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Olympiades de la Physique 2017 Diamagnétisme du bismuth (Mise en évidence d'une répulsion magnétique universelle : Le phénomène diamagnétique.) LAFON Timothé RECROIX Martin Lycée René Cassin, Bayonne Professeurs assistants : Jean-Paul Bruyère, Sylvie Champault, Alban Lamendin,

Olympiades de la Physique 2017 - odpf.org · puissant, les dipôles s’orientent selon la direction et le sens du champ extérieur, ainsi le corps s’aimante et se trouve attiré

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Olympiades de la Physique 2017

Diamagnétisme du bismuth

(Mise en évidence d'une répulsion magnétique universelle : Le phénomène diamagnétique.)

LAFON Timothé

RECROIX Martin

Lycée René Cassin, Bayonne

Professeurs assistants : Jean-Paul Bruyère, Sylvie Champault, Alban Lamendin,

Résumé

Depuis quelques années, nous avions connaissance de l ’exis tence d’une force magnét ique

de répulsion l i ée à une propriété de la mat ière appelée diamagnét isme. Nous avons donc voulu

apprendre plus de choses sur ce mécanisme qui nous étai t , a lors , encore obscur .

Nous avons donc cherché un matér iau qui puisse nous permet t re d’étudier le phénomène

à température ambiante : l e bismuth.

Ensui te , nous avons étudié les propriétés magnét iques des aimants en effec tuant sur tout

une expérience sur l ’ interact ion entre deux aimants à di f férentes di s tances : compensat ion du

poids d’un pet i t a imant néodyme (NdFeB) par un autre . Par la sui te , nous avons réf léchi à une

expér ience qui pouvai t permet t re de m et t re en évidence le phénomène de répulsion

diamagnét ique avec du bi smuth dont nous avons fai t l ’acquisi t ion.

C’est grâce à ce t te étude du diamagnét isme que nous avons vraiment enr ichi nos connaissances

d’une mul t i tude d’éléments sur le magnét isme et sur l ’ interact ion des champs magnét iques avec

la mat ière .

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SOMMAIRE

p.4 PARTIE 1 : RECHERCHES

p.4 I) Introduction au magnét isme

p.4 a) His toire du magnét isme

p.4 b) Défini t ion du magnét isme

p.4 II) Les différents types de magn ét isme

p.4 a) Expl ica t ion des phénomènes

p.5 b) Déterminat ion du magnétisme

p.7 PARTIE 2 : LE PROJET

p.7 I)Préparation de l 'expérience

p.7 1) Condit ions

p.8 2) Ini t ia l i sa t ion

p.8 3) Déterminat ion de la valeur de P

p.8 4) Déterminat ion de la valeur de F

p.10 5) Conclusion par t ie l le

p.11 II)Etude du phéno mène dia magnét ique dans le cadre du projet

p.11 1) Compor tement d 'un d ipôle magnétique dans un champ

magnét ique extér ieur

p.11 a) Introduct ion

p.11 b) Explica t ions

p.12 c) Résul tat

p.12 2) Analyse de l 'expérience :

p.12 a) Posit ionnement

p.12 b) Le champ magnét ique indui t un champ é lec tr ique , quel est

le rô le de ce dernier?

p.14 c) Le champ électr ique précédent indui t un nouveau champ

magnét ique

p.15 d) Réaction du sys tème

p.17 AJOUTS

p.19 BILAN

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PARTIE 1 : RECHERCHES

I) Introduction au magnétisme

a) Histoire du magnétisme

Les premières observations du magnétisme remontent à l 'Antiquité. En effet les grecs et

d’autres civil isations savaient que certaines p ierres att iraient des peti ts morceaux de fer, ( la

magnéti te est , par exemple, une roche naturellement magnétique) . Mais le phénomène n 'a été

étudié avec attention qu 'à partir du XVIIIe siècle. Charles Augustin de Coulomb établi t alors que

les forces qui s 'exercent entre deux pôles magnétiques sont inversement proportionnelles au carré

de la distance qui les sépare. Le terme de magnétisme désigne l 'ensemble des phénomènes qui ont

l ieu au cœur et autour de matériaux aimantés. Les applications du magnétisme s ont nombreuses,

et très répandues : électroménager, décoration, …

b) Définit ion du magnétisme

Le magnétisme est toujours associé au mouvement de charges électriques, qu 'i l soit à

l 'échelle macroscopique (comme le champ magnétique créé par un courant électri que) ou bien à

l 'échelle microscopique ou atomique (champs magnétiques résultant des mouvements d 'é lectrons

dans les atomes suite par exemple à l ' interaction spin -orbite). Bien entendu i l faut prendre en

compte le comportement collectif , de l 'ensemble des charges en mouvement dans la matière pour

déterminer ses différents types de propriétés magnétiques.

