基本伝達関数Transfer function of basic elements

• 基本要素の組み合わせで一般の線形システムが構成される

• システムの特性も構成される基本要素の特性からわかる1. 比例要素2. 微分要素3. 積分要素4. １次進み要素5. １次遅れ要素

• むだ時間要素1

s

時間応答Time response

• システムに入力を加えたときの時間変化を時間応答と呼ぶ。

• 入力に対してシステムがどのように応答するかを把握することは、システムを望み通りに動かすためにも重要。– 重ね合わせの原理のため、基本要素の時間応答から複雑なシステムの特性を知ることができる

• 基本要素の時間応答を学ぶ

2

時間応答過渡応答 定常応答

t0

3

目標値

時間

• 入力、出力、システムの伝達関数をそれぞれX(s), Y(s), G(s)とする。

• 出力Y(s)の逆ラプラス変換を求めれば出力y(t)が求められる。

X(s) Y(s)G(s)

時間応答の求め方Solution of time response

4

インパルス応答Impulse response

単位インパルス関数d(t)をシステムに入力したときの出力

5

0

1

a� 0

a � �G

ステップ応答Step response

単位ステップ関数u(t)を入力したときの出力

u(t) =

�1 t � 00 t < 0

x(t) = u(t)G

6

正弦波入力に対する出力を考える

周波数応答Frequency response

線 形システム

x(t) = Ai sin(�t � �) y(t) = Ao sin(�t � � + �)

入力が正弦波であるとき、同じ周期の正弦波が出力されるただし、振幅と位相は変わる

x(t) y(t)

0

q

0Ai Ao

q −f

7

l Ai, Ao: 振幅l q：位相角l f：位相差

l f > 0:出力が入力より進むl f = 0:同相l f < 0:出力が入力より遅れる

各周波数に対する応答Response for inputs with different frequency

入力

w=2

出力

y(t)x(t) = sin(�t � �)

8

各周波数に対する応答Response for inputs with different frequency

w=10

w=20

入力 出力

9

周波数応答Frequency response

• 線形システムへの入力信号が角周波数wの正弦波であるとき① 出力信号は各周波数wの正弦波② 出力信号の振幅Aoはwによって変化③ 出力信号の位相fもwによって変化

wに対する振幅比（ゲイン）Ao/ Aiと、位相差fを周波数特性

10

周波数伝達関数Frequency transfer function

• 正弦波を複素数で表現することを考える

• ここで必ず虚部をとると決めて以下のように表す

複素数の信号が物理的に存在するわけではなく、この様に表現すると都合が良いから

11

システムの出力はたたみ込み積分によって与えられる

正弦波が入力信号のときの出力を求める

周波数伝達関数と周波数応答Frequency transfer function and frequency response

12

たたみ込み積分に入力

フーリエ変換

y(t) =

� �

��g(�)Aie

j{�(t��)��}d�

= Aiej(�t��)

� �

��g(�)e�j��d�

= Aiej(�t��)G(j�)

= x(t)G(j�)

複素正弦波線形システムG( jω)

x(t) = Aiej(�t��) y(t) =

� �

��g(�)x (t � �) d� = x(t)G(j�)

g(t)

13

• 入力信号がある単一の周波数成分しかもたない正弦波入力である場合

• 振幅比（ゲイン）

• 位相差

出力の周波数は同じ振幅と位相が変化

⇒周波数伝達関数

入力周波数により変化

G(j�) =y(t)

x(t)=

Ao

Aiej�

G(j�) = A(�) + jB(�)と表せば

14

周波数伝達関数• ラプラス変換のs = s + jwのs = 0としたもの• 伝達関数G(s)においてs = jwと置き換えたもの

• 伝達関数がG(s)であるとき、周波数伝達関数はG(jw)

