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（付録）「コヒーレント状態（１）」
1. 復習：描像比較2. 定義：コヒーレント状態3. 光子数揺らぎ4. 直交位相振幅演算子5. 直交位相振幅揺らぎ：真空場6. 変位演算子7. 直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態8. 補足：中心モーメント
暫定版修正・加筆の可能性あり
付録（８０３、８０４）のアプローチ：コヒーレント状態（coherent state）
1. コヒーレント状態は消滅演算子の固有状態（eigenstate）として定義されるが、消滅演算子はエルミート演算子（Hermitian operator）ではない。つまり、固有値が複素数で与えられる。可観測量（オブザーバブル：observable）はエルミート演算子であり、固有値（eigenvalue）は実数である。
2. コヒーレント状態での光子数揺らぎがポアソン分布、直交位相振幅揺らぎがガウス分布で記述できることを確認する。3. ハイゼンベルグ描像（時間陽）を採用する。次回はシュレーディンガー描像でコヒーレント状態を記述する。4. 本付録の内容は量子力学の基本的な知識を必要とします。5. 虚数単位「ｉ」を使用する。
８０３－1
８０３－2
描像比較
進行波電場演算子Ｅ：ハイゼンベルグ描像で時間陰（implicit）
束縛振動/自由振動ともに対応可
進行波電場演算子Ｅ：ハイゼンベルグ描像で時間陽（explicit）：束縛振動（自由振動）であれば消滅演算子は時間陰（時間不変）
( ) ( ) ( )
0
int
†
,
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,
2
i t i t
explicit
d ibbt i be He
V dtb
− − − = − − =
K r K r
KrE e
( ) †
,
0
0 int
†
0
2
1, ,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2
i i
implicit i e eV
d i
dt
a a
aH H a H a a
− = − −
= + = +
K r K r
Kr eE
ˆˆ i tea b−=
自由振動に限定：シュレーディンガー描像で時間陽（explicit）
自由振動のみ対応可
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
†
,
0
0
†
,2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ1
,2
i t i tt i e e
V
di t
a a
H H a atdt
− − − = − −
= = +
K r K r
Kr eE
ˆ ˆi tea a−=
時間陰 時間陰：束縛振動時間不変：自由振動
時間不変
注意：シュレーディンガー描像の進行波電場演算子Ｅは時間陽、消滅演算子ａは時間不変。お詫び：束縛振動におけるシュレーディンガー描像については説明省略
私見：同一物理現象に対して、どの描像を選択すればよいのかは好みの問題かもしれません。例えば、単一偏波、周波数の電磁場（光）の性質を量子力学的に表現したいのであれば、相互作用無、自由振動扱いが可能になる。消滅演算子が時間不変となるハイゼンベルグ描像（時間陽）がよいかも。消滅演算子が時間不変であるからハイゼンベルグの運動方程式は忘れてよい。もちろん、ハイゼンベルグ描像の場合、状態ベクトルも時間不変です。 （消滅演算子bをａで書き換えると教科書でお馴染みの表現になる。）
参考：802
８０３－3
今回採用する描像
進行波電場演算子Ｅ：ハイゼンベルグ描像で時間陽（explicit）：束縛振動（自由振動）であれば消滅演算子は時間陰（時間不変）
( ) ( ) ( )
0
int
†
,
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,
2
i t i t
explicit
d ibbt i be He
V dtb
− − − = − − =
K r K r
KrE e
進行波電場演算子Ｅ：ハイゼンベルグ描像で時間陽（explicit）：コヒーレント状態（自由振動）のため消滅演算子は時間不変
( ) ( ) ( ), int
†
0
0ˆ ˆˆ ˆ, , ,
2ˆ 0
i t i t
explicit
dat i ae a
V dtHe
− − − = − − = =
K r K r
KE r e
私見：同一物理現象に対して、どの描像を選択すればよいのかは好みの問題かもしれません。例えば、単一偏波、周波数の電磁場（光）の性質を量子力学的に表現したいのであれば、相互作用無、自由振動扱いが可能になる。消滅演算子が時間不変となるハイゼンベルグ描像（時間陽）がよいかも。消滅演算子が時間不変であるからハイゼンベルグの運動方程式は忘れてよい。もちろん、ハイゼンベルグ描像の場合、状態ベクトルも時間不変です。 （消滅演算子bをａで書き換えると教科書でお馴染みの表現になる。）
目的：コヒーレント状態を消滅演算子で記述したい！（相互作用無、自由振動扱いが可能）
今回採用する描像：消滅演算子が時間不変となるハイゼンベルグ描像（時間陽）（消滅演算子bをａで書き換えると教科書でお馴染みの表現になる。）説明省略：もちろん、他の描像を採用しても結果（観測値）は同じです。以下では、消滅（生成）演算子、状態ベクトルが共に時間不変の状況を扱う。
定義：コヒーレント状態は消滅演算子の固有状態（eigenstate)固有状態ベクトル（eigenvector）
21
2
0
1 2
ˆ , e!