Aujourd 'hui, i l est admis que le magnétisme est un phénomène quantique dont les effets

s 'observent à l 'échelle macroscopique. Au niveau de l 'atome, chaque électron possède un peti t

moment magnétique. Naturellement, les électrons de moments magnétiques opposés ont tendance

à se regrouper par paires (comme deux aimants se collant l’un à l’autre par leurs pôles opposés)

et, à l 'échelle macroscopique, l 'aimantat ion est alors nulle. Mais, si des électrons se retrouvent

sans partenaires, leurs moments magnétiques s 'addit ionnent. Ils produisent alors une aimantation

globale du matériau. Les métaux de transit ion (fer, nickel, etc .) et les terres rares, sont les seuls

éléments à porter un tel moment magnétique.

II) Les différents types de magnétisme

Il y a différentes manifestations du magnétisme ou types de magnét isme:

- Le diamagnétisme

- Le paramagnétisme

- Le ferromagnétisme

a) Explication des phénomènes

Dans de nombreux cas , les électrons forment dans les atomes des paires de particules en

mouvement opposé , de manière à avoir un moment magnétique total nul. Ainsi la majorité des

atomes et des molécules ne produisent pas de champ magnétique propre.

Mais i ls possèdent tous une réponse magnétique lorsqu’on le s soumet à un champ magnétique

extérieur.

Une très grande partie des substances solide s, l iquides, gazeuses ou organiques sont très

faiblement magnétiques. Elles sont repoussées par un aimant produisant un champ très puissant.

Faraday a été le premier à observer ce phénomène en 1845. Il se nomme le diamagnétisme. Le

diamagnétisme est associé au mouvement orbital des électrons atomiques.

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S’ils sont soumis à un champ leur moment cinét ique est légèrement modifié et l e mouvement

associé à cette modification produit alors un champ qui s’oppose au champ appliqué. Ainsi , le

diamagnétisme est présent dans toutes les substances et on peut l’observer s’i l n’est pas

contrebalancé par un autre phénomène plus fort . Des expériences ont été réalisées et des

scientifiques ont réussi à faire léviter un organisme vivant : une grenouille, et de nombreux objets

(eau, noisette, fruits, …) dans un champ magnétique très puissant de 16 Tesla au laboratoire

Nijmengen High Field Magnet Laboratory . Cette expérience permet de montrer l’universali té du

diamagnétisme.

En résumé, un matériau diamagnétique est un matériau qui crée un champ magnétique en

opposit ion à un champ magnétique externe appliqué . Ce faible champ opposé produit une force de

répulsion. Les matér iaux avec un diamagnétisme assez puissant sont l’or, le cuivre , les

supraconducteurs et le bismuth que nous allons étudier dans notre expérience.

Si un atome est consti tué d’un nombre impair d’électrons ou caractérisé par une

configuration telle que tous les élec trons ne forment pas des paires, l’atome possède un dipôle

magnétique total qui produit son propre champ magnétique.

De telles substances sont dites paramagnétiques. Si el les sont placées près d’u n aimant

puissant, les dipôles s’orientent selon la direction et le sens du champ extérieur , ainsi le corps

s’aimante et se trouve att iré par l’aimant. L’attraction est toutefois relativement faible et

l’aimantation cesse dès que le champ extérieur est supprimé.

Toutefois, dans un échanti l l on contenant un grand nombre d’atome s (par exemple un peti t

cylindre en bismuth), ces dipôles s’orientent au hasard , le moment magnétique résultant est alors

nul . Ainsi l’échanti l lon de matière peut s’avérer être diamagnét ique alors qu’à l’échelle de

l’atome l’élément est paramagnétique.

Le dernier des 3 types majeurs de magnétisme est le ferromagnétisme. Exemples de substances

ferromagnétiques : corps consti tués de fer, de cobalt ou de nickel (atomes, composés de type

oxyde, al l iages – le plus connu étant l’acier) . On trouvera là aussi des configurations dans

lesquelles les électrons ne forment pas tous des paires. Mais le dipôle total d’un atome

ferromagnétique interagit fortement avec les dipôles voisins, et i l s s’alignent dans une direction

commune qu i persiste au cours du temps. Ces substances sont fortement att irées par les pôles d’un

aimant et s’aimantent facilement elles -mêmes. Elles deviennent alors des aimants permanents

