O k t a t á s i H i v a t a l

A 2012/2013. Tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának

feladatai és megoldásai

I. kategória

A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első három

feladat és a 4/A és 4/B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Csak 4 feladat

megoldására adható pont. A 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő megoldást vesszük

figyelembe.

1. Lépcsőzetes kialakítású merev, súrlódásmentes-

nek tekinthető felület legfelső foka felett h = 1,25 m

magasságból, vízszintesen, v = 0,6 m/s sebességgel

eldobunk egy abszolút rugalmas golyót a lépcső

élére merőleges irányban. Az egyes „lépcsőfokok”

magassága h = 0,25 m, szélességük eltérő. A golyó

mindig az egymást követő lépcsőfokok vízszintes fe-

lületének szélére esik.

a) Milyen széles az ötödik lépcsőfok (d5)?

b) Írjuk fel általánosan az n-edik lépcsőfok széles-

ségét (n > 1)!

Megoldás. Mivel (súrlódás hiányában) az energia, és a vízszintes lendület megmarad, a golyó

nem kezd forogni az ütközések után, és minden ütközést követően az eredeti magasságba

pattan vissza. Az egymás utáni ütközések közti idő azonban egyre növekszik, hiszen mindig

hosszabb esési utat kell megtennie a golyónak, ezért az állandó vízszintes sebességgel egyre

nagyobb lesz a vízszintes elmozdulása is.

Az egymás után következő lépcsőfokok szélességei egy növekvő sorozatot alkotnak. Az

ötödik lépcsőfok szélességének meghatározásához azonban nem kell az összes közbenső

lépcső szélességét kiszámítani. Felhasználjuk azt, hogy mind a felszálló ág mind a leszálló ág

megtételéhez szükséges idő 2h

g, ahol h a felszálló, ill. a leszálló ág függőleges elmozdulása.

Az egymás utáni ütközések közötti időket általánosan a következőképpen lehet felírni:

b)

n nfel nle

2 2 2 1.

h n h h n ht t t

g g

Az n-ik lépcsőfok szélessége általánosan:

2 2 2 1.n

h n h h n hd

g g

v

Alkalmazva esetünkre (n = 5):

Fizika I. kategória

2012/2013 2 OKTV 1. forduló

a)

5

2 3 2 4h h h ht

g g

.

Ezzel az ötödik lépcsőfoknak

5 5

2 2

2 3 2 4

2 1,25m 3 0,25m 2 1,25m 4 0,25mm0,6

s m m10 10

s s

h h h hd t

g g

0,782 m

v v

hosszúnak kellett lennie.

2. Az ábrán látható α = 15o-os hajlásszögű lejtőre két, egymással L=1,5 m hosszúságú feszes

fonállal összekötött testet helyeztek. A felső test tömege m = 0,5 kg, közte és a lejtő között

mind a csúszási, mind a tapadási súrlódás együtthatója μ1 = 0,3. Az alsó test tömege 2m,

közte és a lejtő között mind a csúszási, mind a tapadási súrlódás együtthatója μ2 = 0,2.

a) A testek elengedése után mekkora a fonálerő?

b) A testek elengedése után mennyi idő múlva kerül a felső test az alsó indulási helyére?

Ezt követően felcseréljük a két testet (az alsó a felső, a felső az alsó eredeti helyére kerül), s

egyszerre engedjük el a testeket.

c) Mekkora a fonálerő a testek elengedése után?

d) Mennyi idő múlva kerül a felső test az alsó

helyére?

Megoldás. Bontsuk fel a testekre ható erőket a lejtővel párhuzamos és merőleges összetevők-

re. Ha a testek külön-külön vannak a lejtőre téve, akkor lefele a nehézségi erő mgsinα összete-

vője hat, felfele pedig a súrlódási erő, melynek tapadás esetén μmgcosα a maximuma. E kettő

viszonyától függ, hogy a test megcsúszik-e, vagy állva marad.

Fizika I. kategória

2012/2013 3 OKTV 1. forduló

Ha mgsinα > μmgcosα, vagyis tgα > μ, akkor a test megcsúszik, ellenkező esetben állva

marad.

