Captulo 8

Trigonometria - Segunda Parte8.1 Conceitos PreliminaresO nmero Dada uma circunferncia de raio r, dimetro d = 2r, o nmero denido como a razo do comprimento C da circunfencia pelo seu dimetro d, isto , C C = = (8.1) d 2r

O comprimento de uma circunfernciaPela denio do nmero na equao (8.1) observamos que o comprimento da circunferncia dado por

C = d = 2r

(8.2)

Medida de ngulosExistem 2 unidades usuais para a medida de ngulos.1 Grau: 1 grau, denotado 1o , um ngulo correspondente a 360 de uma volta completa da circunferncia. Conseqentemente, a volta completa na circunferncia compreende um ngulo de 360o - Figura 8.1(a).

Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, um ngulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferncia - Figura 8.1(b).90o q ............................................ ....... .......... . ...... ....... ...... ...... .... ..... .... .... .... ... ... ... ... .. . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . . o . .q .q o . o. . . . 180 . . 0 ou 360 . . . . . . . . . .. . .. . .. .. .. . ... .. .. .... ... .... ... .... .... ...... ...... ...... ....... ...... .......... ....... ........................................... q 270o............................................... ......... ........q ....... ..... . .. ...... ....... ..... ...... ... .... ..... ... .... .. ... ... s ... .. . ... . ... ...... . ... . .... . .. . . ... 1 rad ... . ... . .. .. . .. .. . .. .. . . .. . . .q . . . . . . . . . . . . . r . . .. . .. . .. .. .. . ... .. .. .... ... .... ... .... .... ...... ...... ...... ....... ...... .......... ....... ............................................

=r

(a) A denio de grau

(b) A denio de radiano

Figura 8.1: Medidas de ngulo

31

O comprimentro de um arcoEm uma circunferncia de raio r, seja um ngulo qualquer, medido em radianos, e s o arco correspondente Figura 8.2(a). O valor s do comprimento do arco obtido por uma regra de 3 simples

1 rad rad = r s

s = r

Converso grau-radianoDeterminamos o valor do ngulo, em radianos, para uma volta completa na circunferncia por uma regra de 3 simples 1 rad x rad = x = 2 r 2r Isto , uma volta completa na circunferncia corresponde a um ngulo de medida 2 radianos - Figura 8.2(b).. ................. . ................. . . .. . ........................ ........ s = r ......... ..... ..... ........ ....... ...... ....... .... ...... q ..... ... .... ..... ... .... ... ... .... .. .... . . .............................. rad . ... ... . .... . ...... ... . ... ... . .. . .. .. . .. . .. .. . . .. . ..q . . . . .. . . . . . . . . . . . r . . .. . .. . .. .. .. . ... .. .. .... ... .... ... .... .... ...... ...... ...... ..... ....... ....... ......... ..............................................

90o = rad 2 . .................q........................ ........ .......... . ...... ....... ...... ...... .... ...... .... .... .... ... ... ... .. ... . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . 180o = rad . . .q o .q . o . . . . . . 0 = 0 rad ou 360 = 2 rad . . . . . . . . . .. . .. . .. .. .. . ... .. .. .... ... .... ... .... .... ...... ...... ...... ..... ....... ....... ......... ....................q......................... . 270o =

(a) O comprimento de um arco

(b) Converso grau-radiano

3 2

rad

Figura 8.2: Comprimento de arco e a converso grau-radiano Dado um ngulo em graus, sua medida x em radianos obtida por uma regra de 3 simples

rad x rad = 180o o

x=

rad 180

Exemplo 8.1 Determine a medida do ngulo 155o em radianos. rad x rad = 180o 155o x= 155 31 = rad 180 35

Exemplo 8.2 Determine a medida do ngulo 3 rad em graus. 4 rad = 180o3 4

rad x

x=

3 180 = 135o 4

8.2 Crculo Trigonomtrico o circulo1 de raio unitrio e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 8.3(a). No tringulo OP Q da Figura 8.3(b) (lembrando que OP = 1 ) observamos que

cos() = OQ/OP = x/1 = x

e

sen() = P Q/OP = OR/OP = y/1 = y,

1 Um termo mais apropriado seria circunferncia trigonomtrica, mas o termo crculo trigonomtrico tradicionalmente utilizado na literatura e vamos mant-lo.

