Oleh : Danny Kurnianto; Risa Farrid Christianti

Institut Teknologi Telkom Purwokerto

*

*

*Tujuan pertama disini adalah untuk menentukan tanggapan alami sebuah rangkaian sederhana RLC pararel.

*Perhatikan Gambar 1 berikut ini

Gambar 1.

*Dari gambar 1 diatas, dapat dituliskan persamaan simpulnya adalah jumlah arus pada simpul tsb sama dengan nol.

…………….(1)

*Persamaan (1) dipecahkan dengan syarat awal

*Jika persamaan (1) diturunkan satu kali thd waktu, hasilnya adalah persamaan diferensial orde dua sbb:

t

todt

dvCtoivdt

LR

v0)(

1

0)0( Ii

0)0( Vv

*Persamaan diferensial orde dua :

…………….(2)

*Dimana penyelesaiannya v(t) adalah tanggapan alami yang diinginkan.

*Untuk menyelesaikan persamaan (2), masukkan nilai v sebesar :

*Sehingga dihasilkan persamaan :

……………...(3)

011

2

2

vLdt

dv

Rdt

vdC

stAev

0)11

( 2 L

sR

CsAest

*Persamaan karakteristik dari persamaan (3) adl

…………………(4)

*Karena persamaan (4) adl kuadratis, maka ada dua penyelesaian, yaitu s1 dan s2 .

………………(5)

……………..(6)

012 LR

sCs

a

acbbss

2

4,

2

21

LCRCRCs

1

2

1

2

12

1

LCRCRCs

1

2

1

2

12

2

*Dengan nilai s1 dan s2, maka kita dapatkan :

*Sehingga didapat bentuk tanggapan alamiah sbb:

……………….(7)

*Dimana s1 dan s2 didapat dari persamaan (5) (6) dan A1 dan A2 adl dua konstanta yg akan dipilih untuk memenuhi dua

syarat awal.

tseAv 111

tseAv 222

21)( vvtv

tstseAeAtv 21 21)(

*Karena frekuensi resonansi adalah

rad/s ……………(8)

*Dan koefisien redaman adalah

…………….(9)

*Sehingga kita bisa menyusun ulang persamaan (5) (6) sebagai berikut :

…………..(10)

…………..(11)

LC

10

1

2

1 sRC

2

0

2

1 s

2

0

2

1 s

*

*Tanggapan RLC pararel terlalu redam terjadi bila : ……………(12)

atau

…………….(13)

*S1 dan S2 merupakan bilangan real.

*Sehingga : …………….(14)

……………(15)

0

224 CRLC

2

0

2

0)()(2

0

22

0

2

*Dilihat dari persamaan (15), maka dapat disimpulkan bahwa nilai S1 dan S2 adalah bilangan real negatif.

*Jadi tanggapan v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlah (aljabar) dari dua suku eksponensial yang menurun, yang

kedua mendekati nol jika waktu bertambah tanpa batas.

*Karena harga absolut S2 lebih besar dari S1, maka suku yang mengandung S2 mempunyai penurunan yang lebih cepat dan

untuk waktu yang besar, kita dapat menulis ungkapan limit :

………..(16)

tuntukeAtvts

0)( 11

*Untuk mendapatkan nilai A1 dan A2 yang sesuai dengan syarat awal, maka perhatikanlah contoh kasus sebagai berikut

:

1. Sebuah rangkaian RLC pararel dengan nilai R = 6 Ohm, L = 7

H , dan C = 1/42 F, energi yang tersimpan semula dinyatakan

dengan memilih tegangan awal melintas rangkaian v(0)=0 dan

arus induktor awal i(0)=10 A seperti yang pada gambar 2.

Gambar 2

*Jawab : Kita dapat langsung mendapatkan nilai dari beberapa

parameter berikut :

= 3,5

S1 = -1 S2= -6

Sehingga kita bisa mendapatkan tanggapan alamiah sbb:

Jika kita mengetahui tanggapan v(t) pada dua waktu yg

berbeda, kedua nilai A1 dan A2 akan didapat dengan mudah.