(c’est le procédé uti l isé de nos jours pour créer des aimants). Le matériau crée un champ puissant

dans la même direction que le champ externe qui s’exerce sur lui , c’est ce qui crée cette force

d’attraction importante entre le fer et un aimant par exemple.

b) Détermination du magnétisme

Un moyen assez simple de déterminer le typ e de magnétisme d’un matériau est d’étudier la

susceptibil i té magnétique du matériau notée χm. Cette grandeur correspond à la réaction du

matériau lors de l’exposit ion à un champ magnétique externe. Cette interaction provoque

l’apparit ion d’un champ magnét ique propre généré par le matériau qui, dirigé selon la direction

du champ extérieur va se trouver soit dans le même sens , soit dans le sens opposé à celui du champ

extérieur . Si le champ extérieur appliqué est fort alors, par proportionnali té , la réaction va être

grande, c’est pour cela que les scientifiques ont pu faire léviter le corps de la grenouille avec un

champ magnétique puissant (celle -c i assez légère avait besoin d’un champ puissant mais qui était

possible à générer pour que les propriétés diamagnétiques des molécules qui la compose nt soient

suffisamment puissantes pour faire léviter le corps). Les différents cas possibles sont présentés

page suivante. 5

- χmest négatif et faible : le matériau est di t diamagnétique.

Les champs sont opposés i l y a un phénomène de répulsion faible.

- χmest posit if et faible : on parle de matériau paramagnétique.

Les champs sont al ignés l’attraction est faible.

- χmest posit if , et élevé : dans ce cas le matériau est dit ferromagnétique .

Les champs sont al ignés l’attraction est forte.

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Partie 2 : LE PROJET

INTRODUCTION : Notre projet , notre expérience, sont centrés sur un phénomène bien

particulier : faire rentrer le système étudié, ici un peti t aimant permanent (qui sera dénommé « le

système » dans toute la suite de l’exposé ) , dans un état de lévitation, ceci dans le but d 'amener un

argument pouvant éventuellement prouver l’existence d’un phénomène diamagnétique en cas de

réussite.

Pour cela, commençons par essayer de définir ce qu'est la lévitation. La lévitation est un état :

lorsque qu 'un corps atteint un équil ibre sans contact quelconque avec une surface matérielle dans

la mesure où son poids est compensé par une ou plusieurs forces e xtérieures, on dit qu 'i l lévite

(les actions de l’ai seront négligées dans le cadre de nos expériences) .

Toutes les forces s 'appliquant sur le système doivent donc se compenser, s 'annuler, afin qu 'i l

at teigne cet état .

On peut alors dire :

0⃗ = ∑𝐹𝑖⃗⃗

𝑖

Ici on considérera que seulement trois forces s 'appliquent sur le système :

- Le poids �⃗� du système.

- La force magnétique attractive de l 'aimant n°2 (voir schéma page suivante)

sur le système.

- Reste notre diamagnétisme, mais son effe t sera étudié plus tard. Nous appellerons la force

inconnue compensant le poids restant "X".

I)Préparation de l 'expérience

1) Conditions :

Nous considérons dans le cadre de notre

expérience que le système ne peut

potentiellement se déplacer que sur un unique

axe vertical . Les vecteurs représentant les

forces précédemment citées sont colinéaires à

cet axe, nous les étudierons donc dans un

repère unidimensionnel caractérisé par l 'axe

"y". En effet l 'axe sur lequel nous travail lons

est considéré comme perpendiculaire par

rapport à un plan tangent à la surface de la

Terre, en un point où est si tué le système sur

cette même surface.

7

y

2) Init ial isation :

Posons le problème de manière intuit ive : si le système lévite,

alors cela veut dire que la somme des vecteurs représentant les trois

forces s 'appliquant à ce dernier est égale au vecteur nul . Le poids est

une force attractive exercée par la Terre sur le système, et de ce fait

dirigée verticalement vers le bas (vecteur rouge sur le schéma) . La

force induite par l 'aimant n°2 sur le système est également attractive.

Cet aimant étant placé sur l 'axe, au dessus du système, le vecteur

représentant cette force est dirigé vers le haut. Cette force ne

compense que partiel lement le poids mais nous y revien drons plus

tard. Il reste donc une troisième force, notre inconnue, compensant le

reste du poids, "X".

On a donc : 0⃗ = �⃗� + 𝐹 + 𝑋 (1)

Essayons désormais de rechercher les valeurs de ces forces, car pour

trouver la valeur de X, i l nous faut connaître les valeurs de P et de F.

