Op Anal 2005

1.loeng: 1.september 2005

1 Sissejuhatus

Operatsioonianaluus on teadusharu, mis uurib matemaatiliste meetodite rakendami-se voimalusi majanduselu probleemide lahendamiseks, eriti majanduslike protsessideanaluusiks ja juhtimiseks. Operatsiooni all moistetakse seejuures mingi inimruhmaeesmargiparast tegevust. Operatsiooni juhtimine tahendab, et on voimalik validaselle kulgu mojutavad arvulised parameetrid ehk nn otsustusparameetrid. Operat-sioonianaluusi ulesandeks on leida nende parameetrite vahelised analuutilised seosedja naidata, kuidas parameetrite muutmine mojutab operatsiooni kulgu. Selleks peabkoostama nn. matemaatilise mudeli ning analuusima saadud mudeli kaitumist vas-tavalt otsustusparameetrite muutusele.Operatsioonianaluusi raames on levinumateks vaadeldavateks probleemideks mit-

mesugused majanduslike planeerimistega seotud ulesanded. Need ulesanded voibtinglikult jaotada kahte klassi:

10 Ulesanded, kus kirjeldatavas protsessis esinevad parameetrid on protsessiga jubauheselt maaratud. Sellisel juhul tuleb lihtsalt leida parameetreid sisaldavad vorran-did ning seejarel lahendada tekkiv vorrandisusteem. Taolise ulesande naitena vaatle-me nn. bilansiulesannet.20 Ulesanded, kus kirjeldatavas protsessis esinevad parameetrid pole protsessigauheselt maaratud, vaid voivad muutuda teatud piirides. Sellisel juhul tuleb para-meetrite valikuks vaadeldava operatsiooni juhtijatel pustitada mingi kriteerium,mille alusel parameetreid valida ehk mis annab teatavas mottes optimaalse tule-muse. Operatsioonianaluusi seda haru, mis tegeleb taoliste optimiseerimismeetoditevaljatootamisega, nimetatakse matemaatiliseks planeerimiseks. Kaesolevast kursu-sest moodustab matemaatiline planeerimine suure osa.

Planeerimisulesandeid voib liigitada mitme printsiibi alusel. Vastavalt sellele, kasaeg kuulub vaadeldava planeerimisulesande vahetute muutujate hulka voi mitte, jao-tatakse planeerimisulesandeid dunaamilisteks ja staatilisteks. Dunaamilise ulesandenaitena vaatleme hiljemMarkovi protsessi. Kui planeerimisulesandes esinevaid muu-tujaid vaadeldakse kui juhuslikke suurusi, siis nimetatakse vaadeldavat ulesannetstohhastiliseks. Tuleb markida, et enamus praktikas esinevatest probleemidest ongistohhastilise iseloomuga.

Kaesolevas kursuses vaatleme operatsioonanaluusi klassikasse kuuluvaid mude-leid.

2 Leontieffi mudel

Vaadelgem majanduslikku susteemi (nimetagem nii vaadeldavat tootmisega tegele-vat organisatsiooni), mis toodab n toodet. Nummerdame need tooted numbritega1, 2, . . . , n. Jatame vaatlusest valja tootmiseks vajalikud materjalid (st. eeldame,et selles osas piirangud puuduvad). Vaatluse all on teatav ajavahemik. Tahistagu xi

1

vaadeldavas ajavahemikus i-nda toote toodetavat kogust. Osa sellest toodetavast ko-gusest laheb majanduslikus susteemis tootmiseks uuesti kaiku, osa laheb valjapoolesusteemi (muuakse). Tahistagu yi sellist i-nda toote kogust, mis laheb valjapoolesusteemi (st. muuakse). Majanduslik susteem kasutab siis i-ndat toodet tootmisesxi−yi uhikut. Tahistagem i-nda toote kogust, mida susteem vajab uhe uhiku j-ndatoote tootmisel, sumboliga aij. Sellistes tahistustes kehtivad seosed

xi − yi =n∑

j=1

aijxj, i = 1, 2, . . . , n. (2.1)

Arvud aij iseloomustavad tootmisprotsessi ja neid nimetatakse otsekuludeks.Esitame seosed (2.1) maatrikskujul. Tahistagu A, x ja y jargnevaid maatrikseid:

A = ‖aij‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∥∥∥∥∥∥∥∥ , x =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1x2...

xn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , y =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥y1y2...

yn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Maatrikseid A, x ja y nimetatakse vastavalt otsekulude maatriksiks, kogutoodangu-maatriksiks (ka: kogutoodanguks) ja lopptoodangumaatriksiks (ka: lopptoodanguks).Siis seosed (2.1) maatrikskujul on

x− y = Ax

ehky = (E − A)x (2.2)

kus E on uhikmaatriks. Avaldis (2.2) ongi kirjeldatud majandusliku susteemi mate-maatiline mudel ja ta kujutab n vorrandist koosnevat vorrandisusteemi. Saadudmudelit nimetatakse Leontieffi mudeliks1.Leontieffi mudeliga seotud probleemidest tuleb sagedamini lahendada jargmine

ulesanne: antud lopptoodangu y ≥ θ jaoks leida kogutoodang x ≥ θ nii, et olekstaidetud vorrandisusteem (2.2).Kui eksisteerib (E − A)−1, siis susteem (2.2) on uheselt lahenduv x suhtes:

x = (E − A)−1y = By, (2.3)

kusB = ‖bij‖ = (E − A)−1.

Maatriksi B elemente bij nimetatakse taiskuludeks. Kui A on mis tahes mittenega-tiivsete elementidega maatriks ja y ≥ θ, ei pruugi vorrandiga (2.3) maaratud vektorx rahuldada vorratust x ≥ θ. Sellisel juhul ei ole ulal pustitatud ulesanne lahen-duv. Oletagem, et vordusega (2.3) maaratud vektor x rahuldab vorratust x ≥ θ

1Wassily Leontieff (1906-1999) - vene paritolu ameerika majandusteadlane, 1973.a. Nobelipreemia laureaat majanduse alal.

2

iga y ≥ θ korral. Anname sellisel juhul majandusliku tolgenduse taiskuludse maa-triksi B elementidele. Selleks anname lopptoodangule juurdekasvu ∆y. See tekitabkogutoodangule x juurdekasvu ∆x:

x = By, x+∆x = B(y +∆y) = By +B ·∆y.

Siit saadakse vordus∆x = B ·∆y. (2.4)

Valides

4y =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

0...010...0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥(j.rida),

saadakse4xi = bij. (2.5)

Vordusest (2.5) tuleneb jargmine majanduslik tolgendus taiskuludele bij :

taiskulu bij naitab, kui palju tuleb suurendada i-nda toote kogutoodangut xi, sellekset j-nda toote lopptoodang yj suureneks uhe uhiku vorra.


Jargnevalt vaatleme susteemi (2.2) lahenduvuse tingimusi.

Definitsioon 2.1 Maatriksit A = ‖aij‖ ∈ Rn×n, kus aij ≥ 0 iga i ja j voimalikuvaartuse korral, nimetatakse produktiivseks, kui leidub selline vektor x > θ, et(E − A)x > θ.

Teoreem 2.1 Susteem {y = (E − A)x

x ≥ θ(2.6)

on uheselt lahenduv iga y ≥ θ korral parajasti siis, kui maatriks A on produktiivne.

Teoreem 2.2 Maatriks A = ‖aij‖ ∈ Rn×n, kus aij ≥ 0 iga i ja j voimaliku vaartusekorral, on produktiivne parajasti siis, kui leidub (E − A)−1 ja (E − A)−1 ≥ θ.

3

Naide 2.1. Jargnevas tabelis on antud kolme toostusharu omavahelised seosed,lopptoodangud ja kogutoodangud:

Toostusharu Sisemine tarbimine Lopptoodang Kogutoodang1 2 3

1 10 5 40 45 1002 30 − 30 40 1003 20 40 − 140 200

Leida kogutoodang lopptoodangu y = (100; 50; 80)T valmistamiseks ja selle kogutoo-dangu jaotus toostusharude kaupa.

Lahendus.

A =

∥∥∥∥∥∥0, 1 0, 05 0, 20, 3 0 0, 150, 2 0, 4 0

∥∥∥∥∥∥ , E − A =

∥∥∥∥∥∥0, 9 −0, 05 −0, 2−0, 3 1 −0, 15−0, 2 −0, 4 1

∥∥∥∥∥∥ ,

det(E − A) = 0, 9− 0, 0015− 0, 024− (0, 04 + 0, 015 + 0, 054) = 0, 7655,

(E − A)−1 =

∥∥∥∥∥∥1, 228 0, 170 0, 2710, 431 1, 123 0, 2550, 418 0, 483 1, 156

∥∥∥∥∥∥ ,

x = (E − A)−1y =

∥∥∥∥∥∥1, 228 0, 170 0, 2710, 431 1, 123 0, 2550, 418 0, 483 1, 156

∥∥∥∥∥∥ ·∥∥∥∥∥∥1005080

∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥∥153120158

∥∥∥∥∥∥ ,


1 a1 b1 c1 100 1532 a2 b2 c2 50 1203 a3 b3 c3 800 158

A =

∥∥∥∥∥∥a1/153 b1/120 c1/158a2/153 b2/120 c2/158a3/153 b3/120 c3/158

∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥∥0, 1 0, 05 0, 20, 3 0 0, 150, 2 0, 4 0

∥∥∥∥∥∥ ,

∥∥∥∥∥∥a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥∥15 6 3246 0 2430 48 0

∥∥∥∥∥∥ .

Vastus:


1 15 6 32 100 1532 46 − 24 50 1203 30 48 − 80 158

4

3 Lineaarse planeerimisulesande pustitus

Vaatleme naitena uhte voimalikku ulesannet, mille tulemusena tekib lineaarne pla-neerimisulesanne.

Naide 2.1. Vaatleme ettevotet, mis toodab n toodet, vajades selleks m eri-nevat toorainet. Nummerdame need tooted vastavalt numbritega 1, 2, . . . , n ningtoorained numbritega 1, 2, . . . , m. On teada, et vaadeldavas ajavahemikus on et-tevottel voimalik i-ndat toorainet kasutada bi uhikut ning i-nda tooraine kulu uheuhiku j-nda toote tootmiseks on aij uhikut. Uhe uhiku j-nda toote muumisest saa-dav tulu on cj uhikut. Leida mainitud n toote toodetavad kogused x1, x2, . . . , xn

vaadeldavas ajavahemikus nii, et nende toodete muumisest saadav tulu oleks suurim(maksimaalne).Koostame pustitatud ulesande lahendamiseks matemaatilise mudeli. Nagu ulal

mainitud, xj tahistab j-nda toote toodetavat kogust vaadeldaval ajavahemikul.Kokku kulub i-ndat toorainet n toote tootmiseks

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn

uhikut ja see ei tohi uletada voimalikku i-nda tooraine kogust bi, s.t.

ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn ≤ bi, i = 1, 2, . . . , m. (3.1)

Tahistagu z toodete muumisel saadavat tulu. Siis

z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn. (3.2)

Siis vastavalt ulesande pustitusele tuleb leida mittenegatiivsed arvud x1, x2, . . . , xn

nii, et on taidetud tingimused (3.1) ja mis annavad vordusega (3.2) antud suuruselez suurima vaartuse. Formaalselt pannakse see ulesanne kirja jargnevalt:

z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn −→ maxa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ bm

x1, x2, . . . , xn ≥ 0.

