OFERTAS DE TRABALLO FIN DE GRAO GRAO EN …...Los anillos de Dedekind surgen en teoria de números y geometría algebraica. Estos anillos pueden no tener la propiedad de factorización

FACULTADE DE MATEMÁTICASAvda. Lope Gómez de Marzoa, s/n.

Campus Universitario Sur15782 Santiago de Compostela

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OFERTAS DE TRABALLO FIN DE GRAO GRAO EN MATEMÁTICAS

CURSO 2012/13

Código

Área de coñecemento Alxebra Título Os teoremas de incompletitude de Gödel

Director/a Javier Barja Pérez

Breve descrición do

contido

En un artículo publicado por Kurt Gödel en 1931, con el título "Sobre sentencias formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines I" , se encuentra lo que se conoce como el Teorema de incompletud de Gödel. Dice,textualmente,

" Teorema VI: Para cada clase recursiva primitiva y - consistente K de fórmulas, hay un signo de clase r, tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de r) Se trata de estudiar este primer teorema de incompletitud de Gödel relativo a la incompletitud de la aritmética y el segundo teorema de incompletitud relativo a la imposibilidad de probar la consistencia misma de un sistema formal que incluya los exiomas de la aritmética elemental. De una indiscutible importancia no sólo como teoremas (meta) matemáticos, sino en la lógica (en la teoría de sistemas formales) y en la filosofía, así como las consecuencias que de él se han derivado no sólo la respuesta negativa a la pretension de David Hilbert de confiar en “ un número finito de procesos puramente lógicos”para evitar problemas, sino en las consecuencias positivas como es la propuesta de funcion recursiva como modelo de funcion efectivamente calculable.

Recomendacións

Davis, M. The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (1965), Raven Press, Hewlett, N.Y. Enderton, H.B. A mathematical introduction to logic (1972), Academic Press. Gödel K. Uber formal unentscheidbase Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol 38 (1931), 173-198 Gödel K. Obras Completas. Introducción y notas J.Mosterin (1981), Alianza Editorial, Alianza Universidad, n° 286, 430 Kleene, S. C.Introduction to metamathematics (1971)Wolters-Noordhoff, Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic 4Ed (1997), Chapman Hall. Yasuhara, N. Recursive function theory and logic (1971), Academic Press

Área de coñecemento Álxebra

Título A inconmensurabilidade nos Elementos de Euclides e a construción dos 5 sólidos platónicos. Director/a Celso Rodríguez Fernández


contido

- Interpretación da Inconmensurabilidade no Libro X dos Elementos. - Actualización das demostracións de Euclides. - Clasificación dos distintos tipos de rectas (primeira binomial, .... sexta binomial, binomial,

primeira bimedial, segunda bimedial, maior, ..., primeira apótoma, ...,apótoma, ..., menor, ...) e relacións entre eles.

- As extensións de Q. - Relacións entre o libro X e a construcción dos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro,

hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro.

Recomendacións - O alumno deberá facer unha revisión do contido dos 9 primeiros libros dos elementos e dar

unha versión actualizada das demostracións do Libro X. - Analizarase a influencia do Libro X na construción dos 5 sólidos platónicos, no Libro XIII.



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Área de coñecemento ALGEBRA

Título Extensiones separables de cuerpos Director/a Emilio Villanueva Nóvoa

Breve descrición do Apoyándose en la noción de extensión separable algebraica y de la de base de trascendencia de

contido una extensión de cuerpos, se planteará el concepto de extensión separable y, utilizando extensiones linealmente disjuntas se trataría de obtener el criterio de Mac Lane y el teorema de Schmidt. La aplicación a cuerpos perfectos cerrará el tema.

Recomendacións Una buena formación en Algebra es muy recomenmdable. En concreto es imprescindible cierta soltura en la utilización de los conceptos correspondientes a la asignatura de Estructuras Algebraicas

Outras observacións

El tema es de gran importancia para quienes deseen iniciar su formación en Geometría Algebraica o en Teoría de Números, por ello se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en alguno de esos temas. Se considera necesario que el alumno sea capaz de utilizar bibliografía matemática en Inglés.

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Área de coñecemento Alxebra Título EXTENSIÓN DE LOS TEOREMAS DE SYLOW A GRUPOS RESOLUBLES

Director/a Leoncio Franco Fernández


contido

Se trata de extender los teoremas de Sylow, del caso de un grupo de orden n y para una potencia de p, al de un divisor m de n primo con n/m y para grupos resolubles (los teoremas de P Hall).

1. Resumen de los teoremas de Sylow y de series de subgrupos [2, 4, 5] 2. Pi-grupos, grupos nilpotentes y resolubles. Grupos pi-separables [2, 3, 5] 3. Pi-subgrupos de Hall. Los teoremas de Hall [2, 3, 5]

Recomendacións

[1] Gorenstein D. Finite groups, Harper & Row 1968 [2] Hall, M. The theoty of groups, Macmillan 1959 [3] Kurosh, A.G.Theory of groups, Chelsea 1960 [4] Lang, Algebra, Addison-Wesley 1965 [5] Rotman, J. Theory of groups, Springer 1995

Código

Área de coñecemento Alxebra

Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos de números.

Director/a Leoncio Franco Fernández Breve descrición do

contido

Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos [3, 4, 5] 2. Geometría de números. Teoría de Minkowski [4] 3. Finitud del número de clase [1,4, 5] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,4, 5]

Recomendacións

[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [4] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [5] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963

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Área de coñecemento Álxebra Título Construcións universais en categorías

Director/a Manuel Ladra González

Breve descrición do contido

Categorías e funtores. Funtores adxuntos. Límites: Obxecto final, produtos, igualadores, pullbacks. Colímites: Obxecto inicial, coproductos, coigualadores, pushouts. Exemplos en álxebra, topoloxía e ciencias da computación.


Bibliografía:

� J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker, Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats, John Wiley and Sons, Inc, 1990. http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/

� B. C. Pierce, A taste of category theory for computer scientists, 1988.



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http://repository.cmu.edu/compsci/1847 � D. E. Rydeheard, R. M. Burstall, Computational category theory, Prentice Hall International,

1988.

Código . Área de coñecemento Álxebra

Título Introdución de coordenadas nun plano afín Director/a Manuel Ladra González


Axiomas do plano afín. Dilatacións e translacións. Construción do corpo. Teorema de Desargues. Teorema de Pappus.


Bibliografía: � E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957. � R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc., New York 1967.

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Área de coñecemento Álxebra Título Corpos finitos e a súa aplicación ós códigos cíclicos

Director/a Nieves Rodríguez González Breve descrición do

contido Estudo dos corpos finitos e o uso dos mesmos para a codificación e descodificación mediante códigos cíclicos.

Recomendacións Ter superada a materia "Ecuacións Alxebraicas" e, cursar ou ter cursado, a materia "Códigos Correctores e Criptografía".

Outras observacións Ser capaz de ler bibliografía en inglés.


Título A categoría de R- Módulos Director/a M. Purificación López López


Estudo do carácter monoidal da categoría de R-módulos. Módulos proxectivos de tipo finito. Teorema de Morita.

Recomendacións Ter superada a materia de Estructuras Algebraicas. Outras observacións Ser capaz de ler bibliografía en inglés.

Código

Área de coñecemento Álgebra Título Cónicas y cuádricas proyectivas

Director/a María Jesús Vale Gonsalves Breve descrición do

contido

El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de las cónicas y cuádricas proyectivas, su clasificación, y la relación con las cónicas y cuádricas afines. Se deberán introducirse previamente nociones tales como espacio proyectivo, variedad proyectiva y proyectividad.

Código

Área de coñecemento Álxebra Título Representacións de grupos e aplicación da teoría de caracteres.

