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Oscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingenieríaIngeniería Industrial
Primer Curso
ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Tema : Ondas
Introducción: ondas mecánicas
Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia
Ondas en el agua, ondas de sonido…Clasificación según el medio de propagación:
Mecánicas: perturbación de un medio. Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda…
Electromagnéticas: no requieren un medio.Luz, rayos X, ondas de radio…
transmiten energía
Ondas mecánicas
La formación y propagación de una onda mecánica requiere:
Una fuente de perturbaciónEj: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbadoEj: El agua
Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio
Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua
2
Ondas transversales y longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
Ondas transversales y longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
4
Función de ondaPulso que viaja en una cuerda:
y
yx
x
0t =( , 0) ( )y x t f x= =
( , ) ( )y x t f x vt= −
P v
t
vt
P′
Px
P Px x vt′ = + ( ) ( )P Pf x vt f x′→ − =
Función de onda
Función de onda
Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl signo positivo indica onda viajando hacia xdecreciente (la izquierda en nuestro diagrama)Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso
( , ) ( )y x t f x vt= ±
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidales
Descripción y representaciónEcuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas
6
6
Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud
Longitud de onda (λ): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):
Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio
y
x
λ λ A
Frecuencia ( f ): frecuencia del MAS de cada partícula del medio:
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia λ:
Ondas sinusoidales: frecuencia y velocidad
y
t
T1
fT
=
vT
λ= CUIDADO: No confundir v con vy
7
7
Ondas sinusoidales: representación matemática
x
y
( )( ,0) seny x A kx= + δ
2k
π=
λNúmero de onda (m-1)
δ Constante de fase
• En t=0:
Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada λ y cuyo valor en x=0 es Asen(δ)
Ondas sinusoidales: representación matemática
En un instante t:
Signo +: onda que viaja hacia x decrecienteSigno -: onda que viaja hacia x creciente
Donde:
Entonces:
( , ) ( ,0)y x t y x vt= ± ( )senA kx kvt= ± + δ
2 2kv
T T
π λ π= = = ω
λFrecuencia angular
( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ
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Ondas sinusoidales: resumen
( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ
• Amplitud:
• Longitud de onda:
• Frecuencia:
•Velocidad de la onda:
1f
T=
λ
A
v fT
λ= = λ
2k
π=
λ
22 f
T
πω = = π frecuencia angular
k
ω=
número de onda
Ecuación de onda lineal( , ) sen( )y x t A kx t= ± ω + δ
cos( )y
yv A kx t
t
∂= = ±ω ± ω + δ
∂2
22
sen( )y
ya A kx t
t
∂= = −ω ± ω + δ
∂
cos( )y
kA kx tx
∂= ± ω + δ
∂2
22
sen( )y
k A kx tx
∂= − ± ω + δ
∂
2 2
2 2 2 2
1 1y y
k x t
∂ ∂=
∂ ω ∂2 2 2
2 2 2
y k y
x t
∂ ∂=
∂ ω ∂
2 2
2 2 2
1y y
x v t
∂ ∂=
∂ ∂
9
Ecuación de onda lineal
Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda linealOndas armónicas son una posible soluciónSolución general: onda viajera
2 2
2 2 2
1y y
x v t
∂ ∂=
∂ ∂
( , ) ( )y x t f x vt= ±
Es solución de la ecuación de ondas lineal
Ecuación de onda lineal
2 2
2 2 2
1y y
x v t
∂ ∂=
∂ ∂
2 2 2
2 2 2
y f f
x x
∂ ∂ ∂φ ∂= =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
( , ) ( )y x t f x vt= ±
y f f
x x
∂ ∂ ∂φ ∂= =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
• Demostración: x vtφ = ±Fase:
y f fv
t t
∂ ∂ ∂φ ∂= = ±
∂ ∂φ ∂ ∂φ
2 2 22
2 2 2
y f fv v
t t
∂ ∂ ∂φ ∂= ± =
∂ ∂φ ∂ ∂φ
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerdaOnda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a λ pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.Ondas mecánicas lineales:
Su velocidad depende solamente de las propiedades del medio a través del que se muevenOndas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad
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Velocidad de las ondas: onda en una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadSi usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta
Para una cuerda homogénea:
tF
tFv =
μdm
dLμ = → densidad de masa lineal
m
Lμ =
L
m
Velocidad de las ondas: ondassonoras
Bv =
ρ
Módulo de compresibilidad:
Densidad de masa
PB
V V
Δ= −
Δ
Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:
Ondas de sonido en un fluido
v =(propiedad elástica del medio)(propiedad inercial del medio)
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Velocidad de las ondas: ondassonoras
Bv =
ρ343Aire (20º C)331Aire (0º C)