(3.3)

Ulesanne (3.3) kujutabki endast lineaarset planeerimisulesannet.

Definitsioon 3.1 Kui on antud mis tahes vektorid

c =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥c1c2...cn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ja b =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥b1b2...

bm

∥∥∥∥∥∥∥∥∥5

ning maatriks

A = ‖aij‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

∥∥∥∥∥∥∥∥ ,

siis ulesannet (3.3) nimetatakse lineaarseks planeerimisulesandeks.

Maatrikskuju.

Termineid:

• lin. plan. ulesande pohikuju

• lin. plan. kanooniline kuju

• kitsendused

• sihifunktsioon

• lubatav lahend

• lahend ehk optimaalne lahend


4 Lineaarse planeerimisulesande lubatavatelahendite hulga omadusi

Vaatleme moningaid moisteid.Vaatleme lineaarset vorrandisusteemi

Ax = b, (4.1)

kus

A = ‖aij‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

∥∥∥∥∥∥∥∥ , b =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥b1b2...

bm

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , x =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1x2...

xn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Seda vorrandisusteemi voib esitada ka vektorkujul jargmiselt:

x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b,

kus

a1 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥a11a21...

am1

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , a2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥a12a22...

am2

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , . . . , an =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥a1na2n...

amn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

6

Definitsioon 4.1 Olgu x vorrandisusteemi (4.1) lahend ja I(x) = { i | xi 6= 0 }.Lahendit x nimetatakse susteemi (4.1) baasilahendiks, kui vektorid ai, i ∈ I(x),on lineaarselt soltumatud.

Naide 4.1. Leiame jargmise susteemi

3x1 − x2 + x3 + 6x4 + x5 = 6x1 + 5x3 + x4 − 7x5 = 6

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6

uhe baasilahendi.

Definitsioon 4.2 Loiguks ruumis Rn nimetatakse tema alamhulka kujul

[x; y] = { tx+ (1− t)y | 0 ≤ t ≤ 1 },

kus x, y ∈ Rn. Punkte x ja y nimetatakse seejuures loigu [x; y] otspunktideks.Punkte tx+ (1− t)y, kus 0 < t < 1, nimetatakse loigu [x; y] sisepunktideks.

Definitsioon 4.3 Olgu K ⊂ Rn. Hulka K nimetatakse kumeraks, kui iga u, v ∈K korral loik [u; v] sisaldub hulgas K:

u, v ∈ K =⇒ [u; v] ⊂ K.

Definitsioon 4.4 Olgu K ⊂ Rn. Punkti x ∈ K nimetatakse hulga K tipuks, kuix pole uhegi hulgas K sisalduva loigu sisepunktiks.

Vaatleme nuud lineaarset planeerimisulesannet kanoonilisel kujulz = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(4.2)

Tahistagu L tema koigi lubatavate lahendite hulka:

L = {x | Ax = b, x ≥ θ}.

Definitsioon 4.5 Ulesande (4.2) lubatavaks baasilahendiks nimetatakse selleulesande lubatavat lahendit x, mis on vorrandisusteemi Ax = b baasilahendiks.

Saab naidata, et kehtivad jargmised teoreemid.

Teoreem 4.1 Ulesande (4.2) koigi lubatavate lahendite hulk L on kumer hulk.

Teoreem 4.2 Kui x kuulub ulesande (4.2) koigi lubatavate lahendite hulka L, siisx on hulga L tipp parajasti siikui ta on vaadeldava ulesande lubatav baasilahend.

Teoreem 4.3 Kui ulesande (4.2) koigi lubatavate lahendite hulk L on mittetuhi,siis sellel ulesandel leidub lubatavaid baasilahendeid.

Teoreem 4.4 Kui ulesandel (4.2) leidub optimaalne lahend, siis leidub tal sellineoptimaalne lahend, mis on lubatavate lahendite hulga L tipp.

7

5 Simpleksmeetod

Kaesolevas alajaotuses kirjeldame nn simpleksmeetodit kanoonilisel kujulz = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(5.1)

antud lineaarse planeerimisulesande lahendamiseks. Selle meetodi esitas ameerikamatemaatik G.B.Dantzig2 1949 a.. Moned erikujulised planeerimisulesanded lahen-das juba noukogude matemaatik L.V.Kantorovitsh3 1939.a..

Igale lubatavale baasilahendile x vastab nn. simplekstabel. Kirjeldame jargne-valt simplekstabeli saamist. Olgu x – lubatav baasilahend, z = c · x – sihifunktsioonivaartus selle baasilahendi korral ja

I(x) = { i | xi 6= 0 } = { j1, . . . , jm }.

Vaatleme ulesande (5.1) sihifunktsiooni ka vorrandina, kus ka suurust z vaatlemetundmatuna. Viies selles koik liikmed vorduse uhele poole, saadakse z − c · x = 0.Vorrandisusteemi Ax = b vorrandites esineb suurus z kordajaga 0. Seega votabulesanne (5.1) vorrandisusteemi kuju:{

z − c · x = 0zθ + Ax = b

(5.2)

(nouet x ≥ θ me esialgu ei arvesta; θ – nullvektor). Paigutame vorrandisusteemi(5.2) kordajad jargnevasse tabelisse

Tabel 5.1

0 1 −c1 . . . −cn

b1 0 a11 . . . a1n. . . 0 . . . . . . . . .bm 0 am1 . . . amn

Erinevalt lineaaralgebra kursusest on siin vabaliikmete veerg paigutatud esime-seks veeruks ning jargnevateks veergudeks on paigutatud tundmatute z, x1, . . . , xn

kordajad. Teisendame vastavalt Gaussi meetodile selle tabeli veerud, mis vas-tavad vaadeldava baasilahendi nullist erinevatele tundmatutele xj1 , xj2 , . . . , xjm ,mida nimetatakse ka baasitundmatuteks, uhikmaatriksi veergudeks. Siis saadaksetabel

2George Dantzig (s. 1914) – ameerika matemaatik.3Leonid Vitaljevich Kantorovich (1912-1986) – noukogude matemaatik.

8

Tabel 5.2

j1 j2 jm

d0 1 s1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . sn

d1 0 z11 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . z1nd2 0 z21 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . z2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dm 0 zm1 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . zmn


Valides vastavalt Gaussi meetodile tabelis 5.2 vabade tundmatute xj, j 6∈ I(x),vaartused vordseks nulliga, saadakse vorrandisusteemi (5.2) lahendiks

z = d0, xj1 = d1, xj2 = d2, . . . , xjm = dm,

xj = 0, kui j 6∈ I(x) = { i | xi 6= 0 } = { j1, . . . , jm }.

Saadud lahend langeb kokku baasilahendiga x, kusjuures z = d0 = c · x. Seega ontabel 5.2 samavaarne tabeliga

Tabel 5.3

j1 j2 jm

z 1 s1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . sn

xj1 0 z11 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . . z1nxj2 0 z21 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . z2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xjm 0 zm1 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . zmn

Tabelis 5.3 sj1 = . . . = sjm = 0 ja∥∥∥∥∥∥∥∥∥z1j1 z1j2 . . . z1jm

z2j1 z2j2 . . . z2jm

....... . .

...zmj1 zmj2 . . . zmjm

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥∥∥∥∥1 0 . . . 00 1 . . . 0....... . .

...0 0 . . . 1

∥∥∥∥∥∥∥∥∥Definitsioon 5.1 Tabeli 5.2 teisendamisel Gaussi meetodiga saadud tabelit 5.3,milles baasilahendi x baasitundmatutele vastavad veerud on uhikmaatriksi veergu-deks, nimetatakse baasilahendile x vastavaks simplekstabeliks.

Simplekstabeli 5.3 esimeses veerus paiknevad sihifunktsiooni vaartus baasila-hendi x korral ja selle baasilahendi baasitundmatute vaartused.

9

Naide 5.1. Leiame lineaarse planeerimisulesande

z = 6x2 + x3 − x4 → max3x1 − x2 + x3 + 6x4 + x5 = 6

x1 + 5x3 + x4 − 7x5 = 6x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6

x1, . . . , x5 ≥ 0

lubatavale baasilahendile

x = (0; 1; 1; 1; 0)T , I(x) = { 2, 3, 4 }

vastava simplekstabeli (esialgse tabeli teisendamisel saadud tabelid on kirjutatuduksteise jargi; tabeli viimases veerus on naidatud tehtavad teisendused, kusjuuresridu on hakatud nummerdama sihifunktsioonile jargnevast vorrandist):

z x1 x2 x3 x4 x50 1 0 -6 -1 1 0 −6 · I6 0 3 -1 1 6 1 ·(−1)6 0 1 0 5 1 -76 0 1 2 3 1 1 +2 · I-36 1 -18 0 -7 -35 -6 +35 · II-6 0 -3 1 -1 -6 -1 +6 · II6 0 1 0 5 1 -718 0 7 0 5 13 3 −13 · II174 1 17 0 168 0 -251 +(168/60) · III30 0 3 1 29 0 -43 +(29/60) · III6 0 1 0 5 1 -7 +(1/12) · III-60 0 -6 0 -60 0 94 ·(−(1/60))6 1 1/5 0 0 0 61/51 0 1/10 1 0 0 73/301 0 1/2 0 0 1 5/61 0 1/10 0 1 0 -47/30

Viimane saadud neljast tabelist ongi baasilahendile x = (0; 1; 1; 1; 0)T vastav simp-lekstabel.

Simplekstabelis 5.3 on kolm voimalust:

10 sj ≥ 0 iga j = 1, 2, . . . , n korral (sj1 = . . . = sjm = 0);20 leidub selline j0, et sj0 < 0 ja zij0 ≤ 0 iga i = 1, 2, . . . , m korral;30 leidub selline j0, et sj0 < 0 ja arvude z1j0 , z2j0 , . . . , zmj0 seas on positiivseid arve.

Vaatleme loetletud kolme juhtu eraldi naidete varal:

10

10

-4 1 6 0 1 0 07 0 -1 1 2 0 05 0 3 0 -2 0 19 0 2 0 4 1 0

20

-4 1 -6 0 -1 0 07 0 -1 1 -2 0 05 0 3 0 -2 0 19 0 2 0 -4 1 0

30

-4 1 -6 0 -1 0 07 0 -1 1 2 0 05 0 3 0 -2 0 19 0 2 0 4 1 0

Lopuks skeem simpleksmeetodi kohta.

