Ohybové kroucení

Radek Kottner

26. listopadu 2019

Volný krut tenkonst¥nného

pr·°ezu

τxz =T

ITδi

IT =1

3

n∑i=1

δ3i hi

IT =1

3δ3h

Smykové nap¥tí od ohybu

σx =M

Iyz

τxz =Vz · Syb · Iy

t = τxzb =Vz · SyIy

Ohybové kroucení

Mx = T +Mω

B =My,1 · h =My,2 · h

σx = σω =B

Iωω

τω =Mω · Sωδ · Iω

Názvosloví

I ω [m2] - sektoriální (výse£ová) sou°adnice

I Sω [m4] - statický sektoriální moment

I Iω [m6] - sektoriální moment setrva£nosti

I Sωy, Sωz [m5] - devia£ní sektoriální momenty

I IT [m4] - moment tuhosti ve volném kroucení

I C - t¥ºi²t¥ (st°ed hmotnosti)

I Po - pomocný pól

I P - hlavní pól (st°ed smyku)

I M - hlavní bod ode£t· (pro osov¥ symetrický pr·°ez leºí na

ose symetrie pr·°ezu)

P°íklad

I Ur£ete polohu st°edu smyku.

I Vykreslete pr·b¥h hlavní sektoriální sou°adnice ω.

I Ur£ete hlavní sektoriální moment setrva£nosti Iω.

I pr·°ez je symetrický k ose z ⇒ hlavní pól P bude leºet na

ose symetrie

I pomocný pól Po a hlavní bod ode£t· M zvolíme na ose

symetrie

I polohu hlavního pólu ur£íme vzdáleností mezi P a Po

zc − zp = cz = −SωoyIz

,

kde Sωoy je pomocný devia£ní sektoriální moment

Pomocná sektoriální sou°adnice

Iz =

∫A

y2dA =

∫A1

y2dA +

∫A3

y2dA = Iz1 + Iz3 =

=1

12δ1b

31 +

1

12δ3b

33 = 0, 8 + 0, 45 = 1, 25 m

4

Sωoy =

∫A

ωoydA =

∫A1

(h · y)ydA =

= h

∫A1

y2dA = hIz1 = 4 · 0, 8 = 3, 2 m

5

cz = −Sωoy

Iz= −

3, 2

1, 25= −2, 56 m

Sektoriální moment setrva£nosti

σω,max =Bmaxωmax

Iω

Iω =

∫A

ω2dA =

∫A1

(1, 44y)2dA +

∫A3

(−2, 56y)2dA =

= 1, 442 · Iz1 + (−2, 56)

2 · Iz3 =

= 1, 659 + 2, 949 = 4, 608 m6

Vere²£agin

∫A

ω2dA =

∫A

ω(s)ds · ωδ(s) = δ

∫A

ω(s)ds · ω =

= δ(plocha pod funkcí ω) · ω

1, 44b12

b12

=ω1

23

b12

⇒ ω1 =1, 44b1

3

Iω = 2

(δ1 · 2, 88 ·

b1

2·1

2·1, 44b1

3

)+

+ 2

(δ3 · 3, 84 ·

b3

2·1

2·2, 56b3

3

)

Iω = 1, 442 δ1b

31

12+ 2, 56

2Iz3

P°íklad

I Vy²et°ete pr·b¥hy vnit°ních ú£ink· na prut. Ur£ete

maximální normálové a smykové nap¥tí. Dáno: F =1, 6 MN; l = 40 m; e = 2 m; E = 200 GPa; G = 80 GPa;

Geometrické charakteristiky

α2

=GIT

EIω

IT =1

3

n∑i=1

δ3i hi

=1

3(0, 15

3 · 4 + 0, 13 · 4 + 0, 2

3 · 3)

= 0, 0138 m4

Iω = 4, 608 m6(viz minulý p°íklad)

α =

√0, 8 · 1011 · 0, 01382 · 1011 · 4, 608

= 0, 03465 m−1

Iy =δ31b1

12+ δ1b1

h

2+δ2h

3

12+δ33b3

12+ δ3b3

h

2=

=0, 153 · 4

12+ 0, 15 · 4 · 2 +

0, 1 · 43

12+

+0, 23 · 3

12+ 0, 2 · 3 · 2 = 5, 336 m

4

Bimoment

B′′ − α2

B = m(x)

m(x) =dMx

dx= 0

B′′ − α2

B = 0

B = C1 sinh(α · x) + C2 cosh(α · x)

x ∈< 0, l/2 >

1) x = 0, B = 0

0 = C2 · 1⇒ C2 = 0

B = C1 sinh(αx)

2) x = l/2, ϑ = 0

T = ϑGIT ⇒ T (x = l/2) = 0

Mx = Mω + T

Mω(x = l/2) = Mx(x = l/2) =Fe

2

Mω =dB

dx= C1α cosh(αx)

Fe

2= C1α cosh(α

l

2)

C1 =Fe

2

1

α cosh(α l2)

