제2장신호의정적.동적특성 · 2016-08-25 · 주파수해석(Frequency Analysis) - 퓨리에해석과관련된정의 1. 만일어떤양수 에대해다음과같다면함수

2-1

계측 시스템

: 입력량(input)을 다이얼 바늘의 움직임 또는 디지털 표시 장치의 표시값 등으로 관측 또는 기록될 수 있는 출력량(output)으로 변환시킴

본장의 목표

: 계측 시스템에 대한 입력신호와 얻게 될 출력신호의 특성을 이해하는 것

o 파형(waveform) : 신호의 모양과 형태

크기(magnitude)와 주파수(frequency)에 대한 정보가 요구됨

Chosun University

제2장 신호의 정적 . 동적 특성2.1 서론

2-2

엔지니어가 물리변수를 측정하면서 직면하는 중요한 2가지 일

1) 계측 시스템의 선택

2) 계측 시스템으로부터 얻은 출력에 대한 평가

신호(Signal) : 어떤 프로세스와 계측시스템 사이 또는 계측 시스템의 각단계 사이에 전달되는 측정 변수에 대한 정보

파형의 분류(Classification of waveforms)

Analog, 이산시간(discrete time), digital

o Analog : 시간적으로 연속적으로 표현 (그림 2.2)

o 이산시간 신호 : 보통 연속적인 변수를 일정시간 간격마다

Sampling 하여 표현 (그림 2.3)

o Digital : 시간적으로 불연속이며 양자화 처리 (quantization)

(그림 2.4)

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2.2 입출력 신호의 개념

2-3 Chosun University



2-6

신호파형(Signal Waveforms)

- 정적 신호(static signal) : 시간에 따라 변하지 않는 신호

- 동적 신호(dynamic signal) : 시간에 따라 변하는 신호

o 확정 신호 (deterministic signal) : aperiodic (step/ramp/pulse), periodic

o 비확정 신호 (nondeterministic signal) : random

Chosun University


2-8

Analog

o 평균값 (average or mean) :

직류성분, dc offset

o 제곱평균의 제곱근 (root-mean-square) :

ex)

사이에 저항에서 소비된 총에너지

등가전류 (constant effective current) :

Chosun University

2.3 신호 해석

2

1

2

1

)(t

t

t

t

dt

dttyy

dtytt

yt

trms 2

1

2

12

1

RIP 2

2

1

2

2 1

1 [ ( )]t

e tI I t dt

t t

2 2

1 1

2 22 1[ ( )] ( ) ( )

t t

et tPdt I t Rdt I R t t

1 2~t t

2-9

Analog Digital 변환 <그림2.6참조>

(n = 1…. N)

(i = 1,2…..N)

: unit impulse function

: total sampling period ( : sampling time increment)

- 평균값 (mean)

- rms

2 1N t t t

Chosun University

( ) { ( )}y t y n t

N

iirms

N

ii

yN

y

yN

y

1

2

1

1

1

t( )t n t

{ ( )} ( ) ( ) { }iy n t y t t n t y

2-10

신호 평균주기의 효과 (Effects of Signal-Averaging Period)

: 평균하는 시간을 신호의 주기에 비해 상대적으로 길게 하면 할수록, 그결과는 신호의 특성을 올바르게 표현하게 된다.

직류 옵셋 (DC offset)

: 신호의 교류 성분이 주 관심사일 때 직류 성분은 제거 될 수 있다.

Chosun University


2-12

예제 2.1)

when mean, rms ?

Sol)

i)

Chosun University

ttI sin10)(

0 00

( ) 10sin 1 ( 10 cos )f f

f

t t

t

f f f

y t dt tdty t

t t t

20

Iy

0

,ft

)(@ ft

)2(@ ft

2

2-13

ii)

Chosun University

dttt

dttyt

y ff t

f

t

frms

0

2

0

2 )sin10(1)(1

2 2 2 2

sin2 2sin coscos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

A A AA A A A A

0100 1 sin 2

4 2ft

rmsf

ty tt

50 rmsrms Iy )(@ ft

)2(@ ft50

2-14

퓨리에 해석 (Fourier Analysis)

: 매우 복잡한 복합 신호를 사인과 코사인의 급수로 표현하는 방법, 복합 신호를 단순 주기 함수의 항으로 표현하는 것

< 그림2.9 백색광(복합신호) 스팩트럼 (단순요소로 분리) >

주기적인 신호 (Periodic Signal)

- 스프링-질량 시스템

일반해

여기서,

Chosun University

2.4 신호 크기와 주파수(Signal Amplitude and Frequency)

02

2

kydt

ydm

mkw

wtBwtAy

sincos


2-16

o 주기(period) : 질량이 완전한 한 사이클을 마칠 때까지 걸리는 시간

(그림 2.11)

(단위 , )

o 위상차를 이용

or

여기서 의 값은

: secw rad

Chosun University

2 2

2 2 *

cos sin cos

cos sin sin

A wt B wt A B wt

A wt B wt A B wt

2 1Tw f

:f Hz

)cos( wtcy *sin( )y c wt

*,, c

AB1tan

2*

BA1tan


2-18

주파수 해석(Frequency Analysis)

- 퓨리에 해석과 관련된 정의

1. 만일 어떤 양수 에 대해 다음과 같다면 함수 는 주기함수(periodic function)이다. 이때 의 주기는 이다. 만일 가 주기 를 가진다면

도 또한 주기 를 가진다. (a,b는 상수)

2. 삼각급수(trigonometric series)는

로 주어진다. 여기서 은 급수의 계수이다.