6 Naide simpleksmeetodi rakendamise kohta

Naide 6.1. Leiame lineaarse planeerimisulesande

z = 6x1 + x2 + x4 + 2x5 → max−x1 + 2x2 + x3 = 2

2x1 + 6x2 + 2x3 + x4 + x5 = 18

x1 − 2x2 + x5 = 2

x1, . . . , x5 ≥ 0

lahendi. Et rakendada simpleksmeetodit, peame leidma baasilahendi, mis olekslubatav, ja seejarel sellele baasilahendile vastava simplekstabeli.Kirjutame esmalt valja antud ulesandele vastava vorrandisusteemi kordajate

tabeli (tabel 5.1 kaesoleval juhul):

z x1 x2 x3 x4 x50 1 -6 -1 0 -1 -22 0 -1 2 1 0 018 0 2 6 2 1 12 0 1 -2 0 0 1

Saadud tabel pole simplekstabel. Lihtne on naha, et simplekstabel on saadav, kuiteisendada tundmatutele x3, x4 ja x5 vastavad veerud uhikmaatriksi veergudeks.Siis saadud tabelile vastav baasilahend on lubatav:

11

z x1 x2 x3 x4 x50 1 -6 -1 0 -1 -22 0 -1 2 1 0 018 0 2 6 2 1 1 −2 · I− III2 0 1 -2 0 0 10 1 -6 -1 0 -1 -2 +II + 2 · III2 0 -1 2 1 0 012 0 3 4 0 1 02 0 1 -2 0 0 1

ja saadakse simplekstabel

16 1 -1 -1 0 0 02 0 -1 2 1 0 012 0 3 4 0 1 02 0 1 -2 0 0 1

millele vastav baasilahend x = (0; 0; 2; 12; 2)T on lubatav. Baasitundmatutekson siin x3, x4 ja x5 ja sihifunktsiooni vaartus selle baasilahendi korral on z = 16.Saadud simplekstabelis on tegemist juhuga 30, s.t. saab minna ule uuele simpleksta-belile, millele vastav baasilahend annab sihifunktsioonile suurema vaartuse vorreldesbaasilahendiga x. Valime uueks baasitundmatuks muutuja x1, millele vastava veeruteisendame uhikmaatriksi veeruks. Arvutades suhted 12/3=4 ja 2/1=2, naeme, etx1-le vastavasse veergu tuleb 1 tekitada viimasesse vorrandisse. Seega tuleb eelmistsimplekstabelit teisendada jargmiselt:

16 1 -1 -1 0 0 0 +III2 0 -1 2 1 0 0 +III12 0 3 4 0 1 0 −3 · III2 0 1 -2 0 0 118 1 0 -3 0 0 14 0 0 0 1 0 16 0 0 10 0 1 -32 0 1 -2 0 0 1

Saime uue simplekstabeli, millele vastav lubatav baasilahend on x = (2; 0; 4; 6; 0)T .Baasitundmatuteks on siin x1, x3 ja x4 ja sihifunktsiooni vaartus selle baasilahendikorral on ¯zz = 18.Ka selles simplekstabelis on tegemist juhuga 30, s.t. saab minna ule uuele simp-

lekstabelile, millele vastav baasilahend annab sihifunktsioonile suurema vaartusevorreldes baasilahendiga x. Valime uueks baasitundmatuks muutuja x2, millelevastava veeru teisendame uhikmaatriksi veeruks. Siin tuleb arv 1 tekitada teisevorrandisse. Tehes seda, saadakse

12

18 1 0 -3 0 0 1 +310

· II4 0 0 0 1 0 1

6 0 0 10 0 1 -3 · 110

2 0 1 -2 0 0 1 +15· II

9951 0 0 0

310

110

4 0 0 0 1 0 1350 0 1 0

110

− 310

1650 1 0 0

15

25

Viimane simplekstabel annabki optimaalse lahendi baasitundmatutega x1, x2 ja x3

ning sihifunktsiooni vaartusega995. Seega vaadeldava ulesande vastus on

zmax = z

(165;35; 4; 0; 0

)=995

.


7 Lubatava baasilahendi leidmine

Vaatleme lineaarset planeerimisulesannet kanoonilisel kujulz = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(7.1)

Voib eeldada, etb ≥ θ. (7.2)

Toepoolest, kui mingi vorrandi vabaliige on negatiivne, siis voib selle vorrandimolemad pooled labi korrutada arvuga -1.Simpleksmeetodi rakendamiseks on vaja teada mingit lubatavat baasilahendit

ehk sellele vastavat simplekstabelit. Gaussi meetod selleks ei sobi, sest saadavbaasilahend voib osutuda mittelubatavaks. Jargnevalt kirjeldame kahte meetoditlineaarse planeerimisulesande lahendamiseks juhul, kui pole ette antud uhtegi lu-batavat baasilahendit.

13

7.1 Kunstliku baasi meetod

Moodustame ulesande (7.1) jaoks abiulesande

w = xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+m → min

a11x1 + a12x2 + . . . a1nxn + xn+1 = b1

a21x1 + a22x2 + . . . a2nxn + xn+2 = b2

. . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . amnxn + xn+m = bm

x1, x2, . . . , xn+m ≥ 0.

(7.3)

Tahistagu L ulesande (7.1) koigi lubatavate lahendite hulka.

Teoreem 7.1 Kui ulesande (7.1) koigi lubatavate lahendite hulk L on mittetuhi, siisulesandel (7.3) leidub optimaalne lahend ja tema iga optimaalne lahend on kujuga(x∗1; x

∗2; . . . ; x

∗n; 0; 0; . . . ; 0)

T .

Ulesande (7.1) lubatava baasilahendi leidmine toimub jargmiselt:

a) lahtudes lubatavast baasilahendist (0; 0; . . . ; b1; b2; . . . ; bm)T , lahendatakse abi-ulesanne (7.3) simpleksmeetodiga; kui abiulesanne (7.3) ei oma lahendit, siis ei omaka esialgne ulesanne (7.1) lahendit;b) kui abiulesande lahendiks on (x∗1; x

∗2; . . . ; x

∗n; x

∗n+1; . . . ; x

∗n+m), siis: 1) kui arvude

x∗n+1; . . . ; x∗n+m seas leidub nullist erinevaid arve, siis esialgne ulesanne (7.1) ei oma

lahendit; 2) kui x∗n+1 = . . . = x∗n+m = 0, siis (x∗1; x

∗2; . . . ; x

∗n) on ulesande (7.1)

lubatav baasilahend.

Saanud abiulesannet lahendades ulesande (7.1) lubatava baasilahendi, tuleb ulesanne(7.1) lahendada juba simpleksmeetodiga.

Naide 7.1. Lahendame ulesande

z = x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 → maxx1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 8

x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 − x5 = −6x1 + 2x2 + 2x4 − x5 = 2

x1, . . . , x5 ≥ 0

Kuna teises vorrandis on vabaliige negatiivne, siis korrutame selle vorrandi molemaidpooli arvuga -1 ning ulesanne votab kuju

z = x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 → maxx1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 8

−x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 + x5 = 6

x1 + 2x2 + 2x4 − x5 = 2

x1, . . . , x5 ≥ 0

14

Selle ulesande lubatava baasilahendi leidmiseks moodustame vastavalt ulal antudkirjeldusele abiulesande

w = x6 + x7 + x8 → minx1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 + x5 + x6 = 8

−x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 + x5 + x7 = 6

x1 + 2x2 + 2x4 − x5 + x8 = 2

x1, . . . , x8 ≥ 0

Abiulesandele simpleksmeetodi rakendamiseks tuleb see teisendada maksimumi lei-dmise ulesandeks, s.t. leiame suuruse u = −w maksimumi:

u = −x6 − x7 − x8 → maxx1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 + x5 + x6 = 8

−x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 + x5 + x7 = 6

x1 + 2x2 + 2x4 − x5 + x8 = 2

x1, . . . , x8 ≥ 0

Lahendamegi viimase ulesande simpleksmeetodiga:

0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 -I-II-III8 0 1 4 2 2 1 1 0 06 0 -1 2 -2 2 1 0 1 02 0 1 2 0 2 -1 0 0 1-16 1 -1 -8 0 -6 -1 0 0 0 +II8 0 1 4 2 2 1 1 0 0 -II6 0 -1 2 -2 2 1 0 1 02 0 1 2 0 2 -1 0 0 1 +II-10 1 -2 -6 -2 -4 0 0 1 0 +3 · I2 0 2 2 4 0 0 1 -1 0 ·(1/2)6 0 -1 2 -2 2 1 0 1 0 -I8 0 0 4 -2 4 0 0 1 1 −2 · I-4 1 4 0 10 -4 0 3 -2 0 +III1 0 1 1 2 0 0 1/2 -1/2 04 0 -3 0 -6 2 1 -1 2 0 −(1/2) · III4 0 -4 0 -10 4 0 -2 3 1 ·(1/4)0 1 0 0 0 0 0 1 1 11 0 1 1 2 0 0 1/2 -1/2 02 0 -1 0 -1 0 1 0 1/2 -1/21 0 -1 0 -5/2 1 0 -1/2 3/4 1/4 ·(1/4)

Siit saame abiulesande optimaalse lahendi

umax = (0; 1; 0; 1; 2; 0; 0; 0) = 0.

15

Viis esimest tundmatut siit lahendist moodustavad esialgse ulesande lubatava baasi-lahendi x = (0; 1; 0; 1; 2)T . Lahendame nuud esialgse ulesande, lahtudes saadudbaasilahendist x. Mainime, et sellele baasilahendile vastava simplekstabeli saamejuba abiulesande viimasest tabelist (votta sealt vabaliikmete veerg ja tundmatutelex1, . . . , x5 vastavad veerud). Jargneb esialgse ulesande lahendus:

z x1 x2 x3 x4 x50 1 -1 -2 -1 -1 -1 +2 · I + II + III1 0 1 1 2 0 02 0 -1 0 -1 0 11 0 -1 0 -5/2 1 05 1 -1 0 -1/2 0 0 +I1 0 1 1 2 0 02 0 -1 0 -1 0 1 +I1 0 -1 0 -5/2 1 0 +I6 1 0 1 3/2 0 01 0 1 1 2 0 03 0 0 1 1 0 12 0 0 1 -1/2 1 0

Viimasele simplekstabelile vastav lubatav baasilahend (1; 0; 0; 2; 3)T annabki sihi-funktsioonile z maksimaalse vaartus 6:

zmax = (1; 0; 0; 2; 3) = 6.

Kirjeldatud meetodit lineaarse planeerimisulesande lahendamiseks nimetatakseka kahefaasiliseks simpleksmeetodiks.

7.2 M-meetod

Moodustame ulesande (7.1) jaoks abiulesande

w = c · x−M(xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+m) → max

a11x1 + a12x2 + . . . a1nxn + xn+1 = b1

a21x1 + a22x2 + . . . a2nxn + xn+2 = b2

. . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . amnxn + xn+m = bm

x1, x2, . . . , xn+m ≥ 0.

(7.4)

Suurust M tolgendame kui kullalt suur positiivset arvu.

16

6.loeng: 6.oktoober 2005

Saab naidata, et kehtivad jargmised omadused:

1) kui ulesanne (7.1) on lahenduv, siis leidub selline positiivne arv M0, et ulesanne(7.4) omab iga M > M0 korral optimaalset lahendit (x∗1; x

∗2; . . . ; x

∗n;

x∗n+1; . . . ; x∗n+m)

T , kusjuures igas optimaalses lahendis x∗n+1 = . . . = x∗n+m = 0;

2) kui ulesande (7.4) optimaalses lahendis (x∗1; x∗2; . . . ; x

∗n; x

∗n+1; . . . ; x

∗n+m)

T onx∗n+1 = . . . = x∗n+m = 0, siis (x

∗1; x

∗2; . . . ; x

∗n)

T on ulesande (7.1) optimaalne lahend.

