ΜΗΤΤΑΣ Ν · Web viewα + β ∙ x Συμπληρώνουμε τον παρακάτω Πίνακα: Πίνακας 2 α/α x y x2 x∙y 1 2 0,022 4 0,044 2 4 0,045 16 0,180

ΑΣΚΗΣΗ 1Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

Α Σ Κ Η Σ Η 1

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 1 που αποτελείται από μια πηγή, μια

αντίσταση R, ένα βολτόμετρο παράλληλα συνδεμένο με την αντίσταση κι ένα

αμπερόμετρο συνδεμένο σε σειρά με την αντίσταση.

Σχήμα 1

Σύμφωνα με το νόμο του Ohm για το παραπάνω κύκλωμα ισχύει η σχέση:

ή (1)

όπου R η αντίσταση, U η τάση στα άκρα της αντίστασης και I η ένταση του ρεύματος που

τη διαρρέει. Από τη σχέση (1) μπορούμε να υπολογίσουμε την αντίσταση R αν

γνωρίζουμε τις τιμές της τάσης και της έντασης.

Μεταβάλλοντας την τιμή της τάσης U, μεταβάλλεται και η τιμή της έντασης I,

αφού η αντίσταση R παραμένει σταθερή. Παίρνοντας λοιπόν τέτοια ζευγάρια τιμών U-I

μπορούμε να χαράξουμε μια ευθεία της οποίας η κλίση είναι .

Από τις πειραματικές μετρήσεις που πραγματοποιούμε στο παραπάνω κύκλωμα

παίρνουμε τις πειραματικές τιμές που φαίνονται στον παρακάτω Πίνακα:

2


ΠΙΝΑΚΑΣ 1

α/α U(V) I(A)

1 2 0,022

2 4 0,045

3 6 0,055

4 8 0,082

5 10 0,115

Θέτοντας τις τιμές του Πίνακα 1 σε χιλιοστομετρικό χαρτί (Διάγραμμα I-U)

(Σχήμα 2), διαπιστώνουμε πως η σχέση μας είναι γραμμική της μορφής:

(2)

Για τη χάραξη της καλύτερης ευθείας εφαρμόζουμε τη Μέθοδο των Ελαχίστων

Τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής:

● Αντιστοιχίζουμε τη σχέση που συνδέει τα πειραματικά μας μεγέθη με την εξίσωση της

ευθείας:

I = 0 + ∙ U

(3)↓ ↓ ↓ ↓

y = α + β ∙ x

● Συμπληρώνουμε τον παρακάτω Πίνακα:

3


Πίνακας 2

α/α x y x2 x∙y

1 2 0,022 4 0,044

2 4 0,045 16 0,180

3 6 0,055 36 0,330

4 8 0,082 64 0,656

5 10 0,115 100 1,150

Ν=5

Για τα α και β της ευθείας της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων ισχύουν οι σχέσεις:

(4)

(5)

όπου Ν ο αριθμός των ζευγαριών (x,y). Εδώ είναι Ν=5.

● Από τις σχέσεις (4) και (5) υπολογίζουμε τις τιμές των α και β. Έχουμε:

α=-0,0031 (6)

και

β= 0,01115 (7)

Άρα η βέλτιστη ευθεία που περνάει από τα πειραματικά μας σημεία είναι η

(8)

4


ή με βάση τη σχέση (3)

(9)

Για να χαράξουμε τη βέλτιστη ευθεία δίνουμε δυο τυχαίες τιμές στο U (κατά

προτίμηση ακέραιες και στρόγγυλες και κοντά στα άκρα της περιοχής των πειραματικών

μας τιμών που περιέχονται στον Πίνακα 1) και υπολογίζουμε, με βάση τη σχέση (9), δυο

τιμές του Ι.

Για παράδειγμα εδώ έχουμε:

για U=2 → (10)

για U=10 → (11)

Έτσι έχουμε δυο σημεία (2, 0,0192) και (10, 0,1084) από τα οποία περνάει η

καλύτερη ευθεία.

Από την τιμή της κλίσης β=0,01115 μπορούμε να υπολογίσουμε την πειραματική

τιμή της αντίστασης R με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, με τη χρήση της Μεθόδου των

Ελαχίστων Τετραγώνων:

Έχουμε:

ή (12)

Υπολογίζουμε την εκατοστιαία απόκλιση της πειραματικής τιμής της αντίστασης

R από τη θεωρητική της τιμή. Για την εκατοστιαία απόκλιση ισχύει η σχέση:

(13)

Εφόσον η θεωρητική τιμή της αντίστασης R είναι 95Ω (μας έχει δοθεί), η

ζητούμενη απόκλιση θα είναι:

5


Σχήμα 2

6


(14)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σε πολλές περιπτώσεις η σχέση κάποιων μετρούμενων φυσικών μεγεθών, που

έχουμε να μελετήσουμε, δεν είναι γραμμική αλλά της μορφής:

α) (15)

β) ή (16)

Περίπτωση α

Προκειμένου να μελετήσουμε μια σχέση της μορφής λογαριθμίζουμε

και τα δύο μέλη της εξίσωσης οπότε προκύπτει

(17)