Akan tetapi kita hanya mengetahui harga awal

60

tt eAeAtv 621)(

harga awal v(t) adl :

v(0) = 0

sehingga

0 = A1 + A2 (1)

Akan kita dapatkan persamaan (2) yg menghubungkan A1 dan

A2 dengan mengambil turunan v(t) terhadap waktu, setelah

diturunkan akan didapat harga awal turunan melalui

penggunaan syarat awal i(t) = 10 , dan menyamakan hasilnya.

tt eAeAdt

dv 621 6

hitung nilai turunan pada t = 0

Karena dv/dt adalah arus kapasitor karena :

Jadi :

Karena tegangan awal pd resistor adalah nol maka arus yang

mengalir adl nol

210 6AAdt

dvt

dt

dvCiC

s

V

C

i

C

ii

C

i

dt

dv RCt 420

)0()0()0()0(0

Sehingga kita peroleh persamaan kedua (2)

420 = -A1 – 6A2 (2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) diatas

0 = A1 + A2 (1)

420 = -A1 – 6A2 (2)

Maka didapat nilai A1 = 84 dan A2 = -84.

Jadi penyelesaian akhir tanggapan alamiah adalah

tt eetv 68484)(

*Informasi apa yang didapat dari tanggapan alamiah tersebut:

Bahwa v(t) = 0 pada saat t = 0.

Suku eksponensial pertama mempunyai konstanta waktu 1

s dan suku kedua mempunyai konstanta waktu 1/6 s

Suku kedua menurun lebih cepat

V(t) tidak pernah negatif

Pada waktu tak berhingga, setiap suku mendekati nol.

*j

tt eetv 68484)(

Nilai maksimum tanggapan v(t) didapat dengan

menurunkan v(t) = 0 sehingga:

tm = 0,358 s

vm(t) = 48,9 V

)6(84 6tt eedt

dv

)6(840 6tt ee

tt ee 660

65 te

6ln5 t

*Gambar grafik tanggapan alamiah diatas adalah sebagai berikut:

tt eetv 68484)(

Gambar 3

*Pada tanggapan RLC terlalu redam, waktu yg dipakai oleh bagian transien dari tanggapan untuk menghilang (teredam)

terlalu lama. Dalam prakteknya, seringkali diinginkan

mempunyai respon transien mendekati nol secepat mungkin,

yakni dengan meminimumkan settling time (ts).

*ts dihitung dari t = 0 sampai waktu (t) mencapai v(t) kurang dari 1 % harga maksimum v(t).

*Nilai 1% dari harga maksimum v(t) adalah 0,489 V, sehingga untuk mencari ts tinggal masukkan nilai 0,489 V ke persamaan

Dengan mengabaikan suku eksponensial kedua, didapatkan ts

= 5,15 s

tt eetv 68484)(

*

*Tanggapan redaman kritis terjadi bila : ………………..(17)

…………………(18)

…………………(19)

*Pada contoh 1 pada subbab tanggapan terlalu redam, agar terjadi tanggapan kritis, perlu di ubah-ubah salah satu dari

tiga parameter (R,L,C) dan kita pilih nilai R yang diubah

menjadi ohm, L = 7 H, dan C = 1/42 F

0 224 CRLC

CRL 24

2

67

*Maka kita dapatkan :

*Dan kita membentuk respon sebagai jumlah dua eksponensial :

……………..(20)

*Persamaan diatas bisa menjadi :

……………….(21)

60

621 ss

tt eAeAtv 626

1)(

teAtv 63)(

*Pada persamana terakhir ini, kita hanya menjumpai satu konstanta sembarang (A3) tetapi ada dua syarat awal v(0) = 0

dan i(0) = 10 A yang dipenuhi konstanta ini, dan hal ini tdk

mungkin bisa di pecahkan.

*Untuk itu, khusus untuk redaman kritis, persamaan differensial (2) menjadi sbb:

……………………(22)

*Dan penyelesaian persamaan orde dua diatas adl :

…………………..(23)

*Persamaan (23) mengandung dua suku , yaitu suku pertama sebuah t kali eksponensial negatif dan kedua adl eksponensial

negatif

02 22

2

vdt

dv

dt

vd

)( 21 AtAevt

*Nilai A1 dan A2 didapat dengan memasukkan syarat awal pada v(t), v(0) = 0, jadi A2 = 0.

