 sin

d de e e

d d

, (12)

де – подвійний кут між радіусом-вектором центру мас і віссю інерції,

відносно якої моменті інерції дорівнює C ; 3 A C B ; e – ексцентриситет

орбіти; – кутова відстань радіусу-вектору від перигею орбіти (істинна аномалія);

B – момент інерції відносно головної вісі інерції супутника, перпендикулярної

площині орбіти; A – момент інерції відносно третьої головної вісі інерції.

Поділяючи рівняння (12) на коефіцієнт при старшій похідній, одержуємо

початкове рівняння у формі:

2

2

2sin

d da b F

d d

, (13)

де

2

1 2 sin

1 cos

ea

e

;

1 1

1 cosb

e

; 2

1 4sin

1 cos

eF

e

;

2 , 2

2

1

.

При цьому параметри системи змінюються в інтервалах 3 3 ; 0 1e .

В якості першого підходу до наближеного аналітичного розв’язку рівняння

(13) застосовується розклад нелінійної складової рівняння sin в ряд Тейлора:

2 3

2

2 6

d da b F

d d

. (14)

Відповідно до запропонованого гібридного асимптотичного підходу на

першому етапі використовується метод збурення за параметром при нелінійній

складовій:

2

2 3

2

d da b b F

d d

, (15)

де

1

6

; b b ;

6

; 0 1

0

... i

i

i

.

Підстановка розвинення за методом збурення у (15) і зрівняння коефіцієнтів при

однакових степенях параметру приводить до системи сингулярних лінійних

неоднорідних рівнянь із змінними коефіцієнтами:

2

0 2 0 002

:d d

a b Fd d

; (16)

10

2

1 2 31 11 02

:d d

a b bd d

. (17)

Використовуючи алгоритм, запропонований у другому розділі, наближений

аналітичний розв’язок рівняння (15) у двох ВКБ-наближеннях дається у формі:

3

21 0 21

1 10.25 2 2

1 1 1 1

sin( )

E F y b yI s d d

Q A I A I

3

11 0 11

1 1 2 2

1 1 1

cos ,F y b y

I s d dA I A I

(18)

де 1s ,

2s – довільні сталі; 0 – загальний розв’язок лінійного рівняння при

заданих початкових умовах;

1 21

1 1I Q d

,

2

1 2

1

2 2

aQ a b

,

2

aa

;

2

bb

,

d

d

,

exp

2

aE d

,

0.25

1

( )( )

EA

Q

,

11 10.25

1

sin( )

Ey I

Q

,

21 10.25

1

cos ( )( )

Ey I

Q

,

0 1 20.25

1

sin cos( )

Es I s I

Q

.

За другим підходом до розв’язку рівняння (13) нелінійна функція не

розкладається у ряд

2

2

2sin

d da F b

d d

, (19)

вводиться позначення 6

1 cosb

e

і розв’язок отримується у двох ВКБ-

наближеннях у формі:

0 2222

2 10.25 2 2

2 2 2 2 2

sinsin

( )

b yE F yI s d d

Q A I A I

0 1212

2 1 2 2

2 2 2 2

sincos

b yF yI s d d

A I A I

, (20)

де

11

2 0.25

2

EA

Q

,

12 20.25

2

sinE

y IQ

,

22 20.25

2

cosE

y IQ

,

0sinN b , 2

2 2

1

2 2

aQ a

,

1 21

2 2I Q d

.

Аналіз чисельних результатів за двома підходами надається на рис. 5.

а)

б)

Рисунок 5 – Співставлення аналітичного (за першим і другим підходами) та

чисельного розв’язків однорідної нелінійної задачі

Результати аналізу з порівнянням отриманих аналітичних розв’язків з прямим

чисельним інтегруванням початкового рівняння досліджуваного процесу із

застосуванням системи комп’ютерної алгебри для кругової і еліптичної орбіт

0,8;e 3 і початкових умов

0 00 1, 0 0 (21)

наведені на pис. 6.

Рисунок 6 – Залежність аналітичного розв’язку ,е від параметру

ексцентриситету орбіти супутника

Візуалізація динамічного процесу супутника в площині еліптичної орбіти в

залежності від характеру орбіти надано на рис. 7, 8.