Αντιστοιχίζουμε τη σχέση (17), που συνδέει τα πειραματικά μας μεγέθη και είναι

πλέον γραμμική, με την εξίσωση της ευθείας:

= + Β ∙

(18)

↓ ↓ ↓ ↓

Υ = α + β ∙ Χ

Εφαρμόζουμε τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων θεωρώντας σα Χ το

και σαν Ψ το . Από την αντιστοίχιση (18) προκύπτει:

(19)

και

(20)

7


δηλαδή η τομή της προκύπτουσας, μετά τη γραμμικοποίηση, ευθείας, με τον άξονα Οy,

θα είναι ο λογάριθμος της σταθεράς Α, ενώ η κλίση της ευθείας θα είναι η δύναμη στην

οποία είναι υψωμένο το φυσικό μέγεθος x.

Στην ειδική περίπτωση που η ποσότητα x είναι υψωμένη στην πρώτη δύναμη

(δηλαδή που η σχέση είναι της μορφής ) η κλίση της ευθείας θα είναι ίση με τη

μονάδα.

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω δίνεται το ακόλουθο παράδειγμα:

Ένα υλικό σώμα αρχίζει να κινείται με την επίδραση μιας σταθερής δύναμης F, οπότε

λαμβάνονται ζευγάρια τιμών διαστήματος s και χρόνου t που παρουσιάζονται στον

Πίνακα 3.

Πίνακας 3

α/α t(s) s(m)

1 1,0 3,2

2 3,0 33,4

3 5,0 84,0

4 7,0 175,4

5 9,0 288,5

Η κίνηση του υλικού σώματος με την επίδραση της σταθερής δύναμης F είναι

κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κι η λέξη «αρχίζει» στην περιγραφή της

κατάστασης δείχνει ότι η κίνηση του υλικού σώματος είναι χωρίς αρχική ταχύτητα. Η

σχέση που συνδέει τα φυσικά μεγέθη της εν λόγω κατάστασης είναι

(21)

Γραμμικοποιούμε τη σχέση (21) κι έχουμε

(22)

Αντιστοιχίζουμε τη σχέση (22) με την εξίσωση ευθείας κι έχουμε

8


= + 2 ∙

(23)↓ ↓ ↓ ↓

y = α + β ∙ x

Συμπληρώνουμε τον παρακάτω Πίνακα 4:

Πίνακας 4

α/α →x →y x2 x∙y

1 0,000 0,505 0,000 0,000

2 0,477 1,524 0,228 0,727

3 0,699 1,924 0,489 1,345

4 0,845 2,244 0,714 1,897

5 0,954 2,460 0,910 2,347

Ν=5

Με βάση τις εξισώσεις (4), (5) υπολογίζουμε τις τιμές των α και β κι έχουμε

α=0,5168 (24)

και

β=2,0412 (25)

Άρα η βέλτιστη ευθεία που περνάει από τα πειραματικά μας σημεία έχει την εξίσωση

(26)

και για να γυρίσουμε στις μεταβλητές που μετρούμε στο πείραμα έχουμε την εξίσωση

(27)

9


Σχήμα 3

10


Όπως προαναφέρθηκε η κλίση β εκφράζει τη δύναμη στην οποία είναι υψωμένο

το μέγεθος x (που στην περίπτωσή μας είναι ο χρόνος t). Το γεγονός ότι η κλίση β έχει

την τιμή 2,0412, μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος, βρίσκεται να συμφωνεί με

τη θεωρία που προβλέπει ότι στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς

αρχική ταχύτητα, ο χρόνος t και το διάστημα s συνδέονται με τη σχέση (21) [Ο εκθέτης

του t είναι η τιμή 2].

Υπολογίζουμε την επιτάχυνση a του κινούμενου υλικού σώματος. Από την

αντιστοίχιση (23) έχουμε

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η χάραξη της βέλτιστης ευθείας του σχήματος 3, με βάση την

εξίσωση (27) έγινε δίνοντας στο x, δηλαδή στο , δυο τιμές και υπολογίζοντας τις

αντίστοιχες τιμές του y, δηλαδή του . Έχουμε

για

και για

Προκειμένου να διαπιστωθεί αν η σχέση μεταξύ δυο μεγεθών y και x είναι της μορφής

χωρίς να υπολογιστούν τα ζευγάρια των λογαρίθμων ( ) χρησιμοποιούμε το

λογαριθμικό χαρτί. Σ’ αυτό η αρχή των αξόνων είναι το σημείο με συντεταγμένες (

, όπου n, m ακέραιοι θετικοί ή αρνητικοί αριθμοί. Οι κλίμακες των

συντεταγμένων είναι διαιρεμένες σε όμοιες περιοχές κι έτσι για τον άξονα Οx καλύπτουν

τις περιοχές , , κ.ο.κ. ενώ για τον άξονα Oy τις

περιοχές , , κ.ο.κ. Στο σχήμα 4 παρουσιάζεται το

διάγραμμα s-t σε λογαριθμικό χαρτί.