3) Détermination de la valeur de P :

Nous travail lons ici à une alt i tude y = h proche de la surface terrestre (l 'al t i tude h est tel le

que h˂˂R T , avec RT le rayon terrestre). Le poids du système �⃗� a donc une norme P telle que P =

mg, avec m la masse du système exprimée en kg et g l 'accélération normale de la pesanteur

terrestre, constante de valeur approximative g = 9.806 m.s - 2 . En pesant notre système, on trouve

m = 0.92 g = 9.2×10 - 4 kg, P = mg, P = 9.2×10 - 4×9.806 = 9.0×10 - 3 N.

4) Détermination de la valeur de F :

Cette partie est quelque peu délicate, nous ne prendrons là en compte que l 'interaction entre

les deux aimants. Nous travail lerons, par soucis de simplicité, par rapport au poids, cherchant la

proportion de poids compensée par cette force plutôt que sa valeur en elle -même. Pour cela, nous

allons avoir recours à une expérience qui nous permettra de déterminer la valeur de cet te force

(𝐹 (f→s))

Le principe de cette expérience est le suivant :

- fixer le système à une balance de précision au 1/1000 è me de gramme (la balance en quest ion

fonctionnant avec un disposit if uti l isant un champ magnétique, la présence de notre système

(aimant) perturbe les mesures, i l faut donc le surélever avec un objet quelconque et tarer la

balance, voir f igure page suivante ).

8

bismuth

système

bismuth

aimant n°2

- mesurer sa masse lorsqu’aucune force

non négligeable autre que le poids n 'est

appliquée sur le système. On considère

alors un axe y', colinéaire de même sens

à y, et passant par le système. Sur ce

même axe, au dessus du système, on place

l 'aimant n°2, de sorte à être à la distance

minimale du système pour ne relever

aucune interaction notable, on appelle la

distance entre les deux aimants "r" (la

masse affichée est la même que dans les

conditions init iales, où l 'on considère

qu 'aucune force n 'est appliquée au

système mis à part son poids, cependant,

si on réduit r , la masse se modifie). Nous

nommons cette valeur r 1 , distance entre

les deux aimants à par tir de laquelle 𝐹 ne

compense pas le poids.

- Maintenant que nous avons déterminé r 1 , nous allons chercher r 0 , distance maximale entre

le deux aimants sur y' pour que le poids du système soit totalement compensé. Nous faisons

donc varier r , pour atteindre la valeur de r maximale pour laquelle la balance affiche 0.

Interprétons ces résultats :

- pour r = r 1 , 𝐹 ne compense pas le poids, on peut dire de F(f→s) = 0.

- pour r = r 0 , 𝐹 compense totalement le poids, F = P et 𝐹 = -�⃗� , F = mg.

Nous avons les valeurs r 0 et de r 1 , nous allons maintenant faire varier r sur y' tel que r 0< r < r 1 , et

noter les valeurs de masses affichées par la balance.

Nous avons pu déterminer la valeur de la "masse apparente" du système (en effet sa masse réelle

ne change pas) en fonction de r notée m(r). Nous avons précédemment expliqué que nous all ions

uti l iser la formule P = mg dans le cadre de nos expériences. On peut écrire P(r) = m(r)×g, nous

donnant le "poids apparent" du système en fonction de r . P(r) est en fait la valeur du poids non

compensé par l 'interaction magnétique 𝐹 (f→s) .

Mais nous cherchons la valeur de F en fonction de r ( ici , F représente donc la valeur de poids

compensée), F(r) , or P(r) que nous avons obtenu est le poids du système P sans la part ie compensé e

par F(r) tel que : P(r) = P - F(r) , de ce fait : F(r) = P - P(r) . On trace alors la courbe (page suivante)

lui étant associée pour obtenir la valeur de F en fonction de la distance entre le système et l 'aimant

n°2 sur y.

9

y'

r

5) Conclusion partiel le :

Revenons sur la formule (1) : 0⃗ = �⃗� + 𝐹 + 𝑋 .

Ne peut -on remarquer une simili tude avec 0 = P - F(r) - P(r)?

En partant de 0⃗ = �⃗� + 𝐹 + 𝑋 :

- sachant que 𝐹 et 𝑋 sont de sens opposé à �⃗� , on peut écrire 0 = P - F - X,

- et F(r) étant la norme de 𝐹 ∶0 = P - F(r) - X.

Alors X = P - F(r) = P(r) . X a donc pour valeur, la part ie du poids non compensée par la force

exercée par l 'aimant n°2 sur le système. X est donc la valeur d 'une force associée au diamagnétisme

qui peut nous donner une idée de l’ intensité de ce phénomène.

