ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΚΤΡΙΚΗΣ ΝΡΙΑΣ ΙΙ · x+dx στο στοιχειώδες μήκος της Μ, ισχύουν τα εξής: • αραγωγίζοντας τις

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

Ενότητα 5: Η Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς

Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης


ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2




Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3




ΑΝΟΙΚΤΑ


ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Η Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς




Περιεχόμενα ενότητας

1. Διαφορική εξίσωση της ομοιογενούς γραμμής μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας

2. Φυσικές ερμηνείες των λύσεων

3. Χρονικές συναρτήσεις ρευμάτων και τάσεων

5




Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς (1/3)

• Θεωρούμε καταρχήν μια γραμμή μεταφοράς, δυο παράλληλων αγωγών, όπου η μεταφορά της ισχύος γίνεται κατά μήκος της γραμμής και όχι εγκάρσια.

• Για να ισχύει αυτό, θα πρέπει η απόσταση μεταξύ των αγωγών (d) να είναι πολύ μικρότερη από το μήκος κύματος των τάσεων/ρευμάτων στη συγκεκριμένη συχνότητα (λ)

• Στις εναέριες ΓΜ το μήκος κύματος λ στα 50 Hz είναι :

• Οι αποστάσεις d μεταξύ αγωγών βρίσκονται στην περιοχή 0,6 – 15 m, οπότε d << λ , και άρα μπορούμε να θεωρήσουμε μόνο διαμήκη μεταφορά ισχύος.

6

30000 km s6000 km

50 1 s

v

f





• Για να μπορέσουμε να θεωρήσουμε την παραπάνω ΓΜ ομοιογενή γραμμή μεταφοράς, θα πρέπει:

– Τα διανεμημένα στοιχεία της ΓΜ, R΄, L΄, C΄, G΄ ανά μονάδα μήκους να μπορούν να θεωρηθούν σταθερά.

• Επίσης, η ανάλυσή μας θα γίνει για τη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας, οπότε θεωρούμε ότι:

– Η πηγή vs(t) έχει ημιτονοειδή τάση της μορφής Vs sin(ωt) , με Vs = ct και ω = ct .

• Τέλος, θεωρούμε ένα τριφασικό ΣΗΕ, ισοζυγισμένο στις τρεις φάσεις του, οπότε η αρχική ΓΜ δύο παράλληλων αγωγών αντιστοιχεί στο ισοδύναμο μονοφασικό κύκλωμα του ορθού συστήματος.

7





• Τμήμα στοιχειώδους μήκους dx μακριάς ομοιογενούς ΓΜ ηλεκτρικής ενέργειας.

8

Z΄dxS

Y΄dx

RIS I(x+dx) I(x)

dx

V(x + dx) V(x)

x = x + dx x

ZR

IR

VS VR

x = 0

x




Διαφορική εξίσωση μακριάς ομοιογενούς ΓΜ (1/2)

• Για την κατάστρωση και επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, που θα μας δώσουν τελικά τις τάσεις και τα ρεύματα σε κάθε σημείο της ΓΜ, θα λάβουμε υπόψη τα εξής:

• Οριακές συνθήκες: Στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας θεωρούμε ότι υπάρχει δεδομένος καταναλωτής στο άκρο παραλαβής της ισχύος R, δηλαδή με γνωστά και .

• Ορισμοί μεγεθών:

– διαμήκης σύνθετη αντίσταση ανά μονάδα μήκους.

– εγκάρσια σύνθετη αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους.

9

RV RI

Z R jL

Y G jC




Διαφορική εξίσωση μακριάς ομοιογενούς ΓΜ (2/2)

• Για τις αλλαγές στην τάση και το ρεύμα μεταξύ αρχής x και τέλους x+dx στο στοιχειώδες μήκος της ΓΜ, ισχύουν τα εξής:

• Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς x, προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις της μακριάς ομοιογενούς γραμμής μεταφοράς στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας:

– Διαφορική εξίσωση τάσης.

– Διαφορική εξίσωση ρεύματος.

10

dV dI

dV

dV I x dx Z dx I x Z dx Z I xdx

dI

dI V x Y dx Y V xdx

2

2

d VZ Y V

dx

2

2

d IZ Y I

dx




Λύσεις δ.ε. μακριάς ομοιογενούς ΓΜ

• Η χαρακτηριστική εξίσωση των δ.ε. τάσης – ρεύματος είναι η:

όπου:

– σταθερή μετάδοσης.

– σταθερή απόσβεσης.

– σταθερή αλλαγής φάσης.

11

2 Z Y Z Y

Z Y j




Λύσεις δ.ε. μακριάς ομοιογενούς ΓΜ (1/3)

• Η γενική λύση της δ.ε. τάσης είναι η:

• Οι σταθερές και υπολογίζονται από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος.