Naide 7.2. Lahendame naite 7.1 ulesande M -meetodiga. Selleks kirjutamevalja abiulesandele (7.4) vastava tabeli kaesoleval juhul ning edasi rakendame simp-leksmeetodit (teises, kolmandas ja neljandas tabelis on moni summana avalduvasihifunktsiooni kordaja liidetavad paigutatud kahte erinevasse ritta):

w x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x80 1 -1 -2 -1 -1 -1 M M M −M(I+II+III)8 0 1 4 2 2 1 1 0 06 0 -1 2 -2 2 1 0 1 02 0 1 2 0 2 -1 0 0 1

−16M 1 −M −8M -1 −6M −M 0 0 0 +(M + 1) · II−1 −2 −1 −1

8 0 1 4 2 2 1 1 0 0 -II6 0 -1 2 -2 2 1 0 1 02 0 1 2 0 2 -1 0 0 1 +II

−10M 1 −2M −6M −2M −4M 0 0 M 0 +3M · I+6 −2 −3 +1 +1 +3M · I2 0 2 2 4 0 0 1 -1 0 ·(1/2)6 0 -1 2 -2 2 1 0 1 0 -I8 0 0 4 -2 4 0 0 1 1 −2 · I

−4M 1 4M 0 10M −4M 0 3M −2M 0 +(M − (1/4)) · III+6 −2 −3 +1 +11 0 1 1 2 0 0 1/2 -1/2 04 0 -3 0 -6 2 1 -1 2 0 −(1/2)) · III4 0 -4 0 -10 4 0 -2 3 1 ·(1/4)

5 1 -1 0 -(1/2) 0 0 M + (1/2) M + (1/4) M − (1/4) +I1 0 1 1 2 0 0 1/2 -1/2 02 0 -1 0 -1 0 1 0 1/2 -(1/2) +I1 0 -1 0 -(5/2) 1 0 -(1/2) 3/4 1/4 +I6 1 0 1 3/2 0 0 M + 1 M − (1/4) M − (1/4)1 0 1 1 2 0 0 1/2 -1/2 03 0 0 1 1 0 1 1/2 0 -(1/2)2 0 0 1 -(1/2) 1 0 0 1/4 1/4

17

Oleme saanud abiulesande optimaalse lahendi:

wmax = (1; 0; 0; 2; 3; 0; 0; 0) = 6.

Jattes ara abitundmatud, saame esialgse ulesande lahendiks

zmax = (1; 0; 0; 2; 3) = 6.

8 Duaalsed lineaarsed planeerimisulesanded

Vaatleme lineaarset planeerimisulesannet kanoonilisel kujulz = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(8.1)

Definitsioon 8.1 Ulesandega (8.1) duaalseks ulesandeks nimetatakse lineaarsetplaneerimisulesannet {

w = bT y = b · y → min

AT y ≥ c.(8.2)

Ulesanded (8.1) ja (8.2) mittemaatrikskujul naevad valja vastavalt kujudel

z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn −→ maxa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

x1, x2, . . . , xn ≥ 0.

ja

w = b111 + b2y2 + . . .+ bmym −→ mina11y1 + a21y2 + . . .+ am1ym ≥ c1

a12y1 + a22y2 + . . .+ am2ym ≥ c2

. . .

a1ny1 + a2ny2 + . . .+ amnym ≥ cn

Defineerisime duualse ulesande kanoonilisel kujul antud lineaarse planeerimis-ulesande jaoks. Kui lineaarne planeerimisulesanne pole antud kanoonilisel kujul,siis temaga duaalse ulesande leidmiseks peame ta esitama algul kanoonilisel kujul jaseejarel leidma tekkinud ulesande duaalse ulesande.

Teoreem 8.1 Ulesandega (8.2) duaalne ulesanne on ulesanne (8.1).

18

Toestus. Esitame ulesande (8.2) algul kanoonilisel kujul. Selleks peame lahutamavorratuse AT y ≥ c molemast poolest mittenegatiivse vektori y3 ja esitame vektori ykahe mittenegatiivse vektori y1 ning y2 vahena: y = y1 − y2, y1 ≥ θ, y2 ≥ θ (arvud1, 2 ja 3 on siin ulaindeksid, mitte astmenaitajad). Ulesanne (8.2) votab kuju

w = bT (y1 − y2) = b · (y1 − y2) → min

AT (y1 − y2)− y3 = c

y1, y2, y3 ≥ θ

(8.3)

Ulesanne (8.3) on samavaarne ulesandegau = −bT (y1 − y2) = −b · (y1 − y2) → max

AT (y1 − y2)− y3 = c

y1, y2, y3 ≥ θ

(8.4)

kus u = −w. Tahistame

A =∥∥AT −AT −E

∥∥ , x =

∥∥∥∥∥∥y1

y2

y3

∥∥∥∥∥∥ , c =

∥∥∥∥∥∥−bbθ

∥∥∥∥∥∥ , b = c, z = u,

kus on uhikmaatriks. Siis ulesanne (8.4) saab kujuz = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(8.5)

Ulesanne (8.5) on juba kanoonilisel kujul ja temaga duaalne ulesanne onb · y = c · y → min

AT y =

∥∥∥∥∥∥∥A

−A

−E

∥∥∥∥∥∥∥ y =

∥∥∥∥∥∥∥Ay

−Ay

−y

∥∥∥∥∥∥∥ ≥ c =

∥∥∥∥∥∥∥−b

b

θ

∥∥∥∥∥∥∥ehk

c · y → min

Ay ≥ −b

−Ay ≥ b

−y ≥ θ

ehk c · (−y) → max

A(−y) = b

−y ≥ θ

19

Tahistades x = −y, saadakse ulesande (8.2) duaalseks ulesandeks ulesannez = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

mis langeb kokku ulesandega (8.1). �

Analoogiliselt toestatakse teoreem:

Teoreem 8.2 Pohikujul antud lineaarse planeerimisulesandegaz = cT x = c · x → max

Ax ≤ b

x ≥ θ.

(8.6)

duaalne ulesanne on w = bT y = b · y → min

AT y ≥ c

y ≥ θ.

(8.7)

Ulesandega (8.7) duaalne ulesanne on (8.6).

Naide 8.1. Leiame ulesandegaz = 2x1 + 4x2 + x3 → min

x1 − 2x2 + x3 ≤ 42x1 + 3x2 − x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(8.8)

duaalse ulesande. Selleks teisendame esmalt selle ulesande kujule (8.7), korrutadesesimese kitsenduse molemaid pooli arvuga -14:

z = 2x1 + 4x2 + x3 → min

−x1 + 2x2 − x3 ≥ −42x1 + 3x2 − x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

Saadud ulesandega duaalne ulesanne on kujul (8.6) (kasutame ainult teisi tahistusimuutujate osas) ehk

w = −4y1 + 2y2 → max

−y1 + 2y2 ≤ 22y1 + 3y2 ≤ 4−y1 − y2 ≤ 1

y1, y2 ≥ 0

(8.9)

Ulesanne (8.9) ongi ulesandega (8.8) duaalne ulesanne.

4Argu lugeja lasku hairida asjaolust, et erinevalt ulesandest (8.7) on siin muutujad tahistatudteisiti.

20

9 Duaalsusteoreemid

Kaesolevas alajaotuses vaatleme omavahel duaalsete ulesannete vahelisi seoseid.Vaatluse all on ulesanded

z = cT x = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ.

(9.1)

{w = bT y = b · y → min

AT y ≥ c.(9.2)

z = cT x = c · x → max

Ax ≤ b

x ≥ θ.

(9.3)

w = bT y = b · y → min

AT y ≥ c

y ≥ θ.

(9.4)

Ulesanded (9.1) ja (9.2) on omavahel duaalsed ulesanded ning samuti on ulesanded(9.3) ja (9.4) omavahel duaalsed. Saab naidata, et kehtivad jargmised teoreemid.Neid teoreeme nimetatakse duaalsusteoreemideks.

Teoreem 9.1 Kui uks duaalsetest ulesannetest (9.1) ja (9.2) omab optimaalset la-hendit, siis ka teine neist omab optimaalset lahendit. Kui uks duaalsetest ulesanne-test (9.3) ja (9.4) omab optimaalset lahendit, siis ka teine neist omab optimaalsetlahendit. Molemal juhul optimaalsete lahendite x ja y korral kehtib vordus

z = c · x = b · y = w.

Teoreem 9.2 Kui x ja y on vastavalt ulesannete (9.1) ja (9.2) lubatavad lahendid,siis z = c ·x ≤ b · y = w. Kui x ja y on vastavalt ulesannete (9.3) ja (9.4) lubatavadlahendid, siis z = c · x ≤ b · y = w.

Teoreem 9.3 Kui x ja y on vastavalt ulesannete (9.1) ja (9.2) lubatavad lahendidning z = c · x = b · y = w, siis x ja y on optimaalsed lahendid vastavalt ulesannetele(9.1) ja (9.2). Kui x ja y on vastavalt ulesannete (9.3) ja (9.4) lubatavad lahendidning z = c · x = b · y = w, siis x ja y on optimaalsed lahendid vastavalt ulesannetele(9.3) ja (9.4).

Teoreem 9.4 Olgu x ja y vastavalt ulesannete (9.3) ja (9.4) lubatavad lahendid.Siis x ja y on optimaalsed lahendid ulesannetele (9.3) ja (9.4) parajasti siis, kui

y · (Ax− b) = 0 (9.5)

jax · (AT y − c) = 0. (9.6)

21

Teoreem 9.5 Olgu x ja y vastavalt ulesannete (9.1) ja (9.2) lubatavad lahendid.Siis x ja y on optimaalsed lahendid ulesannetele (9.1) ja (9.2) parajasti siis, kui

x · (AT y − c) = 0. (9.7)

Teoreem 9.6 Kui molemad duaalsetest ulesannetest (9.1) ja (9.2) voi (9.3) ja (9.4)omavad lubatavaid lahendeid, siis nad omavad ka optimaalseid lahendeid.

Kuna ulesannete (9.3) ja (9.4) lubatavate lahendite

x = (x1; . . . ; xn)T ja y = (y1; . . . ; ym)

T

korral

x =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1x2...

xn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ≥ θ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥00...0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , y =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥y1y2...

ym

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ≥ θ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥00...0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ja

Ax =

∥∥∥∥∥∥∥∥a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn

. . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn

∥∥∥∥∥∥∥∥ ≤ b =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥b1b2...

bm

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ,

AT y =

∥∥∥∥∥∥∥∥a11y1 + a21y2 + . . .+ am1ym

a12y1 + a22y2 + . . .+ am2ym

. . .a1ny1 + a2ny2 + . . .+ amnym

∥∥∥∥∥∥∥∥ ≥ c =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥c1c2...cn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ,

siis vordustes

y · (Ax− b) =m∑

i=1

yi(ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn − bi) = 0

ja

x · (AT y − c) =n∑

j=1

xj(a1jy1 + a2jy2 + . . .+ amjym − cj) = 0

on koik liidetavad vastavalt mittepositiivsed ja mittenegatiivsed, s.t. kummaskisummas on koik liidetavad vordsed nulliga ehk{

yi(ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn − bi) = 0

i = 1, 2, . . . , m,(9.8)

ja {xj(a1jy1 + a2jy2 + . . .+ amjym − cj) = 0,

j = 1, 2, . . . , n.(9.9)

22

Vordustest (9.8) ja (9.9) jareldub jargmine vaide:

kui x = (x1; . . . ; xn)T ja y = (y1; . . . ; ym)T on vastavalt ulesannete (9.3) ja (9.4)lubatavad lahendid, siis nad on nende ulesannete optimaalsed lahendid parajasti siis,kui on taidetud tingimused (9.8) ja (9.9).