Director/a Rosa María Fernández Rodríguez


O alumno fará unha introdución ás representacións de grupos finitos mediante o uso da estreita relación de aquelas cos módulos. Entre as aplicacións obterá unha demostración do teorema de Burnside utilizando a teoría dos caracteres.

Recomendacións Ter superadas as materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas. É recomendable cursar a materia Álxebra, Números e Xeometría.

Outras observacións O alumno debe ser capaz de ler textos en inglés.



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Código Área de coñecemento ÁLXEBRA

Título Grupo de Brauer dun anel conmutativo Director/a José Manuel Fernández Vilaboa


contido

Trátase de introducir a noción de álxebras de Azumaya como unha xeneralización das álxebrascentrais simples sobre un corpo e de definir o grupo de Brauer dun anel conmutativo R: Br(R). Complementarase co establecemento de un funtor dende a categoría de aneis conmutativos atacategoría de grupos abelianos e con o estudo de varios exemplos e relacións entre grupos deBrauer.

Código

Área de coñecemento Álxebra Título Algebra lineal sobre anillos de Dedekind

Director/a Leovigildo Alonso Tarrío


contido

Los anillos de Dedekind surgen en teoria de números y geometría algebraica. Estos anillos pueden no tener la propiedad de factorización única de elementos, es decir, no siempre son dominios de ideales principales. Sin embargo, si consideramos ideales en vez de elementos, esta factorización es posible. En este trabajo veremos cómo esta propiedad se traduce en un teorema de clasificación de los módulos al estilo de la ya conocida de los dominios de ideales principales.

Recomendacións Haber superado la asignatura “Estructuras algebraicas”.


Título Curvas elípticas sobre corpos finitos e as súas aplicacións en criptografía. Director/a José Luis Gómez Pardo


contido

As curvas elípticas sobre corpos finitos proporcionan unha familia de grupos abelianos finitos nos que se pensa que o problema do logaritmo discreto (PLD) é especialmente difícil debido a que só se coñecen algoritmos xenéricos (de complexidade exponencial) para resolvelo, o que fai que teñan un grande interese criptográfico.

O traballo comezará polo estudo xeneral de curvas elípticas e a súa estrutura de grupo, pasando despois a centrarse no caso de curvas elípticas sobre corpos finitos, no PLD sobre as mesmas, e nos algoritmos dispoñibles para resolvelo. Como aplicación estudaranse o esquema de cifrado de Elgamal e o esquema de sinaturas dixitais ECDSA, baseados en curvas elípticas.

Recomendacións É recomendable ter cursadas ou estar cursando as materias “Códigos Correctores e Criptografía” e “Álxebra, Números e Xeometría” e ser capaz de ler bibliografía en inglés.


Bibliografía: D. Hankerson, A. Menezes, and S. Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer, 2004.

J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008.

Standards for Efficient Cryptography 1 (SEC 1): Elliptic Curve Cryptography, version 2.0, en http://www.secg.org/download/aid-780/sec1-v2.pdf.

Código

Área de coñecemento Álgebra Título Algunos casos del último teorema de Fermat

Director/a Javier Majadas Soto Breve descrición do

contido Se estudiarán algunos casos particulares del último teorema de Fermat. Se utilizarán solo métodos elementales y conocimientos básicos de la teoría de enteros algebraicos (siendo el libro “P. Samuel, teoría algebraica de números” más que suficiente para estos métodos).

Recomendacións Es muy conveniente haber cursado o estar cursando la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”, y manejar con soltura los contenidos de la asignatura “Ecuaciones Algebraicas”.



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Código . Área de coñecemento Análisis Matemático

Título Ideales de operadores quasi normados Director/a Manuel Antonio Fugarolas Villamarin


Se trata de estudiar algunos ideales de operadores: Operadores nucleares, Operadores integrales Operadores Sumantes y operadores asociados a S-números.

Recomendacións Conocimientos previos de Análisis Funcional Outras observacións Ninguna

Código

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Título Teoremas de puntos fixos de operadores definidos en espazos de dimensión infinita

Director/a Alberto Cabada Fernández Breve descrición do

contido

Neste traballo estudiaranse os teoremas de puntos fixos de operadores definidos en espazos de dimensión infinita.

Ademáis do celebérrimo teorema de Krasnoselskii e as máis salientables das súas xeneralizacións, estudaranse outro tipo de resultados para operadores definidos en espazos parcialmente ordenados. Para iso farase un estudo da teoría do grao topolóxico e do índice de Leray – Schauder.

Tamén se estudarán a súa aplicación á existenza de solución de ecuacións diferenciais.

Código

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Título Desigualdades Integrais.

Director/a Alberto Cabada Fernández Breve descrición do

contido

Neste traballo estudaránse diversas desigualdades que afectan a integrais de funcións de variable real.

Ademáis das ben coñecidas desigualdades de Hölder ou de Gronwall-Bellman, serán probadas, entre outras, desigualdades dadas por Bihar, Pachpatte ou Salpagarov.

Tamén se fará unha aplicación deste resultados para probar a existenza de solución de ecuacións integrais e diferenciais.

Código

Área de coñecemento Análise Matemática Título FUNCIONES ARMÓNICAS. EL PROBLEMA DE DIRICHLET

Director/a José María Paredes Álvarez


Se trata de abordar el estudio de las funciones armónicas en dos dimensiones a partir de la teoría de funciones holomorfa. Su desarrollo va encaminado a la resolución del problema de Dirichlet en un disco.

Recomendacións

Haber cursado la asignatura “Variable complexa”, así como de algunos aspectos referentes a ecuaciones en derivads parciales.


Dado que para la realización de este trabajo se requiere un manejo de los conceptos y resultados de la asignatura “variable compleja”, sería lógico que los alumnos que quieran acceder a él hubiesen cursado tal asignatura, por lo que la elaboración del mismo se llevaría a cabo en el segundo cuatrimestre, salvo que el alumno la haya cursado en años anteriores.

Código

Área de coñecemento Análise Matemática Título FAMILIAS DE FUNCIONES HOLOMORFAS. CONVERGENCIA Y COMPACIDAD



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Director/a José María Paredes Álvarez Breve descrición do

contido

Se trata de introducir una métrica “d” en el espacio H(U) con las propiedad de que la convergencia relativa a dicha métrica sea la de la convergencia uniforme sobre los compactos del abierto U. Se identificarán los conjuntos compactos de dicho espacio y se probarán algunos resultados sobre la convergencia de sucesiones de funciones holomorfas.

Recomendacións Haber cursado las asignaturas que impliquen un conocimiento de los conceptos a tratar: función holomorfa, convergencia uniforme, distancia, compacto,…..



Código

Área de coñecemento Análise Matemática Título EL TEOREMA DE FACTORIZACIÓN DE WEIERSTRASS

Director/a José Mª. Paredes Álvarez


Se trata de realizar un estudio de las funciones enteras. Los productos infinitos, tanto numéricos como funcionales, será la herramienta a utilizar, con el doble objetivo de representar una función entera como un producto infinito y construir funciones enteras con ceros prefijados.

Recomendacións Tener un buen conocimiento acerca de series numéricas y funcionales, así como de los distintos tipos de convergencia de las mismas. Haber cursado la asignatura “Variable complexa”.



Código

Área de coñecemento Análise Matemática Título Clasificación de campos de vectores. Estabilidade estrutural

Director/a Fernando Costal Pereira Breve descrición do

contido

Á hora de buscar modelos matemáticos para o estudar o comportamento dun determinado proceso, resulta de gran interese ter agrupados nunha mesma clase de equivalencia todos aqueles campos que presenten “no esencial” o mesmo comportamento. Trátase de estudar cales son as distintas clases de equivalencia que poden aparecer en función do que se entenda por “esencial”. Outra cuestión importante a ter en conta, é que a dinámica dun sistema non se vexa afectada por pequenas perturbacións, é dicir, que o campo sexa estruturalmente estable, estudo que se abordará empezando polo caso lineal e vendo as dificultades que xorden ao pasar a campos non lineais.