32

de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P so dadas por

P = (x, y) =

cos(), sen() .

................................. ............. ........ ....... ........ ...... ....... ..... ...... .... .... .... .... ... ... ... ... .. .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . (1, 0) .q . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .... ... .... ... .... .... ...... ..... .. ...... ..... ....... ....... ......... ...............................................

y T

E

x

................................. ........ ............. ....... ........ ...... P (x, y) ....... ..... ...... q.. R q .... .... ......... ... .. ... . .. .. .. .. .... .. . . ... . . . . ... . . . . . . . . . q q ...... E ... . . . . . O Q . . . . . . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .... ... .... ... .... .... ...... ..... ...... ...... ....... ....... ......... ......... ......................................

T

(a) O circulo trigonomtrico

(b) Seno e cosseno

Figura 8.3: O seno e o cosseno no crculo trigonomtrico Raciocinando no sentido inverso, seja P (x, y) um ponto qualquer sobre o crculo unitrio e o ngulo correspondente, medido no sentido anti-horrio a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Denimos o cosseno deste ngulo como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P . Esta denio do seno e cosseno no crculo trigonomtrico nos permite calcular os valores das razes trigonomtricas para ngulos dados por qualquer nmero real, e no apenas para ngulos agudos como no caso de tringulos retngulos. A Figura 8.4 ilustra este raciocnio para ngulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes.

T ................................. ............. ........ ........ ...... P (x, y).......... ...... qR .... .q .... .... ... ... d ... ... d ................................. .. .. .. . . .... . . . ... . .. d .. . .. . .. . . . . . . . . . q dq . . . . .E . . . . Q O .. . .. . . .. . .. .. . ... .. ... ... .... ... .... .... ...... ...... ...... ........ ...... ....... ............. ................................(a) ngulo no 2o quadrante

T ................................. ............. ........ ...... ........ ...... ...... .... ..... .... .... ... ... ... ... .. .. .......................... .. . ........ .... . .. . ... .. ... . . .. .. . . .. . . Q .. . . . . . . . . q .... q . . . . .E . . . .. . . .. O . . . .. ... . .. . .. .. .. . ... .. .... ... .... ... ... .... q qR ...... P (x, y)............ ...... . ......... ................................................(b) ngulo no 3o quadrante

T ................................. ............. ........ ...... ........ ...... ...... .... ..... .... .... ... ... ... ... .. .......................... .. .. . ........ .... . . .. ... ... . . . .. . .. . .. . . . Q . . . . . . . q q ...... E . . . . . . .. . . .. . Od .. . .. . ... . .. ..... . .. ...........................d ..... .. . ... .. ... .... d ........ .... d..q. ...... Rq ..... ...... ...... P (x, y) ........ ............. ........ ...............................(c) ngulo no 4o quadrante

Figura 8.4: cos() = OQ = x e sen() = OR = y .

8.2.1 Sinal do seno e cosseno se 0 < < se 2 2

ento sen() > 0 e cos() > 0 - Figura 8.3(b);

< < ento sen() > 0 e cos() < 0 - Figura 8.4(a);33

se < < se3 2

3 2

ento sen() < 0 e cos() < 0 - Figura 8.4(b);

< < 2 ento sen() < 0 e cos() > 0 - Figura 8.4(c).

8.3 As funes circularesA funo senoSeja x um ngulo varivel no crculo trigonomtrico. A cada valor de x associamos um nico valor para seu seno, denotado sen(x). Denimos ento a funo f (x) = sen(x), cujo grco mostrado na Figura 8.5. A Figura 8.5 exibe duas propriedades importantes da funo sen(x):

peridica de perodo T = 2 ; isto signica que suas imagens se repetem de 2 em 2 radianos, isto , x R temos que sen(x) = sen(x + 2); limitada entre 1 e 1, isto , x R temos que 1 sen(x) 1.1 T ........... . .. .... ....

sen(x)........... .... ....... ... .. ... ... ... .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... ... .. .. .... .. .... ..... .................. ..............

........... ........... .... ....... .... ....... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .. . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. . .. . . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. ... .. .. . .... .... ..... ................... ..............

