ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - askisopolis.gr G LYKEIOY 3 EKDOSI ΠΑΥΛΟΣ.pdf · ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Παύλος Βασιλείου

1

Σε όλους αυτούς που παλεύουν για

έναν καλύτερο κόσμο.

1

ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ∆ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση;

Έστω Α ένα υποσύνολο τουℝ . Ονομάζουμε πραγματική

συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με

την οποία κάθε στοιχείο Ax ∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο

πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και

συμβολίζεται με )(xf .

2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και

• για κάθε Ax ∈ ισχύει )()( xgxf = .

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε

gf = .

3. Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων;

Ορίζουμε ως άθροισμα gf + , διαφορά g-f , γινόμενο fg και

πηλίκο g

f δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους

)()())(( xgxfxgf +=+

)()())(( xgxfxgf −=−

)()())(( xgxfxfg =

)(

)()(

xg

xfx

g

f=

.



Το πεδίο ορισμού των gf + , gf − και fg είναι η τομή BA∩ των

πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το

πεδίο ορισμού της g

f είναι το BA∩ , εξαιρουμένων των τιμών του x

που μηδενίζουν τον παρονομαστή )(xg , δηλαδή το σύνολο

Axx ∈| και Bx ∈ , με 0)( ≠xg .

4. Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε

ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof , τη

συνάρτηση με τύπο

))(())(( xfgxgof = .

g f

g(B) A

g

B f(A)

f

A1

g(f (x))

f(x)

x

Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του

πεδίου ορισμού της f για τα οποία το )(xf ανήκει στο πεδίο ορισμού

της g. Δηλαδή είναι το σύνολο

)(|1 BxfAxA ∈∈= .

Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν ∅≠1A , δηλαδή αν

∅≠∩ BAf )( .



ΣΧΟΛΙΑ

• Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog ,

τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες.

• Αν hgf ,, είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η )(gofho , τότε

ορίζεται και η ofhog)( και ισχύει ofhoggofho )()( = .

Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε

με hogof . Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες

από τρεις συναρτήσεις.

5. Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως

φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέγεται:

• γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:

)()( 21 xfxf < (Σχ. α)

• γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε ∆xx ∈21 , με 21 xx < ισχύει:

)()( 21 xfxf > (Σχ. β)

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως

γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως

f Δ).

∆

Ο

(a)

x2 x1 x

y

f (x2)

f (x1)

∆

Ο x2 x1

f (x1)

f (x2)

x

y

(β)



6. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε

ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) μέγιστο, το )( 0xf , όταν

)()( 0xfxf ≤ για κάθε Ax ∈ (Σχ. α)

• Παρουσιάζει στο Ax ∈0 (ολικό) ελάχιστο, το )( 0xf , όταν

)()( 0xfxf ≥ για κάθε Ax ∈ (Σχ. β).

(a) C f

f (x0)

f (x)

O x

y

x0 x

(β)

C f

f (x0)

f (x)

O x

y

x0 x

7. Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1;

Μια συνάρτηση :f A →ℝ λέγεται συνάρτηση 11− , όταν για

οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:

αν 21 xx ≠ , τότε )()( 21 xfxf ≠ .

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση :f A → ℝ είναι συνάρτηση 11− , αν και

μόνο αν για οποιαδήποτε Axx ∈21 , ισχύει η συνεπαγωγή:

αν )()( 21 xfxf = , τότε 21 xx = .



ΣΧΟΛΙΑ

• Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι

11− , αν και μόνο αν:

— Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση yxf =)(

έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

— Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια

τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη

γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. α).

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x2 x1

B A

x

y

συνάρτηση όχι 1-1

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς,

είναι συνάρτηση "11" − .

8. Δικαιολογήστε γιατί οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και

-1f είναι συμμετρικές ως προς την

ευθεία y x= που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x Oy′ ′.

Ας πάρουμε τώρα μια −1 1 συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις

γραφικές παραστάσεις C και C′ των f και της 1f − στο ίδιο

σύστημα αξόνων . Επειδή

( ) ( )f x y f y x−= ⇔ =1,

αν ένα σημείο ( , )M α β ανήκει στη γραφική παράσταση C της f ,



τότε το σημείο ( , )β α′Μ θα ανήκει

στη γραφική παράσταση C′ της

1f − και αντιστρόφως. Τα σημεία,

όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως

προς την ευθεία που διχοτομεί τις

γωνίες xOy και x Oy′ ′ . Επομένως:

Oι γραφικές παραστάσεις C και C′

των συναρτήσεων f και1f −είναι

συμμετρικές ως προς την ευθεία

y x= που διχοτομεί τις γωνίες

xOy και x Oy′ ′ .

9. Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;

Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 10

• Αν 0)(lim0

>→

xfxx , τότε 0)( >xf κοντά στο 0x

• Αν 0)(lim0

<→

xfxx , τότε 0)( <xf κοντά στο 0x

ΘΕΩΡΗΜΑ 20

Αν οι συναρτήσεις gf , έχουν όριο στο 0x και ισχύει

)()( xgxf ≤ κοντά στο 0x , τότε )(lim)(lim00

xgxfxxxx →→

≤

10. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, . Αν

• )()()( xgxfxh ≤≤ κοντά στο 0x και

• ℓ==→→

)(lim)(lim00

xgxhxxxx ,τότε ℓ=

→)(lim

0xf

xx .

y=x

C΄

C

O x

M΄(β,α)

M(α,β) y



11. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 του

πεδίου ορισμού της;

Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού

της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0x , όταν )()(lim 00

xfxfxx

=→

.

12. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής;

Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου

ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση.

13. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β);

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό

διάστημα ),( βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του

),( βα .

14. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β];

• Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό

διάστημα ],[ βα , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ),( βα

και επιπλέον )()(lim αfxfαx

=+→

και )()(lim βfxfβx

=−→

15. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την

γεωμετρική του ερμηνεία.

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα .

Αν:

• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και, επιπλέον, ισχύει

• 0)()( <⋅ βfαf ,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε

0)( 0 =xf .



Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης 0)( =xf

στο ανοικτό διάστημα ),( βα .

Γεωμετρική ερμηνεία

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη

γραφική παράσταση μιας συνεχούς

συνάρτησης f στο ],[ βα . Επειδή τα

σημεία ))(,( αfαA και

))(,( βfβB βρίσκονται εκατέρωθεν

του άξονα xx′ , η γραφική

παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.

ΣΧΟΛΙΟ

Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε

μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ∆x ∈ ή

είναι αρνητική για κάθε ∆x ∈ , δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο

διάστημα Δ. (Σχ. 1)

y

f (x)>0

O β a x

(α)

y

f (x)<0

O β a

x

1

(β)

— Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από

το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το

πεδίο ορισμού της.

′′x0 ′x0 x0

y

B(β, f (β))

Α(α, f (α)) f (a)

f (β)

O β a

x



y

ρ5

ρ4 ρ3

ρ2

ρ1

+

− − +

− +

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για

τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός

γίνεται ως εξής:

α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές

ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f

στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f

στο αντίστοιχο διάστημα.

16. Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να

το αποδείξετε.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό

διάστημα ],[ βα . Αν:

• η f είναι συνεχής στο ],[ βα και

• )()( βfαf ≠

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας,

τουλάχιστον ),(0 βαx ∈ τέτοιος, ώστε ηxf =)( 0

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf < . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf <<

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ηxfxg −= )()( , ],[ βαx ∈ ,

παρατηρούμε ότι:



• η g είναι συνεχής στο ],[ βα και

• 0)()( <βgαg ,

αφού

0)()( <−= ηαfαg και

0)()( >−= ηβfβg .

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει

),(0 βαx ∈ τέτοιο, ώστε 0)()( 00 =−= ηxfxg , οπότε ηxf =)( 0 .

17. Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα

μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο ],[ βα , τότε η f παίρνει στο

],[ βα μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Δηλαδή, υπάρχουν ],[, 21 βαxx ∈ τέτοια, ώστε, αν )( 1xfm = και

)( 2xfM = , να ισχύει

Mxfm ≤≤ )( , για κάθε ],[ βαx ∈ .

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με

πεδίο ορισμού το ],[ βα είναι το κλειστό διάστημα ],[ Mm , όπου

m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

• Τέλος, αποδεικνύεται ότι:

′x0 x0 ′′x0

y

B(β, f (β))

f (a)

f (β)

O β

y=η η

a x

Α(α , f (α))



Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα

ανοικτό διάστημα ),( βα , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα

αυτό είναι το διάστημα ),( ΒΑ όπου

)(lim xfΑαx +→

= και )(lim xfB

βx −→=

.

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( βα ,

τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα

),( AB

Μορφή

Διαστήματος

Είδος

μονοτονίας

Σύνολο Τιμών

[ ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= α β

[ )A ,α β= f γνησίως αύξουσα )( ) ( ) , lim ( )x

f A f f x−→

= βα

( ]A ,α β= f γνησίως αύξουσα (( ) lim ( ) , ( )x

f A f x fα

β+→

=

( )A ,α β= f γνησίως αύξουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x

f A f x f x+ −→ →

=α β

[ ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα [ ]( ) ( ) , ( )f A f f= β α

[ )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα (( ) lim ( ) , ( )x

f A f x f−→

= βα

( ]A ,α β= f γνησίως φθίνουσα )( ) ( ) , lim ( )x

f A f f x+→

= αβ

( )A ,α β= f γνησίως φθίνουσα ( )( ) lim ( ) , lim ( )x x

f A f x f x− +→ →

=β α



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση:

22-x , x 1f(x)=

1-x, x>1

≤

Να βρείτε:

α. Το πεδίο ορισμού της f .

β. Τις τιμές f(1) και f(f(4)) .

γ. Τα ∈ℝα για τα οποία ισχύει 7

f(συνα)=4

.

δ. Τα λ ∈ℝ για τα οποία ισχύει f(λ - 4λ + 6) = 10−2.

2. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων:

α. 3 2f(x) = x + 3x - 2x + 1 και

2g(x) = x + x + 1.

β. 2 xf(x) = x 2 + 9⋅ και

2 xg(x) = x + 9 2⋅

3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 2f(x) = x (2 )x ( 3)x+α 5, αα α+ − − + − ∈ℝ .

α. Να βρεθούν οι τιμές του α∈ℝ έτσι, ώστε η Cf να διέρχεται από το

σημείο Μ(1, -6).

β. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ(1,-6), να βρεθούν τα κοινά

σημεία της Cf και του άξονα x x′ .

γ. Για α=1 να βρεθεί η σχετική θέση της Cf με τον άξονα x x′ .

4. Δίνονται οι συναρτήσεις:

2f(x) = x +αx + β και

3 2g(x) = x - 3x + β - 6α με α , β∈ℝ

Αν η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο 3− και η Cg τέμνει τον άξονα y y′

στο 6− , να βρείτε:

α. Τους αριθμούς α και β.

β. Τα διαστήματα στα οποία η fC είναι κάτω από τη Cg .



5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται

Η γραφική παράσταση της

συνάρτησης

xlnx, x > 0f(x)=

0 , x = 0

Με τη βοήθεια της γραφικής

παράστασης:

α. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0 .

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

γ. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων:

i. f(x) = -1 ii.1

f(x)= - e

iii.1

f(x)= - 2

iv. f(x) = 0 v. f(x) = 2018

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = α , για τις

διάφορες τιμές του α ∈ℝ .

6. Έστω f , g : →ℝ ℝ δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει

2f(x) = g(x) + x - 9 για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τη σχετική θέση των

fC και gC .

7. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι, να

βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες.

α.

2

2

x x 2 x 2f (x) και g(x)

x 1 x 1

− − −= =

− −

β. 2f (x) x και g(x) x= =

γ. ( )f (x) x x 2 και g(x) x x 2= + = ⋅ +

δ. 2 x 2 x

f (x) και g(x)2 x 2 x

− −= =

+ +

ε.

2 2

2 2

5x x 5x 6 x 1f (x) και g(x)=

x x x

− − +=

−

O

X1-e

y



8. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας

συνάρτησης f.

x

y

∆

Α

Β

Γ

Ε

Ζ

Η

Θ

y= -1

-4

-3

0

3

2

-2

-3

3

4 53

2

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών.

γ. Να βρεθεί το f(0).

δ. Να λυθεί η ανίσωση f(x)<0

ε. Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) f(x)=0 και ii) f(x)= -3

στ. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)= -1.

9. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με την ιδιότητα:

2 2 2(f+g) (x)-(f-g) (x)-4x 2(f+g)(x)[(f+g)(x)-2x]≥ για κάθε x ∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι f = g .

10. Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α⊆ ℝ και

f(x)[f(x)+g(x)]-4[f(x)+g(x)] g(x)[f(x)-g(x)]-8≤ για κάθε x ∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι f = g .



11. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ. Να βρείτε

το πεδίο ορισμού της f g στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 2g(x) = x 3− και Δ= [-2, 1]

β. 3g(x) = x x-3+ και Δ = [7, 27]

12. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [-11, +∞ ). Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 8x - 4)− .

13. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ 5, +∞ ). Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2h(x) = f(x 10x + 21)− .

14. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

(f f )(x) = 4x-3 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδειχθεί ότι: f(1) = 1.

15. Έστω f, g : →ℝ ℝ με 2(f g)(x) = x 7x+16, x− ∈ ℝ και

(g f )(4) = 4 . Να αποδειχθεί ότι οι Cf , Cg έχουν τουλάχιστον ένα κοινό

στοιχείο.

16. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:

α. f(x) = 3 - 4 x - 2 β. 3f(x) = x + 2ln(x - 1) - 5

γ. 2 xf(x) = ln(x - 1) - e − δ.

1f(x) = - x - 2

x

17. Δίνετε η συνάρτηση x 1f(x) = 2 - e + , x ∈ℝ .

α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β. Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f f .

γ. Για κάθε x 0< να αποδείξετε ότι x xf (5 ) f (7 )< .

18. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = 2 + x - 3 , x ∈ℝ .


β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x η fC βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x x′ .

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6− −− > − + .

19. Δίνετε η συνάρτηση f : →ℝ ℝ γνησίως φθίνουσα και για κάθε

x ∈ℝ ισχύει: f (3 x) f (x 5) 0− + + = . Να λύσετε την ανίσωση

2f (x 2x 4) 0+ − < .



20. Δίνετε η συνάρτηση f(x) = 2x -2+lnx , x 0> .


β. Να βρείτε το πρόσημο της f .

21. Δίνετε η συνάρτηση xf(x) = e + ln(x+1) - 1.


β. Να λύσετε την ανίσωση 2x 2e ln(x 1) 1+ + > .

γ. Να λύσετε την ανίσωση 2x x 2

2

x 3e e ln

x 1+ +

− >+

.

22. έστω xf(x) = e + x , x ∈ℝ .


β. Να λύσετε την ανίσωση 2 2x x 5 x 5e e x 0+ + +− + > .

23. Να λύσετε την ανίσωση:

α. 9 3x 1 10x 5 9(10x 5) e e (3x 1)− ++ − < − + − .

β. 2 2ln(x x) x ln(x 3) 3+ + > + + .

24. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = f(x)+2x-2

για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

25. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x)) = 3x-2 , για

κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι f(1) = 1.

β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ. Αν η f είναι πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση και γνησίως

φθίνουσα, να βρεθεί ο τύπος της.

26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x 6

7

−.

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f –1

β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .



27. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

f(f(x))+f 3(x) = 2x+3, x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι η f είναι 1–1

β. Να λύσετε την εξίσωση f(2x3+x) = f(4–x).

28. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ , για την οποία ισχύει:

f(x)–2f 3(x)+x–1= 0, για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να βρεθεί η f –1

.

29. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(–1,5) και Β(2,4).

α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1

.

β. Να λυθεί η εξίσωση f ( f –1

(x2)–3)=5.

γ. Να λυθεί η ανίσωση f(f –1

(ex+3)–3) > 5.

30. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: →ℝ ℝ , της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α( 2,5) και Β(3,8).

α. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f –1

.

β. Να λυθεί η εξίσωση f ( -1+f –1

(x-1) ) = 5.

γ. Να λυθεί η ανίσωση f –1

(3+ f (x-5) ) < 3.

31. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : →ℝ ℝ με:

2 2(f f )(x) = x 5x+9 και g(x) = x xf(x)+3− − για κάθε x∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι:

α. f(3) = 3 .

β. Η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται.



32. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x 4x+4+ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

β. Να υπολογίσετε το f –1

(9) .

γ. Να λύσετε την εξίσωση f –1

(2x 3x+11) = 1− .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .

33. Έστω η συνάρτηση f με 2019f(x) = x x 1+ − , x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να βρεθούν τα f –1

( 1− ) και f –1

( 3− ).

γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .

34. Έστω η συνάρτηση f με 3f(x) = x x+2+ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λυθεί η εξίσωση f –1

(x) =1 .

γ. Να λυθεί η εξίσωση f –1

( x) = x 1− .

δ. Να λυθεί η ανίσωση 1f (x) x 1.− ≥ −

35. Έστω f : →ℝ ℝ με f( )=ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

f(x) 3e 2019f (x)+2018=x+ για κάθε x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β. Να βρείτε τον τύπο της -1f .

36. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με σύνολο τιμών f( )=ℝ ℝ . Αν η f είναι

γνησίως μονότονη και η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1, 5) και Β(3,-1)

τότε:



α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να λυθεί η εξίσωση: ( )( )1 1 2f 2 f x x+3 3− −− + + =

γ. Να λυθεί η ανίσωση: ( )2f(x) 5 4f(x)≤ +

37. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: 2

22

x 3x+2 lim

x x 2xA

→−

+=

+ −

3 2

21

x +4x 3x 2lim

x 3x+2xB

→

− −=

−

4 2

21

x 3x 4lim

x x 2x→−

+ −Γ =

− −

3 2

21

x x x+1lim

x 4x+3x→

− −∆ =

−

4 2

23

x 2x 3x 54lim

x 2x 3xE

→

− − −=

− −

3

21

2

8x 1lim

4x 1x

Z→

−=

−

38. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια:

21

x+3 2lim

x 1xA

→

−=

−

2

1

x 3 2xlim

x+1xB

→−

+ +=

21

2 x+3lim

x 1x→

−Γ =

−

0

x+9 3lim

9 x 3x→

−∆ =

− −

2

4x 1 3lim

x x+2xE

→

+ −=

−

3

5x+1 4lim

8x+1 5xZ

→

−=

−

39. Αν f(x) = 2

2αx+ 3β, x <1

x 1, x >1

x 1

− −

, να βρείτε τα α, β∈ℝ , αν είναι γνωστό

ότι υπάρχει το x 1limf(x)

→ και η Cf να διέρχεται από το σημείο Α(–2,–8).



40. Αν f (x)

2

2

x , x 1

2x+5, 1 x< 3

x x 2, x 3

xα β

β α

+ + ≤

= < + − − ≥

, να βρείτε τις τιμές των α, β,

ώστε να υπάρχουν τα 1 3

limf(x) και limf(x)x x→ →

41. Έστω οι συναρτήσεις f και g που είναι ορισμένες στο ℝ για τις

οποίες υποθέτουμε ότι: 1

lim(2f(x)+3g(x))=3x→

και 1

lim(f(x) 2 (x))=4x

g→

− .

Να βρείτε τα όρια: 1

limf(x)x→

και 1

lim (x)x

g→

.

42. Αν 2f(x) 3x+5 x− ≤ για κάθε x 0≠ , να βρεθεί το

0limf(x)x→

.

43. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει x–x3≤g(x)≤x+x

3, να βρεθεί το

x 0

g(x)lim

x→.

44. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ με την ιδιότητα 2f(x) x+2 x 2x+1− ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι

1limf(x)= 1x→

− .

45. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

3x+3 (x 2)f(x)+3 3 x+7 6≤ − ≤ − για κάθε x∈(1,3) . Να

υπολογίσετε το 2

limf(x)x→

.

46. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2 24x x +3 (x 1)f(x) + 8x 5x 3, x≤ − ≤ + ∈ℝ .

Να υπολογίσετε το όριο 1

limf(x)x→

.

47. Να υπολογιστούν τα όρια:

0

3lim x.ηµ

xxA

→

=

2

0

1lim x.ηµ

xxB ηµ

→

=

( )2

2

4x+3lim x 2x

x 2xηµ

→

Γ = − − ( )

1

2019lim x 1 .

x 1→

∆ = − − xηµ

0

2lim x.ηµ

xxE ηµ

→

=

2

0

x 4 2 1lim

x xxZ ηµ

→

+ −=




20

2xlim

x 2xA

x

ηµ→

=+

0

6lim

3xx

xB

ηµηµ→

=

0

3xlim

xx

εφεφ→

Γ = 0

9 x 3lim

x+1 1x

ηµ→

+ −∆ =

−

0

x+xlim

x+1 1xE

εφ→

=−

0

5x xlim

x+ηµxxZ

ηµ→

−=

49. Αν για κάθε x κοντά στο 0 ισχύει: αημx+βημ2x ≤γημ3x, να

αποδείξετε ότι: α+2β = 3γ

50. Αν x 2

f (x) 4lim 2019

x 2→

+=

− τότε:

α. Να βρείτε το x 2limf (x)

→.

β. Να βρείτε το [ ]

x 2

ηµ f (x) 4lim

x 2→

+

−.


2

x+4lim

x 2x→Α =

−

25

x+8lim

x 25xB

→=

−

2

23

9lim

x 6x+9x

x→

−Γ =

−

22

x+5lim

x 4x+4x→∆ =

−

( )

2

31

x 5x 6lim

x 1xE

→

+ −=

−

1

x 4lim

x+1xZ

→−

+=

52. Να βρεθούν τα όρια:

( )5 2lim 2x 3x 2x+12x

A→+∞

= + + ( )3 2lim 4x 5x 3x+6x

B→−∞

= − +

2

2

6x 3x+5lim

2x 4x+3x→+∞

+Γ =

−

4 2

2

3x 4x 6x+3lim

x 5x 7x→−∞

+ −∆ =

+ −

2

3 2

3x 7x+4E= lim

4x 5x 2x+3x→+∞

−+ −

6 3

7 4 2

2x 4x 2x+24Z= lim

x 6x 3x 12x→−∞

+ −− − +

2x 3x

H= limx+6x→+∞

−

2x 5x+12lim

x+4x→−∞

+Θ =




( )2A= lim x 4x+6 x+7x→+∞

+ + ( )2B= lim x x+2 x+5x→−∞

+ −

( )2lim x 3x+4 x+5x→+∞

Γ = + − ( )2lim 4x 3x+5 2x 5x→−∞

∆ = − + −

( )2 2E= lim 4x 5 x x+1 3xx→+∞

+ + + −

54. Για τις διάφορες τιμές του α∈ℝ να υπολογίσετε τα όρια:

3

2

( 1)x x 3A= lim

( 2)x x+5x

αα→+∞

− + −− +

3

2

( 3)x ( 5)x+6B= lim

(α+1)x 5x+4x

α α→−∞

− − −−

3 2

2

( 2)x ( 7)x 5x 4lim

( 3)x ( 1)x+6x

α αα α→+∞

− + − + −Γ =

− + −

( )2lim 4x 3x+2 xx

α→−∞

∆ = − +

( )2E= lim 9x 5x+3 xx

α→+∞

+ −

( )2 2 2Z= lim x x 9xx

α α→−∞

+ − +

55. Να βρείτε τους α, β∈ℝ ώστε:

α. ( )2lim x 2x+4 x+β 5x

α→+∞

+ − =

β. ( )2lim x x+2 x+β 3x

α→+∞

+ + =

γ. 2x x+2

lim x+β 5x+1x

α→−∞

+− =




( )

4 2

x+1 2xΑ= lim

x 3x 2x

ηµ→−∞ + +

2

3

3x x+xσυνxB= lim

x 3x+4x

ηµ→−∞ −

2

2

2x xlim

x xx

ηµσυν→+∞

−Γ =

+ ( )2lim x 1 x 3x

xηµ

→+∞

∆ = + −

57. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=1 τη συνάρτηση:

2x 3 2, x 1f(x)= x 1

3 , x=1

+ − ≠ −

58. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0=0 τη συνάρτηση:

2ηµxηµ , x 0

f(x)= x 0 , x=0

≠


2αx x 5 ,x 1

f(x)= x 1 6 , x=1

β + −≠

−

Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής.

60. Δίνεται η συνάρτηση f(x) 2

αx + β , x 2

x + 5- 3 3 , x=2

≠

=

.

Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής

στο ℝ .

61. Δίνεται η συνάρτηση 2

7αx+6β , x -1f (x)

x +2βx+4 , x>-1

≤=

.

Να βρεθούν τα α, β ∈ℝ , αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο

0x = -1 και η fC διέρχεται από το σημείο ( )M 3,1 .



62. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι 2 2f (x) 6f (x) 9 x 0− + συν ≤ για

κάθε x ∈ℝ , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0.

63. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ . Να βρείτε τον τύπο της f

στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. xf(x)=ηµ(2019x) για κάθε x ∈ℝ .

β. 2f(x)+ x x+2 1 x(f(x)+1)+ = + για κάθε x ∈ℝ .

γ. ( ) 2x 1 f (x) 2 x 3− + = + για κάθε x ∈ℝ .

64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=0 και ισχύει:

3xf(x) 5x xηµ− ≤ για κάθε x ∈ℝ , να βρεθεί η τιμή f(0).

65. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, να υπολογίσετε την τιμή

f(x0) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 2(x 1)f(x)=x 3 4− + −x για κάθε x ∈ℝ και x0=1.

β. 3 3x x xf(x) x+ x− ≤ ≤ηµ ηµ για κάθε x ∈ℝ και x0=0.

γ. [ ]xf(x) 2 f(x)+ηµ(x 2)≤ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.

δ. 4 2 3

xf(x) x xx

− ≤ηµ ηµ για κάθε *x∈ℝ και x0=0.

ε. 2(x 2)f(x) x 5x+6− ≥ − για κάθε x ∈ℝ και x0=2.

66. Aν f , g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο ℝ και h(x)=f(x)g(x) . Αν η

συνάρτηση h(x) είναι συνεχής στο x0 με h(x0)≠ 0 και η f δεν είναι

συνεχής στο x0, τότε να δείξετε ότι η g(x) δεν είναι συνεχής στο x0.

67. Έστω f, g δυο συναρτήσεις στο ℝ για τις οποίες ισχύουν:

• Η g είναι συνεχής στο 2019.

•2019 2019

lim f(x)=2020 και lim f(x)=2018+ −→ →x x

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h(x)=f(x)g(x) είναι συνεχής στο x0=2019,

όταν και μόνο όταν g(2019)=0.



