Oficina de Formação

As tarefas de exploração e investigação no ensino e na aprendizagem da Matemática

ESCOLA SECUNDÁRIA DE CALDAS DAS TAIPAS

3.ª Sessão

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1.ª tarefa – Quadrados em Quadrados

Introdução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Os alunos à medida que iam desenhando os quadrados inscritos

nos quadrados iniciais iam indicando o número de quadrados inscritos para cada caso.

• Formularam conjeturas com base na análise de dois ou três casos.• Alguns grupos não testaram as conjeturas.• Nenhum dos grupos sentia a necessidade de justificar as

conjeturas.

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• Na segunda questão alguns grupos sentiam-se um pouco perdidos, não sabiam por onde começar. Outros formularam de imediato algumas conjecturas. Houve grupos que efectuaram primeiro alguns cálculos e depois é que formularam conjecturas.

• Só um dos grupos se preocupou em formular algumas questões de forma explícita.

• Os alunos estabeleceram algumas relações entre perímetros e entre áreas dos quadrados inscritos nos quadrados iniciais 3x3, 4x4 e 5x5. Apenas um dos grupos iniciou a exploração para o caso do quadrado inicial nxn.

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Discussão de resultados• Formularam-se novas conjecturas.• Os alunos iam pedindo explicações uns aos outros.

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Nesta tarefa verificou-se uma grande dependência dos alunos, de alguns grupos, em relação às professoras.

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2.ª tarefa – Investigação com QuadriláterosIntrodução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Os alunos depois de construírem um quadrilátero qualquer e de unirem

os pontos médios dos lados consecutivos desse quadrilátero, formularam algumas conjecturas, que rapidamente foram refutadas.

• Ao fim de algum tempo, todos os grupos conjecturaram que o quadrilátero que se obtém é um paralelogramo.

• Realizaram alguns testes e apresentaram justificações baseadas na percepção visual e nalgumas medições.

Optou-se por proporcionar um momento de discussão em grandegrupo.

H

G

F

E

A

B

CD

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Na segunda questão:•Os alunos não formularam questões de forma explicita, usaram o

modo afirmativo em vez do interrogativo;•Alguns grupos conjecturaram que a razão entre os perímetros dos

dois quadriláteros era 1,44.•Em todos os grupos conjecturaram que a razão entre as áreas dos

dois quadriláteros era 2.•Realizaram alguns testes, mas nenhum dos grupos apresentou

qualquer justificação.Na terceira questão :•Os alunos formularam várias conjecturas, realizaram alguns testes e

apresentaram algumas justificações baseadas apenas na percepção visual e na confirmação das propriedades específicas de cada um dos quadriláteros que iam obtendo, através das medições obtidas pelo GSP.

F

D

B

H

G

A

C

E

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• Os alunos revelaram dificuldades em produzir construções resistentes, procuravam dar à construção no ecrã a aparência do quadrilátero que pretendiam, marcando pontos ad hoc .

• Verificou-se que os alunos construíam exemplos protótipos dos casos particulares de quadriláteros.

G1

D1

F1

E1

C1

P1

N1 M1

O1

B1A1

ZY

• Apresentaram dificuldade em reconhecer alguns dos quadriláteros, quando eles não se assemelhavam com exemplos protótipos desses polígonos.

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Discussão de resultados• Foi realizada a prova da conjectura que estabelece a relação entre

as áreas dos dois quadriláteros (inicial e inscrito).• Foram apresentados argumentos para validar as conjecturas que

os alunos estabeleceram para os casos particulares de quadriláteros.

• Verificou-se que muitos alunos não tinham presente as propriedades específicas dos vários quadriláteros.

• Mesmo depois de ter sido provado que o quadrilátero que se obtém é um paralelogramo, os alunos sentiram a necessidades de novas verificações empíricas.

• Verificou-se uma participação mais activa dos alunos.

T

U

V

W

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3.ª tarefa – Poliedros regularesIntrodução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Os alunos começaram logo a construir poliedros sem se procurem

em fazer alguma exploração inicial.• Não formularam questões de forma explicita (dois dos grupos

formularam uma ou outra questão de forma mais precisa que resultavam da formulação e/ou do teste de conjecturas, mas nunca as registaram).

