Ondas de Materia Ecuación de Schrödinger  

Física 3 ‐2011 Facultad de Ingeniería UNMDP 

Problemas abiertos de la física clásica a fines del siglo XIX  Antecedentes de la mecánica cuántica 

Radiación de cuerpo negro  Efecto fotoeléctrico 

• Todo cuerpo a temperatura mayor a 0K emite radiación en todo el espectro de frecuencias. 

• El espectro de emisión depende  tanto de la frecuencia como de la temperatura. 

•  Un cuerpo negro modela un cuerpo que es capaz de absorber  toda la radiación que incide sobre él. 

• Luz incidente sobre un metal con una frecuencia mayor a cierto umbral produce una corriente. 

• La corriente aparece en forma casi instantánea, aun para luz de muy baja intensidad. 

• La corriente es proporcional a la intensidad que llega a la superficie del metal. 

Observaciones experimentales 

Conforme la temperatura aumenta crece la potencia emitida y el pico de la distribución se corre hacia longitudes de onda mas cortas, del 

infrarrojo al ultravioleta. 

Radiación de cuerpo negro Observaciones experimentales 

Termografía 

Todo cuerpo con temperatura  T >0K emite radiación. 

Radiación de cuerpo negro Predicciones de la teoría clásica y la solución de Planck 

Predicción de la teoría clásica 

La teoría  del electromagnetismo clásico, predice que un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico 

debe emitir energía en todos los rangos de frecuencia; de manera que a mayor frecuencia, mayor energía.  Esto da a lugar al fenómeno conocido como catástrofe del ultravioleta. 

Teoría de Planck (1900) 

Solución Un cuerpo negro puede emitir radiación en paquetes discretos o cuantos, con energías,que son múltiplos de la energía  

                     E = hf donde h es una constante y f es la  

frequencia de la radiación.

h = 6.62 x 10‐34 Joule sec Surge así una nueva constante fundamental de la naturaleza, que determina dónde cobran 

relevancia los fenómenos a escala microscópica.

Efecto fotoeléctrico Ratifica el concepto de “cuanto” que surge  en la teoría de Planck 

Solución 

Predicción de la teoría clásica 

Con el electromagnetísmo clásico no era posible explicar la existencia de una frecuencia umbral ni la emisión cuasi‐instantánea de los fotoelectrones. 

Teoría de Einstein (1905) • La luz está compuesta por partículas llamadas fotones • Así un fotón al interactuar con el electrón tiene una Energía E=hf . Producto de esta interacción la energía final del electrón será Ek = hf – φ,  donde φ es la función trabajo del metal. Dado que el evento es una colisión, la emisión es instantanea y la generación de fotoelectrones es uno a uno con respecto a los fotones incidentes. 

Otras evidencias de los fotones La prolongada exposición a rayos UV generan cáncer de piel (MELANOMA) dado que la energía de los fotones UV (~ 1eV) está en el orden de la uniones química en las moléculas de nuestro ADN; no así la de su celular RF (~ 0.06meV) Nuestro ojo detecta colores gracias a que fotones de distintas energías disparan reacciones químicas diferentes en las células de nuestra retina. 

La luz es una ONDÍCULA Curiosidades acerca de la dualidad de la luz 

ONDÍCULA

 

Evolución de nuestro conocimiento acerca de la naturaleza de la luz 

Teoría corpuscular de Newton (1704) 

Modelo corpuscular 

Fenómenos de Interferencia y difracción de Luz no podían ser 

explicados por el modelo corpuscular. 

Teoría ondulatoria Huygens,Young, Fresnel, 

Arago (1790) 

Teoría de EF (Fotón) Einstein (1905) 

Longitud de onda piloto de de Broglie

Constante de Planck

Momento de la partícula

Louis V. de Broglie presenta su tesis doctoral en 1923, en la que sugiere que las partículas con masa deberían tener propiedades ondulatorias similares a la luz.

La longitud de onda para las ondas de materia se conoce como longitud de onda piloto de de Broglie

Si la luz puede actuar como una partícula (Fotón) . ¿Por qué no 

podrán las partículas de materia comportarse también 

como ondas?  

¿Serán ONDÍCULAS las partículas de materia? Hipótesis de de Broglie 

Nuestro conocimiento tradicional de partícula referencia a algo que está “LOCALIZADO”‐ confinado en el espacio con una posición y un momento definido. 