12

а) б)

Рисунок 7 – Коливання супутника в площині кругової ( 0e ) і

еліптичної ( 0,8e ) орбіт

Рисунок 8 – Різниця у кутах вісі супутника у випадку кругової

та еліптичної орбіт

Четвертий розділ дисертації присвячений отриманню наближеного

аналітичного розв’язку задачі про нелінійні коливання і демпфування моделі

літального апарату поблизу регулярно-збуреної поверхні. Механічним аналогом і

математичною моделлю цього режиму може служити коливання математичного

маятника у вертикальній площині з коливальною за заданим законом точкою

підвісу. Розглядаються випадки, коли момент відновлюючих сил є нелінійною

функцією порядку m , а безрозмірна амплітуда збурень може бути не малою

величиною, через те, що в цьому випадку можливе погіршення динамічних

характеристик літального апарату.

В даному розділі розглядається задача про вплив приєднаного динамічного

абсорбера на характер демпфування досліджуваної системи. У цьому випадку

розрахункова схема та математична модель здобуває наступного виду:

2 0mb ,

13

де d

d

; 2cos2

ab

; 2 1

;

;

; 2 xn I ;

2

114 xa C I ; 2

224 xC I ; 0aI h ka ; 2 t ; *

1 2 0 cosh h h h I t .

У зображеній розрахунковій схемі (рис. 9) система координат 0 0y oz

зв’язується з динамічним абсорбером.

Рисунок 9 – Розрахункова схема «ЛА – абсорбер»

Система диференціальних рівнянь, які описують процес нелінійних коливань

системи «ЛА – динамічний абсорбер», має вид:

0

20

11 2220m

x x

d dI n C t C t I y y

dt dt

,

0

0 0 0

0 1 0x

I y y n t C t y t . (22)

Задача з приєднаним динамічним абсорбером зводиться до рівняння у формі:

2 0

1 ,m

B F , (23)

де і є асимптотичними параметрами.

Застосовуючи гібридний підхід на базі методу збурення і двочленної

апроксимації за методом фазних інтегралів, як показано у попередніх розділах,

наближений аналітичний розв’язок рівняння (23) отримується у формі:

0

0

1 0.25

1

0

0

2 0.25

1

,exp sin cos

2

,cos sin ,

m

m

FK s K d

B

FK s K d

B

(24)

14

де розв’язок у нульовому наближенні має вид:

0

0 1 21

41

exp2

sin cos ,c K c K

B

1 2,s s – довільні константи, які знаходяться у відповідності до початкових умов.

Для заданих параметрів літального апарату і початкових умов наближений

аналітичний розв’язок задачі (24) залежить від амплітуди періодичного за часом

демпфуючого коефіцієнту n і парамeтру 0y

h (рис. 10).

Рисунок 10 – Вплив коефіцієнта демпфування з урахуванням динамічного абсорбера

У п’ятому розділі запропоновано наближений аналітичний розв’язок

нелінійної задачі динаміки моделі літального апарату (ЛА) із рухомою масою,

залежною від часу, на базі математичної моделі гнучкої пружної балки та алгоритм

візуалізації динамічного процесу в залежності від параметрів досліджуваної

системи. Нелінійні складові третього та п’ятого порядків диференціального

рівняння у частинних похідних із змінними за часом коефіцієнтами відповідають

високій амплітуді та розтягуванню серединної лінії балки і права частина основного

рівняння описує ефект, пов’язаний із наявністю концентрованої, залежною від часу,

рухомої маси (рис. 11).

Рисунок 11 – Модель ракети-носія з концентрованою масою

Нелінійне диференціальне рівняння із змінними за часом коефіцієнтами при

заданих граничних умовах шарнірного обпирання має вид:

15

22 4 2

2 4 20 0

0

, , , , ,

2 8

, sin ,

l Lw x t w x t w x t w x t w x tEA EAm EI dx dx

t x L x L x x

M t w x t x s Q t

(25)

де ,w x t – нормальне змішення балки у часі та за координатою.

У нових безрозмірних змінних початкове рівняння (25) набуває вигляд:

2

0

3 5

0 0 0, , Sin

, .

q q

f u q u q Q

N q Q

(26)

Остаточний наближений аналітичний розв’язок нелінійної задачі вимушених

коливань дається у вигляді:

0

0

10.252

0

2

, cos, cos1 1sin

, sin, sin1cos .

N q KQ Kq K c d

K K

N q KQ KK c d

K K

(27)

Залежність динамічного процесу від параметрів концентрованої рухомої маси,

залежної від часу, представлена на рис. 12-14.

