Ondas de MateriaEcuación de Schrödinger

Física 3 -2011Facultad de Ingeniería UNMDP

Problemas abiertos de la física clásica a fines del siglo XIX Antecedentes de la mecánica cuántica

Radiación de cuerpo negro

Efecto fotoeléctrico

•Todo cuerpo a temperatura mayor a 0K emite radiación en todo el espectro de frecuencias.

•El espectro de emisión depende tanto de la frecuencia como de la temperatura.

• Un cuerpo negro modela un cuerpo que es capaz de absorber toda la radiación que incide sobre él.

•Luz incidente sobre un metal con una frecuencia mayor a cierto umbral produce una corriente.

•La corriente aparece en forma casi instantánea, aun para luz de muy baja intensidad.

•La corriente es proporcional a la intensidad que llega a la superficie del metal.

Observaciones experimentales

Conforme la temperatura aumenta crece la potencia emitida y el pico de la distribución se corre hacia

longitudes de onda mas cortas, del infrarrojo al ultravioleta.

Radiación de cuerpo negroObservaciones experimentales

Termografía

Todo cuerpo con temperatura

T >0K emite radiación.

Radiación de cuerpo negroPredicciones de la teoría clásica y la solución de Planck

Predicción de la teoría clásica

La teoría del electromagnetismo clásico, predice que un cuerpo

negro ideal en equilibrio térmico debe emitir energía en todos los rangos de frecuencia; de manera que a mayor

frecuencia, mayor energía. Esto da a lugar al fenómeno conocido como

catástrofe del ultravioleta.

Teoría de Planck (1900)

SoluciónUn cuerpo negro puede emitir radiación en paquetes discretos o cuantos, con energías,que son múltiplos de la energía

E = hfdonde h es una constante y f es la

frequencia de la radiación.

h = 6.62 x 10-34 Joule secSurge así una nueva constante

fundamental de la naturaleza, que determina dónde cobran relevancia

los fenómenos a escala microscópica.

Efecto fotoeléctricoRatifica el concepto de “cuanto” que surge en la teoría de Planck

Solución

Predicción de la teoría clásica

Con el electromagnetísmo clásico no era posible explicar la

existencia de una frecuencia umbral ni la emisión cuasi-

instantánea de los fotoelectrones.

Teoría de Einstein (1905)•La luz está compuesta por partículas llamadas fotones•Así un fotón al interactuar con el electrón tiene una Energía E=hf . Producto de esta interacción la energía final del electrón seráEk = hf – donde es la función trabajo del metal. Dado que el evento es una colisión, la emisión es instantanea y la generación de fotoelectrones es uno a uno con respecto a los fotones incidentes.Otras evidencias de los fotones

La prolongada exposición a rayos UV generan cáncer de piel (MELANOMA) dado que la energía de los fotones UV (~ 1eV) está en el orden de la uniones química en las moléculas de nuestro ADN; no así la de su celular RF (~ 0.06meV)Nuestro ojo detecta colores gracias a que fotones de distintas energías disparan reacciones químicas diferentes en las células de nuestra retina.

La luz es una ONDÍCULACuriosidades acerca de la dualidad de la luz

ON

DÍC

ULA

Evolución de nuestro conocimiento acerca de la naturaleza de la luz

Teoría corpuscular de Newton (1704)

Modelo corpuscular

Fenómenos de Interferencia y difracción

de Luz no podían ser explicados por el modelo

corpuscular.

Teoría ondulatoria Huygens,Young, Fresnel, Arago

(1790)

Teoría de EF (Fotón)Einstein (1905)

p

hB Longitud de onda

piloto de de Broglie

Constantede Planck

Momento de la partícula

Louis V. de Broglie presenta su tesis doctoral en 1923, en la que sugiere que las partículas con masa deberían tener propiedades ondulatorias similares a la luz.

La longitud de onda para las ondas de materia se conoce como longitud de onda piloto de de Broglie

Si la luz puede actuar como una partícula

(Fotón) . ¿Por qué no podrán las partículas

de materia comportarse también

como ondas?

¿Serán ONDÍCULAS las partículas de materia?Hipótesis de de Broglie

Nuestro conocimiento tradicional

de partícula referencia a algo que

está “LOCALIZADO”- confinado

en el espacio con una posición y

un momento definido.

Partícula Onda

Nuestro conocimiento tradicional

de una onda está relacionado con

algo “DE-LOCALIZADO”- disperso

en el espacio y el tiempo

¿Cómo podríamos representar tanto a una onda como a una partícula?