Αν δίνεται ότι η f είναι συνεχής σε κάποιο 0x α= και ζητείτε η

συνέχεια στο ℝ τότε εργαζόμαστε με βάση τον παρακάτω πίνακα

αν η σχέση

περιέχει τη

μορφή

Τότε θέτουμε Έτσι

όταν

Τότε

είναι Και θα έχουμε

f (x y)+ 0x x h α− = −

0x x→

h α→ 0f (x) f (x h α) ...= + − =

f (x y)− 0x x h α− = − − h α→ 0f (x) f (x h α) ...= − − =

f (x y)⋅

0

x h

x α= h α→ 0

hf (x) f (x ) ...

α= ⋅ =

x

f ( )y

0

x α

x h= h α→

0xf (x) f ( α) ...

h= ⋅ =

68. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(xy)=xf(y)–yf(x)

για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=4, να αποδειχθεί ότι η f

είναι συνεχής στο ℝ .

69. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

f(x+y)=f(x)–f(y) για κάθε x, y∈ℝ . Αν η f είναι συνεχής στο x0=2, να

αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο ℝ .

70. Δίνεται συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει 2

x 2

f(x) x 2x 5lim 2018

x 2→−

+ − −=

+. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται

από το σημείο Μ(–2,–3), να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο x0= –2.

71. Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο ℝ και τέτοιες, ώστε: f(x)<1

και g(x) > 1 για κάθε x∈ℝ . Αν υπάρχουν α, β*+∈ℝ με α < β και f(α)=α,

g(β)=β, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(α, β) έτσι, ώστε: f(ξ)·g(ξ)=ξ.

72. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

g(x)=ln(x+2) και h(x)=4x–1, έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με

τετμημένη 0x ∈(–1,e–2).



73. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x3+αx

2+2=0 με α<–3 έχει δύο,

τουλάχιστον, ρίζες στο (–1,1).

74. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x3–x

2+3 και g(x)=x

2+5x–4. Να δείξετε

ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον,

σημείο Μ(x0, y0) με x0∈(1,2).

75. Να δείξετε ότι η εξίσωση x3+3x

2–1=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες

στο (–2,1).

76. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2018 2019x 2018 x 2019

0x 1 x

+ ++ =

− έχει

μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0 , 1).

77. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β]

για την οποία ισχύει: ( ) ( ) [ ]2 2f(α) f(β) 5 2 f ( ) 2f ( )α β+ + ≤ − .Να

αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f κόβει τον άξονα x΄x σε ένα

τουλάχιστον, σημείο με τετμημένη x0∈(α, β).

78. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ για την οποία ισχύει:

x1+x f(x) e≤ ≤ για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι:

α. Η f είναι συνεχής στο x0=0.

β. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,

0x ( 1, 1)∈ − τέτοιος ώστε 00

f(x )x

2019= .

γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον,

(0, 1)ξ ∈ τέτοιος ώστε 2f(ξ) e ξ= .

79. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει 0 f (x) 2< < για κάθε

x ∈ℝ να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x f (x) 2f (x)+ = έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,2).

80. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1]

με f(0)=α και f(1)=β, όπου α, β∈(0,1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει

ξ∈(0,1) τέτοιος, ώστε f(ξ)=ξ.



81. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f(x)=x x+γβ+ και

2g(x)= x x+γβ− +

με γ≠ 0. Αν 1ρ είναι ρίζα της f και 2ρ ρίζα της g με 1 2ρ ρ< , να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 2g(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο ( )1 2,ρ ρ .

82. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ , η οποία ικανοποιεί τις

συνθήκες: 1

f(x)lim 2019

x 1→=

−x και

24 (x 2) (x 2)f(x) x 4ηµ − ≤ − ≤ −

για κάθε x∈ℝ . Nα αποδείξετε ότι:

α. f(1) = 0 και f(2) = 4.

β. Αν g(x) = x2-x+1, τότε η Cf τέμνει την Cg σε ένα τουλάχιστον σημείο

Μ(x0, y0) με x0 ∈(1, 2).

83. Έστω f συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα

στο διάστημα [0,1]. Αν είναι f(1) < 2019 < f(0), να αποδείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση h(x) = f(x)-2019x είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1].

β. Υπάρχει μοναδικός x0∈(0,1) τέτοιος ώστε 0

0

f(x )2019

x= .

84. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει: f(x)f(x) + e = 5 - 4x για κάθε για x ∈ℝ και f(1)=0 .

Να αποδειχθεί ότι:

α. Η f αντιστρέφεται

β. Η εξίσωση ( ) ( )3fof (x) - f 5-10x = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο

( )0,1 .

85. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

lim f(x)=2019→+∞x

. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + lnx= 5 έχει

τουλάχιστον μία θετική ρίζα.

86. Να δείξετε ότι η εξίσωση x2ln x 3e 0+ = έχει μία τουλάχιστον

ρίζα στο (0,1).

87. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 2ln x x 2x 7x 3= + − + έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).



88. Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1].

Aν ισχύει 2018f(0)+2019f(1) = 0, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [0,1].

89. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με α < 2019 < β και 4f (2019) f(α)f(β)=0+ , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον

ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.

90. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και ef(α)+π f(β)=0eπ

να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ∈[α, β], ώστε f(ξ)=0.

91. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει 2 2x x f(x) x xβ α− ≤ ≤ − για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β].

92. Αν η συνάρτηση f:[α, β]→ [α, β] είναι συνεχής και α, β > 0, να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) β

α ξ= .

93. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής και

γνησίως μονότονη στο ℝ και για την οποία ισχύει: 2 2f (0) 4f (1) 2 2f (0) 4f (1)+ + = +

α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο ℝ .

β. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x (0,1)∈

τέτοιος ώστε 0

0

f (x )1

x= .

94. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι συνεχής στο ℝ με

f (1) 2= − και x 2limf (x) 0→−

> , αν 1− και 2 είναι οι μοναδικές ρίζες της

εξίσωσης f (x) 0= , να υπολογίσετε το όριο 3

2x

f (0)x 5x 2lim

f ( 3)x 3x 7→+∞

+ −− + +

95. Αν για κάθε x [-4, 4]∈ η f είναι συνεχής και ισχύει 2 2x f (x)=16+ ,

να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4, 4).



96. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (1, + )∞ →ℝ τέτοια ώστε

( )2019

20182 2

x 1 f (x) 1 x 1x 1

+ − = + + + για κάθε x (1, )∈ +∞ .

Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (1, )+∞ .

97. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ , ώστε για κάθε x ∈ℝ

να ισχύει η σχέση 2g (x)+f(x)g(x) 2019≤ − . Να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .

98. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει:

2 6 4 23f (x)+7f(x) 2019=5x 3x 2x 1− + + + για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε

ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .

99. Δίνεται η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

f(2019)+f(2018)=0 και f(x)≠ 0 για κάθε x ∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η f δεν

είναι συνεχής στο ℝ .

100. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ με:

( )( )2 2 2f(x) x f(x)+x 2x 1− = + για κάθε x ∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 είναι αδύνατη.

β. Να βρείτε τον τύπο της f, αν f(2018)=24.1009 1+ .

101. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: →ℝ ℝ , με f(0)=2, για την

οποία ισχύει: 2 2 2f (x) - 6f(x)ηµx - 9συν x = x , για κάθε x ∈ℝ .

102. Έστω f :[ 1, 1]− →ℝ μια συνάρτηση που είναι συνεχής με

f (0) 1= ,για την οποία ισχύει: 2 2f (x) + 2x 2xf(x) + 1= , για κάθε

x [ 1, 1]∈ − . Να βρείτε τον τύπο της f .

103. Έστω f :[ 1, 4]− → ℝ μια συνεχής συνάρτηση για την οποία

ισχύει: 2 2f (x) + x 3x + 4= , για κάθε x [ 1, 4]∈ − .

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .

β. Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y΄y

στο σημείο με τεταγμένη -2, να βρείτε τον τύπο της f .



104. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις

οποίες ισχύει: 2 2f (x) - x -2x + 1= για κάθε x ∈ℝ .

105. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : →ℝ ℝ για τις

οποίες ισχύει: ( ) ( )22 2 2f(x) +1 +2 x x + 1 2f ( )x= + για κάθε x ∈ℝ .

106. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2∈[α, β], να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε 3f(x1)+4f(x2)=7f(ξ).

107. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β], να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος, ώστε

f(x1)+2f(x2)+3f(x3)=6f(ξ).

108. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και x1, x2,x3∈[α, β]. Aν

κ, λ, μ είναι θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=2019 να αποδείξετε ότι υπάρχει

ένα τουλάχιστον ξ∈[α, β] τέτοιος ώστε: 1 2 3κf(x )+λf(x )+µf(x )f(ξ)=

2019.

109. Έστω f: [0,6]→ℝ συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με

f(0)=8 και f(6)=2. Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(0, 6) τέτοιος, ώστε

f(1) + 2f(2) + 3f(3) + 4f(4)

f(ξ) = 10

β. Η εξίσωση f(x)=7 έχει μοναδική ρίζα.

110. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1,4]

με:

f(1)f(2)f(4)=8 και f(x)≠ 0 για κάθε x∈[1,4].


α. f(x)>0 για κάθε x∈[1,4].

β. Η εξίσωση f(x)=2 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].

γ. Η εξίσωση f(x)=x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,4].



111. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(2) = 5 και

f(f(x))+f(x) = 20 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(10).

112. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο ℝ με f(8) = 5 και

f(f(x)).f(x) = 2 για κάθε x ∈ℝ . Να βρείτε την τιμή f(3).

113. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞)

με limx 0+→

f (x) = γ ℝ∈ και limx → +∞

f (x) = δ ℝ∈ , να αποδείξετε ότι υπάρχει

μόνο ένας αριθμός x0 > 0 τέτοιος ώστε να ισχύει: 0x +10 0f(x )+e +lnx =1.

114. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (0,3) →ℝ η οποία είναι γνησίως

αύξουσα στο (0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,3) . Αν f (1) 2= ,

x 0lim f (x) 1

+→= − και

x 3lim f (x) 2

−→= − , να βρείτε:

α. Το σύνολο τιμών της f .

β. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) 0= στο ( )0,3 .

115. Να δείξετε ότι , αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [ ]1, 3

και σύνολο τιμών το ( )3,6 , τότε η f δεν είναι συνεχής.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2 1

xf (x) ηµ3x 4x 5x ηµx

+ = − ⋅ για κάθε x ∈ℝ .

α. Να βρείτε τον τύπο της f.

β. Να υπολογίσετε τα όρια xlim f (x)→−∞

και xlim f (x)→+∞

.

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μία τουλάχιστον

αρνητική και μία τουλάχιστον θετική ρίζα.

2. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[0,2] →ℝ για την οποία ισχύει ότι

f (0) f (2) 0+ = .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει μια τουλάχιστον ρίζα

στο διάστημα [0,2] .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [0,2]∈ τέτοιο ώστε:

f (1)

f (ξ)3

=

γ. Δίνεται η συνάρτηση g(x) f (x) (2x 1)f (x 1)= + − +

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g .

ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα

x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο.

3. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : →ℝ ℝ . Οι fC και gC δεν

έχουν κανένα κοινό σημείο και ισχύει ότι f (2019) g(2019)> . Επίσης

ισχύουν οι σχέσεις:

2

x 1

(x 1)f (x) x 3 2 7lim

x 1 4→

− − + +=

− και

2x 0

xg(x) ηµxlim 1

x x→

−= −

+

α. Να αποδείξετε ότι f (x) g(x)> για κάθε x ∈ℝ .

β. Να βρείτε τις τιμές f (1) και g(0) .

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ τέτοιο

ώστε: 0 0 03f (x ) g(x ) 4x+ = .



4. Έστω f : →ℝ ℝ μία συνάρτηση με f (0) 0= , η οποία είναι

συνεχής και ισχύει ότι: 2f (x) f (x)e 2x e 1+ ⋅ = , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι 2f (x) ln( x 1 x)= + − , για κάθε x ∈ℝ .

β. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f (x)e 2018 1− = έχει, μια τουλάχιστον

ρίζα.

5. Έστω f :[0, )+∞ →ℝ μία συνεχής συνάρτηση με f (0) 1= , για την

οποία ισχύει ότι: 2f (x) 1 2x f (x)= + ⋅ , για κάθε x 0≥ .

α. Να βρείτε τη συνάρτηση f.

β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να βρείτε το

πεδίο ορισμού της 1f (x)−

.

γ. Για κάθε α,β 0≥ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (α) f (β)

0x 1 x 2

+ =− −

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2) .

6. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) x e 1= + − .

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να λύσετε την εξίσωση xe 1 x= − .

γ. Να λύσετε την ανίσωση ( )1f f (x) x 1 1− − + >

δ. Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση

g : →ℝ ℝ η οποία για κάθε x ∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση

g(x)g(x) e 2x 1+ = + . Να αποδείξετε ότι:

i. H g είναι γνησίως αύξουσα.

ii. Η gC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2019g g (x) g 1 x 0− − = , έχει μία

τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( )0,1 .

7. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει η σχέση: 32f (x) 3 2x 3f (x)− = − , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ℝ .



β. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το ℝ , να αποδείξετε ότι η f

αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f −.

γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0= .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και 1f −.

8. Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0,1) →ℝ

για την οποία ισχύουν:

x 0

f (x) 2lim 3

x→

+=

22ηµ(x 1) (x 1)f (x) x 1− ≤ − ≤ − , για κάθε ( )x 0,1∈ .

α. Να βρείτε τα όρια x 0lim f (x)

+→ και

x 1lim f (x)

−→.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

g(x) f (x) ln x 3= − − , ( )x 0,1∈

γ. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f (x) 3h(x) e −= τέμνει την ευθεία y x= σε ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈ .

9. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε x ∈ℝ ,

ισχύει: ( ) ( )2 2f (x) x 2 f (x) x− ≤ +

α. Να δείξετε ότι στο σημείο 0x 1= − η f είναι συνεχής.

β. Να βρείτε το όριο 2x

f (x)lim

x→+∞ .

γ. Αν η f είναι συνεχής στο ℝ , να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 6x=

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1

0, 2

.

10. Έστω συνάρτηση [ )f : 1, +− ∞ →ℝ που είναι συνεχής στο πεδίο

ορισμού της και για κάθε x 1≥ − ισχύει:

28x 8 4 (x 1) f (x) 2x 2 2+ − ≤ − ⋅ ≤ + −

α. Να βρείτε τον αριθμό f (1) .

β. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0x 1, 1∈ − ώστε να ισχύει 0 0f (x ) 2x= .



11. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία και για κάθε

x ∈ℝ , ισχύει: 2xf (x) 2 f (x) 3x 1+ = + + . Να δείξετε ότι υπάρχει

0x (0,1)∈ , ώστε 0 04f (x ) 7x= .

12. Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]f : 0,2 →ℝ με f (0) 0 , f(1) = 5=

και f (2) 5= − . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f (x) 16 = έχει,

τουλάχιστον δύο ρίζες στο ( )0,2 .

13. Δίνονται οι συνεχείς στο ℝ συναρτήσεις f και g για τις οποίες

ισχύουν:f (x) 0≠ για κάθε x∈ℝ .Οι γραφικές τους παραστάσεις

τέμνονται στο A(2, 1)− . 1ρ 1= − και 2ρ 5= είναι δύο διαδοχικές ρίζες

τηςg(x) 0= . Να αποδείξετε ότι:

α. f(x) < 0 για κάθε x∈ℝ .

β. g(x) 0< για κάθε x ( 1,5)∈ − .

γ. 4 2

3x

f (3) x 2x 1lim

g(2) x 5→−∞

⋅ + += −∞

⋅ + .

14. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-3,3] για την οποία ισχύει

2 23x 4f (x) 27+ = για κάθε x∈ [-3,3].

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f (x) 0= .

β. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-3,3).

γ. Να βρεθεί ο τύπος της f .

δ. Αν επιπλέον f (1) 6= να βρείτε το όριο x 0

3 3f (x)

2limx→

− .

15. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[0, )+∞ →ℝ για την οποία

ισχύει: 2 8 2 x

x 2x 9 3 x f (x) x ηµ 3x 3

+ + ≤ + ⋅ ≤ + + για κάθε x 0> .

Να βρείτε:

α. Το όριο: 2

x 0

x 2x 9 3lim

2x→

+ + −.

β. Το όριο: 7

x 0

2lim x ηµ

x→ .



γ. Το όριο: x 0limf (x)

→.

δ. Το f (0) .

16. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

(f f )(x) 2f (x) 2x 1+ = + για κάθε x∈ℝ και f (2) 5= .

α. Να βρείτε το f (5) .

β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ. Να βρείτε το 1f (2)−

.

δ. Να λύσετε την εξίσωση: ( )1 2f f (2x 7x) 1 2− + − = .

17. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν

οι συνθήκες:

21

3ηµx 2xf (x) x2

− ≤ , για κάθε x ∈ℝ .

24f (x) 3f (x 1) 2x 2019+ + = − , για κάθε x ∈ℝ .

α. Να βρείτε το όριο x 0limf (x)

→ .

β. Να βρείτε το f (1) .

γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης g(x) x 1= − σε ένα τουλάχιστον σημείο με

τετμημένη 0x (0,1).∈

18. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

2 2f (x) x x 1= + + , για κάθε x ∈ℝ .

x 0

1 f (x) 1lim

x 2→

+= − .

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία

με τον άξονα x΄x .

β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι 2f (x) x x 1= − + + , x ∈ℝ .

γ. Να βρείτε το όριο xlim (x f (x))→−∞

− .

δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο g(x) x f (x)= − , έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο ( , 0)−∞ .


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της Cf στο σημείο της ))(,( 00 xfxA ;

Έστω f μια συνάρτηση και ))(,( 00 xfxA ένα σημείο της fC . Αν υπάρχει το

0

0

0

)()(lim

xx

xfxfxx −

−→ και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α

και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο ))(,( 00 xfxA είναι

)()( 00 xxλxfy −=− ,

όπου 0

0

0

)()(lim

xx

xfxfλ

xx −

−=

→

2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x

του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x του πεδίου

ορισμού της, αν υπάρχει το

0

0 )()(lim

0 xx

xfxfxx −

−→

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x και συμβολίζεται με

)( 0xf ′ . Δηλαδή: 0

00

)()(lim)(

0 xx

xfxfxf

xx −

−=′

→ .



3. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

σ’ ένα σημείο 0x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Για 0xx ≠ έχουμε

)()()(

)()( 00

00 xx

xx

xfxfxfxf −⋅

−

−=− ,

οπότε

0 0

00 0x x x x

0

f(x) f(x )lim[f(x) f(x )] lim (x x )

x x→ →

−− = ⋅ − −

)(lim

)()(lim 0

00

0

0xx

xx

xfxfxxxx−⋅

−

−=

→→

00)( 0 =⋅′= xf ,

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Επομένως, )()(lim 0

0

xfxfxx

=→ , δηλαδή η

f είναι συνεχής στο 0x .

ΣΧΟΛΙΟ

• Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε,

σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη

στο 0x .

• Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε, δεν

ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .



4. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού

της Α;

H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι

παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Ax ∈0 .

5. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα

),( βα του πεδίου ορισμού της;

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ),( βα του πεδίου ορισμού

της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ),(0 βαx ∈ .

6. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα

],[ βα του πεδίου ορισμού της;

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα του πεδίου ορισμού

της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ),( βα και επιπλέον ισχύει

( ) ( )lim ℝx

f x f

xα

αα+→

−∈

− και

( ) ( )limx

f x f

xβ

ββ−→

−∈

−ℝ

.

7. Έστω η σταθερή συνάρτηση cxf =)( , c∈ℝ . Η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο ℝ και ισχύει 0)( =′ xf , δηλαδή (c)΄=0.

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του ℝ , τότε για 0xx ≠ ισχύει:

0)()(

00

0 =−−

=−

−

xx

cc

xx

xfxf. Επομένως,

0)()(

lim0

0

0=

−

−→ xx

xfxfxx ,

δηλαδή 0)( =′c .



8. Έστω η συνάρτηση xxf =)( . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

ℝ και ισχύει 1)( =′ xf , δηλαδή ( x )΄=1


1)()(

0

0

0

0 =−

−=

−

−

xx

xx

xx

xfxf. Επομένως, 11lim

)()(lim

00

0

0==

−

−→→ xxxx xx

xfxf,

δηλαδή 1)( =′x .

9. Έστω η συνάρτηση νxxf =)( , 0,1ℝν ∈ − . Η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο ℝ και ισχύει 1)( −=′ νxνxf , δηλαδή

1)( −=′ νν xνx


100

21

0

100

210

0

0

0

0 ))(()()( −−−−−−

+++=−

+++−=

−

−=

−

− ννν

ννννν

xxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xfxf⋯

⋯

,

οπότε

10

10

10

10

100

21

00

0

0)(lim

)()(lim −−−−−−−

→→=+++=+++=

−

− ννννννν

xxxxxνxxxxxxx

xx

xfxf⋯⋯

,

δηλαδή 1)( −=′ νν xνx .

10. Έστω η συνάρτηση xxf =)( . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο ),0( +∞ και ισχύει xxf

2

1)( =′

, δηλαδή 1

( )2

xx

′ =

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του ),0( +∞ , τότε για 0xx ≠

ισχύει:



0 0 00 0

0 0 0 0 0 0 0

( )( )( ) ( ) 1

( )( ) ( )( )

x x x x x xf x f x x x

x x x x x x x x x x x x x x

− − +− −= = = =

− − − + − + +,

Οπότε 00

00

0

0 2

11lim

)()(lim

xxxxx

xfxfxxxx

=+

=−

−→→ ,

δηλαδή. 1

( )2

xx

′ =

11. Αν οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η

συνάρτηση gf + είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

)()()()( 000 xgxfxgf ′+′=′+

Για 0xx ≠ , ισχύει:

0

0

0

0

0

00

0

0 )()()()()()()()())(())((

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgxfxgxf

xx

xgfxgf

−

−+

−

−=

−

−−+=

−

+−+.

Επειδή οι συναρτήσεις gf , είναι παραγωγίσιμες στο 0x , έχουμε:

),()()()(

lim)()(

lim))(())((

lim 000

0

00

0

00

0

0xgxf

xx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgfxgfxxxxxx

′+′=−

−+

−

−=

−

+−+→→→

Δηλαδή )()()()( 000 xgxfxgf ′+′=′+ .

12. Έστω η συνάρτηση ( )f x x ν−= , *ν ∈ℕ . Η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο *ℝ και ισχύει

1( )f x x νν − −′ = − , δηλαδή 1( )x xν νν− − −′ = −

Πράγματι, για κάθε *x∈ℝ έχουμε:



11

2 2

1 (1) 1( )( )

( )

x x xx x

x x x

ν ν νν ν

ν ν ν

νν

−− − −

′ ′ ′− − ′ = = = = −

.

13. Έστω η συνάρτήση ( ) εφf x x= . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 1 |συν 0x x= − =ℝ ℝ και ισχύει 2

1( )

συνf x

x′ = , δηλαδή

2

1(εφ )

συνx

x′ =

Πράγματι, για κάθε 1x∈ℝ έχουμε:

2 2

ηµ (ηµ ) συν ηµ (συν ) συν συν ηµ ηµ(εφ )

συν συν συν

x x x x x x x x xx

x x x

′ ′ ′− + ′ = = =

2 2

2 2

συν ηµ 1

συν συν

x x

x x

+= = .

14. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f είναι παραγωγίσιμη

στο )( 0xg , τότε η συνάρτηση gf είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει

0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x′ ′ ′= ⋅

Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f

είναι παραγωγίσιμη στο )(∆g , τότε η συνάρτηση gf είναι παραγωγίσιμη

στο Δ και ισχύει

)())(()))((( xgxgfxgf ′⋅′=′ .

Δηλαδή, αν )(xgu = , τότε uufuf ′⋅′=′ )())(( .

15. Η συνάρτηση ( )f x xα= , α ∈ −ℝ ℤ είναι παραγωγίσιμη στο

(0, )+∞ και ισχύει 1( )f x xαα −′ = , δηλαδή

1( )x xα αα −′ =



Πράγματι, αν ln xy x eα α= = και θέσουμε lnu xα= , τότε έχουμε

uy e= .

Επομένως,

ln 11( )u u xy e e u e x x

x xα α αα

α α −′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = .

16. Η συνάρτηση ( ) xf x α= , 0α > είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και ισχύει

( ) lnxf x α α′ = , δηλαδή ( ) lnx xα α α′ =

Πράγματι, αν lnx xy e αα= = και θέσουμε lnu x α= , τότε έχουμε

uy e= .

Επομένως, ln( ) ln lnu u x xy e e u e α α α α′ ′ ′= = ⋅ = ⋅ = .

17. Η συνάρτηση ( ) ln | |f x x= , *x∈ℝ είναι παραγωγίσιμη στο

*ℝ και

ισχύει 1

(ln | |)xx

′ =

Πράγματι.

— αν 0x > , τότε 1

(ln | |) (ln )x xx

′ ′= = , ενώ

— αν 0x < , τότε ln | | ln( )x x= − , οπότε, αν θέσουμε ln( )y x= − και

u x= − , έχουμε lny u= . Επομένως,

1 1 1(ln ) ( 1)y u u

u x x′ ′ ′= = ⋅ = − =

−

και άρα 1

(ln | |)xx

′ = .

18. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη ,x y συνδέονται με τη σχέση ( )y f x= , τι

ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 ;

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη ,x y συνδέονται με τη σχέση ( )y f x= , όταν f

είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0 , τότε ονομάζουμε ρυθμό

μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 την παράγωγο 0( )f x′ .



19. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)

Αν μια συνάρτηση f είναι:

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ]α β

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( , )α β και

• ( ) ( )f fα β=

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( , )ξ α β∈ τέτοιο, ώστε:

( ) 0f ξ′ =

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει

ένα, τουλάχιστον, ( , )ξ α β∈ τέτοιο, ώστε

η εφαπτομένη της fC στο ( , ( ))M fξ ξ να

είναι παράλληλη στον άξονα των x.

20. Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε

γεωμετρικά.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)

Αν μια συνάρτηση f είναι:

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ]α β και

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( , )α β

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( , )ξ α β∈ τέτοιο, ώστε:

( ) ( )( )

f ff

β αξ

β α−′ =−

y

O x β ξ΄ ξ α

Μ(ξ,f (ξ))

Β(β,f(β)) Α(α,f (α))



Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει

ένα, τουλάχιστον, ( , )ξ α β∈ τέτοιο, ώστε

η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο ( , ( ))M fξ ξ να είναι

παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

21. Να αποδείξετε ότι:

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

• η f είναι συνεχής στο Δ και

• ( ) 0f x′ = για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε 1 2,x x ∈∆ ισχύει 1 2( ) ( )f x f x= .