Рисунок 12 – Залежність динамічного

процесу від амплітуди функції

коливань концентрованої маси у часі

Рисунок 13 – Вплив величини

безрозмірного параметру рухомої

концентрованої маси у часі

а)

б)

в)

Рисунок 14 – Візуалізація нелінійних коливань ЛА з концентрованою рухомою

масою, залежною від часу при: а) 10v м/с; б) 20v м/с; в) 40v м/с

16

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі запропоновано удосконалення математичних моделей

та методів чисельного аналізу нелінійних динамічних процесів в аерокосмічних

системах з розширенням області застосування гібридних асимптотичних методів і

отриманням нових наближених аналітико-чисельних розв’язків актуальних лінійних

і нелінійних задач динаміки систем із змінними параметрами.

Основні результати роботи полягають у наступному:

вперше побудовано наближений аналітичний розв’язок на базі гібридного

асимптотичного підходу, пов’язаного із застосуванням методів збурення, фазних

інтегралів і принципу ортогоналізації за Гальоркіним, задачі нелінійної динаміки

осцилятора змінної за часом довжини і маси, що обертається із заданою швидкістю,

як моделі вимушених нелінійних коливань системи із змінними за часом

параметрами;

надано аналіз математичної моделі та запропоновано удосконалений

алгоритм наближеного аналітичного розв’язку задачі нелінійної динаміки

супутника, що обертається в площині еліптичної орбіти;

аналізуються нові математичні моделі та надано розв’язок задачі про

нелінійні коливання літального апарату з періодичним коефіцієнтом демпфування,

який рухається поблизу збуреної поверхні. Запропонований у роботі розв’язок може

бути ефективним у випадках, коли відстань h літального апарату від середньої лінії

хвилі і коефіцієнт демпфування є функціями часу, що є перспективним для

подальших досліджень динамічної стійкості літальних апаратів поблизу збуреної

поверхні;

вперше застосовано гібридний асимптотичний підхід для одержання

наближеного аналітичного розв’язку задачі нелінійної динаміки ракети – носія з

концентрованою рухомою масою, залежною від часу, із застосуванням моделі

деформованої гнучкої пружної балки. Співставлення результатів наближеного

аналітичного і прямого чисельного розв’язків основного рівняння проблеми

показують достатню кореляцію здобутого аналітичного розв’язку;

на базі запропонованого наближеного аналітичного підходу створено

програмне забезпечення щодо візуалізації динамічного процесу літального апарату

із концентрованою масою, що дозволяє надати аналіз впливу рухомої

концентрованої маси, залежної від часу за заданим законом, на динамічний процес;

результати дисертаційної роботи запроваджені у практику Державного

підприємства «Конструкторське бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля» та навчальний

процес Запорізького національного університету.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Праці, в яких опубліковані основні наукові результати:

1. Gomenjuk S. I., Gristchak D. D. To Mathematical modeling for nonlinear

dynamics of spacecraft structures near-by the disturbed surface using hybrid asymptotic

methods. Intern. Journal of Mechanical Engineering and Information Technology. 2017.

Vol. 05, Issue 05. P. 1612–1615.

17

2. Грищак Д. Д. Математичні моделі нелінійної динаміки аерокосмічних

систем на базі гібридних асимптотичних методів. Вісник Запорізького національного

університету. Фізико-математичні науки. 2017. № 1. С. 110–119.

3. Грищак Д. Д. До чисельного аналізу математичної моделі нелінійних

коливань супутника в площині еліптичної орбіти. Проблеми обчислювальної

механіки та міцності конструкцій. 2017. № 26. С. 34–41.

4. Грищак Д. Д. Управління вимушеними коливаннями обертового

математичного маятника з довжиною і масою, залежними від часу. Вісник

Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. 2016. № 2.

С. 69–81.

5. Gristchak V. Z., Gristchak D. D., Fatieieva Yu. A. Hybrid asymptotic methods.

Theory and applications. Zaporizhzhya: Zaporizhzhya National University, 2016. 108 p.

6. Чопоров С. В., Гребенюк С. Н., Гоменюк С. И., Грищак Д. Д., Аль-

Омари М. А. В., Алатемнех Х. Х. Функциональный поход к геометрическому

моделированию технических систем. Запорожье: Запорожский национальный

университет, 2016. 176 с.

7. Gristchak D. D. Vibration of Spacecraft Structure with Joint-up Dynamic

Absorber and Periodic Damping Coefficients Near Disturbed Surface. Problems of

Computational Mechanics and Strength of Structures. 2015. N 24. P. 24–27.