Paquete de onda

Sobre las ondas y las partículas Conceptos y paquete de onda

Vf =

ωk=

hωhk

=EP=

P2

2mP

=P2m

=Vp

2

Las velocidades de las ondas individuales que se superponen para formar el paquete de ondas son diferentes de modo que el paquete, como un todo, tiene una velocidad diferente a la de sus componentes.•Velocidad de fase (Vf): La velocidad a la que la fase de la onda se propaga en el espacio.•Velocidad de grupo (Vg): La velocidad a la que la envolvente del paquete de ondas se propaga.

pg Vm

P

m

P

dP

d

dP

dE

kd

d

dk

dV

2)(

)( 2

ωω

Paquetes de ondaVelocidad de fase y grupo

• Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la dualidad onda-partícula de la materia y la radiación y es inherente a su naturaleza cuántica. Una de las desigualdades postula, que la posición y el momento de un objeto no están definidos con exactitud simultáneamente.

2

hpx x

2

htE

Posición / momento Energía / tiempo

Posición / momento y Energía /tiempo se conocen con el nombre de variables

conjugadasDos consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son:

•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico•La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador

Desigualdades de HeisenbergVelocidad de fase y grupo

Interferencia de doble rendijaTrabajando con partículas y ondas

Ondas

PartículasEsperamos que las partículas pasen por

la rendija (1) ó (2). Observamos asi un patrón que se correponde con la suma

de las figuras de difracción

Patrón de Interferencia de electrones

Si se mide la distribución de eletrones sobre una superficie detectora conforme pasa el tiempo,se observa un patrón de interferencia. Esto indica que los electrones no pudieron haber pasado por (1) o por (2) tal lo suponemos para una partícula sino que debieron pasar por (1) y (2).La hipótesis de de Broglie se cumple.

¡¡Los electrones son ondículas!!

Esto fué verificado por Davidsson & Germer de los Bell Labs (1926)

Debemos buscar una ecuación para modelar la dinámica de las ondículas

F=macomo consecuencia de las desigualdades de

Heisenberg•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico

2

2

2

2 ),(),(

t

txE

x

txEoo

2

pf

V

kV

ωPues

¿Entonces?

Ecuación de onda clásica

2

2

2

2 ),(),(

t

txE

x

txEoo

Ecuación de Onda Simetrías

2

2

)()( xxx

x -x

Inversión espacial (reflexión)

t -t 2

2

)()( ttt

Inversión temporal

Soluciones

)(),(

)(),(

)(),(

tkxietxE

tkxCostxE

tkxSentxE

ω

ωω

kck )(ωRelacion de dispersión

)(2

2

xVm

PE

Energía de una partícula en 1D

En busca de una ecuación que describa la dinámica de las ondículas

)(2

22

xVm

k

ω

)(exp),( tkxitx ω ti 2

22

x

Solución

)(2 2

22

xVxmti

Ecuación de Schrödinger en 1D

ωEPlanck

khp De Broglie

),( tx Función compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

La ecuación de Schrödinger dependiente de tAlgunos comentarios

• La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo no nula y velocidad mucho menor que c)

• La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de onda clásica, es de primer orden en el tiempo. En este sentido se corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que modela un proceso irreversible.

• Sus soluciones son funciones complejas de variable real a diferencia de las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e imaginaria son soluciones.Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las podemos medir directamente).

Solución

Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del un punto x en un tiempo t es igual a

Ψ(x,t)

2δx δx→ 0⏐ →⏐ ⏐

x=a

b

∑ Ψ(x,t)2dx

a

b

∫

Ψ(x,t)

2δx

Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?

Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es proporcional  a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.

Así la probabilidad total de encontrar a la partícula entre dos posiciones a y b es

a b

|Ψ|2

x

δx

Max Born

Interpretación de la función de ondaInterpretación de Born

Ψ

2=Ψ*Ψ

Conservación del flujo de probabilidadOtras propiedades interesantes

)(2 2

22

xVxmti

*2

*22*

)(2

xVxmti

tJ

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que éstas son complejas entonces:

Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.),( tx ),(* tx

(1) (2)

Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |Ψ(x,t)|2, simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por Ψ* y (2) por Ψ.

2|),(| tx

xxm

iJ

**

2

Pantalla

detectora

Flujo incidente de partículas coherentes, o luz

d sinθ

D

θ

y Ψ1

Ψ2

Ψ =Ψ1 +Ψ2

Ψ

2=Ψ1

2+ Ψ2

2+Ψ

1

*Ψ2 +Ψ1Ψ 2

*

Término correspondiente a las “partículas” usuales

Término de interferencia

Reintrerpretando la interferencia de doble rendija