• Από τη σχέση:

προκύπτει και η γενική λύση της δ.ε. ρεύματος:

όπου η κυματική αντίσταση της ΓΜ.

12

1 2

x xV x Ae A e

1A 2A

dV

Z I xdx

1 2

0

x xAe A eI x

Z

0

ZZ

Y





• Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες στις γενικές λύσεις των δ.ε.:

μπορούμε να υπολογίσουμε τις σταθερές και , οπότε τελικά και τις λύσεις των δ.ε. τάσεων και ρευμάτων της μακριάς ομοιογενούς ΓΜ:

για το τυχόν σημείο x της γραμμής.

13

0 : 0 και 0R Rx V V I I

1A 2A

0cosh sinhR RV x x V x Z I

0

sinhcoshR R

xI x V x I

Z





• Για x = l , δηλαδή για το άκρο αποστολής S ισχύουν οι σχέσεις:

από τις οποίες προκύπτουν για το άκρο παραλαβής R οι σχέσεις:

14

0cosh sinhS R RV l V l Z I

0

sinhcoshS R R

lI V l I

Z

0cosh sinhR S SV l V l Z I

0

sinhcoshR S S

lI V l I

Z




Φυσικές ερμηνείες των λύσεων

A) Ανάλυση της σταθερής μετάδοσης :

α: σταθερή απόσβεσης [neper / km].

β: σταθερή αλλαγής φάσης [rad / km].

15

Z Y j

1neper =1 Np 8,68589 dB




Γωνίες απωλειών ε, δ μιας μακριάς ομοιογενούς ΓΜ (1/2)

16

R΄

jωL΄

ε

Ζ΄

0 G΄

jωC΄

δ

Y΄

0

1tanR

L

1tanG

C




Γωνίες απωλειών ε, δ μιας μακριάς ομοιογενούς ΓΜ (2/2)

• Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε τη διαμήκη σύνθετη αντίσταση ανά μονάδα μήκους με τη βοήθεια των γωνιών απωλειών ως εξής:

• Αντίστοιχα μπορούμε να γράψουμε την εγκάρσια σύνθετη αγωγιμότητα ανά μονάδα μήκους ως εξής:

17

2j

Z R jL Z e

cos2

R Z

Z

sin2

L Z

Y

2j

Y G jC Y e

cos2

G Y

sin2

C Y




Έκφραση της σταθερής διάδοσης με τη βοήθεια των γωνιών απωλειών (1/2)

• Μπορούμε να εκφράσουμε τη σταθερή διάδοσης με τη βοήθεια των γωνιών απωλειών δ και ε ως εξής:

18

'Z Y R jL G jC

2 2 2j

R G L C j L G R C Z Y e

sin 2 cos 2

cos cos

jL C j




• Προκύπτουν λοιπόν:

σταθερή απόσβεσης:

σταθερή αλλαγής φάσης:

και

19

sin 2

cos cosL C

cos 2

cos cosL C

tan2

Έκφραση της σταθερής διάδοσης με τη βοήθεια των γωνιών απωλειών (2/2)




Ανάλυση της κυματικής αντίστασης Ζ0

• Μπορούμε να αναλύσουμε και την κυματική αντίσταση με τη βοήθεια των γωνιών απωλειών δ, ε, όπου θα προκύψει:

όπου και

• Συνήθως, στις ΓΜ είναι δ < ε και ζ < 0.

20

2

0 0

cos

cos

j jZ LZ e Z e

Y C

0

cos

cos

LZ

C

2




Φυσική ερμηνεία της κυματικής αντίστασης

• Είναι ο σταθερός λόγος σε κάθε σημείο κατά μήκος ημιάπειρης ΓΜ.

• Τυπικές τιμές που παίρνει: 250 Ω – 350 Ω σε εναέριες ΓΜ, 30 Ω – 50 Ω σε υπόγεια καλώδια.

21

0

V xZZ

Y I x

V I




Ειδικές περιπτώσεις ΓΜ (1/3)

• ΓΜ με μηδενικές απώλειες (ε = δ = 0):

22

0R G

0

L C

0 0

LZ Z

C





• ΓΜ ΥΤ (> 60 kV) με μικρές απώλειες (ε, δ πολύ μικρές):

Αν

Και αν

23

10 0,1 tanL R R

R L L

10 0,1 tanC G G

G C C





• ΓΜ ΥΤ (> 60 kV) με μικρές απώλειες (ε, δ πολύ μικρές):

Τότε

και

24

0

0

1

2

RG Z

Z

L C

0

LZ

C




Παράδειγμα (1/4)

• Έστω μια ιδεατή ΓΜ που αποτελείται από δύο παράλληλους κυλινδρικούς αγωγούς χωρίς απώλειες (R΄, G΄ → 0):