11


Σχήμα 4

Περίπτωση β

Προκειμένου να μελετήσουμε μια σχέση της μορφής ή

λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης οπότε προκύπτει

ή (24)

12


Αντιστοιχίζουμε τις σχέσεις (24) που συνδέουν τα πειραματικά μας μεγέθη και

είναι πλέον γραμμικές, με την εξίσωση της ευθείας:

= + ∙ x

(25)

↓ ↓ ↓ ↓

Υ = α + β ∙ Χ

↑ ↑ ↑ ↑

= + ∙ x

Εφαρμόζουμε τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων θεωρώντας σα Χ το και σαν Ψ

το . Από την αντιστοίχιση (25) προκύπτει:

ή (26)

και

ή (27)

δηλαδή η τομή της προκύπτουσας, μετά τη γραμμικοποίηση, ευθείας με τον άξονα Οy, θα

είναι ο λογάριθμος της σταθεράς Α, ενώ η κλίση της ευθείας θα είναι ο συντελεστής της

μεταβλητής x πολλαπλασιασμένος επί ή επί .

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω δίνεται το ακόλουθο παράδειγμα:

Στα άκρα μιας διόδου [η δίοδος είναι ένα ηλεκτρονικό στοιχείο, μη γραμμικό, που

επιτρέπει τη διέλευση του ρεύματος κατά τη μία μόνο φορά (προς τα πρόσω τάση

πόλωσης)] μετρήθηκαν οι τιμές του ρεύματος σα συνάρτηση της προς τα πρόσω τάσης

πόλωσης, στη θερμοκρασία δωματίου και πάρθηκαν τα αποτελέσματα του Πίνακα 5.

13


Πίνακας 5

α/α U(V) I(A)

1 0,10 2,0∙10-9

2 0,15 1,5∙10-8

3 0,20 1,1∙10-8

4 0,25 7,8∙10-7

5 0,30 4,2∙10-6

Στην περίπτωσή μας η ένταση του ρεύματος με την προς τα πρόσω τάση πόλωσης

συνδέονται με τη σχέση

για (28)

όπου είναι το ρεύμα κόρου της διόδου, k η σταθερά του Boltzmann, Τ η απόλυτη

θερμοκρασία και n ο παράγοντας ιδανικότητας της διόδου που για μια ιδανική δίοδο

έχει την τιμή 1.

Γραμμικοποιούμε τη σχέση (28) κι έχουμε

(29)

Αντιστοιχίζουμε τη σχέση (29) με την εξίσωση ευθείας κι έχουμε

= + ∙ U

(30)↓ ↓ ↓ ↓

y = α + β ∙ x

14


Συμπληρώνουμε τον παρακάτω Πίνακα 6:

Πίνακας 6

α/α V→x →y x2 x∙y

1 0,10 -8,70 0,010 -0,870

2 0,15 -7,82 0,023 -1,173

3 0,20 -6,96 0,040 -1,392

4 0,25 -6,11 0,063 -1,528

5 0,30 -5,38 0,009 -1,614

Ν=5

Με βάση τις εξισώσεις (4), (5) υπολογίζουμε τις τιμές των α και β κι έχουμε

α=-10,334 (31)

και

β=16,700 (32)

Άρα η βέλτιστη ευθεία που περνάει από τα πειραματικά μας σημεία έχει την εξίσωση

(33)

και για να γυρίσουμε στις μεταβλητές που μετρούμε στο πείραμα έχουμε την εξίσωση

(34)

Υπολογίζουμε τo ρεύμα κόρου. Από την αντιστοίχιση (30) έχουμε

(35)

Από την τιμή της κλίσης β μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του n από τη σχέση

(36)

γνωρίζοντας τις τιμές των q, k και Τ.

15


Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η χάραξη της βέλτιστης ευθείας του σχήματος 5 , με

βάση την εξίσωση (33) έγινε δίνοντας στο x, δηλαδή στο , δυο τιμές και υπολογίζοντας

τις αντίστοιχες τιμές του y, δηλαδή του . Έχουμε

για

και για

Προκειμένου να διαπιστωθεί αν η σχέση μεταξύ δυο μεγεθών y και x είναι της

μορφής ή της μορφής

χωρίς να υπολογιστούν οι λογάριθμοι του y, χρησιμοποιούμε το ημιλογαριθμικό χαρτί. Σ’

αυτό ο ένας άξονας έχει λογαριθμική κλίμακα ενώ ο άλλος γραμμική. Στο σχήμα

παρουσιάζεται το διάγραμμα Ι-U σε ημιλογαριθμικό χαρτί.

16


17


18


ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Η παρακολούθηση της πορείας ενός φαινομένου μπορεί να είναι ποιοτική, οπότε η

γνώση μας είναι λίγο πολύ επιφανειακή, ή ποσοτική οπότε είναι πλέον, θεμελιωμένη.