E x

-1

4

3

2

0

2

3

4

Figura 8.5: Senide sen(x)

A funo cossenoDe modo anlogo ao seno, seja x um ngulo varivel no crculo trigonomtrico. A cada valor de x associamos um nico valor para seu cosseno, denotado cos(x). Denimos ento a funo f (x) = cos(x), cujo grco mostrado na Figura 8.6. A Figura 8.6 exibe duas propriedades importantes da funo cos(x):

peridica de perodo T = 2 ; isto signica que suas imagens se repetem de 2 em 2 radianos, isto , x R temos que cos(x) = cos(x + 2); limitada entre 1 e 1, isto , x R temos que 1 cos(x) 1.

8.4 Mais identidades trigonomtricasSimetriasAs identidades de simetria estabelecem o efeito da substituio de por . Pela Figura 8.7 temos

sen() = QR = QS = sen() cos() = OQ = cos()

sen() = sen().

(8.3a) (8.3b)

cos() = cos().

Estas identidades tambm podem ser facilmente observadas nas Figuras 8.5 e 8.6 respectivamente. Finalmente

tg() =

sen() sen() = = tg() cos() cos()34

tg() = tg().

(8.3c)

................... ................... .. ...... ................... ................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. . . . . . .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. . . . . . .. .. . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .. .. .. . . . . . . .. .. . . . . . .. E.. . . . . . .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . . . .. . . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . .. .. .. .. ... ... .. .. ... ... .. .... .... ..... .... ...... .... ...... ................... ............... ............ ............

1T ...........

cos(x)

x

-1

4

3

2

0

2

3

4

Figura 8.6: Senide cos(x).................................................. T ......... ....... ....... ...... ...... ......qR ..... .... .... . ... .. ........ ... .. .. . . .. . .. .. .. . .. .... . . . . .. . . . . . . . . . q .... q E . . . . . . . . . . .. O d ... Q . . . . . .. . .. . .. d .. .. . ... .. d .... .. ... .... .... d.....q..... d ...... ...... ... S .... ....... ....... ......... ................................................

sen() = sen() cos() = cos() tg() = tg()

Figura 8.7: Simetrias do seno, cosseno e tangente.

Deslocamentos (translaes) horizontaisAs identidades de translao estabelecem o efeito da substituio de por congruncia dos tringulos da Figura 8.8(a) observamos que 2

e de por +

2.

Pela

OR = OQe

sen() = cos

, 2 . 2

(8.3d)

OP = OS

cos() = sen

(8.3e)

De modo anlogo, pela Figura 8.8(b) observamos que

OQ = ORe

cos() = sen +

. 2 . 2

(8.3f)

OS = OP

sen() = cos

(8.3g)

Frmulas da soma e diferenaIniciamos deduzindo a frmula do cosseno da diferena.

35

..... .............................T...................... q q...R.. ......... .......... ....... ........ ...... ....... ...... ...... ..... ...... .... ..... .... ..... .... ... .... ... ... ... ... ... ... .. .. . . .. .q . Sq . .. 2 . .. . ........................ . .. . . .... . . . ... . . . . .. . . .. . . . . . . . q q q .... E P O Q

T ............................................... 2.................... qR ......... . q ........ ........ ....... ....... ...... ...... ..... ...... ..... .... ..... .... ..... .... ... ... ... ... ... ... ... .. .. . .. . .. q. . Sq . . .. . .. ....................... . . . ..... . . . . ... . . . . . .. . . .. . . . . . q q q .... E . P O Q+(b) ngulos e + 2

(a) ngulos e

2

Figura 8.8: ngulos deslocados (transladados)..T.................... Q = cos(), sen() ......... ............. q ........ ........ ........ ....... ....... ...... ...... ..... ..... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ..q .. .......... ....... .. P = .. ...... .. ..... .. .... .. . ... . ... . . ........ . ... . ..... . . .. ... . .. . . .. . . . . . . .E . . . . . . .

cos(), sen()

O

Figura 8.9: O cosseno da diferena: cos( )

Calculando o quadrado da distncia entre os pontos P e Q da Figura 8.9 temos:

PQ

2

=

cos() cos()