25

Dr r





• Η ΓΜ έχει διανεμημένα στοιχεία L΄, C΄ που δίνονται από τις σχέσεις:

όπου:

26

0

0 00

ln

ln

r

r rr

DL

rL C

CD

r

7

0 4 10 Η m

12

0 8,854 10 F m

3

0 0 3,33 10 sec m

3

0 0 1,048 10 rad km 0,06 km για συχνότητα 50Hz





• Για συχνότητα 50 Hz θα είναι λοιπόν:

σταθ. αλλαγής φάσης:

ταχύτητα διάδοσης:

μήκος κύματος:

27

0,06 kmr rL C

81 13 10 m sec

r r

vL C

2 6000km

r r

v

f





Άρα λοιπόν:

•Σε εναέριες ΓΜ (μr = εr = 1) με μηδενικές απώλειες είναι λ = 6000 km και v = 300 m/μs.

• Σε καλώδια (μr = 1, εr = 2,5 … 4) με μηδενικές απώλειες είναι

λ = 3800 – 3000 km και v = 150 … 190 m/μs.

28




Χαρακτηριστικές τιμές τυπικών καλωδίων διανομής και εναέριων ΓΜ στην Ελλάδα (1/2)

29

α/α Περιγραφή UN

Αριθμός και διατομή

αγωγών ανά φάση

Imax

[kV] [mm2] [A/ph]

1 Καλώδιο ισχύος τριπολικό A2XSEY 3x240+25

(διατομή αγωγού γείωσης 25 mm2) 20 1x240 410

2 Καλώδιο ισχύος τριπολικό NAEKBA 3x240

(δεν χρησιμοποιείται σε νέα δίκτυα) 20 1x240 310

3 Ενάερια ΓΜ ελαφρού τύπου μονού κυκλώματος

με ένα αγωγό ανά φάση (E/150) 150 1x170 530

4 Ενάερια ΓΜ βαρέως τύπου μονού κυκλώματος

με ένα αγωγό ανά φάση (B/150) 150 1x322 770

5 Ενάερια ΓΜ υπερβαρέως τύπου διπλού κυκλώματος με δυο αγωγούς ανά φάση

(2Β΄Β΄/400) 400 2x483 2x2020




Χαρακτηριστικές τιμές τυπικών καλωδίων διανομής και εναέριων ΓΜ στην Ελλάδα (2/2)

30




Χωρο-χρονικές συναρτήσεις ρευμάτων και τάσεων (1/4)

• Τα μιγαδικά στρεφόμενα διανύσματα μετατρέπονται σε χρονικές συναρτήσεις αν τα πολλαπλασιάσουμε με τον τελεστή e jωt και θεωρήσουμε το πραγματικό μέρος του αποτελέσματος:

31

Re ( , )

Re ( , )

j t

j t

j t

V x e v x te

I x e i x t





• Θέτοντας:

προκύπτουν οι χωρο-χρονικές συναρτήσεις για την τάση και το ρεύμα:

32

1 1

1 1 1

ja jaA Ae v e

2 2

2 2 2

ja jaA A e v e

0 0

jZ Z e

1 1 2 2, cos cosx xv x t v e a t x v e a t x

1 21 2

0 0

, cos cosx xv vi x t e a t x e a t x

Z Z





• Διερεύνηση του όρου αυτού δείχνει ότι αν εξισώσουμε τις φάσεις για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές t2 > t1 , τότε θα είναι :

οπότε:

33

1 1 2 2, cos cosx xv x t v e a t x v e a t x

2 1 1 2 2 2a t x a t x ct

2 1 2 1 2 10t t x x x x x





• Η συνάρτηση παριστάνει κύμα που οδεύει προς τα αυξανόμενα x με ταχύτητα:

και παρουσιάζει απόσβεση της μέγιστης τιμής του κατά .

• Όμοια, η συνάρτηση παριστάνει κύμα που οδεύει προς τα ελαττούμενα x με ταχύτητα:

και παρουσιάζει απόσβεση της μέγιστης τιμής του κατά .

34

2cosxe a t x

dxc

dt

xe

1cosxe a t x

dxc

dt

xe




Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Λαμπρίδης Δημήτρης, Ανδρέου Γεώργιος. «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ, Η Ομοιογενής Γραμμή Μεταφοράς». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.

35




Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο

για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο

• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο

• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Σημείωμα Αδειοδότησης

36

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/








http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/




ΑΝΟΙΚΤΑ


ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Σβάρνα Κωνσταντίνα Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο 2014-2015

Documents

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΚΤΡΙΚΗΣ ΝΡΙΑΣ ΙΙ · x+dx στο στοιχειώδες μήκος της Μ, ισχύουν τα εξής: • αραγωγίζοντας τις