Recomendacións É fundamental coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de ecuacións diferenciais ordinarias do grao en matemáticas.

Código

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Título Teorema de Stone–Weierstrass

Director/a Juan José Nieto Roig Breve descrición do

contido

Es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Se detallará la demostración de este resultado conocido como Teorema de Weierstrass. Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone–Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico.

Código

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA Título INTRODUCIÓN ÁS DISTRIBUCIÓNS



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Director/a RODRIGO LÓPEZ POUSO


Trátase de que o alumno coñeza os aspectos fundamentais da Teoría das Distribucións iniciada por L. Schwartz, facendo fincapé nas súas aplicacións ao estudo das ecuacións diferenciais e tamén nos aspectos básicos dos espazos funcionais implicados.

Código

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Cálculo fraccionario versus cálculo clásico Director/a Rosana Rodríguez López


contido

O traballo consiste nunha introdución ao Cálculo Fraccionario, como xeralización da diferenciación eintegración clásica a ordes arbitrarios non enteiros, de interese non só dende o punto de vista matemático, senón tamén no eido das aplicacións á física ou á enxeñaría. Será obxecto do traballo arealización dunha comparación entre os diferentes conceptos de derivada fraccionaria (epropiedades básicas relativas ao cálculo fraccionario) con respecto aos conceptos e propiedadescorrespondentes dende o punto de vista clásico. Algúns elementos do cálculo fraccionario poderán ser combinados para a resolución dalgunhas ecuacións diferenciais de orde fraccionaria sinxelas conrespecto ás derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville e Caputo. Tamén poderá será obxecto dotraballo a recopilación de aplicacións de diferentes modelos fraccionarios á predición docomportamento de fenómenos a diversos campos: Matemáticas, Física, Química, Bioloxía, Economía, etc. O emprego de programas de cálculo simbólico permitirá visualizar diferentespropiedades así coma o comportamento das solucións de ecuacións de orde fraccionaria.

Recomendacións

Ter superadas as materias Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código

Área de coñecemento Análise Matemática Título Aspectos topolóxicos da dinámica discreta

Director/a Miguel Antonio del Río Vázquez


Consideraranse algúns conceptos topolóxicos básicos do estudo abstracto da dinámica discreta, incidindo especialmente naqueles que tratan de expresar ou medir a complexidade dinámica dun sistema, como son a transitividade, a entropía topolóxica e as distintas nocións de caos.

Código Área de Análise Matemática Título Iniciación á Teoría da Medida e Integración abstractas Director/es Rosa Mª Trinchet Soria

Área de coñecemento

ANÁLISE MATEMÁTICA


contido

Segundo o propio H. Lebesgue indicaba hai case un século, a Física leva, de xeito natural, á consideración de funcións de dominio (ás que chamaremos no que segue funcións de conxunto), como, por exemplo, masa, cantidade de calor, cantidade de electricidade, etcétera. As medidas abstractas (positivas, reais, …) servirán para dar forma a estas funcións de conxunto. O obxectivo deste traballo é iniciar o estudo destas medidas, no que prestaremos certa atención ás medidas definidas a través de “integrais respecto a medidas”.



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Código Área de coñecemento Analise Matemática

Título Transformada de Fourier, Transformadas de Fourier discretas. Aplicacións. Director/a Francisco Javier Fernández Pérez


contido

O traballo consta de dúas partes, na primeira estúdase a transformada de Fourier, a súa inversa e as principais propiedades, así como a aplicación á resolución dalgún problema de ecuacións en derivadas parciais. Na segunda parte adícase a transformada de Fourier discreta, e a súa aplicación ó tratamento dixital de imáxenes, procesamento de señais e ó estudo das características da estructura xeométrica dunha imaxe.

Recomendacións Haber superado a materia: Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código Área de coñecemento Análise Matemática

Título A hipótese de Riemann

Director Juan José Nieto Roig


Describir o enunciado da famosa Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática (teoría de números, variable complexa, probabilidade, física matemática, criptografía, computación, etc…) e algunhas das súas implicacións.

Código Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título Unha Introdución á Programación Estocástica Director/a M. Angeles Fernández Fernández


O obxectivo deste TFG é que o alumno/a faga unha revisión dos modelos de Programación Linear Estocástica, así como de a Programación Enteira Estocástica. Fará ademais una breve revisión de aplicacións da devandita programación.

Recomendacións Sería conveniente que o alumno cursara a materia Programación Linear e Enteira.


Bibliografía: Alonso-Ayuso,A.;Escudero,L.; Pizarro-Romero,C. (2009) Modeling and Introduction to Stochastic Programming. Servicio de Publicaciones. Universidad Rey Juan Carlos.

Código

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título El Problema de la Mochila: Resolución y Aplicaciones

Director/a Julio González Díaz


contido

El problema de la mochila es uno de los problemas de programación matemática más estudiados. Informalmente, modela una situación en la que un viajero está preparando su mochila y no le caben todas las cosas que querría llevarse. Se trata entonces de encontrar la configuración óptima de la mochila, metiendo aquellos objetos que resulten en una utilidad mayor para el viajero. A pesar de su sencillez de planteamiento, este problema generaliza otros problemas combinatorios



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clásicos y tiene gran cantidad de aplicaciones. Por otro lado, su resolución mediante algoritmos eficientes es un tema de investigación todavía muy activo.

En este trabajo de fin de grado el alumno tendría que familiarizarse con el modelado de este problema y estudiar algunas aplicaciones y algoritmos de resolución.

Código

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título Introducción a la Elección Social. El Teorema de Arrow

Director/a Balbina Virginia Casas Méndez Breve descrición do

contido

Este trabajo consta de una parte inicial de introducción a la Teoría de la Decisión relativa al estudio de funciones de preferencia y la representación por medio de funciones de utilidad. En segundo lugar se efectuará una introducción a la Teoría de Elección Social: esta disciplina se ocupa del estudio de los procedimientos e instituciones que permiten a grupos de individuos, pertenecientes por ejemplo a una determinada organización política o social, realizar una toma de decisiones basándose en las preferencias de todos los miembros del grupo. El tema central del que se ocupa la Teoría de la Elección Social es el de elaborar reglas de votación. Al comenzar los estudios en este campo, Arrow probó su conocido “teorema de imposibilidad”. Éste establecía que si se imponen unas pocas condiciones, totalmente sencillas y naturales, las únicas reglas que las cumplían eran las dictatoriales. Desde los trabajos de Arrow, la Teoría de la Elección Social ha experimentado un gran desarrollo. Cabe mencionar los denominados resultados de posibilidad y las reglas de decisión colectivas. Referencias: [1] Social choice mechanisms. V. I. Danilov y A. I. Sotskov,Springer Verlag, 2002.

Recomendacións Cursar la materia Teoría de Juegos puede ser conveniente, incluso aunque se haga de forma más o menos simultánea a la realización del trabajo fin de grado.

Código

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título Programación multiobjetivo: fundamentos, soluciones y algoritmos

Director/a Balbina Virginia Casas Méndez Breve descrición do

contido

Este trabajo comenzaría analizando la formulación del problema de programación multiobjetivo y de las condiciones para la eficiencia en este contexto. En este punto se revisarán resultados clásicos como las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Se estudiarían diferentes métodos de obtención de soluciones: la optimización lexicográfica, la suma ponderada de objetivos, o la programación por metas entre otros. Por último se estudiarían algoritmos como el símplex multicriterio y una introducción a la dualidad y al análisis de la sensibilidad en este contexto. Los conceptos y métodos se ilustrarían con problemas tomados de la vida real y haciendo uso de herramientas informáticas. Referencias: [1] Ehrgott, M. and Wiecek, M. M. (2005). Multiobjective programming. In: Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art. Surveys. J. Figueira, S. Greco and M. Ehrgott (eds.) Springer.