Analoogiliselt jareldub vordusest (9.7):

kui x = (x1; . . . ; xn)T ja y = (y1; . . . ; ym)T on vastavalt ulesannete (9.1) ja (9.2)lubatavad lahendid, siis nad on nende ulesannete optimaalsed lahendid parajasti siis,kui {

xj(a1jy1 + a2jy2 + . . .+ amjym − cj) = 0,

j = 1, 2, . . . , n.(9.10)


10 Naiteid duaalsusteoreemide rakendamisekohta


z = x1 + 3x2 + 2x3 → min3x1 − 2x2 + x3 ≥ 5x1 + x2 + 2x3 ≥ 10−2x1 + 3x2 − x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(10.1)

kasutades temaga duaalse ulesande simpleksmeetodil saadud lahendit.Ulesandega (10.1) duaalne ulesanne on

w = 5y1 + 10y2 + 2y3 → max3y1 + y2 − 2y3 ≤ 1−2y1 + y2 + 3y3 ≤ 3y1 + 2y2 − y3 ≤ 2

y1, y2, y3 ≥ 0

(10.2)

Viies ulesande (10.2) kanoonilisele kujule, saadakse

w = 5y1 + 10y2 + 2y3 → max3y1 + y2 − 2y3 + y4 = 1

−2y1 + y2 + 3y3 + y5 = 3

y1 + 2y2 − y3 + y6 = 2

y1, . . . , y6 ≥ 0

(10.3)

Kirjutades valja ulesandele (10.3) vastava tabeli, saadakse kohe simplekstabel, mil-lele rakendame simpleksmmetodit:

23

z x1 x2 x3 x4 x5 x60 1 -5 -10 -2 0 0 0 +10 · I1 0 3 1 -2 1 0 03 0 -2 1 3 0 1 0 −I2 0 1 2 -1 0 0 1 −2 · I10 1 25 0 -22 10 0 0 +(22/3) · III1 0 3 1 -2 1 0 0 +(2/3) · III2 0 -5 0 5 -1 1 0 −(5/3) · III0 0 -5 0 3 -2 0 1 ·(1/3)10 1 -35/3 0 0 -14/3 0 22/3 +(7/2) · II1 0 -1/3 1 0 -1/3 0 2/3 +(1/10) · II2 0 10/3 0 0 7/3 1 -5/3 ·(3/10)0 0 -5/3 0 1 -2/3 0 1/3 +(1/2) · II17 1 0 0 0 7/2 7/2 3/26/5 0 0 1 0 -1/10 1/10 1/23/5 0 1 0 0 7/10 3/10 -1/21 0 0 0 1 1/2 1/2 -1/2

Siit saame ulesande (10.3) optimaalseks lahendiks vektori (3/5 ; 6/5 ; 1; 0; 0; 0)T

ja ulesande (10.2) optimaalseks lahendiks vektori (3/5 ; 6/5 ; 1)T , kusjuures

wmax = w(3/5 ; 6/5 ; 1) = 17.

Kuna ulesande (10.2) optimaalses lahendis y = (y1; y2; y3)T on koik komponen-did positiivsed, siis vastavalt duaalsusteoreemidele on ulesandega (10.2) duaalsesulesandes (10.1) koik kolm esimest kitsendust optimaalse lahendi korral taidetudvordusena, s.t ulesande (10.1) optimaalne lahend on saadav vorrandisusteemist

3x1 − 2x2 + x3 = 5

x1 + x2 + 2x3 = 10

−2x1 + 3x2 − x3 = 2

(10.4)

Vorrandisusteem (10.4) maatrikskujul esitatuna on Ax = b, kus

A =

∥∥∥∥∥∥3 −2 11 1 2−2 3 −1

∥∥∥∥∥∥ , b =

∥∥∥∥∥∥5102

∥∥∥∥∥∥ , x =

∥∥∥∥∥∥x1x2x3

∥∥∥∥∥∥ .

Siis x = A−1b. Maatriksi A poordmaatriksi saame aga ulal antud viimasest simpleks-tabelist. Nimelt on lineaaralgebrakursusest teada jargmine poordmaatriksi leidmiseskeem:

‖A |E ‖ −→ . . . −→∥∥E |A−1

∥∥ ,

kus kasutatakse ridade elementaarteisendusi ja E on uhikmaatriks. Ulal lahendusesesimeses simplekstabelis (jatta ara kaks esimest veergu) esineb maatriks

∥∥AT |E∥∥.

Poordmaatriksi (AT )−1 saame viimasest simplekstabelist, kui seal muudame ridade

24

jarjekorda nii, et 3., 4. ja 5.veerg annaksid uhikmaatriksi. Sellisel juhul viimasedkolm veergu annaksid maatriksi (AT )−1. Tehes oeldut, saadakse

(AT )−1 =

∥∥∥∥∥∥7/10 3/10 −1/2−1/10 1/10 1/21/2 1/2 −1/2

∥∥∥∥∥∥ ,

kust seose (AT )−1 = (A−1)T tottu

A−1 =

∥∥∥∥∥∥7/10 −1/10 1/23/10 1/10 1/2−1/2 1/2 −1/2

∥∥∥∥∥∥ ,

ja

x =

∥∥∥∥∥∥x1x2x3

∥∥∥∥∥∥ = A−1b =

∥∥∥∥∥∥7/10 −1/10 1/23/10 1/10 1/2−1/2 1/2 −1/2

∥∥∥∥∥∥ ·∥∥∥∥∥∥5102

∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥∥7/27/23/2

∥∥∥∥∥∥ .

Olemegi saanud lahendatava ulesande vastuse

zmin = z(7/2; 7/2; 3/2) = wmax = 17.

Naide 10.2. Lahendame ulesandez = 3x1 + x2 + x3 → max2x1 − x2 + x3 = 6

x1 + 2x2 − x3 = 4

x1, x2, x3 ≥ 0

(10.5)

Ulesande (10.5) duaalne ulesanne onw = 6y1 + 4y2 → min2y1 + y2 ≥ 3−y1 + 2y2 ≥ 1y1 − y2 ≥ 1

(10.6)

ja seda saab lahendada graafiliselt:

25

-

6

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AAAAAA I��*

��

��

��

��

��

IIA

AK

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

III@@R

y1

y2

r

r

yopt

��

��

��

��

��

��

��

��

��3

JJ

JJJ

JJ

JJJ

JJ

JJJ

JJ

JJJ

(6; 4)T

1 3

2

y1 = 3, y2 = 2, wmin = w(3; 2) = 6 · 3 + 4 · 2 = 26.

Kuna duaalse ulesande (10.6) optimaalne lahend y asub joonisel kujutatud sirgetelII ja III, siis ta esimesel sirgel I ei asu ning optimaalse lahendi korral on ulesandeesimene kitsendus taidetud range vorratusena 2y1 + y2 > 3 ja vastavalt tingimusele(9.10) ulesande (10.5) optimaalses lahendis x = (x1; x2; x3)T peab x1 = 0. Nuudulesande (10.5) kitsendustest saame{

−x2 + x3 = 6

2x2 − x3 = 4

kustx2 = 10, x3 = 16.

Oleme saanud ulesande (10.5) lahendi:

zmax = z(0; 10; 16) = wmin = 26.

11 Duaalsete muutujate majanduslik tolgendus

Vaatleme pohikujul antud lineaarset planeerimisulesannetz = c · x → max

Ax ≤ b

x ≥ θ

(11.1)

26

ja temaga duaalset ulesannet w = b · y → min

AT y ≥ c

y ≥ θ.

(11.2)

Nimetagem ulesande (11.2) muutujaid y1, y2, . . . , ym duaalseteks muutujateks.Puuame anda duaalsetele muutujatele majandusliku tolgenduse. Selleks tuleb andaka esialgsele ulesandele (11.1) majanduslik sisu.Anname duaalsetele muutujatele majandusliku tolgenduse juhul, kui esialgne

ulesanne on tekkinud naites 3.1 kirjeldatud juhul (vt. ulesande pustitust naites3.1). Anname vektorile b muudu 4b = (4b1; 4b2; . . . ; 4bm)T ning vaatleme lisaksulesannetele (11.1) ja (11.2) ulesannet

z = c · x → max

Ax ≤ b+4b

x ≥ θ

(11.3)

ja sellega duaalset ulesannetw = (b+4b) · y → min

AT y ≥ c

y ≥ θ.

(11.4)

Tahistagu x∗ ja y∗ vastavalt ulesannete (11.1) ja (11.2) optimaalseid lahendeidning

z∗ = c · x∗ = b · y∗ = w∗.

Ulesannete (11.3) ja (11.4) optimaalsed lahendid erinevad uldjuhul ulesannete (11.1)ja (11.2) optimaalsetest lahenditest x∗ ja y∗, erinedes nendest vastavalt 4x∗ ja 4y∗

vorra, s.t. ulesannete (11.3) ja (11.4) optimaalsed lahendid on vastavalt x∗+4x∗ jay∗ +4y∗. Analoogiliselt olgu ulesannete (11.3) ja (11.4) sihifunktsioonid vaartusedoptimaalsete lahendite korral vastavalt z∗ +4z∗ ja w∗ +4w∗, s.t.

z∗ +4z∗ = c · (x∗ +4x∗) = w∗ +4w∗ = (b+4b) · (y∗ +4y∗).

Siit saadakse4z∗ = 4w∗ = (b+4b) · (y∗ +4y∗)− w∗ =

= (b+4b) · (y∗ +4y∗)− b · y∗ =

= b · 4y∗ +4b · y∗ +4b · 4y∗. (11.5)

Paneme tahele, et ulesannete (11.2) ja (11.4) koigi lubatavate lahendite hulgadlangevad kokku. Nagu naha jargnevalt jooniselt (seal on kujutatud juhtum = 2 ningviirutatult on esitatud ulesannete (11.2) ja (11.4) koigi lubatavate lahendite hulk),

27

vaikeste koordinaatidega vektori 4b korral ulesannete (11.2) ja (11.4) optimaalsedlahendid langevad kokku, s.t. 4y∗ = θ. Sellisel juhul vordus (11.5) votab kuju

4z∗ = 4b · y∗. (11.6)

r

r

BBBBBBBBB

HHHHHH

��

��

��

��

��

�

p p p p p p p pp p

p p p p p p p p p p p p p ppppppppp

pppppp

b

y∗

Valides

4b =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

0. . .010. . .0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥i.koordinaat

saadakse vordusest (11.6) vordus

4z∗ = y∗i .

Arvestades ulesande pustitust, saadaksegi siit duaalsete muutujate y1, y2, . . . , ym

majanduslik tolgendus:

duaalse ulesande (11.2) optimaalses lahendis y∗ = (y∗1, y∗2, . . . , y∗m)T arv y∗i naitab,

kui palju suureneb ettevotte tulu, kui sellele ettevottele antavat i.tooraine limiitisuurendada uhe uhiku vorra.