Ici , X = 9.0×10 - 3 - F(r) .

Cherchons maintenant à comprendre comme cela fonctionne, et comment la présence de bismuth,

métal connu pour être fortement diamagnétique, permettra de faire léviter notre système dans le

cadre d’une deuxième expérience.

10

F(r)

en N

r en cm

r0

r1

II)Etude du phénomène diamagnétique dans le cadre du projet

1) Comportement d 'un dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur :

a) Introduction : Lorsque deux dipôles magnétiques (alignés sur un même axe) créent chacun un

champ de sens opposé à celui de l 'autre (voir schéma ci -dessous), ces deux dipôles se repoussent.

Si l 'on étudie l 'un des deux aimants dans la s i tuation précédente, on étudie le comportement d 'un

aimant lorsqu'i l est traversé par un champ magnétique extérieur opposé à s on propre champ. Si

cela est possible, le dipôle va alors tenter d 'accorder le sens de son moment magnétique avec le

champ extérieur, en se retournant par exemple, dans le cas d 'un aimant permanent.

b) Explications : Ceci s 'explique par le fait q ue ce dipôle cherche à atteindre un état d 'équil ibre

le plus stable possible, c 'est à dire avec le minimum d'énergie potentielle. Or l 'énergie potentielle

d 'interaction d 'un dipôle magnétique 𝜀𝑝𝑚 avec un champ magnétique extérieur vaut :

𝜀𝑝𝑚 = −µ⃗ . �⃗�

avec µ⃗ le moment magnétique du dipôle en J .T - 1 , et �⃗� le champ magnétique extérieur en Tesla T.

Dans la si tuation init iale, où les aimants se repoussent, on a :

𝜀𝑝𝑚 = −µ × 𝐵 × cos𝛼, avec 𝛼 = 180° ( µ⃗ de sens opposé à �⃗� ) , donc cos𝛼 = -1, et 𝜀𝑝𝑚 = µ × 𝐵.

Si le dipôle magnétique parvient à accorder le sens de son moment magnétique avec le sens

du champ extérieur, alors 𝛼 = 0°, cos𝛼 = 1, et 𝜀𝑝𝑚 = −µ × 𝐵.

Or −µ × 𝐵 ˂ 0 et −µ × 𝐵 ˂ µ × 𝐵, donc dans la deuxième situation, l’énergie potentielle étant plus

faible, l 'équil ibre du système sera plus stable. C'est pour cela qu 'un aimant permanent dans cette

si tuation se retourne s i cela est possible. 11

Lorsque ce n 'est pas le cas, cherchant toujours à atteindre un équil ibre stable, i l s 'éloigne de la

"zone de champ fort", i l cherche à atteindre une zone avec la plus faible valeur de B possible, car

si l 'on considère B 1 et B 2 , deux valeurs de �⃗� à deux posit ions spatiales différentes, tels que B 1 ˂

B2 , on a µ × 𝐵1 ˂ µ × 𝐵2 et 𝜀𝑝𝑚1< 𝜀𝑝𝑚2

et donc un état plus stable à la posit ion 1 qu 'à la posit ion 2.

c) Résultat : On peut donc dire qu 'un dipôle magnétique traversé par un c hamp magnétique

extérieur et ne pouvant accorder son moment magnétique avec ce champ extérieur va chercher à

se posit ionner dans des "zones" où la valeur du champ est la plus faible possible. Ceci est très

important pour la suite.

2) Analyse de l 'expérience :

Considérons maintenant notre deuxième

expérience.

a) Posit ionnement :

Notre système est un dipôle

magnétique, avec un pôle nord et un pôle

sud, nous décidons d 'orienter le pôle nord

vers le haut, mais nous verrons plus tard

que cela n 'a pas d 'importance. Le moment

magnétique du système est donc

colinéaire à y et dirigé vers le haut, les

deux cylindres de bismuth sont donc

traversés par un champ magnétique

extérieur dirigé vers le haut (selon l’axe

Oy).

b) Le champ magnétique induit un champ électrique, quel est le rôle de ce dernier?

Sous l 'effet du champ magnétique créé par le système, le bismuth va créer un champ

électrique. Ceci est montré par l’équation de Maxwell :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗� = −𝑑�⃗�

𝑑𝑡

12

y

Nous ne l 'expliquerons pas ici en détails, cependant, on

constate que si la valeur du champ magnétique est

constante, sa dérivée en fonction du temps est nulle et

aucun champ électrique n 'est créé. Mais nous retiendro ns

seulement deux choses de cette formule : du champ

magnétique variable résulte un champ électrique qui va

influencer le comportement des électrons de l 'atome.

