OCTAVO GRADOProblema 1.Seael producto de las cifras de un nmero natural. Por ejemplo,y. Determine el valor de la suma.Solucin.Antes que nada notemos que los mltiplos de 10 no contribuyen en nada a la suma, as que podemos ignorarlos. Claramente. El siguiente paso es sumar.Para los nmeros del 21 al 29 tenemos que.Y as sucesivamente hasta sumar. Por tanto.Problema 2.En la figura,es un pentgono regular yes un cuadrado. Determine la medida del ngulo.

Solucin.Ya que el pentgono y el cuadrado comparten un lado, vemos que. Esto implica que el tringuloes issceles, de donde. Pero el ngulo interior de un pentgono regular es; luego. Se sigue que. De manera anloga, vemos que el tringuloes issceles, pues, por lo que. En consecuencia.Problema 3.Inicialmente hay un 1 en la pantalla de una computadora. Al presionar la tecla, se multiplica por 3 el nmero de la pantalla. Al presionar la tecla, se resta 1 al nmero de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclasyhay que llegar a tener en la pantalla un 97. Determine el nmero mnimo de teclas que se deben presionar.Solucin.Ya que 97 no es divisible por 3, este debe ser obtenido a partir de un mltiplo de 3 presionando la tecla; usaremos la tecla el menor nmero de veces si partimos del mltiplo de 3 ms cercano, que es. Y como, este puede ser alcanzado a partir de 11 con la tecla(claramente obtenerlo connecesitara ms teclas). Luego el problema se reduce a alcanzar 11 mediante el menor nmero de teclas posible; con un poco de experimentacin vemos que 7 teclas bastan:,y a partir de ah hacemos. Por tanto se necesitan al menosteclas para llegar a 97.Problema 4.La pirmide siguiente se llena colocando un nmero entero en cada casilla. Los cuatro nmeros de la base deben cumplir que al sumarlos d como resultado 8, y los nmeros de las dems casillas deben ser el resultado de sumar los nmeros en las dos casillas que estn justo debajo. Determine si es posible que el nmero en la casilla superior sea 7.

Solucin.No. Sison los nmeros de la base escritos de izquierda a derecha, entonces los tres nmeros arriba son, y los dos nmeros siguientes son, por lo que el nmero en la cima es. Comoeste nmero vale, que es par y por tanto no puede ser 7.Problema 5.En una fiesta hay 100 personas. La primera da la mano a una persona, la segunda a dos personas, la tercera a tres personas, y as sucesivamente de manera que la nonagsima novena da la mano a 99 personas. Determine la cantidad de personas a las cuales le dio la mano la centsima persona.Solucin.Por conveniencia, llamemosa la primera persona,a la segunda, y as sucesivamente hasta. Comenzamos notando quele da la mano a 99 personas, es decir que le da la mano a todos los dems, incluido. Perole da la mano a una sola persona, as que esta debe ser. Ahora bien, sabemos quele da la mano a 98 personas; del total de 100 personas hay dos a las que no les puede dar la mano (ay a s mismo), de donde por fuerza debe darle la mano a. Perole da la mano solamente a dos personas, as que estas son necesariamentey.Continuando este razonamiento por induccin en, vemos quele da la mano apersonas; puesto que entre el total de 100 personas haya las que no les puede dar la mano (ay a s mismo), resulta quedebe darle la mano a laspersonas restantes, que son(exceptuando a s mismo). Al mismo tiempo tambin hemos determinado cules personas le dan la mano a, pues esta anteriormente ya le dio la mano a laspersonas. El proceso termina cuando, y al inspeccionar el argumento anterior veremos quele dio la mano a, es decir a 50 personas.

NOVENO GRADOProblema 1.Una partcula se mueve a travs del primer cuadrante siguiendo el patrn que se indica en la figura. Durante el primer minuto se mueve desde el origen hasta, movindose una unidad de distancia paralela a un eje cada minuto. Determine en qu punto se encontrar la partcula despus de exactamente 2 horas.

Solucin.Poniendo un poco de atencin nos daremos cuenta de que, sies impar, la partcula necesitaminutos para llegar al punto. En efecto, para llegar deadebemos movernospasos hacia arriba,hacia la izquierda, 1 hacia arriba,a la derecha,hacia abajo y 1 hacia la derecha. Luego para llegar del origen ase requieren, y el resultado se sigue por induccin. Por ltimo, ya que, la posicin de la partcula luego de 120 minutos es.Problema 2. Se tienen los cuadradosy, con lados de longitud 2 y 1, respectivamente. El ladoest sobre el lado. Se trazan las rectasy, que se cortan en. Determine la razn entre el rea sombreada y el rea blanca.