Праці, які додатково відображають результати дисертації:

8. Azarskov V. N., Gristchak D. D. Vibration Damping for the Problems of

Aircraft Motion. Int. J. “Electronics and Control Systems”. 2014. N 4(42). P. 30–34.

Праці апробаційного характеру:

9. Azarskov V. N., Gristchak D. V., Gristchak D. D. Oscillation Damping of Air-

Space Structures With Joint-Up Dynamic Absorber. Proceedings The Sixth World

Congress “Safety in Aviation and Space Technologies” (Kiev, September 23-25, 2014).

Kiev, 2014. Vol. 2. P. 3.5.25–3.5.29.

10. Azarskov V. N., Gristchak D. V., Gristchak D. D. Analytical Solution of

Vibration Problem for Aircraft near Wave Surface. Proceedings 3rd International

Conference “Methods and Systems of Navigation and Motion Control (MSNMC)” (Kiev,

October 14-17, 2014). Kiev, 2014. P. 194–196.

11. Азарсков В. Н., Грищак Д. В., Грищак Д. Д. Приближенное аналитическое

решение задачи динамики математического маятника переменной массы и длины.

Труды XI Международной научно-технической конференции «АВИА-2013», НАУ.

(Киев, 21-23 мая, 2013). 2013. Т. 4. С. 22.1–22.4.

12. Азарсков В. Н., Грищак Д. Д. Аналитическое решение задачи динамики

летательного аппарата вблизи возмущенной поверхности. Труды XI Международной

научно-технической конференции «АВИА-2013», НАУ (Киев, 21-23 мая, 2013). 2013.

Т. 4. С. 22.34-22.39.

13. Gristchak V. Z., Gristchak D. D. Refined Analytical Solution for Satellite

Nonlinear Vibration Problem in the Plane of Elliptical Orbit. Proceedings of the 4-th Int.

Conf. “Nonlinear Dynamics” (Sevastopol, June 19-22, 2013). Sevastopol, Ukraine, 2013.

Р. 46–50.

18

АНОТАЦІЯ

Грищак Д. Д. Математичні моделі нелінійної динаміки аерокосмічних систем на базі гібридних асимптотичних методів. – На правах рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи (фізико-математичні науки). – Запорізький національний університет Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2017.

Дисертаційна робота присвячена удосконаленню математичного моделювання та методів чисельного аналізу нелінійних динамічних процесів в аерокосмічних системах і розширенню області застосування гібридних асимптотичних методів з отриманням нових наближених аналітико-чисельних розв’язків актуальних лінійних і нелінійних задач динаміки систем із змінними у часі параметрами. На базі гібридного асимптотичного підходу запропоновані нові математичні моделі з аналітико-чисельними алгоритмами дослідження і візуалізації динамічних процесів, які описуються сингулярними диференціальними рівняннями зі змінними коефіцієнтами та їх системами, зокрема, нелінійної динаміки обертового осцилятора змінної довжини і маси; нелінійних коливань супутника, який рухається в площині еліптичної орбіти; нелінійної динаміки і демпфування літального апарату поблизу збуреної поверхні; динаміки моделі ракети-носія з концентрованою рухомою із заданою швидкістю масою, залежною від часу, з візуалізацією динамічного процесу в залежності від заданих параметрів руху. При застосуванні гібридного асимптотичного підходу дістала подальший розвиток ідея поєднання запропонованих наближених аналітичних розв’язків нелінійних проблем динаміки із застосуванням існуючих чисельних програмних комплексів з візуалізацією динамічних процесів. Обґрунтована ефективність здобутих наближених аналітичних розв’язків у порівнянні із прямим чисельним методом дослідження. Результати роботи запроваджені у практику Державного підприємства «Конструкторське бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля» (м. Дніпро) та навчальний процес Запорізького національного університету.

Ключові слова: нелінійна динаміка, асимптотичні методи, гібридні аналітико-чисельні розв’язки, сингулярні нелінійні диференціальні рівняння із змінними коефіцієнтами, математичні моделі конструкцій аерокосмічної техніки.

АННОТАЦИЯ

Грищак Д. Д. Математические модели нелинейной динамики аэрокосмических систем на базе гибридных асимптотических методов. – На правах рукописи.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и численные методы (физико-математические науки). – Запорожский национальный университет Министерства образования и науки Украины, Запорожье, 2017.