Código

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Exemplos notables de Probabilidade e Estatística

Director/a Manuel Febrero Bande


O obxectivo deste traballo é desenrolar nun entorno informático amigable exemplos notables da didáctica da Probabilidade e da Estatística complementando ferramentas xa existentes como o paquete TeachingDemos do programa R.

Recomendacións Soltura co paquete estatístico R

Código A cumprimentar pola CDAA.



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Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Estimación nonparamétrica da densidade

Director/a Alberto Rodríguez Casal Breve descrición do contido

A densidade dunha variable aleatoria é unha característica extremadamente importante da variableque permite comprender o seu comportamento. É, por tanto, moi importante poder estimala a partir dun conxunto de datos. Moitas veces se supoñen modelos paramétricos, como é a familia normalpara facer esa estimación. Sen embargo é moi interesante dende o punto de vista práctico podeestimar a densidade sen facer esas suposicións paramétricas. Esas estimacións nonparamétricasou flexibles, permitirían contrastar a propia validez das hipóteses paramétricas habituais. Nestetraballo fin de grao preténdese introducir ao estudante na estimación non paramétrica da densidadeO obxectivo é que o estudante comprenda a natureza do problema, así como coñeza algunhas dassolucións ao mesmo, tanto as máis clásicas como algunha máis recente. De forma específicaabordarase con detalle a estimación tipo núcleo da densidade, tratando o problema da selecciónautomática da ventá. Preténdese levar a cabo un estudo de simulación que permita comparar as distintas propostas existentes para seleccionar este parámetro Bibliografía: Wand y Jones (1995) Kernel Smoothing. Chapman y Hall. Wasserman (2007) All of nonparametrics. Springer.

Recomendacións

O estudante deberá ter coñecementos de inferencia estatística, análise matemática. Deberá programar código en R así como ser capaz de ler textos en inglés.

Código

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Estimación de conxuntos: algoritmos para o cálculo do “medial axis”.

Director/a Beatriz Pateiro López Breve descrición do

contido

A estimación de conxuntos ten por obxectivo recuperar un conxunto descoñecido ou algunha característica importante do mesmo a partir dunha mostra de puntos do conxunto. A estimación de conxuntos está tendo na actualidade importantes aplicacións en campos como a análise de imaxes. O “medial axis” dun obxecto se define como o conxunto de puntos que teñen mais dun punto mais próximo na fronteira do conxunto e ven a ser coma o esqueleto do obxecto. Existen na literatura algoritmos para a computación do medial axis en conxuntos sinxelos como polígonos. O obxectivo deste traballo é facer unha revisión da literatura existente e implementar estes métodos na linguaxe R, o software mais empregado na actualidade na comunidade científica na área estatística.

Recomendacións Coñecementos de programación

Código

Título Verosimilitud empírica

Director/es César A. Sánchez Sellero


contido

La verosimilitud empírica es un método que permite realizar tareas de inferencia, adaptándose de manera muy flexible a la distribución del estimador o del estadístico de contraste. Además, permite la aplicación de una distribución asintótica ji-cuadrado muy sencilla, lo cual facilita las labores de inferencia. En este trabajo se propone revisar los elementos básicos del método de verosimilitud empírica, lo cual implica la utilización de multiplicadores de Lagrange. Se incluirá en el trabajo la inferencia por verosimilitud empírica con parámetros vectoriales. Se ilustrarán los métodos con ejemplos simulados, donde se podrían ver las ventajas de la verosimilitud empírica en distribuciones asimétricas. También se aplicará a datos reales. Bibliografía: Owen, A.B. (2001). Empirical likelihood. Chapman and Hall.



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Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Recomendacións

Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Programación Lineal y Entera, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es preciso tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada.

Código .

Título Máxima verosimilitud en Análisis de Supervivencia

Director/es César A. Sánchez Sellero


contido

El Análisis de Supervivencia estudia tiempos de vida. Con frecuencia la medición de estos tiempos está sometida a muchas limitaciones. Por ejemplo, si se realiza un seguimiento hasta el final de tiempo de vida, este seguimiento se puede interrumpir por múltiples causas. En ese caso es necesario modificar las técnicas de inferencia, incluso para estimar la propia función de distribución. Para ello se emplea el principio de verosimilitud, que da lugar a estimadores muy populares como el estimador de Kaplan-Meier u otros similares. En este trabajo se propone revisar los conceptos de verosimilitud con datos censurados o truncados, incluyendo ciertas variantes, como la censura por intervalo. Se estudiarán las propiedades de sesgo y varianza de los estimadores, así como ciertas propuestas para mejorar estas propiedades. Se ilustrará el funcionamiento de los métodos con estudios de simulación, y se aplicarán a bases de datos reales.


Recomendacións

Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es preciso tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada.

Código .

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título Modelos de regresión con efectos aleatorios

Director/a Wenceslao González Manteiga


contido

Se trata de revisar y describir los modelos de regresión con efectos aleatorios con respuesta cualitativa y continua que surgieron en los últimos años. Elaborar una posible lista de macros en R relacionadas con las distintas metodologías e ilustrar la potencialidad de los métodos en modelos de predicción de datos medioambientales y biomédicos que le serán suministrados al alumno.

Recomendacións Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso.

Outras observacións Se aconseja tener conocimientos de R.

Código Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Título Técnicas non paramétricas en regresión con deseño fixo. Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS


contido

O obxectivo deste traballo fin de grao é familiarizar ao alumno/a coas técnicas de regresión nonparamétrica en deseño fixo. De maneira máis específica, o traballo centrarase no estudo doestimador de Gasser-Müller en regresión simple. O traballo comprende as seguintes tarefas:

a) Revisión dos modelos de regresión en deseño fixo. Axustes paramétricos (lineais e non lineais). b) Estimador de Gasser-Müller. Análise das súas propiedades mediante estudos de simulación.



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c) Aplicación a datos reais.

Referencias: Härdle, W. (1991) Smoothing Techniques: With Implementation in S. Springer. Hart, J. (1997 ) Nonparametric smoothing and lack of fit tests (Chapter 3). Springer.

Recomendacións

Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso). Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés.

Código

Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Título Modelos autorregresivos de series de tempo

Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS


contido

Os modelos autorregresivos permiten modelar o comportamento dunha serie de observaciónsrecollidas ao longo do tempo e que presentan unha dependencia feble entre elas. Neste traballocentrarémonos no estudo da modelización de tipo Box-Jenkins para series autorregresivas. O traballo comprende as seguintes tarefas:

a) Introdución ás series de tempo. Estacionariedade. b) Modelos autorregresivos (AR). Función de autocorrelación. c) Estimación dos modelos AR. d) Diagnose e predición en modelos AR. e) Aplicación a datos reais.

Referencias: Brockwell, P.J. e Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting. Springer (2ª edición).Peña, D. (2005). Análisis de Series Temporales. Alianza Editorial.

Recomendacións

Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso). Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés.

Código

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título Revisión de métodos de estimación no paramétricos de la función de regresión y algunas aplicaciones

Director/a Luis Alberto Ramil Novo Breve descrición do

contido

Se trata de revisar dos estimadores no paramétricos de la función de regresión que se definen mediante una generalización del método mínimo cuadrático. En el trabajo se examinarán aspectos de interés en la bibliografía reciente sobre los estimadores spline suaves (o smoothing spline), que se basan en estimaciones polinómicas locales, así como del estimador por series de Fourier. La revisión incluye el análisis de algunas aplicaciones en el proceso de estimación y evaluación de modelos de regresión. Las aplicaciones de estos métodos requieren la utilización del software disponible o de su desarrollo.