• Formularam conjecturas com base nas construções que iam obtendo e em raciocínio aritmético e realizaram alguns testes.

• Verificou-se que alguns dos grupos formulavam conjecturas independentemente da sua relevância para a investigação e da sua trivialidade.

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• Começaram a evidenciar alguma preocupação em justificar as conjecturas, porém foi necessário incentivá-los a procurar argumentos, pelo menos, plausíveis.

• Os alunos começavam a entender o estatuto de uma conjectura e alguns dos processos inerentes à actividade investigativa e mostravam uma menor dependência das professoras.

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• Revelaram dificuldade na construção do icosaedro, na contagem dos vários elementos de alguns poliedros e na representação das planificações dos poliedros.

Discussão de resultados• Foi muito participada.• Foram discutidas algumas noções relacionadas com triângulos, por

exemplo: altura; baricentro; circuncentro e ortocentro.

Verificou-se que a particularidade dos desenhos e o uso de exemplos protótipos colocaram dificuldades aos alunos, por exemplo em traçar as alturas de um triângulo.

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4.ª tarefa – Secções planas no cuboIntrodução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Todos os grupos começaram por analisar a situação em que o

cubo com o líquido estava assente por uma face no plano da mesa.

• Não realizaram o teste, acharam desnecessário.

• Foi necessário ir pedindo aos alunos para mudarem o cubo de posição ou para o movimentarem para um lado e para o outro, a fim de obterem outras secções.

• Era notória a preocupação dos alunos em justificar as suas conjecturas (mesmo as que eram refutadas).

• A dificuldade maior estava em justificar as conjecturas e sobretudo em comunicar por escrito os seus raciocínios.

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Discussão de resultados• Permitiu que os alunos ficassem a conhecer outras secções no

cubo, para além daquelas que tinham obtido, por exemplo, triângulos escalenos e paralelogramos não rectângulos.

• Os alunos em pequeno grupo não conseguiram obter justificação para o facto de não se poder obter um pentágono regular. Foi em grande grupo, com alguma orientação que os alunos conseguiram.

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5.ª tarefa – Sólidos Platónicos TruncadosIntrodução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Alguns alunos começaram logo por contar os elementos do cubo

truncado, outros por definir estratégias de exploração e de organização e registo de dados. Outros, porém procuraram entender a investigação como um todo e relacionar os elementos do cubo truncado com elementos do cubo sem efectuarem a contagem.

• Os alunos formularam conjecturas para as relações entre elementos de cada sólido truncado e o respectivo sólido original e à medida que iam analisando cada caso iam reformulando ou refinando as conjeturas.

• Todos os grupos truncaram o tetraedro (para formular conjeturas ou para realizar o teste).

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• Todos os grupos formularam conjeturas genéricas.

• Os alunos procuravam argumentos lógicos para justificar as suas conjeturas.

Discussão de resultadosA discussão dos resultados obtidos pelos alunos ao realizarem a tarefa não gerou muita discordância. Os alunos iam apresentando as suas ideais e quando não as fundamentavam, os outros pedias explicações e justificações.

Alguns alunos conjeturaram que “o número de arestas no sólido truncado é o triplo do número de arestas do sólido original”, mas não encontraram argumentos plausíveis para a validar. Foi em grande grupo que foram encontrados alguns.

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6.ª tarefa – A stella octangulaIntrodução da tarefaDesenvolvimento da tarefa• Alguns alunos inicialmente conjeturaram que o poliedro era uma

pirâmide triangular, mas decorrido algum tempo todos os grupos conjeturaram que o novo poliedro era um tetraedro regular e procuraram encontrar razões que justificassem a sua conjetura.

• Os alunos, em geral, tiveram dificuldade em formar na sua mente uma imagem tridimensional da stella. Alguns identificavam o sólido ABCD como um polígono, outros como uma pirâmide quadrangular e outras ainda como uma pirâmide pentagonal. O que lhe colocou dificuldades em identificar o sólido que resultava da interseção dos dois tetraedros maiores.

