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ONDE ELETTROMAGNETICHE
•Le onde;•Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde per il campo e.m.;•La propagazione del campo e.m.;•Onde e.m. piane•Polarizzazione delle onde e.m.;•Onde e.m. sferiche;•Flusso di energia (vettore di Poynting).
Le onde e la loro equazione
Se prendiamo una funzione y=f(x) e ne consideriamo la sua traslazione verso ladirezione positiva dell’asse x di una quantità aotteniamo la funzione y=f(x-a) .
Se a=vt, dove v è la velocità e t è il tempo
la funzione y=f(x-vt) rappresenta la curva yche si muove verso destra con una velocitàv detta velocità di fase.
Analogamente y=f(x+vt) rappresenta la curva yche si muove verso sinistra con una velocità v.
Quindi l’espressione matematica
)(),( vtxftxy
è in grado di descrivere uno stato fisico che sipropaga senza deformazione lungo l’asse x,
questo tipo di propagazione viene detta onda.
L’equazione differenziale che descrive il motodi un’onda che si propaga in direzione x a velocità v è
2
22
2
2
x
yv
t
y
La soluzione generale è del tipo:
)()(),( 21 vtxfvtxftxy
DALLE EQUAZIONI DI MAXWELLALLE EQUAZIONI DELLE ONDE
Prendiamo una zona di spazio in cui c’è uncampo elettrico con linee di forza giacenti sulpiano XY e un campo magnetico con linee diforza giacenti sul piano XZ (cioè i due campisono perpendicolari, situazione che ha unanotevole generalità se ci ricordiamo le leggidi Maxwell che legano E a B e viceversa).
Prendiamo il rettangolo di vertici RSPQ nelpiano XY e applichiamo la legge di Faraday-Henry con percorrenza in senso antiorario:
EdydyEldE
dxdyBSdB
RSPQL
RSPQS
B
'
dx
dE
dt
dB
dEdydyEEBdxdydt
d
'
L
B ldEdt
d
Da cui otteniamo:
Prendiamo adesso il rettangolo di vertici RSPQ nel piano XZ e applichiamo la legge di Ampere-Maxwell con percorrenza in senso antiorario:(senza correnti) E
L dt
dldB 00
dzBBdzldB
dxdzESdE
RSPQL
RSPQS
E
'
dx
dB
dt
dE
dBdzdzBBEdxdzdt
d
'
00
00
Vediamo di utilizzare i due risultati ottenuti dalle leggi di Faraday-Henry e Ampere-Maxwell:
dx
dB
dt
dE 00
dx
dE
dt
dB
Derivando la prima rispetto al tempo e la secondarispetto la coordinata x, sostituendo otteniamo:
2
2
002
2
dt
Bd
dx
Bd
Derivando la prima rispetto a x e la seconda rispettoal tempo, sostituendo otteniamo:
2
2
002
2
dt
Ed
dx
Ed
Cioè sia campo magnetico che campo elettricosoddisfano all’equazione delle onde
2
22
2
2
x
yv
t
y
Ricordando che la costante che appare nelleequazioni è il quadrato dell’inverso della velocità di propagazione dell’onda
200
1
c
Otteniamo che la velocità di propagazionedelle onde e.m. nel vuoto è una costante chevale:
smc /1031 8
00
Una soluzione valida per i campi E e B che si propagano nel vuoto con direzionelungo l’asse x diventa:
)(),(
)(),(
ctxBtxB
ctxEtxE
In conclusione abbiamo trovato che:
• il campo elettromagnetico soddisfa all’equazionedelle onde;• il campo E e il campo B sono perpendicolaril’uno all’altro;• la velocità di propagazione dell’onda e.m. nelvuoto vale ed è una costante.