周波数伝達関数を図で表して、周波数ごとの応答を理解しやすくする

伝達関数と周波数伝達関数Transfer function and frequency transfer function

15

ベクトル軌跡（ナイキスト線図）Nyquist diagram

• G(jw) の実部を横軸、虚部を縦軸にとった複素平面にベクトル(Re[G(jw)], Im[G(jw)])を描く

• wを0から∞まで（または−∞から∞まで）変化させたときのベクトルの軌跡

実軸に対して対称16

次の伝達関数のナイキスト線図を描く

周波数伝達関数は

例題Example

制御工学 例題７−６ 17

例題Example

wを変化させながらG(jw)を求める

18

例題Example

wを変化させながらG(jw)を求める

� = 0.5� = 1

� = 2

� = 5

19

自分で描くには、特異な点を計算する

1. lim��0

Re [G(j�)] = 5

2. lim��0

Im [G(j�)] = 0

3. lim���

Re [G(j�)] = lim���

Re

�30

�j�3

�= 0

4. lim���

Im [G(j�)] = lim���

Im

�30

�j�3

�= 0

例題Example

20

特異な点を計算する5. Im[G(jwp)]=0であり、Re[G(jwp)]<0となるwp

ナイキスト線図が複素平面の負の実軸を横切るときの角周波数

6. Re[G(jwp)] (w=wpのときの周波数伝達関数の実部)

11 � �2� = 0 より �� =

�11

Re [G(j��)] =30

6 � 11 · 6= �0.5

例題Example

21

特異な点を計算する7. Re[G(jw0)]=0となるときの角周波数はナイキスト線図が複素平面の負の虚軸を横切る時の角周波数

8. Im[G(jw0)] (w=w0のときの周波数伝達関数の虚部)

Im [G(j�0)] = Im

�30

j(11 � 1)

�= �3

例題Example

22

例題Example

のナイキスト線図

� � � � � 0

� = 1

� =�

11

23

周波数特性(ボード線図)Bode plots

振幅比と位相の変化を横軸を周波数にして表したもの

• ゲイン（利得）特性– 縦軸は20 log10|G(jw)|– 単位はデシベル[dB]

• 位相特性– 縦軸の単位は[rad]

24

ボード線図では

で表されるとき、ゲインと位相はそれぞれ加算で表すことができる。すなわち、ボード線図上でも足し合わせればよい。

であるならば、

であるので、

G(j�) = G1(j�)G2(j�)

G1(j�) = |G1(j�)| ej�1(�)

G2(j�) = |G2(j�)| ej�2(�)

G(j�) = |G1(j�)| |G2(j�)| ej�1(�)ej�2(�)

= |G1(j�)| |G2(j�)| ej(�1(�)+�2(�))

gdB = 20 log |G(j�)| = 20 log |G1(j�)| + 20 log |G2(j�)|= g1 + g2

�(�) = �1(�) + �2(�)

25

• 伝達関数

インパルス応答

y(t) = K�(t)

0 t

K�(t)

比例要素の時間応答Time response of proportional element

ステップ応答

26

K

u(t)

Ku(t)

y(t) = Ku(t)

0

1

K

t

• 周波数応答

• ナイキスト線図– (K, 0)の一点のみ

• ボード線図– 角周波数に依存しないため，ゲインはKで一定，

– 位相も常に0 [deg]

比例要素の周波数応答Frequency response of proportional element

G(s)=15の場合のボード線図

G(j�) = K

|G(j�)| = K,

� = tan�1 0

K= 0[deg]

（虚部は0で実部のみ）

27

• 伝達関数

インパルス応答

G(s) = s

微分要素のインパルス応答Impulse response of differential element

0t

s

28

u(t)

y(t) = �(t)

0

1

t

微分要素のステップ応答Step response of differential element

29

微分要素の周波数応答Frequency response of differential element

30

10倍20dB

• 周波数伝達関数G(jw)= jwなので実部は0、虚部のみ

• ナイキスト線図虚軸上を上に(0からj∞へ)

• ボード線図– ゲイン特性は w=1でゲインが0となり、単調増加

– wが10倍になるとゲインが20増加する（20dB/dec）

– 位相特性は常に90[deg]

ボード線図

ナイキスト線図

• 伝達関数

インパルス応答

G(s) =1

s

積分要素のインパルス応答Impulse response of integral element

1

s

0

1

t

31

つまり線形で単調に増加

積分要素のステップ応答Step response of integral element

32

積分要素の周波数応答Frequency response of integral element

• 周波数伝達関数

• ナイキスト線図– 実部は0で虚部のみ– 虚軸上を上に（−∞から0へ）

• ボード線図– ゲイン特性はw=1でゲイン0、−20dB/decで単調減少

– 位相特性は常に−90[deg]33

ボード線図

10倍20dB

ナイキスト線図

G(j�) =1

j�= �j

1

�

• 伝達関数

インパルス応答Y (s) = G(s)U(s)