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• Uns alunos procuraram obter as áreas das superfícies dos sólidos, outros os volumes, em função da aresta do cubo. Mas só conseguiram estabelecer algumas relações entre as áreas das superfícies dos sólidos, entre os volumes não conseguiram. Então foi-lhes dada a sugestão de tomarem para unidade de volume, o volume do tetraedro ABCD.

Discussão dos resultados• A primeira questão não suscitou divergências.

• A primeira alínea da questão dois, gerou alguma discussão em torno do octaedro e de pirâmides triangulares e quadrangulares.

• A segunda alínea da questão dois foi a que gerou maior discussão. Principalmente para estabelecer relações entre os volumes do sólido ABCD e do cubo. Os alunos revelavam dificuldade em percecionar as partes ocultas da representação em duas dimensões.

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Dificuldades manifestadas pelos alunos na atividade investigativa e a forma como os mesmos foram evoluindo

No início da experiência, os alunos não procuravam clarificar o foco da

investigação, tal como no estudo de Brocardo (2001), exploravam

questão a questão sem muitas vezes as relacionar.

Não formularam questões de forma explícita, usaram o modo

afirmativo em vez do interrogativo (Brocardo, 2001; Ponte & Matos,

1996)

Numa fase inicial, os alunos formulavam as conjeturas com base na

análise de um ou dois casos e à semelhança do observado noutras

investigações (Brocardo, 2001; Henriques & Ponte, 2008; Ponte,

Ferreira, Brunheira et al., 1999), as conjeturas só eram explicitadas se

consideradas como conclusões.

Conclusões

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O teste de conjeturas teve presença em todas as tarefas, embora em muitas situações se confinasse a um número reduzido de casos (Brocardo, 2001; Henriques & Ponte, 2008), o que levou os alunos a assumirem conjeturas que se mostraram falsas.

A justificação e prova de conjeturas nem sempre esteve presente na atividade dos alunos (Fonseca, 2000). Inicialmente só justificavam as conjeturas se solicitado. No final da experiência já tinham a noção de que era necessário procurar argumentos lógicos ou pelo menos plausíveis para justificar as suas conjeturas.

A comunicação escrita do trabalho realizado revestiu-se de dificuldade para os alunos (Guillén, 2000; Junqueira, 1995), sobretudo o registo da justificação de conjeturas. A dificuldade era maior no registo de justificações que se baseavam na intuição e perceção visual.

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Contributos da discussão em grupo para superar dificuldades sentidas pelos alunos em Geometria

Dificuldades Em reconhecer alguns

quadriláteros quando não se assemelhavam a um exemplo protótipo desse polígono.

Produzir construções resistentes (Junqueira, 1995)

Representação plana de sólidos geométricos(perceção visual e habilidade para desenhar) (Gutiérrez, 1998)

Perceção e interpretação de representações planas de objectos tridimensionais (Gutiérrez, 1998; Parzysz, 1988, 1991).

Como foram superadas Intervenções dos colegas de grupo no

sentido de identificar os polígonos através das suas propriedades.

Discussão em grupo contribuiu para encontrar soluções resistentes, recorrendo a propriedades e relações dos quadrilátero que iam construindo.

A ajuda dos colegas de grupo e algum treino contribuíram para minimizar esta dificuldade, no entanto, nalguns casos não foi totalmente ultrapassada.

Discussão em pequeno grupo e sobretudo em grande grupo ajudou a compreender a informação correspondente à parte oculta.

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Numa fase inicial os alunos iam apresentando as suas ideias ao grupo, mas nem todos as defendiam (Machado, 1997).

Os padrões de interação estabelecidos no grupo, especialmente as situações de desacordo, facilitaram o desenvolvimento de explicações e de argumentações.

Contributos da realização de tarefas de exploração e investigação para o desenvolvimento da capacidade de comunicação matemática

Na fase final da experiência os alunos em ambos os grupos questionavam-se mutuamente com o intuito de obter clarificação e justificação, o que contribuía para que procurassem apresentar explicações e argumentos cada vez mais convincentes.

Com o decorrer da experiência, verificou-se uma melhoria na capacidade de comunicação matemática dos alunos, sendo que a evolução foi mais notória em termos de comunicação oral do que escrita, o que confirma dados do estudo de Snyder (2006).

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