2013

ΘΕΩΡΙΑΕΡΩΤΗΣΕΙΣΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

Βαγγέλης Α ΝικολακάκηςΜαθηματικός

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ

Η παρούσα εργασία µου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 25,δηλαδή των µονάδων

του θέµατος Α.

Φιλοδοξεί να θέσει τις βάσεις της σωστής γνώσης και επανάληψης της θεωρίας ,που

είναι απαραίτητη για την αντιµετώπιση των θεµάτων Β-Γ-Δ.

Για τον λόγο αυτό έχω προσθέσει και σηµαντικές επισηµάνσεις θεωρίας ,χωρίς το

κείµενο να πλατιάζει και παράλληλα ο όγκος της εργασίας να είναι σε λογικά

πλαίσια.

Παράλληλα δίνει στον υποψήφιο την δυνατότητα να αυτοαξιολογηθεί είτε

απαντώντας στις ερωτήσεις θεωρίας ,είτε στις ερωτήσεις Σ-Λ που ακολουθούν .

Βαγγέλης Νικολακάκης

σημείωση

● Η σκιαγράφηση πολλών τύπων έγινε για να χρησιµοποιείται το παρών και σαν

τυπολόγιο.

● Οι αποδείξεις θεωρίας είναι σε σκιαγραφηµένα πλαίσια.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Ερωτήσεις (µε απαντήσεις) και οι αποδείξεις θεωρίας (ανά

κεφάλαιο)

Β. Ερωτήσεις θεωρίας (προς απάντηση)

Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ που έχουν δοθεί στις Πανελλαδικές τα έτη 2000-2012

Δ. Ερωτήσεις Σ-Λ (προς απάντηση)

Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

1. Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί i και i είναι ίσοι και πότε ένας μιγαδικός

ισούται με μηδέν ;

Δύο μιγαδικοί αριθμοί iβα και iδγ είναι ίσοι, αν και μόνο αν γα και δβ . Δηλαδή ισχύει:

iδγiβα γα και δβ .

Επομένως, επειδή i000 , έχουμε : 0iβα 0α και 0β .

2.Πως ορίζονται οι πράξεις στους μιγαδικούς ;

Για την πρόσθεση των iβα και iδγ έχουμε: iδβγαδiγβiα )()()()( .

Για την αφαίρεση των iβα και iδγ , έχουμε: iδβγαδiγβiα )()()()( .

Για τον πολ/σμό δυο μιγαδικών έχουμε: iβγαδβδαγδiγβiα )()())((

Για το πηλίκο iδγ

iβα

έχουμε: i

δγ

αδβγ

δγ

βδαγ

δiγ

βiα2222

3.Πως ορίζεται η δύναμη μιγαδικού ;

Ορίζουμε: zz 1 , ,...,2 zzz και γενικά zzz νν 1 , για κάθε ακέραιο ν , με 1ν .

Αν 0z , ορίζουμε ν

ν

zzz

1,10 για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Ισχύει : iiiiiiii 23210 1,,1, .

Γενικά : 4 4 4

1 , αν 0

, αν 1( ) 1

-1 , αν 2

, αν 3

υ

i υi i i i i i i i

υ

i

4. Πως ερμηνεύονται γεωμετρικά η πρόσθεση και η αφαίρεση μιγαδικών ;

Αν 1(α,β)M και 2 (γ,δ)M είναι οι εικόνες των α β i και γ δ i αντιστοίχως στο μιγαδικό

επίπεδο, τότε το άθροισμα

(α β ) (γ δ ) (α γ) (β δ) i i i

παριστάνεται με το σημείο (α γ,β δ) M .

Επομένως, 1 2 OM OM OM , δηλαδή:

“Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών βiα και iδγ είναι το

άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”.

Επίσης, η διαφορά

(α β ) (γ δ ) (α γ) (β δ) i i i

παριστάνεται με το σημείο (α γ,β δ) N .

Επομένως, 1 2 ON OM OM , δηλαδή:

“Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών βiα και iδγ είναι η

διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους”.

5-Α Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού z i

● Συζυγή του μιγαδικού αριθμού α β z i λέμε τον αριθμό α β z i .

● Ο συζυγής του z συμβολίζεται επίσης και με α β i . Είναι δηλαδή : βiαβiα

Επειδή είναι και α β α β i i , οι αριθμοί α β i , α β i λέγονται συζυγείς μιγαδικοί.

5-ΒΠοιές είναι οι ιδιότητες των συζυγών ;

1. 2z z 2. 2 z z i 3. 2121 zzzz 4. 2121 zzzz

5. 2121 zzzz 6.2

1

2

1

z

z

z

z

. 7.

v vz z( ) ( )

5-Γ Να εξηγήσετε την συμμετρία που έχουν οι εικόνες

των συζυγών, στο μιγαδικό επίπεδο .

Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες ),( βαM και ),( βαM δύο συζυγών μιγαδικών

iβαz και iβαz είναι σημεία

συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.

Ο

Μ3(γ,δ)

Ν(αγ,βδ)

Μ2(γ,δ)

Μ1(α,β)

x

y

y

Ο x

)(zM

M(z)

6. Ποιές είναι οι ρίζες ενός τριωνύμου αν Δ<0 ; Ποιές σχέσεις τις συνδέουν ;

Οι λύσεις είναι : α

Δiβz

22,1

, και ισχύει :

α

βzz

21 και

α

γzz 21 .

7.Πως ορίζεται το μέτρο μιγαδικού ; Τι εκφράζει

γεωμετρικά στο επίπεδο ;

Έστω ),( yxM η εικόνα του μιγαδικού yixz

στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του zτην απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδή

22|||| yxOMz

Το μέτρο μιγαδικού ,δηλώνει την απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων.

8.Ποιες είναι οι ιδιότητες του μέτρου ;

1. | | | | | |z z z 2. zzz 2|| 3. |||||| 2121 zzzz 4.2

1

2

1

z

z

z

z

5. |||||||||| 212121 || zzzzzz (τριγωνική ανισότητα ) 6. ||)( 2121 zzMM ,

δηλαδή :

το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους .

9.Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι εξισώσεις : 0,0 ρρ|zz| και

||| 21 zzzz| ;

Η εξίσωση 0,0 ρρ|zz| παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K z( )0 και ακτίνα ρ,

ενώ η εξίσωση ||| 21 zzzz| , τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα A z( )1 και B z( )2 .

10. Αν 1z και 2z i είναι δυο µιγαδικοί αριθµοί, τότε:

1 2 1 2z z z z

Απόδειξη

iδβγαiδγiβαzz )()()()(21 21)()()()( zziδγiβαiδβγα .

11. Αν 1 2,z z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε : 1 2 1 2| | | | | |z z z z

Απόδειξη

Πράγματι, έχουμε: 22

21

2212121 |||||||||||| zzzzzzzz

22112121 ))(( zzzzzzzz 22112121 zzzzzzzz

και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική.

x

M(x,y)

|z |

Ο

β

a

y

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

12. Τι ονομάζουμε συνάρτηση ;

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία f , με την οποία κάθε στοιχείο Ax αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το yονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με )(xf .

13. Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ;

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα Ax , λέγεται σύνολο τιμών της f

και συμβολίζεται με )(Af . Είναι δηλαδή: ( ) | ( )f A y y f x για κάποιο }Ax .

14. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης

Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το

σύνολο των σημείων ),( yxM για τα οποία ισχύει )(xfy , δηλαδή το σύνολο των σημείων

))(,( xfxM , Ax , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με fC .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

- Η γραφική παράσταση της f συμβολίζεται συνήθως με fC .

- Η εξίσωση, λοιπόν, )(xfy επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της fC . Επομένως, η

)(xfy είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

- ΄Οταν δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας συνάρτησης f, τότε:

α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της fC .

β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο )(Af των τεταγμένων των σημείων της fC .

γ) Η τιμή της f στο Ax 0 είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0xx και

της fC (Σχ. 8).

Cf

O

y

x

(α)

Α

Cf

O

y

x

(β)

f (Α)Cf

O

x=x0

A(x0, f (x0))

x0

y

x

(γ)

f (x0)

8

- Όταν δίνεται η γραφική παράσταση fC , μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να

σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και || f .

α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι

συμμετρική, ως προς τον άξονα xx , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία

))(,( xfxM που είναι συμμετρικά των ))(,( xfxM , ως προς

τον άξονα xx . (Σχ. 9).

O

y

x

9

Μ΄(x,f (x))

y=f (x)

y=f (x)

Μ(x,f (x))

β) Η γραφική παράσταση της || f αποτελείται από τα

τμήματα της fC που βρίσκονται πάνω από τον άξονα

xx και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα xx ,

των τμημάτων της fC που βρίσκονται κάτω από τον

άξονα αυτόν. (Σχ. 10).

14-Α Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων

α) βαxxf )( β) 2)( αxxf , 0α γ) 3)( αxxf , 0α

δ) x

αxf )( , 0α ε) xxf )( , |x|xg )( .

Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω :

α) Η πολυωνυμική συνάρτηση βαxxf )(

11

a>0

O x

y

a<0

O x

y

a=0

O x

y

β)Η πολυωνυμική συνάρτηση 2)( αxxf , 0α .

O x

y

α>0

xO

y

α<0

12

γ) Η πολυωνυμική συνάρτηση 3)( αxxf , 0α .

O

y

x

10

y=f (x)y=| f (x)|

O x

y

α>0

O x

y

α<0

13

δ) Η ρητή συνάρτηση x

αxf )( , 0α .

O x

y

α>0

O

x

y

α<0

14

ε) Οι συναρτήσεις xxf )( , |x|xg )( .

y x

O x

y

y x | |

O x

y 15

14-Β Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων

α) xf x α , 10 α γ) αf x log x ), 10 α

β) f (x) ημx , f (x) συνx , f (x) εφx

Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω :

α) Η εκθετική συνάρτηση xαxf )( , 10 α .