Partícula  Onda 

Nuestro conocimiento tradicional de una onda está  relacionado con algo “DE‐LOCALIZADO”‐ disperso en el espacio y el tiempo 

¿Cómo podríamos representar tanto a una onda como a una partícula? 

Paquete de onda 

Sobre las ondas y las partículas  Conceptos y paquete de onda 

Vf =ωk=ωk

=EP=P22mP

=P2m

=Vp

2

Las  velocidades  de  las  ondas  individuales  que  se  superponen  para  formar  el paquete  de ondas  son diferentes  de modo que  el  paquete,  como un  todo,  tiene una velocidad diferente a la de sus componentes. • Velocidad de  fase  (Vf):  La  velocidad a  la que  la  fase de  la onda  se propaga en el espacio. • Velocidad  de  grupo  (Vg):  La  velocidad  a  la  que  la  envolvente  del  paquete  de ondas se propaga.

Paquetes de onda Velocidad de fase y grupo 

•  Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la dualidad onda‐partícula de la materia y la radiación y es inherente a su naturaleza cuántica. •  Una de las desigualdades postula, que la posición y el  momento de un objeto no están definidos con exactitud simultáneamente. 

Posición / momento  Energía / tiempo 

Posición / momento  y  Energía /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas 

Dos  consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son: 

• La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico • La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador 

Desigualdades de Heisenberg Velocidad de fase y grupo 

Interferencia de doble rendija Trabajando con partículas y ondas 

Ondas 

Partículas Esperamos que las partículas pasen por la rendija (1) ó (2). Observamos asi un patrón que se correponde 

con la suma de las figuras de difracción 

Patrón de Interferencia de electrones 

Si se mide la distribución de eletrones sobre una superficie detectora conforme pasa el tiempo, se observa un patrón de interferencia. Esto indica que los electrones no pudieron haber pasado por (1) o por (2) tal lo suponemos para una partícula sino que debieron pasar por (1) y (2). 

La hipótesis de de Broglie se cumple.

¡¡Los electrones son ondículas!!

Esto fué verificado por Davidsson & Germer de los Bell Labs (1926) 

Debemos buscar una ecuación para modelar la dinámica de las ondículas 

F=ma como  consecuencia de las desigualdades de Heisenberg 

• La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico 

Pues

¿Entonces? 

Ecuación de onda clásica 

Ecuación de Onda Simetrías

x -x

Inversión espacial (reflexión)

t -t Inversión temporal

Soluciones Relacion de dispersión 

Energía de una partícula en 1D

En busca de una ecuación que describa la dinámica de las ondículas 

Solución

Ecuación de Schrödinger en 1D

Planck

De Broglie

Función compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

La ecuación de Schrödinger dependiente de t Algunos comentarios 

•  La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo no nula y velocidad mucho menor que c) 

•  La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de onda clásica, es  de primer orden en el tiempo. En este sentido se corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que modela un proceso irreversible.  

•  Sus soluciones son funciones complejas de variable real a diferencia de las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e imaginaria son soluciones. Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las podemos medir directamente).

Solución

Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del un punto x en un tiempo t es igual a

Ψ(x,t)

2δx δ x→0⎯ →⎯⎯

x=a

b

∑ Ψ(x,t)2dx

a

b

∫

Ψ(x,t)

2δx

Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?

Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es proporcional  a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.  

Así la probabilidad total de encontrar a la partícula entre dos posiciones a y b es

a b

|Ψ|2

x

δx

Max Born

Interpretación de la función de onda Interpretación de Born 

Ψ

2= Ψ*Ψ

Conservación del flujo de probabilidad Otras propiedades interesantes 

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que éstas son complejas entonces:

Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.

(1) (2)

Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |Ψ(x,t)|2, simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por Ψ* y (2) por Ψ.

Pantalla 

detectora 

Flujo incidente de partículas coherentes, o luz 

d sinθ

D

θ

y Ψ1

Ψ2

Ψ = Ψ1 +Ψ2

Ψ

2= Ψ1

2+ Ψ2

2+Ψ

1

*Ψ2 +Ψ1Ψ 2

*

Término correspondiente  a las “partículas” usuales

Término de  interferencia 

Reintrerpretando la interferencia de doble rendija