n
n
a nn
i
−
=
= =
= +
光子数状態：photon number state
2
2
1ˆ 1 2
0
1 1
2
1
ˆ e 1!
e 11!
ˆ
na n n n
n
n
n
a n nn
nn
a
−= −
=
−−
=
⎯⎯⎯⎯⎯→ −
= −−
= → =
生成演算子： creation operator
† *a =
α（複素数）：消滅演算子はエルミート演算子ではない
注意：次頁参照
† *a
定義：コヒーレント状態（１）
８０３－4
平均値（複素数）：mean
2
直交位相振幅：コヒーレント状態次頁以降で、この図の意味を紐解きます。
1a
2a
1
2 =
1
2 =
1
2a
1 1a =
８０３－5
定義：コヒーレント状態（２）
生成・消滅演算子：コヒーレント状態
2 2
† * † * † *
† * † *
* *
1 1 * '
2 2
0 ' 0
ˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ,
e e '! '!
n n
n n
a a a
a a
a a
a a a
n nn n
− −
= =
= + → +
= → =
= → =
= + → +
=
次頁：計算例
８０３－6
定義：コヒーレント状態（３）
( )
2 2
* *
*
*
1 1 * '† † 2 2
0 ' 0
* ' * '†
0 ' 0 0 ' 0
1 * '1
1 ' 0
* '
'
ˆ ˆ e e '! '!
ˆe ' e 1 1 '! '! ! '!
e '1 ! '!
e! '!
n n
n n
n n n n
n n n n
n nn n
n n
n n
n
a a n nn n
a n n n n nn n n n
n n nn n
n n
− −
= =
− −
= = = =
− − −
= =
−
=
=
= = + +
⎯⎯⎯→−
=
( )
( )
* *
*
*
0 0
* ' 1 * '*
0 ' 0 0 ' 0
1 * '*
0 ' 0
1 * '
1 ' 0
'
e ' e '! '! ! '!
e '! '!
e '1 ! '!
n
n n n n
n n n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n n n nn n n n
n n nn n
n n nn n
=
− − −
= = = =
− −
= =
− −
= =
= − +
+ =
=−
導出例：一部のみ
８０３－7
定義：コヒーレント状態（４）
生成演算子：コヒーレント状態は消滅演算子の固有状態ですが
2 *1 1
† * 2 2
0 0
1ˆ , e e
2 ! !
n n
n n
a n nn n
− −
= =
= + = =
導出例：一部のみ
2†
2 2
* * *
*
1ˆ 1 1† †2
0
1 1 112 2
0 1
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1
* 2
0
ˆ ˆe!
1e 1 e
! 1!
e e e! ! !
1e
2!
na n n n
n
n mm n
n m
n n n
n n n
n
n
a a nn
n mn m
n m
n n nn n n
nn
− = + +
=
− − −= +
= =
− − −
= = =
−
=
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
++ ⎯⎯⎯→
−
= = +
= −
*
*
1 1
2
1
1 1* 2
1
e!