α

1

1O x

y

(α) α>1

O x

y

(β)0<α<1

α

1

1

β) Οι τριγωνικές συναρτήσεις : xxf ημ)( , xxf συν)( , xxf εφ)(

O

y=ημx

2ππ

1

1

y

x

O

y=συνx

2π π

1

1

y

x

3π/2 π/2 π/2 O

y=εφx

y

x

(γ)

(β)

(α)

Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις xxf ημ)( και συνx)( xf είναι περιοδικές με περίοδο

πT 2 , ενώ η συνάρτηση xxf εφ)( είναι περιοδική με περίοδο πT .

14-Γ Να γράψετε τις ιδιότητες της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης

► Ιδιότητες εκθετικής

Υπενθυμίζουμε ότι:

Αν 1α , τότε: 1 2x x

1 2α α x x

Αν 10 α , τότε: 1 2x x

1 2α α x x

► Ιδιότητες λογαριθμικής

Υπενθυμίζουμε ότι:

1) xαyx yα log 4) 2121 loglog)(log xxxx ααα

2) xα xα log και xα xα log 5) 21

2

1 logloglog xxx

xααα

3) 1log αα και 01log α 6) 11 loglog xκx αk

α

7) 1 2 1 2log x log x x x και 1 2 1 2ln x ln x x x

Προσοχή !! στην ύλη των εξετάσεων είναι μόνο οι λογάριθμοι log x , ln x

15. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες;

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε

Ax ισχύει )()( xgxf .

16. Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων ;

Ορίζουμε ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο, αντίστοιχα , δύο συναρτήσεων f, g τις

συναρτήσεις με τύπους : )()())(( xgxfxgf , )()())(( xgxfxgf ,

)()())(( xgxfxfg ,)(

)()(

xg

xfx

g

f

. Το πεδίο ορισμού των gf , gf και fg είναι η τομή

BA των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο

ορισμού της g

f είναι το σύνολο Axx |{ και Bx , με }0)( xg .

17. Τι ονομάζουμε σύνθεση συναρτήσεων ;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με

την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη συνάρτηση με τύπο: ( )( ) ( ( ))gof x g f x .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

g f

g(B)A

g

Bf(A)

f

A1

g( f (x ))

f(x)

x

α) Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για

τα οποία το )(xf ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο

})(|{1 BxfAxA .

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται ,αν 1A , δηλαδή αν BAf )( .

β) Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog , τότε αυτές

δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.

Αν hgf ,, είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η )(gofho , τότε ορίζεται και η ofhog)( και

ισχύειofhoggofho )()( .

Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof . Η σύνθεση

συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.

18. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα ;

Μια συνάρτηση f λέγεται :

γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Δxx 21 , με 21 xx ισχύει: )()( 21 xfxf

γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Δxx 21 , με 21 xx ισχύει: )()( 21 xfxf

19. Πότε μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο ;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

Παρουσιάζει στο Ax 0 (ολικό) μέγιστο, το )( 0xf , όταν )()( 0xfxf για κάθε Ax .

Παρουσιάζει στο Ax 0 (ολικό) ελάχιστο, το )( 0xf , όταν )()( 0xfxf για κάθε Ax .

20. Πότε μια συνάρτηση λέγεται 11 ;

Μια συνάρτηση :f A R λέγεται συνάρτηση 11 , όταν για οποιαδήποτε

Axx 21 , ισχύει η συνεπαγωγή: αν 21 xx , τότε )()( 21 xfxf .

Ισοδύναμος ορισμός: Μια συνάρτηση :f A R είναι συνάρτηση 11 , αν και μόνο

αν για οποιαδήποτε Axx 21 , ισχύει : αν 1 2( ) ( )f x f x , τότε 1 2x x .

21. Τι ονομάζουμε αντίστροφη συνάρτηση;

Έστω μια 11 συνάρτηση :f A R . Tότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, )(Af , της

f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει yxf )( .

Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση :g A R με την οποία κάθε )(Afy αντιστοιχίζεται

στο μοναδικό Ax για το οποίο ισχύει yxf )( . H g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f

και συμβολίζεται με 1f . Επομένως έχουμε 1( ) ( )f x y f y x .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

► Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 11 , αν και μόνο αν: ▪ Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση yxf )( έχει ακριβώς

μια λύση ως προς x.▪ Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. ▪ Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση "11" .▪Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι 1 1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. ▪ Αν όμως η συνάρτηση f δεν είναι 1 1 ,τότε δεν είναι και γνήσια μονότονη.

► Από τον ορισμό προκύπτει ότι 1f f x x και 1f f x x

► Σημεία τομής – Συμμετρίες ,των γραφικών παραστάσεων 1, Cf fC

▪ Οι γραφικές παραστάσεις των 1, f fC C ,είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x .

▪ Τα σημεία τομής (αν υπάρχουν),των γραφικών παραστάσεων 1, f fC C ,είναι είτε

πάνω στην ευθεία y x ,είτε συμμετρικά ως προς αυτήν.

▪ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα,τότε και η 1f είναι γνησίως αύξουσα και

τα σημεία τομής (αν υπάρχουν),των γραφικών παραστάσεων 1, f fC C ,είναι

πάνω στην ευθεία y x .

▪ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα,τότε και η 1f είναι γνησίως φθίνουσα και αν ακόμη η f είναι περιττή,τότε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν),των γραφικών

παραστάσεων 1, f fC C ,είναι πάνω στην ευθεία y x

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

22. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού του ορίου ;

(α)

)(lim0

xfxx

0))((lim0

xfxx

(β)

)(lim0

xfxx

)(lim 00

hxfh

23. Πως συνδέεται το όριο με τα πλευρικά όρια ;

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( 00 βxxα , τότε ισχύει η

ισοδυναμία:

)(lim0

xfxx

)(lim)(lim00

xfxfxxxx

24. Ποιες ανισότητες ισχύουν στα όρια ; (όριο και διάταξη)

Αν 0)(lim0

xfxx

, τότε 0)( xf ενώ αν 0)(lim0

xfxx

, τότε 0)( xf , κοντά στο 0x

Αν οι συναρτήσεις gf , έχουν όριο στο 0x και ισχύει )()( xgxf κοντά στο 0x , τότε

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

25. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων αν το χ τείνει στο χ0 ;

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε:

1. )(lim)(lim))()((lim000

xgxfxgxfxxxxxx

2. )(lim))((lim00

xfκxκfxxxx

, για κάθε κ R

3. )(lim)(lim))()((lim000

xgxfxgxfxxxxxx

4.)(lim

)(lim

)(

)(lim

0

0

0 xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx

, εφόσον 0)(lim

0

xgxx

5. )(lim|)(|lim00

xfxfxxxx

6. kxx

k

xxxfxf )(lim)(lim

00 , όταν 0)( xf κοντά στο 0x .

7.ν

xx

ν

xxxfxf

)(lim)]([lim

00,

*ν N

26. Δείξετε ότι : 0

0lim ( ) ( )x x

P x P x

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 011

1)( αxαxαxαxP νν

νν

και 0x R .

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε:

)(lim)(lim 01

100

αxαxαxP νν

νν

xxxx

00

11

00lim)(lim)(lim αxαxα

xx

νν

xx

νν

xx

00

1

01

0limlimlim αxαxα

xx

ν

xxν

ν

xxν

)( 001

010 xPαxαxα νν

νν

.

27. Δείξετε ότι :0

0

0

( )( )lim

( ) ( )x x

P xP x

Q x Q x , εφόσον 0( ) 0Q x

Απόδειξη

Έστω η ρητή συνάρτηση )(

)()(

xQ

xPxf , όπου )(xP , )(xQ πολυώνυμα του x και 0x R με

0)( 0 xQ . Τότε, )(

)(

)(lim

)(lim

)(

)(lim)(lim

0

0

0

0

00 xQ

xP

xQ

xP

xQ

xPxf

xx

xx

xxxx

.

28. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής .

Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, . Αν )()()( xgxfxh κοντά στο 0x και

)(lim)(lim00

xgxhxxxx

,

τότε

)(lim0

xfxx

.

29. Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια ;

α) 0

ημlim 1x

x

x β)

0

συν 1lim 0x

x

x

γ)

00limημx ημx

x xδ)

00lim συνx συνx

x x

30. Πως υπολογίζουμε το όριο σύνθετης συνάρτησης ;

Για να υπολογίσουμε το ))((lim0

xgfxx

, της σύνθετης συνάρτησης gf στο σημείο 0x , τότε

εργαζόμαστε ως εξής:

Θέτουμε )(xgu και υπολογίζουμε το )(lim0

0 xguxx

και το )(lim0

ufuu

(αν υπάρχουν) .

Αποδεικνύεται ότι, αν 0)( uxg κοντά στο 0x , τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με , δηλαδή

ισχύει: )(lim))((lim00

ufxgfuuxx

.

31. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων αν το x τείνει στο ;

Αν

)(lim0

xfxx

, τότε 0)( xf , ενώ αν

)(lim0

xfxx

, τότε 0)( xf κοντά στο 0x .

Αν

)(lim0

xfxx

, τότε

))((lim0

xfxx

, ενώ αν

)(lim0

xfxx

, τότε

))((lim0

xfxx

.

Αν

)(lim0

xfxx

ή , τότε 0)(

1lim

0

xfxx.

Αν 0)(lim0

xfxx

και 0)( xf κοντά στο 0x , τότε )(

1lim

0 xfxx, ενώ αν 0)( xf κοντά στο

0x , τότε )(

1lim

0 xfxx.

Αν

)(lim0

xfxx

ή , τότε

|)(|lim0

xfxx

και αν

)(lim0

xfxx

, τότε

k

xxxf )(lim

0.

