3
R P R P ∈P R || N |∇ | |∇ | | | § ∈P |∇ | P R P R P⊂ P ∈C R R \ R \ ∈P \ |∇ | \ · L ∈L L ∈L →∞ ©

On validity conditions for the Poincaré inequality

  • Upload
    s-v

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

������� �� ��� ����� ��������� ���� ���� �� �� ��� ��� ����

�� ������� ��������� �� ��� ����� �� ���������

�� �� �������∗ ��� �� �� ��������† ��� ���

��� � � �� �� � � � � �� � ≥ �� ��� � � � ������ �� R�� ��� ��� P� � ��� ����� �� ����������� �� R

� �� ������ ���������� �� �� ��� ���� ��� ����!���� P� ⊂ ����� "��� ����� ������� � ∞# �� ��������� ��� ��� ������� �� �����������$�� %������&� ���'!�����

�{‖ − ‖����� � ∈ P�

} ≤ ��� ‖∇�‖������ ∈ �������

(�!�� ���� ���'!����� �� �'!������ �� ��� ������!��� �� ��� �� ������ ������ → ������ )� ��� ���� �� ��� ��������*� ��� �+������ � � ����� − ��� ��� �� � �� ���� ���� �� ��� ��!�� *��� �!Æ����� ���������� ��� ��� ������� �� ���%������&� ���'!����� �� ������� �� ��,���� ��!�� ��� ����� -� ���������. � �������

�� � � � � ���� �� R�� ��� � � ������ �� ����� � ����� �� � ∈ ��������� ������ ����������� ���

���������� ��� ∈ �����! |�| " �� #����� �� � � � ≥ � ��� � ∈ N! ������ �� � $����� ����� %�� � ��

‖�‖����� & ‖|∇��|‖������

%���� � � �� �� ����� � ��� ���� � � �����! �� �� ���� � �� � ���� �� �� ���

|∇��| "(

|�|��������

) �

��'���� ����� � ��� ����� � � ������� �(������� � ����

) �� %��� *� %� ����! ����! +�! �����,- ��� +.! §/-� �� �� �� ����� ������ �� � ���� ���� ������� �� ����!��� �� ����������� 0 �����1� ���(�����

���{‖�− �‖����� 2 � ∈ P�

} ≤ � �� ‖|∇��|‖������ � ∈ ������� ���

� ��� �� � ������� �� P� ����� � � �� �� � � ��� ����� �� R� � ������ ������ ��� ���

3�� �������� ������ ⊂ ���� �� ���� ������� P� ⊂ ���� ��� ����� �� ������� � ∞� 4� �� % ��

���� � ���� �� ��� ��� ��������� � � �� ������� � ���(����� ��� �� ����� �� " ∗! %���� ∗ " ����−���−�

�� �� ������� �5� ��� �� �� ��� �������� �� ��� � � �� � �� 6�����! �� � �� %��� ������ �� ������

�� �� ! "� ��� �������� ��� �� �� ��� ����� � ⊂ R�� �� �� � �� ���� �� ������ �� � ����� ���� � ∗�

���� ��� ����� ������ �� ���������� ���� � ���� ����� �� ���������� ������� �∞ �� P� ⊂ �����

������ 7��� � ��� %� ����� ��! � ����P�� � ∞! � � ��� � ∈ ������ �� ��8��� �� ��� �� ������ � ������� � ��� ���� ��

��� �� ������� " ∞� 4� ��� ���� �� ��9 ' ����� �

� ∈ C∞�R��� , ≤ � ≤ �� ���� ≡ � �� ��� ���� ≡ , �� R� \�� �.�

����� � �� �� ��� �� R� � ������ � ������� � �� ������ ��� �� ���� " �������

��� � � " � ∩�� 3��� � �� �� �� �� �∣∣��

≡ �! �∣∣�\���

≡ ,� 7�����! � ∈ ������! %����� � ���

���� �5��� � � ��� ���� � ∈ P� ���� ��

‖"− �‖������ & ‖�‖����\���� ≤ � ‖|∇��|‖������ �:�

%���� � � �� � ������ � �� ;���� ‖�‖����\���� � ∞ ���! ���! ‖�‖����� � ∞�3 ������ �� 8�� ��� �� �� ���9���� ���� � �:� %� ���� �� � �� %��� ������

� !!�� ��� ‖ · ‖ �� � �������� �� ����� �� � ������ ��������� ����� L� �� �� ‖�‖ �� ��� ��������� ������� ��� �� � ∈ L� ������

L "{� ∈ L 2 ���

→∞ ‖�‖ � ∞}

∗����������� ��� ������ �� ��� ������� � ���� ��� � ��������� ������������ ���� � ��� ��� ������������������ ���

†����������� �� �� ����������� ������������ ���� � ��� ��� ����� ����������

��������� ���� /����0� �!����0� *������� %12)� ���� ���� ����� ��� �������� ����� ��� �� � !����� "� ��!����� �����

��#�$��#�%��%��&�$��'� ©���� (����� ( � �)* ���� +��� ,�- .��/ '�

�� ������� � �∈ L� ����

���{‖� − �‖ 2 � ∈ L

} ≥ Æ‖�‖� �<�

����� Æ �� � �������� �� ���� ��� �� ��

����� �� ��� ����� ��� � � � �� ������ � L �� ������ �� ��8��� �� �<� ��� ����� �� ‖�‖ ≤.‖�‖ � ���%��� ��� ����� � ��� ���� 5���� � � ��� �� � "

�‖��‖� �� $� �� ��8��� � � �� �������

L! ��� � ��� ‖ · ‖ ��� ���� ���� �(������� � L� 3����� ��! �� ��(����� � �� �����! ��� %� ��� �5���� � �������� ����(������ ��� � � " ���

→∞��

)� ���→∞ ‖�‖ ≤ �

� ! ���

‖� − �‖ " ‖�‖ ·∥∥∥

‖�‖ � −�

∥∥∥≥ ‖�‖ ·

(�− ‖�‖ − ����

)� � → ∞�

��� %� ������ � �<�� )�! ���%���! ‖�‖� � �� � � � �� �! ���

‖� − �‖ ≥ ‖�‖ ·∥∥∥∥

‖�‖ � −�

∥∥∥∥�

≥ ‖�‖ ·(

‖�‖� − ����− ‖�‖�‖�‖

)

� � → ∞�

%���� ��� ����� �<�� 3���! ��� ��(����� � � ����� � ����(����� ��������� �<�! %����� �� %� �� ��(�������� ����8�� ��� � ���� �� �

4� � ����� �� �� � � 3�� ��� �� 3�� ������� � ������� " ∞ ������� ‖"‖������ → ∞ �� � → ∞� $��� �����! %� ����

‖"− �‖������ ≥ Æ‖"‖������ " Æ ·��������

� �

��� ��� ���(����� �:� ����

��������

� ≤ � �−����������

���� �������� ≤ � ��! ��� ���(����� ������� ��

��������

� ≤ ����������

�− �

� " �(��������

)� � → ∞ ���

�� � �� � � %� ��� �� � ���� � � ∗��; %����! ����� � ��� �� ���� ������� �� ������ %�� �� %� � �������! %���� �� ��� ������ 3���!

������� �∞�

6 % %� ���� �� �� P� ⊂ ����� �� �� � ������ �� ����� � ���� " ���� · ��|�|���! %���� � ∈ P� \������� � �� �� ��9 ' ����� � ��8��� �� �.�� ������� � �� ���! %� ��� �� ������

‖�− �‖������ & ‖�‖����\���� ≤ � ‖|∇��|‖����� �=�

� � � �� � ∈ P��) � �� %� �� � �=� �� � ∈ ����� ;����! � �� �����!