1e
2 1!
n
n
n
n
nn
n
nn
n
−−
=
−−
=
+
= − +−
光子統計：ポアソン分布
( )2
22
e!
n
P n nn
−= =
平均と分散：mean and variance
( )
( ) ( )
2
0
22
0
n
n
nP n
n P n
=
=
= =
= − =
ガウス分布近似：次頁参照
0.1, 0.5,1 =
5,10, 20 =
( )
( )( )
2
0 2
e!
1
2
n
x
x n
P nn
P x e
−
−−
=
⎯⎯⎯→ =離散変数：ｎ連続変数：x
平均と分散の関係
22 = =
光子数揺らぎ（１）
８０３－8
近似：ガウス分布
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
22
1
1
111
2
11
222
1 , 1, 1,
! 2 ! 2
e e e! ! 2
e
2 1 1
e 1 1 1e e
2 2 2
n n n x x
n x x
x x
x
n x x n
n ne n x xe x
P n P xn x xe x
e
− −
− − −
−
+
−
+− +
− + − −−−
→ + = − =
⎯⎯⎯→
= = =
=
+ +
+= = =
Stirling's approximation
( )( )
( ) ( )
( ) 2
11
2
1 2ln 1
22
1ln 1 1 ln 1
2
1 1
2 2 2
+ +
+ −
+ = + + +
⎯⎯⎯⎯⎯→ + + − +
平均値
分散値
光子数揺らぎ（２）
８０３－9
2 =
電場Ｅ：参照803-3• 相互作用無、自由振動扱いのハイゼンベルグ描像（時間陽）• 消滅（生成）演算子、状態ベクトルが共に時間不変
( ) ( ) ( )†
,
0
ˆ ˆ,ˆ2
i t i t
explicit t i ae a eV
− − − = −
K r K r
KrE e
直交位相振幅演算子：エルミート演算子（Hermitian operator）
† †
1 2
†
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ,
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
1ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 2
a a a aa a
i
a a ia a a ia
ma q a p
m m
+ −
= + = −
= =
†
1ˆ ˆ ˆ
2
1ˆ ˆ ˆ
2
a m q ipm
a m q ipm
= +
= −
調和振動子：参照802-5
比較：交換関係（commutation relation）
ˆ ˆ,
1 2 1 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,
2 22 2
q p im ia a q p q p a a
m m
= = = ⎯⎯⎯⎯→ =
演算子（ハット）：交換関係（commutation relation）• 位置演算子：the position operator• 運動量演算子：the momentum operator
直交位相振幅演算子（１）
８０３－10
直交位相振幅演算子：quadrature operators
• 直交位相振幅に相当するエルミート演算子• 物理量を表す演算子は必ずエルミート演算子である。エルミート演算子の固有値は必ず実数である。
計算例
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ
ˆ ˆ2 sin 2 cos
i t i t i t
i t i t i t i t
ae c c a ia e a ia e
a e e ia e e
i a t i a t
− − − −
− − − − − −
− = + + −
= − + +
= − + −
K r K r K r
K r K r K r K r
K r K r
( ) ( ) ( ), 1 2
0
2ˆ ˆ ˆ, sin cost a t a tV
= − − + − K
E r e K r K r
直交位相振幅演算子（２）
８０３－11
ハイゼンベルグの不確定性原理：uncertainty principle（Heisenberg principle）
2 22 2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
2 4
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
2 2 16
q p i q p q p
ia a a a a a
= → =
= → =
８０３－12
直交位相振幅演算子（３）
関係式：調和振動子
†
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
1ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 2
a a ia a a ia
ma q a p
m m
= + = −
= =
数演算子：number operator
( )( )
( ) 1 2
†
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