20

1lim

xx και γενικά

ν20

1lim

xx,

*

xx

1lim

0

και γενικά

120

1lim

νx x

, ενώ xx

1lim

0

και

120

1lim

νxx

,*

δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της 12

1)(

νxxf ,

* .

Οριο αθροίσματος και γινομένου το όριο της f είναι: αR αR - -

και το όριο της g είναι: - - -

τότε το όριο της gf είναι: - - ; ;

το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + + - -

και το όριο της g είναι:+ + - - + - + - + -

τότε το όριο της f·g είναι: + - - + ; ; + - - +

ν

xxlim και 0

1lim

νx x,

περιττόςαν,-

άρτιοςαν,lim

ν

νx ν

x και 0

1lim

νx x,

* , )(lim)(lim νν

xxxαxP

και )(lim)(lim ν

νxx

xαxP

x

xαlim , 0lim

x

xα ,

xα

xloglim

0,

xα

xloglim

32. Πότε η f λέγεται συνεχής στο 0 ;x

΄Εστω μια συνάρτηση f και 0x ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι

συνεχής στο 0x , όταν :

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

33. Πότε η f λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισμού της ;

Όταν η f είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της . Ειδικότερα :

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ),( βα , όταν είναι

συνεχής σε κάθε σημείο του ),( βα .

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα , όταν είναι

συνεχής σε κάθε σημείο του ),( βα και επιπλέον :

)()(lim αfxfαx

και )()(lim βfxfβx

34. Τι γνωρίζετε για τις πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων;

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0x , τότε είναι συνεχείς στο 0x και οι

συναρτήσεις: gf , fc , όπου c R , gf ,g

f, || f και ν f

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x .

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο )( 0xf , τότε

η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0x .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

α) Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της όταν:

i) Δεν υπάρχει το όριό της στο 0x ή

ii) Υπάρχει το όριό της στο 0x , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, 0( )f x , στο

σημείο 0x .

β) Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση. γ) — Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε 0 x R ισχύει

00lim ( ) ( )

x xP x P x .

— Κάθε ρητή συνάρτηση

P x

Q x είναι συνεχής, αφού για κάθε 0x του πεδίου ορισμού

της ισχύει

0

0

0

( )( )lim

( ) ( )

x x

P xP x

Q x Q x.

— Οι συναρτήσεις ημf x x και συνf x x είναι συνεχείς, αφού για κάθε 0 x R ισχύει

00lim ημ ημ

x xx x και

00lim συν συν

x xx x .

— Οι συναρτήσεις α xf x και αlogf x x , 0 α 1 είναι συνεχείς.

35. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα . Αν η f είναι συνεχής στο

],[ βα και, επιπλέον, ισχύει 0)()( βfαf , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),(0 βαx τέτοιο,

ώστε 0)( 0 xf .

36. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα . Αν:

η f είναι συνεχής στο ],[ βα και

)()( βfαf

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας, τουλάχιστον

),(0 βαx τέτοιος, ώστε

ηxf )( 0

37. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο ],[ βα , τότε η f παίρνει στο ],[ βα μια μέγιστη τιμή Μ και μια

ελάχιστη τιμή m.

38. Ποιο είναι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε

διάστημα ;

Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ),( βα , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( ΒΑ , όπου

)(lim xfΑαx

και )(lim xfBβx

.

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( βα , τότε το σύνολο τιμών της

στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( AB

Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής ],[ βα , ),[ βα και ],( βα .

39.Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα

[ , ] . Αν: η f είναι συνεχής στο [ , ] και ( ) ( )f f δείξετε ότι, για κάθε

αριθµό η µεταξύ των ( )f και ( )f υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 ( , )x , ώστε

0( )f x

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf . Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση

ηxfxg )()( , ],[ βαx , παρατηρούμε ότι:

η g είναι συνεχής στο ],[ βα και

0)()( βgαg , αφού 0)()( ηαfαg και 0)()( ηβfβg .

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ),(0 βαx τέτοιο, ώστε

0)()( 00 ηxfxg , οπότε ηxf )( 0 .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ-ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΣΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

Α.

Β. συνέπειες του Θ.Bolzano είναι τα παρακάτω

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε

αυτή ή είναι θετική για κάθε Δx ή είναι αρνητική για κάθε Δx , δηλαδή διατηρεί

πρόσημο στο διάστημα Δ.

Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία

οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Γ. συνέπειες του Θ.Ενδιαμέσων Τιμών είναι τα παρακάτω

α) Η εικόνα )(Δf ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f

είναι διάστημα. β) Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα

),( βα , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( ΒΑ , όπου

)(lim xfΑαx

και )(lim xfBβx

.

γ) Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( βα , τότε το σύνολο τιμών

της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( AB .

Δ.

Ε.

ΣΤ. Από το παραπάνω θεώρημα (ΘΜΕΤ) και το ΘΕΤ προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ],[ βα

είναι το κλειστό διάστημα ],[ Mm , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

40. Πως ορίζεται η εφαπτομένη στο σημείο 0 0( , ( ))A x f x της fC ;

Έστω f μια συνάρτηση και ))(,( 00 xfxA ένα σημείο της fC . Αν υπάρχει το 0

0

0

)()(lim

xx

xfxf

xx

και είναι ο πραγματικός αριθμός f΄(x0) , τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της fC στο σημείο της

Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= f΄(x0).

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ))(,( 00 xfxA είναι

0'( )y f x f x x x 0 0( ) ( )

41. Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο χ0 και τι ονομάζουμε παράγωγο της f στο χ0 ;

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της,

αν υπάρχει το 0

0 )()(lim

0 xx

xfxf

xx

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x και συμβολίζεται με )( 0xf . Δηλαδή:

0

00

)()(lim)(

0 xx

xfxfxf

xx

.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ-ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

α)Η ύπαρξη εφαπτόμενης της fC στο σημείο της ))(,( 00 xfxA,εξαρτάται από την ύπαρξη της

παραγώγου 0( )f x

β) Αν, τώρα, στην ισότητα 0

0

00

)()(lim)(

xx

xfxfxf

xx

θέσουμε hxx 0 , τότε έχουμε

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00

.

γ) Αν το 0x είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε:

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια

0

0

0x x

f (x) f (x )lim

x x

,

0

0

0x x

f (x) f (x )lim

x x

και είναι ίσα.

42. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0x , τότε είναι και συνεχής

σ΄αυτό.

Απόδειξη

Για 0xx έχουμε )()()(

)()( 0

0

00 xx

xx

xfxfxfxf

,

Οπότε

)(

)()(lim)]()([lim 0

0

0

00

0

xxxx

xfxfxfxf

xxxx)(lim

)()(lim 0

00

0

0xx

xx

xfxf

xxxx

00)( 0 xf ,

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Αρα , )()(lim 00

xfxfxx

, δηλαδή η f είναι συνεχής στο

0x .

ΣχόλιαΤο αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Ισχύει όμως ότι :

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο

θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

43. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ;

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: — H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Ax 0 .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ),( βα του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ),(0 βαx .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα του πεδίου ορισμού της, όταν είναι

παραγωγίσιμη στο ),( βα και επιπλέον ισχύει

( ) ( )limx

f x fR

x

και

( ) ( )limx

f x fR

x

.

44. Τι είναι η παράγωγος συνάρτηση ;

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και 1A τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία

αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1Ax στο )(xf , ορίζουμε τη συνάρτηση

1: , ωστε : ( )f A R x f x η οποία ονομάζεται παράγωγος της f.

45. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x ;

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη yx, συνδέονται με τη σχέση )(xfy , όταν f είναι μια συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο

0x την παράγωγο )( 0xf

46. Πως παραγωγίζεται μια σύνθετη συνάρτηση ;

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f είναι παραγωγίσιμη στο )( 0xg , τότε η

συνάρτηση gf είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x

47. Να γράψετε τους τύπους παραγώγων των συναρτήσεων και τα σύνολα που

ορίζονται

. f x c . f x x . f x x 1

. f xx

. f x x . f x x

. f x x . f x x . f x x . f x x . xf x e

. lnf x x

. 0 ,x Rf x . 1 ,x Rf x 1. ,x Rf x x

11. ,x Rf x x f x x

x

1. ,x 0,

2f x

x

. ,x Rf x x

. ,x Rf x x 2

1. ,x R- /

2f x x x

x

2

1. ,x R- /f x x x

x

. ,x Rxf x e 1

. ,x 0,f xx

48. Εστω η σταθερή συνάρτηση ( ) ,f x c c R ,. Δείξετε ότι η συνάρτηση f

είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) 0f x , δηλαδή c  0΄

Απόδειξη

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του R, τότε για 0xx ισχύει: 0)()(

00

0

xx

cc

xx

xfxf.

Επομένως, 0)()(

lim0

0

0

xx

xfxf

xx, δηλαδή 0)( c .

49. Έστω η συνάρτηση ( )f x x . Δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) 1f x , δηλαδή ( ) 1x .

Απόδειξη

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του R, τότε για 0xx ισχύει: 1)()(

0

0

0

0

xx

xx

xx

xfxf.

Επομένως, 11lim)()(

lim00

0

0

xxxx xx

xfxf, δηλαδή 1)( x .

50. Έστω η συνάρτηση ( )f x x , 0,1R . Δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιµη στο R και ισχύει 1( )f x x , δηλαδή 1( )x x

Απόδειξη

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του R, τότε για 0xx ισχύει:

100

21

0

100

210

0

0

0

0 ))(()()(

νννννννν

xxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xfxf

, οπότε:

10

10

10

10

100

21

00

0

0)(lim

)()(lim

ννννννν

xxxxxνxxxxxxx

xx

xfxf , δηλαδή

1)( νν xνx .