=1

Ts + 1· 1 =

1

Ts + 1

y(t) = L�1

�1

Ts + 1

�

=1

Te� t

T

G(s) =1

Ts + 1

1次遅れ要素のインパルス応答Impulse response of first-order delay element

1

Ts + 1

34

T=1

T=2

T=3

ラプラス変換すると

すなわち

Y (s) = G(s)U(s)

=1

Ts + 1· 1

s

=1

s� T

Ts + 1

=1

s� 1

s + 1T

T を時定数時間応答が最終値の約63.2%に

T=1T=2

T=3

1次遅れ要素のステップ応答Step response of first-order delay element

35

• 周波数伝達関数

• ナイキスト線図x=Re[G(jw)], y=Im[G(jw)]とおいて上式のwを消去する

すなわち ( 12 , 0)を

中心とする半径 12 の円

1次遅れ要素のナイキスト線図Nyquist diagram of first-order delay element

36

1次遅れ要素のボード線図Bode plots of first-order delay element

• ゲイン

�3dB

ゲイン曲線は折れ線で近似，� = 1/T を 折点周波数．

T=1の場合

37

• 位相�T に対し 0から �90[deg]へ単調減少

1次遅れ要素のボード線図Bode plots of first-order delay element

T=1の場合

1. �T � 1のとき 0[deg]

2. �T = 1のときに �45[deg]� = 1

T が折点周波数3. �T � 1のとき �90[deg]

38

• 伝達関数

インパルス応答 ステップ応答

Ts + 1

１次進み要素の時間応答Time response of first-order lag element

39

1次進み要素の周波数伝達関数は

ナイキスト線図は x=1の直線

1次進み要素のナイキスト線図Nyquist diagram of first-order lag element

40

• ゲイン

1. �T � 1では 0dBでほぼ一定2. �T � 1では

20 log�

1 + (�T )2 � 20 log(�T )なので 20dB/dec の傾きで増加やはりゲインは折れ線で近似でき� = 1

T が折点

3dB

1次進み要素のボード線図Bode plots of first-order lag element

T=1の場合

41

• 位相

�T に対し 0[deg]から 90[deg]まで単調増加1. �T � 1のとき 0[deg]

2. �T = 1のときに 45[deg]

3. �T � 1のとき 90[deg]

1次進み要素のボード線図Bode plots of first-order lag element

T=1の場合

42

演習問題4

伝達関数が次のように与えられている．ボード線図（ゲイン特性）の概形を描け．

基本伝達関数に分けて描く

43

制御工学第６章演習問題4

演習問題4：解答例

gdB = 20 log K + 20 log1

�+ 20 log

�1 + (�T1)

2 + 20 log1�

1 + (�T2)2

G(j�) =K (1 + j�T1)

j� (1 + j�T2)なので，ゲインと位相は各要素の和

� = �90� + tan�1 �T1 + tan�1 (��T2)

G(s) =K (1 + sT1)

s (1 + sT2)T1 � T2

44

演習問題4：解答例(ゲイン)gdB = 20 log K + 20 log

1

�+ 20 log

�1 + (�T1)

2 + 20 log1�

1 + (�T2)2

20 log K

20 log1

�20 log

�1 + (�T1)

2

20 log1�

1 + (�T2)2

45

1

T2

1

T1

K = 10T1 = 1T2 = 10

演習問題4：解答例(ゲイン)gdB = 20 log K + 20 log

1

�+ 20 log

�1 + (�T1)

2 + 20 log1�

1 + (�T2)2

20 log K

20 log1

�20 log

�1 + (�T1)

2

20 log1�

1 + (�T2)2

46

1

T2

1

T1

K = 10T1 = 1T2 = 10

演習問題4：解答例(ゲイン&位相)gdB = 20 log K + 20 log

1

�+ 20 log

�1 + (�T1)

2 + 20 log1�

1 + (�T2)2

47

1

T2

1

T1

K = 10T1 = 1T2 = 10

むだ時間要素の時間応答Time response of dead time element

• 伝達関数

インパルス応答 ステップ応答

0

1

t

G(s) = e��s

y(t) = �(t � �)

0

1

t

y(t) = u(t � �)

e��s

48

むだ時間要素の周波数応答Frequency response of dead time element

• 周波数伝達関数

• ゲイン

• 位相

49

むだ時間要素の周波数応答Frequency response of dead time element

ナイキスト線図 ボード線図

50