En effet , la formule 𝐹 = 𝑞�⃗� , décrivant une force associée

à ce champ électrique, s 'applique sur les électrons

(chargés négativement), et cette force est

proportionnellement opposée au sens et à la direction du

champ électrique �⃗� (car q < 0). De ce fait , selon le sens

de rotation des électrons autour des noyaux, certains

verront la valeur de leur vitesse diminuer, d 'autres la

verront augmenter (voir schéma). (∆�⃗� = �⃗� (𝑡 + 𝑑𝑡) − �⃗� (𝑡) )

Mais comment pouvons -nous définir le

posit ionnement et le sens dans lequel apparaît le champ

électrique sur le disque associé à la trajectoire consi dérée

circulaire de l 'électron?

Cette trajectoire circulaire délimite donc un disque. On

fait alors intervenir un nouveau vecteur : 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗. Il représente

une longueur élémentaire du cercle délimitant le disque. .

Nous allons présenter ce qu 'est 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ sur un cercle

quelconque : un cercle est un ensemble (infini) de

points, on peut associer à chaque point une tangente au

cercle. 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ étant un vecteur particulier à chacune de ces

différentes posit ions, à chaque points du cercle on peut associer un 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ colinéaire à la tangente en

questions. On peut choisir le sens de 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ arbitrairement.

Une autre manière de considérer le disque est de le considérer comme une infinité de

surfaces élémentaires. À chaque surface élémentaire on peut associer un autre vec teur, 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ , normal

à la surface. Tous les 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ du disque sont colinéaires de même sens.

Reste maintenant à savoir comment placer 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ par rapport à 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗. Pour ce faire, on uti l ise la

règle dite de la main droite : en longeant le cercle avec sa ma in droite, les doigts en avant et la

paume vers le centre du cercle, dans le sens dans lequel "tournent" les 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗, 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ est dirigé dans le

même sens que le posit ionnement du pouce (i l reste normal au disque, mais ceci permet de

déterminer son sens) .

Ces deux vecteurs étant maintenant introduits, nous allons pouvoir les uti l iser. Il nous faut

tout d 'abord transformer l 'équation de Maxwell précédemment citée :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗� = −𝑑�⃗�

𝑑𝑡 est équivalent à ∬𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗� . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = −∬

𝑑�⃗�

𝑑𝑡. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗

D'après le théorème de Stokes que nous ne détail lerons pas, on peut transformer la première

partie de l 'équation de la manière suivante :

∬𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗� . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = ∮ �⃗� . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗

𝐶𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒

(S est la surface du disque délimité par le cercl e) 13

∆ ∆

Ce qui nous donne finalement l 'équation qui nous intéresse ici :

∮ �⃗� . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗

𝐶𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒

= −∬𝑑�⃗�

𝑑𝑡. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗

De cette équation, on t ire l 'explication du posit ionnement du champ électrique sur le cercle

décrit par la trajectoire considérée de l 'électron. En effet , on remarque un " - " devant la part ie

droite de l 'équation :

- si 𝑑�⃗�

𝑑𝑡 et 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ sont dans le même sens, la double intégrale sera posit ive, et de par le " - " la

part ie droite de l 'équat ion sera négative, par conséquent i l en sera de même pour la part ie gauche

: �⃗� représentant le champ électrique sur le disque sera colinéaire de sens contraire à 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ (pour

l 'infinité de 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ autour du cercle).

- si 𝑑�⃗�

𝑑𝑡 et 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ sont dans le sens contraire, la double intégrale sera négative, et de par le " - "

la part ie droite de l 'équation sera posit ive, par conséquent i l en sera de même pour la part ie gauche

: �⃗� représentant le champ électrique sur le disque sera colinéaire de même se ns à 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ (pour l 'infinité

de 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ autour du cercle). C'est ainsi que l 'on a déterminé comment placer le champ électrique �⃗�

dans notre raisonnement.

c) Le champ électrique précédent induit un nouveau champ magnétique :

Modélisons l’état des électrons

par des mouvements autour des noyaux,

si nous simplifions la modélisation en

considérant un mouvement circulaire

pour un ou plusieurs électrons autour du

noyau d 'un atome, nous pouvons alors

considérer cela comme un courant

électrique d 'intensi té i , i dépendant de la

vitesse à laquelle tournent les électrons.