51 . Έστω ( )f x x . Δείξετε ότι για κάθε (0, )x ισχύει 1

( )2

f xx

, δηλαδή

1( )

2x

x

Απόδειξη

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του ),0( , τότε για 0xx ισχύει:

000

0

00

00

0

0

0

0 1

)()(

)()(

xxxxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xfxf

,

Οπότε 00

00

0

0 2

11lim

)()(lim

xxxxx

xfxf

xxxx

, δηλαδή

xx

2

1

.

xxxh

xfhxf

hσυν1συν0ημ

)()(lim

0

. Δηλαδή, xx συν)ημ( .

52. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιµες στο 0x , τότε η συνάρτηση

f g είναι παραγωγίσιµη στο 0x και ισχύει: 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x

Απόδειξη

Για 0xx ,ισχύει:

0

0

0

0

0

00

0

0 )()()()()()()()())(())((

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgxfxgxf

xx

xgfxgf

.

Επειδή οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιμες στο 0x , έχουμε:

),()()()(

lim)()(

lim))(())((

lim 00

0

0

00

0

00

0

0xgxf

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgfxgf

xxxxxx

Δηλαδή : )()()()( 000 xgxfxgf .

53. Έστω η συνάρτηση ( )f x x , * . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη

στοR * και ισχύει 1( )f x x , δηλαδή 1( )x x

Απόδειξη

Πράγματι, για κάθε *x R έχουμε: 1

2

1

2)(

)(1)1(1)(

ν

ν

ν

ν

νν

ν

ν xνx

xν

x

xx

xx .

Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι 1)( νν xνx , για κάθε φυσικό 1ν . Επομένως, αν {0, 1}N ,

τότε : 1)( κκ κxx .

54. Έστω η συνάρτήση ( ) εφf x x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο f

και ισχύει { / συν 0}fD R x x 2

1( )

συνf x

x , δηλαδή :

2

1(εφ )

συνx

x

Απόδειξη

x

xxxx

x

xxxx

x

xx

22 συν

ημημσυνσυν

συν

)συν(ημσυν)ημ(

συν

ημ)εφ(

xx

xx22

22

συν

1

συν

ημσυν

.

55. Η συνάρτηση ( )f x x , R Q είναι παραγωγίσιµη στο (0, ) και ισχύει 1( )f x x ,

δηλαδή 1( )x x

Απόδειξη

Πράγματι, αν xαα exy ln και θέσουμε xαu ln , τότε έχουμε uey . Επομένως,

1ln 1)( ααxαuu xα

x

αx

xαeueey .

56. Η συνάρτηση ( ) xf x , 0 είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει

( ) lnxf x ,

δηλαδή : ( ) lnx x

Απόδειξη

Πράγματι, αν αxx eαy ln και θέσουμε αxu ln , τότε έχουμε uey . Επομένως,

αααeueey xαxuu lnln)( ln .

57. Η συνάρτηση ( ) ln | |f x x , *x R είναι παρ/µη στο *R και ισχύει

1(ln | |)x

x

Απόδειξη

Πράγματι : . αν 0x , τότε

xxx

1)(ln)||(ln , ενώ αν 0x , τότε :

)ln(||ln xx , οπότε, αν θέσουμε )ln( xy και xu , έχουμε uy ln . Επομένως,

xxu

uuy

1)1(

11)(ln

και άρα

xx

1)||(ln .

58. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ βα , παραγωγίσιμη στο ανοικτό

),( βα και )()( βfαf τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε: 0)( ξf

59. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle

Το Θ.R. γεωμετρικά, σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

),( βαξ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC στο ))(,( ξfξM να είναι

παράλληλη στον άξονα των x.

60. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)

Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ βα και παραγωγίσιμη στο

ανοικτό διάστημα ),( βα τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( βαξ τέτοιο, ώστε:

αβ

αfβfξf

)()()(

61. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης

Τιμής

Γεωμετρικά, το ΘΜΤ σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

),( βαξ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο ))(,( ξfξM να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

Β(β,f (β))

βξ΄ξa x

y

Ο

M(ξ,f (ξ))

A(α,f (α))

y

O xβξ΄ξα

Μ(ξ,f (ξ))

Β(β,f (β)) Α(α,f (α))

62. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα . Αν η f είναι

συνεχής στο και ( ) 0f x για κάθε εσωτερικό σηµείο x του , τότε η f

είναι σταθερή σε όλο το

διάστηµα .

ΑπόδειξηΑρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε Δxx 21 , ισχύει )()( 21 xfxf . Πράγματι

Αν 21 xx , τότε προφανώς )()( 21 xfxf .

Αν 21 xx , τότε στο διάστημα ],[ 21 xx η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης

τιμής. Επομένως, υπάρχει ),( 21 xxξ τέτοιο, ώστε

12

12 )()()(

xx

xfxfξf

(1) Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει 0)( ξf , οπότε ,

λόγω της (1), είναι )()( 21 xfxf . Αν 12 xx , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι )()( 21 xfxf . Σε

όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι )()( 21 xfxf .

63. Έστω δυο συναρτήσεις ,f g ορισµένες σε ένα διάστηµα . Αν οι ,f g είναι

συνεχείς στο και ( ) ( )f x g x για κάθε εσωτερικό σηµείο x του , τότε

υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει: ( ) ( )f x g x c

Απόδειξη

Η συνάρτηση gf είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό

σημείο Δx ισχύει

0)()()()( xgxfxgf .

Επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση gf είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει

σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε Δx να ισχύει cxgxf )()(

,οπότε cxgxf )()( .

63-Α σημαντική πρόταση (χωρίς απόδειξη)

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι

f x f x για κάθε x R ,

τότε ( ) xf x ce για κάθε x R .

64. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής

Αν ( ) 0f x σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του , τότε

όλο το .

Αν ( ) 0f x σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του , τότ

σε όλο το .

Απόδειξη

y

O x

y=g(x)+c

y=g(x)

( ) 0 ( )f x f x c

( ) ( )f x g x f x g x c

σε ένα διάστηµα .

η f είναι γν. αύξουσα σε

ε η f είναι γν. φθίνουσα

( ) ( ) xf x f x f x ce

Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι 0)( xf .

Έστω Δxx 21 , με 21 xx . Θα δείξουμε ότι )()( 21 xfxf . Πράγματι, στο διάστημα ],[ 21 xx η f

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ),( 21 xxξ τέτοιο, ώστε

12

12 )()()(

xx

xfxfξf

, οπότε έχουμε ))(()()( 1212 xxξfxfxf

Επειδή 0)( ξf και 012 xx , έχουμε 0)()( 12 xfxf , οπότε )()( 21 xfxf .

Στην περίπτωση που είναι 0)( xf εργαζόμαστε αναλόγως.

Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα

(αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική

(αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ.

65. Τι ονομάζουμε τοπικό μέγιστο και τι τοπικό ελάχιστο της f ;

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Ax 0 τοπικό

μέγιστο, όταν υπάρχει 0δ , τέτοιο ώστε : )()( 0xfxf για κάθε ),( 00 δxδxAx .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το )( 0xf τοπικό μέγιστο της f.

Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Ax 0 τοπικό

ελάχιστο, όταν υπάρχει 0δ , τέτοιο ώστε : )()( 0xfxf , για κάθε ),( 00 δxδxAx .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το )( 0xf τοπικό ελάχιστο της f.

Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα.

Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης.

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και έχει ένα τοπικό ακρότατο ,τότε θα είναι και ολικό.

66. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν

η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

0)( 0 xf

67. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης

f ;

Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση

με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

68. Τι γνωρίζετε για την παράγωγο συνάρτησης στο σημείο που παρουσιάζει

ακρότατο ;

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη σ΄ αυτό, τότε: 0)( 0 xf

69. Πως σχετίζεται το πρόσημο της f΄ με τα τοπικά ακρότατα;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( βα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

Αν 0)( xf στο ),( 0xα και 0)( xf στο ),( 0 βx , τότε το )( 0xf είναι τοπ. μέγιστο της f.

Αν 0)( xf στο ),( 0xα και 0)( xf στο ),( 0 βx , τότε το )( 0xf είναι τοπ. ελάχιστο της f.

Aν η )(xf διατηρεί πρόσημο στο ),(),( 00 βxxα , τότε το )( 0xf δεν είναι τοπικό ακρότατο και

η f είναι γνησίως μονότονη στο ),( βα .

70. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ’ ένα διάστηµα και 0x εσωτερικό

σηµείο του

. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιµη σ΄

αυτό,

τότε: 0( ) 0f x

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό μέγιστο. Επειδή το 0x είναι εσωτερικό

σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0δ τέτοιο, ώστε

Δδxδx ),( 00 και )()( 0xfxf , για κάθε ),( 00 δxδxx . (1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0

0

00

0

00

)()(lim

)()(lim)(

xx

xfxf

xx

xfxfxf

xxxx

. Επομένως,

— αν ),( 00 xδxx , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0)()(

0

0

xx

xfxf, οπότε θα έχουμε

0)()(

lim)(0

0

00

xx

xfxfxf

xx

(2)

— αν ),( 00 δxxx , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0)()(

0

0

xx

xfxf, οπότε θα έχουμε

0)()(

lim)(0

0

0

0

xx

xfxfxf

xx

. (3) Έτσι , από τις (2) και (3) έχουμε 0)( 0 xf .

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

71. Πώς βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα σε μια συνεχή συνάρτηση f σε ένα

κλειστό διάστημα

Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου της συνάρτησης f σε ένα κλειστό διάστημα εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f.

Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.

Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f.

72. Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή ή κοίλη ;

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Θα λέμε ότι:

Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως

αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

73. Πως σχετίζεται το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου με την κυρτότητα ;

΄Εστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Αν 0)( xf για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Αν 0)( xf για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.