*Syarat awal kedua harus digunakan pada turunan dv/dt seperti pada tanggapan terlalu redam, maka kita

deferensialkan dengan mengingat bahwa A2 = 0;

………………….(24)

*Hitung pada t = 0, maka

…………………….(25)

tt eAetAdt

dv 61

6

1 )6(

10 Adt

dvt

*Nyatakan turunan dalam arus kapasitor awal,

*Dengan syarat awal i(0) = 10 A , sehingga : A1 = 420

*Jadi, tanggapan alamiahnya adalah …………………….(26)

Dengan harga maksimum vm didapat dari tm, yaitu

tm = 0,408 s dan vm=63,1 V

Gambar 4 menunjukkan grafik redaman kritis.

C

i

C

i

C

i

dt

dv RCt

)0()0()0(0

ttetv 45,2420)(

*Grafik tanggapan redaman kritis

Gambar 4.

*

*Tanggapan kurang teredam terjadi bila : ………………….(27)

*Kita mulai dengan bentuk eksponensial :

*Jika bentuk

……………….(28)

0

tstseAeAtv 21 21)(

22

0

2

0

2 j

*Jika :

……………………..(29)

*Jadi sekarang tanggapan alamiahnya menjadi :

………..(30)

……(31)

22

0 d

)()( 21dtjdtjt eAeAetv

2)(

2)()( 2121

j

eeAAj

eeAAetv

dtjdtjdtjdtjt

)sincos()( 21 dtBdtBetvt

*Dengan mengubah nilai R pada latihan 1 menjadi 10,5 Ohm, sedangkan nilai L dan C tetap maka di dapat

………..(32)

*Dengan syarat awal v(0) = 0 dan i(0) = 10 A maka tanggapannya menjadi :

……………..(33)

*Grafik dari tanggapan kurang teredam dapat dilihat pada Gambar 5.

)2sin2cos()( 212 tBtBetv t

tetv t 2sin2210)( 2

*Grafik tanggapan kurang teredam

Gambar 5.

*Grafik semua tanggapan pada rangakain RLC pararel

Gambar 6.

*

*Sekarang kita mencoba untuk mencari tanggapan alamiah dari rangakain seri RLC tanpa sumber seperti ditunjukkan

pada Gambar 7.

Gambar 7

*Rangkaian pada Gambar 7 adalah rangakain seri RLC yg merupakan dual rangkaian RLC pararel, hal ini membuat kita

mudah untuk menganalisisnya. Persamaan integrodiferensial

pada Gambar 7 adalah sbb:

………………(34)

*Persamaan orde dua dari RLC seri dengan menurunkan persamaan (34) adalah

𝑑𝑣𝑐

𝑑𝑡 ………………(35)

0)(1

0

t

t

C tovidtC

Ridt

diL

C

i

dt

diR

dt

idL

2

2

*Nyatalah bahwa pembahasan kita yg lengkap mengenai rangkaian RLC pararel, bisa langsung digunakan kepada

rangkaian RLC seri.

*Syarat awal pada tegangan kapasitor dan arus induktor adalah ekivalen dengan syarat awal pada arus induktor dan tegangan

kapasitor.; respon tegangan menjadi respon arus.

*Berikut ini ringkasan seluruh tanggapan/ respon pada rangkaian seri RLC

Tanggapan terlalu teredam

…………………(36)

Dimana ;

………………(37)

…………………(38)

…………………(39)

…………………(40)

tstseAeAti 21 21)(

LCL

R

L

Rss

1

22,

2

21

2

0

2

21, ss

L

R

2

LC

10

Tanggapan teredam kritis

…………………(41)

Tanggapan kurang teredam

………..(42)

Dengan

…………………(43)

)()( 21 AtAetit

)sincos()( 21 dtBdtBetit

22

0 d

*