Ce mouvement crée un moment

magnétique, qui induit un champ

magnétique selon la formule µ𝑒⃗⃗⃗⃗ =

𝑖𝑠�⃗� , ( �⃗� vecteur normal au disque) avec

s l 'aire correspondant au disque associé

au "cercle" de la trajectoire de

l 'électron, et µ e le moment magnétique

associé au champ magnétique créé par

l 'électron. Le moment magnétique induit

est donc d 'autant plus grand que la

vitesse de l 'électron augmente.

Remarque : Si l 'on prend le schéma ci -dessus, et que l 'on considère que l 'électron tourne dans le

sens contraire à celui représenté, alors le moment magnétique créé sera dirigé dans le sens opposé

à celui du schéma (c 'est à dire vers le bas).

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µe

Considérons maintenant tous les électrons autour des noyaux du bismuth comme tournant sur le

contour de disques "parallèles" entre eux et perpendiculaires à y. Ils ne peuvent de ce fai t suivre

que deux mouvements :

- tourner dans le sens (1) (comme sur le schéma précédent).

- tourner dans le sens (2) (contraire au sens (1)).

On considère qu 'un même nombre d 'électrons tourne dans chaque sens.

S 'i ls tournent dans le sens (1), le moment magnétique du systè me étant dirigé vers le haut, le

champ �⃗� au niveau de la posit ion de l 'électron est colinéaire de même sens au vecteur vitesse de

ce dernier . Comme 𝐹 = 𝑞�⃗� , la vitesse de l 'électron est réduite, donc i diminue et µ e (dirigé vers le

haut) également.

S 'i ls tournent dans le sens (2), le mome nt magnétique du système étant dirigé vers le haut, �⃗� est

maintenant colinéaire de sens contraire au vecteur vitesse de ce dernier, et comme 𝐹 = 𝑞�⃗� , la

vitesse de l 'électron augmente, donc i augmente et µ e (dirigé vers le bas) également.

De ce fai t , si l 'on considère l 'ensemble des électrons, le bismuth en réaction au champ magnétique

du système dirigé vers le haut, va créer un champ magnétique dirigé vers le bas . On associe à ce

champ un moment magnétique µ d i a tel que :

µ1 = -kµd i a .

Ainsi les deux cylindres le bismuth interagissent avec le champ magnétique provenant du

système (nous n 'étudions pas ici l ' influence de l 'aimant n°2 pour des raisons de simplicité,

cependant, comme son moment magnétique à la même direction et le même sens que celui d u

système, i l va surtout augmenter la valeur du moment magnétique du cylindre de bismuth le plus

proche de lui . Ceci ne changeant pas le principe du phénomène étudié, i l n 'apparaitra pas dans

l 'analyse), créant ainsi un champ magnétique extérieur au systèm e, de sens opposé au moment du

système quelque soit le posit ionnement de ses pôles sur y (pôle Nord vers le haut et Sud vers le

bas ou inversement).

d) Réaction du système :

Maintenant, nous allons uti l iser ce que nous avons vu précédemment ( II)1)) : si un dipôle

magnétique est traversé par un champ magnétique extérieur et ne peut accorder son moment

magnétique avec ce champ extérieur (si l 'aimant inverse le posit ionnement de ses pôles pour tenter

de trouver un état d 'équil ibre plus stable, le bismuth réagi t avec un champ magnétique de direction

toujours opposé au moment magnétique du système), alors i l va chercher à se posit ionner dans des

"zones" où la valeur du champ est la plus faible possible.

Il nous reste par conséquent à trouver les valeurs du champ magnét ique extérieur sur la part ie de

y où le système peut se déplacer, c 'est à dire entre les deux cylindres de bismuth. Intuit ivement,

les deux cylindres de bismuth étant les sources du champ, on comprend qu'à proximité de ces

derniers, la valeur du champ sera plus élevée, et que la zone où le champ est le plus faible est

si tuée entre les deux.

De plus nous avons vu que plus le champ extérieur dans lequel est plongé le bismuth est intense, plus le

champ généré en réaction (par diamagnétisme) par le bismuth est intense. Autrement dit , plus le système

se rapproche du bismuth, plus i l est repoussé.

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En étudiant la valeur du champ extérieur en Tesla le long de y (on ne représente ici ni le champ

du système qui n 'a pas d 'influence sur lui même dans l 'exp érience, ni le champ de l 'aimant n°2 car

son moment magnétique étant de même direction que celui du système, i l ne modifie pas le

processus; voir II)2)d)), on obtient une courbe dont l’allure est présentée ci -dessous,

correspondant aux explications précédentes :

16

y

_________________________________________________________________

AJOUTS

Expérience -Laser et é tude de la figure de diffraction - :

Afin de mettre en évidence une lévitation très "faible" (espace très réduit entre le corps en état de

lévitation et une ou plusieurs des surfaces environnantes) due à un diamagnétisme encore trop

faible, nous avons pensé compléter notre expérience en considérant la f igure de diffraction

associée à un faisceau laser passant par l 'espacement très peti t entre le système en lévitation et

l 'une des plaques de bismuth.

