1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 - ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Οι μαθητές μας, μπορούν να διαβάσουν πρώτα τη σχετική θεωρία και τα παραδείγματα από το σχολικό εγχειρίδιο, Μαθηματικά Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ, Μέρος Β΄, που υπάρχουν στην Ενότητα 8 – Συνάρτηση f(x)=αx2+βx+γ, Εξισώσεις – Ανισώσεις, και να εκτελέσουν τις δραστηριότητες στις σελίδες: 92, 96, 103-104, 109-111, 121-123, 128 και 129-134. Το σχολικό εγχειρίδιο υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα του ΥΠΠΑΝ στην πιο κάτω διεύθυνση: http://archeia.moec.gov.cy/sm/268/a_lyk_mathimatika_pros_2.pdf

Για επιπλέον εμπέδωση της ύλης και εξάσκηση των μαθητών, για την πιο πάνω ενότητα, δίνονται οι πιο κάτω ασκήσεις:

1. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η παραβολή y=αx2 να διέρχεται από το σημείο Α( 3, 18).

2. Να σχεδιάσετε την παραβολή y= 2x2 όταν 2 2 x και να βρείτε τη μέγιστη και

ελάχιστη τιμή που παίρνει η μεταβλητή y.

Ποια από τα σημεία της παραβολής έχουν τεταγμένη ;

9

2

2

3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή την εξίσωση

της.

4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι

λανθασμένες:

α) Η παραβολή y=6x2 έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0).

β) Ο άξονας x΄x είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής y=2x2.

γ) Οι παραβολές y=8x2 και y= 8x2 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y΄y.

δ) Η συνάρτηση y= 5x2 έχει μέγιστη τιμή την y=0.

5. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Αν η παραβολή y=αx2 διέρχεται από το σημείο ( 7,12), τότε περνά και από το

α) (7, 12) β) (7, 12) γ) ( 7, 12) δ) (7, 0).

6. Δίνεται η συνάρτηση y=x2+2x+6.

Να βρείτε τα: α= β= γ=

Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου.

Η γραφική παράσταση της y=x2+2x+6 είναι η παραβολή …………… μετατοπισμένη

………………… κατά ……. μονάδες και ………………… κατά ……. μονάδες.

Πίνακας τιμών

Άξονας συμμετρίας:

……………….. τιμή y = για x =

Συντεταγμένες κορυφής:

Σημείο τομής με τον άξονα y'y:

Π.Ο.= Σ.Τ.=

α β γ δ

x

y

2 2 2 21 11) y , 2) y 3 , 3) y , 4) y

3 3 x x x x

γ)β)α) δ)

β

2α

3

7. Δίνεται η συνάρτηση y=x2 6x+9.

Να βρείτε τα: α= β= γ=

Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου.

Η γραφική παράσταση της y=x2 6x+9 είναι η παραβολή …………… μετατοπισμένη

………………… κατά ……. μονάδες.

Πίνακας τιμών

Άξονας συμμετρίας:

……………….. τιμή y = για x =

Συντεταγμένες κορυφής:

Σημείο τομής με τον άξονα y'y:

Π.Ο.= Σ.Τ.=

8. Δίνεται η συνάρτηση y= x2+4x 3 .

Να βρείτε τα: α= β= γ=

Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου.

Η γραφική παράσταση της y= x2+4x 3 είναι η παραβολή …………… μετατοπισμένη

………………… κατά ……. μονάδες και ………………… κατά ……. μονάδες.

Πίνακας τιμών

Άξονας συμμετρίας:

……………….. τιμή y = για x =

Συντεταγμένες κορυφής:

Σημείο τομής με τον άξονα y'y:

Π.Ο.= Σ.Τ.=

x

y

x

y

β

2α

β

2α

4

9. Δίνεται η συνάρτηση y=2x2+20x+43.

Να βρείτε τα: α= β= γ=

Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου.

Η γραφική παράσταση της y=2x2+20x+43 είναι η παραβολή …………… μετατοπισμένη

………………… κατά ……. μονάδες και ………………… κατά ……. μονάδες.

Πίνακας τιμών

Άξονας συμμετρίας:

……………….. τιμή y = για x =

Συντεταγμένες κορυφής:

Σημείο τομής με τον άξονα y'y:

Π.Ο.= Σ.Τ.=

10. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= x2+4x 3 (που δίνεται πιο κάτω)

να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ανισώσεις:

x

y

β

2α

2

2

2

2

2

2

2

2

3 = 0

3 = 8

3 0

3 0

3 > 8

3 3

3 2

3 2

α)

β)

γ)

δ)

ε)

ζ)

η)

θ)

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

5

3 12 1 0 2

1,

6

11. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=αx2+βx+γ. Από το σχήμα να

βρείτε:

12. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

13. Στο διπλανό σχήμα το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά 4 cm.