ˆ ˆ,2 2 2 221 2 1 2 2 1 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ia a
n a a a ia a ia a a ia a ia a a a
a a i a a a a a a n=
= = − + = + − +
= + + − ⎯⎯⎯⎯→ + = +
調和振動子のハミルトニアン（Hamiltonian）：参照802-5
( )
†
22 2 2 2
1 2
1ˆ ˆ
2
ˆ 1ˆ ˆ ˆ
2 2
H a a
pa a m q
m
= +
= + = +
右辺第二項：後で明らかになりますが（参照：803）直交位相振幅に対する真空場揺らぎ（分散）に相当することに注目しましょう！
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0
2 4a a a a+ = = =
直交位相振幅演算子：真空場揺らぎ
８０３－13
直交位相振幅揺らぎ：真空場
直交位相振幅：真空場
1a
2a
1
2 =
1
2 =
調和振動子：真空場
p
q
2q
m
=
2p
m =
2 2 2 1ˆ ˆ0 0 0 0
4i ia a = = =
物理量：直交位相振幅は無次元数（dimensionless number） 物理量：調和振動子の場合、縦横軸で単位異なる。
2 2
2 2
ˆ0 02
ˆ0 02
q
p
qm
mp
=
=注目：生成・消滅演算子の性質のみを利用して真空場揺らぎを求めた。但し、真空場の直交位相振幅揺らぎがガウス分布で記述できるか否かは現時点では不明。（これから確認します！）
1 2ˆ ˆ 0a a= = ˆ ˆ 0q p= =
2
８０３－14
直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態
直交位相振幅：コヒーレント状態
1a
2a
( )22 2 1
ˆ ˆ4
i i ia a = − =
調和振動子：コヒーレント状態
q
p
2 2
2 2
ˆ2
ˆ2
q
p
qm
mp
=
=
1
2 =
1
2 =
1
物理量：直交位相振幅は無次元数（dimensionless number）
pq
q
p
物理量：調和振動子の場合、縦横軸で単位異なる。
縦軸：運動量
横軸：位置
2a
1 1a = q q=
p
これから確認したいこと：非零コヒーレント状態の直交位相振幅揺らぎは真空場の揺らぎと同程度（分散）であり、ガウス分布で記述できる。次頁以降：計算例（ややボリュームがある）
定義：displacement operator
( )† *
† * † * † *
2 2
†† * †
2
2 2
†
1ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2
ˆ ˆ, 1 ˆ ˆ ˆ2 2
†2
0
ˆ 1 2 2
0 0
ˆ 0 0
0 0
ˆ 0!
!! !
a aa a a a a a
a a a a a
nn
n
n na n n n
n n
D e e e e e
e e e e e
e an
e n n e nn n
− − − − −
− − = −
−
=
− −− =
= =
= → =
⎯⎯⎯⎯→ =
=
⎯⎯⎯⎯⎯→ =
注意：Baker-Campbell-Hausdorfの公式
下線部：Baker-Campbell-Hausdorfの公式
1 ˆ ˆ,ˆ ˆˆ ˆ2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , 0
A BA B A BA A B B B A e e e e
− + = = → =
( )† *ˆ ˆˆ 0 0a aD e −= =
役割：真空場からコヒーレント状態へ
計算準備：変位演算子（１）
８０３－15
変位演算子：生成・消滅演算子
( ) ( )
( ) ( )
†
† † † * † *
ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
D aD a a
D a D a a
= + =
= + =
2
ˆ ˆˆ , , , ...2!
A Ae Be B A B A A B − = − + −
計算例：公式（青色）を利用
計算準備：変位演算子（２）
８０３－16
( )
2
* †* † * † * †
2
† *† * † * † *
2 2
* † † * * † † * * † † *
†
1ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
1ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
a aa a a a a a
a aa a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a
e e e e e e e
e e e e e e e
e ae e e e ae e e e e ae e
e
− − − − −
− − − − − −
−− − − − − −
−
= =
= =
= =
†2
ˆ † † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,2!
aae a a a a a a = − +
( ) ( )* * * *ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ...