Az m tömegű test esetén (jelöljük ezt 1-essel, a másikat 2-essel) tg15o

= 0,268 < 0,3, tehát a

lejtőn állva maradna, a másik esetén tg15o

= 0,268 > 0,2, vagyis megcsúszna.

Az alsó test vagy elhúzza a felsőt, vagy meg sem moccan.

a) Tegyük fel, hogy a két test elindul, K > 0 kötélerő lép fel, a közös gyorsulás a > 0 lefele.

A mozgásegyenletek az egyes testekre vonatkozólag

2mg(sinα – μ2cosα) – K = 2ma

mg(sinα – μ1cosα) + K = ma

A második egyenletet kettővel szorozva, és a kettőt egyenlővé téve

1 22 cos – 0,32 N.

3

mgK

b) Adjuk össze a két egyenletet

3ma = 2mg(sinα – μ2cosα) + mg(sinα – μ1cosα)

2

2 1

0,334m / s .3 3sin 2 cos

ga

(Vagyis az alsó elhúzza a felsőt.)

Akkor kerül a felső az alsó helyére, ha ezzel a gyorsulással s = L utat tesznek meg. A

négyzetes úttörvényből 22 2 1,5s

0,334

s

at

3 s

c) Ha a testeket felcseréljük, akkor az alulra kerülő m tömegű test állva marad, mivel a fonál

nem tud nyomni, vagyis a fonálerő nulla.

d) A felső test a’ = g (sinα – μ2 cosα) = 0,656m/s2 gyorsulással

2

'

2 2 1,5s

0,656

s

at

2,14 s idő alatt kerül a másik „helyére”, ha ott nem állna. Így

meglöki, majd a helyére kerül.

3. Függőleges tengelyű, A keresztmetszetű, henger alakú tartályban d vastagságú dugattyú

azonos, n anyagmennyiségű, T hőmérsékletű levegőt zár el egymástól. A súrlódásmentesen

mozgó dugattyú alatt l1, felette l2 hosszúságú levegőoszlop van.

a) Milyen egynemű anyagból készülhetett a dugattyú?

b) A tartály és a dugattyú tömege egyenlő. Egyszer csak a tartály

alátámasztását megszüntetjük. Mekkora lesz a dugattyú, illetve a tartály

gyorsulása az elengedést követő pillanatban?

Adatok: n = 0,002 mol, d = 2 cm, A = 100 cm2, T = 34 C , l1 = 7,8 cm,

l2 = 8,5 cm.

Megoldás. a) Írjuk fel a dugattyú egyensúlyának dinamikai feltételét!

Appmg 21

Beírva a nyomásokat az állapotegyenletből, és kifejezve a tömeget:

Fizika I. kategória

2012/2013 4 OKTV 1. forduló

kg5264,011

2121

llg

nRT

g

A

Al

nRT

Al

nRTm .

A sűrűséget a tömeg és térfogat hányadosa szolgáltatja:

3222 m

kg2632

m10m102

kg5264,0

dA

m

V

m .

A függvénytáblázat alapján valószínűsítjük, hogy a henger anyaga alumínium.

b) A dugattyúra ható erők nem változnak, ezért annak gyorsulása továbbra is nulla.

A tartályra a gázon kívül a külső levegő is erőt fejt ki, alulról felfelé pkA-t, felülről

lefelé ugyanennyit. Ezek eredője nulla. Így a tartályra vonatkozó mozgásegyenlet:

1 2 ,p A mg p A ma

azaz 1 2 ,p p A mg ma viszont 1 2 ,p p A mg ezzel 2mg = ma, ahonnan

a tartály gyorsulása a = 2g.

4/A Az ábra szerinti elrendezésben kezdetben mindkét kapcsoló nyitva van. R1 = 300 k, R2 =

200 k, R3 = 400 k, R4 =100 k, C1 = 40 μF, C2 = 10 μF, U = 300 V.

a) A K1 kapcsolót zárjuk. A zárást követő két másodpercben

hány elektron és merre halad át rajta?

b) Majd zárjuk a K2 kapcsolót is. Hány elektron és merre halad

át rajta, amíg a kondenzátorok feszültsége állandósul?

c) Ezt követően a K1 kapcsolót nyitjuk. Hány elektron és merre

halad át a K2 kapcsolón, amíg a kondenzátorok feszültsége ismét

állandósul?