2

+ sen() sen()

2

= cos2 () 2cos()cos() + cos2 () + sen2 () 2sen()sen() + sen2 () = cos2 () + sen2 () + cos2 () + sen2 () 2cos()cos() 2sen()sen() = 1 + 1 2cos()cos() 2sen()sen() = 2 2 cos()cos() + sen()sen()Aplicando a Lei dos Cossenos no tringulo OP Q da Figura 8.9 temos:

PQ

2

= OP + OQ 2 OP OQ cos( ) = 1 + 1 2cos( ) = 2 2cos( )

2

2

Comparando os dois resultados obtidos para P Q obtemos o cosseno da diferena

2

cos( ) = cos()cos() + sen()sen()O cosseno da soma pode agora ser obtido usando um artifcio algbrico engenhoso - substitumos a soma por uma diferena e aplicamos o cosseno da diferena

cos( + ) = cos () = cos()cos() + sen()sen()36

e ento aplicamos as identidades (8.3a) e (8.3b) para obtermos o cosseno da soma

cos( + ) = cos()cos() sen()sen()Para obtermos o seno da diferena, inicialmente usamos a identidade (8.3d) para escrever

sen( ) = cos

2 2

= cos +

2 . 2

e a seguir aplicamos o cosseno da diferena no membro direito

sen( ) = cos()cos +Mas, pelo cosseno da soma

+ sen()sen +

cos +e pela identidade (8.3f)

2

= cos()cos

2 2

sen()sen

2

= sen()

sen +Assim o seno da diferena dado por

= cos().

sen( ) = sen()cos() cos()sen()O seno da soma pode ser obtido pelo mesmo artifcio aplicado na deduo do cosseno da soma - substitumos a soma por uma diferena e aplicamos o seno da diferena

sen( + ) = sen () = sen()cos() cos()sen()e ento aplicamos as identidades (8.3a) e (8.3b) para obtermos o seno da soma

sen( + ) = sen()cos() + cos()sen()Sumarizamos aqui os resultados obtidos:

cos( ) = cos()cos() + sen()sen() cos( + ) = cos()cos() sen()sen() sen( ) = sen()cos() cos()sen() sen( + ) = sen()cos() + cos()sen()

(8.3h) (8.3i) (8.3j) (8.3k)

8.5 Reduo ao Primeiro QuadranteOs eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quadrantes:

1o quadrante: 0 < < 2o quadrante: 2

2;

3o quadrante: < < 4o quadrante:3 2

3 2 ;

< < ;

< < 2 .

Dado um ngulo , reduzi-lo ao primeiro quadrante consiste em determinar um ngulo no primeiro quadrante que possua as mesmas razes trigonomtricas de , a menos de um sinal. Devemos considerar 3 casos.

Reduo do segundo ao primeiro quadranteNa Figura 8.10(a) observamos que se 2

< < ento sua reduo ao primeiro quadrante . Temos que

sen() = OR = sen( ) cos() = OP = OQ = cos( )Conseqentemente 37

.................................................... T ........ ....... ....... ...... ........... ..... qR .... .. .. .... ... d ........ . ... d .. ............................. .. . .. ..... d ........... .. .. . . . . .. . .... ..... .. d .. . . .. . . . . . . . . . . . q q E dq ... .. . . . . . . . . . .. . .. P O Q . . .. . .. .. . .. .. .. ... .. .... ... .... ... .... ... ...... ..... ....... ..... ...... ........ ....... ............ .......................................

...................... ............. T.................... ........ ....... ...... ....... ..... ...... .... R q ..... .... ... ......... . ... . .. .............................. .. .. ..... ....... .. .. . .... . .. . .. ... . .... ..... .. . . . . . .. . . . . . P . . . . . . . q ..... q q E ... .. . . . . . . . .. . . .. .. . . Q . ... O . .. .. . ... .. .. . .. .. ... .. .... ... .... ... .... .... qS .... ..... ...... ............ ...... ........ ........ ............. ...................................