Recomendacións

- Haber cursado las asignaturas de “Inferencia Estadística” y “Series de Fourier e introdución a las E.D.P.” del Grado y recomendable la optativa de “Modelos de regresión y análisis multivariante” de cuarto curso. - Conocimiento a nivel básico de algún lenguaje de programación o de software estadístico (entorno estadístico R o similar).


Código .




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Título Cálculo de índices de poder en juegos espaciales Director/a José Mª. Alonso Meijide


contido

En los inicios de la teoría de juegos con utilidad transferible, se consideraba que un juego simple estaba totalmente determinado a partir de su función característica. A partir de esta función característica, se calculan diversos índices de poder, entre los que destaca, el índice de Shapley- Shubik. En un juego espacial, además de la función característica, para determinar el comportamiento de los jugadores, se dispone de un conjunto de puntos, uno para cada jugador. La configuración espacial de estos puntos en el espacio proporciona información sobre las afinidades existentes entre los jugadores. En la literatura pueden encontrarse diversas modificaciones del índice de Shapley-Shubik que tienen en cuenta, además de la función característica del juego, la configuración espacial de los puntos asignados a cada jugador. El objetivo de este trabajo es revisar la literatura existente sobre índices de poder para juegos espaciales. Referencia: G. Owen (1995). "Game Theory". Academic Press.

Recomendacións Cursar la materia Teoría de Juegos puede ser conveniente, incluso aunque se haga de forma más o menos simultánea a la realización del trabajo fin de grado.


Código

Área de coñecemento Matemática Aplicada. Título Algunos elementos matemáticos empleados en la Mecánica de los Medios Continuos.

Director/a Óscar López Pouso


contido

Contenidos:

(1) Conceptos de cuerpo y deformación.Teoremas integrales del Cálculo Vectorial.Campos gradiente. Fuerza. Ecuación del movimiento.

(2) Definición de cuerpo como una variedad tridimensional con esquinas. Teoremas integrales del Cálculo Vectorial en variedades con esquinas.

(3) Regularidad del potencial φ(x,t) conocida la regularidad del campo gradiente u(x,t) = grad φ(x,t). Existencia de potenciales regulares para campos gradiente regulares.

Objetivos: Este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con tres objetivos:

- Por un lado, el estudio de ciertos conceptos y elementos muy conocidos e importantes de la Mecánica del Continuo, pero que ya no se estudian dentro del Grado en Matemáticas.

- Por otro, continuar el Trabajo Académicamente Dirigido (TAD) del estudiante D. Néstor

León Delgado (referencia [4]), cuyo objetivo fue el de conectar los conceptos matemáticos de la Mecánica del Continuo con los equivalentes de la Geometría Diferencial.

- Por último, enfrentar al alumno con una cuestión no resuelta en la bibliografía (punto (3) de

los contenidos), de una complejidad adecuada a un estudiante de último año de Grado en Matemáticas, sobre la que debe reflexionar y dar alguna respuesta.

Motivación: La Mecánica del Continuo hace uso de numerosas herramientas matemáticas; un curso introductorio basado en los conceptos de la Mecánica Racional de Truesdell y Noll, como el expuesto en el libro de Gurtin [1], recurre a conceptos como el de “cuerpo”, que en términos matemáticos es una variedad con esquinas, y de “deformación”, que en términos matemáticos es un C1-difeomorfismo entre dos cuerpos que cumple ciertas propiedades.



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Es natural, por otra parte, que en las obras de Mecánica del Continuo no se preste atención a esos conceptos desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, Gurtin no incluye una definición completa de lo que entiende por “cuerpo”, remitiendo al lector al libro de O. D. Kellogg Foundations of Potential Theory, publicado por Springer en el año 1929 y reimpreso por Dover en 1953. Si combinamos los contenidos de los dos párrafos anteriores, llegamos a la conclusión de que tiene cabida una revisión de esos elementos desde el punto de vista de un matemático o, en este caso, de un estudiante de Matemáticas. Bibliografía:

[1] Morton E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, 1981. [2] Dominic JOYCE. On Manifolds with corners. arXiv:0910.3518, version 2, October 2010. [3] Steven G. KRANTZ y Harold R. PARKS. Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston, 2008. [4] Néstor LEÓN DELGADO. Sobre las deformaciones en la Mecánica de los Medios Continuos. Trabajo Académicamente Dirigido por Óscar López Pouso y José Antonio Oubiña Galiñanes. Facultad de Matemáticas de la USC, curso 2010-2011. [5] Richard B. MELROSE. Diferential Analysis on Manifolds with Corners, Massachusetts Institute of Technology. Unpublished notes.


El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

Código

Área de coñecemento Matemática Aplicada Título Modelos matemáticos de tráfico en estradas

Director/a Alfredo Bermúdez de Castro


Nunha primeira etapa trátase de facer unha revisión bibliográfica dos modelos que se empregan para simular o tráfico en estradas. Nunha segunda etapa escolleranse algúns modelos sinxelos que se resolverán con métodos numéricos axeitados

Código A cumprimentar pola CDAA.

Área de coñecemento Matemática Aplicada Título Unha ampliación á resolución de ecuacións numéricas non lineares

Director/a Carmen Rodríguez Iglesias Breve descrición do

contido No segundo tema da materia de Cálculo numérico nunha variable vense os métodos clásicos de dicotomía iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para

Outras observacións No TFG proposto trátase de ampliar e visualizar dunha maneira máis madura algúns dos contidos impartidos no Grao.

Código Área de coñecemento Matemática Aplicada Título Simulación numérica do desconxelado de alimentos nun microondas. Director/a Dolores Gómez Breve descrición do contido

Trátase de describir e comprender as ecuacións en derivadas parciais que modelan o desconxelado de alimentos nun microondas. O modelo contemplará o acoplamento das ecuacións de Maxwell coa ecuación de transferencia da calor. O traballo incluirá a simulación numérica do proceso empregando o paquete Comsol. Deste xeito, preténdese que o alumno desenvolva as capacidades adquiridas ao superar a materia Modelización Matemática

Recomendacións Ter superada a materia de Modelización Matemática.

Código



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Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de elementos

finitos Director/a José A. Alvarez Dios


contido

Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de elementos finitos mediante descomposición de dominios e uso dun precondicionador ou do complemento de Schur.

Recomendacións

O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto.

Código


Título Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de diferencias

finitas Director/a José A. Alvarez Dios


contido

Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de diferenzas finitas mediante coloreado ou outras técnicas.

Recomendacións

O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto.

Título Análise e resolución numérica dun modelo de contacto dun sólido elástico sobre unha fundación.

Director/es Juan M. Viaño Rey Breve descrición do

contido

Trátase de analizar un método numérico para a resolución dun modelo de contacto sen e con rozamento dun sólido elástico sobre unha fundación ríxida e de resposta elástica. Incluirá: � Busca de bibliografía e referencias para a descrición do problema mecánico e do modelo

matemático e a súa análise. � Descrición e análise dun método numérico para a súa discretización e resolución � Programación en ordenador do método nun caso simple unidimensional ou bidimensional. � Comparación de resultados cos obtidos en paquetes de elementos finitos (COMSOL) � Escritura e presentación da memoria de resultados e conclusións.


Recomendacións Ter cursado G1011448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Título Modelización e simulación numérica das deformacións termomecánicas de estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil durante un incendio.

Director/es Patricia Barral Rodiño


contido

Trátase de realizar: 1) A modelización matemática das deformacións termomecánicas sufridas por estruturas sinxelas de aceiro e/ou formigón usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. 2) A simulación numérica utilizando COMSOL.

Área de coñecemento Matemática Aplicada Recomendacións Cursar ou ter cursado: Taller de Simulación Numérica, Modelización Matemática e Análise Numérica



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de EDP.

Código Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Modelado e simulación numérica en ecuacións en derivadas parciais. Director/a Peregrina Quintela Estévez


Trátase de realizar a modelización matemática dun proceso real na mecánica de sólidos a partir da bibliografía existente. Ademais farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software comercial ou desenrolando un código propio.