Ποσοτικές όμως σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών προϋποθέτουν τη μέτρησή τους, οι δε

μετρήσεις πρέπει να είναι ακριβείς ώστε τα συμπεράσματα να είναι ορθά. Στις μετρήσεις

όμως, παρεμβαίνουν διάφοροι παράγοντες, που μας μεταβάλλουν την επαναληψιμότητα

των μετρήσεων. Αν δεν υπήρχαν οι παράγοντες αυτοί, η τιμή της μετρούμενης ποσότητας

θα είχε μία τιμή Χ, την ίδια πάντα, που θα ήταν και η αληθινή τιμή του μεγέθους. Στην

πραγματικότητα όμως η τιμή που μετράμε είναι κάποια x, που προσεγγίζει απλώς την

αληθινή, χωρίς να συμπίπτει απαραίτητα μ’ αυτήν. Η διαφορά :

(37)

ονομάζεται σφάλμα της μέτρησης και έχει θετική ή αρνητική τιμή.

Τα σφάλματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες, στα συστηματικά και

στα τυχαία.

Συστηματικά σφάλματα. Τα συστηματικά σφάλματα είναι εκείνα που όταν

παρουσιάζονται σε μία ομάδα μετρήσεων, οι τιμές του παραμένουν σταθερές και

μπορούν με κάποια προσέγγιση να τα απαλείψουμε.

Τυχαία σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα αντίθετα παρουσιάζονται πάντοτε σ’ ένα

πείραμα και η τιμή τους είναι μεταβλητή.

1. Συστηματικά σφάλματα. Αυτά οφείλονται :

α) Στην ατέλεια των οργάγων μέτρησης, π.χ. όταν μετράμε μήκος με κανόνα του 1m του

οποίου οι 100 διαιρέσεις αντιστοιχούν σε 99 cm και δεν πάρουμε υπόψη αυτή τη

διαφορά, τότε έχουμε συστηματικό σφάλμα. Φυσικά είναι δυνατόν να αποφύγουμε αυτό

το σφάλμα αν προηγούμενα ελέγξουμε τα όργανα μέτρησης και κάνουμε ανάλογες

διορθώσεις. Γενικά μπορούμε να πούμε πως επανειλημμένες μετρήσεις με τις ίδιες

συσκευές ούτε αποκαλύπτουν ούτε εξουδετερώνουν ένα συστηματικό σφάλμα.

β) Στη μέθοδο μέτρησης. Τα σφάλματα αυτά ανακαλύπτονται δύσκολα και εξαρτώνται

από πολλούς παράγοντες, όπως :

19


i) Από την τάξη μεγέθους του εξεταζόμενου φυσικού ποσού, π.χ. για τη μέτρηση

μιας μικρής ηλεκτρικής αντίστασης χρησιμοποιούμε διαφορετική μέθοδο από ότι για μία

μεγάλη.

ii) Από τη φύση του μετρούμενου φυσικού μεγέθους, π.χ. για τη μέτρηση της

ειδικής θερμότητας στερεών και υγρών, αν χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των μιγμάτων

και τη μέθοδο ψύξης, η πρώτη είναι καταλληλότερη για τα στερεά και η δεύτερη για τα

υγρά.

iii) Από την πιστότητα που χρειαζόμαστε στις μετρήσεις μας, π.χ. αν μετράμε ένα

φυσικό μέγεθος με μία μέθοδο που μας δίνει σφάλμα 5%, αυτό πιθανόν να μην έχει

μεγάλη σημασία, αλλά αν θέλουμε να διακρίνουμε δύο τιμές του ίδιου φυσικού μεγέθους,

που διαφέρουν μεταξύ τους λιγότερο από 5% θα πρέπει να βρούμε άλλη μέθοδο.

γ) Σε εξωτερικά αίτια, που παραμένουν σταθερά. Εξωτερικοί παράγοντες, όπως η

θερμοκρασία, η υγρασία, η πίεση, τα διάφορα πεδία κ.λ.π. είναι δυνατόν να επηρεάζουν

τις μετρήσεις μας, οπότε πρέπει να τους παίρνουμε υπ’ όψη και να κάνουμε τις ανάλογες

διορθώσεις, π.χ. το σημείο τήξης σ’ ένα τόπο που βρίσκεται σε υψόμετρο μηδέν

(επιφάνεια της θάλασσας) είναι διαφορετικό από ότι είναι σ’ ένα ορεινό τόπο.

δ) Στον παρατηρητή. Στις πιο πολλές περιπτώσεις οι μετρήσεις απαιτούν τελικά την

παρέμβαση του παρατηρητή, που επηρεάζει τις μετρήσεις, π.χ. αν σ’ ένα πείραμα

μετράμε το χρόνο με χρονόμετρο, η αρχή και το τέλος του φαινομένου σημειώνεται από

τον παρατηρητή με το πάτημα του κουμπιού του χρονομέτρου, έτσι η ταχύτητα

αντίδρασης του παρατηρητή επιδρά στην εκτίμηση του πραγματικού χρόνου του

φαινομένου. Άρα θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας την ταχύτητα αντίδρασης του

παρατηρητή που αποτελεί στη περίπτωση αυτή παράγοντα συστηματικού σφάλματος,

δηλαδή τα συστηματικά σφάλματα του παρατηρητή οφείλονται στη περιορισμένη

ευαισθησία των αισθητηρίων οργάνων του.