Voici le montage réalisé :

Lors de cette expérience, nous avons obtenu cette figure de diffraction :

17

y

Il nous faut maintenant déterminer l 'espacement précédemment mentionné. Pour ce faire nous

allons uti l iser la formule suivante :

𝜆

𝑎=

𝑏

𝐷

d 'où :

𝑎 = 𝜆𝐷

𝑏

avec "a" l 'espacement du diaphragme que l 'on recherche, "𝜆" la longueur d 'onde du laser uti l isé

(ici 𝜆 = 6,33×10 - 7 m), "D" la distance entre le diaphragme et la f igure de diffraction étudiée et "b"

la distance entre deux motifs de la figure de diffraction.

Dans le montage réalisé, D = 4,0 m, b = 6,0×10 - 3 m. On trouve alors :

𝑎 = 4,0 × 6,33 × 10−7

6,0 × 10−3= 4,2 × 10−4 m = 0.42 mm

Or, on sait que les deux cylindres de bismuth s ont séparés de 6.5 mm et que le système (cubique)

a une hauteur de 5 mm. " a " étant l 'espacement entre le système et le cylindre du bas, on a " a ' " ,

l 'espacement entre le système et le cylindre du haut tel que a ' = 6,5 -5-a = 6,5-5-0,42 = 1,08 mm .

Le système n 'est en contact avec aucun des cy lindres, i l lévite.

On considère ce résultat comme valide (approximatif) dans le cadre particulier de cette expérience.

Cette distance n 'est pas constante et varie selon la quali té de l ' installat ion et du montage, el le

permet seulement de montrer que le système lévite.

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BILAN :

Ainsi , dans le contexte ins tauré par not re expér ience , nous avons pu tenter d 'apporter en sur face

une val ida tion par t iel le de cer ta ins mécanismes assoc iés au diamagnétisme (ce tte exp licat ion res te

intui t ive, nous n 'a vons pas la pré tent ion d 'a ff irmer qu 'i l s 'agi t rée l lement d 'une descr ipt ion des

phénomènes d iamagnét iques) .

La créat ion d 'un champ magnét ique par un corps diamagnét ique est un phénomène très complexe , ouvrant

sur un champ d 'explorat ion très large.

Comme ce la es t expl iqué dans Le cours de physique de Feynman, Elec tromagnétisme 2 , "La physique

classique n 'expl ique ni le diamagnét isme ni le paramagnét isme" (34 -6) : nous ne pouvons que donner une

idée, expl iquer avec approximation ce qu ' i l se passe dans l 'expérience, et ne pré tendons pas avancer une

réponse absolue au rô le que joue le d iamagnétisme dans not re projet .

Les app l ica t io ns d u d iamagné t i s me so n t no mb reuses , e t so n t por t euses p o ur l ’aven i r , dans l e s d o maines

d e l a san té , des t r ansp or t s , … En e f fe t , l e d i amagné t i sme es t une propr ié t é majeure des

sup raco nd ucteur s . Do nc s i no us a r r ivo ns à fabr iq uer des sup raco nd uc teur s à t e mp éra tur e ambian te (à

p ar t i r de b i smuth o u d ’au t re s ma té r i aux) no us po ur r io ns s imp l i f ie r de no mb reux sys t èmes co mme l e

fo nc t io nne ment de l ’ IRM, o u d évelopp er l e s t r a ins à sus ten ta t io n magné t iq ues fo nc t io nnant sur le

p r inc ip e d u Maglev j ap o na i s . Le d iamagné t isme p o ur r a i t éga lement pe rme t t r e aux ind us t r i e l s de

d ép lacer des charges fac i l ement , … Ains i , l e d iamagné t i sme p o ur r a i t à l ' ave nir pe rme t t r e une

amé l io ra t io n cer ta ine de la t echno lo g ie des t ransp or t s , e t po ur ra i t to uche r d 'au t re s do maines .

Sources :

- Fundamentals o f Inorganic Chimis try , Ananya Guanguly.

- Le cours de physique de Feynman, Electromagnétisme 2 , Richard Feynman.

- Cours de physique de Berkeley tome 2 : E lectr ici té et magnétisme , Edward M. Purce ll .

- Wikipédia .

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