‖�− �‖������ ≥ Æ‖�‖������ → ∞� � → ∞

; %����! � �� ���� ��� �� � �� ��8��� � � � �� |∇��| �� ��> ����� � � �−�� ���� ������� � ∞! ������9���� ���� � �=� ��� �� ���� ��> ���! %���� �� ��� ������ 3���! P� ⊂ �����

) ������� � � �� � � ��� ����� � � ∈ ������! �� � ��� ���� � ∈ P� �� ������ �� ��8��� �� ���

����8�� � ∈ ���� ��� �−� ∈ ����� 3����� �� ������ ⊂ ���� �� �� ����� � �� �� ��� 3�� � ������ �

�� �������� ���� � ������ → ���� � �� %� �� � �� �� ��� ����� �� ���� �

6 � �� �� �� � � ��� " ∗! ��� ���(����� ��� ��� � ����� ��� �� � ����� � ��8��� � ����� 7 ��������! � � � " R

� �� � �� %��� �� � ��� � � ����

���#�$�%��� " ���� +:-�� ��� �� � �� ���� ��� �� �������� � ∈ ����R��� ����� ������ � ������� � ∈ P� ����

����

‖�− �‖��∗�R�� ≤ � �� ‖|∇��|‖���R��

'�

3��� �� � ��� � �� ���� ������� �� 3�� ��� � ����� � � �� � � ��� " ∗�

) �� ��� ��������� ��� ��Æ���� ������� � ���� �� � � �� 0 �����1� ���(����� �� � ����� � ��8���� ���� � � �� � � ��� " ∗� 3�� �� ��� �� % ����������� � ����� � +<- �� ��� � � � " �� 6 � ��0� � ��� � � � �� %� �� � ��

�� �� ! &� ��� �� � �� �� �� � �� � ����� �� R� ���� �� �� ���������� �� ��� ��� �� � �������� ���

�� ���� � ������ {��}∞��� ���� ���� �� � ���� ������ ���� ��� �� ����� ��� ��� �������!� �������"�

��������

���{‖�− �‖��∗ ���� 2 � ∈ P�

}≤ � ‖∇��‖������ ���

�� � ���� � �� ���� ��� �� �� ���� ��� ��� ����� �� �������� ��� �� � �����

������ �� � ∈ ������� 3��� � ∈ ������� � � ��� � ≥ �� ��� � � �� �� � ��� ���� �� P�! �� ������ �� ��8���

�� ���� 4� �� % �� �� ��(����� {��} � ����� � ����(����� � �������� � � ��� ���� � ∈ P� ������������(����� ���� )�����! ����� �� ;? ���� ���(�����! %� ���

�������

��

|�− ��|�� ≤ ‖�− ��‖��∗ ����

��������

�∗ �@�

���� ���(����� ��� � ��� �� ��! %� ����

‖�− ��‖��∗ ���� ≤ � ‖∇��‖������ ≤ � ‖∇��‖�����

3���! �� ���9���� ���� � �@� �� ����� ���� ���� %���� �� ;���� �� ��(����� {��} �� �����! ��� ����� ������ �5��� � ����(����� {���} � �������� � � ��� ���� � ∈ P��

�� � ���� � � �� ������ � � � �� �� 4� ����

���� ���|���� − ������|∗ → �����|���� − � ���|∗

����� �� 7� � ����� ��� ���(����� ���! %� ��∫

|����− � ���|∗ �� ≤ ��� ����→∞

���� ���|���� − ������|∗��

≤ ����→∞ �

∗ ‖∇��‖

������ � " �∗ ‖∇��‖

������

��� �� ������ � �� %�� �

3�� 8�� ��� � %�� ���� ��� � �� #7$# ���� �.9,�9,,<:/ ��� � �� �0������� ��������� ����=�:@�=�,�.,�:�

3�������� � A� )� 6���� ��

��� ����

�� B� C� D��E��! � �� ����# ����� +�� #������-! ���������� �����! ��������� ��/@���.� � �� ���! ��� $���������� �� %�������� $����� �� &���������� ������ +�� #������-! ��� :! 6��*�!

D �� % ��/@@��

:� � �� ���! F3�� ������ � 8��� ����� �� �� �� ����� ����� ����!G ��� &��� '�����! '! =�:H=@. ��/=:��

<� #� ;����9 ��>?����! F�� ����� 0 �����1� � �����!G $���� $�� ����� ����������� %�������� ����� $� ��

&����������! "(! <,/H<.: ��//.��

'