Κανόνας του Τραπεζίου Η πιο απλή από τις µεθόδους ολοκλήρωσης των Newton - Cotes είναι ο τύπος για s0=1/2, w0=w1=1, γνωστή σαν µέθοδος του Τραπεζίου ή σαν κανόνας του Τραπεζίου ή κανόνας του 1/2.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =ℎ2

!

!

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 +ℎ!

12𝑓"(𝜉)

Αν το διάστηµα [a,b] διαιρεθεί σε n-1 ίσα διαστήµατα, τότε έχουµε

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

+⋯+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!!!

=ℎ2𝑓! + 2𝑓! + 2𝑓! +⋯+ 2𝑓!!! + 𝑓! +

ℎ!

12𝑓"(𝜉!)

!

!!!

To σφάλµα στον κανόνα του Τραπεζίου είναι της τάξης h3 προφανώς το h θα πρέπει να είναι όσο το δυνατό µικρότερο. Η µέθοδος του Τραπεζίου χρησιµοποιεί γραµµική προσέγγιση της συνάρτησης που ολοκληρώνεται.

Ανάλυση σφάλµατος Έστω ένα διάστηµα 𝑥! , 𝑥!!!    𝜇𝜀  𝑥!!! = 𝑥! + ℎ, τότε το σφάλµα ek θα είναι

𝑓(𝑥)

!!!!

!!

𝑑𝑥 −ℎ2(𝑓! + 𝑓!!!)

Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor την f(x) και ολοκληρώνοντας θα έχουµε

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥! + 𝑠 = 𝑓! + 𝑠𝑓! +𝑠!

2!𝑓!!! +

ℎ!

3!𝑓!!!! +⋯ =   𝑓 𝑥  𝑑𝑥

!!!!

!!

= 𝑓 𝑥! + 𝑠 𝑑𝑥!

!

= 𝑓! 𝑑𝑠!

!

+ 𝑓!! 𝑠  𝑑𝑠!

!

+ 𝑓!!! 𝑠!!

!

+ 𝑓!!!! 𝑠!𝑑𝑠!

!

+⋯

= ℎ𝑓! +𝑠!

2𝑓!! +

ℎ!

3!𝑓!! +⋯

Αν αναπτύξουµε σε σειρά Taylor

𝑓 𝑥! + ℎ = 𝑓! + 𝑓!! +ℎ!

2𝑓!!! +

ℎ!

3!𝑓!!!! +⋯

και αντικαταστήσουµε τις σχέσεις (9.10) και (9.11) στη σχέση (9.9) βρίσκουµε

𝑒! =ℎ!

6𝑓!!! −

ℎ!

4𝑓!!! = −

ℎ!

12𝑓!!! + 0(ℎ!)

παραλείποντας όλους τους όρους που περιλαµβάνουν την ποσότητα h4 και πάνω σαν αµελητέους.

Το σφάλµα στο σύνθετο τύπο του Τραπεζίου θα είναι το άθροισµα όλων των επί µέρους σφαλµάτων σε κάθε υπο-διάστηµα [xk, xk+1] που εφαρµόζεται ο τύπος του Τραπεζίου, δηλαδή

𝐸 = 𝑒! + 𝑒! + 𝑒! +⋯+ 𝑒! = −ℎ!

12𝑓!!! + 𝑓!!! +⋯+ 𝑓!!!!! = −

ℎ!

12𝑛𝑓!!

, όπου 𝑓!! η µέση τιµή των 𝑓!!!, 𝑓!!!,… , 𝑓!!!!!

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Το πρόγραµµα εφαρµόζει τη µέθοδο του Τραπεζίου για τη λύση ολοκληρωµάτων στις περιπτώσεις που η συνάρτηση f(x) είναι άγνωστη και γνωρίζουµε τιµές της σε συγκεκριµένα σηµεία.

Δεδοµένα του προγράµµατος είναι ο αριθµός σηµείων Ν, τα άκρα της ολοκλήρωσης α και b και οι τιµές f(xj), j=0,2,...,N-1

Για παράδειγµα θεωρούµε το ολοκλήρωµα

exp 𝑥 𝑑𝑥!

!

= exp 1 − 1 = 1.718282

Ο αριθµός Ν των σηµείων είναι Ν=6 και το Η=0.2, το οποίο υπολογίζεται από το ίδιο το πρόγραµµα. Αν τρέξουµε το πρόγραµµα, θα έχουµε:

Δώσε τον αριθµό των σηµείων Ν ? 6

Δώσε τα άκρα της ολοκλήρωσης

Κάτω άκρο ? 0

Πάνω άκρο ? 1

Το ολοκλήρωµα ισούται µε 1.724006