ˆ ˆ ˆa a a a
a
e a e a e e a
− −
− = +
+ = + = +
８０３－17
計算準備：変位演算子（3）
再確認：直交位相振幅演算子
† †
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ,
2 2
a a a aa a
i
+ −
変位演算子
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
† † † † *†
1 1 1
† † † † *†
2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ2 2 2
D aD D a D a aD a D a
D aD D a D a aD a D a
i i i
+ + += = + = +
− − −= = + = +
† *
1 1
† *
2 2
ˆ ˆˆ ˆRe
2 2
ˆ ˆˆ Im
2 2
a aa a
a aa
i i
+ += = = = =
− −= = = =
コヒーレント状態：直交位相振幅演算子 α：複素数
性質：直交位相振幅演算子
( )( ) ( )
†
22 2
1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ , 1,2
Re , Im
i i iD a D a i
− = =
= = → + = =
ｎ次中心モーメント：n-th order center moment
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
†
2 † † 2
3 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0
ˆ ˆ0 0 ,...
i i i i i
i i i i i i i
i i i
a D a D a
a D a DD a D a
a a
− = − = =
− = − − =
− =
重要：直交位相振幅演算子•ｎ次中心モーメントはコヒーレント状態と真空場で一致する。•直交位相振幅間でｎ次中心モーメントは等しく、両者の統計的な性質（揺らぎ）は全て一致する。•次頁以降：上記二点について確認する。
計算準備：変位演算子（4）
８０３－18
添え字ｉ：虚数単位と混同しないこと！
平均光子数：参照803-８
† *1
†
1†1 1 1 2
† *2
†
2†2 2 2 1
† *1 2
1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ2
2ˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ
ˆ ˆ2
2ˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2
a a
a ai
ia a i a
ia a
a ai
i a i a i a
ia a
i a i a i i a i a
e
e e e
e
e e e
e
e e e e e
=−
−− − −
=−
+ +
= +−
− − −
⎯⎯⎯→
= =
⎯⎯⎯→
= =
⎯⎯⎯⎯→
８０３－19
軸上の変位演算子（１）
再確認：直交位相振幅演算子
† †
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
2 2 2
a a a a ia a a a
i
+ − =
軸上：変位演算子
α：実数
α：純虚数
α：複素数1 2
イメージ図：変位演算子
1a
2a
1 2ˆ2
1 0i a
e −
=0
2 12
2 0i a
i e =
1 2 2 1
1 2
ˆ ˆ2 2
1 2
0i a i a
i
e e
i
−
+
+
右図参照：四角形の面積に相当する位相項
四角形の面積
次頁：計算例
８０３－20
( )( )
† * 2 1 1 22 1 1 2 2 1 1 2
2 1 1 22 1 1 22 1 1 2 2 1 1 2
1 2 2 12 1 1 2 1 2 2 1 1
1ˆ ˆ2 , 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 2 2 2
1ˆ ˆ2 2 , ˆ ˆ2 ,ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 22
ˆ ˆ, 2ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 22 2
i a i ai a i a i a i aa a
i i a a a ai a i a i a i a
i ia a
i a i a i a i a i
e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
− −− −−
− − −− −
= −− − −
= =
= =
⎯⎯⎯⎯→ = 2
軸上の変位演算子（２）
確認：変位演算子
( )( ) ( )( )
( )
( )
† *
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
2 1 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ2 2
a a i a ia i a ia
a i a i a i ia a i a i a i ia
a i a i a a a i a i a a
i a i a
− = + − − − +
= − + − − + − −
= − + + − + − +
= −
平均値：mean
ˆ , 1, 2i ia i = =
分散値（variance）：２次中心モーメント
( )2 2 2 21
ˆ ˆ ˆ0 04
i i i ia a a − = = =
最小不確定状態：minimum uncertainty state
ｎ次中心モーメント： n-th order center moment
( ) ( )ˆ ˆ ˆ0,2,... 0 0 1 3 5 1
1,3,... 0
n n n n
i i i in a a a n
n
= → − = = −
= → =
計算例：次頁
なにが言いたいのかな：コヒーレント状態
•ｎ次中心モーメントはガウス分布、平均値： 、分散値： である。（参照：803-25）
•直交位相振幅揺らぎは真空場揺らぎと同一、揺らぎはガウス分布で特徴づけられる。
i
2 1 4 =