Πράγματι

• Αν 1 2x x= , τότε προφανώς 1 2( ) ( )f x f x= .

• Αν 1 2x x< , τότε στο διάστημα 1 2[ , ]x x η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει 1 2( , )x xξ ∈ τέτοιο, ώστε

2 1

2 1

( ) ( )( )

f x f xf

x xξ

−′ =−

. (1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ) 0f ξ′ = ,οπότε, λόγω της

(1), είναι 1 2( ) ( )f x f x= . Αν 2 1x x< , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι.

1 2( ) ( )f x f x= .Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι 1 2( ) ( )f x f x= .

22. Να αποδείξετε ότι:Έστω δυο συναρτήσεις ,f g ορισμένες σε ένα

διάστημα Δ. Αν

• οι ,f g είναι συνεχείς στο Δ και

• ( ) ( )f x g x′ ′= για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x∈∆ να ισχύει:

( ) ( )f x g x c= +

Β(β,f (β))

β ξ΄ ξ a x

y

Ο

M(ξ,f (ξ))

A(a,f (a))



Η συνάρτηση f g− είναι συνεχής στο Δ

και για κάθε εσωτερικό σημείο

x∈∆ ισχύει

( ) ( ) ( ) ( ) 0f g x f x g x′ ′ ′− = − = .

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω

θεώρημα, η συνάρτηση f g− είναι

σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά C

τέτοια, ώστε για κάθε x∈∆ να ισχύει

( ) ( )f x g x c− = , οπότε ( ) ( )f x g x c= + .

23. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

• Αν ( ) 0f x′ > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

• Αν ( ) 0f x′ < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι

γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι ( ) 0f x′ > .

Έστω 1 2,x x ∈∆ με 1 2x x< . Θα δείξουμε ότι 1 2( ) ( )f x f x< . Πράγματι, στο

διάστημα 1 2[ , ]x x η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως,

υπάρχει 1 2( , )x xξ ∈ τέτοιο, ώστε 2 1

2 1

( ) ( )( )

f x f xf

x xξ

−′ =−

, οπότε έχουμε

2 1 2 1( ) ( ) ( )( )f x f x f x xξ′− = −

Επειδή ( ) 0f ξ′ > και 2 1 0x x− > , έχουμε 2 1( ) ( ) 0f x f x− > , οπότε

1 2( ) ( )f x f x< .

• Στην περίπτωση που είναι ( ) 0f x′ < εργαζόμαστε αναλόγως.

ΣΧΟΛΙΟ

y

O x

y=g(x)+c

y=g(x)



Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι

γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της

δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ.

24. Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο και το τοπικό

ελάχιστο.

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

0x A∈ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε

0( ) ( )f x f x≤ για κάθε 0 0( , )x A x xδ δ∈ ∩ − + .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το 0( )f x τοπικό

μέγιστο της f.

• Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο

0x A∈ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε

0( ) ( )f x f x≥ , για κάθε 0 0( , )x A x xδ δ∈ ∩ − + .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το 0( )f x τοπικό

ελάχιστο της f.

25. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό

σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: 0( ) 0f x′ =

ΑΠΟΔΕΙΞΗ



Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x

τοπικό μέγιστο. Επειδή το 0x είναι εσωτερικό

σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό

τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0δ > τέτοιο, ώστε

0 0( , )x xδ δ− + ⊆ ∆ και

0( ) ( )f x f x≤ , για κάθε 0 0( , )x x xδ δ∈ − + .

(1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0 0

0 00

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim

x x x x

f x f x f x f xf x

x x x x− +→ →

− −′ = =

− −.

Επομένως,

— αν 0 0( , )x x xδ∈ − , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

( ) ( )0

f x f x

x x

−≥

−, οπότε θα

έχουμε

0

00

0

( ) ( )( ) lim 0

x x

f x f xf x

x x−→

−′ = ≥

− (2)

— αν 0 0( , )x x x δ∈ + , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

( ) ( )0

f x f x

x x

−≤

−, οπότε θα

έχουμε

0

00

0

( ) ( )( ) lim 0

x x

f x f xf x

x x+→

−′ = ≤

−. (3)

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε 0( ) 0f x′ = .

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

ΣΧΟΛΙΟ:Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ,

στα οποία η f ′ είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών

ακροτάτων. Επομένως, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων

y

O

f(x0)

x0−δ x0+δ x0 x



τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η

παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο

διάστημα Δ.

26. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( , )α β , με

εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

i) Αν ( ) 0f x′ > στο 0( , )xα και ( ) 0f x′ < στο 0( , )x β , τότε το 0( )f x είναι

τοπικό μέγιστο της f. (Σχ. 35α)

ii) Αν ( ) 0f x′ < στο 0( , )xα και ( ) 0f x′ > στο 0( , )x β , τότε το 0( )f x είναι

τοπικό ελάχιστο της f. (Σχ. 35β)

iii) Aν η ( )f x′ διατηρεί πρόσημο στο 0 0( , ) ( , )x xα β∪ , τότε το 0( )f x δεν

είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( , )α β . (Σχ.

35γ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

i) Eπειδή ( ) 0f x′ > για κάθε 0( , )x xα∈ και η f είναι συνεχής στο 0x , η f

είναι γνησίως αύξουσα στο 0( , ]xα . Έτσι έχουμε

0( ) ( )f x f x≤ , για κάθε 0( , ]x xα∈ . (1)

Επειδή ( ) 0f x′ < για κάθε 0( , )x x β∈ και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο 0[ , )x β . Έτσι έχουμε:

0( ) ( )f x f x≤ , για κάθε 0[ , )x x β∈ . (2)



y

O

f (x0)

f ΄<0 f ΄>0

β a x0 x

y

O

f ΄<0 f ΄>0

β a x0 x

35a

f (x0)

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει:

0( ) ( )f x f x≤ , για κάθε ( , )x α β∈ ,

που σημαίνει ότι το 0( )f x είναι μέγιστο της f στο ( , )α β και άρα τοπικό

μέγιστο αυτής.

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως.

y

O

f ΄<0 f ΄>0

β a x0 x

y

O

f ΄<0 f ΄>0

β a x0 x

35β

iii) Έστω ότι

( ) 0f x′ > , για κάθε 0 0( , ) ( , )x x xα β∈ ∪ .

y

O

f ΄>0

f ΄>0

β a x0 x

y

O

f ΄>0

f ΄>0

β a x0 x

35γ

Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από

τα διαστήματα 0( , ]xα και 0[ , )x β . Επομένως, για 1 0 2x x x< < ισχύει

1 0 2( ) ( ) ( )f x f x f x< < . Άρα το 0( )f x δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα

δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )α β . Πράγματι, έστω

1 2, ( , )x x α β∈ με 1 2x x< .



— Αν 1 2 0, ( , ]x x xα∈ , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0( , ]xα , θα ισχύει

1 2( ) ( )f x f x< .

— Αν 1 2 0, [ , )x x x β∈ , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0[ , )x β , θα ισχύει

1 2( ) ( )f x f x< .

— Τέλος, αν 1 0 2x x x< < , τότε όπως είδαμε 1 0 2( ) ( ) ( )f x f x f x< < .

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει 1 2( ) ( )f x f x< , οπότε η f είναι

γνησίως αύξουσα στο ( , )α β .

Ομοίως, αν ( ) 0f x′ < για κάθε 0 0( , ) ( , )x x xα β∈ ∪ .

27. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και

Παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα

προς τα άνω και πότε προς τα κάτω;

Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και

π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ′

είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η

f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

28. Πότε το σημείο Α( 0 0, ( )x f x ) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής

παράστασης της f;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( , )α β , με εξαίρεση

ίσως ένα σημείο του 0x . Αν

• η f είναι κυρτή στο 0( , )xα και κοίλη στο 0( , )x β , ή αντιστρόφως, και

• η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο 0 0( , ( ))A x f x ,



τότε το σημείο 0 0( , ( ))A x f x ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής

παράστασης της f.

29. Πότε η ευθεία x x= 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f;

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια 0

lim ( )x x

f x+→

, 0

lim ( )x x

f x−→

είναι +∞ ή−∞ , τότε η

ευθεία x x= 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της f.

30. Πότε η ευθεία y = ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο−∞ );

Αν lim ( )x

f x→+∞

= ℓ (αντιστοίχως lim ( ) )x

f x→−∞

= ℓ , τότε η ευθεία y = ℓ λέγεται

οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως

στο−∞ ).

31. Πότε η ευθεία y xλ β= + λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f στο+∞ , (αντιστοίχως στο−∞ );

Η ευθεία y xλ β= + λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f

στο+∞ , αντιστοίχως στο−∞ , αν

lim[ ( ) ( )] 0x

f x xλ β→+∞

− + = ,

αντιστοίχως

lim[ ( ) ( )] 0x

f x xλ β→−∞

− + = .

32. Να διατυπώσετε τους κανόνες de L’ Hospital

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή 00

)



Αν 0

lim ( ) 0x x

f x→

= , 0

lim ( ) 0x x

g x→

= , 0 , x ∈ ∪ −∞ +∞ℝ και υπάρχει το 0

( )lim

( )x x

f x

g x→

′′

(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

0 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

′=

′.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή +∞+∞

)

Αν 0

lim ( )x x

f x→

= +∞ , 0

lim ( )x x

g x→

= +∞ , 0 , x ∈ ∪ −∞ +∞ℝ και υπάρχει το

0

( )lim

( )x x

f x

g x→

′′

(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

0 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

′=

′.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμες στο x0 οι συναρτήσεις:

α. x, x 0

f(x)=ηµx, x > 0

≤

x0 = 0

β.

2x 3x+1,x 1f(x)=

5x, x > 1

+ ≤

x0 = 1

γ.

2 1x ηµ , x 0

f(x)= x 0 , x = 0

≠

x0 = 0

2. Αν η f είναι συνεχής στο 2, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2(x) ( x 5 3).f(x)g = + − είναι παραγωγίσιμη στο 2.

3. Αν η f είναι συνεχής στο 1, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2(x) ( x 3x 2).f(x)g = + − είναι παραγωγίσιμη στο 1.

4. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει x2 - x + 2 ≤ f(x) ≤ 3x

2 - 5x + 4 .

α. Να αποδειχθεί ότι: f(1)=2

β. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=1 και να βρεθεί το f΄(1).

5. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει 2 x3x x f (x) 2x xe− ≤ ≤ +

Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 και να βρεθεί το f΄(0).

6. Δίνεται συνάρτηση f:ℝ ℝ→ με 2(x–1)≤ f(x)≤x2–1

α. Να αποδειχθεί ότι: f(1)=0

β. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=1 και να βρεθεί το f΄(1).

7. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 0= και για κάθε x∈ℝ

ισχύει 2 22xηµx xf (x) ηµ x x≤ ≤ + να βρείτε:

α. Το f (0) . β. Το f (0)′ .



8. Δίνεται συνάρτηση f: ℝ ℝ→ με 2 3f(x) ηµ x+5x≤ ,x ℝ∈ . Να δείξετε ότι η f

είναι παραγωγίσιμη στο x0=0.

9. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: ℝ ℝ→ με g΄(0)=2 και 2f(x) g(x) x , x ℝ− ≤ ∈ .

Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0.

10. Να βρείτε την παράγωγο της f στο x0, όταν:

α. 2x f(x) 1 x x≤ − ≤ + για κάθε x ℝ∈ και x0 = 0.

β. 2 4xf(x) xxηµ− ≤ για κάθε x ℝ∈ και x0 = 0, f(0) = 0.

γ. 2 22x x f(x) x 2x+2− ≤ ≤ − για κάθε x ℝ∈ και x0 = 1.

11. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο ℝ , παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε

x∈ℝ , ισχύει 3 2 2f (x) x f (x) x ηµ2x+ ⋅ = ⋅ . Να αποδείξετε ότι f (0) 1′ = .

12. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο ℝ , παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε

x∈ℝ , ισχύει 3 2 2 2f (x) 2xf (x) x f (x) x ηµ2x− + = . Να αποδείξετε ότι

f (0) 2′ = .

13. Να βρείτε τις τιμές των α, β∈ℝ για τις οποίες η συνάρτηση

23x x, x 2f(x) =

x , x 2α β

− ≥

+ < είναι παραγωγίσιμη στο 0x 2= .


2

2

x x + β, x 2f(x) =

x 5, x>2

α + ≤

+ είναι παραγωγίσιμη στο 0x 2= .


2

3

x + 2, x 1f(x) =

2x , x < 1

≥−

+ −

α

β είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1= − .

16. Αν f(x)=2

2

x 3, x<1

αx +β, x 1

+

≥, να βρείτε τα α, β ℝ∈ έτσι, ώστε η f να είναι

παραγωγίσιμη στο x0=1.



17. Για την συνάρτηση f: ℝ ℝ→ ισχύουν f(1)=2 και f΄(1)=3. Να βρείτε τις

τιμές των α, β ℝ∈ ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο 1 ή

[ ]3f ( ) , 1

g(x), 1

x x

ax xβ

<=

− ≥

18. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο ℝ και ισχύει 2x 1

f (x)lim 4

x 3 2→=

+ − . Αν η

f είναι συνεχής στο 1, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1.

19. Έστω f, g συναρτήσεις ορισμένες στο ℝ για τις οποίες ισχύουν οι

παρακάτω συνθήκες:

Η fείναι παραγωγίσιμη στο 1.

x 1

f (x) xlim 3

x 1→

−=

− και

x 1

g(x)lim 4

x 1→=

−.

Να βρείτε: α. την f (1) β. f (1)′ γ. το 2

x 1

f (x) xlim

g(x)→

−

20. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1, να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση

2f (x ) , x 1g(x)

f (2x 1) , x 1

≤=

− > είναι παραγωγίσιμη στο 1 με

g (1) 2f (1)′ ′= .

21. Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ ℝ→ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 3.

Αν f (3x) , x 1

g(x)f (5x 2) , x 1

≤=

− >και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 1,

να αποδείξετε ότι f (3) 0′ =

22. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, να υπολογίσετε τα όρια :

α. 0 0

0

f( 2 ) f ( 5 )lh

x h x him

h→

− − +

β. 2 2

0 0

0

f ( 2 ) f ( 5 )lh

x h x him

h→

− − +

γ. 0 0 0

0

f ( 2 ) f ( 5 ) 2f ( )h

x h x h xlim

h→

− + + −



23. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α.

α. Να δειχθεί ότι 2 2f (x) x f ( )

lxx a

a aim

a→

−−

=α2f´(α)-2αf(α)

β. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο α, να βρεθεί το:

( )f (x) (x)f ( )

lxx a

g a g aim

a→

−−

24. Για μια συνάρτηση f ισχύει:

2 2019 2x [f(x)] 2018f(x)=x 4+ − για κάθε x ℝ∈ και η f είναι συνεχής στο

0x 2= . Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 2= .

25. Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f(x)=2x x, x<1

x 1, x 1

−− ≥

στο σημείο Α(1, f(1)).

26. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ(2, f(2))

όταν: 2 22x x+2 f(x) 3x 5x+6− ≤ ≤ − για κάθε x ℝ∈ .

27. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων:

α. f(x)=3εφx–2σφx β. f(x)=xlnx γ. f(x)=t ·ex ·ημx

δ. f(x)=2x 1

x 2

+−

ε. f(x)=lnx

x στ. f(x)=

ηµx

x

ζ. f(x)=ηµx 1

ηµx 1

+−

η. f(x)=x

2

2ηµt·e

x θ. f(x)=x

3συνx ·lnx

28. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο x0:

α. f(x)=3 x

x x+2− , x0=4 β. f(x)=4lnx–x

2+ x , x0=1

γ. f(x)=ex ·ημx, x0=0 δ. 3

0f(x)=x ln x, x 1=



29. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

α.

2x 1, x<0f(x)=

συνx, x 0

+

≥ β.

3

4

x , x 0g(x)=

x , x>0

≤

30. Δίνεται η συνάρτηση 2x 1, x<1

f(x)=lnx , x 1

−

≥

α. Να βρείτε την f ′ .

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(-2, f(-2))

31. Αν f μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

f (4) 0′ = και 2(f (x)) f(x)′ = για κάθε x ℝ∈ , τότε:

α. Να βρεθεί ο τύπος της f.

β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf , που είναι παράλληλη στην

ευθεία δ: x+2019= −y .

32. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) , ώστε να είναι ( )x xe P(x) e x(x 1)− −′⋅ = ⋅ −

για κάθε x∈ℝ .

33. Να βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση f αν f (x) f (x) f (x)′ ′′⋅ = για κάθε

x∈ℝ και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο Α(0 ,12).

34. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) με P(0) 4= για το οποίο ισχύει:

( )28P(x) P (x) P (x)′ ′′= ⋅ , για κάθε x∈ℝ .

35. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

2

3

, 2

, 2

ax x

x x x

β

γ

+ ≤

+ > . Να βρείτε τις τιμές των α, β,

γ ℝ∈ για τις οποίες η γραφική της παράσταση έχει στο σημείο

Α(2, f(2)) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία: ε: -8x+y+2019=0.

36. Έστω 2f(x) x 5x= − . Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένη της Cf που

διέρχεται από το σημείο Α(5,-4).

37. Αν 3f(x) x= , να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από

το σημείο Α(0,-16).



38. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων:

α.f(x)=(2x3+3)

4 β.

2f(x)= x x+1+ γ. f(x)=2x+σφ

3x

δ.f(x)= ln (3x2+ 49 1x + ) ε. f(x)=ηµ(4x+5) ζ. f(x)=συν(5x+8)

η.2x 5xf(x)=e + θ. 2f(x)= x xe+ ι. 2 4f(x)=ln(x x 5)+ +

39. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ να βρεθεί η παράγωγος της

συνάρτησης:

α. g(x) =ημ2f

2(x) β. g(x)=f(e

xσυνx) γ. g(x)=(f

2(x)+f(x)+3 3)

.

40. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) ℝ+∞ → τέτοια ώστε:

2f(x)+f(x ) 3ln x+4= , για κάθε x>0.

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(1,f(1)).

41. Δίνεται η άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ℝ ℝ→ και η συνάρτηση

g : ℝ ℝ→ έτσι ώστε:

2xg(x)= 2 .f(x)+3x

4

+

. Να δείξετε ότι g (0) 3′ = .

42. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι παραγωγίσιμη και έχει την

ιδιότητα: 3 3f(x x+1)=7x x+ − για κάθε x ℝ∈ . Να βρείτε:

α. την παράγωγο της f στο 0x = 3.

β. Την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(3, f(3)).

43. Έστω μια συνάρτηση f : ℝ ℝ→ παραγωγίσιμη για την οποία υποθέτουμε

ότι: x xf(xe ) 2e= , για κάθε x ℝ∈ .

α. Να βρείτε την f (0)′ .

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0,f(0)).

44. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ , για την οποία ισχύει:

f(lnx) xlnx-x , x>0.=

α. Να αποδείξετε ότι η fC ′ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf, στο σημείο με τετμημένη 0.

γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου, το οποίο σχηματίζεται από την

εφαπτομένη της Cf στο σημείο της με τετμημένη 0x 1= και τους άξονες x x′ και

y y′ .

45. Έστω μια συνάρτηση f : ℝ ℝ→ παραγωγίσιμη για την οποία υποθέτουμε

ότι: f(µ-x)=f(µ+x)+2x , x∈ℜ .

α. Να βρείτε τον αριθμό f (µ)′ .

β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(μ, f(μ)) είναι κάθετη στην

ευθεία δ: x+2019=y .



46. Μια πολυωνυμική συνάρτηση f έχει την ιδιότητα:

2

x x

f(x) 1(x 3x+2), x

e e

′ = − − ∈

ℝ . Να βρείτε:

α. Τον βαθμό της f.

β. Την συνάρτηση f.

47. Έστω η συνάρτηση xf (x) e x= + , x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση 1f − της οποίας να βρείτε το πεδίο

ορισμού της.

β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η 1f − είναι παραγωγίσιμη στο f ( )ℝ , να βρείτε

την 1(f ) (1)− ′ .

48. Έστω η συνάρτηση f (x) ηµx= ,π π

x A ,2 2

∈ = −

.

α. Να αποδείξετε ότι f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1f − .

β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η 1f − είναι παραγωγίσιμη να βρείτε την

1(f )− ′ .

49. Έστω η συνάρτηση x 3f (x) e x 1= + + , x∈ℝ .



β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η 1f − είναι παραγωγίσιμη στο f ( )ℝ , να βρείτε

την 1(f ) (2)− ′ .

50. Έστω η συνάρτηση 3f (x) x x 1= + + .



β. Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η 1f − είναι παραγωγίσιμη , να βρείτε την

εφαπτομένη της 1fC − στο σημείο της με τετμημένη 0x 3= .

51. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2ln x 2x 1 0+ − = , έχει μοναδική

ρίζα στο (0,1). β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς 0x (0,1)∈ , ώστε η εφαπτομένη

στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2h(x) 2x ln x, x 0= − + > στο

σημείο της με τετμημένη 0x (0,1)∈ , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

52. Νερό ρέει σε κωνική δεξαμενή ακτίνας 6m και ύψους 12m με σταθερό

ρυθμό 1m3/min. Πόσο γρήγορα ανέρχεται το επίπεδο του νερού, όταν το νερό

έχει βάθος 8m; Πόσο γρήγορα αυξάνεται η ακτίνα του επιπέδου αυτού;



53. Μια σκάλα μήκους 10m είναι ακουμπισμένη σε ένα κάθετο τοίχο. Αν το

κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά από τον τοίχο με ρυθμό 2m/sec, όταν απέχει

από τον τοίχο 6m, να βρεθεί πόσο γρήγορα γλιστρά το πάνω μέρος της

σκάλας.

54. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 2m/sec,

εντοπίζεται από παρατηρητή Α που απέχει 300m από το σημείο απογείωσης.

Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο η γωνία στο Α και η απόσταση r του

παρατηρητή από το αερόστατο μεταβάλλονται, όταν το αερόστατο βρίσκεται

400m από το έδαφος.

55. Ένα αερόστατο είναι 100m πάνω από το έδαφος και ανεβαίνει

κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα 5m/sec. Ένα αυτοκίνητο περνά κάτω από

το αερόστατο και προχωρά κατά μήκος ενός ίσιου δρόμου με σταθερή

ταχύτητα 72 km/h. Πόσο γρήγορα αλλάζει η απόσταση μεταξύ τους ένα

δευτερόλεπτο αργότερα;

56. Ένας άνθρωπος ύψους 2m περπατάει με ταχύτητα 1m/sec προς ένα

στυλό της ΔΕΗ, με το φως στο πάνω άκρο του να βρίσκεται σε ύψος 8m από το

έδαφος.

α. Με τι ρυθμό αλλάζει μήκος η σκιά του;

β. Με τι ρυθμό κινείται η κορυφή της σκιάς του;

57. Η ευθεία ε στρέφεται γύρω από το Α(4,2) με ρυθμό 2 110 5d

dt

λ − −= , όπου

λ∈(0, +∞ ) ο συντελεστής διεύθυνσης της. Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες

Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του

εμβαδού του τριγώνου ΟΜΝ ως προς τη χρονική στιγμή που η ευθεία

διέρχεται από το σημείο Β(5,4).

58. Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 10cm3

/sec.

α. Να βρείτε τον ρυθμό αύξησης της επιφάνειας της σφαίρας τη χρονική

στιγμή που η ακτίνα της είναι ρ=5cm.

β. Ποια είναι η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνειά της

αυξάνεται με ρυθμό 2cm2 /sec.

59. Ένας ποντικός βρίσκεται στην κορυφή μιας σκάλας ύψους 13m που

είναι στερεωμένη πλάγια σε έναν τοίχο. Αν η βάση της σκάλας γλιστράει με

ρυθμό 3m/sec, όταν είναι 5m από τον τοίχο, να βρεθεί ο ρυθμός που πέφτει ο

ποντικός.



60. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 3m/sec

εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο σε ένα σημείο Α, που απέχει 600m από

το σημείο απογείωσης Β. Βρείτε το ρυθμό με τον οποίο η γωνία Θ = ˆΒΑΜ

και η απόσταση S=(ΑΜ) (όπου Μ η θέση του αερόστατου) μεταβάλλονται όταν

το μπαλόνι βρίσκεται 600m πάνω από το έδαφος.

61. Έστω x > 0 και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα

σημεία Ο(0,0), Α(4x,0) και Β(0, x -2). Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 2

cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν x = 9 cm.

62. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =lnx, x>0 και το σημείο Μ(α,lnα), α >0.

α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ.

β. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

γ. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ΄ψ με σταθερή ταχύτητα

υ = 2m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως

προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ

διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

63. Σημείο Μ κινείται στην παραβολή 2y 2x= , x 0> και ο ρυθμός

μεταβολής της τετμημένης είναι 3cm/sec.

α. Τη χρονική στιγμή που η απόσταση ΟΜ του σημείου από την αρχή των

αξόνων είναι 68 cm , να βρείτε:

i. Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης.

ii. Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου που έχει τις δύο

πλευρές του στους άξονες και διαγώνιο ΟΜ.

iii. Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας ˆθ MOx= .

β. Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ όταν οι ρυθμοί μεταβολής των

συντεταγμένων του είναι ίσοι.

64. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 29x 14x 9, αν x 1

x+1 , αν x>1

− + ≤

.Να εξετάσετε αν

εφαρμόζεται τα θ. Rolle στο διάστημα [0, 2] για τη συνάρτηση f.

65. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2

x , αν x 0

αx +βx , αν x>0

ηµ ≤

. Να βρείτε τις τιμές α,

β∈ℝ για τις οποίες η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημα



[-π, 1] και έπειτα να βρείτε όλα x0∈(-π, 1) για τα οποία ισχύει f΄( x0) = 0.

66. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [2,3] και f(3) –f(2) = ln3-ln2, να αποδείξετε

ότι υπάρχει ξ∈(2,3), ώστε ( ) 1f ξ

ξ′ = .

67. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και

( ) ( ) 2 2f α f β α β− = − . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )0x α, β∈ τέτοιο, ώστε: 0 0( )f x 2x′ = .

68. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(3α–β)x4+(3β–2α)x

3–αx

2–2βx. Να αποδειχθεί

ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ(ξ,f(ξ)) της Cf με ξ∈(0,1) τέτοιο, ώστε η

εφαπτομένη της Cf στο Μ να είναι παράλληλη στον άξονα x´x.

