Ciudad Bolívar 27-07-2010

Espacios vectoriales y transformaciones lineales

Profesor: Integrante : Oliver Núñez c.i: 18.947.810

Instituto Universitario de Tecnología del Estado Bolívar (IUTEB)Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior.

Ciudad Bolívar – Edo Bolívar Electricidad -4-N

Definición de Vectores. 

En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u B (en este caso, unos 6,4 km).

Los problemas de adicción y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

Propiedades de los vectores       Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

·         Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del

vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

·         Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

·         Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado

de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un

origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Conmutativa: a+b=b+a Asociativa: (a+b)+c=a+ (b+c) Elemento Neutro: a+0=a Elemento Simétrico: a+ (-a)=a-a=0

Representación vectorial regular y polar

Transformación _ PolarV= V Ðq

RectangularV = Vxi + Vyj

PolarV= V Ðq

“” Vx = V cosqVy = V senq

RectangularV = Vxi + Vyj

V = V +Vq = tan-1 (Vy/Vx)

“”

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo. Como vemos en esta figura

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Importancia de los vectores en la ingeniería eléctrica

El mundo real es tridimensional ( sin entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de las magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para modelar matemáticamente la realidad.

La mayor parte de la física es vectorial, desde el momento en que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de las magnitudes derivadas de lo son. Ejemplo: velocidad, aceleración y fuerzas.

Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.

Transformación lineal Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W

es una función de V en W, T: V W, que es lineal, esto es para todo u,v V y todo a,b R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a R y todo u,v V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

T(u + v) = T(u) + T(v) T(ku) = kT(u) donde k es un escalar Ejemplo Sea V = Kn y W = Km. Entonces A 2Mm×n(K) determina A: Kn! Km I A. (X + Y) = A.X + A.Y X, Y 2 Kn I A. (_X) = _A.X X 2 Kn y _ 2 K A es una transformación lineal

Espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las duplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Transformación lineal

Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V W, que es lineal, esto es para todo u,v V y todo a,b R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a R y todo u,v V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

T(u + v) = T(u) + T(v)

T(ku) = kT(u) donde k es un escalar

Ejemplo

Sea V = Kn y W = Km.

Entonces A 2Mm×n(K) determina

A: Kn! Km

I A. (X + Y) = A.X + A.Y X, Y 2 Kn

I A. (_X) = _A.X X 2 Kn y _ 2 K

A es una transformación lineal

Propiedades transformación lineales

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera: Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el

conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

Importancia de las transformaciones lineales en la Ing. eléctrica

La razón de la transformación (m) del voltaje entre el bobinado primario y el bobinado secundario depende de los números de vueltas que tenga cada uno. Si el número de vueltas del secundario es el triple del primario, en el secundario habrá el triple de tensión.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://cguerra.fime.uanl.mx/articles/mechanism/course1/vectores.pdf

http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm

http://enciclopedia.us.es/index.php/Transformaci%C3%B3n_lineal#Propiedades_de_las_transformaciones_lineales

http://www.slideshare.net/joseffg/unidad-iv-4851712