Αν (ΒΕ)=x, (ZΓ)=2x, 0≤ x≤2 και Ε(x) είναι το εμβαδό του τριγώνου ΑΕΖ,

α) να δείξετε ότι τo εμβαδό του τριγώνου ΑΕΖ δίνεται από

τον τύπο Ε(x)=y=x2─2x+8 β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του εμβαδού Ε(x)

i) αλγεβρικά ii) με τη μέθοδο συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου iii) από τη γραφική παράσταση του Ε(x) , 0≤ x≤2.

(α) το σύνολο τιμών

(β) το πρόσημο του α

(γ) την τιμή του γ

(δ) τον άξονα συμμετρίας

(ε) τις συντεταγμένες της κορυφής

(ζ) τη λύση της εξίσωσης αx2+βx+γ=0

(η) τη λύση της εξίσωσης αx2+βx+γ=8

(θ) τη λύση της ανίσωσης αx2+βx+γ>0

(ι) την τιμή του β αν α= 1

(κ) την τιμή των f( 3) , f(0) , f(1)

(λ) το πρόσημο του f(4)

(α) Π.Ο.= Σ.Τ.=

(β) Τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία ……….............

(γ) Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία ………

(δ) Το πρόσημο του α είναι ……………..

(ε) Έχει ……………… τιμή y = για x =

(ζ) Τέμνει τον άξονα τον y'y στο σημείο …………

(η) Να βρείτε τα α, β, γ.

.2 y α β γ x x+

6

y=α(x+κ)2+δ (α≠0)

15. Να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν για ρίζες τα ζεύγη των αριθμών: α) 4 και 6 β) – 4 και 7 γ) διπλή ρίζα το 5

δ) 1 27 2 , 7 2x x

ε) 1 2 , x a x

16. Δίνεται η εξίσωση x2 – (λ – 1 )x + 2 –3λ = 0 με ρίζες x1 , x2 . Να σχηματίσετε εξίσωση

β΄ βαθμού με ρίζες ρ1 = x1 +3 και ρ2 = x2 + 3.

17. Να λύσετε τις πιο κάτω ανισώσεις :

(α) 3χ2 – 4χ + 1< 0 (β) 5x2 + 4x +1> 0 (γ) 4x2 +1 ≥ 4x (δ) 2x2 –3x + 3 ≤ 0

(ε) 16x2 – 9 ≥ 0

18. Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση x2 – (λ –2 )x + λ + 6 = 0 έχει ρίζες πραγματικές και

άνισες. 19. Δίνεται η εξίσωση x2 – (μ + 2) x + 2μ2 – 5μ = 0. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της , να βρείτε για

ποιες τιμές του μ ισχύει η σχέση: x1 x2 + 2 > 0

14. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή την

εξίσωση της.

1. y= (x+1)2 2. y= x2─1 3. y= x2+1 4. y= (x─1)2.

α) β) γ) δ)

7

20. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2y = x - 4x +3

21. Να λύσετε τις ανισώσεις:

(α) x3 (x – 1) – 5 x2 (x –1) + 6 x (x – 1) ≤ 0

(β) (χ – 1).(χ2 –1).(χ2 +1).(χ +2)2 < 0 (γ) x3 + x2 – x – 1 ≤ 0 22. Να λύσετε τις ανισώσεις:

(α) 04

)65( 2

x

xx

(β) 02

)1).(23(2

xx

xx

(γ) 21

3

x

x

(δ) 432

x

x

23. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 2λx2 – 5λx +λ2 –2λ +1 = 0 έχει ρίζες ετερόσημες. 24. Αν x1 ,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 – λx +2λ – 3 = 0 , να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

να ισχύει η ανίσωση .111

21

xx

25. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = 4

32

2

x

xx

Δίνονται επιπλέον, οι ακόλουθες ασκήσεις:

8

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται γραφική παράσταση της παραβολής με εξίσωση 2( )f .

Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της ( )f

β) το σύνολο τιμών της ( )f γ) το πρόσημο του α και της διακρινούσας

δ) τις ρίζες της εξίσωσης 2 0

ε) την εξίσωση του άξονα συμμετρίας και την τιμή του γ στ) το είδος του ακρότατου (μέγιστο ή ελάχιστο) και τις συντεταγμένες του

ζ) τις τιμές των , και η) τις λύσεις της ανίσωσης θ) την τιμή 4f και το πρόσημο 100f

ι) την εξίσωση της παραβολής στη μορφή 2( ) ( )f

2. Δίνεται η παραβολή . Να βρείτε τους αριθμούς μ και κ , ώστε η

παραβολή να έχει κορυφή .

3. Δίνεται η γραφική παράσταση τη παραβολής με εξίσωση 2( )f .