69. Έστω η συνάρτηση f(x)=(x–α)μ

(x–β)ν όπου α < β και μ, ν θετικοί

ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένας, τουλάχιστον, x0∈(α, β) τέτοιος,

ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ(x0,f(x0))

να είναι παράλληλη στον άξονα x´x.

70. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xσυνx. Να δείξετε:

α. η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημαπ π

,2 2

− ,

β. η εξίσωση xεφx=1 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα π π

,2 2

−

71. Έστω δυο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α, β],

παραγωγίσιμες στο (α, β) για τις οποίες ισχύουν:

i) g(x)≠ 0 στο [α, β] και g´(x)≠ 0 στο (α, β) και

ii) f(β)g(α)–f(α)g(β)=0


α. Για τη συνάρτηση H(x)=f(x)g(x)

εφαρμόζεται το θ. Rolle στο [α, β]

β. υπάρχει ένας, τουλάχιστον, x0∈(α, β) τέτοιος, ώστε: 0 0

0 0

f '(x ) f(x )=

g'(x ) g(x )

72. Έστω μια συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα [1, e] και παραγωγίσιμη

στο (1, e) για την οποία ισχύει f(e)=1+f(1). Να αποδείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση g(x)=f(x)–lnx ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ. Rolle στο

διάστημα [1, e].

β. Υπάρχει ένας, τουλάχιστον, x0∈(1, e) τέτοιος, ώστε f΄(x0)=0

1

x.



73. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=κx3+λx

2+x+1, x∈ℝ όπου κ, λ πραγματικοί

αριθμοί με κ>λ και κ+λ< -2. Να δείξετε ότι:

α. Η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (-1, 1) .

β. λ2≥3κ

74. Αν η εξίσωση x4 + αx

3 + 3βx

2 + γx + δ = 0 έχει τέσσερες ρίζες πραγματικές

και άνισες μεταξύ τους (α,β,γ,δ ∈ℝ ), να αποδείξετε α2>8β.

75. Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

i) Είναι συνεχής στο [α,β]

ii) Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και

iii) f(α) = f(β) = 0.


α. Για τη συνάρτηση g(x) = f (x)

x c− όπου c∉[α, β] εφαρμόζεται το θ. Rolle στο

διάστημα [α, β].

β. Αν c∉[α,β], τότε υπάρχει x0∈(α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο

σημείο της (x0, f(x0)) να διέρχεται από το σημείο (c,0).

76. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x 3x 2019+ = , έχει το πολύ μια

πραγματική ρίζα.

77. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [α, β], 0<α<β,

παραγωγίσιμη στο (α, β) και τέτοια ώστε: 2019 2019β f(α)=α f(β) . Να δειχθεί ότι

υπάρχει ξ∈(α, β) τέτοιο ώστε: ξ f ′ (ξ)=2019f(ξ).

78. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [5, 11], παραγωγίσιμη

στο (5, 11) και τέτοια ώστε: 2019 201911 f(5)=5 f(11). Να δειχθεί ότι υπάρχει

ξ∈(5,11) τέτοιο ώστε: ξ f ′ (ξ)=2019f(ξ).

79. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [1,3], παραγωγίσιμη στο

(1,3) και τέτοια ώστε: 3f(1)=f(3). Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(1,3) τέτοιο ώστε:

ξ f ′ (ξ)=f(ξ).

80. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x-2019)ημx. Να δείξετε ότι:

α. Η εξίσωση f (x)=0′ , έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 2019).

β. Η εξίσωση x+εφx=2019, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 2019).

81. Να αποδείξτε ότι μεταξύ δύο τυχαίων ριζών της εξίσωσης exημx = 1

βρίσκεται μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ex

συνx + 1 = 0.



ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

( )c cx ′=

νx =

v 1x

v 1

+ ′ +

v 1ν f (x)

f (x)f (x)v 1

+ ′ ′ = +

( )ηµx συνx ′= − ( )ηµf (x)f (x) συνf (x) ′′ = −

( )συνx ηµx ′= ( )συνf (x)f (x) ηµf (x) ′′ =

( )x xe e ′= ( )f (x) f (x)e f (x) e ′′ =

xx αα

lnα

′ =

f (x)f (x) αα f (x)

lnα

′ ′ =

( )2

1εφx

συν x′= ( )2

f (x)εφf (x)

συν f (x)

′ ′=

( )2

1σφx

ηµ x′= − ( )2

f (x)σφf (x)

ηµ f (x)

′ ′= −

( )1ln x

x′= , x 0> ( )f (x)

ln f (x)f (x)

′ ′=

2

1 1

x x

′ = −

2

f (x) 1

f (x) f (x)

′′ = −

( )12 x

x

′= ( )f (x)

2 f (x)f (x)

′ ′=

( )f (x) g (x) f (x) g(x) ′′ ′+ = +

( )f (x)g(x) f (x)g (x) f (x)g(x) ′′ ′+ =

2

f (x)g(x) f (x)g (x) f (x)

g (x) g(x)

′′ ′ −=

( )2

2

f (x)f (x) f (x) f (x)

f (x) f (x)

′′′ ′ ′− =

2

xf (x) f (x) f (x)

x x

′′ − =

( )x x xe f (x) e f (x) e f (x) ′′ + =



82. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ και f (x) 0′′ ≠ για

κάθε x∈ℝ .

α. Δείξτε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ δύο ρίζες στο ℝ .

β. Λύστε την εξίσωση x2019 2018x+1=

83. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη

στο (α, β) και f(α) = f(β) =0. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(α, β), ώστε να ισχύει:

f ′ (ξ)+f(ξ)=0.

84. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο

(α, β) και f(α) = f(β) =0. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ∈(α, β), ώστε να ισχύει:

f ′ (ξ)=2019f(ξ).

85. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [-1, 1], για την οποία ισχύει:

f(1)=f(-1) . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈(-1, 1) τέτοιο, ώστε: f ′ (ξ)+2ξf(ξ)=0.

86. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β),

0<α<β με f(α)=f(β)+lnβ

α

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον

x0∈(α, β) τέτοιος ώστε x0·f ´(x0)+1=0

87. Έστω f : [0,1]→ℝ παραγωγίσιμη με f(0) =f(1) = 0. Δείξτε ότι υπάρχει

0x (0, 1)∈ τέτοιο ώστε: 0 0f (x ) 2019f(x ) 0′ + = .

88. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 2f (x) αx βx γx δx ε, α,β,γ,δ,ε= + + + + ∈ℝ .

Αν ισχύει η ισότητα α β γ δ

ε 05 4 3 2+ + + + = , τότε να αποδείξετε ότι η

εξίσωση f (x) 0= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ℝ .

89. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

f (2) f (1) 16− = . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,2∈

τέτοιο ώστε 2f (ξ) 3ξ 6ξ′ = + .

90. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [ ]f : 1,e → ℝ η οποία είναι

παραγωγίσιμη στο ( )1,e . Αν f (e) 0= , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον ξ (1,e)∈ τέτοιο ώστε: ξf (ξ) ln ξ f (ξ)′ = − .

91. Θεωρούμε τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο

[ ]1,2 για την οποία ισχύουν 7

f (1) f (2)3

= − και f (1) 4′ > . Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 1,2∈ τέτοιο ώστε 2

0 0f (x ) x′ = .

β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,2∈ τέτοιο ώστε f (ξ) 4ξ′ = .



92. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο

(α, β) με f(α) = 3β και f(β) = 3α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈(α, β) τέτοιο,

ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Μ(ξ,f(ξ)), να σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία

ω = 2

3

π.

93. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,3] με f(1) = 2019 και

1 1f΄(x)

2 2− ≤ ≤ για κάθε x∈(1,3), να αποδείξετε ότι 2018≤ f(3)≤2020.

94. Αν η συνάρτηση f΄(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f(0) = 0,

να αποδείξετε ότι: f΄(1)< f(1)< f΄(0).

95. Έστω μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] με

f(α) > f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας, τουλάχιστον, x0∈(α, β) τέτοιος,

ώστε f΄(x0)<0.

96. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στοℝ για την οποία ισχύουν:

• f(2018)=0

• η f΄(x) είναι γνησίως φθίνουσα στοℝ .

Να αποδείξετε ότι: f΄(2019)<f(2019)<f΄(2018).

97. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2]

για την οποία ισχύει η σχέση [f(2)–f(1)]·[f(1)–f(0)]<0

Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf παράλληλη στον άξονα x´x.

98. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 1] με f(0)=2019

και f(1)=2017. Να αποδείξετε ότι:

α. Η εξίσωση f(x)=2018 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1)

β. Υπάρχουν α, β∈(0, 1) τέτοιοι ώστε να ισχύει: 1 1

+f '(α) f '(β)

= –1

99. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο [0, 2019], παραγωγίσιμη στο

(0, 2019) με f(0)=0 και f(2019)=2019. Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει x0∈(0, 2019) τέτοιος ώστε f(x0)+x0=2019.

β. Υπάρχουν ξ1, ξ2∈(0, 2019) τέτοιοι ώστε f΄(ξ1)·f΄(ξ2)=1

100. Δίνεται η συνάρτηση f με f(5)=10 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [0,5]

και f΄(x)∈[3,5] για κάθε x∈[0, 5]. Να αποδείξετε ότι:

α. –15 f (0)≤ ≤ –5

β. Η γραφική παράσταση της f τέμνει ακριβώς μια φορά τον άξονα x´x όταν

x∈(0,5).

γ. Ορίζεται η αντίστροφη της f στο [0,5] .

δ. Να λυθεί η εξίσωση f(3+f–1

(x2–3x)) = 10 στο [0,5] όταν το Μ(2,2) ∈Cf.



101. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: [0, 2]→ℝ με f (x) 0′ ≠ για κάθε

( )x 0,2∈ . Να αποδείξετε ότι:

α. f(0) f(2)≠

β. Υπάρχει 0x ∈(0, 2) τέτοιο ώστε 5f(x0) = 2f(0) + 3f(2)

γ. Υπάρχουν ξ1, ξ2, ξ ∈(0, 2),τέτοια ώστε 1 2

3 2 5 + =

f (ξ ) f (ξ ) f (ξ)′ ′ ′.

102. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ .

α. Αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και α∈ℝ να δείξετε ότι:

i) f(x)-f(α)

f (α) < f (x)x-α

′ ′< για κάθε x > α

ii) f(x)-f(α)

f (x) < f (α)x-α

′ ′< για κάθε x < α

β. Αν η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και α∈ℝ να δείξετε ότι:

i) f(x)-f(α)

f (x) < f (α)x-α

′ ′< για κάθε x > α

ii) f(x)-f(α)

f (α) < f (x)x-α

′ ′< για κάθε x < α

103. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

διάστημα [1, 3] τέτοια ώστε: f(1) + f(3) = 2f(2). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον ξ∈(1, 3) τέτοιο ώστε: f (ξ)=0′′ .

104. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 2] και ισχύει:

f(1)=3 και f (x) 2′ ≤ για κάθε x∈(0, 2). Να αποδείξετε ότι:

α. για κάθε x∈[0, 1] υπάρχει ξ1 τέτοιο, ώστε 1f(x) = (x-1)f (ξ ) +f(1)′

β. 1 f(x) 5≤ ≤ για κάθε x∈[0, 2].

105. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], α < β και δύο φορές

παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν f(α)=f2

α β+

=f(β) να δειχθεί ότι υπάρχει

ξ∈(α, β) ώστε f ΄΄(ξ)=0.

106. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ότι

f (6) f (2) 10= + . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 2,6∈ , διαφορετικά

μεταξύ τους, ώστε 1 2f (ξ ) f (ξ ) 5′ ′+ = .



107. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ότι

f (2) f (6)f (0)

5 3= = − . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 0,6∈ ,

διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε 1 2f (ξ ) f (ξ ) 0′ ′+ = .

108. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ , δύο φορές παραγωγίσιμη, της οποίας η

γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y′ στο -5 και ισχύουν:

x 2

xf (x) 2f (2)lim 7

x 2→

−=

− και

2

x 2

x f (2) 4f (x)lim 8

x 2→

−= −

−

α. Να δείξετε ότι f (2) 3′ = και f (2) 1= .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 0,2∈ τέτοιο ώστε

0f (x ) 0′′ =

109. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο ℝσυναρτήσεις f, g για τις οποίες ισχύει:

f΄(x)=g(x), g΄(x)= –f(x). Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση h(x)=f2(x)+g

2(x) είναι

σταθερή στο ℝ .

110. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ , για την οποία ισχύει:

f΄(x)=ex+f(x)

για κάθε x∈ℝ . Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=ex+e

–f(x) είναι

σταθερή.

111. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο ℝ συναρτήσεις f, g για τις οποίες ισχύει:

f΄(x)= –g2(x), g΄(x)= f

2(x).

Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x)=f 3(x)+g

3(x) είναι σταθερή.

Αν f(0)=1 και g(0)=2 να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h.

112. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f (x)+f(x)=0′ για κάθε

x∈ℝ τότε:

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 2 2xg(x)=f (x)e , x∈ℝ είναι σταθερή.

β. Να βρείτε τον τύπο της f αν f(0)=3.

113. Έστω f μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν οι

σχέσεις f(0)=-2016 και f (x)=f(x)+2018′ για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xg(x)=e [f(x)+2018], x ℝ− ∈ είναι

σταθερή στο ℝ .

β. Να βρείτε τον τύπο της f .

114. Έστω μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύουν:

f ΄΄(x)+f(x)=0 για κάθε x∈ℝ και f´(0)=f(0)=1.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g(x)=(f(x))2 +(f ´(x))

2 +f(x)ημx+f ´(x)συνx είναι

σταθερή στο ℝ και έπειτα να βρείτε τον τύπο της g.



115. Έστω f: →ℝ ℝ μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη, με

f(1) = f ′ (1) =1 και f (x)-2f (x)+f(x)=2-x′′ ′ για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xg(x)=(f(x)+x)e− , x∈ℝ έχει σταθερή

παράγωγο.

β. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

116. Nα βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f: →ℝ ℝ στις παρακάτω

περιπτώσεις:

α. f(x)f (x)=0′ για κάθε x∈ℝ , με f(1)=2.

β. f (x)=2xf(x), ′ με f(0) = 1 και f(x) > 0 για κάθε x∈ℝ .

γ. f(x)f (x)=2xe−′ για κάθε x∈ℝ με f(0) = 0.

δ. 2f (x)+2xf (x) 0, f(0)=1′ = και f(x) 0≠ για κάθε x∈ℝ .

117. Έστω f : (1, )+∞ →ℝ παραγωγίσιμη συνάρτηση με:

f(x)

f (x)lnx+ = 1x

′ για κάθε x > 1.

Αν στο σημείο Μ(e, f(e)) η Cf έχει οριζόντια εφαπτομένη, να βρείτε τον τύπο

της f.

118. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση: f : (0, )+∞ → ℝ για την οποία

ισχύει 1

f 2 e2 =

και ( )xf (x) x 1 f (x)′ = − για κάθε x 0> . Να βρείτε τον

τύπο της f .

119. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση: π

f : (0, )2→ ℝ για την οποία ισχύει

π

6πf e

6 =

και f (x)ηµx f (x)συνx f (x)ηµx′ − = για κάθε π

x (0, )2

∈ . Να

βρείτε τον τύπο της f .

120. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

f (x) 2f (x) f (x) 0′′ ′− + = για κάθε x∈ℝ . Επίσης η εφαπτομένη της fC στο

σημείο της Μ( )0,f (0) έχει εξίσωση y 5x 3= + . Να βρείτε:

α. Τις τιμές f (0)′ και f (0) .

β. Τον τύπο της f .




f ( 2) 3− = και ( ) 2x 1 f (x) 2x x 3′− = + − για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τον

τύπο της f .


f (2) 11= και ( ) 2x 1 f (x) 2x 3x 5′− = + − για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τον

τύπο της f .


α. 3f(x) = x 3x+1− β.

3 2x xf(x) = 2x+1

3 2− −

γ. f(x) = xlnx-x+1 δ. xf(x) = e x−

ε. 2f(x) = ln( x 4x 3)− + − ζ.

2 1 xf(x) = x e−


2

x 4x, x 0 ή x 4f(x) =

3x 4x, 0 < x < 4

+ ≤ ≥

−

α. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής .

β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.


α. x 4 2f(x) = 4e x 6x 4x+1+ + − β.

2f(x) = 2xlnx x 1− +

γ. 2f(x) = 4 x 3x 4x+1ηµ− − + δ.

2f(x) = 2xlnx x−

126. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 2x x+lnx = 2+ β.

x x x x2 3 4 = 9+ +

γ. x 2e (x+1+ln(x 1)) = 1+ δ. x x x3.2 4.3 = 3.6+

127. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύει

[ ] [ ]20172019 3 xf x f x f( ) ( x x( ) 202) e 0+ = + ++ , για κάθε x∈ℝ . Να αποδείξετε

ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

128. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύει

f´ x ) 9( 201> , x ℝ∈ Να αποδείξετε ότι:

α. ( )f x f 0 2( ) 019x> + στο (0, +∞ )

β. ( )f x f 0 2( ) 019x< + στο (–∞ , 0).



129. Έστω f, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ℝ , για τις οποίες

υποθέτουμε ότι2 x( ) ( )g΄ x f´ x ηµ x e 1= + + + για κάθε x∈ℝ .

Να αποδειχτεί ότι: ( ) ( )g x f 0 f) g( 0(x)+ > + για κάθε x>0.

130. Αν 0 < α < 2019, να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 είναι:

–2019x –αxαe 2019 2019·e α+ > + .

131. Αν f(x) = xlnx+1 και 1 < α < β να δειχτεί ότι: lnα lnβ

< β α

132. Αν 2f(x) = 2lnx-x και 1 < α < β να δειχτεί ότι: 2 2α α β

ln > β 2

−

133. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών στις παρακάτω εξισώσεις:

α. 4x3+2x

2+12x–6 = 0 β. 2x

3+3x

2+12x+12 = 0

γ. x3–3x+1 = 0 δ.

4 3 23x 4x 12x 4 = 0+ − +

134. Δίνεται η συνάρτηση: 3 2f (x) x 6x 12x ln x= − + + .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 2018= έχει μοναδική ρίζα.

135. Έστω η συνάρτηση xf(x) = xe 2019− .

α. Να μελετηθεί η μονοτονία της f.

β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση xx = 2019e− έχει μια ακριβώς λύση στο

( )1,− +∞

136. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις

συναρτήσεις

α. 2f(x) = 2x 8x+3− β.

3 2f(x) = x 3x 9x+5+ −

γ. xf(x) = e x− δ.

ln xf(x) =

x

ε. 2

4x+5f(x) =

x 1− στ.

2f(x) = x 4x−

137. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f(x) = 2x 15x 36x-30− + .

α. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f.

β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία της Cf με τετμημένες τις θέσεις τοπικών

ακροτάτων της f και το Ο(0, 0) είναι συνευθειακά.



138. Η συνάρτηση 2

2

αx βf (x)

x 3+

=+

, με β 3α> και α 0≠ , έχει σύνολο τιμών

το ( ]β 7,2α 1− − . Να δείξετε ότι α 2= και β 9= .

139. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3 2x 3x 9x λ 0− − − = για

τις διάφορες τιμές του λ∈ℝ .

140. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 3 2x 2 3xe αe+ = για τις

διάφορες τιμές του α∈ℝ .

141. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) λ1 ln x e 1− = για τις

διάφορες τιμές του λ∈ℝ .

142. Θεωρούμε συνάρτηση g(x) 1 2ln x= − και παραγωγίσιμη συνάρτηση

( )f : 0,+∞ → ℝ για την οποία ισχύει 2f (e) e 4= − και 2xf (x) 2x 4′ = − για

κάθε x 0> . Να αποδείξετε ότι:

α. 2f (x) x 4ln x= − για κάθε x 0> .

β. Οι fC και gC έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

γ. Στο κοινό τους σημείο οι fC και gC έχουν κοινή εφαπτομένη, της οποίας

να βρείτε την εξίσωση.

143. Έστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ παραγωγίσιμη τέτοια ώστε: 5 x f (x) +f(x) = e x+2018− , για κάθε x∈ℝ . Να εξετάσετε την f ως προς την

μονοτονία και τα ακρότατα.

144. Για μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών ℝ ισχύει ότι: 3 2 3 2f (x)+2f (x)+3f(x) = x 2x 6x-1− + , για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο

ανοικτό διάστημα (0, 1).

145. Να αποδείξετε ότι στις παρακάτω περιπτώσεις η παραγωγίσιμη

συνάρτηση f δεν έχει τοπικά ακρότατα.

α. f(x)e f(x) = x+lnx+ για κάθε x > 0.

β. 3 3f (x)+3f(x) = x 3x+2+ για κάθε x∈ℝ .



146. α. Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της

συνάρτησης g x ln 1( ) x – x= + , x>0

β. Να λύσετε την εξίσωση g(x)=0

γ. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, +∞ ) για την οποία

ισχύει η σχέση: 2

31 xf (x)+2019f(x)=xlnx- +2019

3 2, x > 0

i) Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο x0

ii) Να εξετάσετε αν η f έχει στο x0 τοπικό ακρότατο.

147. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο(0, +∞ ) για την οποία ισχύουν:

f(1)=e και x 2f – e 1( )x x+ ≤ για κάθε x>0. Να αποδείξετε ότι f´(1)+2=e.

148. Έστω f: (0,+ )∞ →ℝ παραγωγίσιμη και για κάθε x > 0 ισχύει:

x 2f x e 2lnx) x( 1+≤ + + με f(1)=e+2. Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1,e+2).

149. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν:

f(0)=2019 και f x 2019( ) ηµx≥ + , x∈ℝ . Να βρείτε:

α. το f´(0)

β. την εξίσωση της εφαπτομένης της cf στο σημείο της Α(0, f(0)).

150. Αν για κάθε x∈ℝ ισχύει: x x x3α 5β 7γ 15+ + ≥ , όπου α,β,γ∈ℝ *

+ , να δείξετε ότι: 3 5 7α ·β · γ 1= .

151. Δίνεται συνάρτηση f , δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , για την οποία

ισχύει: 2f (x) f (α) f (β)≤ + , για κάθε α,β∈ℝ με α β< . Να αποδείξετε ότι:

α. f (α) f (β)=

β. Η εξίσωση f (x) 0′′ = έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες.

152. Να εξετάσετε ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής τη

συνάρτηση f(x)=2x +1

x 1−.

153. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x αx x 1) βx( = + + + . Να βρεθούν τα α, β∈ℝ

ώστε η f, να έχει σημείο καμπής το A(1, 4).

154. Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία

ισχύει: 3 x 3f΄ x f´( ( )) ( )x e x+ = + , x∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η γραφική

παράσταση της f δεν έχει σημείο καμπής.



155. Δίνεται η συνάρτηση–xf x x( ) ( 2)e= + , x∈ℝ . Να δείξετε ότι:

α. Η Cf έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.

β. Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της είναι κάθετη στην ευθεία

y x 2019= +

156. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

( )4 3 2 2 2f x 2x 4αx 6α 12α 15 x( ) x α= + + − + + + δεν έχει σημείο καμπής για

κάθε α∈ℝ .

157. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x –( ) 3x lnα= + , x∈ℝ και α>0.

α. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα και το σημείο καμπής της Cf.

β. Έστω x1, x2 είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f και x3 θέση σημείου

καμπής της f. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(x1, f(x1)), B(x2), f(x2)) και

Γ(x3, f(x3)) είναι συνευθειακά.

γ. Αν η ευθεία ΑΒ διέρχεται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε τον α.

158. Έστω η συνάρτηση ( )3 2 2f x αx 9βx 54x – 3β 1 µ( ) = + + + όπου αβ≠ 0.

Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες το Α(1, f(1)) είναι σημείο καμπής της

Cf και η εφαπτομένη της Cf στο Α είναι κάθετη στην ευθεία

δ: x 45y 2018 0+ + = .

159. Έστω μια συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία

ισχύει f΄(x)≠ 0 στο ℝ και η συνάρτηση g τέτοια, ώστε g(x)f΄(x)=2f(x) για κάθε

x∈ℝ . Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το

Α(x0, f(x0)), τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Β

(x0, g(x0)) είναι παράλληλη στην ευθεία δ: ψ = 2x-2018.

160. Έστω μια συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία

υποθέτουμε ότι ισχύουν:

• f΄΄(x)>4(f´(x)–f(x)) για κάθε x∈ℝ και

• η f έχει στο σημείο x0∈ℝ τοπικό ακρότατο το μηδέν.


α. η συνάρτηση g(x)=f(x)e–2x

είναι κυρτή στο ℝ .

β. f(x)≥0 για κάθε x∈ℝ .

161. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , για την οποία

ισχύει f΄(x)≠0 για κάθε x∈ℝ και η συνάρτηση g τέτοια ώστε:

g(x)f΄(x)= -2f(x) για κάθε x∈ℝ .



Αν η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το Α(x0,f(x0)), να βρεθεί η

εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της g στο σημείο Β(x0,g(x0)) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο

εμβαδού 16 τ.μ.

162. Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ ,

τέτοια ώστε για κάθε x∈ℝ να ισχύει: ( ) ( )22019 x 2x 1 f΄ x f΄ x e − + =+

α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.

β. Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα.

γ. Για κάθε x∈ℝ να δειχθεί ότι f΄(x)≥ f΄(1)

δ. Για κάθε x∈ℝ να δειχθεί ότι f(x+1)>f(x)

ε. Να λυθεί η εξίσωση f(x2-5x+7)=f(1)

163. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β],α<β για την οποία ισχύουν:

• f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β].

• Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [α, β].

• f(α)=f(β)=0.

Να δειχθεί ότι f(x) < 0 για κάθε x∈(α, β).

164. Αν η συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και

f(x).f (x)=2018′ για κάθε x∈ℝ , να δείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.

165. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , που έχει στη

θέση x=3 τοπικό ακρότατο. Αν η f ′ στρέφει τα κοίλα κάτω στο

[0 , 5], να δείξετε ότι: 2f (0)+3f (5) < 0′ ′ .

166. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης: 5 4 3 2f(x)=x 5 x 10 x x x+1α β+ + + + παρουσιάζει τρία σημεία καμπής, να

αποδείξετε ότι α2 > β.

167. Δίνεται η συνάρτηση 2x 4f x e x( ) = + .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.

β. Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α ( )0,f (0) .

γ. Να αποδείξετε ότι: 4

2x

2019 2x x1

e 2018+ −

≤+


168. α. Να αποδείξετε ότι x 2e x x> − για κάθε x∈ℝ .

β. Δίνεται η συνάρτηση 3 4 xf x 2x x 12e( ) = − −

i. Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο της Α ( )0,f (0) .

ii. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.



iii. Να αποδείξετε ότι: x 4 312e x 2x 12x 12≥ − + + + για κάθε x∈ℝ .

169. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2 nx – 3( ) ( ) 4x –1= +ℓ

α. Να βρείτε τις f΄ και f΄΄.

β. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

γ. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.

δ. Να βρείτε το πρόσημο της f καθώς και το σύνολο τιμών της f.

ε. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 22x nx – 3x 4x –1 0+ =ℓ .

170. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα

[2009, 2013], παραγωγίσιμη στο (2017, 2021) και f(2018)=f(2020)=0. Aν η f

στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα [2017, 2021], να αποδειχθεί ότι:

α. f(2017) f(2021) > 0

β. H f παρουσιάζει ελάχιστο στο (2017, 2021)

171. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων:

α. f(x) = 2

2

x 3x 1+−

β. f(x) = 2x 3x 5

x 1+ −+

γ. f(x) = 2x 2x 3x 2+ +−

δ. f(x) = 2x 4x 5+ + ε. f(x) = ln xx

ζ. f(x) = x2

1

xe .

172. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f(x)=2018x+2

1

x.

173. Αν 2lim 2x +4x 3 (αx+β) 0x→+∞

+ − =

, να προσδιορίσετε τους

α, β∈ℝ . Ποια η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της σχέσης;

174. Έστω ότι η ευθεία y=2x+5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f στο +∞ .

α. Να βρείτε τα: x

f(x)lim

x→+∞ και [ ]

xlim f(x) 2x→+∞

−

β. Να βρείτε τον μ∈ℝ αν: 2x

µf(x)+4xlim 1

xf(x) 2x +3x→+∞=

−



175. Έστω ότι η ευθεία y=x+2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f στο +∞. Αν 2 2

2

( ) f (x) 2019l

xf ( ) x 2018→+∞

+ +− +x

imx

µ ν=μ,

μ, ν∈ℝ να δειχθεί ότι τα σημεία Μ(μ, ν) βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να

βρεθεί η εξίσωση.

176. Έστω μια συνάρτηση f: (0,+∞ )→ℝ για την οποία ισχύει xe xf (x) 1− ≤ ≤

για κάθε x > 0. Να δείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι ασύμπτωτη της Cf.

177. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έxει στο +∞ ασύμπτωτη την

ευθεία ψ=x+2, να βρείτε τον μ∈ℝ , ώστε:

2 2

2 4 3x

9x 1f (x) 3 x 4lim 10

x f (x) x 1 x 2→+∞

+ + µ +=

+ + − +.

178. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: →ℝ ℝ για τις οποίες ισχύει:

( ) ( )f x g x x 4− = − για κάθε x∈ℝ .

Η y 3x 7= − είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ .

α. Να υπολογίσετε τα όρια:

g(x)

A= limxx→+∞

2

g(x)+5x+ηµ2xB= lim

xf(x)-3x 1x→+∞ +

β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3= − είναι ασύμπτωτη της Cg στο +∞ .

179. Μια συνάρτηση f έχει την ιδιότητα: 4

52x+2018 f(x) 2x+2018+

x≤ ≤

για κάθε *x∈ℝ . Να αποδείξετε ότι η Cf έχει πλάγια ασύμπτωτη.

180. Για μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ ισχύει ότι:

3 2

2

2019x 6x 52019x+6 f(x) - 4

x

+ +≤ ≤ , *x∈ℝ .

Να εξετάσετε αν η Cf έχει πλάγια ασύμπτωτη.

181. Θεωρούμε Α το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f(x) = -x2+2αx παρουσιάζει ακρότατο και Β το σημείο

καμπής της γραφικής παράστασης της g με g(x) = x3-3βx

2. Αν τα Α και

Β βρίσκονται στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης h με 2

x x

3xh(x) =

e xe−, να αποδείξετε ότι (ΑΒ) = 3μ.



182. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:

Α = x 0

x xlim

1 x→

− ηµ− συν

Β = 3 2

3x 1

x 5x 8x 4lim

x 1→

− + −−

Γ = x x

x 0

e e 2xlim

x x

−

→

− −− ηµ

Δ = ln x

x 1

2 xlim

ln x→

− Ε =

xx 0

1 1lim

x e 1→

− − Z =

x

2x 0

e x 1lim

x→

− −ηµ


Α = x

3x ln xlim

x ln x→+∞

++

Β = x

xx

e 2x 1lim

4e x 3

−

−→ +∞

+ ++ +

Γ = 3

2x

ln(1 x )lim

ln(2 x )→+∞

++


Α = 2

x 0lim(x ln x)

+→ Β =

1x

xlim x(e 1)→+∞

− Γ = [ ]x 0lim ln x ln(x 1)

+→+

Δ = 2 xlim (x ln x-e )x→+∞

+ Ε = 1

xlim (x+2)x→+∞

185. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

1x

x ln x x , x > 0

1 , x=0

e ln( x) , x < 0

+ α −β

− + α

. Να βρείτε τις τιμές

των α,β ώστε η f να είναι συνεχής στο x0=0.

186. Να βρείτε τις τιμές των α, β∈ℝ , ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να

είναι παραγωγίσιμες στο x0 όταν:

α. f(x) =

xe 1 , x 0

ηµx+βσυνx , x > 0

α − ≤

και x0=0.

β. f(x) = x-1

ln x 1 , x > 1

e x , x 1

+ α −

+β −β ≤ και x0=1.

187. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

ηµx xxf x e f( ) ( )x ηµx e+ = + για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε την f(0).



188. Έστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.


2h 0

f (x 2h) 3f (x) 2f (x h)lim 3f΄ (x)

h→

+ − + −= .

189. Θεωρούμε συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ με συνεχή

δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν τα εξής:

• Η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

• Παρουσιάζει ακρότατο στο x0=0.

• και f΄΄(0)=2.

Να αποδείξετε ότι: 2

x 0

x +f(x)lim =1

x · f (x)→

190. Έστω η συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2x

2

(f(x)+2-3x)(e 1)lim = 2019

x→+∞

+x

α. Να υπολογίσετε το όριο 2

2x

xA = lim

e 1x→+∞ +

β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ .

191. Δίνεται η συνάρτηση f: ( ,0)−∞ →ℝ με x 2f x 2019x e 2 .( ) ( )x= + −

Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της fC .

192. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) e ηµx 2019= + ,να αποδείξετε ότι:

α. Η fC έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞

β. Η fC τέμνει την παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ

1. Έστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία

ισχύει f (x 1) f (3 x)+ = − και f (x) 0′′ ≠ για κάθε x∈ℝ .

α. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0′ = .

β. Αν η συνάρτηση f ′′ είναι συνεχής στο [ ]0,3 και ισχύει:

f (0) f (1)< να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις

θέσεις ολικών ακροτάτων στο [ ]0,3 .

2. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [ α, β ] ( 0 < α < β ) συνάρτηση f για την

οποία ισχύουν: ( )( )21

flim

1x

x a a

x→

−= −∞

− και

( )( )2 2lim 1 fx

x x xβ β→+∞

+ + − = −∞

Να δείξετε ότι:

α. f(α) < α και f(β) > β

β. Αν g(x) = x τότε η Cf και Cg έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο (x0, y0) με

x0∈(α , β)

γ. Υπάρχει θ ( ) α ,β∈ ώστε ( )f 1θ′ >

3. Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : →ℝ ℝ , τέτοιες ώστε

3 2f (x) 4x 24x 15= − + και 3g(x) 2x= για κάθε x∈ℝ .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα μονοτονίας

της.

γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) 0= .

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς τρείς εφαπτομένες της γραφικής

παράστασης της g οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ν(4, 15).

4. Δίνεται μη σταθερό πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει:

( )24P(x) P (x)′= για κάθε x∈ℝ και ( )xlim P(x) x 1→+∞

− = , να βρείτε:

α. Το πολυώνυμο P(x) .



β. Το όριο ( ) ( )2 2

x 1

x x ηµ x 1lim

P(x)→−

+ − .

γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της g όπου P(x)

g(x)x 2

=−

.

5. Δίνεται συνάρτηση f με xf(x) = e + x + 2019. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1

β. Να δείξετε ότι η fC και η -1fC δεν έχουν κοινά σημεία.

γ. Να λύσετε την εξίσωση: 3 2x + 4 x + 4x 2e - e = (4-x )(x 1)−

6. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ για την οποία ισχύουν:

x 1

f (x) 3xlim 2

x 1→

−=

− και f (3) 3= .

α. Να αποδείξετε ότι f (1) 3= .

β. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο M(1, 3).

γ. Να αποδείξετε ότι η fC τέμνει την ευθεία y 2x= τουλάχιστον μία φορά

στο διάστημα (1, 3).

δ. Να αποδείξετε ότι, αν η f είναι κυρτή, τότε παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο

στο διάστημα (1, 3).

7. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με fD = [1 , 2] για την οποία

ισχύει: 2 216f (2) f (1) 17

f (x)8

+ +′ = (1) για κάθε x∈[1 , 2]

α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική λύση στο [1 , 2].

β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈(1 , 2) τέτοιο ώστε f(ξ) = -3

γ. Να βρείτε τον τύπο της f.

δ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της -1f .


2f(x) x -4xx -1

= .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x.

γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x.



δ. Να εξετάσετε αν η Cf έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας.

ε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

στ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου


ζ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x3–αx

2–4x+α=0, όπου α ∈ℝ .

9. Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει:

x xf (e ηµx) 2e= για κάθε π π

x ,2 2

∈ −

.

α. Να δείξετε ότι f (0) 2′ = .

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο Α ( )0,f (0) είναι η

y 2x 2= + .

γ. Αν ένα σημείο κινείται πάνω στην προηγούμενη ευθεία και η τετμημένη

του αυξάνεται με ρυθμό 2cm/sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της

τεταγμένης του σημείου.

10. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f (x) 2x 15x 24x= − + .

α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.

γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) λ= για τις διάφορες τιμές του λ∈ℝ .

δ. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής

της αν υπάρχουν.

11. α. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα και να βρείτε το

σύνολο τιμών της συνάρτησης g(x) x ln x= − .

β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της 1xf (x) e ln x= .

γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών

της.

12. α. Να δείξετε ότι: 1

ln x 1x

+ ≥ για κάθε x 0>

β. Να δείξετε ότι η 2

2 1g(x) ln x

x x= + − έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

1,1

e

.

γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση xf (x) e ln x= ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

δ. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της

συνάρτησης f του προηγούμενου ερωτήματος.



13. α. Να λύσετε την εξίσωση x x x3 2 5+ = .

β. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ με f (x) 2f (x)′ = − για κάθε

x∈ℝ .

i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 2xg(x) e f (x)= είναι σταθερή στο ℝ .

ii. Να βρείτε τον τύπο της f αν f (0) 1= .

iii. Αν h,φ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο ℝ , με

h (x) 2h(x) φ (x) 2φ(x)′ ′+ = + για κάθε x∈ℝ και h(0) φ(0)= , τότε να δείξετε

ότι h φ= .

14. Δίνεται συνάρτηση xf (x) e ln(x 1) 1= − + −



γ. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 0= .

δ. Αν για τους αριθμούς α,β∈ℝ με 2α β 0+ > και α 2β 1 0+ − > , ισχύει: 2α β 1 α 2β 2e ln(2α β) e ln(α 2β 1) 2+ − + −− + + − + − ≤ να υπολογίσετε τους α,β∈ℝ .



ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζετε

αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ;

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική

συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F

που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

F (x) f (x)′ = , για κάθε x∈∆ .


Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια

παράγουσα της f στο Δ, τότε

• όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) F(x) c= + , ℝc∈ ,

είναι παράγουσες της f στο Δ και

• κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) F(x) c= + , ℝc∈ .

• Κάθε συνάρτηση της μορφήςG(x) F(x) c= + , όπου c∈ℝ , είναι μια

παράγουσα της f στο Δ,

αφού G (x) (F(x) c) F (x) f (x)′ ′ ′= + = = , για κάθε x∈∆ .

• Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x∈∆

ισχύουν

F (x) f (x)′ = και G (x) f (x)′ = , οπότε G (x) F (x)′ ′= , για κάθε x∈∆ .

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G(x) F(x) c= + , για κάθε

x∈∆ .

3. Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη

γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με ( )f x 0≥ , τον άξονα x΄x και

τις ευθείες x = α και x = β.



Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου

Ω εργαζόμαστε ως εξής:

• Χωρίζουμε το διάστημα [ , ]α β σε ν

ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους

xβ − α

∆ =ν

, με τα

σημεία 0 1 2x x x ... xνα = < < < < = β .

• Σε κάθε υποδιάστημα 1[x ,x ]κ− κ

επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο κξ και

σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν

βάση x∆ και ύψη τα f ( )κξ . Το άθροισμα των εμβαδών των

ορθογωνίων αυτών είναι

1 2 1S f ( ) x f ( ) x f ( ) x [f ( ) f ( )] xν ν ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ = ξ + + ξ ∆⋯ ⋯ .

• Υπολογίζουμε το lim Sνν→+∞.

Αποδεικνύεται ότι το lim Sνν→+∞ υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο

από την επιλογή των σημείων κξ . Το όριο αυτό ονομάζεται

εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με ( )Ε Ω . Είναι

φανερό ότι ( ) 0Ε Ω ≥ .

4. Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας

συνεχούς συνάρτησης f στο [ ],α β .

Με τα σημεία

0 1 2x x x ... xνα = < < < < = β

χωρίζουμε το διάστημα [ , ]α β σε ν

ισομήκη υποδιαστήματα μήκους

xβ − α

∆ =ν

.

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα 1[x ,x ]κ κ− κξ ∈ , για κάθε

1,2,..., κ∈ ν , και σχηματίζουμε το άθροισμα

1 2S f ( ) x f ( ) x f ( ) x f ( ) xν κ ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ + + ξ ∆⋯ ⋯

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: 1

S f ( ) xν

ν κκ=

= ξ ∆∑ .

∆x

β av=−

xν-1 x2 ... x1 xν=β α=x0 ξν ξk

Ω

ξ2 ξ1 O x

y=f (x) y

f(ξ1) f(ξ2) f(ξk)

f(ξν)

xk ... xk-1

xv-1 ξv

y=f(x)

ξk ξ2 ξ1 x2 x1 xv a=x0 O

y



Αποδεικνύεται ότι,

“Το όριο του αθροίσματος Sν , δηλαδή το lim→∞

=

∑

1

( )ν

κν

κ

f ξ ∆x (1)

υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των

ενδιάμεσων σημείων κξ ”.

Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της

συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με

( )f x dx∫β

α και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f από το α στο β”.

Δηλαδή, 1

f ( x )d x lim f ( ) xνβ

κα ν→ ∞κ =

= ξ ∆

∑∫

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του

ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι:

Αν f (x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το

ολοκλήρωμα f (x)dxβ

α∫ δίνει το εμβαδόν E( )Ω του

χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f τον άξονα x x′ και τις ευθείες

x = α και x = β . Δηλαδή, ( )f x dx =∫ ( )β

αΕ Ω .

Επομένως Αν f (x) 0≥ , τότε f (x)dx 0β

α≥∫

5. Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος;

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

Έστω f ,g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [ , ]α β και ,λ µ∈ℝ . Τότε

ισχύουν

• f (x)dx f (x)dxβ β

α αλ = λ∫ ∫

• [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dxβ β β

α α α+ = +∫ ∫ ∫

και γενικά

• [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dxβ β β

α α αλ + µ = λ + µ∫ ∫ ∫

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και , ,α β γ∈∆ , τότε ισχύει

f (x)dx f (x)dx f (x)dxβ γ β

α α γ= +∫ ∫ ∫

β α

Ω

O x

y=f(x)

y



ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο

Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ]α β . Αν

f (x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β και η συνάρτηση f δεν είναι παντού

μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε f (x)dx 0β

α>∫ .

6. Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης;

f (x)g (x)dx [f (x)g(x)] f (x)g(x)dxβ ββ

αα α′ ′= −∫ ∫ ,

όπου f ,g′ ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ , ]α β .

7. Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής;

2

1

u

uf (g(x))g (x)dx f (u)du

β

α′ =∫ ∫ ,

όπου f ,g′ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x)= , du g (x)dx′= και

1u g( )= α , 2u g( )= β .

8. Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού

και να το αποδείξετε.

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [ , ]α β . Αν G είναι

μια παράγουσα της f στο [ , ]α β , τότε f (t)dt G( ) G( )β

α= β − α∫

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η συνάρτηση x

F(x) f (t)dtα

= ∫ είναι μια παράγουσα της f στο [ , ]α β .

Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [ , ]α β , θα υπάρχει

∈ℝc τέτοιο, ώστε G(x) F(x) c= + . (1)Από την (1), για x = α ,

έχουμε G( ) F( ) c f (t)dt c cα

αα = α + = + =∫ , οπότε c G( )= α .

Επομένως, G(x) F(x) G( )= + α ,

οπότε, για x = β , έχουμε G( ) F( ) G( ) f (t)dt G( )β

αβ = β + α = + α∫

και άρα f (t)dt G( ) G( )β

α= β − α∫ .



9. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ]α β με

f (x) g(x) 0≥ ≥ για κάθε x [ , ]∈ α β . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του

χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g, και

τις ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) (f (x) g(x))dxβ

αΩ = −∫

Ω

(α) O x

y=g(x)

y=f (x) y

Ω1

(β) O x

y=f (x) y

Ω2

(γ) O x

y=g(x)

y

Παρατηρούμε ότι

1 2( ) ( ) ( ) f (x)dx g(x)dx (f (x) g(x))dxβ β β

α α αΕ Ω = Ε Ω −Ε Ω = − = −∫ ∫ ∫ .

Επομένως, E( ) (f (x) g(x))dxβ

αΩ = −∫ .

10. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ]α β Να

αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις

γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι:

E( ) (f (x) g(x))dxβ

αΩ = −∫

Επειδή οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο [ , ]α β , θα υπάρχει

αριθμόc∈ℝ τέτοιος ώστε f (x) c g(x) c 0+ ≥ + ≥ , για κάθε x [ , ]∈ α β .

Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο ′Ω

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε:

( ) ( ) [(f (x) c) (g(x) c)]dx (f (x) g(x))dxβ β

α α′Ε Ω = Ε Ω = + − + = −∫ ∫ .

β α

(α)

Ω

O x

y

y=g (x)

y= f (x)

β α

(β)

Ω΄

O x

y

y=f (x)+c

y=g (x)+c



Άρα E( ) (f (x) g(x))dxβ

αΩ = −∫ .

11. Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [ , ]α β με ( )g x 0<

για κάθε x [ , ]∈ α β Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που

περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξονα x΄x και τις

ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) g(x)dxβ

αΩ = −∫

Επειδή ο άξονας x x′ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) 0= , έχουμε

E( ) (f (x) g(x))dx [ g(x)]dx g(x)dxβ β β

α α αΩ = − = − = −∫ ∫ ∫ .

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g(x) 0≤

για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε E( ) g(x)dxβ

αΩ = −∫

β

Ω

α O

x

y=g (x)

y



ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΡΧΙΚΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΡΧΙΚΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

0 c α x cα + f (x)′ f (x) c+

νx , v -1≠

v 1xc

v 1

+

++

νf (x)f (x)′ v 1f (x)

cv 1

+

++

ηµx συνx c− + ηµf (x) f (x)′⋅ συνf (x) c− +

συνx ηµx c+ συνf (x) f (x)′⋅ ηµf (x) c+ xe xe c+ f (x)e f (x)′⋅ f (x)e c+

xα ,α 0,α 1> ≠

xαc

lnα+

f (x)α f (x)′⋅

f (x)αc

lnα+

2

1

συν x

εφx c+ 2

f (x)

συν f (x)

′

εφf (x) c+

2

1

ηµ x

σφx c− + 2

f (x)

ηµ f (x)

′

σφf (x) c− +

1

x

ln x c,x 0+ >

f (x)

f (x)

′

ln f (x) c+

2

1

x

1c

x− + 2

f (x)

f (x)

′

1c

f (x)− +

1

x

2 x c+

f (x)

f (x)

′

2 f (x) c+

( x )να +β

11 ( x )c

1

ν+α +β⋅ +

α ν +

2

1

ηµ (αx β)+

1σφ(αx β) c

α− ⋅ + +

( x )ηµ α +β

1( x ) c− ⋅συν α +β +

α

2

1

συν (αx β)+

1εφ(αx β) c

α⋅ + +

( x )συν α +β

1( x ) c⋅ ηµ α +β +

α

xeα +β

x1e cα +β⋅ +

α

1

x −ρ ln x c−ρ + 1

xα +β

1ln x c⋅ α + β +

α

x , 0, 1β +γα α > α ≠

x1c

ln

β +γα⋅ +

β α



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να δείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση 2

F(x) 3ln x ln x 1x 1

= − − −−

είναι μία αρχική της

συνάρτησης 2

3 2

2x 3x 3f (x)

x 2x x

− +=

− + .

β. Η συνάρτηση ( )2F(x) ln x x 1= + + με x∈ℝ είναι μία αρχική

της συνάρτησης 2

1f (x)

x 1=

+ .

γ. Η συνάρτηση 2x x1

F(x) e e x2

= − + είναι μία αρχική της

συνάρτησης 3x

x

e 1f (x)

e 1

+=

+ .

2. Να βρείτε τα ,α β∈ℝ ώστε η συνάρτηση x xF(x) ( 1)xe e

2

β= α − − ,

για κάθε x∈ℝ να είναι αρχική της συνάρτησης xf (x) (2x 5)e= + , για

κάθε x∈ℝ .

3. Να βρείτε τα , ,α β γ∈ℝ ώστε η συνάρτηση x 4 3 2F(x) e (x x x x 24)= − α +β − γ + , για κάθε x∈ℝ να είναι αρχική της

συνάρτησης 4 xf (x) x e= , για κάθε x∈ℝ .

4. Να βρείτε τις αρχικές(παράγουσες) των παρακάτω συναρτήσεων:

α. f (x) = x2+2ημx-3 β. f (x) = x x1

3e 2x− +

γ.2

2

x x x 1f (x) , x>0

x

− += δ.

3 2

2

x x 2f (x)

x

ηµ + συν −=

ηµ

ε. 2

1 1f (x)

x συν x= + στ.

x+ xf (x)

x x=

5. Να βρείτε τις αρχικές(παράγουσες) των παρακάτω συναρτήσεων:

α. f (x) = 5e3x-2

β. 5

f (x)2 3x

=−

γ. f (x) = συν(x

3+5)

δ. 2

1f (x)

(5x 1)=συν −

ε. f (x) = e2x+3

+συν3x στ. 1-2xf(x)=3 .



6. Να βρείτε τις αρχικές (παράγουσες) των παρακάτω συναρτήσεων:

α. 2018f(x)=(2x+1) β.

3x 1f(x)=2e − γ. f(x)=ηµ(2 3x)−

δ. 2x +3f(x)=xe ε.

2

xf(x)=

x +1 στ.

2 2019f(x)=(2x 1)(x x+2)− −

7. Να βρείτε τις αρχικές (παράγουσες) των παρακάτω συναρτήσεων:

α. f (x) x x x= ηµ + ⋅συν β. ( )2 xf (x) x e x 3= +

γ. ( )f (x) x x x 2 x= ⋅ηµ − συν δ. x

f (x) ln x xx

ηµ= ⋅συν +

ε. 2

2

2x x x xf (x) , x 0,

x 2

⋅ηµ − ⋅συν π = ∈ ηµ

στ. ( )x

2

e x xf (x) , x 0,

x 2

ηµ + συν π = ∈ συν


x x

2

xe e , x 0f (x)

x x 1, x 0

+ ≥=

ηµ + + <

Να βρείτε τις παράγουσες της f .

9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση: 2

2x

x x x1, x 0

f (x) xe 2x 3, x 0

⋅συν − ηµ + >= α − − ≤

α. Να δείξετε ότι 4α = .

β. Να βρείτε τις παράγουσες της f .

10. Δίνεται συνάρτηση ( )f : 0 , + ∞ →ℝ , με f (1) 9= , και F μια

αρχική της f στο ( )0 , +∞ για την οποία ισχύει:

3 2F(x) xf (x) 2x x= − − για κάθε x 0> . Να βρείτε:

α. Τον τύπο της f .

β. Τις αρχικές της 2

f (x)g(x)

x= .

11. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ και F μια αρχική της f στο

ℝ , με F(0) 0= , για την οποία ισχύει:

2 32xF(x) x f (x) 4x f (x)+ = − για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε:


β. Την ασύμπτωτη της fC στο +∞ .

12. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ ,με f (1) 1= , και έστω F μια αρχική

της f στο ℝ για την οποία ισχύει: F(x) f (2 x) 1⋅ − = για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g(x) F(x) F(2 x)= ⋅ − είναι



σταθερή.


γ. Να βρείτε τις παράγουσες της f (x 1)

h(x)f (x) 1

+=

+ .

13. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την

οποία ισχύει ότι:

η εφαπτομένη της fC στο σημείο ( )0,f (0) είναι παράλληλη

στον άξονα x x′ ,

η fC τέμνει τον άξονα y y′ σε σημείο με τεταγμένη 1,

2f (x) 3x 3 x, x′′ = − ηµ ∈ℝ

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

14. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ∗→ℝ ℝ για την οποία

ισχύει 1

f (1)2

= − και 23f (x) 9xf (x)′ = , για κάθε x∈ℝ .

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

15. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, )+∞ →ℝ

για την οποία ισχύει ότι, 5

f (1) , f(1) 06

′ = = και 4 1

xf (x) f (x) xx

′′ ′= + − ,

για κάθε x 0> . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

16. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ και F μια αρχική της f στο ℝ για

την οποία ισχύει : 2xf (x)F(x) e= , για κάθε x∈ℝ .

Αν f (0) 1= , να αποδείξετε ότι:

α. xF(x) e ,x= ∈ℝ .

β. xf (x) e ,x= ∈ℝ .

17. Ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης μιας βιομηχανίας από την

πώληση x μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από τον τύπο:

800 5t− χιλιάδες ευρώ ανά ημέρα

Ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κόστους δίνεται από τον τύπο:

400 t+ χιλιάδες ευρώ ανά ημέρα.

Αν τη χρονική στιγμή t 1= το κέρδος είναι 497 € , να βρείτε :

α. Τη συνάρτηση κέρδους P(t). β. Το κέρδος τις 10 πρώτες ημέρες.

γ. Το κέρδος τη 10 ημέρα.

δ. Το συνολικό κέρδος από την 3η έως και την 6

η ημέρα.