28


12 Duaalne simpleksmeetod

Vaatleme kanoonilisel kujul antud lineaarset planeerimisulesannetz = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ

(12.1)

Olgu teada tema mingi baasilahend x vorrandisusteemile Ax = b:

x = (x1; x2; . . . ; xn)T , I(x) = {j1; . . . ; jm}.

Siis saame leida sellele baasilahendile vastava simplekstabeliTabel 12.1

z x1 xj1 xj2 xjm xn

z 1 s1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . sn


Simpleksmeetodi korral eeldasime, et x on lubatav baasilahend, s.t. x ≥ θ, jateisendasime simplekstabeleid seni, kuni tabeli 0-ndas reas (sihifunktsioonile vas-tavas reas) esinevad arvud muutusid mittenegatiivseteks (sihifunktsiooni vaartusvois jaada negatiivseks). Skemaatiliselt oeldes teisendasime kujul

Tabel 12.2

suvalised arvud

≥ θ

antud simplekstabeli kujuleTabel 12.3

≥ θ

≥ θ

kust saab valja kirjutada ulesande (12.1) optimaalse lahendi.Duaalse simpleksmeetodi rakendamiseks ei nouta, et baasilahend x oleks lu-

batav, vaid noutakse, et sellele baasilahendile vastavas simplekstabelis 12.1 olek-sid arvud s1, . . . , sn mittenegatiivsed ning teisendatakse seda simplekstabelit seni,kuni saadakse tabelis 12.3 antud kuju, kust saab valja kirjutada ulesande (12.1)optimaalse lahendi. Duaalse simpleksmeetodi korral teisendatakse kujul

29

Tabel 12.4

≥ θ

suvalisedarvud

antud tabel kujule 12.3.Kirjeldame nuud uleminekut antud simplekstabelilt jargmisele simplekstabelile

duaalse simpleksmeetodi korral. Olgu antud simplekstabel kujuga 12.1, milles s1, . . . ,sn ≥ 0. Eeldame, et arvude xj1 , . . . , xjm seas on negatiivseid arve, sest vastasel kor-ral on juba tabel 12.3 kaes. Olgu xjk

< 0 ja vaatleme tabeli 12.3 k-ndat rida

xjk0 zk1 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . zkn

Kui selles reas koik arvud zk1, . . . , zkn on mittenegatiivsed, siis ulesandel (12.1)puuduvad uldse lubatavad lahendid, sest k-ndast vorrandist saadakse

xjk= xjk

+∑

j 6∈I(x)

zkjxj

ehkxjk= xjk

+∑

j 6∈I(x)

(−zkj)xj < 0

iga xj ≥ 0 korral. Seeparast eeldagem, et nende seas on negatiivseid arve ja valigemmainitud negatiivsete arvude seast valja arvu zkl, mis rahuldab omadust

sl

|zkl|= min

zkj<0

sj

|zkj|(12.2)

Seejarel teisendatakse simplekstabelis 12.1 tundmatule xl vastav veerg

sl

z1l. . .zkl

. . .zml

uhikmaatriksi veeruks00. . .1. . .0

30

Nii saadakse uus simplekstabel, millega tuleb toimida analoogiliselt. Protsessi jatka-takse seni, kuni saadakse simplekstabel kujul 12.3 voi selgub, et ulesandel polelubatavaid lahendeid (vt. ulal antud selgitusi).


z = x1 + 3x2 + 2x3 → min3x1 − 2x2 + x3 ≥ 5x1 + x2 + 2x3 ≥ 10−2x1 + 3x2 − x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(12.3)

Teisendades antud ulesande kanoonilisele kujule, saadakse

w = −z = −x1 − 3x2 − 2x3 → max3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 5

x1 + x2 + 2x3 − x5 = 10

−2x1 + 3x2 − x3 − x6 = 2

x1, . . . , x6 ≥ 0ehk vorrandeid arvuga -1 labi korrutades

w = −z = −x1 − 3x2 − 2x3 → max−3x1 + 2x2 − x3 + x4 = −5−x1 − x2 − 2x3 + x5 = −102x1 − 3x2 + x3 + x6 = −2

x1, . . . , x6 ≥ 0

(12.4)

Ulesandele (12.4) vastab simplekstabel

w x1 x2 x3 x4 x5 x60 1 1 3 2 0 0 0-5 0 -3 2 -1 1 0 0-10 0 -1 -1 -2 0 1 0-2 0 2 -3 1 0 0 1

Viimases tabelis valime valja 2.rea, milles vabaliikmete veerus asub arv 10. Sellesreas peame vastavalt suhtele (12.2) valja valima negatiivse arvu, mis tuleb teisendadaarvuks 1 ja ulejaanud arvud selles veerus teisendatakse arvuks 0. Vahim suhe avald-ises (12.2) saadakse muutujale x1 vastavasse veergu ja seega tuleb vaadeldavat simp-lekstabelit teisendada jargmiselt:

w x1 x2 x3 x4 x5 x60 1 1 3 2 0 0 0 +II-5 0 -3 2 -1 1 0 0 +(−3) · II-10 0 -1 -1 -2 0 1 0 ·(−1)-2 0 2 -3 1 0 0 1 +2 · II

31

-10 1 0 2 0 0 1 025 0 0 5 5 1 -3 010 0 1 1 2 0 -1 0-22 0 0 -5 -3 0 2 1

Kuna viimasele tabelile vastav baasilahend pole lubatav, siis jatkame teisendusivastavalt duaalsele simpleksmeetodile seni, kuni saame tabeli kujul 12.3:

-10 1 0 2 0 0 1 025 0 0 5 5 1 -3 0 +(5/3) · III10 0 1 1 2 0 -1 0 +(2/3) · III-22 0 0 -5 -3 0 2 1 ·(−1/3)-10 1 0 2 0 0 1 0 +(6/7) · II-35/3 0 0 -10/3 0 1 1/3 5/3 +(−10/7) · II-14/3 0 1 -7/3 0 0 1/3 2/3 ·(−3/7)22/3 0 0 5/3 1 0 -2/3 -1/3 +(5/7) · II-14 1 6/7 0 0 0 9/7 4/7 +(3/5) · I-5 0 -10/7 0 0 1 -1/7 5/7 ·(−7/10)2 0 -3/7 1 0 0 -1/7 -2/7 (−3/10) · I4 0 5/7 0 1 0 -3/7 1/7 +(1/2) · I-17 1 0 0 0 3/5 6/5 17/2 0 1 0 0 -7/10 1/10 -1/27/2 0 0 1 0 -3/10 -1/10 -1/23/2 0 0 0 1 1/2 -1/2 1/2

Siit saame ulesande (12.4) optimaalse lahendi

wmax = w(7/2; 7/2; 3/2) = −17.

Esialgse ulesande (12.3) lahend aga on

zmin = w(7/2; 7/2; 3/2) = 17.

13 Taisarvuline planeerimine

Vaatleme kanoonilisel kujul antud lineaarset planeerimisulesannetz = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ

(13.1)

32

Praktiliste ulesannete lahendamisel on aeg-ajalt vaja lisada veel noue, et vektorix = (x1; . . . ; xn)T komponendid oleksid taisarvud, s.t. xi ∈ Z. Siis tekib lineaarneplaneerimisulesanne

z = c · x → max

Ax = b

x ≥ θ; x1, . . . , xn ∈ Z(13.2)

mida nimetatakse taisarvuliseks planeerimisulesandeks. Ulesandele (13.2) vas-tavaks pidevaks ulesandeks nimetatakse ulesannnet (13.1).Ulesande (13.2) lahendamiseks on valja tootatud rida meetodeid, milledest tun-

tuimad on nn. loikemeetodid, millede idee seisneb jargnevas:

10 kui ulesande (13.1) lahendi x∗ = (x∗1; . . . ; x∗n)

T koik komponendid x∗j on taisarvud,siis x∗ on ka ulesande (13.2) lahend;20 kui ulesande (13.1) lahendi x∗ komponendid pole taisarvud, siis lisatakse ules-andele (13.1) jarjest lisakitsendusi, kuni tekkiva ulesande lahend x∗∗ on taisarvulistekomponentidega; sellisel juhul x∗∗ on ulesande (13.2) lahend; lisakitsendusi lisataksenii, et need ei loika lubatavate lahendite piirkonnast ara taisarvuliste komponen-tidega vektoreid.


Esitame siin Ralph E. Gomory (s. 1929) poolt 1958.a. antud algoritmi, midanimetatakse Gomory I algoritmiks:

1. Leitakse ulesande (13.1) optimaalne lahend x = (x1; . . . ; xn)T ja sellele vastavsimplekstabel

z x1 xj1 xj2 xjm xn

z 1 s1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . sn


Kui x on taisarvuliste komponentidega, siis ta on ka ulesande (13.2) lahend. Kuiaga x pole taisarvuliste komponentidega, siis lisatakse ulesandele (13.1) lisakitsendusjargnevas punktis 2 kirjeldatud reegli kohaselt.

2. Olgu baasilahendis x = (x1; . . . ; xn)T selle k.komponent xjkmurdarv, s.t. xjk

6∈Z. Valime simplekstabelist valja k.rea

xjk0 zk1 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . zkn

Sellele vastab vorrandxjk= xjk

+∑

j 6∈I(x)

zkjxj. (13.3)

33

Eraldame arvudel xjkja zkj tais- ja murdosad5:

xjk= [xjk

] + {xjk}, 0 < {xjk

} < 1,

zkj = [zkj] + {zkj}, 0 ≤ {zkj} < 1.

Siis vorrand (13.3) votab kuju

[xjk] + {xjk

} = xjk+∑

j 6∈I(x)

[zkj]xj +∑

j 6∈I(x)

{zkj}xj

ehk[xjk]− xjk

−∑

j 6∈I(x)

[zkj]xj = −{xjk}+

∑j 6∈I(x)

{zkj}xj. (13.4)

Vorduse (13.4) vasak pool on taisarv ulesande (13.2) iga lubatava lahendi korral,parem pool aga on suurem kui arv -1, sest

−1 < −{xjk} < 0 ja

∑j 6∈I(x)

{zkj}xj ≥ 0.

Seega peab vorduse (13.4) parem pool olema mittenegatiivne taisarv ulesande (13.2)iga lubatava lahendi korral. Tahistame selle taisarvu sumboliga xn+1:

xn+1 = −{xjk}+

∑j 6∈I(x)

{zkj}xj (13.5)

Vorrand (13.5) lisataksegi uueks lisakitsenduseks.

3. Lahendatakse planeerimisulesanne, mis tekib esialgsele ulesandele (13.1) lisa-kitsenduse (13.5) lisamisel. Kui saadud lahend (x1; . . . ; xn; xn+1)T on taisarvulistekomponentidega, siis (x1; . . . ; xn)T on ulesande (13.2) lahend. Kui aga mitte, siislisatakse punkti 2 kohaselt uus lisakitsendus. Lisakitsendusi lisatakse kirjeldatudreegli kohaselt seni, kuni saadakse taisarvuliste komponentidega lahend voi selgubulesande mittelahenduvus.

Demonstreerime Gomory meetodit jargmise naitega.