Recomendacións É imprescindible ter cursado Modelización Matemática e recoméndase ter cursado Análise Numérica de EDP.

Código


Título Generación de mallados en 2D: Triangulación de Delaunay combinada con una optimización de los nodos.

Director/a Jerónimo Rodríguez García Breve descrición do

contido

De cara a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de los elementos finitos es fundamental el poder obtener una triangulación de buena calidad del dominio de cálculo. En el presente trabajo, el alumno estudiará un método de generación de mallados para dominios en dos dimensiones. El método se basará en dos ingredientes fundamentales: i) la triangulación de Delaunay asociada a una nube de puntos contenida dentro del dominio que queremos mallar, ii) un algoritmo de optimización de la posición de los nodos del mallado [1]. En primer lugar el estudiante tendrá que documentarse sobre las propiedades de la triangulación de Delaunay así como seleccionar y programar un algoritmo que proporcione dicha triangulación para una nube de puntos dada. Durante la segunda parte del proyecto se estudiará e implementará la técnica de optimización de nodos presentada en [1]. [1] P.-O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review, 46 (2004), pp. 329–345

Recomendacións Se recomienda tener conocimentos básicos de Fortran90. Outras observacións Los algoritmos seleccionados se implementarán en Fortran90.

Código

Área de coñecemento Matemática Aplicada Título Modelos matemáticos de sistemas de reaccións químicas

Director/a Alfredo Bermúdez de Castro


contido

No caso dun “tanque axitado” a evolución das concentracións dos compostos presentes nun sistema de reaccións químicas está rexido por un conxunto formado por ecuacións diferenciais ordinarias e ecuacións numéricas (differential-algebraic equations). O traballo comezará pola introdución e o estudo destes modelos e seguirá polo establecemento de algoritmos eficientes para a resolución numérica, que serán implementados en ordenador. En particular, considerarase o caso en que coexisten reaccións lentas e rápidas, o que da lugar a sistemas mal acondicionados (stiff).

Código

Área de coñecemento

Título Resolución numérica del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden con métodos de gradiente conjugado.

Director/a María Luisa Seoane Martinez


El objetivo de este trabajo es la programación en ordenador de la aproximación numérica de la solución del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden bidimensional mediante la resolución de una formulación mixta que permite expresarlo en términos de las



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derivadas de segundo orden; este procedimiento presenta además la ventaja de preservar la

simetría del problema original. Los sistemas finitodimensionales de matriz definida positiva resultantes de la discretización con elementos finitos afines de Lagrange se resolverán mediante el método del gradiente conjugado, que al trarse de problemas lineales convergerá en un número finito de iteraciones.

Recomendacións

Haber superado las materias Análise Numérica Matricial y Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar matriculado en Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Código

Área de coñecemento Matemática Aplicada Título La transformada de Laplace aplicada a la resolución de problemas de transferencia de calor y masa.

Director/a M.Carmen Muñiz Castiñeira


contido

En la primera parte del trabajo se introducen la transformada y la transformada inversa de Laplacejunto con sus principales propiedades; se obtendrá la transformada de funciones elementales y deaquellas funciones más usuales en la resolución de problemas de valor inicial y de contorno para EDP. En la segunda parte se aplica la transformada de Laplace a la resolución de la ecuación de la

difusión unidimensional en dominios acotados y no acotados bajo diversas condiciones iniciales y decontorno en el ámbito de problemas de transferencia de calor y masa.

Recomendacións Estar familiarizado con el manejo de bibliografía en lengua inglesa.

Código Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Aproximación dos autovalores dunha matriz polo algoritmo QR Director/a Pilar Mato


contido

O algoritmo QR, que data de principios dos anos 60, é un dos métodos máis empregados para ocálculo do conxunto dos autovalores dunha matriz cadrada calquera. Na práctica, antes de aplica-lométodo QR, a matriz A transfórmase nunha matriz Hessemberg superior o que reduceconsiderablemente o seu coste computacional. O uso do método QR con traslacións permitemellora-la converxencia do método. Neste traballo trátase de elaborar un manual que responda ósseguintes ítems: -Exposición e análise do método e de diversas estratexias que se poden utilizar para melloralo. -Implementación dalgunha delas en FORTRAN 90 ou MATLAB. -Aplicación do método nalgún exemplo.

Código


Título Algunos aspectos teóricos del análisis de la convergencia de los métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Director/a Rafael Muñoz Sola Breve descrición do

contido

Los conceptos de consistencia, estabilidad y convergencia son centrales en el estudio de los métodos numéricos para EDO. El objetivo del trabajo es la redacción de un documento que exponga los resultados fundamentales relativos a estos conceptos incluyendo sus demostraciones así como sus aplicaciones al estudio de las familias principales de métodos (Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector). El trabajo debe incluir como mínimo:

a) La caracterización de la consistencia de un método “general” (una familia típica de métodos que engloba Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector de tipo P(EC)μ

E. ) b) El resultado de que estabilidad y consistencia implican convergencia. c) La descripción de la estructura de las soluciones de la ecuaciones en diferencias lineales

de k pasos ( item auxiliar necesario para abordar el punto siguiente) d) La caracterización de la estabilidad (teorema de Dahlquist). e) La equivalencia entre convergencia y estabilidad más consistencia en el



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caso de los métodos lineales mutipaso.

f) La necesidad de la consistencia para tener la convergencia, en el caso de los métodos de un paso.

g) Resultados aplicables a los métodos predictor-corrector de tipo P(EC)μ. (Estos métodos no encajan en el método “general” citado más arriba.)

Bibliografía:

- CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Differentielles. Masson, Paris. [Primera edición: 1984]

- CHARTRES, B. y STEPLEMAN, R., A General Theory of Convergence for Numerical

Methods, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 9, No. 3, 1972, pp. 476-492.

- C. W. GEAR (1971) Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, N.J.

- HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin

HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York.

- LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London.

- ORTEGA, JAMES M. (1972, primera edición ) Numerical analysis: a second course.

- SKEEL, R. Analysis of fixed step-size methods, SIAM J. Numer. Anal, Vol. 13, No. 5, 1976, pp. 664-685.

- STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (1993, segunda edición) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York.

Recomendacións

Haber superado la asignatura “Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais”. Tener bien asimilados los conceptos de teoría de matrices (normas, diagonalización, forma canónica de Jordan) y los conocimientos de Cálculo Diferencial en una y varias variables.

Outras observacións El/la estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

Código . Área de coñecemento Matemática Aplicada.

Título "A Hundred-dollar, Hundred-digit Challenge", by Nick Trefethen, Oxford University. Director/a Óscar López Pouso. Breve descrición do

contido

En su curso “Problem Solving Squad”, el profesor Trefethen (Mathematical Institute, Universidad de Oxford) propone cada semana a los estudiantes la resolución de un problema cuya solución final es un número real. En el número de enero/febrero de 2002 de SIAM News (Vol. 35, nº 1), Trefethen publicó una lista de diez de esos problemas, anunciando que premiaría con $100 a aquel individuo o grupo que los resolviese con el mayor número de decimales exactos. La mayor parte de estos problemas, que se proponen a los aspirantes a realizar una tesis doctoral, son demasiado difíciles para un alumno de cuarto curso del Grado en Matemáticas. Sin embargo, un cierto número de las soluciones obtenidas por individuos y grupos participantes pueden ser encontradas en la red. Por ello, este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con el objetivo de que el estudiante efectúe una búsqueda de esas soluciones, las clasifique y las estudie, aportando siempre que pueda su propio punto de vista o su propia versión. Bibliografía:

[1] http://www.siam.org/pdf/news/388.pdf. [2] http://www.siam.org/pdf/news/455.pdf.



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Recomendacións El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés. Por otra parte, la realización de este TFG requiere programación en ordenador (en cualquier lenguaje de programación).


