-
ENTRENAMIENTO OLIMPICO INSTITUTO NACIONAL 2010
TECNICAS BASICAS DE RESOLUCION DE PROBLEMAS
LISTA 1
CRISTOBAL PARRAGUEZ CRUZAT
[email protected]
1. Problemas
Problema 1. (*) (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P1) Se
escriben losnumeros del 1 al 100 como a continuacion:
1 2 3 4 ... 98 99 100
a) Es posible intercalar los smbolos + o entre ellos de manera
que el resultadode la operacion sea 0? Como?b) Es posible hacer lo
mismo de manera que el resultado sea 1? Por que?c) Intente
generalizar lo anterior ya no solo considerando la secuencia de 1 a
100,sino que de 1 a n. Explique que condicion debe existir sobre n
para que lo pedidoen a) sea posible.
Problema 2. (Problema standard, intentar usar Teorema Chino del
Resto) Cuales el mayor numero menor que 1500 que deja resto 1
cuando es divido por 5, 6 y 7?
Problema 3. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P2) El promedio
de 5 numeroses 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es
36. Cual es el promedio de losdos numeros eliminados?
Problema 4. (CMAT 2003 Segundo Nivel Individual P2) Encuentre el
menornatural n talque 15n se escriba solo con dgitos 8 y 0.
Problema 5. (CMAT 2003 Tercer Nivel Individual P1) Se sabe que
el numero1 + 2000 2001 2002 2003 es entero, determine su valor.
Problema 6. (CMAT 2003 Cuartao Nivel Individual P1) Encuentre
los valores dex, y, z que verifican las siguientes igualdades:
x10 =
y51 =
z17 =
xyzx+y+z
Problema 7. (*) (CMAT 2003 Cuarto Nivel Individual P1) Considere
los numerosx1, x2, ..., xn que pueden tomar el valor 1 o 1.
Demuestre que si:
x1x2x3x4 + x2x3x4x5 + x3x4x5x6 + ... + xnx1x2x3 = 0
entonces n es divisible por 4.
Problema 8. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P1) En un colegio
hay nestudiantes. Se sabe que n es capicua. Ademas, si los alumnos
se forman en filas
1
-
2 CRISTOBAL PARRAGUEZ CRUZAT [email protected]
de a 3, entonces en la ultima fila quedan R alumnos. Si se
forman en filas de a 4,quedan 3 alumnos en la ultima fila.
Finalmente, si se forman en filas de a 5, quedan5 en la ultima
fila. Determine el valor de n.
Problema 9. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P2) Considere los
crculosA,B,C,D, que no se intersecan. En el crculo A hay 6 puntos,
en el crculo B hay12 puntos, en el crculo C hay 18 puntos y en el
crculo D hay 24 puntos. Cuntoscuadrilateros se pueden dibujar
uniendo un punto de cada crculo?
Problema 10. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P1) Considere un
cuadradode lado c, se trazan sus diagonales determinado 4 areas
iguales, considere unacualquiera y denotela como A1. En algn lado
construya un triangulo rectanguloexterior de hipotenusa c, denote
su area como A2. Demuestre que A1 A2.
Problema 11. (*) (CMAT 2003 Tercer Nivel Individual P1) Sea f :
R Rtalque f(x) =
x2
1 + x2. Si n Z+, calcule:
f
(1
1
)+ f
(2
1
)+ ... + f
(n1
)+
+ f
(1
2
)+ f
(2
2
)+ ... + f
(n2
)+
...
+ f
(1
n
)+ f
(2
n
)+ ... + f
(nn
)Problema 12. (CMAT 2003 Cuarto Nivel Individual P1) Una persona
gana lalotera con un boleto cuyo numero se escribe de la forma
abcabc, en representaciondecimal, donde a, b, c son dgitos, a 6= 0.
Pruebe que el numero premiado es divisi-ble por trece.
Problema 13. (*) (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P1)
Determine el valorde:
1
2 + 13+ 1
4+ 1...+ 1
100
+1
1 + 11+ 1
3+ 1...+ 1
100
Problema 14. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P1) Demuestre
que eldiametro de la circunferencia inscrita en un triangulo
rectangulo es igual a la difer-encia entre la suma de los catetos y
la hipotenusa.
Problema 15. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P2) Determine
si la ecuacion:
x5 + 2004x3 + x + 1 = 0
tiene alguna solucion entera.