直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態（１）
８０３－21
2 2
1 2
1ˆ ˆ
16a a =
計算例：途中まで
2†
2 † † † † 2
1 2
3
1
4 † † † †
1 4
† † † † † † † † †
† † † † †
ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0
2 2 4
ˆ0 0 0
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
a aa aa aa a a a a
a
a aaaa aaaa aaa a aaa a
aa aa aa aa aa a a aa a a a aaa
a aaa a aa a a aa
+
= = + + + = =
=
= + + +
+ + + + + +
+ + † † † † † † † † † † † † † †
2
† † † † 4
4 4
†
† †
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
1 3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 3 1 3 1
2 2 4
ˆ ˆ1 , 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 , 0 1 , 2 2 1 , 1 2 2
a a a aa a a aa a a a a a a a a
aaa a aa aa
a n n n a n n n
a a a a
+ + + +
= + = = =
= − = + +
= = = =
直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態（２）
８０３－22
８０３－23
計算例：途中まで
2†
2 † † † † 2
2 2
3
2
4 † † † †
2 4
† † † † † † † † †
† † † † †
ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0
2 2 4
ˆ0 0 0
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
a aa aa aa a a a a
i
a
a aaaa aaaa aaa a aaa a
aa aa aa aa aa a a aa a a a aaa
a aaa a aa a a a
−
= = − − − + = =
=
= − − +
− + + − − +
+ − † † † † † † † † † † † † † †
2
† † † † 4
4 4
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
1 3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 3 1 3 1
2 2 4
ˆ ˆ0 0 0 0 , 1,2,3,...n n
a a a a aa a a aa a a a a a a a a
aaa a aa aa
a a n
+ − − +
= + = = =
= =
直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態（３）
８０３－24
直交位相振幅揺らぎ：コヒーレント状態（４）
直交位相振幅a1,2を測定する確率：P(ai）分散値一定：どの位相で測定しても同程度の揺らぎ
( )( )
2
2 221,2
2
1 1e ,
42
i ia
iP a
−−
= = =
コヒーレント状態：直交位相振幅確率分布はガウス分布
分散値
2
1a
2a
1
2 =
1
2 =
1
2a
1 1a =
直交位相振幅：真空場
1a
2a
1
2 =
1
2 =
1 2ˆ ˆ 0a a= =
( )
( )
( )
2
2 21
202
1,3,5,...
2
2,4,6,... 2
( ) e e e
0
11 3 5 1 ,
2
xn
xx x
n
n
n
n n
dxx p xp x dx
dxp x
n
−
=− −
−
=
= =
= = → = ⎯⎯→ =
=
= − =
８０３－25
補足：中心モーメント（１）
定義： n-th order center moment
( ) ( )
( )
( )
( )
n
n
dx x x p x dxxp xx
dxp x dxp x
−= =
平均値：mean
ガウス分布（Gaussian function）：偶関数 平均値：零
被積分項：奇関数
被積分項：偶関数計算例：次頁参照
分散値：ガウス分布計算例：参照803-27
８０３－26
2 2 2
2
2
2
1e
2
1 3
22 22
2
4
e e e
1 1
2 2
x
k k
k x x x
n k
k kdx
dxx dx dx
−
−
− − −
=− − −
= −
− −
= = − = −
⎯⎯⎯⎯⎯→ − = −
= − = − = = =
= −
( )
3
2
25
42
1
2
1 3 11 3 1 3
2 2 2
1 3 5 1 n
n n
−
−
= −
= = =
= −
補足：中心モーメント（２）
計算例：被積分項（偶関数）
分散値
８０３－27
補足：中心モーメント（３）
計算手順：積分
( )
2
2 22 2
2
2 2
2cos
sin 0 0
2 0 0
0
e
e e e
e
22 e e
2
e
x
x yx y
x r r
y r
t r r t
dt rdr
t
dx
dx dy dxdy
d rdr
rdr dt
−
−
− +− −
− − −
= −
=
= − −
=
−
=
=
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→ =
= − =
![Άσκηση 1η –Μέρος Α - NTUA...Άσκηση1η–Μέρος Α int array[100]; int *p, N; p = &array[8]; while (*p != 0){if (*p < 100) *p = *p % N; else *p = *p / N; p++;}](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/61213bb539ee736c47746d04/ff-1-aoe-ff1aoe-int-array100.jpg)