Megoldás. a) A K1 kapcsoló zárása után az egyes és a kettes,

valamint a hármas és a négyes fogyasztó páronként egymással

párhuzamosan lesz kapcsolva. Például az egyes és a négyes fogyasztón átfolyó áramok

erősségének különbsége lesz a kapcsolón áthaladó áram erőssége.

Ekkor a főág eredő ellenállása a sorosan kapcsolt R12 és R34 ellenállások összege, ahol:

3 41 21,2 3,4

1 2 3 4

300 200 400 100k 120 k , és k 80 k ..

300 200 400 100

R RR RR R

R R R R

Így a főág eredő ellenállása: Re = R1,2 + R3,4 = 120 k+ 80 k = 200 k.

A főágban folyó áram erőssége tehát:

e

300 V1,5 mA.

200 k

UI

R

Az egyes és a négyes számú fogyasztón átfolyó áram erőssége tehát:

1,2 3,4

1 4

1 4

1,5 mA 120 k 1,5 mA 80 k0,6 mA és 1,2 mA.

300 k 100 k

I R I RI I

R R

Fizika I. kategória

2012/2013 5 OKTV 1. forduló

A K1 kapcsolón áthaladó eredő áram erőssége:

1K 4 1 1,2 mA 0,6 mA 0,6 mA,I I I

vagyis 2 másodperc alatt a K1 kapcsolón

1 1K K 0,6 mA 2 s 1,2 mCQ I t

töltés, azaz

1

1

3K

elektron 19

1,2 10 C

1,6 10 C

QN

e

157,5 10

számú elektron halad át, az ábrán felfelé.

b) A K2 kapcsoló zárása után az egyes számú kondenzátor az egyes és kettes fogyasztóval,

illetve a kettes számú kondenzátor a hármas és négyes fogyasztóval lesz párhuzamosan kapcsol-

va. Kellő idő elteltével kondenzátorok állandósult feszültsége az ellenállásokra jutó feszültség-

gel fog megegyezni.

A kondenzátorok „belső” lemezei az eredeti soros kapcsolásban csak megosztás útján töltődhet-

tek fel. Így a kapcsoló zárása után kialakuló különböző abszolút értékű Q1 és Q2 töltések

különbsége csak a K2 kapcsolón keresztül juthatott a „belső” lemezek által alkotott rendszerre.

Itt 3

1 1 1,2 1 1,2 40μF 1,5mA 120 k 7,2 10 C 7,2 mC,Q CU C IR

és 3

2 2 3,4 2 3,4 10μF 1,5mA 80 k 1,2 10 C 1,2 mC.Q C U C IR

A kapcsolón átáramló töltések mennyisége tehát:

2K 1 2 7,2 mC 1,2 mC 6 mC.Q Q Q

A kapcsolón áthaladó elektronok száma:

2

2

3K

elektron 19

6 10 C

1,6 10 C

QN

e

163,75 10 .

Az elektronok a kapcsolón itt is (az ábrán) felfelé haladnak át.

c) A K1 kapcsolót nyitása után a kondenzátorok már csak az R2 illetve R3 ellenállással lesznek

párhuzamosan kapcsolva. Az ellenállások arányának megfelelően U2 = 100 V ill. U3 = 200 V.

Ezzel a kondenzátorok töltései:

1 1 2 2 2 340μF 100 V 4mC, és 10μF 200 V 2mC.Q CU Q C U

A K2 kapcsolón átáramló töltés

2K 2 1 1 2 4 mC.Q Q Q Q Q

Az átáramló elektronok száma pedig:

2

2

K

elektron

QN

e

16

2,5 10 .

Az elektronok a kapcsolón (az ábrán) felfelé haladnak át.