Problema 16. (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1)
Encontrar el mayornumero natural N de modo que cumpla las
siguientes condiciones: a) [N3 ] tiene sustres cifras iguales.b)
Existe p N talque [N3 ] = 1 + 2 + ... + p.Nota: La expresion [q] se
refiere a la parte entera del numero q.
-
ENTRENAMIENTO OLIMPICO INSTITUTO NACIONAL 2010 3
Problema 17. (*) (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P1)
Considerese elconjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sea D(S)
cualquier coleccion de numeros quese obtiene usando una y solo una
vez cada elemento de S (por ejemplo D(S) ={103, 456, 7, 2, 98}).
Sea F (D(S)) la suma de los elementos de D(S), en el ejemploseria
103 + 456 + 7 + 2 + 98 = 666. Es posible F (D(S)) = 100?
Problema 18. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P2)
Consideremos doscircunferencias C1 y C2, que se cortan en A y B. Se
trazan los diametros BC y BDen C1 y C2 respectivamente. Demuestre
que A, C y D estan sobre una misma recta.
Problema 19. (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P1) Puede
llenarse exac-tamente (sin que sobre agua) un deposito de agua de
57 litros, transportandola condos baldes, uno de 6 litros y otro de
9 litro?
Problema 20. (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P2) Dado un
cuadradoABCD, sea E un punto cualquiera de BC, pero distinto de B y
de C. La recta Les perpendicular a la recta DE y pasa por B.
Prolongamos DC hacia C de maneraque corte a L en G. Determine
DGE.
Problema 21. (CMAT 2004 Tercer Nivel Individual P1) Encuentre
todos losvalores enteros positivos de n tales que el numero
n+893n+2 sea entero.
Problema 22 (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P2) Se coloca
cada unode los dgitos de {1, 2, ..., 9} en las 9 casillas de un
cuadrado de 3x3, de formaarbitraria. Cada fila y cada columna
determina un numero de 3 cifras (ledos deizquierda a derecha y de
arriba a abajo). Llamaremos S a la suma de los 6 numerosanteriores.
Pueden colocarse los nueve dgitos de manera que S sea igual a
2004?
Problema 23. (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) En el ao
1594,un grupo de piratas escondio un cuantioso tesoro en una playa.
El jefe hallo enesta playa 3 palmeras, que denotaremos A,B,C; e
ideo enterrar el tesoro segun esteplan:Desde la palmera A, trazamos
un segmento perpendicular y de igual medida queAC, siendo M el
extremo de esta, de forma analoga, hacemos lo mismo con B,y
denotamos por N el extremo de la perpendicular correspondiente.
Finalmente,enterramos el tesoro en el punto medio del trazo MN .Aos
despues, unos buscadores de tesoros trataron de desenterrar el
tesoro. De-safortunadamente, la palmera C haba desaparecido y no
quedaban rastros de ella.Podra usted hallar el tesoro solo sabiendo
la ubicacin de las palmeras A y B, ademsdel metodo empleado para
enterrarlo?Como lo hara?.
Problema 24. (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) Sea ABCD un
trapecio,con AB||CD. Trazamos las diagonales AC y BD, y luego
trazamos una rectaparalela a AB, la cual llamaremos L. Si AB = a y
CD = b, demuestre que:
L = 21a+
1b
Problema 25. (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) Se tiene
un tablerocuadriculado de n x n casillas. En cada casilla se coloca
solo un 1, solo un 1, o
-
4 CRISTOBAL PARRAGUEZ CRUZAT [email protected]
solo un 0. Enseguida se define fi como la fila i, ci como la
columna i y d1, d2 lasdiagonales, por otro lado se define S(fi)
,S(ci) ,S(di) como la suma de los numerosque componen cada fila,
cada columna y cada diagonal respectivamente. Demuestreque entre
todos los valores de S(fi) ,S(ci) ,S(di) hay dos iguales.
Problema 26. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P1) En una
antigua cronicadel CMAT puede leerse el siguiente texto:Hace dos
aos, el numero de alumnos inscritos era un cuadrado perfecto. El
aopasado el numero de alumnos aumento en 100,obteniendose un
cuadrado perfectoaumentado en una unidad. Este ao, el numero de de
alumnos inscritos supero en100 el ao anterior, y este total es
nuevamente un cuadrado perfecto Determine elnumero de alumnos
inscritos en el CMAT en cada uno de los tres anos.