Με τη βοήθεια του σχήματος να βρείτε : α) το σύνολο τιμών της συνάρτησης β) τις λύσεις της εξίσωσης ( ) 0f

γ) τις λύσεις της ανίσωσης ( ) 0f

δ) τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής ε) την τιμή της παράστασης: 3S P

στ) την τιμή της παράστασης:

4

3

ζ) το πρόσημο του (2020)f

4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο , Να βρείτε την τιμή

ή τις τιμές του ώστε η γραφική παράσταση της να έχει μέγιστη τιμή . 5. Το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10cm. Να βρείτε τα

μήκη που πρέπει να έχουν οι πλευρές του τριγώνου, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να είναι μέγιστο. Στη συνέχεια να βρείτε την μέγιστη τιμή του εμβαδού.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

9

6. Να χαρακτηρίσετε ορθή ή λάθος καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις:

7. Να βρείτε το είδος των ριζών των πιο κάτω εξισώσεων, χωρίς να τις λύσετε:

α) 3χ2 – 7χ + 1 = 0 β) χ2 – 5κχ + 6κ2 = 0 γ) χ2+(2τεμθ)χ+εφ2θ=0

8. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου , ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να έχουν ρίζες

πραγματικές και ίσες :

α) 044)3( 2 β) 09)2(2 γ) 03)1(22

9. Για ποιες τιμές του οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες;

α) 032 2 2(2 1) 4 0 β) 2( 3) 2 4 0

10. Για ποιες τιμές του οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές;

α) 02)14(2 22 β) 2 ( 1) 0 γ) 022)2( 2

11. Να βρείτε το πρόσημο των πιο κάτω τριωνύμων για τις διάφορες τιμές του :

α) 23 5 2 β) 24 20 25 γ) 23 2

12. Αν 1 2, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 2 5 0 , να υπολογίσετε χωρίς να

λύσετε την εξίσωση , τις τιμές των παραστάσεων:

α) 2211 525 β) 2

2

1

2

21 33 γ) 221 δ) 1 2

2 2

ε) 1 2

2 1

στ) 2

3

1

3

21 44 ζ) 12

1

12

1

21

η) 3

2

3

1

13. Δίνεται η εξίσωση 2 2(2 1) 4 0 με ρίζες 1 2, . Να υπολογίσετε τις τιμές

του για τις οποίες η εξίσωση έχει : α) ρίζες πραγματικές και ίσες β) ρίζες ετερόσημες

γ) ρίζες για τις οποίες ισχύει η σχέση: 1 2

2 1

2

ΠΡΟΤΑΣΗ

I. Η παραβολή έχει μέγιστο. ΟΡΘΗ ΛΑΘΟΣ

II. Οι συναρτήσεις και έχουν την ίδια κορυφή. ΟΡΘΗ ΛΑΘΟΣ

III. Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας την . ΟΡΘΗ ΛΑΘΟΣ

IV. Όταν η μετατοπίζεται 2 μονάδες αριστερά τότε γίνεται . ΟΡΘΗ ΛΑΘΟΣ

V. Όταν η μετατοπίζεται 3 μονάδες αριστερά και 2 μονάδες κάτω τότε γίνεται . ΟΡΘΗ ΛΑΘΟΣ

10

14. Δίνεται η εξίσωση: 02)2(2 με ρίζες 1 και

2 .

Να βρείτε το , ώστε 1 2 1 .

15. α) Δίνεται η εξίσωση: 056)3(2 22 με ρίζες 1 και

2 .

β) Να αποδείξετε ότι η διαφορά 1 2 δεν εξαρτάται από το μ .

16. Για ποιες τιμές του η εξίσωση 2 2(2 1) 3 0 έχει:

α) ρίζες πραγματικές και ίσες; β) ρίζες αντίστροφες; γ) ρίζες αντίθετες; δ) ρίζα τον αριθμό – 1; ε) γινόμενο ριζών ίσο με 6 ;

στ) ρίζες 1 και

2 που ικανοποιούν την σχέση 2 2

1 2 1 23 3 0

17. Να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν ρίζες τα ζεύγη των αριθμών:

α) 4, 3 β) 2 5 , 2 5 γ) κ λ

, με κ λ 0λ κ

δ) 1 1

, 0

18. Αν 1 ,

2 οι ρίζες της εξίσωσης 22 3 5 0 , να σχηματίσετε εξίσωση β΄ βαθμού

που να έχει ρίζες τις: α) 1 12 1 και

2 22 1

β) 1

1

2

και 2

2

2

19. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ ώστε η εξίσωση 04)5(2 22

να έχει δυο ρίζες ετερόσημες.

20. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

α) 2 7 10 0 β) 22 1 γ) 2 10 25 0 δ) 3 9 0

ε) 2 22 ( 2)( 5 6) 0 ζ) 032

η)

2 3 40

( 3)

θ)

2

3 2

70

3

ι) 2

12 1

κ)

1 41

2 3

λ)

2 115

1

21. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ , ώστε η εξίσωση χ2 – (μ+ 2)χ + 4 = 0 να έχει: α) δύο ρίζες θετικές και άνισες

β) δύο ρίζες αρνητικές

22. Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου λ R , ώστε το τριώνυμο:

2)( 2 να είναι πάντοτε θετικό

23. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης :

24. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: α) β)

11

25. Να λύσετε τα συστήματα: 2 2

χ + 2y = 3 χ + 3y = 4

χ + χy = 1 χ y = 16

2

) β)

26. Δίδεται η εξίσωση 22 (2 ) 0 , 0 .

Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες, και ισχύει η σχέση

3S P a , να υπολογίσετε τις τιμές των και .

12

13