Fizika I. kategória

2012/2013 6 OKTV 1. forduló

4/B Két azonos, A = 1 dm2 területű fémlemez közül az egyiket vízszintes asztallapra helyezzük,

a másikat felette egy D = 6 N/m direkciós erejű csavarrugón felfüggesztjük és nyugalmi

állapotában szigetelő fogóval rögzítjük. Ekkor a két lemez egymástól d = 2 cm távolságban van.

Ezután a rendszert mint kondenzátort Q = 8 . 10

–8 C töltéssel feltöltjük, majd a felfüggesztett

lemezt lökésmentesen elengedjük.

a) Mekkora amplitúdójú rezgés jön létre?

b) Mekkora a lemez legnagyobb sebessége, ha tömege m = 10 g ?

c) Mekkora a lemez legnagyobb gyorsulása?

d) Adjuk meg a rendszer elektrosztatikus energiáját az idő függvényében!

A közegellenállást ne vegyük tekintetbe!

Megoldás. Az állandó töltés miatt a lemezek közötti elektromos mező állandó marad, hasonló-

képpen a gravitációs erőtér is. Feltöltés előtt a rugóra függesztett lemez egyensúlyban volt.

Feltöltés után vonzóerő lépett fel az elektrosztatikus erők miatt, ha feloldjuk a rögzítést, a lemez

gyorsulva elindul a másik lemez felé, közben a rugóerő egyre növekszik. Harmonikus rezgő-

mozgás alakul ki. A keletkező rezgés amplitúdója legyen x! Megfelelő adatok esetén nem

ütközik össze a két lemez, hanem 2x távolság megtétele után visszafordul, és a rugó hatására

ismét eléri kiinduló helyzetét. (Az energia-megmaradás miatt tovább nem emelkedhet.)

a) A rezgés szélső helyzetből indul, tehát a keresett amplitúdónyi út megtétele után a

maximális pillanatnyi sebességgel, vagyis a lemez gyorsulásmentesen mozog. Ekkor a rá ható

erők eredője zérus. Ezt felhasználva:

grav rug el 0.F F F F

A gravitációs erő Fgrav = mg, a rugalmas erő ebben a pillanatban Frug = D(l0 + x), és az

elektrosztatikus vonzóerő a lemezek közötti eredő térerősséggel kifejezve (a függvénytáblá-

zatból):

el

1.

2F QE

(A képletben megérthető az ½-es faktor megjelenése, ugyanis a kiszemelt lemez töltéseire

önmaguk nem hatnak, csak a szemközti lemez terének a lemezek közé eső része hat, ami pedig

éppen a fele az eredő térerősségnek, hiszen az eredő mindkét lemez terének szuperpozí-

ciójából áll elő. Más meggondolással: a kiszemelt lemez töltései valójában az eredő mezőben

vannak, a lemez felületének vékony rétegében. A lemez szélén levő töltésekre valóban az

eredő E térerősségű mező hat, azonban, mivel a fém többlettöltés nélküli belsejében 0 az

Fizika I. kategória

2012/2013 7 OKTV 1. forduló

elektromos térerősség, a réteg „legbelső” töltéseinél már 0-ra csökken az eredő tér. Így az

átlagosan ható térerősség éppen a fele a lemezek közötti eredő térerősségnek.)

Ezt felhasználva az elektrosztatikus vonzóerőre valóban írhatjuk:

2

el

0 0

1 1 1 1 1,

2 2 2

Q QF QE Q

A A

A rugó megnyúlása az egyensúlyi (indulási) helyzetig: 0 ,mg

lD

amit a rugóerő fenti kifejezésé-

be írva: rug .

mgF D x mg Dx

D

Ezzel mozgásegyenletünk az egyensúlyra:

2

0

1 10,

2

Qmg mg Dx

A

azaz 2

0

1 10,

2

QDx

A

innen a keresett amplitúdó:

2 16 2

12 2 20

1 1 64 10 C.

As N22 8,85 10 10 m 6

mVm

Qx

AD

-36,026 10 m 6,03 mm

Érdekes, hogy az eredmény független a lemez tömegéről és a lemezek kezdeti távolságától.

