SOAL 11: ALJABAR “DERET BILANGAN PANGKAT TIGA”Tentukan nilai dari:13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503

(Soal dikirim oleh Bapak Bakti via komentar blog tanggal 22 Juli 2011 )

SOLUSI:Langkah pertama perlu pembaca ingat kembali identitas berikut :(a – b)3=a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a3 – b3=(a – b)3 + 3a2b – 3ab2

a3 – b3=(a – b)3 + 3ab(a – b)

Perhatikan bahwa :13 – 23=(1– 2)3+3.1.2(1– 2)= –1 – 3(1.2)33 – 43=(3 – 4)3+3.3.4(3 – 4)= –1 – 3(3.4)53 – 63=(5 – 6)3+3.5.6(5 – 6)= –1 – 3(5.6)......................................................493 – 503=(49 – 50)3 + 3.49.50(49 – 50) = –1 –3(49.50)

13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)

Misalkan Pn = 2 + 12 + 30 + 56 +…, maka pola deret nya adalah:P1 = 2P2 = 2 + 12 = 14P3 = 2 + 12 + 30 = 44P4 = 2 + 12 + 30 + 56 = 100P5 = 2 + 12 + 30 + 56 + 90 = 190……………………………………...P25 =2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450 , (karena ada 25 suku yang akan kita hitung, maka n = 25)

Sedangakan beda antar suku dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut :

 Dari tabel di atas terlihat bahwa Pn merupakan “deret aritmetika tingkat 3”, sehingga memiliki rumus :Pn = an3 + bn2 + cn + dBerdasar beda antar sukunya pula maka rumus tersebut dapat dibuat tabelnya sbb:

 Dengan membandingkan kedua tabel di atas maka diperoleh :

 Subtitusi nilai a, b, c, dan d ke dalam rumus Pn diperoleh :Pn = (4/3)n3 + n2 + (-1/3)n

Dengan demikianP25 = (4/3)(253) + (252) + (-1/3)(25)P25 = (4/3)(15625) + (625) + (-1/3)(25)P25 = (1/3)(62500) –(1/3)(25) + 625P25 = (1/3)(62475) + 625P25 = 20825 + 625 = 21450

Jadi :13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(P25)13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(21450) = – 64375 

http://olimatik.blogspot.co.id/2011/07/soal-11-aljabar-deret-bilangan-pangkat.html