Όσον αφορά τώρα τα τυχαία σφάλματα υπάρχει μία ολόκληρη θεωρία στη

διάθεσή μας για να μας βοηθήσει στον υπολογισμό τους. Τα τυχαία σφάλματα μπορούν

να ανιχνευτούν επαναλαμβάνοντας τις μετρήσεις. Επί πλέον, παίρνοντας όλο και

περισσότερες μετρήσεις, έχουμε από το μέσο όρο μία τιμή που πλησιάζει όλο και

περισσότερο στην αληθινή τιμή. Αυτά δεν ισχύουν για ένα συστηματικό σφάλμα.

2) Τυχαία σφάλματα. Αυτά οφείλονται :

α) Στην περιορισμένη ευαισθησία των οργάνων μέτρησης, π.χ. αμπερόμετρο που μπορεί να

μετρά μέχρι 0,01 Α, οπότε αν η ένταση του ρεύματος που μετρά μεταβάλλεται στο τρίτο

20


δεκαδικό ψηφίο και πέρα απ’ αυτό, θα παρατηρούμε μία αυξομείωση κατά ± 0,01 Α με

τυχαίο χαρακτήρα.

β) Στον παρατηρητή. Ο παρατηρητής όπως είναι φυσικό επηρεάζεται από διαφορετικούς

τυχαίους παράγοντες, είτε εξωτερικούς είτε εσωτερικούς, με αποτέλεσμα οι μετρήσεις

του για το ίδιο μετρούμενο μέγεθος να διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, π.χ. βλέποντας ο

παρατηρητής τη θέση της βελόνας του οργάνου πάνω στην κλίμακα, αν βρίσκεται σε

πλάγια θέση προς τη βελόνα θα διαβάσει άλλη ένδειξη από ότι αν βρισκόταν σε θέση

κάθετη (σφάλμα παράλλαξης).

γ) Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών, π.χ. μερικές από τις εξωτερικές συνθήκες

που επηρεάζουν το πείραμα, όπως η πίεση, η θερμοκρασία, η ηλεκτρική τάση δικτύου της

πόλης κ.λ.π. μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια του πειράματος.

Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, τα συστηματικά σφάλματα είναι πιο επικίνδυνα

από τα τυχαία. Αν υπάρχουν μεγάλα τυχαία σφάλματα σ’ ένα πείραμα, τότε αυτά θα

εκδηλωθούν στο αποτέλεσμα σαν μια μεγάλη τιμή σφάλματος. Έτσι ξέρουμε ότι το

αποτέλεσμά μας δεν είναι ακριβές και παίρνουμε τα μέτρα μας. Από την άλλη μεριά, η

κρυφή παρουσία ενός συστηματικού σφάλματος μπορεί να οδηγήσει σ’ ένα φαινομενικά

αξιόπιστο αποτέλεσμα, με μικρό σφάλμα, το οποίο στην πραγματικότητα απέχει πολύ

από την πραγματική τιμή. Δεν υπάρχει ασφαλής κανόνας για να βρούμε και να

εξουδετερώσουμε τα συστηματικά σφάλματα. Είναι θέμα πείρας και εκλογής της

πειραματικής μεθόδου. Γενικά, θα πρέπει να υποπτευόμαστε πάντοτε τις συσκευές μας

και αν είναι απαραίτητο να τις ρυθμίζουμε συγκρίνοντας τες με άλλες που θεωρούμε πιο

ακριβείς.

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Σ’ ένα πείραμα, όταν έχουμε μια σειρά μετρήσεων, σκοπός μας είναι να

περιορίσουμε τα σφάλματα. Αρχικά προσπαθούμε να ξεχωρίσουμε τα συστηματικά από

τα τυχαία. Τα συστηματικά σφάλματα συνήθως μπορούμε να τα αποφύγουμε

προσδιορίζοντας το μέγεθός τους και απαλείφοντάς τα με κατάλληλο τρόπο από τα

μετρούμενα μεγέθη.

Τα τυχαία όμως σφάλματα μπορούμε μόνο να τα περιορίσουμε. Στο εξής θα

αναφερόμαστε μόνο σε τυχαία σφάλματα.

21


Η θεωρία των πιθανοτήτων μας λέει ότι η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων

μικραίνει όσο αυξάνει το πλήθος των μετρήσεων και όταν έχουμε απεριόριστο πλήθος

μετρήσεων η επίδρασή τους τείνει στο μηδέν.

Στο πείραμα όμως ο αριθμός των μετρήσεων είναι περιορισμένος και επομένως

λόγω των τυχαίων σφαλμάτων, παρουσιάζεται ασάφεια στις μετρήσεις με συνέπεια η

τιμή που προκύπτει να διαφέρει αρκετά από την πραγματική. Έτσι την πραγματική τιμή

μιας ποσότητας σε ελάχιστες περιπτώσεις τη γνωρίζουμε. Εκείνο που μπορούμε να

βρούμε είναι η καλύτερη ή πιθανότερη τιμή της ποσότητας που μετράμε, η οποία δεν

είναι απαραίτητο να ταυτίζεται με την πραγματική τιμή της.