Naide 13.1. Lahendame taisarvulise planeerimisulesande

z = 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 → maxx1 − 2x2 + x4 = 3

x2 + x3 − 2x4 = 5

3x2 + x4 + x5 = 4

x1, . . . , x5 ≥ 0; x1, . . . , x5 ∈ Z

(13.6)

Lahendades sellele ulesandele vastava pideva ulesande, saadakse pideva ulesandeoptimaalseks lahendiks baasilahend x = (0; 1/5; 58/5; 17/5; 0)T , millele vastavsimplekstabel on

5Kui a on mis tahes reaalarv, siis tema taisosa [a] on suurim taisarv, mis ei uleta arvu a ningmurdosa {a} defineeritakse vordusega {a} = a− [a].

34

121/5 1 4/5 0 0 0 1/517/5 0 3/5 0 0 1 2/558/5 0 7/5 0 1 0 3/51/5 0 -1/5 1 0 0 1/5

Kuna saadud optimaalne lahend pole taisarvuliste komponentidega, siis lisame vii-masele tabelile rea

58/5 0 7/5 0 1 0 3/5

baasil reegli (13.5) kohaselt uue kitsenduse

x6 = −35+25· x1 +

35· x5 ehk − 3

5= −25· x1 −

35· x5 + x6.

Saadakse uus simplekstabel

121/5 1 4/5 0 0 0 1/5 017/5 0 3/5 0 0 1 2/5 058/5 0 7/5 0 1 0 3/5 01/5 0 -1/5 1 0 0 1/5 0-3/5 0 -2/5 0 0 0 -3/5 1

Rakendame viimasele simplekstabelile duaalset simpleksmeetodit:

121/5 1 4/5 0 0 0 1/5 0 +(1/3) · IV17/5 0 3/5 0 0 1 2/5 0 +(2/3) · IV58/5 0 7/5 0 1 0 3/5 0 +IV1/5 0 -1/5 1 0 0 1/5 0 +(1/3) · IV-3/5 0 -2/5 0 0 0 -3/5 1 ·(−5/3)24 1 2/3 0 0 0 0 1/33 0 1/3 0 0 1 0 2/311 0 1 0 1 0 0 10 0 -1/3 1 0 0 0 1/31 0 2/3 0 0 0 1 -5/3

Viimasele tabelile vastav baasilahend (0; 0; 11; 3; 1; 0)T on optimaalne ja taisar-vuliste komponentidega, mistottu tema viis esimest komponenti maaravad esialgseulesande (13.6) optimaalse lahendi. Seega on ulesande (13.6) lahend jargmine:

zmax = z(0; 0; 11; 3; 1) = 24.

35

Naide 13.2. Lahendame taisarvulise planeerimisulesande

z = x1 + 3x2 + x3 + x4 + x5 → maxx1 − x2 + x3 = 1

5x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 17

2x1 + x2 + x5 = 4

x1, . . . , x5 ≥ 0; x1, . . . , x5 ∈ Z

(13.7)

Lahendades sellele ulesandele vastava pideva ulesande, saadakse pideva ulesandeoptimaalseks lahendiks baasilahend x = (1/5; 18/5; 22/5; 0; 0)T , millele vastavsimplekstabel on

77/5 1 0 0 0 3/5 7/51/5 0 1 0 0 -1/5 1/522/5 0 0 0 1 3/5 2/518/5 0 0 1 0 2/5 3/5

Koostame selle tabeli rea

22/5 0 0 0 1 3/5 2/5

abil lisakitsenduse

x6 = −25+35· x4 +

25· x5 ehk − 2

5= −35· x4 −

25· x5 + x6

ning rakendame saadud tabelile duaalset simpleksmeetodit:

77/5 1 0 0 0 3/5 7/5 0 +IV1/5 0 1 0 0 -1/5 1/5 0 −(12/3) · IV22/5 0 0 0 1 3/5 2/5 0 +IV18/5 0 0 1 0 2/5 3/5 0 +(2/3) · IV-2/5 0 0 0 0 -3/5 -2/5 1 ·(−5/3)15 1 0 0 0 0 1 11/3 0 1 0 0 0 1/3 -1/34 0 0 0 1 0 0 110/3 0 0 1 0 0 1/3 2/32/3 0 0 0 0 1 2/3 -5/3

Saadud tabelile vastav baasilahend pole taisarvuliste komponentidega. Seetottukoostame selle tabeli rea

10/3 0 0 1 0 0 1/3 2/3

36

alusel lisakitsenduse

x7 = −13+13· x5 +

23· x6 ehk − 1

3= −13· x5 −

23· x6 + x7,

lisame selle eelmisele tabelile ning rakendame saadud tabelile duaalset simpleksmee-todit:

15 1 0 0 0 0 1 1 0 +(3/2) · V1/3 0 1 0 0 0 1/3 -1/3 0 −(1/2) · V4 0 0 0 1 0 0 1 0 +(3/2) · V10/3 0 0 1 0 0 1/3 2/3 0 +V2/3 0 0 0 0 1 2/3 -5/3 0 −(5/2) · V-1/3 0 0 0 0 0 -1/3 -2/3 1 ·(−3/2)29/2 1 0 0 0 0 1/2 0 3/21/2 0 1 0 0 0 1/2 0 -1/27/2 0 0 0 1 0 -1/2 0 3/23 0 0 1 0 0 0 0 13/2 0 0 0 0 1 3/2 0 -5/21/2 0 0 0 0 0 1/2 1 -3/2

Saadud tabelile vastav baasilahend pole taisarvuliste komponentidega. Seetottukoostame selle tabeli rea

1/2 0 0 0 0 0 1/2 1 − 3/2

alusel lisakitsenduse

x8 = −12+12· x5 +

12· x7 ehk − 1

2= −12· x5 −

12· x7 + x8,

lisame selle eelmisele tabelile ning rakendame saadud tabelile duaalset simpleksmee-todit:

29/2 1 0 0 0 0 1/2 0 3/2 0 +VI1/2 0 1 0 0 0 1/2 0 -1/2 0 +VI7/2 0 0 0 1 0 -1/2 0 3/2 0 −VI3 0 0 1 0 0 0 0 1 03/2 0 0 0 0 1 3/2 0 -5/2 0 +3 · VI1/2 0 0 0 0 0 1/2 1 -3/2 0 +VI-1/2 0 0 0 0 0 -1/2 0 -1/2 1 ·(−2)14 1 0 0 0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 0 0 -1 14 0 0 0 1 0 0 0 2 -13 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 -4 30 0 0 0 0 0 0 1 -2 11 0 0 0 0 0 1 0 1 -2

37

Saadud tabelile vastav baasilahend (0; 3; 4; 0; 1; 0; 0; 0)T on taisarvuliste kompo-nentidega ja selle viis esimest komponenti annavad ulesande (13.7) optimaalse la-hendi:

zmax = z(0; 3; 4; 0; 1) = 14.

10.loeng: 3.november 2005

14 Transpordiulesande pustitus

Olgu vaatlusel m ladu uhetuubilise kaubaga ja n selle kauba tarbijat. Tahistameneid vastavalt numbritega 1, 2, . . . , m ja 1, 2, . . . , n. Tahistagu ai kauba kogusti-ndas laos, bj j-nda tarbija vajatavat kauba kogust ja cij uhe uhiku kauba veokului-ndast laost j-nda tarbijani. Vaja on leida i-ndast laost j-nda tarbijani veetavkauba kogus xij nii, et summarne veokulu

z =m, n∑i, j=1

cijxij

oleks minimaalne. Uldsust kitsendamata voib eeldada, et kauba summaarne kogusladudes vordub tarbijate koguvajadusega selle kauba jarele, sest vastasel juhul voibsisse tuua kas fiktiivse tarbija voi fiktiivse lao. Seega eeldame jargnevalt, et

a1 + a2 + . . .+ am = b1 + b2 + . . .+ bn. (14.1)

Tehtud eeldusel i-ndas laos olev kauba kogus ai vordub sellest laost tarbijateni vee-tava kauba kogusega, s.t.

n∑j=1

xij = xi1 + xi2 + . . .+ xin = ai.

Analoogiliselt j.tarbija saab oma vajatava kauba koguse bj olemasolevatest ladudest,s.t.

m∑i=1

xij = x1j + x2j + . . .+ xmj = bj.

Kokkuvottes oleme saanud lineaarse planeerimisulesande

z =∑m, n

i, j=1cijxij −→ min∑n

j=1xij = ai, i = 1, 2, . . . , m;∑m

i=1xij = bj, j = 1, 2, . . . , n;

xij ≥ 0

(14.2)

mida nimetatakse transportulesandeks.

38

Ulesannet (14.2) saab muidugi lahendada simpleksmeetodiga. Ent transport-ulesande jaoks on valja tootatud simpleksmeetodist mugavamad meetodid. Meietutvume uhega neist. Et seda teha, peame leidma vaadeldava ulesande (14.2)duaalse ulesande.

Teoreem 14.1 Transportulesandega (14.2) duaalne ulesanne onw =∑m

i=1aiui +

∑n

j=1bjvj → max

ui + vj ≤ cij ; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.(14.3)

Toestus. Esitades ulesande (14.2) kanoonilisel kujul, saadakse ulesanne−z = (−c) · x → max

Ax = b

x ≥ θ

(14.4)

kusx = (x11; . . . ; xm1; x12; . . . ; xm2; . . . ; x1n; . . . ; xmn)

T ,

c = (c11; . . . ; cm1; c12; . . . ; cm2; . . . ; c1n; . . . ; cmn)T ,

b = (a1; . . . ; am; b1; . . . ; bn)T ,

A =

∥∥∥∥E E . . . EA1 A2 . . . An

∥∥∥∥ja E on m-ndat jarku uhikmaaatriks ning Aj on (n×m)-maatriks, mille j.rea arvudvorduvad koik arvuga 1 ja ulejaanud elemendid vorduvad nulliga. Ulesandega (14.4)duaalne ulesanne on {

b · y → minAT y ≥ −c

ehk {w = b · (−y)→ max

AT (−y) ≤ c(14.5)

Tahistades−y = (u1; . . . ; um; v1; . . . ; vn)

T

ja kirjutades ulesande (14.5) lahti mittemaatrikskujul, saadaksegi ulesanne (14.3)�

Teoreem 14.2 Kui koik arvud ai, bj ja cij ulesandes (14.2) on mittenegatiivsed,siis ulesanne (14.2) omab optimaalset lahendit.

39

Toestus. Tahistame

M =m∑

i=1

ai =n∑

j=1

bj.

Kui M = 0, siis teoreemi kehtivus on ilmne: optimaalseks lahendiks on xij = 0 igai ja j vaartuse korral. Seetottu eeldame, et M 6= 0. Siis suurused

xij =aibj

M

rahuldavad ulesande (14.2) kitsendusi, mistottu nad annavad sellele ulesandele lu-batava lahendi. Ka ulesandega (14.2) duaalne ulesanne (14.3) omab lubatavat la-hendit. Selleks on

ui = vj = 0 iga i ja j vaartuse korral.