(Nagyobb tömeg esetén nyílván nagyobb a rugó kezdeti megnyúlása.)

Látható, hogy a rezgés tágassága (kétszeres amplitúdója) csak 2x = 1,206 cm < d = 2 cm,

vagyis a lemezek nem ütköznek össze, így a rezgés valóban létrejöhet.

b) A lemez maximális sebessége a kinematikából így írható:

max ,A x v

ahol a körfrekvencia 2

N6

1m24,5 ,

s10 kg

D

m

(a rezgésszám:

24,5 13,9

s2 2n

)

ezzel a maximális sebesség:

-3

max

16,026 10 m 24,5 .

s

m cm0,148 = 15

s sv

c) A lemez legnagyobb gyorsulása:

2 3 2

max 2

16,026 10 m 24,5 .a A

s

2

m3,62

s

(Természetesen ezt megkaphatjuk a mozgásegyenletből az indulási szakaszra felírva:

2 16 2

max 212 2 2 20

1 1 64 10 C m3,62 .

As2 s2 8,85 10 10 m 10 kg

Vm

F Qa

m Am

)

Fizika I. kategória

2012/2013 8 OKTV 1. forduló

d) A rendszer elektrosztatikus energiája az energiasűrűség és térfogat szorzata:

2

el el 0

1,

2W V E Ah

ahol h a lemezek pillanatnyi távolsága. A rezgés (mivel szélső helyzetből indul) koszinuszos

függvénye az időnek, a pillanatnyi magasság az egyensúlyi helyzettől való kitérés függvényében:

cos cos 1 .D

h d x x t d x tm

Ezzel a rendszer elektrosztatikai energiája az idő függvényében:

22

el 0

0

1cos 1 cos 1 ,

2 2

D Q DW E A d x t d x t

m A m

számértékileg:

16 22 3

el 212 2 2

4 4

N664 10 C m

2 10 m 6,026 10 m cos 1As 10 kg

2 8,85 10 10 mVm

1 7,232 10 J 2,179 10 J cos 24,49 1 .

s

W t

t

(Érdekesség kedvéért az amplitúdó meghatározásának másik útja is lehet.

A maximális 2x süllyedés értékét az energia-megmaradásból is meghatározhatjuk.

Jelöljük az energiákat W-vel! A rendszer konzervatív, vagyis az elektromos, a gravitációs és a

rugalmas energiák megváltozásának összege zérus. (Ezzel egyenértékű: a munkatétel szerint

az összes munkák összege a kinetikus energia megváltozásával egyenlő. A legmélyebb

helyzetben és a kezdőhelyzetben 0 volt a sebesség, vagyis az összes munkák összege 0.)

el grav rug 0.W W W

A kondenzátor elektrosztatikai energiája (mivel d << A ) az energiasűrűség és a

térfogat szorzata, így ennek megváltozása:

2

el 0

12

2W E A x ,

a gravitációs helyzeti energia megváltozása

grav 2W mg x ,

a rugalmas energia megváltozása:

Fizika I. kategória

2012/2013 9 OKTV 1. forduló

2 2 2

rug rug2 rug1 0 0 0

1 1 12 2 2 4 .

2 2 2W W W D l x D l D l x x

A kezdeti rugómegnyúlás a lemez tömegével kifejezhető:

0 ,mg

lD

amit a rugalmas energiaváltozásba írva: 2

2 2

rug

1 42 2 4 2 2 2 .

2 2

mg D xW D x x mg x mg x D x

D

Energia-egyenletünk ezekkel:

2 2 2 2

0 0

1 12 2 2 2 2 2 0.

2 2W E A x mg x mg x D x E A x D x

Egyszerűsítés után: 2

02 0D x E A

Vegyük figyelembe, hogy a lemezek között kialakult (állandó) térerősség a töltéssel így

fejezhető ki:

0

1.

QE

A

Ezt egyenletünkbe írva: 2

0

12 0

QD x

A .

2 16 2

3

12 2 20

1 64 10 C2 12,052 10 m.