1482Agua (20ºC)1402Agua (0º C)
1286Hidrógeno (0º C)
v (m/s)Medio
BT∝
ρ
En un gas:
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago83 10 m/s >> c v= × Desprecio el retraso de la luz
0.33 km/sv ≈ 0.333
km s kms
xd vt x= = =
Velocidad de las ondas: observaciones
La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la mismaLa velocidad de la onda depende del medioLa longitud de onda se obtiene de: v
fλ =
Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf ≈
5
14821.5
10
m/s cm 1/s
v
fλ = = ≈
Agua a 20º C
13
14
ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Onda en una cuerda: energía transmitida
Una onda que se propaga en un medio transporta energía:
Un trozo de corcho sube y baja en el aguaUn pulso en una cuerda puede levantar una masa
Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdaVamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino
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Onda en una cuerda: energía transmitida
sent t t tP F v Fv= ⋅ = − θ
Potencia:
Ondas lineales A<<λ sen tan θ << → θ ≈ θ ≈ θ
tant t t
y yP Fv F
t x
∂ ∂= − θ = −
∂ ∂Válido para cualquier forma de onda
( , ) sen( )y x t A kx t= − ω
[ ][ ]cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t= − − ω − ω − ω2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t= μ ω − ω2v μ
vω
Onda en una cuerda: energía transmitida
Potencia promedio:
Es la mitad de la potencia instantánea máxima: general para ondas sinusoidales
2 2 2
0 0
1
2
1 1( , ) cos ( )
T T
mP P x t dt v A kx t dtT T
=
= =μ ω − ω∫ ∫
2 21
2mP v A= μ ω
2 2,mP A∝ ω
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Onda en una cuerda: energía transmitida
Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:
m m m
xE P t P
v
Δ= Δ =
2 21
2mE A x= μω Δ
La energía viaja a la velocidad de la onda
ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonido
Onda de desplazamiento y onda de presiónEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
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Ondas de sonido
Ondas longitudinalesOndas sonoras armónicas: desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio:
El desplazamiento de las moléculas provoca variaciones de la densidad y presión del aire: onda de presión y onda de densidad
0( , ) sen( )s x t s kx t= − ω
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al equilibrio
Movimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
• s=0: partícula en su posición de equilibrio (x1 y x3)
• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de equilibrio
• s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición de equilibrio
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Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al equilibrio
movimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
La onda de densidad estádesfasada 90º respecto a la
onda de desplazamiento
Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al equilibrio
movimiento de las partículas un instante T/4 antes
Posición de las partículas
Densidad del aire
Onda de presión
0( , ) sen( )2
p x t p kx tπ
= − ω −
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Ondas de sonido
Relación entre las amplitudes de presión y de desplazamiento
0 0p v s= ρ ω
densidad de equilibrioDonde: velocidad de la onda v
ρ →⎧⎪ →⎨⎪⎩ 0 velocidad longitudinal máximasω →
¿De qué orden es la amplitud de desplazamiento máxima que puede soportar el oído humano?
Ondas de sonido: aplicación
Frecuencias de sonido audible para el hombre: 20 Hz – 20000 Hz
Frecuencias mayores: ultrasonidosFrecuencias menores: infrasonidos
Máxima amplitud de presión que el oído humano puede tolerar: 28 Pa
( ) ( )0
0
2811
343 1.21 2 10003
Pa m m/s kg/m Hz
ps
v= = = μ
ρω π
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Efecto Doppler
Cambio en la percepción del sonido cuando existe movimiento relativo entre emisor y receptor
Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policíaDebe su nombre al físico austriaco Christian J. Doppler (1803-1853)Causa: diferencia entre la frecuencia percibida por el receptor ( fr ) y la emitida por la fuente ( ff )
Efecto asociado a todo tipo de ondas
20
• Cuando el receptor y la fuente se acercan los frentes de onda se juntan: fr > ff
• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentes de onda se separan: fr < ff
Efecto Doppler
Efecto Doppler
Fuente y receptor estáticos
F R
λv
λ
• Tiempo emisión entre frentes de onda:
• Velocidad de los frentes de onda:
• Distancia entre frentes:
• Tiempo entre frentes:
• Frecuencia recibida:
v
1f
f
Tf v
λ= =
1r
r
vf
T= =
λr ff f=
rTv
λ=
21
Efecto Doppler
Receptor en movimiento
F R
λv
rv
• Tiempo entre frentes:
• Frecuencia recibida:
• R se acerca a F ( ):
• R se aleja de F ( ):
• Si :
rr
Tv v
λ=
+
rr
v vf
+=
λ
0rv >
0rv <
r ff f>
r ff f<