74. Τι ονομάζουμε σημείο καμπής της γ.π. μιας συνάρτησης ;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( βα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του 0x . Αν η f είναι κυρτή στο ),( 0xα και κοίλη στο ),( 0 βx , ή αντιστρόφως, και η fC έχει

εφαπτομένη στο σημείο ))(,( 00 xfxA , τότε το σημείο ))(,( 00 xfxA ονομάζεται σημείο καμπής

της γραφικής παράστασης της f.

75. Πως σχετίζεται η f΄΄ με το σημείο καμπής ;

Αν το ))(,( 00 xfxA είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο

φορές παραγωγίσιμη, τότε 0)( 0 xf .

Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ’ ένα διάστημα ),( βα και ),(0 βαx . Αν η f αλλάζει

πρόσημο εκατέρωθεν του 0x και ορίζεται εφαπτομένη της fC στο ))(,( 00 xfxA ,

τότε το ))(,( 00 xfxA είναι σημείο καμπής.

Η συνθήκη 0 0 f x δεν μας εξασφαλίζει κατ΄ανάγκη ,ότι το σημείο 0 0,A x f x ,είναι Σ.Κ.

Θα πρέπει η f να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x .

76. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής ;

Οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

i) Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται .

ii)Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f

77. Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γ.π. της f ;

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια )(lim0

xfxx

, )(lim0

xfxx

είναι ή , τότε η ευθεία 0xx

λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

78. Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γ.π. της f ;

Αν

)(lim xfx

(αντιστοίχως ))(lim

xfx

, τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ).

79. Τι ονομάζουμε ασύμπτωτη (πλάγια) της γ.π. της f ;

Η ευθεία βxλy λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αν

0)]()([lim

βxλxfx

και στο αν 0)]()([lim

βxλxfx

.

Η συνθήκη 0 0 f x δεν μας εξασφαλίζει κατ΄ανάγκη ,ότι το σημείο 0 0,A x f x ,είναι Σ.Κ.

Θα πρέπει η f να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x .

81. Να γράψετε τους τύπους ,με τους οποίους βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της μορφής y x

Η ευθεία βxλy είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αντιστοίχως

στο , αν και μόνο αν

x

f (x)lim R

x και

xlim [f (x) x] R

,

αντιστοίχως :

x

f (x)lim R

x και

xlim [f (x) x] R

.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ

1. Αποδεικνύεται ότι:

— Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

— Οι ρητές συναρτήσεις )(

)(

xQ

xP, με βαθμό του αριθμητή )(xP μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά

δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

2. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας

συνάρτησης f αναζητούμε:

— Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται.

— Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

— Στο , , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ),( α ,

αντιστοίχως ),( α

82. Ποιοι είναι οι κανόνες De l΄ Hospital ;

1oς Κανόνας

Αν 0)(lim0

xfxx

, 0)(lim0

xgxx

, 0 R { , }x και υπάρχει το )(

)(lim

0 xg

xfxx

(πεπερασμένο

ή άπειρο), τότε:

)(

)(lim

)(

)(lim

00 xg

xf

xg

xfxxxx

.

2oς Κανόνας

Αν

)(lim0

xfxx

,

)(lim0

xgxx

, 0 R { , }x και υπάρχει το )(

)(lim

0 xg

xfxx

(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: )(

)(lim

)(

)(lim

00 xg

xf

xg

xfxxxx

.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

82. Τι ονομάζουμε Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο διάστημα Δ ;

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή

παράγουσα της f στο διάστημα Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι

παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

)()( xfxF , για κάθε Δx .

83. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ. Αν F είναι µια

παράγουσα της f στο Δ, τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της µορφής

( ) ( )G x F x c , c R είναι παράγουσες της f στο Δ και β) κάθε άλλη

παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη µορφή ( ) ( )G x F x c , c R .

Απόδειξη

α) κάθε συνάρτηση της μορφής cxFxG )()( , όπου c R, είναι μια παράγουσα της f στο Δ,

αφού )()())(()( xfxFcxFxG , για κάθε Δx .

Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε Δx ισχύουν )()( xfxF και

)()( xfxG , οπότε )()( xFxG , για κάθε Δx .

Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε cxFxG )()( , για

κάθε Δx .

84. Τι ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] ;

Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε ορίζουμε :1

( ) lim ( )f x dx f x

.

Επίσης ορίζουμε : ( ) ( )f x dx f x dx

και ( ) 0f x dx

85. Ποιες είναι οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος ;

Έστω gf , συνεχείς συναρτήσεις στο ],[ βα και μλ, R. Τότε ισχύουν

α) β

α

β

αdxxfλdxxfλ )()( β)

β

α

β

α

β

αdxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

γ) β

α

β

α

β

αdxxgμdxxfλdxxgμxfλ )()()]()([

δ) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και , , , τότε ισχύει :

β

γ

γ

α

β

αdxxfdxxfdxxf )()()(

ε) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ],[ βα . Αν 0)( xf για κάθε ],[ βαx και

η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε β

αdxxf 0)( .

86. Τι γνωρίζετε για τη συνάρτηση ( ) ( )x

F x f t dt

; Ποια είναι η παράγωγος

της ; Στη συνέχεια να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της.

Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η

συνάρτηση x

αdttfxF )()( , Δx , είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει:

( ) ( ) ( )x

F x f t dt f x

, για κάθε Δx .

Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει ως εξής:

hx

xdttfxFhxF )()()( Εμβαδόν του χωρίου Ω.

hxf )( , για μικρά 0h .Άρα, για μικρά 0h είναι

)()()(

xfh

xFhxF

,οπότε )(

)()(lim)(

0xf

h

xFhxFxF

h

87. Έστω ( )f x µια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστηµα [ , ] .

Αν G είναι µια παράγουσα της ( )f x στο[ , ] , τότε

( ) ( ) ( )f t dt G G

Απόδειξη

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση x

αdttfxF )()( είναι μια παράγουσα της

f στο ],[ βα . Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο ],[ βα , θα υπάρχει c R τέτοιο,

ώστε : cxFxG )()( (1)

Από την (1), για αx , έχουμε α

αccdttfcαFαG )()()( , οπότε )(αGc .

βxαO

x

F(x) f(x)

y=f (x)

y

Επομένως, )()()( αGxFxG ,

οπότε, για βx , έχουμε β

ααGdttfαGβFβG )()()()()(

και άρα β

ααGβGdttf )()()( .

88. Να γράψετε τους τύπους της παραγοντικής ολοκλήρωσης και της αντικατάστασης για

το ορισμένο ολοκλήρωμα.

α) Ισχύει ότι :

f (x)g (x)dx [f (x)g(x)] f (x)g(x)dx

,

όπου gf , είναι συνεχείς συναρτήσεις στο ],[ βα .

β) Ισχύει ότι :

2

1

u

uf (g(x))g (x)dx f (u)du

,

όπου gf , είναι συνεχείς συναρτήσεις, )(xgu , dxxgdu )( και )(1 αgu , )(2 βgu .

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Από το θεώρημα ύπαρξης αρχικής συνάρτησης (παράγουσας) και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτουν τα παρακάτω :

(με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα)

►

x

x

f t dt f t dt f g x g x

►

g x

f t dt f g x g x

►

g x g x s x

s x

f t dt f t dt f t dt f g x g x f s x s x

Όταν η μεταβλητή x ,είναι μέσα στο ολοκλήρωμα

►Η μεταβλητή x μέσα στο ολοκλήρωμα θεωρείται σταθερά ως προς την μεταβλητή ολοκλήρωσης t .Προσοχή όμως γιατί στην παραγώγιση είναι μεταβλητή !

Έτσι λοιπόν έχουμε :

x x x x x

xf t dt x f t dt x f t dt x f t f t dt xf x

►Αν η μεταβλητή x μέσα στο ολοκλήρωμα βρίσκεται μέσα στον τύπο της συνάρτησης ,τότε η εξαγωγή της από το ολοκλήρωμα γίνεται με την μέθοδο της αντικατάστασης.

Έτσι λοιπόν έχουμε :

● f x t dt

θέτουμε x t u κλπ

● f xt dt

θέτουμε x t u κλπ

89. Α. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που

ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες x , x και τον

άξονα x x ,όταν ( ) 0f x για κάθε [ , ]x και η συνάρτηση ( )f x είναι

συνεχής .

Β. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που

περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες x , x

Α. Ισχύει : ( ) | ( ) | E f x dx

Β. Ισχύει : ( ) | ( ) ( ) | E f x g x dx

90. Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις ,f g είναι ( ) ( )f x g x για κάθε

[ , ]x , τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες x , x δίνεται από τον τύπο :

( ) ( ( ) ( )) E f x g x dx

Απόδειξη

Έστω, τώρα, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα ],[ βα με 0)()( xgxf για κάθε

],[ βαx και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των gf , και τις

ευθείες αx και βx

Ω

O x

y=g(x)

y=f (x)y

ΣΗΜΑΝΤ

Α. Χωρίο που ορίζεται α

x=α και x=β

1. Αν f(x)0 , για κάθε

τότε f x dx

2. Αν f(x) 0 , για κάθε

τότε f x dx

3.Αν η f δεν διατηρεί π τότε το εμβαδό είναι τ εμβαδών των χωρίων που η f είναι θετική ή

γ δ

α γ

Ε Ω f(x)dx+ -f(x)d όπου γ ,δ οι ρίζες της f

Β. Χωρίο που ορίζεται α

ευθείες x=α και x=β

Όταν η διαφορά ( )f x g

του χωρίου Ω που περι

x και x είναι ίσο

Παρατηρούμε ότι

β

α

β

α

β

αdxxgxfdxxgdxxfΩΕΩΕΩΕ ))()(()()()()()( 21 .