B =Fe

2

sinh(αx)

α cosh(α l2)

Vni°ní ú£inky

x ∈< 0, l/2 >

Vz =F

2

My =F

2x

Mx =Fe

2

B =Fe

2

sinh(αx)

α cosh(α l2)

Mω =dB

dx

Mω =Fe

2

α cosh(αx)

α cosh(α l2)

Mω + T = Mx

T = Mx −Mω

T =Fe

2

(1−

cosh(αx)

cosh(α l2)

)

Normálové nap¥tí

Bmax = B(x = l/2) =Fe

2

sinh(α l2)

α cosh(α l2)

=

=Fe

2αtanh

(αl

2

)= 27, 7 MNm

2

σω,max =Bmax

Iωωmax =

=27, 7

4, 6083, 84 = 23, 1 MPa

My,max = My(x = l/2) =Fl

4= 16 MNm

σy,max =My,max

Iy

(h

2+δ3

2

)=

=16

5, 3362, 1 = 6, 3 MPa

σmax = σω,max + σy,max =

= 23, 1 + 6, 3 = 29, 4 MPa

Sektoriální statický moment

Smykový tok

tω =MωSω

Iω

(analogie t =

VzSy

Iy

)

Sektoriální statický moment

Sω =

s∫0

ω · dA

Sω,max =

2∫0

1, 44y · δ1dy = 1, 44 · 0, 15 ·22

2= 0, 432 m

4

Sω,min =

1,5∫0

−2, 56y · δ3dy = −2, 56 · 0, 2 ·1, 52

2= −0, 576 m

4

Sektoriální smykové nap¥tí

Mω(0) = Mω(x = 0) =Fe

2

α cosh(α0)

α cosh(α l2)

=1, 6 · 2

2

1

cosh(0, 03465 · 20)= 1, 28 MNm

Mω,max = Mω(x = l/2) =Fe

2=

1, 6 · 22

= 1, 6 MNm

Sektoriální smykový tok

tω,max =Mω,maxSω,min

Iω=−1.6 · (−0, 576)

4, 608= 0, 2 MN/m

Sektoriální smykové nap¥tí

τω(0) =Mω(0)Sω,min

Iωδ3=−1, 28 · (−0, 576)

4, 608 · 0, 2= 0, 8 MPa

τω,max =tω,max

δ3=

0, 2

0, 2= 1 MPa

Výslednice smykových tok· je na oboupásnicích stejná co do velikosti

Mω,max = Vy · h = 0, 4 · 4 = 1, 6 MNm

Maximální smykové nap¥tí

Vz,max = Vz(x = 0) = Vz(x = l/2) = F/2 = 0, 8 MN

τxz,V,max = τxz,V (z = 0) =Vz · Sy

δ2 · Iy=

=0, 8 · (4 · 0, 15 · 2 + 0, 1 · 2 · 1)

0, 1 · 5, 336= 2, 1 MPa

τxz,V (z = h/2 + δ3/2) = 0

Tmax = T (x = 0) =Fe

2

(1−

cosh(α0)

cosh(α l2)

)=

=1, 6 · 2

2

(1−

1

cosh(0, 03465 · 20)

)= 0, 32 MNm

τxy,T,max =Tmax

ITδ3 =

0, 32

0, 01380, 2 = 4, 64 MPa

τ(l/2) = τxy,T (l/2) + τω,max = 0 + 1 = 1 MPa

τmax = τxy,T,max + τω(0) = 4, 64 + 0, 8 = 5, 44 MPa

P°íklad

Vy²et°ete pr·b¥hy vnit°ních ú£ink· na prut. Ve kterém °ezu

bude p·sobit nejv¥t²í σω a jak se vypo£ítá?

Dáno: l; E; Iω; IT ; e; My

Bimoment

α2

=GIT

EIω

B′′ − α2

B = m(x) =dMx

dx= 0

B = C1 sinh(α · x) + C2 cosh(α · x)

1) x = 0, ϑ = 0

Mx = Mω + T

T = ϑGIT ⇒ T (x = 0) = 0

Mω(0) = Mx(0) = 0

Mω =dB

dx= C1α cosh(αx) + C2α sinh(αx)

0 = C1α cosh(α · 0) + C2α sinh(α · 0)⇒ C1 = 0

B = C2 cosh(αx)

2) x = l, B = B(l)

B(l) = C2 cosh(αl)

B(l) = My · e

C2 =B(l)

cosh(αl)=

My · ecosh(αl)

B =My · e

cosh(αl)cosh(αx)

Vni°ní ú£inky

x = 0; B(0) =My · e

cosh(αl)

x = l; B = B(l) = My · e

Mω =dB

dx

Mω =My · e

cosh(αl)α sinh(αx)

x = 0; Mω(0) = 0

x = l; Mω(l) =My · e

cosh(αl)α sinh(αl)

Mω + T = Mx

Mω + T = 0

T = −Mω

max B = B(l)

max σω =B(l)

Iωωmax =

My · eIω

ωmax