Inoltre, la direzione di propagazione è data dal prodotto vettoriale BE
00
1
c
N.B. un fronte d’onda è una superficie sulla quale, ad un certo istante di tempo, campi elettrici e magnetici risultano costanti
Onde elettromagnetiche pianeUn caso particolare per la soluzione E e B per l’equazione delle onde e.m. è dato dalle funzioniarmoniche. Prendiamo come al solito la direzionedi propagazione parallela all’asse X, il campo E parallelo a Y, quello B parallelo a Z.
ctxksinBctxBtxB
ctxksinEctxEtxE
0
0
)(),(
)(),(
Dove:T
kck
2
2 ; 2
lunghezza d’onda (parametro di periodicità spaziale)K=2 vettore d’ondaT periodo di oscillazione (par. di periodicità temporale) frequenza oscillazione
Tkc
dx
dE
dt
dB
)(),(
)(),(
ctxBtxB
ctxEtxE
dx
dB
dt
dE 00
Inserendo le soluzioni ammesse per i campiE e B nelle equazioni ottenute dalle leggi diFaraday-Henry e Ampere-Maxwell:
Si ottiene una relazione generale tra i modulidei campi:
),(),( tPcBtPE
Da questa relazione vediamo che i campi E e B sono in fase, cioè raggiungono gli zeri e i valori massimi allo stesso istante.
ctxksinBctxBtxB
ctxksinEctxEtxE
0
0
)(),(
)(),(
Rappresentando E e B come funzioni armoniche
Il caso appena riportato corrisponde ad una onda elettromagnetica piana detta polarizzata linearmente. Polarizzazione lineare di un onda e.m. vuol dire che i vettori campo E e B vibrano sempre sullo stesso piano.
Possiamo immaginarci il caso in cui i vettori E e B ruotano intorno alla direzione di propagazione.In questo caso l’onda si dice polarizzata circolarmente.
Piano di polarizzazione
In conclusione:
•Le soluzioni delle equazioni di Maxwell deltipo onde piane armoniche sono completamentegenerali. Questo è una conseguenza della serie odell’integrale di Fourier (qualsiasi altra soluzione la posso sviluppare in serie).
•I vettori campo E e B in genere possono variarela loro orientazione, fermo restando che fissatala direzione di uno dei vettori resta fissata quelladell’altro e la direzione di propagazione(onde trasversali con E e B ortogonali).
•Componendo vettori E e B in casi particolari oper particolari tipi di propagazioni nasconole onde e.m. polarizzate.
Spettro delle onde elettromagnetiche
Se consideriamo le onde e.m. sinusoidale pianedi forma tkxsinAA 0
abbiamo un’onda monocromatica con A=E o B ex la direzione di propagazione.
Tali tipi di onde possono coprire un grande campodi frequenze
c
2
Onde elettromagnetiche sferiche
Le equazioni di Maxwell (sotto forma delleequazioni delle onde) ammettono soluzionianche del tipo onde sferiche e onde cilindriche.
Ad esempio per le onde sferiche il campoE e B è tangente alla superficie di una sferae la direzione di propagazione è quella radiale.
Il vettore di Poynting
Come tutte le onde, anche quelle e.m. trasportanoenergia propagandosi.
Tale energia può essere visualizzata come un flussodi energia per unità di tempo e di superficie.
Si descrive il modulo e la direzione del flusso di energia, trasportata dal campo E e B che sipropaga, attraverso un vettore detto vettore di Poynting, e definito come:
BES
0
1
In conclusione il vettore di Poynting definisce:
•come direzione e verso la direzione e verso delflusso di energia;•come modulo l’energia per unità di tempo esuperficie attraverso una area posta ortogonalealla direzione di propagazione.
Vediamo una rapida giustificazione alla forma algebrica del vettore di Poynting.
Il campo e.m. nel vuoto immagazzina energia nello spazio con una densità (energia per unità di volume) w
0
22
0 2
1
2
1
BEw
Tra i moduli dei campi E e B c’è la relazione:
cBE
La velocità di propagazione del campo e.m. è
00
1
c
La direzione di propagazione del campo, e quindi quella del flusso di energia, è: BE
Combinando il tutto, la densità di energiadel campo e.m. diventa:
0
2
2
0
2
0
22
0 2
1
2
1
c
EBBcBw
Tale energia si propaga con il campo e.m. a velocità c in direzione perpendicolare a E e B,quindi:
200
2
m
WEB
c
Ewc
Vettorialmente:
0BE
S
00
2 1
c