퓨리에 급수와 계수 (Fourier Series and Coefficients)

주기 를 가지는 주기함수

Chosun University

)()( tyTty )(ty T )(),( 21 tyty T

21 byay T

...2sin2cossincos 22110 tBtAtBtAAnn BA ,

)(ty

2T )(ty

T

1

0 sincos)(n

nn ntBntAAty


2-20

를 결정하기 위해 부터 까지 적분

그러면

1) 를 곱하고 부터 까지 적분함으로써 을 결정

2) 를 곱하고 부터 까지 적분함으로써 을 결정

Chosun University

0A

dttyA )(

21

0

mtcos

mtsin

mA

mB

mtdttyAm cos)(1

mtdttyB m sin)(1

1

0 sincos)(n

nn ntdtBntdtAdtAdtty

2-21

1. 를 곱할때

The right side

when

01

cos [ cos cos sin cos ]

1 1cos cos cos( ) cos( )2 21 1sin cos sin( ) sin( )2 2

n nn

A mtdt A nt mtdt B nt mtdt

nt mtdt n m tdt n m tdt

nt mtdt n m tdt n m tdt

Chosun University

1 cos( )2

1 ( ) cosm

n m tdt

A y t mtdt

01

( ) cos [ ( cos sin )]cosn nn

y t mtdt A A nt B nt mtdt

mtcos

n m

2-22

2. 를 곱할때

The right side

when

mtsin

Chosun University

01

( ) sin [ ( cos sin )]sinn nn

y t mtdt A A nt B nt mtdt

n m

mtdttyB

tdtmn

m sin)(1

)cos(21

tdtmntdtmnmtdtnt

mtdtntBmtdtntAmtdtAn

nn

)cos(21)cos(

21sinsin

sinsinsincossin1

0

2-23

- 주기 인 를 표현하는 삼각급수의 계수는 다음의 오일러 식으로 주어짐

Chosun University

2 )(ty

ntdttyB

ntdttyA

dttyA

n

n

sin)(1

cos)(1

)(21

0

2-24

임의의 주기를 가지는 함수에서의 퓨리에 급수

(Fourier Coefficients for Functions Having Arbitrary Periods)

- Euler Formulas (주파수w의 함수를 표현하는 삼각급수의 계수)

여기서 그리고 는 의 주기이다

퓨리에 정수

: 기본성분 (fundamental)

: 조화성분 (harmonics)

....3,2,1n

Chosun University

2

0 2

2

2

2

2

1 ( )

2 ( ) cos

2 ( ) sin

T

T

T

n T

T

n T

A y t dtT

A y t nwtdtT

B y t nwtdtT

wT 2 )(ty

1

0 sincos)(n

nn nwtBnwtAAty

1n...4,3,2n

2wT

2-25

o 위상각 이용

or

여기서

o 우함수 와 기함수 (Even and Odd Functions)

- 우함수 (even function)

- 기함수 (odd function)

Chosun University

01

*0

1

( ) cos( )

( ) sin( )

n nn

n nn

y t A C nwt

y t A C nwt

,22nn BACn

)()()()(thth

tgtg

,tann

nn A

B

n

nn B

A*tan

2-26

o 퓨리에 코사인급수 (Fourier Cosine Series)

- 만일 가 우함수 이면

o 퓨리에 사인급수(Fourier Sine Series)

- 만일 가 기함수이면

1 1

2( ) cos cosn nn n

nty t A A nwtT

Chosun University

( )y t

( )y t

1 1

2( ) sin sinn nn n

nty t B B nwtT

2-27

예제 2.3

(-5 에서 5)

Chosun University

010

0

AT

Tw 2

2-28

Sol) 는 기함수 이므로

여기서

2

2

2 2: ( )sinT

n T

n tB y t dtT T

Chosun University

1

2( ) sinnn

n ty t BT

dttndttnBn

5

0

0

5 102sin)1(

102sin)1(

102

......)5,3,1( n

nn

nnn

tnn

tnn

4)22(1

1)cos()cos(1210

102

102cos

210

102cos

210

102

5

0

0

5

( )y t

2-29

(기본 주파수) : fundamental freq

dominant freq

large Amplitude

Chosun University

0

( )4 2(2 1)sin

2 1 104 2 4 6 4 10sin sin sin ....