Η πιθανότερη τιμή, που η πιο απλή της έκφραση ταυτίζεται με την έννοια του

μέσου όρου, είναι ένα νοητό κατασκεύασμα που δεν είναι αναγκαίο να ταυτίζεται με την

τιμή κάποιας μέτρησης από αυτές που κάναμε. Ο μέσος όρος μιας σειράς μετρήσεων

ορίζεται από τη σχέση :

(38)

όπου νi είναι η συχνότητα επανάληψης της τιμής x. Ισχύει προφανώς Σ νi = n. Ο

αριθμητικός μέσος ή μέσος όρος των τιμών x1, x2,...... xn προκύπτει δηλαδή σαν το πηλίκο

του αθροίσματος τους με το πλήθος τους. Η πιθανότητα ο μέσος όρος να συμπίπτει με

την πραγματική τιμή αυξάνει, όσο αυξάνει ο αριθμός των μετρήσεων n, θεωρητικά για

άπειρο πλήθος μετρήσεων ο μέσος όρος ταυτίζεται με την πραγματική τιμή.

Σ’ ένα συνηθισμένο πείραμα ο αριθμός των μετρήσεων είναι στην περιοχή από 5

έως 10 μετρήσεις. Στην πράξη υπάρχει το ενδεχόμενο να μην είναι γνωστή η πραγματική

τιμή Χ του μεγέθους, τότε αντί γι’ αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί η πιθανότερη τιμή

(μέσος όρος) και αντί του σφάλματος της μέτρησης, ε, όπως ορίζεται στη σχέση (37)

μπορεί να χρησιμοποιηθεί η απόκλιση που ορίζεται από τη σχέση :

(39)

Tο άθροισμα των τετραγώνων των n αποκλίσεων διαιρούμενο με n – 1 είναι

γνωστό ως διακύμανση και συμβολίζεται με S2. Δηλαδή :

22


(40)

Ως μέτρο της ποιότητας των μετρήσεων χρησιμοποιούμε την τετραγωνική ρίζα

της διακύμανσης, δηλαδή την παράσταση :

(41)

που αντιπροσωπεύει το κανονικό σφάλμα μιας παρατήρησης.

Η θετική τετραγωνική ρίζα της δια κύμανσης ονομάζεται τυπική ή κανονική

απόκλιση (Standard Deviation) και αποτελεί ένα μέτρο του πόσο απέχουν οι μετρήσεις

από το μέσο όρο τους.

Το μέσο σφάλμα του εξαγόμενου n παρατηρήσεων (το μέσο σφάλμα του μέσου

όρου) είναι :

(42)

Η φυσική σημασία του μέσου σφάλματος του μέσου όρου είναι ότι προσδιορίζει

την περιοχή γύρω από το μέσο όρο στην οποία βρίσκεται η πραγματική τιμή Χ του

μεγέθους.

Η πραγματική τιμή του μετρούμενου μεγέθους κυμαίνεται μέσα στα όρια :

Και η πραγματική τιμή μιας παρατήρησης στα όρια

Αν μια φυσική ποσότητα μετριέται με μία μέτρηση, το αποτέλεσμα παίρνεται ως

η πραγματική τιμή της ποσότητας και ως σφάλμα στη μέτρηση παίρνεται το μέγιστο

σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποιήθηκε.

23


Μέγιστο σφάλμα οργάνου είναι η μικρότερη δυνατή τιμή μέτρησης με αυτό το

όργανο, που συμπίπτει βέβαια με τη μικρότερη υποδιαίρεσή του. Έτσι, για παράδειγμα,

το μέγιστο δυνατό σφάλμα για κανόνα βαθμολογημένο σε mm είναι ±1mm ενώ για ένα

θερμόμετρο βαθμολογημένο σε 0,1 οC είναι ±0,1 οC.

Απόλυτο και σχετικό σφάλμα

Το μέσο σφάλμα του μέσου όρου και το μέγιστο σφάλμα ενός οργάνου

αναφέρονται και σαν απόλυτο σφάλμα. Το απόλυτο σφάλμα έχει τις ίδιες μονάδες με το

μέγεθος που μετράμε και προσδιορίζει, όπως αναφέρθηκε, την περιοχή στην οποία

βρίσκεται η πραγματική τιμή του μεγέθους αυτού. Δεν δίνει όμως ένα μέτρο σύγκρισης

της ακρίβειας της μέτρησης. Ορίζεται έτσι το σχετικό σφάλμα :

(43)

που είναι καθαρός αριθμός και συνήθως εκφράζεται σε % ή ‰, δηλαδή σσ x 100 ή σσ x

1000. Στην περίπτωση της μιας μέτρησης Χ το σχετικό σφάλμα είναι προφανώς

όπου ΔΧ είναι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποιήθηκε.