....................... ............. T.................... ........ ....... ....... ...... 2 ...... ..... R q ..... .... .... ... ........ . ... .. ............................. .. . . .. ..... ....... .. .. . .... . . . .. ... . .... ..... .. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . q q E ... .. . . . . . . . . .. . .. . . .. . .. Od Q . ... . .... .. . .. . ...... .. d . .. ............. .................. .. .. ...... ... .. d . .... ... .... d........... .... d q ...... S ....... ..... ...... ........ ....... ............ .......................................

(a) Do 2o ao 1o quadrante

(b) Do 3o ao 1o quadrante

(c) Do 4o ao 1o quadrante

Figura 8.10: Reduo ao primeiro quadrante.

tg() = tg( ) ctg() = cotg( )

sec() = sec( ) csc() = csc( ) 2

Exemplo 8.3 O nguloquadrante 5 6

=

6.

est no segundo quadrante, pois Logo = sen 6 1 = 2

5 6

cos(x) no intervalo [0, ].1 cossec(x)

Problema 8.42 [UF So Carlos-SP] Determine o conjunto soluo da inequao Problema 8.43 [Mack-SP] Determine a soluo da inequao Problema 8.44 [PUC-SP] Determine a soluo da inequaocos(x)sen(x) cos(x)+sen(x) ,

1 sec(x)

> 0, para

para 0 < x < . 2> 0, no conjunto 0 x 2 .

sen(x)2 cos(2x)+3cos(x1)

Problema 8.45 [ITA-SP] Dado o polinmio P denido por P(x) = sen() tg()x + sec2 ()x2 , determine osvalores de no intervalo [0, 2] tais que P admita somente razes reais.

Problema 8.46 Use as identidades (8.3i) e (8.3k) para deduzir a tangente da somatg( + ) = tg() + tg() . 1 tg()tg()

Problema 8.47 Use as identidades (8.3h) e (8.3j) para deduzir a tangente da diferenatg( ) = tg() tg() . 1 + tg()tg()

Problema 8.48 (Frmulas do ngulo duplo).(a) Use a identidade (8.3i) para mostrar o cosseno do ngulo duplo (sugesto: faa 2 = + )cos(2) = cos2 () sen2 ().

(b) Use a identidade (8.3k) para mostrar o seno do ngulo duplosen(2) = 2cos()sen().

Problema 8.49 (Frmulas do ngulo metade). Use a identidade fundamental e o cosseno do ngulo duplo para deduzir o cosseno e o seno do ngulo metadecos2 () = sen2 () = 1 1 + cos(2) . 2 1 1 cos(2) . 2

8.8 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 8 8.1 (pgina 40) 8.3 (pgina 40) 8.5 (pgina 40)5 4 o

8.8 (pgina 40) a = 1 8.9 (pgina 40) k = 8.10 (pgina 40) 2o o 3 2

8.2 (pgina 40) 365 3 o

8.4 (pgina 40) 3 , 2 e 1 2 2

8.11 (pgina 40) tg(x) 8.12 (pgina 40) 2cossec(x) 8.13 (pgina 40) 3/4 8.14 (pgina 40) 2 2 3

8.6 (pgina 40) [3, 5] 8.7 (pgina 40) [5, 1]

42

8.15 (pgina 41) 8.16 (pgina 41) 8.17 (pgina 41) 8.19 (pgina 41)

12 10 31 2 4 7 + k 30 3

8.30 (pgina 41) 2k 8.32 (pgina 41) 8.33 (pgina 41) 8.34 (pgina 41) 8.37 (pgina 41) 8.38 (pgina 41) 8.39 (pgina 42) 8.40 (pgina 42)3 2 16 65 3 5

3

8.31 (pgina 41) x = k.360o

8.18 (pgina 41) k 2

8.20 (pgina 41) 4 : 8.22 (pgina 41) 8.23 (pgina 41) 8.24 (pgina 41) 8.26 (pgina 41) 8.27 (pgina 41) 8.28 (pgina 41)

4 2 , , , 2 3 3 3 3

+

8.35 (pgina 41) 0, 55 6 4 5 9 51 2 2k 3

8.21 (pgina 41) 0, , 2 7 , 6 6 e 3 4 + k 4

+

pi 15

x 4

2k 5

+

3

8.25 (pgina 41) 3 , 6 , 6 7 2 5 7 11 , 6, 6 6 5 6

8.41 (pgina 42) 0 x