El mundo del Análisis Numérico va, naturalmente, mucho más allá de los cursos que tienen cabida en un grado. Mediante el estudio de estos problemas, el estudiante entrará en contacto con técnicas nuevas que completarán su formación y ayudarán a ampliar su visión de las Matemáticas.

Código

Área de coñecemento Matemática Aplicada. Título Fórmulas de cuadratura sobre la esfera.

Director/a Óscar López Pouso.


contido

Contenidos: Concepto de fórmula de cuadratura y de orden de una fórmula de cuadratura. Fórmulas simples de Newton-Cotes y de Gauss. Fórmulas compuestas. Concepto de fórmula de cuadratura sobre la esfera. Fórmulas de cuadratura de Bronwin. Fórmulas de cuadratura de Lebedev. Aplicaciones. Bibliografía: [1] Gregory BEYLKIN y Cory AHRENS. Rotationally invariant quadratures for the sphere. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 465, nº 2110 (2009), pp. 3103-3125. [2] Borislav BOJANOV y Vesselin GUSHEV. A quadrature formula of Gaussian type on the sphere. East Journal on Approximations, vol. 11, nº 2 (2005), pp. 119-130. [3] Jens KEINER y Daniel POTTS. Fast evaluation of quadrature formulae on the sphere. Mathematics of Computation, vol. 77, nº 261 (2008), pp. 397-419. [4] Daniela ROŞCA. Spherical quadrature formulas with equally spaced nodes on latitudinal circles. Electronic Transactions on Numerical Analysis, vol. 35 (2009), pp. 148-163.

Recomendacións El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

Outras observacións El TFG está pensado para complementar la formación que el estudiante adquiere en nuestro grado. Engarza conceptos básicos que el alumno ya conoce con análisis de fórmulas más complejas.

Código .

Área de coñecemento Astronomía y Astrofísica Título Propiedades orbitales y astrofísicas de estrella eruptiva UV Ceti

Director V. Tamazian


contido

Se propone que el/la alumno/a prepare inicialmente los archivos de datos dinámicos y astrofísicos de UV Ceti utilizando distintas herramientas de investigación (software dedicado y programación básica) y aprendiendo a manejar grandes bases de datos y catálogos estelares. Se hará un análisis estadístico de los parámetros orbitales y fotométricos del sistema binario UV Ceti. En base de abundante material fotométrico en fases de flare (erupciones), el/la alumno/a estudiará la relación entre actividad de UV Ceti y la posición de sus componentes en la órbita. Se pretende aclarar en qué medida la actividad estelar está relacionada con los parámetros dinámicos del sistema.

Recomendacións Haber cursado Fundamentos de Astronomía

Codigo Título A ECLIPSE DE 1912 EN GALICIA

Director/es José Angel Docobo Durántez


contido

A comezo do pasado século houbo tres eclipses de Sol que xunto co achegamento do cometa Halley deron lugar a un importante pulo da Astronomía no estado español. O vindeiro ano cúmplense cen dunha histórica eclipse que puido ser vista dende Galicia como total-anelar. Trátase de estudar sobre o mapa de Galicia as distintas zonas nas que se contemplou o fenómeno. Para elo o alumnado deberá poñerse ó dia sobre o cálculo de eclipses e facer unha programación dos correspondentes algoritmos.

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía

Código



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Título PROGRAMACIÓN DO PROBLEMA DE DOUS CORPOS Director/es José Angel Docobo Durántez


O Problema de dous corpos é a base da Mecánica Celeste e, en particular, do cálculo de órbitas keplerianas. Proponse facer un estudo global deste problema, programando distintos algoritmos como a Ecuación de Kepler e as leis horarias para os movementos parabólico e hiperbólico.

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía


Código . Área de coñecemento ASTRONOMÍA E ASTROFÍSICA

Título CÁLCULO DE ÓRBITAS DE ESTRELAS DOBRES Director/a JOSÉ ÁNGEL DOCOBO DURÁNTEZ


contido

TRÁTASE DE QUE O ALUMNADO SE INTRODUZA NO CÁLCULO DE ÓRBITAS E EN PARTICULAR NO DAS ESTRELAS DOBRES E MÚLTIPLES, PRINCIPAL LIÑA DE INVESTIGACIÓN DO OBSERVATORIO ASTRONÓMICO RAMÓN MARÍA ALLER DA USC. PARA ELO REALIZARASE UNHA RECOPILACIÓN TANTO DE MÉTODOS GRÁFICOS COMA ANALÍTICOS, FACENDO COMPARACIÓNS ENTRE ELES E SACANDO Ó ALUMNADO CONCLUSIÓNS DE CALES SON OS MÁIS OPERATIVOS EN CADA CASO. COMPRE UTILIZAR DISTINTOS CONCEPTOS TANTO DE XEOMETRÍA COMA DE PROGRAMACIÓN VISTOS Ó LONGO DO GRAO.

Recomendacións TER CURSADO FUNDAMENTOS DE ASTRONOMÍA

Código Título FOTOGRAFÍA ASTRONÓMICA CON CCD

Director/es Josefina F. Ling


contido

- Traballo teórico-observacional - Estrutura e fundamentos das cámaras electrónicas - Introdución a fotográfica astronómica dixital. - Manexo básico de cámaras CCD acopladas a telescopios, para a obtención de imaxes

fotográficas. - Adquisición e tratamento de imaxes de obxectos astronómicos co software e o

instrumental existente no Observatorio Astronómico R. M. Aller.

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Recomendacións Ter cursado a materia de Fundamentos de Astronomía


Valoraranse: - Coñecementos de programas de tratamento de imaxes. - Soltura na utilización de recursos de Internet. - Habilidade no uso de instrumental electrónico e/ou astronómico

Código

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Demostracións topolóxicas do teorema fundamental da Álxebra

Director/a Xosé Manuel Carballés Vázquez Breve descrición do

contido

O alumno realizará unha busca bibliográfica das diferentes demostracións do teorema fundamental da Álxebra e fará unha selección entre aquelas nas que se usen, de xeito explícito, argumentos ou propiedades topolóxicas. A selección deberá incluír demostracións que usen técnicas de Topoloxía xeral, de Topoloxía diferencial e de Topoloxía alxebraica.

Recomendacións Ter superadas “Topoloxía xeral”, “Topoloxía de superficies” e “Ecuacións alxébricas” e cursar “Variedades diferenciables”, “Topoloxía alxébrica” e “Álxebra, números e Xeometría”.

Código .

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía



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Título Espazos secuenciais Director/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


contido

Despois de utiliza-las sucesións no primeiro curso para o estudo da topoloxía euclidiana, o alumno, no terceiro curso, puido constata-las dificultades para repeti-lo procedemento en espazos topolóxicos xerais. Neste traballo deberá afondar no tema mediante o estudo dos espazos secuenciais e as súas propiedades.

Recomendacións Ter superadas “Topoloxía xeral” e “Topoloxía de superficies” e cursar “Topoloxía alxébrica”

Código Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título Grupos discretos de isometrías Director/a Juan Francisco Torres Lopera


contido

Los grupos discretos de isometrías euclidianas (entre los que se cuentan los grupos de Coxeter) sintetizan la simetría y estructura de los poliedros, de los frisos, de los mosaicos, de las redes cristalinas y de los sistemas de raices de las álgebras de Lie semisimples. Sus propiedades son más sencillas cuando poseen un punto fijo. En caso contrario, su estudio es laborioso. Se trata de desarrollar algunos métodos e ideas simples, necesarios para clasificarlos, y de mostrar (en algunos casos) como se manifiestan las propiedades del grupo en las simetrías del objeto.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Superficies de revolución con curvatura de Gauss constante

Director/a Eduardo García Río Breve descrición do

contido

Descripción das superficies de revolución con curvatura de Gauss constante. A realización de dito estudo precisará do uso de integrais elípticas, que serán utilizadas para a descripción das correspondentes curvas xeneratrices. O cálculo da curvatura media de ditas superficies permitirá un acercamento á clasificación das superficies con curvaturas principais constantes. Unha boa referencia bibliográfica para a realización do traballo é a segunda edición do libro de A. Gray “Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica”.