Για παράδειγμα αν είναι :

x1= 9,3 ± 0,1 mm, x2= 99,3 ± 0,1 mm,

οι τιμές δύο μηκών που βρέθηκαν σε δύο πειράματα παρατηρούμε ότι το απόλυτο

σφάλμα είναι το ίδιο στις δύο περιπτώσεις, πιο ακριβής όμως είναι η μέτρηση με το

μικρότερο σχετικό σφάλμα.

Έτσι

24


Και επομένως η τιμή x2 είναι πιο ακριβής από την τιμή x1.

Πρέπει πάντοτε να έχουμε υπ’ όψη ότι επιβάλλεται μετά από τον υπολογισμό των

σφαλμάτων ενός μεγέθους Χ να δώσουμε την τιμή του με τη μορφή :

(44)

και

(45)

Παράδειγμα :

Για τον προσδιορισμό της διαμέτρου D σύρματος έγιναν 10 μετρήσεις και

προέκυψαν οι εξής τιμές.

1,48 1,51 1,47 1,49 1,47 1,48 1,52 1,47 1,49 1,50

Να υπολογιστούν

α) Ο μέσος όρος

β) Το κανονικό σφάλμα μιας παρατήρησης

γ) Το μέσο σφάλμα στο εξαγόμενο

δ) Το σχετικό σφάλμα

ε) Το σχετικό σφάλμα στα εκατό

και να δοθεί το τελικό αποτέλεσμα της τιμής της διαμέτρου.

Αριθμός Μετρήσεων Ν = 10

α) Μέσος Όρος

β) Το κανονικό σφάλμα μιας παρατήρησης

25


γ) Το μέσο σφάλμα στο εξαγόμενο

δ) Το σχετικό σφάλμα

ε) Το σχετικό σφάλμα στα εκατό

Η διάμετρος D θα είναι:

D= (1,488±0,006)mm ή D= 1,488 mm + 0,392%

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΑΤ΄ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΨΗΦΙΑ

Την αριθμητική τιμή ενός φυσικού μεγέθους που μετρούμε με οποιοδήποτε

όργανο τη διαβάζουμε πάνω στην κλίμακα του οργάνου. Οι χαραγές της κλίμακας

χρησιμεύουν ακριβώς για να διαβάζουμε τα ψηφία της μέτρησης. Τα ψηφία αυτά, που

προκύπτουν με βεβαιότητα από τις χαραγές της κλίμακας του οργάνου που

χρησιμοποιούμε, λέγονται σημαντικά ψηφία της μέτρησης.

Αν ο δείκτης του οργάνου σταματήσει σε ενδιάμεση θέση, δηλαδή μεταξύ δύο

χαραγών της κλίμακας, τότε το διάστημα μεταξύ της προηγούμενης χαραγής και του

δείκτη το υπολογίζουμε κατ’ εκτίμηση και το προσθέτουμε στη τιμή που αντιπροσωπεύει

η αμέσως προηγούμενη χαραγή. Το τελευταίο αυτό ποσό που εκτιμάται από τον

παρατηρητή λέγεται κατ’ εκτίμηση ψηφίο.

Κατά κανόνα θεωρούμε ότι μπορούμε να εκτιμήσουμε με ικανοποιητικό βαθμό το

μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης μίας κλίμακας. Είναι δυνατόν βέβαια να εκτιμήσουμε

26


και μικρότερο ποσοστό, αλλά αυτό εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της

κλίμακας και της βελόνας του χρησιμοποιούμενου οργάνου.

Το πρόβλημα του πλήθους των σημαντικών ψηφίων προκύπτει κύρια στις έμμεσες

μετρήσεις (ποσότητες που προκύπτουν από τα μετρούμενα μεγέθη με υπολογισμούς). Η

χρήση των σφαλμάτων καθορίζει καλύτερα τα σημαντικά ψηφία του αποτελέσματος.

Κάνοντας τις πράξεις με υπολογιστή προκύπτει συνήθως μεγάλος αριθμός

δεκαδικών ψηφίων. Δεν έχει καμία αξία η αναγραφή περισσότερων δεκαδικών ψηφίων

στο αποτέλεσμα απ’ όσα έχει το σφάλμα στον υπολογισμό του μεγέθους που μετράμε.

Κατά κανόνα αν το τελευταίο ψηφίο που παραλείπεται είναι ίσο ή μεγαλύτερο

από το 5 (πέντε), το αμέσως προηγούμενο ψηφίο στο αποτέλεσμα αυξάνεται κατά μία

μονάδα. Βέβαια αυτή η διαδικασία του «στρογγυλέματος» γίνεται μόνο στο τελικό

αποτέλεσμα και όχι στα αποτελέσματα ενδιάμεσων πράξεων που τυχόν υπάρχουν.

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Ολοκληρώνοντας θα αναφερθούμε αναλυτική στην κατασκευή γραφικών

παραστάσεων των μετρήσεων των μεταβλητών ενός πειράματος. Θα δώσουμε στη

συνέχεια οδηγίες βήμα – βήμα για την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων καθώς

επίσης και ένα παράδειγμα γραφική παράστασης σε χιλιοστομετρικό χαρτί.