Диссертационная работа посвящена усовершенствованию математического моделирования и методов численного анализа нелинейных динамических процессов в аэрокосмических системах и расширению области применения гибридных асимптотических методов с получением новых приближениях аналитико-численных

19

решений актуальных линейных и нелинейных задач динамики систем с переменными во времени параметрами. На базе гибридного асимптотического подхода с применением методов возмущений, фазовых интегралов (метод ВКБ), в ряде случав с учетом принципа ортогонализации по Галеркину, предложены новые математические модели с аналитико-численными алгоритмами исследования и визуализации динамических процессов, а также получением впервые приближенными аналитическими решениями задач, которые описываются сингулярными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и их системами, в частности:

нелинейной динамики вращающегося с заданной скоростью (в общем случае зависящей от времени) математического маятника переменной во времени длины и массы с обсуждением двух подходов к решению нелинейной проблемы динамики систем с переменными параметрами;

нелинейных колебаний спутника, движущегося в плоскости эллиптической орбиты с получением уточненного аналитического решения уравнения В.В. Белецкого с визуализацией процесса колебаний спутника по круговой и эллиптической орбитах;

нелинейной динамики и демпфирования летательного аппарата вблизи возмущенной поверхности с разработкой модели, когда расстояние h летательного аппарата от средней линии волны и коэффициент демпфирования являются функциями времени (наличие переменного коэффициента при нелинейной составляющей основного уравнения задачи), что является перспективным для дальнейших исследований динамической устойчивости летательный аппаратов вблизи возмущенной поверхности;

нелинейных колебаний ракеты-носителя с подвижной концентрированной массой, зависящей от времени, при заданных параметрах исследуемой системы, граничных и начальных условий с созданием программного обеспечения, позволяющего визуализировать динамический процесс конструкции относительно центра тяжести. Приведены результаты численного анализа влияния амплитуды функции концентрированной массы от времени и параметров скорости ее движения на характер динамического процесса. Сравнение результатов приближенного аналитического и прямого численного решений основного уравнения задачи показывает достаточную корреляцию полученных аналитических решений.

При использовании гибридного асимптотического подхода получила дальнейшее развитие идея соединения предложенных приближенных аналитических решений нелинейных проблем динамики систем с переменными параметрами с существующими программными комплексами, позволяющими дать оценки влияния зависимости параметров исследуемых систем от времени на характер динамического процесса на стадии проектировочного расчета. Результаты диссертационного исследования внедрены в практику Государственного предприятия «Конструкторское бюро «Южное» им. М. К. Янгеля (г. Днепр) и учебный процесс Запорожского национального университета.

Ключевые слова: нелинейная динамика, асимптотические методы, гибридные аналитико-численные решения, сингулярные нелинейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, математические модели конструкций аэрокосмической техники.

20

ABSTRACT

Gristchak D. D. Mathematical models for nonlinear dynamics of airspace

systems on the basis of hybrid asymptotic methods. – Мanuscript.

Dissertation on the receipt of scientific degree of candidate of physics and

mathematics sciences on specialty 01.05.02 – mathematical design and numerical methods

(physical and mathematical sciences). – Zaporizhzhia National University of Ministry of

Education and Science of Ukraine, Zaporizhzhia, 2017.

This dissertation work is devoted to the improvement of mathematical modeling and

methods of numerical analysis for nonlinear dynamic processes in the aerospace systems

and expansion of application of hybrid asymptotic methods domain with obtaining new

approximate analytical – numerical solutions to actual linear and nonlinear dynamics

problems for systems with varying in time parameters.

On the basis of hybrid asymptotic approach a new mathematical models with

analytical and numerical algorithms for the study and visualization of dynamic processes

are proposed. An approximate analytical solutions of problems, which are described by

singular differential equations with variable coefficients and their systems are obtained, in

particular, the nonlinear dynamics of the rotating oscillator of variable length and mass;

nonlinear vibrations of a satellite which moves in a plane of elliptical orbit; nonlinear

dynamics and damping of the aircraft close to the perturbed surface; the dynamics of a

rocket model with a concentrated moving at a given speed the time-dependent mass with

visualization of the dynamic process depending on the specified motion parameters. In the

application of a hybrid asymptotic approach the idea of combining the proposed

approximate analytical solutions of nonlinear problems of dynamics with the use of

existing software systems and the visualization of dynamic processes was further

developed. The efficiency of the obtained approximate analytical solutions compared with

the direct numerical method of the study. The research results are embedded in the

practice of the Yuzhnoye State Design Office and educational process of Zaporizhzhia

National University.

Key words: nonlinear dynamics, asymptotic methods, hybrid analytical-numerical

solutions, nonlinear singular differential equations with variable coefficients, mathematical

models of aerospace structures.