Επομένως, β

dxxgxfΩE ))()(()(

ΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΧΩΡΙΟΥ

πό την γρ. παράσταση της f , τον άξονα χ΄χ , και τις ευθείες

x α,β

x α,β

ρόσημο στο [α , β] ο άθροισμα των στα διαστήματα αρνητική.

β

δ

x+ f(x)dx στο διάστημα [α ,β]

πό τις γρ. παραστάσεις τω

( )x δεν διατηρεί σταθερό π

κλείεται από τις γραφικές

με ( ) | ( ) ( ) |E f x g x d

α

ν f ,g , τον άξονα χ΄χ , και τις

ρόσημο στο [ , ] , τότε το εμβαδόν

παραστάσεις των ,f g και τις ευθείες

x

Β Πανελλαδικές Εξετάσεις 2000 - 2012

Θέματα Θεωρίας

1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ݖଵ,ݖଶ. Να αποδείξετε ότι ݖଵ+ݖଶതതതതതതതത= ଵഥݖ + ଶഥݖ .

(Επαναληπτικές 2000) (Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 91)

2. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ݖଵ,ݖଶ. Να αποδείξετε ότι |ݖଵݖଶ| = .|ଶݖ||ଵݖ| (2001, 2007)

(σελ. 98)

3. Πότε δύο συναρτήσεις , λέγονται ίσες; (2007, επαναληπτικές 2012) (σελ. 141)

4. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ܣ παρουσιάζει στο ݔ ∈ ,μέγιστο (ολικό) ܣ

το (ݔ); (Επαναληπτικές 2010). (σελ. 150)

5. Πότε μια συνάρτηση :ܣ → λέγεται “1-1”; (Επαναληπτικές 2005) (σελ. 151)

6. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ߚ,ߙ];

(2008, 2012) (σελ. 191)

7. Έστω μια συνάρτηση , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ߚ,ߙ]. Αν η είναι

συνεχής στο [ߚ,ߙ] και (ߙ) ≠ (ߚ) και (ߙ) μεταξύ των ߟ δείξτε ότι για κάθε αριθμό ,(ߚ)

υπάρχει τουλάχιστον ένα, ݔ (ݔ) τέτοιο, ώστε (ߚ,ߙ) = (σελ. 194) (2005) .ߟ

8. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της;

(2004, 2009, Επαναληπτικές 2010) (σελ. 213)

9. Aν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο ݔ του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η

εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο ݔ)ܣ, .((ݔ)

(2000) (σελ. 214)

10.Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ݔ, τότε είναι και

συνεχής στο σημείο αυτό. (2000, 2003, Επαναληπτικές 2007, 2009) (σελ. 217)

11.Έστω η συνάρτηση με (ݔ) = ,Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο (0 .ݔ√ +∞)

και ισχύει ᇱ(ݔ) =ଵ

ଶ√௫ (Επαναληπτικές 2005, 2009) (σελ. 224)

12.Αν οι συναρτήσεις , είναι παραγωγίσιμες στο ݔ, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση +

είναι παραγωγίσιμη στο ݔ και ισχύει (+ )ᇱ(ݔ) = ᇱ(ݔ) + ᇱ(ݔ). (δεν έχει πέσει ως

τώρα) (σελ. 227)

13.Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση (ݔ) = ,|ݔ| ∋ݔ ∗ είναι παραγωγίσιμη στο ∗ και ισχύει

( =ᇱ(|ݔ|ଵ

௫ , (2008) (σελ. 235)

14.Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle. (Επαναληπτικές 2012) (σελ. 246)

15.Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού;

(Επαναληπτικές 2007) (σελ. 246)

16.Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού;

(Επαναληπτικές 2008) (σελ. 247)

17.Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ߂. Αν η είναι συνεχής στο ߂ και

ᇱ(ݔ) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο ݔ του ߂, τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε

όλο το διάστημα ߂. (Επαναληπτικές 2004) (σελ. 251)

18.Έστω , συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα ߂. Αν οι , είναι συνεχείς στο ߂ και

ᇱ(ݔ) = τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά ,߂ του ݔ για κάθε εσωτερικό σημείο ʹ(ݔ)ʹ′ʹ

τέτοια ώστε για κάθε ݔ∈ (ݔ) να ισχύει ߂ = (ݔ) + . (Δεν έχει πέσει, ως τώρα) (σελ.251)

19. Έστω μια συνάρτηση , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ߂. Να αποδείξετε ότι αν

ᇱ(ݔ) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ݔ του ߂, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

(2006, 2012, Επαναληπτικές 2000) (σελ. 253)

20.Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού ܣ. Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο ݔ ∈ τοπικό ܣ

μέγιστο; (2012) (σελ. 258)

21.Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ࢤ και ݔ ένα εσωτερικό σημείο του

και είναι παραγωγίσιμη στο σημείοݔ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Αν η .ࢤ

αυτό, να αποδείξετε ότι ᇱ(ݔ) = 0. (2004, 2009, 2011) (σελ. 260, 261)

22.Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (ߚ,ߙ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του ݔ, στο οποίο όμως η είναι συνεχής. Αν ᇱ(ݔ) > 0 στο (ݔ,ߙ) και ᇱ(ݔ) < 0 στο

.είναι τοπικό μέγιστο της f (ݔ) τότε να αποδείξετε ότι το ,(ߚ,ݔ)

(Επαναληπτικές 2012) (σελ. 262)

23.Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα ࢤ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ࢤ.

Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο (2006) ;ࢤ (σελ. 273)

24.Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ’ ένα διάστημα ࢤ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ࢤ.

Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο (2010) ;ࢤ (σελ. 273)

25.Πότε η ευθεία ݔ= λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςݔ

συνάρτησης ; (2010) (σελ. 279)

26.Πότε η ευθεία ݕ= λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο +∞;

(2007) (σελ. 280)

27.Πότε η ευθεία ݕ= +ݔߣ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ߚ

στο +∞; (2005, 2011) (σελ. 280)

28.Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ࢤ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή

παράγουσα της στο ࢤ; (Επαναληπτικές 2006, 2011) (σελ. 303)

29.Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ࢤ. Αν ܨ είναι μια παράγουσα της στο ࢤ,

να αποδείξετε ότι: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής: (ݔ)ܩ = (ݔ)ܨ + , είναι

παράγουσες της στο ࢤ και β) κάθε άλλη παράγουσα ܩ της στο ࢤ παίρνει τη μορφή

(ݔ)ܩ = (ݔ)ܨ + , . (2010, Επαναληπτικές 2001, 2003) (σελ. 304)

30.Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές

ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος: α) ∫ ߣ ݔ(ݔ)ఉ

ఈ= ………………………………..……..

β) ∫ ( (ݔ) + ݔ((ݔ)ఉ

ఈ= …………………… γ) ∫ ߣ] (ݔ) + ߤ [(ݔ) ݔ

ఉ

ఈ= ………………………

όπου ߤ,ߣ ∈ και , συνεχείς συναρτήσεις στο [ߚ,ߙ]. (Επαναληπτικές 2001) (σελ. 305)

31.Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [ߚ,ߙ]. Αν ܩ είναι μια παράγουσα της στο

∫ τότε να δείξετε ότι ,[ߚ,ߙ] ݐ(ݐ)ఉ

ఈ= (ߚ)ܩ − (σελ. 335) (Επαναληπτικές 2008 ,2002) .(ߙ)ܩ

32.Να αποδείξετε ότι: (ߪ =ᇱ(ݔߥ ,ݔߤߟ− ݔ ∈ . (Επαναλ. 2006, 2011) (Εκτός Ύλης για το 2012)

33.Να αποδείξετε ότι: (ݔߤߟ)ᇱ= ߪ ,ݔߥ ∋ݔ . (Επαναληπτικές 2010) (Εκτός Ύλης για το 2012)

Γ Το Σ-Λ των Πανελλαδικών Εξετάσεων

2000 – 2012

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

01. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους.

02. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών ,z z είναι σημεία συμμετρικά ως προς

τον άξονα 'x x .

03. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους.

04. Αν , πραγματικοί αριθμοί, τότε ή 0 0 0 i .

05. Όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης 2 0 z z , όπου , ,

και 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών.

06. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του , τότε ισχύει

z z z .

07. Για κάθε μιγαδικό z ισχύει 2 2z z .

08. Για κάθε μιγαδικό z ισχύει:

α) 2z zz β) 2 2z z γ) z z δ) z z ε) i z z

09. Αν ,1 2z z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα

1 2 1 2 1 2 z z z z z z .

10. Αν ,1 2z z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: 1 2 1 2 z z z z .

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 11. Αν για δύο συναρτήσεις ,f g ορίζονται οι f g και g f , τότε είναι

υποχρεωτικά f g g f .

12. Αν ,f g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το και ορίζονται οι

συνθέσεις f g και g f , τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.

13. Μια συνάρτηση : f είναι συνάρτηση 1-1, αν και μόνον αν για

οποιαδήποτε ,1 2 x x ισχύει η συνεπαγωγή:

αν 1 2x x , τότε ( ) ( )1 2f x f x .

14. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x που

διχοτομεί τις γωνίες xOy και ' 'x Oy .

15. Αν μια συνάρτηση : f είναι 1-1, τότε για την αντίστροφη

συνάρτηση 1f ισχύει:

( ( ))1 f f x x , x , και ( ( ))1 f f y y , ( ) y f

16. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f και η γραφική παράσταση της f

έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει και στη

γραφική παράσταση της 1f .

17. Μια συνάρτηση : f είναι 1-1, αν και μόνον αν για κάθε στοιχείο

y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) f x y έχει ακριβώς μια λύση ως

προς x .

18. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1 1 στο πεδίο ορισμού της είναι γνήσια μονότονη.

19. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 1 , αλλά δεν είναι γνήσια μονότονες.

20. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής ( , ) ( , )0 0x x

και l ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία:

lim ( ) lim( ( ) )0 0

0

x x x x

f x l f x l .

21. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0x και lim ( )0

0

x x

f x , τότε

lim ( )0

0

x x

f x .

22. Αν υπάρχει το όριο lim ( )0

0

x x

f x , τότε ( ) 0f x κοντά στο 0x .

23. lim ( )0

x x

f x , αν και μόνον αν lim ( ) lim ( )0 0

x x x x

f x f x .

24. Αν υπάρχει το lim( ( ) ( ))0

x x

f x g x , τότε κατ΄ ανάγκη υπάρχουν τα lim ( )0x x

f x

και lim ( )0x xg x .

25. Αν υπάρχει το όριο της f στο 0x , τότε lim ( ) lim ( )0 0

x x x x

f x f x , εφ’

όσον ( ) 0f x κοντά στο 0x , με και 2 .

26. Αν lim ( )0

0

x x

f x και ( ) 0f x κοντά στο 0x , τότε lim( )0

1

x x f x

.

27. Αν 1 τότε lim 0

x

x .

28. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής

στο 0x , τότε η σύνθεση τους g f είναι συνεχής στο 0x .

29. Αν η f είναι συνεχής στο [ , ] με ( ) 0f και υπάρχει ( , )

ώστε ( ) 0f , τότε κατ’ ανάγκη ( ) 0f .

30. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ , ] και υπάρχει

( , )0 x τέτοιο ώστε ( )0 0f x , τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει

( ) ( ) 0f f .

31. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’

αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ή είναι αρνητική για κάθε x , δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ.

32. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα

στα οποία χωρίζουν οι ρίζες της f το πεδίο ορισμού της.

33. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [ , ] και συνεχής στο ( , ] ,

τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ , ] μια μέγιστη τιμή.

34. Η εικόνα ( )f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής

συνάρτησης f είναι διάστημα.

35. Η εικόνα ( )f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f

είναι διάστημα.

36. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό

διάστημα ( , ) , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το

διάστημα ( , ) όπου lim ( )

x

f x

και lim ( )

x

f x

.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

37. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f είναι πάντα συνεχής στο 0x .

38. Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0x , τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

39. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο 0x , τότε η f είναι συνεχής στο 0x .

40. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού

της τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

41. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η συνάρτηση

f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 f g x f x g x .

42. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο 0x και ( )0 0g x , τότε η

συνάρτηση f

g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

0 0 0 00 2

0

f x g x f x g xfx

g g x.

43. Για κάθε 0x ισχύει ln1 xx

.

44. Ισχύει ο τύπος ( ) 13 3 x xx , για κάθε x .

45. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη,

τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [ , ] , στο οποίο η f ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

46. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και

παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Αν η f είναι γνησίως

αύξουσα στο Δ τότε ( ) 0 f x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

47. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν

( ) 0 f x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνήσια

φθίνουσα σε όλο το Δ.

48. Έστω δύο συναρτήσεις ,f g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι ,f g

είναι συνεχείς στο Δ και ( ) ( ) f x g x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε ισχύει ( ) ( )f x g x για κάθε x Δ.

49. Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται

ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο

διάστημα Δ.

50. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό

σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ( )0 0 f x , τότε η

f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο 0x .

51. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ , ] και

σημείο [ , ]0 x στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα

ισχύει ότι ( )0 0 f x .

52. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( , ) , με

εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν

( ) 0 f x στο ( , )0x και ( ) 0 f x στο ( , )0x , τότε το ( )0f x είναι

τοπικό ελάχιστο.

53. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές

παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν ( ) 0 f x για κάθε εσωτερικό

σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

54. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα

κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει ( ) 0 f x για κάθε

πραγματικό αριθμό x .

55. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( , ) , με

εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x . Αν η f είναι κυρτή στο ( , )0x και

κοίλη στο ( , )0x ή αντιστρόφως , τότε το σημείο ( , ( ))0 0 x f x είναι

υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f .

56. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται πάνω από τη

γραφική της παράσταση.

57. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω από τη

γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

58. Για κάθε συνάρτηση f , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει

( ) ( ) f x dx f x c , c .

59. Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ και * , τότε

ισχύει ( ) ( ) f x dx f x dx .

60. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , τότε

( ) ( ) ( ) f x dx xf x xf x dx .

61. Αν ,f g δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx .

62. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και , , , τότε ισχύει:

( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx

.

63. Αν f συνάρτηση συνεχής στο [ , ] και για κάθε [ , ]x ισχύει

( ) 0f x τότε ( ) 0 f x dx

.

64. Αν ( ) 0 f x dx

, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι ( ) 0f x για κάθε

[ , ]x .

Οι

ερω

τήσ

εις

58

-61

πο

υ α

ναφ

έρο

ντα

ι σ

το α

όρ

ιστο

ολο

κλή

ρω

μα

,

δεν

ανή

κου

ν σ

τη ύ

λη 2

01

2-2

01

3

65. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ] . Αν G είναι μια

παράγουσα της f στο [ , ] , τότε ( ) ( ) ( ) f t dt G G

.

66. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ] . Αν G είναι μια

παράγουσα της f στο [ , ] , τότε ( ) ( ) ( ) f t dt G G

.

67. Ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx

, όπου

, f g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ , ] .

68. Αν , , f g g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [ , ] , τότε

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx

.

69. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα

σημείο του Δ, τότε ισχύει ( ) ( ) ( )

x

f t dt f x f

για κάθε x .

70. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα

σημείο του Δ, τότε ισχύει ( ) ( )

x

f t dt f x

για κάθε x .

71. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα

σημείο του Δ, τότε ( )

( ) ( ( )) ( )

g x

f t dt f g x g x

με την προϋπόθεση ότι

τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.

72. Το ολοκλήρωμα ( ) f x dx

είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των

χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα 'x x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 'x x .

Δ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ

1. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα

1 2 1 2 1 2z z z z z z .

2. Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο xo ένα πραγματικό αριθμό .

Αναγκαστικά το xo ανήκει στο πεδίο ορισμού.

3. Αν z = α + βi=0 τότε α = 0 ή β = 0.

4. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και _z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z

5. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν

o

o

x xo

f(x) f(x )lim α

x x

με R.

6. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε ισχύει 2f f(x) f (x)

.

7. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ox x

lim f(x)

τότε η f δεν είναι συνεχής στο xo.

8. Έστω f (x) = (x – 2013)2 .Τότε η f έχει σημείο καμπής στο xo = 2013 .

9. Αν z∈ℂ τότε z z 0 0

10. Αν η f είναι συνεχής και παραγωγισιμη στο , ,τότε ισχύει

f(x) xf(x) xf (x)dxdx

.

11. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f(α) ≠ f(β) όπου α, β με α <

β, τότε ισχύει f΄(x) ≠ 0 για κάθε x , .

12. Αν z = x + yi τότε 2 2 2 2

1 x yi

z x y x y

.

13. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει o ox x x x

lim f(x) lim f(x)

και το xo ανήκει στο πεδίο ορισμού

της τότε η f είναι συνεχής στο xo.

14. Για τη συνάρτηση 1

f(x) , x 0x

, ισχύει 2

1f (x) 0

x για κάθε x * . Επομένως

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R*.

15. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού έχει οπωσδήποτε ένα σημείο

καμπής.

16. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 – 1 τότε κατ΄ανάγκη και η συνάρτηση fog είναι 1-1.

17. Αν ισχύει o

o

x xo

f(x) f(x )lim

x x

, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο xo.

18. Έστω F, G δύο παράγουσες της f στο διάστημα Δ, τότε ισχύει F(x) = G(x) – c για

κάθε χΔ ,όπου cR .

19. Αν z1, z2∈ℂ ισχύει z z z z 1 2 1 2

20. Αν η συνάρτηση f είναι 1 – 1, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R και

ισχύει f(g(x)) = f(h(x)) για κάθε xR, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες.

21. Το όριο μιας συνάρτησης f στο xo εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο

σημείο αυτό.

22. Aν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α) = f(β)

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο xo εσωτερικό του διαστήματος [α, β], στο οποίο η

εφαπτομένη της καμπύλης της f είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

23. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση τετάρτου βαθμού έχει τουλάχιστον ένα σημείο

καμπής.

24. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο R τότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

25. Αν t

2

αf(t) x x 2xdx τότε

t2 2

αx x 2xdx xf(t) .

26. Αν z1z2 C με Re(z1 – z2) = 0 τότε Re(z1) = Re(z2).

27. Έστω f συνεχής στο xo τότε o

ox xlim κf(x) λ κf(x ) λ

.

28. Ισχύει ότι 1 2010

0 02010 f(2010x)dx f(x)dx .

29. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό

ελάχιστο της f.

30. Έστω f παραγωγίσιμη στο [α, β] με f(β) < f(α), τότε υπάρχει xo (α, β) τέτοιο ώστε

f΄(xo) < 0 .

31. Μια συνάρτηση f μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο και σε σημείο xo στο οποίο δεν

είναι συνεχής.

32. Ισχύει z1 = z2 Z 1 2 .

33. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και xoR τότε για κάθε xR υπάρχει

τουλάχιστον ένα ξR τέτοιο ώστε f(x) – f(xo) = f΄(ξ) (x – xo).

34. Αν η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε σε κάθε σημείο της Cf η εφαπτομένη

είναι «κάτω» από την Cf

35. Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια τότε δεν είναι γνησίως μονότονη.

36. Ισχύει α α

0 0xf (x)dx αf(α) f(x)dx .

37. Αν η συνάρτηση f είναι 1 – 1 τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και f –1 έχουν τα

κοινά τους σημεία πάνω στην ευθεία ψ = x.