0rv = r ff f=
rr f
v vf f
v
+=
Efecto Doppler
Fuente en movimiento
RF fv
• Velocidad de los frentes:
• Distancia entre frentes:
• Frecuencia recibida:
r f fv Tλ = λ −
rλ
v
v
f fv T
F′
r ff f f
v vf f
v T v v= =
λ − −
Si F se aleja de R: 0fv <
22
Efecto Doppler: ecuación general
Si receptor y fuente están en movimiento:
Cuando F se mueve hacia R: vf > 0, en caso contrario vf < 0Cuando R se mueve hacia F: vr > 0, en caso contrario vr < 0
rr f
f
v vf f
v v
+=
−
Las velocidades vf y vr se miden respecto al aire
Efecto Doppler: ondas de choque
Si Esta ecuación no sirve para Si las ondasse concentran tras el foco y forman una onda de choque
rr f
f
v vf f
v v
+=
−
f rv v f= ⇒ = ∞ ó r fv v v v≥ ≥
fv v>
23
Efecto Doppler: ondas de choque
Efecto Doppler: ondas de choque
Cono de Mach
Ángulo de Machθ
Tangente común de todos los frentes de onda
Estampido sónico
24
Efecto Doppler: ondas de choque
v tΔ
fv tΔ
θ
senf f
v t v
v t v
Δθ = =
Δ
Número de Mach
• Δt: tiempo desde la emisión del frente de ondas en P
• Espacio recorrido por el avión: vf Δt
• Espacio recorrido por el frente de ondas: vΔt
fvv
P
Efecto Doppler: ondas de choque
25
Efecto Doppler: ondas de choque
Vehículo THRUST SSC superando el récord de velocidad terrestre (Mach 1,020)
Efecto Doppler: ondas de choque
Bala desplazándose con un número de Mach 2,4526
ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondas
Reflexión totalTransmisión
Superposición de ondas
Reflexión y transmisión de ondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinitoVamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.Fenómenos relacionados:
Reflexión: onda que regresaEjemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio
Ejemplo: luz en el agua27
Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido
Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión-transmisión: onda en una cuerdaCuerda pesadaunida a otra másligera
Cuerda ligera unida a otra máspesada
Onda reflejada no se invierte
Onda reflejada es invertida
Reflexión y transmisión de ondas
Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente
Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante
Ejemplo: oído interno de los pecesSi las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante
Ejemplo: radiocomunicación
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Principio de superposiciónInterferencia de ondas armónicas
Superposición de ondas
En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente
Ejemplo: varias personas hablando a la vezPrincipio de superposición:
Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas
Cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones provocadas por cada onda
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Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen
Onda resultante con la misma f y λLa amplitud depende de δ (diferencia de fase)
Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
= − ω= − ω + δ
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx tδ δ+ = − ω +
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b − ++ =( Donde hemos usado:
31
31
Onda 1
Onda 2 Onda resultante
Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
Si δ=0, cos(δ/2)=1 y A’=2A; interferencia constructiva
Si δ=π, cos(δ/2)=0 y A’=0; interferencia destructiva
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx tδ δ+ = − ω +
Onda 2
Onda 1
Onda resultanteA′
Resumen del tema (I)
Onda: perturbación que se propaga sin transmisión de materia. La ondas mecánicas son las que requieren de un medio material para propagarse.Una forma de onda que se propaga sin deformarse se denomina onda lineal, tiene la ecuación f(x±vt) y es solución de la ecuación de ondas lineal.La ondas sinusoidales son una solución particular de la ecuación de ondas lineal. La velocidad de una onda lineal sólo depende del medio en que se propaga, pero no de su frecuencia.La energía transmitida por una onda aumenta con el cuadrado de su amplitud y de su frecuencia.
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Resumen del tema (II)
El efecto Doppler:Es un cambio en la frecuencia de la onda percibida respecto a laemitidaSe produce en todos los tipos de onda cuando existe movimiento relativo entre el emisor y el receptor
Cuando una onda atraviesa la superficie de separación entre dos medios en los cuales se propaga a diferente velocidad aparecen los fenómenos de reflexión y transmisión.El principio de superposición para ondas lineales:
Es una consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondasEstablece que cuando dos o más ondas se combinan en un determinado punto la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones provocadas por cada onda
Se denomina interferencia al fenómeno que se produce cuando se superponen dos o más ondas.
33