18. Μια αυτοκινητοβιομηχανία έχει ρυθμό παραγωγής αυτοκινήτων

που δίνεται από τον τύπο 2 33 1

f (t) 25 t t4 3

′ = + + όπου f (t) είναι ο

αριθμός των αυτοκινήτων σε εκατοντάδες που παρήχθησαν τους t

πρώτους μήνες. Να βρείτε:

α. Τον τύπο της συνάρτησης f (t) .

β. Τον αριθμό των αυτοκινήτων που θα παραχθούν από τον 3 0 έως

και τον 8 0 μήνα λειτουργίας της βιομηχανίας.

γ. Τον αριθμό των αυτοκινήτων που θα παραχθούν από τον 2 0 έως

τον 5 0 μήνα λειτουργίας της βιομηχανίας.

19. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ και F μια παράγουσα της

f στο ℝ , για την οποία ισχύει:

F( x)f (x) 2x− = , για κάθε x∈ℝ και F(1) F( 1) 2= − =

α. Να αποδείξετε ότι 2F(x)F( x) 2x 2− = + , για κάθε x∈ℝ .

β. Να δείξετε ότι η F διατηρεί σταθερό πρόσημο.

γ. Να βρείτε:

i. Τον τύπο της f .

ii. Το ( )

x

F(x)F( x)lim

F(x)→+∞

ηµ − .

20. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία

ισχύει: x xf (x) x f (x) e + ηµ′ − συν ⋅ = , για κάθε x∈ℝ με f (0) 1= .

α. Να δείξετε ότι x xf (x) e , x+ ηµ= ∈ℝ .

β. Να βρείτε το xlim f (x)→+∞

.

γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

δ. Να βρείτε την αρχική της x

f (x) f (x)g(x)

e

′ −= .

21. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f : →ℝ ℝ όταν ισχύει:

2f (ln x) 2x x′ = + για κάθε x 0> και f (0) 3= .

22. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f : (0, )+∞ →ℝ όταν ισχύει:

2f (x ) 2x 1, x>0′ = + και f (1) 2= .

23. Έστω f : →ℝ ℝ μια συνεχής συνάρτηση. Να βρείτε την αρχική

συνάρτηση F της f στο ℝ , για την οποία ισχύουν:

F(0) 0= και

2x2xF(x) f (x) e−+ = για κάθε x∈ℝ .

Στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση f .



24. Έστω f : →ℝ ℝ μια συνεχής συνάρτηση με f (1) 2= και F μια

αρχική της f με την ιδιότητα 2x F(x)f (x) 2xe −= , για κάθε x∈ℝ .

Να βρείτε τον τύπο της f .

25. Η F είναι αρχική της συνάρτησης f : →ℝ ℝ και ισχύει

2F(2 x) F(x 4) 6x 2− + − = − , για κάθε x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι f (0) 2= και f (2) 6= − .

β. Αν η f είναι παραγωγίσιμη να αποδείξετε ότι:

i. H fC τέμνει τον άξονα x x′ σ ’ ένα τουλάχιστο σημείο.

ii. Υπάρχει ( )0,2ξ∈ τέτοιο ώστε f ( ) 4′ ξ = − .

26. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ και έστω F μια

αρχική της f , για την οποία ισχύει 2 4 2F(1 2x) F(x 2) x 5x 2x− + + = + + , για κάθε x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι f (1) 1= − και f (3) 3= .

β. Να αποδείξετε ότι:

i. H fC τέμνει τον άξονα x x′ σ ’ ένα τουλάχιστο σημείο.

ii. Υπάρχουν ( )1 2, 1,3ξ ξ ∈ τέτοια ώστε

1 2

1 32

f ( ) f ( )+ =

′ ′ξ ξ .

27. Να βρεθεί η τιμή του κ∈ℝ για την οποία ισχύει:

κ 7 12

2 21 3 κ

x 3x+2 2x-5dx + 4x = xdt dx

x x+7 x x+7

+−

+ +∫ ∫ ∫

28. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

2

2 20 0

x 2x xA dx dx

x 1 4 2 x

π π ηµ= +

ηµ + − συν∫ ∫

29. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

Α= ( ) x12x+3 e dx

0∫ Β= ( )2 2x1x 4x+6 e dx

0+ ⋅∫ Γ=

2018x ln x dx1∫e

Δ=2

ln x dx

1 x∫e

Ε=xe 2x dx

0∫π

ηµ Ζ= xσυν4xdx0∫π

30. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

Α=

2 3 2

1

x 4x 1dx

x

+ −∫ Β=

0

22

3x 2dx

3x 4x 17−

−− +∫ Γ=

1 2

0

3x x 1dx

x 2

+ ++∫



Δ=

2

21

x 2dx

x x

++∫ Ε=

4

33

2x 1dx

x 3x 2

+− +∫ Ζ=

1 2x

x0

edx

1 e+∫

31. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο, για

την οποία ισχύει f (1) 6= και

2 1

21 2

f (x) f (x) dx dx 1

x x

′+ =∫ ∫ .

α. Να δείξετε ότι f (2) 14= .

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )2

1

I x 2f (x) xf (x) dx′= + ∫ .

32. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για

την οποία ισχύει ότι: ( )1

x

0

e f (x) f (x) dx 3′ ′′+ =∫ και ο ρυθμός

μεταβολής της f στο 0x 1= είναι 2

e . Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της fC στο σημείο της ( )M 0,3 .

33. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση:

2αx + βx, x 1

f (x)2x - β , x>1

≤=

Όπου ,α β∈ℝ , για την οποία ισχύει

2

1

f (x)dx 9−

=∫ να βρείτε τις τιμές

των α και β.

34. Να προσδιορίσετε τις τιμές των παραμέτρων ,α β∈ℝ , ώστε για

την συνάρτηση f με τύπο:

2

2

αx + βx 1 , x<1f (x)

x β , x 1

−=

− ≥

να ισχύει :

1

0

f (x)dx3

α=∫

35. α. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )x 1

1 x

x 2 dt 2x 5 dy 0− + − =∫ ∫ .

β. Να λύσετε την εξίσωση

1 e

0 1

x2t ln x dt dt 1

t= −∫ ∫ .



γ. Να λύσετε την ανίσωση ( )x

2

2

x 1 dt 2x 9x 7− ≥ − +∫ .

36. Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος

2

1

f (x)dx∫ όταν ισχύει:

2 2 2 2

1 1 1 1

1f (x) f (x)dx dx x f (x)dx dx

2

= −

∫ ∫ ∫ ∫ .

37. Αν ( )1

0

f x dx 2=∫ και ( )3

2

g x dx 5=∫ , να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα:

1 3

0 2

f (x)g(t)dt dx ∫ ∫ .

38. Έστω f : →ℝ ℝ συνεχής συνάρτηση στο ℝ και g : →ℝ ℝ η

συνάρτηση με ( )1

2 2 2 4

0

g(x) f (t) 2xt f (t) x t dt= − +∫ για κάθε x∈ℝ .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο

12

0

0

x 5 t f (t)dt.= ∫

39. Έστω g : →ℝ ℝ συνεχής συνάρτηση στο ℝ και f : →ℝ ℝ η

συνάρτηση με ( )1

2

0

f (x) x 2t x g(t) dt= − συν +∫ , για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ένα μόνο

ακρότατο του οποίου να προσδιορίσετε το είδος του.

β. Αν επιπλέον ισχύει

2 12

1 0

t g(x)dx dt 14

=

∫ ∫ , να αποδείξετε ότι

f (x) 5≥ , για κάθε x∈ℝ .



40. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x , α, β, γ= α +β + γ ∈ℝ , για την

οποία ισχύει

1

1

f (x)dx 12−

=∫ και η εφαπτομένη της fC στο σημείο της

( )M 1,f (1) έχει εξίσωση y 2x 2= + . Να βρείτε τις τιμές των α, β και γ.

41. Δίνεται συνάρτηση f : ∗→ℝ ℝ με συνεχή πρώτη παράγωγο, για

την οποία ισχύει 1

f (0)2

= .

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

2

20

x x f (x)I dx

f (x) f (x)

π

′ ηµ συν ⋅= +

∫ .

42. Αν ισχύει

5

4

f (x)dx 4=∫ , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

3 5

1 4

I xf (t)dt dx

= ∫ ∫ .

43. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2

12

f (t) xdt dx 2π

π

συν =

∫ ∫ . Να βρείτε τα ολοκληρώματα:

α.

2

1

f (t)dt∫ β.

0 22

2 1

3t f (x)dx dt−

∫ ∫

44. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση: f : →ℝ ℝ για την οποία

ισχύει: ( )2

2

0

xf (x ) 1 dx 4′ + =∫ . Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχει ( )0,4ρ∈ , ώστε f ( ) 1′ ρ = .

β. Υπάρχει ( )0,4ξ∈ , ώστε f ( )2

ξ′ ξ = .

45. Δίνεται συνάρτηση: f : →ℝ ℝ , δύο φορές παραγωγίσιμη για την

οποία ισχύει f (0) 1= και ( )1

2

0

x f (x) 2xf (x) dx 2′′ ′+ =∫ .Επίσης η

εφαπτομένη της fC στο σημείο της ( )M 1,f (1) διέρχεται από το σημείο

( )4,9Α .



α. Να δείξετε ότι f (1) 2′ = και f (1) 3= .

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

12

0

f (x)f (x)dx′∫ .

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0,1ξ∈ , ώστε

f ( ) 0′′ ξ = .

46. Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝγια την οποία ισχύει:

1 1 x x

0e ·f (x)dx f (x) e , x− = + ∈∫ ℝ .

47. Να βρείτε συνεχή συνάρτηση ( )f : 0,+∞ →ℝγια την οποία

ισχύει:

2

1

x 1xf (x)dx f (x),

x

+= −∫ για κάθε x 0> .

48. Να βρείτε συνεχή συνάρτηση f: →ℝ ℝ για την οποία ισχύει:

2

0

f (x) dx f (x) 6= +∫ για κάθε x∈ℝ .

49. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ( )f : 2,+∞ →ℝ και F μια αρχική

της στο διάστημα ( )2,+∞ για την οποία ισχύει F(4) 2= και

( )x 3 F(x) ln(x 2) 2x 6− ≥ − − + , για κάθε x 2> .

Να βρείτε τα ολοκληρώματα:

α. i.

4

3

f (x)dx∫

ii. [ ]4

x

3

e F(x) f (x) dx+∫

β. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )3,4ξ∈ ,ώστε f ( ) 3ξ = .

50. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με συνεχή

παράγωγο, για την οποία ισχύει f (1) 4= και η σχέση:

( )( )e 2 e

2

1 0 1

f (x)f (x) ln x dx 1 x 1 x dx dx

x′ = − + −∫ ∫ ∫ .

α. Να δείξετε ότι 4

f (e)3

= − .

β. Να εξηγήσετε γιατί η f είναι γνησίως φθίνουσα.

γ. Να αποδείξετε ότι:



i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )1,eρ∈ , ώστε f ( ) 3ρ = .

ii. Υπάρχουν ( )1 2, 1,eξ ξ ∈ με 1 2ξ < ξ , ώστε:

1 2

1 131 e

f ( ) 3f ( )+ = −

′ ′ξ ξ

51. Έστω F(x)μια αρχική της 2

1f (x)

x 1=

+ για την οποία ισχύει

F(1) 0= . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

0

I F(x)dx= ∫ .

52. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία

ισχύει f (0) 1= και 2

2xf (x) f (x)

x 1′ = − ⋅

+ για κάθε x∈ℝ .

α. Να βρείτε τον τύπο της f .

β. Αν F(x) είναι αρχική της f (x) στο ℝ με F(1) 0= να

υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

0

I F(x)dx= ∫ .

53. Έστω F(x)μια αρχική της 2f (x) x= ηµ στο ℝ για την οποία

ισχύει F(1) 0= .Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

12

0

I xF(x )dx= ∫ .

54. Δίνεται η συνάρτηση f (x) x= ηµ με x 0,2

π ∈ . Αν F(x) είναι

αρχική της f (x) στο 0,2

π

για την οποία ισχύει F(0) 0= , να


2

0

I x F(x)dx

π

= ηµ ⋅∫ .

55. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με συνεχή πρώτη παράγωγο, για

την οποία ισχύει f (1) 5= και

1

0

f (x)dx 2=∫ . Να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα

1

0

I xf (x)dx′= ∫ .

56. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Οι

εφαπτομένες της fC στα σημεία ( )1,2Α και ( )3,9Β τέμνονται στο

σημείο ( )4,11Γ . Να βρείτε :



α. Τις τιμές f (1)′ και f (3)′ .

β. Το ολοκλήρωμα

3

1

xf (x) dx′′∫ .

57. Δίνεται συνάρτηση f με f ′′ συνεχή στο ℝ για την οποία ισχύει:

0

(f (x) f ΄ (x))· xdx 2π

+ ηµ =∫ .

Αν η fC διέρχεται από το σημείο ( ),1Α π , να υπολογισθεί το f (0) .

58. Αν μια συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο

διάστημα[ ]0,2 με f (4) f (4) 1′= = και f (0) 0= να αποδείξετε ότι:

23 2

0

3x f (x ) dx=

2′′∫ .

59. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ συνεχής, δύο φορές παραγωγίσιμη

με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει:

13 2

0

x f (x ) dx=0′′∫ .

Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0 ,1ξ∈ τέτοιο

ώστε: f ( ) f (1)′ ′ξ = .

60. Έστω μια συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο

διάστημα [ ]0,1 . Αν οι εφαπτομένες της fC στα σημεία ( )1,2Α και

( )0, 1Β − σχηματίζουν με τον άξονα x x′ γωνίες 4

π και

3

π αντίστοιχα,

να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: [ ]1

2x

0

f (x) 4f (x) e dx′′ −∫ .

61. Να υπολογίσετε τα όρια:

α.

( )

( )

x

2xx

2

3

2t 1 dt

lim

6t 2 dt→+∞

−

+

∫

∫.

β.

x2t 1

2xx

3t 5

3

e dt

lim

e dt

−

→+∞+

∫

∫ .



γ.

x

xe

ln tlim dt

t→+∞ ∫ .

62. Έστω η συνάρτηση xf ( )x e 2x – 5= + , x∈ℝ .

α. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο

της 1f (x)−

.

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

e 31

4

I f (x)dx−

−

−

= ∫ .

63. Έστω η συνάρτηση 2019 2017f(x) = x 4x+ , x∈ℝ .


της 1f (x)−

.


51

5

I f (x)dx−

−

= ∫ .

64. Έστω η συνάρτηση 2019f(x) = x x 1+ − , x∈ℝ .


της 1f (x)−

.


11

1

I f (x)dx−

−

= ∫ .

65. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο [ ]1,10 της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία ( )1,8Α και ( )10,13 .Β

Να αποδειχθεί ότι:

10 131

1 8

f (x)dx f (x)dx 122−+ =∫ ∫ .

66. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ με σύνολο τιμών τοℝ η οποία

ικανοποιεί τη σχέση: 3f (x) f (x) x+ = , για κάθε x∈ℝ .

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

2

0

I f (x)dx= ∫ .

67. Αν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και ισχύει 5f (x) 5f (x) x+ = , για κάθε x∈ℝ τότε:

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να βρείτε την 1f − και να υπολογίσετε το f (x)dx

β

α∫ όταν f ( ) 1α = −

και f ( ) 1β = .



68. Αν η συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο [ ]1,1− και για κάθε

[ ]x 1,1∈ − ισχύει: 2f (x) 2f ( x) 3x 10x 2− − = + + , να αποδείξετε ότι

1

1

f (x)dx 6−

= −∫ .

69. Αν για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει ( ) ( )f x f x 2α + + α − = β ,

για κάθε x∈ℝ , να αποδείξετε ότι

2

0

f (x)dx 2α

= αβ∫ .

70. Δίνεται η συνάρτηση x ln x , x 0

f (x) 0 , x = 0

>=

.

α. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

1

0

f (x)dx∫ .

71. Αν f : →ℝ ℝ είναι συνεχής συνάρτηση, να αποδείξετε ότι:

3 32

1 1

f (x)dx 6f(x)dx - 18≥∫ ∫ .

72. Δίνεται συνάρτηση f ,συνεχής στο [ ]1,2 , για την οποία ισχύει:

f(x) > 0 για κάθε [ ]x 1,2∈ και

2 2 2

1 1 1

f(x) f(t)dt dx = f(x) dx + 2

∫ ∫ ∫ .

Να βρείτε το ολοκλήρωμα

2

1

f(x) dx ∫ .

73. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ για την οποία ισχύει

f(x) 0≥ για κάθε x∈ℝ . Να αποδείξετε ότι:

α.

2 3

1 1

f (x)dx f (x)dx≤∫ ∫ .

β.

7 6

4 5

f (x)dx f (x)dx≥∫ ∫ .

74. Δίνεται η συνάρτηση xf(x) = e - x - 1 .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να αποδείξετε 2

2x

1

e dx 6−

≥∫ .




α. 1

ln x 1x

≥ − για κάθε x > 0

β.

2x

1

x dx e 1≥ −∫ .


α. 2x lnx > x–3 για κάθε x > 1.

β.

102

2

(x ·ln x 3)dx 48+ >∫ .

77. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) = x + 2x + 6 .


β. Να αποδείξετε ότι :

1

2-1

2 1 2 dx

9 5x +2x+6≤ ≤∫ .

78. Δίνεται συνάρτηση f : →ℝ ℝ ,παραγωγίσιμη, για την οποία

ισχύει 7

f(1) = 3

και

2(x + 2) f (x) + 2xf(x) = 4x + 2′ για κάθε x∈ℝ .

α. Να βρείτε τον τύπο της f .


γ. Να αποδείξετε ότι :

4

-2

6 f(x)dx 15≤ ≤∫ .

79. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ] [ ]f : 2,4 4,6→ .


4

2

f(x)2 dx 6

x≤ ≤∫ .

80. Να αποδείξετε ότι : 2

2ex 4x 3

0

e dx 2− + ≥∫ .

81. Να αποδείξετε ότι :

12 x

1

4(x 1)·e dx 4e

e −

≤ + ≤∫ .

82. α. Να αποδείξετε ότι: xe x 1≥ + για κάθε x∈ℝ .

β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει: 2019 f(x)

0e dx 2019=∫ Να αποδείξετε ότι:

2019

0f(x)dx 0≤∫



γ. Αν επί πλέον –1

f(x) 22≤ ≤ , να αποδείξετε ότι:

i) 22f x – 3( ) ( )f x –2 0≤ , x∈ℝ

ii) 2019 2

0f (x)dx 2019≤∫ .

83. Α. Έστω [ ]g : α, β → ℝ μια συνεχής συνάρτηση και m , M

η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της g .

Να αποδείξετε ότι: ( )2g (x) - m + M g(x) + mM 0≤ .

Β. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το [ ]1,3 και

σύνολο τιμών το [ ]2,5 , για την οποία ισχύει:

( )3 3

1 1

f(x) - 4 f(t)dt dx = 12

−

∫ ∫ .

α. Να βρείτε το ολοκλήρωμα

3

1

f(x) dx∫ .

β. Να αποδείξετε ότι

32

1

f (x) dx 22≤∫ .

γ. Για κάθε [ ]γ 1,3∈ να αποδείξετε ότι:

γ 3

1 γ

f(x) dx f(x) dx 9⋅ ≤∫ ∫ .

84. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ]f : 1,e → ℝ για την οποία ισχύει

ότι: ( )e e

2

1 1

f (x) dx = 4 x f(x) - x dx∫ ∫ . Να βρείτε:


β. Το ολοκλήρωμα

e

1

1 dx

f(x)∫ .

85. Δίνεται συνάρτηση [ ]f : 0,3 →ℝ , με συνεχή δεύτερη

παράγωγο, για την οποία ισχύει f(0) = 1 και f(3) = 10 και:

( )3

0

f(x) f (x) 4 dx = 10f (3) f (0) 84′′ ′ ′− − −∫ . Να βρείτε τον τύπο της f .



86. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ]f : 0,1 → ℝ και έστω F(x) μια

αρχική της f(x) στο [ ]0,1 . Αν ισχύει:

( )1

2

0

f (x) + 6F(x) dx = 6F(1) 3−∫ . Να βρείτε τον τύπο της f(x) .

87. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2

1f(x)

x +1= .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία στο διάστημα

(0, )+∞ .

β. Να αποδείξετε ότι:

i. 2 2

1 1f(t)

x +2x+2 x +1≤ ≤ , για κάθε x 0> .

ii.

x+1

2 2x

1 1f(t)dt

x +2x+2 x +1≤ ≤∫

iii. Να υπολογίσετε το

x+1

x

lim f(t)dtx→ + ∞ ∫ .

88. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει:

2

1

3f(x)dx

2>∫ και

f(1) 1< . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,2∈ τέτοιο

ώστε f(ξ)=ξ .

89. Δίνονται οι συναρτήσεις: 2f(x) x ηµx + 2xσυνx= και

g(x) = 2ηµx . Αν π

0 α < β2

≤ ≤ , να αποδείξετε ότι

β β

α α

f(x)dx g(x)dx>∫ ∫ .

90. Έστω [ ]f : 1,3 →ℝ μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής με

ελάχιστη τιμή 1− και μέγιστη τιμή 2. Αν

3

1

f(x)dx 0=∫ ,να αποδείξετε :

α.

32

1

f (x)dx 4≤∫ . β.

3

1

xf(x)dx 4≤∫ .



91. Έστω f μια συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο [ ]α,β και:

2

f(α) f(β)-x x x

α β

e dx= e ln(e +1)dx=0∫ ∫ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον ( )0x α,β∈ τέτοιο ώστε 0f (x )=1′ .

92. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης 2f(x)=x 3x+2− , τον άξονα x x′ και των

ευθειών με εξισώσεις x=0 και x=3.

93. Έστω η συνάρτηση f(x)= x .

α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της

( )4,2 .Α

β. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f , την εφαπτομένη της στο Α και τον άξονα

των x x′ .

94. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

xe -e, x<1f (x) lnx

, x 1x

= ≥

.

Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του

χωρίου, το οποίο περικλείεται από την f C , τον άξονα x x′ και τις

ευθείες x=0, x=e.

95. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3 2f x =x –3x – ( ) 4x–2 και

3 2g x =x –7x + ( ) 6x–6.

96. Δίνεται συνάρτηση 2xf(x)=e και έστω F αρχική της f στο ℝ με

F(1)=0.

α. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία.

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις

FC , την ευθεία x=1 και τους άξονες y y′ και x x′ .

97. α. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 1x + , της εφαπτομένης

της στο 0x =3 και του άξονα x x′ .



β. Να βρεθεί ευθεία x= κ που ορίζει στο προηγούμενο χωρίο δύο

άλλα χωρία Ω1 και Ω2 με λόγο εμβαδών 1

2

Ε 59=

Ε 5.

98. α. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται

από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x = ) 4x-x( και του

άξοναx x′ .

β. Να βρεθεί ευθεία y = λx που ορίζει στο προηγούμενο χωρίο

δύο άλλα χωρία Ω1 και Ω2 με λόγο εμβαδών 1

2

Ε 27=

Ε 37.

99. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2f x =x( ) - 4 και του άξονα x x′ χωρίζεται από την ευθεία

2y=λ – 4 σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να βρεθεί το λ +∈ℝ .

100. Δίνεται η συνάρτηση x+2f x =e( ) +3 .

α. Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από την

γραφική παράσταση της f του άξονα x x′ και τις ευθείες x= -2 , x=λ ,

λ > –2 .

β. Να βρείτε την τιμή του λ , ώστε 2E( )

eeλλ

= .

γ. Να υπολογίσετε το όριο:

E( )lim

eλλ→ + ∞

λ.

101. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού - 0ℝ και f(x) > 0 για

κάθε x 0≠ για την οποία ισχύουν 2019

f (1)e

= και 2f x = x f ( ) (x)

α. Να αποδείξετε ότι

1-

xf x =201 e9·( ) .

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

την γραφική παράσταση της 2

f (x)g(x)

x= , τον άξονα x x′ και τις ευθείες

x=1 και x=2.

102. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ , η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη με (f ΄΄ x) 0> για κάθε x∈ℝ . Αν η f παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο στο 0x = 0 με τιμή μηδέν και ( ) ( )f 1 +f -1 = 3 , να

βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f ′ , του άξονα x x′ και των ευθειών με

εξισώσεις x= -1 και x=1.



ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x ·

1xe .

α. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατα (αν

υπάρχουν).

β. Να αποδείξετε ότι –1x xx e≥ για κάθε x > 0.

γ. Να αποδείξετε ότι 2 x

1x x 1d –e≥∫ .

δ. Να βρεθεί το x 0lim f(x)

+→.

ε. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την gC με

2

x-1g(x)= f(x)

x⋅ , τον άξοναx x′ και τις ευθείες x=1,x=2.

2. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ και F μια αρχική της f

για την οποία ισχύει F(1) 0= και

( ) x 2x-2 F(x) e -x + 1−≤ για κάθε x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι:

2

1

f(t)dt 0=∫ .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,2∈ τέτοιο

ώστε: f(ξ) + F(ξ) 0= .

3. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με f(x) 0≠ για κάθε

x∈ℝ , για την οποία ισχύει: f(0) 1= και f (x) 2xf(x)′ = .

α. Να δείξετε ότι 2

f(x) ex= .

β. Αν F είναι αρχική της f με F(1) 0= , να υπολογίσετε το

ολοκλήρωμα

1

0

I= F(x)dx∫ .

γ. Να αποδείξετε ότι

42x

f(x) x +12

≥ + για κάθε x∈ℝ .

δ. Να αποδείξετε ότι

1

0

43f(x)dx

30≥∫ .



4. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ για

την οποία ισχύει f(0)=0 , f (0)=3′ και ( )4 f(x) + f (x) f (x)′ ′′> − , για

κάθε x∈ℝ .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g με τύπο

2xg(x) e f(x) 3x= − ως προς:

i. Την κυρτότητα.

ii. Τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

γραφική παράσταση της f και τις ευθείες x=0 και x=1να δείξετε ότι

2

3 9E

4 4e≥ − .

γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι: ηµ(x+2019)

f(x)x

≤ ,για κάθε x>0

να βρείτε το:

x+1

x

lim f(x)dtx→ + ∞ ∫ .

5. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ με

3

2

2x +3xf(x)=

x +1 .

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.


γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f .

δ. Να υπολογίσετε το όριο:

x

2 0

1lim f(t)dt

xx→ + ∞

∫ .

6. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη με

f(0)=1 και ισχύει f (x) ln2 f(x)′ = ⋅ για κάθε x∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η x

f(x)g(x)=

2 είναι σταθερή και να βρείτε την f .

β. Να υπολογίσετε τα όρια: x

f(x)lim

5x→ + ∞ και

x

f(x)lim

5x→ − ∞.