Η γραφική παράσταση των μετρήσεων των μεταβλητών ενός πειράματος δίνει μία

ξεκάθαρη εικόνα της πορείας ενός φαινομένου. Επιτρέπει τον καθορισμό επιπρόσθετων

τιμών τόσο μέσα στο διάστημα των μετρήσεων όσο και έξω από αυτό με προέκταση της

καμπύλης, ενώ επιπλέον βοηθάει στην εύρεση της μαθηματικής εξίσωσης που περιγράφει

καλύτερα το φαινόμενο.

Για τη χάραξη της γραφικής παράστασης χρησιμοποιούμε συνήθως

χιλιοστομετρικό χαρτί (παρακάτω θα αναφερθούμε επίσης και στη χάραξη παραστάσεων

σε λογαριθμικό και ημιλογαριθμικό χαρτί) το οποίο έχει χαραγμένα χιλιοστά και

εκατοστά και ακολουθούμε την πιο κάτω διαδικασία.

1. Γράφουμε τις τιμές των μετρήσεων των μεταβλητών του πειράματος σε πίνακα.

2. Σχεδιάζουμε δυο ευθείες (άξονες), μια οριζόντια χ΄χ, ο οποίος ονομάζεται άξονας

τετμημένων ή άξονας χ, και μια κατακόρυφη y΄y ο οποίος ονομάζεται άξονας

τεταγμένων ή άξονας y. Το σημείο τομής Ο είναι η αρχή των αξόνων των

συντεταγμένων.

27


3. Επιλέγουμε ποια τη μεταβλητή που θα παρασταθεί στο οριζόντιο άξονα και ποια

στον κατακόρυφο άξονα.

4. Υποδιαιρούμε τον άξονα των τετμημένων σε ίσα τμήματα ώστε κάθε τμήμα να

αντιστοιχεί σε αριθμό μονάδων του μεγέθους που παριστάνει ο άξονας. Η εργασία

αυτή γίνεται παίρνοντας υπ’ όψη την έκταση των αριθμητικών τιμών του

μεγέθους, που θέλουμε να παραστήσουμε, έτσι ώστε οι κλίμακες να καλύπτουν

αρκετή έκταση και το διάγραμμα που θα προκύψει να είναι ευανάγνωστο.

5. Κάτω από κάθε άξονα γράφουμε το φυσικό μέγεθος που αντιπροσωπεύει και

δεξιά του φυσικού μεγέθους μέσα σε παρένθεση γράφουμε τη μονάδα μέτρησής

του.

6. Τοποθετούμε τις πειραματικές τιμές στο διάγραμμα. Κάθε ζευγάρι τιμών

αντιστοιχεί σε ένα σημείο στο επίπεδο του διαγράμματος και σημειώνεται με ένα

ευκρινές σύμβολο π.χ. με κύκλο, με x, με τρίγωνο κ.λ.π. Επειδή οι τιμές των

μεταβλητών που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης μπορούν

να βρεθούν πάνω στις αντίστοιχες κλίμακες, είναι περιττό να γράφονται πάνω

στους άξονες.

7. Φέρνουμε την καλύτερη γραμμή μεταξύ των σημείων. Ως καλύτερη γραμμή

χαρακτηρίζεται η απλούστερη γεωμετρική γραμμή που αφήνει περίπου τόσα

σημεία από τη μία μεριά της όσα αφήνει και από την άλλη.

8. Τέλος, μπορούμε να γράψουμε πάνω στο διάγραμμα, σε κάποιο κενό χώρο τη

συνάρτηση που απεικονίσαμε.

Παράδειγμα

Στον πίνακα Ι που ακολουθεί δίνονται ζεύγη τιμών διαστήματος s και χρόνο t

όπως αυτά προέκυψαν από την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ενός υλικού

σώματος. Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση s – t σε χιλιοστομετρικό χαρτί.

H εξίσωση που περιγράφει την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ενός

υλικού σώματος είναι η πιο κάτω:

28


Πίνακας Ι

α/α t (sec) s (m)

1 1,0 3,2

2 3,0 33,4

3 5,0 84,0

4 7,0 175,4

5 9,0 288,5

όπου α η επιτάχυνση που υλικού σημείου. Στο σχήμα 7 που ακολουθεί φαίνεται η

αντίστοιχη γραφική παράσταση.

29


Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α

1. Ν. Α. Οικονόμου, Ο. Ε. Βαλασιάδης, «Πειραματική Φυσική, μεθοδολογία

μετρήσεων και εφαρμογές» Α. Π. Θ. Τμήμα Φυσικής, Θεσσαλονίκη 1984.

2. Κ. Δελίδης, «Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής» Τ. Ε. Ι. Κοζάνης Σ.Τ.ΕΦ.

Γ.Τ.Θ.Ε., Κοζάνη 2003.

30

Documents

ΜΗΤΤΑΣ Ν · Web viewα + β ∙ x Συμπληρώνουμε τον παρακάτω Πίνακα: Πίνακας 2 α/α x y x2 x∙y 1 2 0,022 4 0,044 2 4 0,045 16 0,180