10 3 10 5 10

2 sec10

n

y tn t

n

t t t

W rad

2-30

예제 2.5

퓨리에 급수해석으로 결정되는 이 신호에 포함된 주파수 성분들

Chosun University

ttE 120sin120)(

2-31

Sol)

이 홀수일때

이 짝수일때

함수 의 퓨리에 급수

2 1 120

0 0

4 2 4( ) cos 120 sin120 cos1201 60

T

nn tA y t dt t n tdt

T T

Chosun University

tdtdttyT

AT

120sin12060/12)(12

120/1

0

2/

00

n 120 2 21 1nA

n n

02 60 2 76.4A

0nA

...720cos27.4480cos10.10240cos93.504.76|120sin120|

tttt

n

2-32

o 정류 신호의 주파수 성분

Chosun University


1 1 2 1 22402 1 1

120 2 21 1

n n

n n

n

120/1

0

120/1

0

120/1

0

120/1

0

))120120cos(()120120(

12021240

)120120sin(21120)120120sin(

21120240

120cos120sin12060/14

tnn

tdtntdtn

tdtntAn

120/1

0

))120120cos(()120120(

120 tnn

이 짝수

2-34

o 참고

1.

2.

3.

1 1sin sin cos( ) cos( )2 2

nx mx n m x n m x

Chosun University

1 1sin cos sin( ) sin( )2 2

nx mx n m x n m x

1 1cos cos cos( ) cos( )2 2

nx mx n m x n m x

2-35

측정된 동적신호를 주파수와 진폭의 항으로 표시

Time domain freq. domain

퓨리에 급수

o : 주파수 성분 사이의 간격 무한소(infinitesimal)

: 은 연속함수가 되며 로 나타낼수있다

Chosun University

2.5 퓨리에 변환과 주파수 스펙트럼 (Fourier Transform and the Freqeuncy Spectrum)

2

2

2

2

sin)(2

cos)(2

T

Tn

T

Tn

nwtdttyT

B

nwtdttyT

A

T

( ) ( ) co s

( ) ( ) s in

A w y t w td t

B w y t w td t

)(),( wBwAnn BA ,

2-36

o 퓨리에 변환을 위해 다음과 같은 정의를 생각하자

이므로

이므로

: Fourier Transform

: 주파수에 대한 연속함수

Chosun University

( ) ( ) ( )

( ) cos sin

cos sini

Y w A w iB w

y t wt i wt dt

e i

)( fY

dtetyfY

Twf

dtetyfY

fti

fti

2

2

)()(

12

)()(

2-37

- Inverse Fourier Transform

- 퓨리에 변환은 복소수이므로 크기와 위상을 갖는다

크기 :

위상 :

- 의 진폭

위상차

Chosun University

)(Re

)(Imtan)(

)(Im)(Re|)(|

1

22

fYfYf

fYfYfY

)()(tan)(

)()()(

1

22

fAfBf

fBfAfc

)(ty

dfefYty fti

2)(

21)(

)()(|)(|)( )( fiBfAefYfY fi

2-38

Power Density Concept (파워밀도 개념)

o 전류 신호 :

o 시간 동안 소모되는 평균 파워

주파수가 인 신호의 파워는 이라고 할수있음

- Power Density

: 각각의 주파수가 어떤신호의 전체파워에서 차지하는 크기를 나타내는개념

Chosun University

tfBtfAty 1111 2sin2cos)(

ft2 2

2 21 11 1 10 0

2 2 21 1 1

( ) cos 2 sin 2

( )2 2

f ft t

f f

A BP f f tdt f tdtt t

A B C

1f 221C

2 2 2| ( ) | [ ( ) ( ) ] 2Y f A f B f

2-39

이산 퓨리에 변환 (Discrete Fourier Transform) : DFT

여기서 는 지연된 단위 임펄스 함수

는 , 으로 주어지는 이산적인 데이터집합

여기서

는 간격으로 떨어진 주파수에서 진폭 를 갖는 DFT의 주파수 분해능

연속 → 이산 :

: 유한한 길이의 데이터 집합에 대한 수행된 변환의 크기를 일정한 비율로 재조정한다.

- 고속퓨리에 변환 (FFT, Fast Fourier Transform) : Cooley, Tukey

1,2,...2Nk

Chosun University

)( try

)()()( trttytry

)( trt )( tty

2

1

2( ) ( )N

i rk Nk

rY f y r t e

N

Nr ...3,2,1

1, ( 1, 2... , )2kNf k f k df N t

f f )( kfY

, kr r t f N t N2

2-40

예제 2.6

연속신호 volt를 시간증분 0.125s를 사용하여 32개의 이산집합으로 변환하라

1 1 10 ,C f Hz V

Chosun University

tty 2sin10)(

11 1 ,

2wf Hz

32..321r

.

.375.025.0125.0

Sec

.

.071.7375.02sin10125.03000.1025.02sin10125.02070.7125.02sin10125.01

)(

yyy

try

1( ) 0f

0.125 ,t s 32N

2-41

예제 2.7

이산 데이터 집합의 진폭과 파워 스펙트럼을 구하라 :

Chosun University

87654321r

1875.075.0625.05.0375.025.0125.0

)(sf

007.7

1007.7

007.7

1007.7

)(

try

00

28.2828.280

)(

i

BiAfY

00100

)( fc

3210

)(Hzf

2( ), ( )c f Y f





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