γ. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0,1)∈ έτσι ώστε να

ισχύει

13

0

ξ f(t)dt 1 ξ= −∫ .

7. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ με f(0)=0 η οποία είναι

παραγωγίσιμη με xf (x) f(x)+2e′ = , για κάθε x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι xf(x) 2xe= .

β. Να υπολογίσετε το όριο:

lim f(x)x→ − ∞

.

γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f .

δ. Αν F(x) είναι μια παράγουσα της f (x) στο ℝ με F(1) 0= να


1

0

I F(x)dx= ∫ .

8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0,+∞ →ℝ , έτσι ώστε

να ισχύουν 3 6 4 2 2-4f(x)f (x)+x +2=f (x)-3xf (x)+3x f (x)′ και

2f (x) x≠ με f(0) 1= .

α. Να αποδείξετε ότι 2 1

f (x)= x+x+1

.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 2fC στο σημείο της

( )2Μ 0,f (0) .

γ. Να υπολογίσετε το ( )e-1 e-1

4 2 2

0 0

I f (x)-2xf (x) dx x dx= +∫ ∫ .

9. Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,+∞ →ℝ η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη με f (1)=f(1)=1 , f(x) > 0′ και

3x f (x) xf (x) + 2f(x) 0′′ ′− = για κάθε x > 0 .

α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι

x-1xf(x)=e , x > 0 .



β. Μελετήστε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και βρείτε

το σύνολο τιμών της.

γ. Αποδείξτε ότι

f(2)21 2

1 f(1)

2 xf(x) dx + (f ) (x) dx=4 1e− −∫ ∫ .

10. Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,+∞ →ℝ η οποία είναι

παραγωγίσιμη με f(1) 2= και ισχύει xf (x) 2x+1′ = για κάθε x > 0.

α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=2x+lnx , x > 0 .

β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα.

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο

( )Α 1, f(1) και να αποδείξετε ότι: 2x+lnx 3x-1≤ .

δ. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση

2 2

1 1

2 f(x)dx f(x)dx 3

0x 2 x 1

− −

− =− −

∫ ∫

έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (1,2) .

11. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ έτσι

ώστε να ισχύουν 2f (x)f(x)+(f (x)) f (x)f(x) (1) , f(0)=1′′ ′ ′= και

1f (0)

2′ = .

α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι

x2f(x)=e .


22018

2

x lnf(x)dx 0−

=∫ .

γ. Αν η συνεχής συνάρτηση gέχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών

το διάστημα [ ]0,1 να αποδείξετε ότι η εξίσωση

x

20

g(t)2x 2018 dt 1

2018+f (t)− =∫ έχει τουλάχιστον μια λύση στο ( ]0,1



12. Δίνεται η συνάρτηση 2xf(x) ln(e 1) ln2x= − − .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να

βρείτε το σύνολο τιμών της.


x+3

x+2

lim f(t)dt + x→ + ∞

= ∞∫ .

γ. Να αποδείξετε ότι

3

2

lim xf(t)dt 0x

x

x

→ + ∞=∫ .

13. Δίνεται συνάρτηση

xef(x)=

x+1 και F μια παράγουσα της f στο

διάστημα ( )1,∆ = − +∞ με F(0)=1 .

α. Να μελετήσετε τηνF ως προς την μονοτονία, ακρότατα,

κυρτότητα και σημεία καμπής.

β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F(F (x) 2019)=1′ − , έχει μοναδική

λύση στο ( )0,+∞ .

γ. Να αποδείξετε ότι F(x+2) F(x+1) > f(x)− για κάθε x > 0.

δ. Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου της fC με τον άξονα x x′ και

τις ευθείες με εξίσωση x=0 και x=1, να αποδείξετε ότι 2E > 3 .

14. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ , έτσι ώστε x x x

t 2 2 t 2

0 0 0

2 t(e 1)f(t)dt t f (t)dt + (e 1) dt− = −∫ ∫ ∫ .

α. Να αποδείξετε ότι

xe 1, x 0

f(x)= x 1 , x=0

−≠

β. Να βρείτε τη συνάρτηση f ′ .

γ. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.

δ. Να λυθεί η εξίσωση 2016 2018 2017 2019f(x )+f(x )=f(x )+f(x ) .

ε. Να βρείτε το όριο

2x

0x

f(t)lim dt

xx +→ ∫ .



ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1. Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ με f(0) 1= , για την οποία ισχύει

( )2y x e f(x) - e f(y) x - y≤ για κάθε x , y∈ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με f (x) f (x)′ =



γ. Να βρείτε το 2

x

f (x x)lim

3 2x 5→−∞

+ηµ −

.

δ. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις g , h στο διάστημα (0, )+∞

με g(1) h(1) 0= = , ώστε για κάθε x 0> να ισχύουν

( )g (x) f h(x)′ = − και ( )h (x) f g(x)′ = −

i. Να αποδείξετε ότι g(x) h(x)= για κάθε x 0> .

ii. Να βρείτε τον τύπο της g στο (0, )+∞ .

2. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο ℝ

με ( ) ( )f 0 g 0= , ( )f x 1′ ≠ και ( ) ( )f x g x′ ′≥ για κάθε x∈ℝ με την

ισότητα να ισχύει για διακεκριμένες τιμές.

α. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )f x x= έχει το πολύ μια ρίζα και στη

συνέχεια να αποδείξετε ότι η ισότηταx

x2

ηµ = αληθεύει μόνο για

x 0= .

β. Αν για την f ισχύει ότι ( ) ( ) ( )2f x f y x y− ≤ − για κάθε x, y∈ℝ , να

δείξετε ότι η f είναι σταθερή.

γ. Να δείξετε ότι ( ) ( )f x g x< για κάθε x 0< και ( ) ( )f x g x> για κάθε

x 0> .

δ. Έστω ότι η κατακόρυφη απόσταση των f gC ,C γίνεται μέγιστη στο ξ . Να

αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των f gC ,C στα σημεία με τετμημένη

0ξ > είναι παράλληλες.

3. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f 0(x)′ ≠ για κάθε

x∈ℝ , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,2)

και B(3,6). α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .



γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της fC που είναι παράλληλη

στην ευθεία y 2x= .

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )1f 4 f (x 2) 6−− − < .

ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (1,3)ξ∈ τέτοιο, ώστε

2f ( ) f (e) f (1,8)ξ = +

στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x (1,3)∈ τέτοιο ώστε 0f (x ) 5= .

ζ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2, (1,3)ξ ξ ∈ τέτοια, ώστε

1 2

3 12

f ( ) f ( )+ =

′ ′ξ ξ

η. Αν f (2) 4= :

i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ′ δέχεται οριζόντια

εφαπτομένη ,αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ και,

ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 1 f (x) 2

0x 1 x 2

− −+ =

− −

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2) .

θ. Έστω F αρχική της f με F(1) 1= και F(3) 6= . Αν η 1f −

είναι

συνεχής, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

γραφική παράσταση της 1f −

, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x 2= και x 6= .


1f (x)

x x=

+

α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

γ. Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσηςf (x) 2019= .

δ. Να βρείτε τις (αν υπάρχουν) της ασύμπτωτες της f .

ε. Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα .

στ. Να βρείτε την εφαπτομένη της f στο σημείο που έχει τετμημένη την

λύση της εξίσωσης ln x x 1= − .

ζ. Να αποδείξετε ότι 4f (x) 7x 9≥ − + για κάθε x 0> .

η. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f .

θ. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

f και τις ευθείες x 1= και x 2= .

ι. Να δείξετε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης5g(x) 4038 (x 1) f (x) ln x= ⋅ + ⋅ ⋅



και τις ευθείες x 1= και x e= είναι ίσο με το x

2019lim f (x) x x

x→+∞

ηµ + ηµ

.

5. Έστω f :[0,3]→ ℝ μία συνάρτηση, η

οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο

και η γραφική παράσταση της f ′ φαίνεται στο

διπλανό σχήμα.

Αν ισχύουν f (0) = 0 και

2E(Ω1) = 2E(Ω2 ) = E(Ω3) = 4 .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη

μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς

την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈ (1,2) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf

στο σημείο M (ξ,f (ξ)) , να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

δ. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της f .

ε. Να βρείτε τα όρια:

i. x 0

1lim

f (x) → ii. ( )

x 1limf f (x)

→ Iii.

x 0

f (x)lim

x → ηµ

6. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτησηf : →ℝ ℝ , με

( )( ) ( ) xf f x f x

4= − , για κάθε x∈ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

β. Αν x +lim f (x)→ ∞

= +∞ και x +

f (x)lim

x→ ∞= λ∈ℝ , να αποδείξετε:

i. ( ) 2

x +

f f (x)lim

x→ ∞= λ ii.

1

2λ =

γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με 1

f (x)4

′ > , για κάθε x∈ℝ ,

να βρείτε το σύνολο τιμών της.

δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

( ) ( ) ( )( )( ) (f 2 x 1 x 1 f 3 x x 1 f 4 x x 1 0) ( )+ − + − + + =

έχει ακριβώς δύο ρίζες 1 2, ( 1,1)ρ ρ ∈ − με

1 2

1 1 f (4) f (3)

f (2)

−+ =

ρ ρ

HP

Σφραγίδα



7. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ με

( ) ( ) ( )2f x 2 2x 1 f x 2= − + για κάθε x∈ℝ και ( )f 0 1 3= − − .

α. Να δείξετε ότι η fC βρίσκεται κάτω από τον x΄x.

β. Να δείξετε ότι ( ) 2f x 2x 1 4x 4x 3= − − − + .

γ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

δ. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1f −.

ε. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f −δεν τέμνονται.

8. Δίνεται η συνάρτηση ( )2 1

x ηµ , x 0f x x

0 , x 0

≠= =

. Να αποδείξετε ότι:

α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= και στη συνέχεια ότι η ευθεία

y 0= (ο άξονας x x′ ) είναι η εφαπτομένη της fC στο O(0,0) .

β. Ο άξονας x x′ έχει με την fC άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που

εφάπτεται της fC .

γ. Η ευθεία y x= είναι ασύμπτωτη της fC στο +∞ και στο −∞ .

δ. H εξίσωση ( ) 1f x f

x =

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα

1, π π

.

ε.

2

x

1x x f

xlim 1

x x→+∞

+ =

+ συν

9. Δίνεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f στο σχήμα. Δίνεται ότι η fC

είναι συμμετρική ως προς την ευθεία 5

x2

=

και διέρχεται από το σημείο Α5 9

,2 4

και δεν είναι παραγωγίσιμη στα x 1=

και x 4= .



α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων 1 1

f , ,f ,f f

′′

.

β. Να βρείτε την μονοτονία της 1

f και τα

( )x 1

1lim

f x→ ,

( )x 4

1lim

f x→.

γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1

f με δεδομένο ότι

είναι κυρτή.

10. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 9f x

x x 2x 4 x 8

−=

− − +.

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .

β. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f .

γ. i. Να δειχτεί ότι ( )( )( )2

9f x

x 2 x 2

−=

+ −.

ii.Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f .

δ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .

ε. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )f x 2= − έχει δύο ακριβώς πραγματικές

ρίζες .

11. Έστω η συνάρτηση ( ) 2f x x= , x∈ℝ .

α. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της fC που άγονται από το

σημείο ( )0, 1Α − .

β. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της fC στα οποία οι

εφαπτόμενες να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

γ. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή Ο των αξόνων και κινείται επί της fC

στο 1ο τεταρτημόριο. Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός

μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της

τεταγμένης του, αν είναι γνωστό ότι ( )x t 0, t 0′ > ≥ .

δ. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

i. ( )

12

0

1dx

f x 1−∫ και ii. 2

3

1dx

x

π

π ηµ∫



ε. Να βρείτε 0α > για το οποίο το χωρίο που περικλείεται από την

γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( )g x f x 1= + και την ευθεία y 5= ,

να χωρίζεται από την ευθεία 2y 1= α + σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

στ. Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις h για τις οποίες ισχύει ότι

( ) ( )2h x f x , x= ∈ℝ .

12. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f : →ℝ ℝ με ( )f 0 0= , η οποία είναι

παραγωγίσιμη στο ∗ℝ με ( )

( ) ( )

x*

2

ef x ,x

3f x 2f x 1′ = ∈

+ +ℝ .

α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )3 2 xf x f x f x e 1+ + = − για κάθε x .∈ℝ

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και στο 0x 0= .

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )0x 0,2∈ τέτοιο, ώστε ( )0f x 1= και

( )0x x

0

23e f x dx

12=∫ .

δ. Να υπολογίσετε το ( )1

31 f x 21

x 0 2

lim t t dt+

−

→ηµ∫ .

13. Δίνεται η συνάρτηση f (x) (x 1) ln x= + .

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το

σύνολο τιμών της f .

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 1 2019x e+ = , x 0> , έχει μοναδική λύση.

γ. Να βρείτε την εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο καμπής της fC .

δ. Να δείξετε ότι x 1 2

x 1 ln x

+>

− , για κάθε x 1> .

ε. Να δείξετε ότι ( )2

x 2 xf e x f

2

+− >

, για κάθε x 0> .

14. Έστω f : →ℝ ℝ μια συνάρτηση με f (0) 0 , f (0)=1 ′= , η οποία είναι

δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ( )x f (x)f (x) 2e 1 x xf (x)−′′ ′= + − , για

κάθε x∈ℝ .

α. Να δείξετε ότι 2f (x) x ln(x 1)= + + .

β. Να βρείτε τα σημεία καμπής της fC .

γ. Αν F μία παράγουσα της f με F(0) 0= , να βρείτε το



( )2F (x)

x 0lim e 1 ln f (x)→

− .

δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση

1 1

0 06 f (x) 5 2 f (x) 1

0x 1 x 2

− −− =

− −∫ ∫

, έχει

ακριβώς μία λύση στο διάστημα ( )1,2 .

15. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ]f : 0,8 → ℝ ,δύο φορές παραγωγίσιμη

στο ( )0,8 για την οποία ισχύει ότι: f (4) 4 , f (4) 0 ′= = και

( )2f (x) f (x)f (x) 1′ ′′+ = − για κάθε ( )x 0,8∈ .

α. Να αποδείξετε ότι f (x) 0> για κάθε ( )x 0,8∈ .

β. Να αποδείξετε ότι 2f (x) 8x x= − .

γ. Αν Α , Β δύο τυχαία σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f , να αποδείξετε ότι ( ) 8ΑΒ ≤ .

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4 2

08x x dx−∫ .

ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης ( )g(x) x 4 f (x)= − , τους άξονες x x′ και y y′

και την ευθεία x 4= .

16. Δίνεται πολυώνυμο f (x) πέμπτου βαθμού τέτοιο ώστε το f (x) 16+

να διαιρείτε με το 3(x+1) και το f (x) 16− να διαιρείτε με το

3(x-1) .

α. Να δείξετε ότι 5 3f(x) = 6x 20x 30x− + .

β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και ότι έχει δύο

κρίσιμα σημεία.

γ. Να δείξετε ότι τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης τουf (x)

είναι συνευθειακά.

δ. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την fC τον

άξονα x x′ και τις ευθείες x = -1 και x = 1.

17. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x x 8 , x= β − + α + ∈ℝ . Αν η ευθεία

με εξίσωση y 2x 1= + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο

−∞ ,τότε να αποδείξετε ότι:

α. 2α = και 1β = .



β. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει στο +∞ οριζόντια

ασύμπτωτη την ευθεία y 1= − .

γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο

ορισμού της 1f −

.

ε. Να λύσετε την ανίσωση ( )1f f (x) 4 8− − ≥ − .

στ. Ένα σημείο ( )M x, y κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f έτσι ώστε η τετμημένη του να μεταβάλλεται με ρυθμό

cmx (t) x(t)

sec′ = . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης του σημείου

Μ από τον άξονα x x′ ,τη χρονική στιγμή που η τεταγμένη του είναι ίση με 8− .


f (x) x ln 1x

= +

με ( ) ( )x , 1 0,∈ −∞ − ∪ +∞ .

α. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση f .

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.

γ. Αν ν είναι φυσικός αριθμός με 2ν ≥ , να αποδείξετε ότι για κάθε

x 0> ισχύει ( ) ( )f (x 1) f x 1ν+ > ν + .

Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση f (x) , x>0

g(x)0 , x=0

=

.

δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη στο [ )0,+∞ και να βρείτε

την εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο της ( )1,g(1) .

ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g , την ευθεία 1 1

y x2 2

= + και τις

ευθείες 1

x2

= και 0 x 1

1

1x e dx

2+

−= ∫ .

19. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ef x ln x x,x 0

x= − + > .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα

και να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC .



β. i. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού

της 1f −.

ii. Να λύσετε την ανίσωση ( )( )1f 2e f x e− − > .

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) e 1ln x ex 1 2

x e − + − =

.

δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) 1g x f x f , x 0

x = + >

.

i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική

της παράσταση, τον άξονα x x′ και τις ευθείες x 1, x e= = .

ii. Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο α∈ℝ ισχύει ( )g x ≤ α για κάθε

x 0> ,τότε e 12

α+ ≥ .

20. Έστω συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη

στο ℝ , με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε:

• ( ) ( ) ( ) ( )2 22f 1 f 3 2f 1 f 3+ ≤ ⋅

• ( )f 1 2′ =

• ( )f x 0′′ ≠ για κάθε x∈ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνάρτηση 1-1.

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο

ℝ .

γ. Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και στη συνέχεια

να υπολογίσετε το ( )

( ) ( )( )x 1

xlim

x 1 f x 2x 2→

ηµ π

− − +

δ. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )4 3

0 1f x dx f x dx<∫ ∫ .

ε. Να αποδείξετε ότι ( )2E 1< ξ − ,όπου Ε το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από τη γραφική παράσταση fC της συνάρτησης f , τον άξονα

x x′ και τις ευθείες x 1= και x = ξ με ξτο κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f .

21. Έστω f : →ℝ ℝ μια συνεχής συνάρτηση της οποίας η γραφική

παράσταση τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο με τεταγμένη 1 και τα μόνα

κοινά σημεία της με τον άξονα x x′ έχουν τετμημένες 2− και 4 . Επιπλέον η f

είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα [ )0,+∞ .



α. Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού 7

f4

−

και τη μονοτονία της f

στο διάστημα [ )0,+∞ .

β. Να υπολογίσετε το όριο: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2

2x

f 0,1 x f 1 x f 2lim

f 1 f 5 x f 0→ + ∞

− + +

− + .

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( )x 3x 2x 4xf e f e f e f e+ = + .

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )0x 2,4∈ − τέτοιο, ώστε

( ) ( ) ( )340f x f 0,1 f 2= − ⋅ .

ε. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε ( )x 0,4∈ ισχύει

( )( ) ( )f x 1 f x 0′′− < να αποδείξετε ότι ( )4

0f x dx 2<∫ .

22. Έστω [ ]f : 0,2 → ℝ μια

συνάρτηση, δύο φορές

παραγωγίσιμη. Αν η γραφική

παράσταση της f ′ βρίσκεται στο

ορθογώνιο ΑΒΓ∆ του διπλανού

σχήματος και ισχύει:

f (0) f (2) f (1)′ ′ ′< < τότε:

α. Να αποδείξετε ότι η f C ′ τέμνει

τη διαγώνιο Β∆ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 0,2∈ τέτοιο ώστε το

σημείο ( )0 0N x ,f (x )′ της f C ′ να είναι πλησιέστερο στην πλευρά ∆Γ .

γ. Για το 0x του ερωτήματος β .

i. Να υπολογίσετε το όριο h 0lim (h)→

ϕ ,

όπου [ ] [ ]2 2

0 0f (x h) f (x h)(h)

4h

′ ′+ − −ϕ = .

ii. Ένα σημείο ( )M x(t), y(t) όπου x(t) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση,

κινείτε στη γραφική παράσταση της f ′ . Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του

εμβαδού του τριγώνου ∆ΜΓ την χρονική στιγμή που το Μ βρίσκεται στη

θέση ( )0 0N x ,f (x )′ .

( )A 0,0 ( )2,0Β

( )2,1Γ( )0,1∆



23. Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,π →ℝ τέτοια ώστε:

παραγωγίσιμη για κάθε ( )0x 0,∈ π

f 12

π =

( ) ( ) ( )

0

0 0 00 0

x x h 00

f x h f x h 2f xf (x) x f (x ) xlim lim

x x h→ →

+ + − −ηµ − ηµ=

− ,

για κάθε ( )0x 0,∈ π

α. Να αποδείξετε ότι ( )1f (x) , x 0,

x= ∈ πηµ

.


γ. Έστω T το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία

( ) ( )0,0 , Α x,f (x)Ο και ( )x,0Β . Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό

4cm / sec να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδούT τη χρονική στιγμή

που το x ισούται με 3

cm4

π .

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 2

3

f (x)dxπ

π∫ .

24. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : ln 2,− +∞ →ℝ για την

οποία ισχύει f (x)f (x) e 1−′ − = για κάθε x ln 2> − .

α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια σταθερά c∈ℝ τέτοια ώστε:

f (x) xe 1 ce+ = για κάθε ( )x ln 2,∈ − +∞ .

β. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή

των αξόνων, τότε να δείξετε ότι ( )xf (x) ln 2e 1 .= −

γ. Να μελετήσετε την f ως προς τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή

κοίλη. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f (x) 2x≤ για κάθε ( )x ln 2,∈ − +∞ .

δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο ( )ln 2,− +∞ με F(1) 0= να

βρείτε έναν ακέραιο ρ τέτοιον, ώστε η εξίσωση

( )

1 2019

03tf (t)dt 2xF x 1 2F(x)

0x 2 x 1

−+ −− =

− −∫

Να παρουσιάζει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( ) , 1ρ ρ + .

ε. Να βρείτε τον μοναδικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει:



2

x0

f (x) ln 5dx

2 e 4

α

−=

−∫ .

25. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με ( )2 f x 5′≤ ≤ για κάθε

[ ]x 0,4∈ , ( )f 0 1= . Να δείξετε ότι:

α. ( ) ( ) ( ) ( )

x

xf x flim f f

x→α

− α α′= α + α α

− α, α∈ℝ .

β. ( )9 f 4 21≤ ≤ .

γ. Υπάρχει [ ]1 0,4ξ ∈ με ( )15 f 11≤ ξ ≤ .

δ. Αν η f ′ είναι συνεχής, τότε υπάρχει ( )2 0,4ξ ∈ τέτοιο, ώστε

( ) ( )2

2 2 2f 6f 3 0′ ′ξ − ξ + ξ = .

ε. Υπάρχει ( )3 0,4ξ ∈ τέτοιο, ώστε

( ) ( ) ( ) ( )23 3 3 3 3 32 4 f 4 f 4 2′ξ − ξ + ξ − ξ ξ = − ξ .

26. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 31f x x

3= − , x∈ℝ .

α. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της

καμπύλης fC , x 0≤ πλησιάζοντας την ακτή και ο

προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός (Σχήμα). Αν ο

ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού

δίνεται από τον τύπο ( ) ( )t t′α = −α να βρείτε το ρυθμό

μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο

οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή

κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη 3− .

β. Να δείξετε ότι για κάθε x 0> είναι

( )( ) ( )f 1 x f 1 x ,ν

+ < + ν ν∈ℕ με 2ν ≥ .

γ. Να δείξετε ότι για κάθε x 0> είναι

( ) ( ) 211 x 1 x x ,

2ν ν ν −

+ > + ν + ν∈ℕ με 3ν ≥ .

δ. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

31

y x3

= −

3

A ,3

αα −

x

y

Ακτή B M Ο



27. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι

εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης

BΓ 10= cm και ύψους Α∆ 5= cm.

α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε και η

περίμετρος Ρ του ορθογωνίου ως

συνάρτηση του x δίνονται από τους

τύπους ( ) 2x 10x 2xΕ = − και

( )x 20 2xΡ = − , 0 x 5< < .

β. Έστω ότι το ύψος x του ορθογωνίου αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Να

βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου για τις οποίες τα μέτρα του ρυθμού

μεταβολής του εμβαδού και της περιμέτρου να είναι ίσα.

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )4x x x 11+ Ρ = Ε + έχει τουλάχιστον μια

ρίζα στο διάστημα ( )1,2 .

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )2,3ξ∈ τέτοιο,

ώστε ( ) ( )( )2 5 2 5′Ε ξ Ε ξ − = ξ − .

28. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x x x x= −α −β − γ με α < β < γ .

α. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( ) ( )1 2x , ,x ,∈ α β ∈ β γ τέτοια ώστε

( ) ( )1 2f x f x 0′ ′= = .

β. Να αποδείξετε ότι η f έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.

Aν οι θέσεις των τοπικών ελαχίστων είναι 3 , 0− και 3 τότε :

γ. Να βρείτε τα τοπικά μέγιστα και τις θέσεις τους.

δ. Να υπολογίσετε το ( )e

1f x ln xdx⋅∫ .

29. Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : →ℝ ℝγια τις οποίες ισχύει ότι:

• η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο ℝ

• ( )f 0 0=

• ( ) ( ) ( )x 2f f x x 3f′συν + π ≤ ≤ συν + π για κάθε x∈ℝ

• ( )2 1

x f , x 0g x x

0, x 0

≠ = =

.

Να αποδείξετε ότι

α. ( )f x x= ηµ

Ε Μ

Γ Λ ∆

x x

K B

N

A



β. η g είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= και η γραφική της παράσταση

εφάπτεται στον άξονα x΄x στην αρχή των αξόνων.

γ. Η gC έχει άπειρα κοινά σημεία με τον άξονα x΄x.

δ. Η ευθεία y x= είναι ασύμπτωτη της gC

ε. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της

f στα σημεία ( )0,0Ο και ( ),0Α π .

στ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f τις εφαπτομένες στα σημεία Ο και Α.

30. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x x x, x 0,2

π = ηµ − συν ∈ .

Να δείξετε ότι:

α. x x xηµ > συν για κάθε x 0,2

π ∈

.

β. Η συνάρτηση ( ) xg x

x

ηµ= είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,

2

π

.

γ. 3

6

3 x 1dx

4 x 2

π

π

ηµ< <∫ .

δ.

2x2e x

−≥ συν για κάθε x 0,

2

π ∈ .

ε. ( )( )xlim g g x 1→+∞

=

31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x x= , x 0> .


β. Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα.

γ. Να εξετάσετε αν η fC έχει ασύμπτωτες.

δ. Με βάση τις προηγούμενες πληροφορίες, να σχεδιάσετε τη γραφική

παράσταση της f .

ε. Να δείξετε ότι ( ) ( )x 1 x 2x2 x 1 x x 2+ +

+ < + + για κάθε x 0> .