Recomendacións

A realización do traballo require dunha boa comprensión das asignaturas “Curvas e Superficies” e “Teoría Global de Superficies”, correspondentes ao segundo e terceiro curso, respectivamente. Asemade, ter cursado a asignatura “Variedades diferenciables” permitirá ao estudante un mellor aproveitamento da realización do traballo.


Será de utilidade que o estudante dispoña de coñecementos previos de programación e/ou do uso de software tipo “Mathematica” ou “Mapple”.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Integración en superficies. Las superficies minimales

Director/a Luis Mª Hervella Torrón Breve descrición do

contido

Se van a estudiar las técnicas de integración en superficies para aplicarlas al estudio de superficies minimales, las cuales surgen como óptimos del funcional área asociado a variaciones de un dominio de la superficie con borde prefijado. Una superficie minimal admite varias definiciones que se presentarán y se estudiará su equivalencia efectuan do además una revisión históricade los principales avances y pruebas relacionados con ellas. Se terminará el trabajo dando algunos ejemplod de superficies minimales cuya construcción está estrechamente relacionada con las definiciones dadas anteriormente.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Teorema de Frobenius de integrabilidad completa

Director/a Juan Francisco Torres Lopera Breve descrición do El teorema de Frobenius es una generalización importante del teorema de existencia y unicidad de



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130FAX: 981 597 054


contido ecuaciones diferenciales ordinarias (autónomas). Dada una distribución E de k-planos tangentes sobre una variedad diferenciable M de dimensión n mayor o igual que k, proporciona una condición necesaria y suficiente para que por cada punto p de M exista una subvariedad N inmersa en M, de dimensión k, que contenga a p y cuyo espacio tangente en p sea precisamente el k-plano de E sobre p. Dicha condición puede expresarse de diferentes modos, que resultan adecuados en las aplicaciones del teorema, una de las cuales es la correspondencia biyectiva entre las subalgebras del àlgebra de lie L(G) de un grupo de Lie G y subgrupos de Lie conexos de G (no necesariamente regulares).

Recomendacións Cursar o haber aprobado la materia sobre variedades del Grado

Código Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título Xeometría do fibrado tanxente dunha variedade: sistemas de ecuacións diferenciais

ordinarias de segunda orde Director/a Modesto R. Salgado Seco


contido

Descripción do fibrado tanxente TM como variedade diferenciable. Construción dos campos de vectores canónicos e da estrutura tanxente canónica. O propósito fundamental é estudar un tipo especial de campos de vectores na variedade TM, coñecidos como SODES OU SPRAYS, que son a representación xeométrica dos sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde. Estes campos de vectores son de vital importancia na formulación xeométrica da Mecánic Clásica.

Recomendacións Ter cursado a materia: Variedades diferenciables

Código . Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título Clasificación de superficies non compactas Director/a Jesús A. Álvarez López


contido

Trátase de extender a clasificación de superficies do caso compacto ao caso non compacto. Ademais do xénero, que pode ser infinito, o novo invariante clave a estudar é o espazo de finais, xunto cos seus subespazos de finais con xénero non nulo (floridos) e orientables. Primeiro trataríase de describir estos invariantes e probar que son completos. Ademais probaríase que calquer espazo compacto Hausdorff totalmente disconexo, con un par de subespazos pechados, se poden realizar como espacio de finais dalgunha superficie, e os seus subespazos de finais floridos e orientables.

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Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA Título GRUPOS FUCHSIANOS

Director/a Fernando Alcalde Cuesta Breve descrición do

contido

Resumo: No traballo próponse o estudo do plano hiperbólico e dos grupos fuchsianos. Na primeira parte do traballo, estudaranse o plano hiperbólico e os seus grupos discretos de isometrías, as propiedades das accións naturais e a existencia de dominios fundamentais para abordar despois a análise dos puntos límite. O traballo completarase co estudo da propiedade de finitude xeométrica, a descripción dos grupos de Schottky e a demostración do Teorema de Poincaré sobre existencia de grupos fuchsianos de signatura dada. Bibliografía básica: F. Dal’Bo, Geodesic and Horocyclic Trajectories. Springer, 2010. A. Katok, V. Climenhaga, Lectures on Surfaces: (almost) everything you wanted to know about them. American Mathematical Society, 2008. S. Katok, Fuchsian group. The University of Chicago Press, 1992.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título O Anel de Funcións continuas

Director/a Xosé M. Masa Vázquez



Teléfono: 981 563 100 ext. 13130FAX: 981 597 054


O conxunto de funcións reais continuas con dominio un espazo topolóxico pódese dotar dunha estrutura de anel, usando a suma e o produto en IR. A estrutura topolóxica do espazo e a estrutura alxébrica do anel están estreitamente relacionadas, de xeito que, baixo certas hipóteses, existe unha equivalencia natural entre espazo e anel. A un punto corresponde o ideal maximal das funcións

Breve descrición do que se anulan nel. contido

O traballo consiste en explorar esta relación, reconstruíndo o espazo, cando menos para espazos compactos, a partir do anel, e construíndo, no caso de espazos completamente regulares non compactos, unha compactificación co mesmo anel de funcións reais continuas limitadas do espazo de partida.

Código

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Topoloxía e robótica

Director/a Enrique Macías Virgós Breve descrición do

contido

A categoría LS dun espacio topolóxico é un invariante homotópico que foi orixinariamente definido na teoría de variedades como unha forma de detectar puntos críticos de funcionais, pero que agora ten aplicacións en moitas ramas das Matemáticas. Aquí nos interesa como un xeito de medir a complexidade do espacio de posicións dun robot e planificar algoritmos para o seu movemento.

Recomendacións Coñecementos de topoloxía xeral e xeometría diferencial de variedades.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Ecuacións cuaterniónicas

Director/a Enrique Macías Virgós Breve descrición do

contido

Os cuaternios de Hamilton son un anel de división no que mesmo ecuacións sinxelas como x^2+1=0 teñen infinitas solucións. Outras ecuacións de grao superior sábese que teñen solución grazas a unha versión particular do teorema fundamental da álxebra, pero non son doadas de resolver. Neste traballo revisaremos algúns métodos coñecidos de resolución.

Recomendacións Coñecementos de álxebra linear e topoloxía.

Código . Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título Topoloxía de Espazos de Funcións Director/a Xosé M. Masa Vázquez


contido

Os espazos de funcións xogan un papel primordial en Análise Matemática, en Topoloxía e en Xeometría. Trátase de estudar algúns dos principais espazos de funcións, especialmente as topoloxías denominadas admisibles. Segundo o contexto, máis analítico ou máis xeométrico, tratarase do estudo da topoloxía da converxencia uniforme ou da topoloxía compacto-aberto.

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Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía Título Xeodésicas minimizantes

Director/a José Carlos Díaz Ramos Breve descrición do

contido

Nunha superficie completa as curvas que minimizan a distancia entre dous puntos son xeodésicas. A demostración clásica deste feito emprega a fórmula da primeira variación, a cal tamén permite construír un método iterativo para calcular unha xeodésica unindo os dous puntos. O alumno deberá implementar dito método nalgunha linguaxe de programación (Mathematica, Maple, etc.).

Recomendacións Estar familiarizado cos conceptos fundamentais da teoría de superficies.

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OFERTAS DE TRABALLO FIN DE GRAO GRAO EN …...Los anillos de Dedekind surgen en teoria de números y geometría algebraica. Estos anillos pueden no tener la propiedad de factorización