38. Aν η f είναι παραγωγίσιμη στο xο τότε ισχύει

o o o o

0 0

f(x h) f(x ) f(x h) f(x )lim lim

h hh h

.

39. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. Αν ο λόγος f ( x ) f ( x )

x x

1 2

1 2

είναι θετικός για κάθε x1, x2 Δ με x1 ≠ x2, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο

Δ .

40. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο xο = 2012 τότε ισχύει f (2012) f(2012)

41. Έστω f παραγωγίσιμη στο [α, β], τότε υπάρχει xo (α, β) ώστε η εφαπτομένη στο

o oA x , f ( x ) να έχει συντελεστή διεύθυνσης f(β) f(α)

λβ α

.

42. Η συνάρτηση f(x) = (x – 2008)2 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο xo = 2008.

43. Έστω f συνεχής στο [–1, 4] τότε ισχύει 2 0 4 4

1 1 0 2f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

.

44. Έστω η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και f –1

τέμνονται σε σημεία της ευθείας ψ = x .

45. Έστω συνάρτηση f για την οποία ορίζεται η εφαπτομένη στο σημείο Μ (xο, f(xο)) της

Cf, τότε η εφαπτομένη δεν τέμνει την Cf σε άλλο σημείο.

46. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και f(2) < f(3) τότε η f είναι γνησίως

αύξουσα.

47. Αν οι f, g δεν είναι συνεχείς στο xo τότε και η συνάρτηση f · g δεν είναι συνεχής

στο xo

48. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τότε υπάρχει διάστημα [α, β]για το οποίο ισχύει το θεώρημα μέσης τιμής.

49. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση -f

είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

50. Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f, τότε μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f,

υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f΄.

51. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο με f ( x) > 0 για 2 < x < 7.Αν f(3) = 5, τότε

μπορεί να ισχύει f(5) = 4.

52. Έστω f συνεχής στο [α, β] τότε ισχύει β α α

α β βf(x)dx- f(x)dx 2 f(x)dx .

53. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ είναι συνεχής και 1 – 1 σ’ αυτό

τότε και η συνάρτηση f –1 είναι συνεχής στο f(Δ).

54. Το σημείο Α o ox ,f(x ) είναι σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, όταν η f αλλάζει

πρόσημο εκατέρωθεν του xo

55. Aν z1 + z2 R τότε ισχύει Im(z1) = Im(z2).

56. Αν β

αf(x)dx 0 και η f δεν είναι παντού μηδέν στο [α, β], τότε η f παίρνει δύο

τουλάχιστον ετερόσημες τιμές.

57. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με f(α) = f(β) και

f΄΄(x) > 0 για κάθε x [α, β] τότε η εξίσωση f ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β).

58. Η εξίσωση z i 2 3 4 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(–2, 3) και

ακτίνα 2.

59. Κάθε συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [α, β] έχει

μέγιστο το f(β) και ελάχιστο το f(α).

60. Αν μια συνάρτηση έχει οριζόντια ασύμπτωτη όταν x → +∞, τότε δεν έχει

πλάγια όταν x

61. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, η οποία είναι 1 – 1. Τότε ισχύει:

f(f –1(x)) = x για κάθε x A .

62. Αν z i 6 2008 9 , τότε η εικόνα του z είναι σημείο του κυκλικού δίσκου με

κέντρο το (6, -2008) και ακτίνα 9.

63. Αν x 0

f(x)lim

x τότε

x 0

f(2008x)lim 2008 α

x

64. Αν η συνάρτηση f · g είναι παραγωγίσιμη στο xο τότε και οι συναρτήσεις f, g είναι

παραγωγίσιμες στο xο

65. Ισχύει g(x)

αf(t)dt f g(x)

.

66. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 – 1.

67. Έστω συνάρτηση f για την οποία δεν ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος Rolle.Τότε μπορεί να υπάρχει xο του πεδίου ορισμού της f ώστε f΄(xο) = 0.

68. Η συνάρτηση f ( x )x

2008

2 είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο A ( , ) ( , ) 2 2

69. Aν Δ < 0 τότε η εξίσωση αz2 + βz + γ = 0 με α ≠ 0 είναι αδύνατη στο σύνολο C.

70. Aν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 έχει ρίζα το 2008 + i τότε έχει ρίζα και το 2008 – i.

71. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο R τότε η συνάρτηση fog είναι

γνησίως φθίνουσα στο R.

72. Αν f(x) ≥ g(x) κοντά το xo τότε o ox x x x

lim f(x) lim g(x)

.

73. Για τους μιγαδικούς z ,z1 2 ισχύει ότι Re(z1z2) = Re(z1) Re(z2)

74. Αν o ox x x x

lim f(x) , lim g(x)

τότε ox x

lim f(x) g(x)

75. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g στο [α, β] για τις οποίες ισχύει f(α)=g(α)

και f(β) = g(β), τότε υπάρχει xο (α, β) ώστε στα σημεία o oA x ,f(x ) και o oB x ,g(x ) οι

εφαπτόμενες να είναι παράλληλες.

76. Έστω f συνεχής στο [α, β] και f(x) ≠ 0 για κάθε x (α, β). Αν υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο

ώστε

f(ξ) < 0 , τότε f(x) < 0 για κάθε x (α, β).

77. Αν η f έχει πεδίο ορισμού το R τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

78. Ισχύει i2000 + i2001 + i2002 + i2003 + i2004 = 1

79. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo με f(xo) ≠ 0 τότε κοντά στο xo οι τιμές της f

είναι ομόσημες του f(xo).

80. Η συνάρτηση f(x) = εφx δεν έχει όριο στο o

πx

2

81. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε και η

αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ.

82. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat, τότε

υπάρχει xο στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι οριζόντια.

83. Ισχύει 2 21 2 1 2 1 2Z 0 0 , z ,z CZ z z

84. Οι εικόνες των μιγαδικών z, , z,z z είναι κορυφές ορθογωνίου.

85. Αν η f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) τότε το σύνολο τιμών της f είναι το

σύνολο x 0 xlimf(x), lim f(x),

86. Αν f(x) > 0 για κάθε xR και f συνεχής, τότε ισχύει ln2

1f(x)dx 0

87. Αν η f συνεχής στο R και α < β < γ και είναι f(α) = f(γ) = -1 f(β) = 1, τότε υπάρχουν

δύο τουλάχιστον x1, x2 (α, γ) ώστε f(x1) = f(x2).

88. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο xο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο xο

89. Αν f συνεχής συνάρτηση στο R τότε ισχύει α

xf(t)dt f(x)

90. Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle

σε ένα [α, β] και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής.

91. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο xο, τότε δεν είναι συνεχής στο xο

92. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι μέγιστο αυτής.

93. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ox (α, β) με of ( x ) = 0 τότε το of ( x )

είναι τοπικό ακρότατο της f.

94. Αν η ευθεία ψ = 2000x + 2008 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ της Cf τότε ισχύει

xlim f(x) x 2008

2000 .

95. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και η εφαπτόμενη της fC στο

ox (α, β) είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ , τότε το x0 είναι κατ’ ανάγκη θέση

τοπικού ακροτάτου.

96. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη της γραφικής της

παράστασης σε κάθε σημείο του διαστήματος Δ δεν βρίσκεται πάνω από την fC .

97. Έστω σταθερά c τότε ισχύει c dx c dx 2 2012

0 2010

98. Ισχύει g(x)

αf(t)dt f g(x) (x)g

99. Αν z1, z2∈ℂ ισχύει z z z z 1 2 1 2

100. Αν η f ,g είναι συνεχείς και παραγωγισιμες στο , ,τότε ισχύει

f (x)g f(x)g f(x)g dxx dx x x

.

100.Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση 1 1 , αν και μόνο αν για

οποιαδήποτε x 1 , x 2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x 1 = x 2 , τότε f(x 1 ) = f(x 2) .

101. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ∆ και α είναι ένα σημείο του

∆, τότε ισχύει

'x

f (t )dt f ( x ) f (a)

για κάθε x∆.

102. Αν f συνεχής στο [α, β] με f (t )dt

0 , τότε αναγκαστικά α=β ή f(x)=0 για κάθε

x [α, β].

103. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι δυό φορές παραγωγίσιμες τότε η παράγουσα της

συνάρτησης f ''( x)g''( x ) είναι η f ( x)g( x) c , c IR.

104. Αν f(x) 0 για κάθε x IR, τότε ln

f ( x )dx 2

1

0

105. Αν f ( x )dx 5

0

10 , το ελάχιστο της f στο διάστημα [0, 5] δεν μπορεί να είναι το 3.

106. Η συνάρτηση f(x)=ln x

x

2

1

1 δεν έχει παράγουσα στο διάστημα [1, + ).

107. Η συνάρτηση f(x)=x

1 είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

108. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f με f ΄(x)>0 για 2<x<7. Αν f(3)=5, τότε μπορεί να

ισχύει f(5)=4.

109. Αν f ( x ) , x R 0 , τότε η f ( x ) είναι 1-1

110. Ισχύει η ισοδυναμία : f ( x ) g( x ) c , x R f ( x ) g ( x ) , x R

111. Αν f : [a,b] R και f ( x ) , x [a ,b] 0 , τότε σύνολο τιμών της f είναι το

διάστημα [ f (a), f (b)] Αν f ( x ) g ( x ) , x R τότε f ( x ) g( x ) , x R

112.Αν f , g παραγωγίσιμες στο R και x x

f ( x )im

g ( x)

0

δεν υπάρχει, τότε επίσης και

το x x

f ( x )im

g( x)

0

δεν υπάρχει

113. Αν f,g συνεχείς στο Δ , a, , , τότε :a a

f (t )dt g(t )dt ( f (t ) g(t ))dt