στ. Να αποδείξετε ότι ( )2 2 x 1x

1 1x dx x 1 dx

+< +∫ ∫ .



32. Ένας αγρότης έχει ένα αγροτεμάχιο σχήματος ορθογωνίου.

α. Θέλει να το περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 80 m. Αν x η μία

διάσταση του ορθογωνίου:

i. να εκφράσετε το εμβαδόν ( )E x του ορθογωνίου συναρτήσει του x.

ii. να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

β. Αν το εμβαδόν του αγροτεμαχίου είναι 2400m και x η μία διάσταση του

ορθογωνίου, τότε

i. να εκφράσετε το μήκος ( )xΠ του συρματοπλέγματος που χρειάζεται ο

αγρότης για να περιφράξει το αγροτεμάχιο συναρτήσει του x.

ii. να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου ώστε ο αγρότης να χρειάζεται τη

μικρότερη περίφραξη..

γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στη

γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε του ερωτήματος α. τις ευθείες

x 10,x 20= = και τον άξονα x΄x.

δ. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης ( )( )40

h xE x

= ,όπου Ε η συνάρτηση του ερωτήματος α. τις

ευθείες x 10,x 20= = και τον άξονα x΄x.

33. Έστω ότι η ευθεία y = x 2− είναι ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f στο +∞.

Αν ( )

2 2 2

2 3

(µ +ν )xf(x)+2018xlim 1

x f(x) 2021 x→+∞=

+ −x, μ, ν∈ℝ .

α. Nα δειχθεί ότι τα σημεία Μ(μ, ν) βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να

βρεθεί η εξίσωση.

β. Μία μέλισσα κινείτε στον παραπάνω κύκλο. Καθώς περνάει από το σημείο

Α 1 3

( , ) 2 2

, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 5 μονάδες το

δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x τη χρονική

στιγμή πού η μέλισσα περνάει από το σημείο Α.



ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:

«Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο 0x τότε δεν μπορεί να έχει

κατακόρυφη ασύμπτωτη την 0x=x .»

α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό

σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

β) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (α).

Λύση

α) Ψ

β) Παράδειγμα

3, x 0

f (x) x5, x=0

≠=

έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

την x 0=

Δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει τη γραφική

παράσταση τηςf το πολύ σε ένα σημείο.


«Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο

( )0 0Α x ,f(x ) μπορεί να έχει και άλλο κοινό σημείο με την γραφική

παράσταση τηςf .»




Λύση

α) Α

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3f (x) x= και την εφαπτομένη της στο

( )A 1,1 την y 3x 2= − η οποία τέμνει την fC και στο σημείο

( )B 2, 8− − όπως βλέπουμε και στο σχήμα.




«Αν η συνάρτηση f : ∆ → ℝ αντιστρέφεται και η 1f − είναι

παραγωγίσιμη στο f(∆) με f (x) 0′ ≠ για κάθε x ∆∈ , τότε ,

( )1

1

1(f ) (x)= ,x f(∆)

f f (x)−

−′ ∈

′ .»



β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).

Λύση

α) Α

β) Γιατί για κάθε x f ( )∈ ∆ έχουμε:

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1 1

1

f (f )(x) x f (f )(x) (x)

1f (f )(x) (f ) (x) 1 (f ) (x) , x f ( )

f (f )(x)

− −

− − −

−

′ ′= ⇒ = ⇒

′ ′ ′= ⇒ = ∈ ∆′




«Μπορεί δύο συναρτήσειςf , g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα

σημείο 0x του πεδίου ορισμού τους και η συνάρτηση f +g να είναι

παραγωγίσιμη στο 0x . »




Λύση

α) Α

β) Οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι παραγωγίσιμες στο 0x 0=

x , x 0f (x)

0 , x<0

≥=

και

x x , x 0g(x)

x , x<0

− ≥=

Όμως η συνάρτηση f g+ έχει τύπο (f g)(x) x+ = και είναι παραγωγίσιμη στο

0x 0= .


«Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]α,β και

γνησίως αύξουσα τότε η f δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

Θεωρήματος του Rolle.»




Λύση

α) Α

β) Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει

f ( ) f ( )α < β ⇔ α < β δηλαδή f ( ) f ( )α ≠ β και η f δεν ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle.




«Δεν μπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστημα [ ]α,β να ισχύουν το

Θεώρημα του Rolle και το θεώρημα του Bolzano .»




Λύση

α) Α

β) Αν ισχύει το θεώρημα του Bolzano έχουμε f ( )f ( ) 0α β < (1) και

αν ισχύει το θεώρημα του Rolle έχουμε f ( ) f ( )α = β οπότε η (1) γίνεται

2f ( ) 0α < άτοπο.


«Αν η συνάρτηση [ ] [ ]f : α,β α,β→ είναι παραγωγίσιμη στο [ ]α,β με

f(α)=f(β) τότε και η συνάρτηση g(x)=(fof)(x) ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [ ]α,β .»




Λύση

α) Α

β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη , οπότε και η σύνθεση

(fof)(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Επίσης ισχύει f(α)=f(β) και

επειδή [ ]f ( ),f ( ) ,α β ∈ α β έχουμε f(α)=f(β) τότε και

( ) ( ) ( ) ( )f f(α) =f f(β) f f (α)= f f (β)⇒ . Άρα η συνάρτηση

g(x)=(fof)(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle

στο διάστημα [ ]α,β .


«Αν ισχύει f (x) 0′ < και g (x) > 0′ για κάθε x∈ℝ τότε πάντα οι



γραφικές παραστάσεις των f , g θα έχουν τουλάχιστον ένα κοινό

σημείο.»




Λύση

α) Ψ

β) Οι συναρτήσεις xf (x) e= − και

xg(x) e= προφανώς δεν έχουν

κοινό σημείο αλλά ισχύει xf (x) e 0′ = − < και

xg (x) e 0′ = > .


«Αν η συνάρτησηf στρέφει τα κοίλα άνω στο ℝ με 1 2x < x τότε

1 21 2

x +xf (x ) < f < f (x )

2 ′ ′ ′

.»




Λύση

α) Α

β) Έχουμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω οπότε η f ′είναι

γνησίως αύξουσα και θα ισχύει

( ) ( )1 2 1 21 2 1 2

x x x xx x f x f f x

2 2

+ + ′ ′ ′< < ⇔ < <


«Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι δυο φορές

παραγωγίσιμη έχει τρία σημεία συνευθειακά τότε υπάρχει τουλάχιστον

ένα πιθανό σημείο καμπής.»






Λύση

α) Α

β) Έστω ( ) ( ),f ( ) , Β ,f ( )Α α α β β και ( ),f ( )Γ γ γ τα τρία

συνευθειακά σημεία τότε f ( ) f ( ) f ( ) f ( )

ΑΒ ΒΓ

β − α γ − βλ = = λ

β −α γ −β

Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα στα διαστήματα [ ] [ ], , ,α β β γ ,

οπότε υπάρχουν τουλάχιστον, δύο 1 2, ξξ με ( )1 ,ξ ∈ α β και

( )2 ,ξ ∈ β γ τέτοια ώστε 1 2

f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( )

β − α γ − β′ ′ξ = = = ξ

β −α γ −β

Από το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [ ]1 2,ξ ξ προκύπτει ότι υπάρχει

( )0 1 2x ,∈ ξ ξ τέτοιο ώστε 0f (x ) 0′′ = .


«Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ]α,β για την οποία ισχύουν

ότι

β

α

f(x)dx 0=∫ και δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα [ ]α,β ,τότε

η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές.»



β) Δικαιολογήστε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).

Λύση

α) Α

β) Αν είναι f (x) 0≥ ή f (x) 0≤ για κάθε [ ]x ,∈ α β τότε θα

έχουμε f (x) 0β

α>∫ ή f (x) 0

β

α<∫ αντίστοιχα που είναι άτοπο αφού

β

α

f(x)dx 0=∫ .




«Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ]α,β για την οποία ισχύει ότι

β

α

f(x)dx 0=∫ τότε κατά ανάγκη θα είναιf(x) 0= για κάθε [ ]α,β . »




Λύση

α) Ψ

β) Για την συνάρτηση f (x) x= ηµ , [ ]x 0,2∈ π έχουμε

[ ]22

0 0xdx x 2 0 0

ππηµ = −συν = −συν π + συν =∫ αλλά δεν είναι

x 0ηµ = για κάθε [ ]x 0,2∈ π .


« Έστω συνεχής συνάρτηση f:A →ℝ . Αν ισχύει ότι f (x) = 0′ για κάθε

x A∈ , Τότε η f είναι σταθερή.»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση 1 , x<0

f (x) 1 , x>0

−=

ενώ είναι f (x) 0′ = για κάθε

( ) ( )x A= ,0 0,∈ −∞ ∪ +∞ , εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο

( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ . Δηλαδή το θεώρημα ισχύει σε διάστημα και όχι σε

ένωση διαστημάτων.




«Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι 1-1, είναι γνησίως μονότονη»




Λύση

α) Ψ

β) Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που

είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως

μονότονες, όπως για παράδειγμα η

συνάρτηση

, 0( ) 1

, 0

x xg x

xx

≤

= >


«Έστω οι συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α . Αν για κάθε x∈Α

ισχύει f (x) g(x) 0⋅ = τότε f (x) 0= για κάθε x∈Α ή g(x) 0= για

κάθε x∈Α .»




Λύση

α) Ψ

β) Για τις συναρτήσεις 0 , x 1

f(x)=2 , x<1

≥

και 5 , x 1

g(x)=0 , x<1

≥

ισχύει f (x) g(x) 0⋅ = για κάθε x∈ℝ ενώ είναι f (x) 0≠ και

g(x) 0≠ .

O x

y

y=g(x)




«Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο 0x , είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.»




Λύση

α) Ψ

β) Έστω η συνάρτηση f(x)=|x| .

Η f είναι συνεχής στο 0x =0 , αλλά

δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό,

αφού+ x 0x 0

f(x)-f(0) xlim =lim =1

x-0 x→→, ενώ

- x 0x 0

f(x)-f(0) -xlim =lim =-1

x-0 x→→.

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής

σ’ ένα σημείο 0x χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό.


«Αν συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]α,β , τότε ορίζετε πάντα το

1dx

f (x)

β

α∫ .»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση f (x) x= είναι συνεχής στο [ ]1,1− , αλλά δεν

ορίζεται το 1

1

1dx

x−∫ .

O x

y




«Έστω f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ]α,β και σημείο

[ ]0x α,β∈ στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα

ισχύει f (x)=0′ .»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση f (x) x= , [ ]x 1,2∈ παρουσιάζει μέγιστο στο

0x 2= , αλλά είναι x 2 x 2

f (x) f (2) x 2f (2) lim lim 1 0

x 2 x 2→ →

− −′ = = = ≠

− −


«Ισχύει η ισοδυναμία

β

α

f(x)dx 0 α β 0= ⇔ = =∫ όπουf συνάρτηση

συνεχής . »




Λύση

α) Ψ

β) Έστω η συνάρτηση f (x) x= , [ ]x 1,1∈ − . Είναι

121 1

1 11

xf (x)dx xdx 0

2− −−

= = =

∫ ∫ , αλλά 1 1− ≠ .


«Αν για την συνάρτηση f : A →ℝ ισχύει f (x) 0≠ για κάθε x A∈ ,

τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο A .»






Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση x 1 , x 0

f (x) x , x<0

+ ≥=

δεν διατηρεί σταθερό

πρόσημο, αφού είναι f (x) 0< για κάθε x 0< και f (x) 0> για κάθε

x 0≥ .


«Κάθε συνεχής συνάρτηση έχει μέγιστο και ελάχιστο»




Λύση

α) Ψ

β) Το σύνολο τιμών της συνεχούς και γνησίως αύξουσας

συνάρτησης 3f (x) x= , x∈ℝ είναι

( ) ( )x x

f ( ) lim f (x), lim f (x) ,→−∞ →+∞

= = −∞ +∞ =ℝ ℝ , οπότε η f δεν έχει

μέγιστο ούτε ελάχιστο.


«Η εικόνα f ( )∆ ενός διαστήματος ∆ , μέσω μιας συνεχούς

συνάρτησης f είναι διάστημα. »




Λύση

α) Ψ



β) Έστω η συνάρτηση f (x) 1= , [ ]x 0,2∈ . Αν [ ]0,2∆ = η

εικόνα f ( ) 1∆ = δεν είναι διάστημα.


«Αν μια συνάρτηση f : →ℝ ℝ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής,

τότε έχει ακριβώς μια ρίζα .»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση xf (x) e= , x∈ℝ . Είναι f (x) 0> , για κάθε

x∈ℝ δηλαδή η f δεν έχει καμία ρίζα.


«Σε κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ ,παραγωγίσιμη στο ℝ , που δεν

παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f (x) 0′ ≠ ,για κάθε x∈ℝ .»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση 3f (x) x= , x∈ℝ δεν έχει ακρότατα γιατί είναι

γνησίως αύξουσα στοℝ , αλλά f (0) 0′ = .


«Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ και δύο φορές παραγωγίσιμη ,

Αν για κάποιο 0x ∈ℝ ισχύει 0f (x ) 0′′ = , τότε το 0x είναι θέση

σημείου καμπής της f . »




Λύση



α) Ψ

β) Η συνάρτηση 4f (x) x= είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

ℝ με 3f (x) 4x′ = και

2f (x) 12x 0′′ = ≥ , άρα η f είναι κυρτή στο

ℝ . Είναι δηλαδή f (0) 0′′ = , αλλά το 0x 0= δεν είναι θέση

σημείου καμπής.


«Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ , τότε η παράγωγός

της είναι υποχρεωτικά θετική.»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση 3f (x) x= είναι γνησίως αύξουσα στοℝ , αλλά

έχει παράγωγο 2f (x) 3x′ = η οποία δεν είναι θετική σε όλο ℝ ,

αφού f (0) 0′ = . Ισχύει όμως f (x) 0′ ≥ για κάθε x∈ℝ .


«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ , δύο φορές

παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ∆ και κυρτή στο ∆ , τότε η δεύτερη

παράγωγός της είναι υποχρεωτικά θετική.»




Λύση

α) Ψ

β) Η συνάρτηση 4f (x) x= είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

ℝ με 3f (x) 4x′ = και

2f (x) 12x′′ = , άρα η f είναι κυρτή στο ℝ .

Εντούτοις η f (x)′′ δεν είναι θετική στοℝ , αφού f (0) 0′′ = .

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

10 ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ΄ ΤΑΞΗΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΕΣ (4)

ΘΕΜΑ Α

A.1 Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα

Δ. Αν ′f (x) > 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε να

αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Μονάδες 7

A.2 Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

« Έστω συνεχής συνάρτηση → ℝf:A . Αν ισχύει ότι ′f (x) = 0 για κάθε

∈x A , Τότε η f είναι σταθερή.»

α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας ,στο

τετράδιό σας το γράμμα Α ,αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ,

αν είναι ψευδής.

Μονάδες 1

β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α.

Μονάδες 3

A.3 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα

],[ βα του πεδίου ορισμού της;

Μονάδες 4

A.4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που

αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν

η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α. Αν 0

lim f(x) > 0→x x

, τότε f(x) > 0 κοντά στο 0x .

Μονάδες 2



β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα

α και β αλλά να είναι συνεχής στο ],[ βα .

Μονάδες 2

γ. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f

είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η συνάρτηση fog είναι

παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει ′ ′ ′0 0 0(fog) (x ) = f (g(x )).g (x )

Μονάδες 2

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0x , τότε

είναι και παραγωγίσιμη στο 0x .

Μονάδες 2

ε. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1, αλλά δεν είναι γνησίως

μονότονες.

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ ℝ→

x

x

4ef(x) = , x

e +7ℝ∈ .

Β1. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της f .

Μονάδες 7

Β2. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και ότι για κάθε x∈ℝ

Ισχύει: 0 f(x) < 4<

Μονάδες 7

Β3. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

( )Α ln7 , 2 διαπερνά την γραφική παράσταση της f .

Μονάδες 7

Β4. Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f .

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Γ



Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με συνεχή πρώτη

παράγωγο. Για τις συναρτήσεις f και f ′ ισχύουν :

Η f έχει ελάχιστο στο 0x .

Η f ′ είναι γνησίως μονότονη.

f(0) = f(2)

2 2 3f (x) - 8f(x) - x f(x) + 2x + 16 = 0, x∈ℝ

Γ1. Να αποδείξετε ότι f(0) = 4 και f(4) = 12 .

Μονάδες 6

Γ2. Να αποδείξετε ότι:

α. Υπάρχουν ( )1ξ 0 , 2∈ , ( )2ξ 2 , 4∈ ώστε 21f (ξ ) = 0 , f (ξ ) = 4 ′ ′ .

Μονάδες 4

β. Η f ′ είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 3


α. 0x 0≠ και 0 0f(x ) = 3x .

Μονάδες 5

β. 3 20 0 0x - 9x + 24x - 16 = 0 .

Μονάδες 4

γ. 0x = 1 .

Μονάδες 3

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f : →ℝ ℝ με f(0) = 1 , για την οποία ισχύει

( )⋅ ⋅ ≤2y xe f(x) - e f(y) x - y , για κάθε ∈ℝx , y .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με ′f (x)=f(x)

για κάθε ∈ℝx .

Μονάδες 8

Δ2. Να αποδείξετε ότι xf(x) = e για κάθε ∈ℝx .

Μονάδες 4



Δ3. Να βρείτε το lim→ − ∞

2

f(x + x) 3ηµ2x - 5x

Μονάδες 5

Δ4. Έστω οι παραγωγίσιμες g , h στο διάστημα ( )∞0, + με

g(1) = h(1) = 0 , ώστε για κάθε x > 0 να ισχύουν ( )′g (x) = - f h(x)

και ( )′h (x) = - f g(x) .

α. Να αποδείξετε ότι g(x) = h(x) για κάθε x > 0 .

Μονάδες 4

β. Να βρείτε τον τύπο της g στο ( )∞0, + .

Μονάδες 4

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία,

ομάδα προσανατολισμού, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην

αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των

φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν.

Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.

Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το

τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με

μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι

μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες.

5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι

αποδεκτή.

6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των

φωτοαντιγράφων.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ







ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΘΕΜΑ Α

A.1 Να αποδειχθεί ότι αν f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα

διάστημα[α, β] και G είναι μια παράγουσα της f στο[α, β],

τότε ∫β

αf(t)dt = G(β) - G(α)

Μονάδες 7


«Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο 0x τότε δεν μπορεί να έχει

κατακόρυφη ασύμπτωτη την 0x = x .»




Μονάδες 1

β. Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα α.

Μονάδες 3

A.3 Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]

του πεδίου ορισμού της;

Μονάδες 4






α. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β]. Αν ≥∫β

αf(x)dx 0 ,



τότε κατ’ ανάγκη θα είναι ≥f(x) 0 για κάθε ∈x [α, β].

Μονάδες 2

β. Οι γραφικές παραστάσεις fC και 1− fC των συναρτήσεων f και

-1f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις

γωνίες ˆxOy και ˆ′ ′x Oy

Μονάδες 2

γ. Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στοℝ και ότι

η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα ′x x .

Αν υπάρχει κάποιο σημείο 0 0A(x ,f(x )) της fC του οποίου η

απόσταση από τον άξονα ′x x είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε

σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της fC είναι οριζόντια.

Μονάδες 2

δ. Αν η f είναι συνεχής στο [-1,1] και f(-1)=4 , f(1)=3 , τότε υπάρχει

πραγματικός αριθμός ∈0x (-1,1) τέτοιος, ώστε 0f(x )=π .

Μονάδες 2

ε. Έστω f , g σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο [α, β] τότε θα ισχύει

⋅ ⋅∫ ∫ ∫β β β

α α αf(x) g(x)dx= f(x)dx g(x)dx .

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ ℝ→ με -xf(x) = x+e , x ℝ∈ .

Β1. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο ℝ και να βρείτε το ελάχιστο της f .

Μονάδες 7

Β2. Να αποδείξετε ότι ( ) ≤xe 1-x 1 για κάθε x∈ℝ .

Μονάδες 6

Β3. Να αποδείξετε ότι η fC έχει μόνο πλάγια ασύμπτωτη την οποία και

να βρείτε.

Μονάδες 6



Β4. Έστω ( )Ε λ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f , τους άξονες ′x x και ′y y και την ευθεία x = λ ,

με λ > 0 . Αφού υπολογίσετε το ( )Ε λ στη συνέχεια να βρείτε το όριο

( )

lim→λ 0

Ε λ

λ .

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Γ

Έστω παραγωγίσιμη και «1-1»συνάρτηση [ )1, ∞ →f : + ℝ . Έστω επίσης

ότι η αντίστροφη -1f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [ )∆ = ∞0, + ,

με ( )′ =-1

2

1f (x)

1 + x ,για κάθε ≥x 0 .

Γ1. Να αποδείξετε ότι: ′ 2f (x)= f (x) + 1 .

Μονάδες 7

Γ2. Να αποδείξετε ότι: f(1)=0 και lim→ ∞

∞x +

f(x) = +

Μονάδες 5

Γ3.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο ℝ .

Μονάδες 3

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο ( )Α 1, f(1) και να δείξετε ότι

f(x) > x-1 , για κάθε x > 1 .

Μονάδες 3


α. ∫2

1

1f(x)dx >

2

Μονάδες 3

β. ∫2

2

1

f(x)dx > 1 + f (2) - 1

Μονάδες 4



ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις →f, g : ℝ ℝ με την f να είναι γνησίως αύξουσα

και τη g γνησίως φθίνουσα στο ℝ και ισχύει ∫ ∫1 1

0 0

f(x)dx = g(x)dx .

Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός [ ]∈ξ 0,1 τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ) .

Μονάδες 6

Δ2. Αν για κάθε ∈x ℝ ισχύει ≥ −2F(x) + G(1-x) x x + F(0) + G(1) ,

όπου F , G παράγουσες των f , g αντίστοιχα και οι f , g είναι

παραγωγίσιμες στο ℝ τότε:

α. Να αποδείξετε ότι f(0) + f(1) = g(0) + g(1) .

Μονάδες 6

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )∈1ξ 0,1 τέτοιο ώστε 1 1f(ξ ) = g(1 - ξ ) .

Μονάδες 4

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )2∈ξ 0,1 τέτοιο ώστε 2 2′ ′f (ξ ) + g (1 - ξ ) = 2 .

Μονάδες 5

δ. Αν 1 2ξ = ξ = ξ να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

γραφικής παράστασης της h με , ∈h(x) = f(x) - g(1 - x) x (0,1) στο

σημείο

1 1Α ,h( )

2 2 .

Μονάδες 4

















αποδεκτή.











ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΘΕΜΑ Α

A.1

Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν η f είναι

συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει

′f (x) = 0 , να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Μονάδες 7


«Κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι 1-1, είναι γνησίως μονότονη»




Μονάδες 1

β. Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα α.

Μονάδες 3

A.3 Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της f στο+∞ , (αντιστοίχως στο−∞ );

Μονάδες 4








α. Αν → 0x x

lim f(x)= l και→

∈0x x

lim g(x) = m , l,m ℝ και f x >( ) g(x) κοντά στο 0x

τότε θα ισχύει ≥l m .

Μονάδες 2

β. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x του πεδίου ορισμού

της τότε δεν υπάρχει το → 0x x

lim f(x) .

Μονάδες 2

γ. Κάθε συνεχής συνάρτηση που παίρνει μεγίστη και ελάχιστη

τιμή έχει πεδίο ορισμού κλειστό διάστημα.

Μονάδες 2

δ. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και ≥∫β

αf(x)dx 0 , τότε ≥f(x) 0

για κάθε ∈x [α, β].

Μονάδες 2

ε. Για κάθε συνάρτηση f : →ℝ ℝ που είναι παραγωγίσιμη και

δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει ′ ≠f (x) 0 για κάθε ∈x ℝ .

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

2x + 1f(x) = , x

xℝ

∗∈ .

Β1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της

A(2 , f(2)) και τις ασύμπτωτες της.

Μονάδες 6

Β2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f και το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 6

Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x - 5x + 2f (x) = (4x - 5) e′ ⋅ έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα 1

, 22

.

Μονάδες 7

Β4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f , τον άξονα ′x x και τις ευθείες x = -2 και x = -1 .

Μονάδες 6



ΘΕΜΑ Γ

Η συνάρτηση [ ] [ ]f : 1, e -1, 4→ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με

f(1) = 2 και f(e) = e+1.

Γ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2x , x 1,e∈ με 21x x≠

τέτοια ώστε 21f (x ) = f (x ) = 0′ ′ .

Μονάδες 5

Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1,e∈

τέτοιο ώστε f (ξ) = 0′′ .

Μονάδες 3

Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x 1,e∈

τέτοιο ώστε 2

0 0 0 0f(x ) f (x ) - 3f (x ) = x′ ⋅ .

Μονάδες 7

Γ4. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: x + y = e + 2 τέμνει την fC σε ένα

τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( )θ 1,e∈ .

Μονάδες 4

Γ5. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )1 2ξ , ξ 1,e∈ με 1 2ξ ξ≠

τέτοια ώστε 21f (ξ ) f (ξ ) = 1′ ′⋅

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Έστω F μία αρχική συνάρτηση της συνεχούς συνάρτησης →f : ℝ ℝ

Και H μια αρχική της x

h(x) = f(x) - x

, με ≠f(x) x , για κάθε x∈ℝ .

Ισχύει επίσης ότι:

F(0) = 0

≥ ∈F(x) 3x , x ℝ

∈H(x) = f(x) - x - 3 , x ℝ



Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με

f(x)

f (x) = , xf(x) - x

′ ∈ℝ

Μονάδες 4

Δ2. Να αποδείξετε ότι :

α. f(0) = 3 .

Μονάδες 4

β. Ο τύπος της συνάρτησης f είναι ∈2f(x) = x + 9 + x , x ℝ και ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα στο ℝ .

Μονάδες 4

Δ3. α. Να αποδείξετε ότι ισχύει : ∈2F(x + 1) < F(x) + F(x + 2) , x ℝ .

Μονάδες 4

β. Να λύσετε την εξίσωση: x x x xF(3 +2019) + F(9 +2018) = F(9 +2019)+F(3 +2018)

Μονάδες 4

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: [ ] ⋅ ⋅2019 xF(2) - 2F(x) x H(x) 2019

+ = 0x - 1 x - 3

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )1,3 .

Μονάδες 5

















αποδεκτή.





1

1

Documents

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - askisopolis.gr G LYKEIOY 3 EKDOSI ΠΑΥΛΟΣ.pdf · ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