Κανόνας του Simpson

Η µέθοδος του Simpson προσεγγίζει τη συνάρτηση f(x) ανά τρία σηµεία µε πολυώνυµα παρεµβολής δευτέρου βαθµού. Από τον πίνακα 5.1 έχουµε

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!!!

!!!!

=ℎ3𝑓!!! + 4𝑓! + 𝑓!!! +

190𝑓(!)(𝜉)

Για περισσότερα των τριών σηµείων θα έχουµε

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!!!

!!!!

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

+⋯+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!!!

=ℎ3𝑓! + 4𝑓! + 2𝑓! + 4𝑓! + 2𝑓! +⋯+ 4𝑓!!! + 𝑓! +

ℎ!

90𝑓(!)(𝜉!)

!

!!!

Είναι προφανές ότι το n θα πρέπει να είναι άρτιος αριθµός. Στην περίπτωση που είναι περιττός αριθµός, τότε χρησιµοποιείται ο επόµενος τύπος µετά από εκείνον του Simpson, που αναφέρεται στον πίνακα 5.1, µόνο για τα τέσσερα πρώτα σηµεία και στα υπόλοιπα ο κανόνας του Simpson. Ο τύπος αυτός είναι γνωστός σαν κανόνας του 3/8 και δίνεται από τη σχέση.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!!

!!

=3ℎ8(𝑓! + 3𝑓! + 3𝑓! + 𝑓!)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Το πρόγραµµα αυτό εφαρµόζει τη µέθοδο του Simpson για την αριθµητική επίλυση ενός ολοκληρώµατος, όταν δίνονται οι τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία. Ο αριθµός Ν των σηµείων µπορεί να είναι περιττός ή άρτιος αρκεί Ν ≥3.

Στην περίπτωση που ο Ν-1 είναι περιττός, τότε το πρόγραµµα χρησιµοποιεί τον τύπο του 3/8 για τα τέσσερα πρώτα σηµεία. Τρέχουµε το πρόγραµµα και έχουµε:

Δώσε τον αριθµό των σηµείων ? 6 Δώσε τα άκρα της ολοκλήρωσης Κάτω άκρο ? 0 Πάνω άκρο ? 1 Το ολοκλήρωµα ισούται µε 1.718306