As N8.85 10 6 10 m

Vm m

Qx

DA

A létrejövő amplitúdó tehát: .x -36,026 10 m 6,026 mm

Ez megegyezik előző eredményünkkel.)

2011/2012 1 OKTV 1. forduló

Oktatás i Hivata l

Pontozási útmutató a 2012/2013. Évi fizika OKTV első fordulójának feladatmegoldásaihoz

I. kategória Minden feladat teljes megoldása 20 pontot ér. Részletes, egységes pontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egy-egy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a rész-feladatra 0 pontot kap, amennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értelmes gondolatmenet esetén a kis numerikus hiba elkövetése miatt (a részfeladat terjedelmétől függően) 2-3 pont vonható le. Ha a megoldó csak paraméteresen adja meg a helyes gondolatmenettel kapott eredményt (kivéve, ha a feladat csak paraméteresen kéri a megoldást), 2 pontot veszít. 1. feladat

A jelenség lefolyásának helyes jellemzése 4 pont A felszálló és leszálló ágak menetidejének helyes leírása 4 pont A menetidő meghatározása az n-edik lépcsőfokig 6 pont A vízszintes sebességkomponens nagyságánk meghatározása 2 pont Az 5-ik lépcsőfok szélességének kiszámítása 4 pont 2. feladat

A lejtőn való megcsúszás feltételének vizsgálata 4 pont A mozgásegyenlet felírása az a) esetre 3+3 pont A fonálerő meghatározása 2 pont A gyorsulás meghatározása 2 pont A keresett idő meghatározása 1 pont A fonálerő meghatározása a b) esetre 2 pont A gyorsulás meghatározása 2 pont A keresett idő meghatározása 1 pont Amennyiben a versenyző nem vizsgálja a megcsúszás feltételét, hanem mindkét esetben a mozgásegyenletek alapján jut a helyes eredményhez, akkor az ezen részre adható 4 pontot a b) esetre vonatkozó helyes mozgásegyenletekért kell megadni. 3. feladat

a) A dinamika alapegyenletének alkalmazása az egyensúlyban levő dugattyúra 3 pont A gázok nyomásának kifejezése az állapotegyenlet segítségével 3 pont A dugattyú tömegének kifejezése 3 pont A dugattyú sűrűségének kifejezése és kiszámítása 2 pont A dugattyú anyagának megnevezése 1 pont b) A dinamika alapegyenletének alkalmazása a dugattyúra 3 pont A dugattyú gyorsulásának meghatározása 1 pont A dinamika alapegyenletének alkalmazása a tartályra 3 pont A tartály gyorsulásának meghatározása 1 pont

2011/2012 2 OKTV 1. forduló

4/A feladat a) A főág áramerősségének meghatározása 1pont Az egyes és a négyes (vagy a kettes és hármas) számú fogyasztó áramerőssége 1+1 pont A kapcsolón áthaladó áram erősségének meghatározása 2 pont A kapcsolón áthaladó töltés mennyiségének meghatározása 1 pont Az elektronok számának kiszámítása 1 pont Az elektronok haladási irányának helyes megadása 1 pont b) Az 1. kondenzátor töltésének meghatározása 1 pont A 2. kondenzátor töltésének meghatározása 1pont A kapcsolón átáramló töltés mennyiségének meghatározása 2 pont A kapcsolón áthaladó elektronok számának meghatározása 1 pont Az elektronok haladási irányának helyes megadása 1 pont c) Az 1. és 2. kondenzátor feszültségének meghatározása 1 pont Az 1. és 2. kondenzátor töltésének helyes megadása 1 pont A kapcsolón átáramló töltés mennyiségének kiszámítása 2 pont A kapcsolón áthaladó elektronok számának meghatározása 1 pont Az elektronok haladási irányának helyes megadása 1 pont 4/B feladat A mozgásegyenletek helyes felírása a lemez egyensúlyára 4 pont A rezgés amplitúdójának helyes meghatározása 5 pont A lemez maximális sebességének megadása 2 pont A lemez maximális gyorsulásának meghatározása 2 pont A rendszer elektrosztatikus energiája időfüggésének helyes megadása 7 pont