Solucin.Puesto queyson paralelas, los tringulosyson semejantes, y la razn de semejanza es; esto ltimo implica queyson los puntos medios dey, respectivamente. Ahora bien, seala altura relativa a, y seasu punto de corte con.Entonces, de donde. Luego el rea del tringuloes. Al sustraer el rea del cuadradoobtenemos el valor del rea sombreada, que es 1, y como la regin blanca tiene obviamente rea 5 se concluye que la razn pedida es.Problema 3.Seael conjunto de todos los enteros positivostales quetiene la representacin decimalconydgitos distintos. Determine el valor de la suma de todos los elementos de.Solucin.Una frmula enseada en las escuelas nos dice que. Luego, sientoncespara ciertos enteros. Despejandovemos quees entero; esto puede suceder si y slo sies un divisor de 99, es decir. Debido a la restriccinlos nicos casos posibles son 1, 3 y 9; los valores respectivos deson,y. Por tanto la suma buscada es.Problema 4.Algunas personas se sientan alrededor de una mesa redonda. Se sabe que hay siete mujeres que tienen a su derecha a una mujer y doce mujeres que tienen a su derecha a un hombre. Adems, tres de cada cuatro hombres tienen a su derecha a una mujer. Determine el nmero de personas sentadas alrededor de la mesa.Solucin.De entrada sabemosque el nmero de mujeres es. Por otra parte, hay7 mujeres que tienen a su derecha a una mujer, y sies el nmero total de hombres, entonces hayhombres que tienen a su derecha a una mujer. Luego, de dondey por tanto el total de personas es.Problema 5.Seanenteros distintos de cero, con, tales que.Demuestre queno puede ser un nmero primo.Solucin.Quitando denominadores tenemos que, o bien. El miembro izquierdo factoriza como, por lo que la condicinimplica que. En consecuencia.Ahora bien, la fraccines siempre positiva, por lo quetambin lo es y asytienen el mismo signo. Ya que la igualdad de estas fracciones se sigue cumpliendo al cambiar el signo dey, podemos asumir que ambos son positivos. Sientoncesya que, y ademspuesto quepara todo entero positivo. Asimismosi. En cualquier casotiene un divisor mayor que 1 y menor que s mismo, y por tanto no puede ser primo.

PRIMER AO DE BACHILLERATOProblema 1. Se tienen 11 cajas grandes. Algunas de ellas contienen, cada una, 8 cajas medianas y el resto estn vacas. A su vez, algunas de las cajas medianas contienen, cada una, 8 cajas pequeas y el resto estn vacas. Todas las cajas pequeas estn vacas. Si hay 102 cajas vacas, determine el nmero total de cajas.Solucin.Sies el nmero de cajas grandes que contienen cajas medianas, entonces haycajas medianas ycajas grandes vacas. Asimismo, sies el nmero de cajas medianas que contienen cajas pequeas, entonces haycajas pequeas ycajas medianas vacas. Luego haycajas vacas, de donde. En consecuencia, el nmero total de cajas es.Problema 2.Si las longitudes,yde los lados de un tringulo satisfacen las condicionesy, demuestre que el tringulo es equiltero.Solucin.La primera condicin puede reescribirse como, y sustituyendo en la segunda ecuacin obtenemos. Expandiendo y reordenando queda. Ya que una suma de cuadrados puede ser cero slo si cada uno de los cuadrados es cero, se sigue que, y as. Luego el tringulo es equiltero, tal y como se peda.Problema 3.Un cuadrado de reaest dividido en 102 cuadrados ms pequeos, 101 de los cuales tienen lados de longitud 1. Determine todos los valores posibles para.Solucin.Seanylas medidas de los lados del cuadrado mayor y del 102-simo cuadrado, respectivamente. Notemos que(y por tanto) es entero, pues de lo contrario sera imposible cubrir el cuadrado mayor con los otros 102 cuadrados. Luego debemos resolver en enteros la ecuacin. Ya quey 101 es primo, necesariamentey, de dondey. Por ltimo, claramente es posible formar un cuadrado con 101 cuadrados de lado 1 y 1 cuadrado de lado 50: basta colocar los cuadrados de lado 1 a lo largo de dos lados adyacentes del cuadrado de lado 50. Por tanto la nica respuesta al problema es.Problema 4.En la figura, la razn entre el radio del sector circular y el radio del crculo interior es 3:1. Si el crculo es tangente a los bordes del sector, determine la razn entre sus reas.

Solucin.Seanylos radios del sector y del crculo, respectivamente, yel ngulo del sector (en radianes). Una frmula escolar nos dice que el rea del sector circular es, mientras que el rea del crculo es. Luego la razn entre las dos reas es.Ahora bien, adoptando la notacin de la figura, los puntos,yestn alineados debido a la simetra de la figura. Entonces. Ya quees un punto de tangencia, sabemos que el radioes perpendicular a, de donde el tringuloes rectngulo y adems cumple que. En consecuenciay as concluimos que la razn buscada es.Problema 5.Un poliedro convexo tiene por caras 12 cuadrados, 8 hexgonos y 6 octgonos. En cada vrtice concurren exactamente un cuadrado, un hexgono y un octgono. Considere los segmentos de recta que unen dos vrtices del poliedro y determine cuntos de ellos no son aristas ni estn contenidos en alguna cara del poliedro.Solucin.Contemos primero el nmero de vrtices del poliedro. Considerados por separado, cada cuadrado, hexgono y octgono contribuye con 4, 6 y 8 vrtices, respectivamente; en total son. Pero en el poliedro cada vrtice es contado 3 veces en esta suma debido a la hiptesis, por lo que el nmero de vrtices del poliedro es.Una vez conocido este dato, deducimos inmediatamente que pueden trazarsesegmentos entre dos vrtices cualesquiera del poliedro; slo nos falta sustraer el nmero de aristas y de diagonales sobre las caras. Para hallar la primera cantidad, notemos que al contar el nmero de aristas que concurren en cada vrtice obtenemosaristas, algunas de ellas repetidas. Cada arista es contada 2 veces en esta operacin, una por cada uno de los vrtices que une, de donde el poliedro tienearistas. Finalmente, ya que cada cuadrado, hexgono y octgono tiene respectivamente 2, 9 y20 diagonales, vemos que el nmero total de diagonales sobre las caras es, y as el nmero buscado es.Nota.El poliedro considerado en este problema, elcuboctaedro truncado, es un ejemplo de los llamadosslidos arquimedianos, figurasrelacionadas alos slidos platnicos que gozan deun gran atractivo esttico. Un modelo de este objeto decora el encabezado de este mensaje.Acerca de estos anuncios