Duaalsusteoreemi 9.6 pohjal omab ulesanne (14.2) optimaalset lahendit. �

Teoreem 14.3 Kui X = ‖xij‖ on transportulesande (14.2) lubatav lahend jaui + vj ≤ cij iga i ja j vaartuse korral, (14.6)

siis X = ‖xij‖ on ulesande (14.2) optimaalne lahend ja (u1; . . . ; um; v1; . . . ; vn)T

on duaalse ulesande (14.3) optimaalne lahend parajasti siis, kui

xij · (ui + vj − cij) = 0 iga i ja j vaartuse korral. (14.7)

Sonastatud teoreem jareldub vahetult duaalsusteoreemidest.Saab naidata, et maatriksi A astak vordub arvuga m+ n− 1:

rank(A) = m+ n− 1

15 Transportulesande lubatava lahendi leidmine

Vaatleme transportulesannet (14.2). Olgu X = ‖xij‖ selle ulesande lubatav lahend.Siis arvud cij ja xij saab paigutada tabelisse

cm1

xm1

cm2

xm2

. . . cmn

xmn

. . . . . . . . . . . .

c21x21

c22x22

. . . c2nx2n

c11x11

c12x12

. . . c1nx1n

b1 b2 . . . bn

a1

a2

. . .

am

Saadud tabelit nimetatakse transporttabeliks. Arvud cij on antud, lubatav lahendxij tuleb aga tavaliselt leida. Esitame siin kaks meetodit lubatava lahendi leidmiseksehk ulal antud tabeli taitmiseks.

40

15.1 Vahima maksumuse meetod

Meetod seisneb jargnevas. Koigepealt taidetakse minimaaalset veokulu cij sisaldavruut maksimaalse voimaliku kauba kogusega xij. Seejarel taidetakse jarelejaanudruutudest vahima veokuluga ruut maksimaalse voimaliku kauba kogusega. Sedaprotseduuri korratakse seni, kuni transporttabeli koik ruudud on taidetud kaubakogustega.

Naide 15.1. Taidame jargmiste algandmetega antud transporttabeli:

8 11 10 2

5 3 7 2

2 5 14 1

1 9 6 10

9 8 13 30

20

5

10

25

Siin vahima veokuluga 1 ruute on kaks. Valime neist vasakul ulanurgas olevaruudu. Sellele ruudule vastav 1.tarbija vajab 9 uhikut kaupa ja selle kauba saamekatte esimesest laost s.t valime x11 = 9. Siis 1.lattu jaab veel kaupa 11 uhikut ja1.tarbija teistest ladudest kaupa enam ei vaja, s.t. x21 = x31 = x41 = 0. Arvu 0asemel kirjutame transporttabelisse kriipsu. Saame pooltaidetud transporttabeli

8−11 10 2

5−3 7 2

2−5 14 1

199 6 10

9 8 13 30

20

5

10

25

Jarelejaanud ruutudest vahima veokuluga ruut veokuluga c24 = 1. Taidame selleruudu maksimaalse voimalku kauba kogusega. Neljas tarbija vajab 30 uhikut kaupa,teises laos on aga ainult 5 uhikut kaupa. Seega saame selle 5 uhikut koik suunama4.tarbijale, s.t. valime x24 = 5. Teine ladu sai tuhjaks, mistottu sealt enam teisteletarbijatele kaupa suunata ei saa, s.t. x22 = x23 = 0. Saame jargneva juba rohkemtaidetud transporttabeli (seal on jalle arv 0 asendatud kriipsuga)

41

8−11 10 2

5−3 7 2

2−5−14−

15

199 6 10

9 8 13 30

20

5

10

25

Viimases tabelis taitmata ruutude seas vahima veokuluga 2 on kaks ruutu. Val-ime nendest ruutudest selle, kuhu saab suunata rohkem kaupa, s.t. 4.veeru koigalumise ruudu, ja taidame selle maksimaalse voimaliku kaubakogusega. Selleks onkauba kogus 25. Saame tabeli

8−11−10−225

5−3 7 2

−

2−5−14−

15

199 6 10

−

9 8 13 30

20

5

10

25

Saadud tabelis taitmata ruutude seas vahima veokuluga ruut on veokuluga 3.Taidame selle ruudu maksimaalse voimaliku kauba kogusega:

8−11−10−225

5−387 2

−

2−5−14−

15

199−6 10

−

9 8 13 30

20

5

10

25

42

Saadud tabelis on ruutude taitmiseks ainult uks voimalus:

8−11−10−225

5−38 27 2

−

2−5−14−

15

199−611

10−

9 8 13 30

20

5

10

25

Seega antud ulesande lubatav lahend on

X =

∥∥∥∥∥∥∥∥9 0 11 00 0 0 50 8 2 00 0 0 25

∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Leides korrutiste cijxij summa, saadakse kaesoleva lubatava lahendi korral tekkivveokulu z:

z = 1 · 9 + 6 · 11 + 1 · 5 + 3 · 8 + 7 · 2 + 2 · 25 = 168.


15.2 Loodenurga meetod

Meetod seisneb jargnevas. Koigepealt rahuldatakse 1.tarbija vajadused jarjest ladu-dest 1, 2, . . . , m (alati maksimaalse voimaliku kogusega). Seejarel rahuldatakse2.tarbija vajadused jarjest ladudest 1, 2, . . . , m jne.

Naide 15.2. Leiame eelmises naites antud algandmetega transportulesandejaoks lubatava lahendi loodenurga meetodil. Taidame algtabelis esimese veeru,rahuldades 1.tarbija vajadused jarjest ladudest 1, 2, 3, 4. Saadakse tabel

8−11 10 2

5−3 7 2

2−5 14 1

199 6 10

9 8 13 30

20

5

10

25

43

Nuud rahuldame vajadused jarjest ladudest 1, 2, 3, 4. Saadakse tabel

8−11−10 2

5−3−7 2

2−5−14 1

19986 10

9 8 13 30

20

5

10

25

Nuud rahuldatakse 3.tarbija vajadused:

8−11−10−2

5−3−752

2−5−1451

19986310

9 8 13 30

20

5

10

25

Lopuks rahuldatakse 4.tarbija vajadused:

8−11−10−225

5−3−7525

2−5−1451−

19986310−

9 8 13 30

20

5

10

25

44

Seega antud ulesande lubatav lahend on

X =

∥∥∥∥∥∥∥∥9 8 3 00 0 5 00 0 5 50 0 0 25

∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Leides korrutiste cijxij summa, saadakse kaesoleva lubatava lahendi korral tekkivveokulu z:

z = 1 · 9 + 9 · 8 + 6 · 3 + 14 · 5 + 7 · 5 + 2 · 5 + 2 · 25 = 264.

Vorreldes naitega 15.1 annab asja saadud lubatav lahend oluliselt suurema veokulu.

16 Potentsiaalide meetod transportulesande lahen-damiseks

Vaatleme transportulesannet

z =∑m, n

i, j=1cijxij −→ min∑n

j=1xij = ai, i = 1, 2, . . . , m;∑m

i=1xij = bj, j = 1, 2, . . . , n;

xij ≥ 0

(16.1)

ja temale vastavat transporttabelit

cm1

xm1

cm2

xm2

. . . cmn

xmn

. . . . . . . . . . . .

c21x21

c22x22

. . . c2nx2n

c11x11

c12x12

. . . c1nx1n

b1 b2 . . . bn

a1

a2

. . .

am

Selle tabeli i-nda rea ja j-nda veeru ruudule viitamiseks kasutame valjendit ”ruut(i, j)”.

Definitsioon 16.1 Tsukliliseks kontuuriks transporttabelis nimetatakse erinevateruutude jada

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), (i2, j3), . . . , (it, jt), (it, j1), (16.2)

45

kus jadas (16.2) ei tohi esineda transporttabeli uhestki reast ega veerust ule kaheruudu.

Kui kujutada transporttabeli ruute punktikestena tasandil ja uhendada tsukliliseskontuuris (16.2) korvuti asetsevad ruudud omavahel sirgloiguga, aga samuti ka kon-tuuri esimene ja viimane ruut omavahel sirgloiguga, tekib kinnine kontuur. Naiteksjargneval joonisel on kujutatud tsukliline kontuur (2, 2), (2, 4), (5, 4), (5, 5), (3, 5),(3, 3).

r r r r r rr r r r r rr r r r r rr r r r r rr r r r r r

Meenutame teoreemi 14.3. Olgu X = ‖xij‖ transportulesande (16.1) lubatavlahend. Siis vastavalt teoreemile 14.3 ‖xij‖ on optimaalne lahend parajasti siis, kuileiduvad arvud ui, vj, nii et

ui + vj ≤ cij (16.3)

jaxij · (ui + vj − cij) = 0 (16.4)

iga i ja j vaartuse korral. See omadus on aluseks potentsiaalide meetodile.

Potentsiaalide meetod seisneb jargnevas:

1) leitakse transportulesande lubatav lahend ‖xij‖ (vahima maksumuse voi loode-nurga meetodil);

2) moodustatakse iga xij 6= 0 jaoks vorrand

ui + vj = cij

ja leitakse tekkiva vorrandisusteemi mingi lahend u1, . . . , um, v1, . . . , vn;

3) leitakse iga xij = 0 jaoks suurused

wij = ui + vj − cij;

kui wij ≤ 0 iga arvutatud wij jaoks, siis on taidetud tingimused (16.3) ja (16.4)ning seetottu on ‖xij‖ vaadeldava transportulesande optimaalne lahend; kui agaleidub wij > 0, siis minnakse lubatavalt lahendilt ‖xij‖ ule uuele lubatavale lahendile

46

jargmise punkti kohaselt nii, et sihifunktsiooni vaartus uue lubatava lahendi korralon vaiksem kui vaatluse all olnud lubatava lahendi korral;

4) uleminek lubatavalt lahendilt ‖xij‖ lubatavale lahendile ‖xij‖ nii, et sihifunkt-siooni vaartus kahaneb:

• leitakse wkl = maxwij>0

wij ;

• moodustatakse lubatavale lahendile ‖xij‖ vastava transporttabeli ruudust (k, l)ja taidetud ruutudest tsukliline kontuur ning loetakse kontuuri ruudud jarjestik-ku alates ruudust (k, l) paarituteks ja paarisruutudeks;

• leitakse paarisruutudes olevaist arvudest xij vahim; olgu see d;

• liidetakse tsuklilises kontuuris paaritutes ruutudes olevatele arvudele xij ju-urde arv d ning paaritutes ruutudes olevatest arvudest xij lahutatakse arvd;

• valjaspool tsuklilist kontuuri asuvad ruudud jaetakse transporttabelis muutu-matuks;

• teisenemise tulemusena saadud tabel annabki uue lubatava lahendi ‖xij‖;

5) lubatava lahendiga ‖xij‖ toimitakse analoogiliselt nagu lubatava lahendiga ‖xij‖.

Veendume, et ulal kirjeldatud uleminekul lubatavalt lahendilt ‖xij‖ lubatavalelahendile ‖xij‖ sihifunktsiooni vaartus vaheneb. Olgu meetodis kirjeldatud tsuklilinekontuur jargmine:

(k, l) = (i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), (i2, j3), . . . , (it, jt), (it, j1) = (it, jt+1).

Siis

xij =

xij, kui ruut (i, j) ei kuulu kontuuri;

xij + d, kui ruut (i, j) on kontuuris paaritul kohal;

xij − d, kui ruut (i, j) on kontuuris paariskohal;

z =m, n∑i, j=1

cijxij = z +t∑

s=1

(cisjsd− cisjs+1d) =

= z + d ·

(t∑

s=1

cisjs −t∑

s=1

cisjs+1

)=

= z + d · (ckl + ui2 + vj2 + ui3 + vj3 + . . .+ uik + vjk−

−ui1 − vj2 − ui2 − vj3 − . . .− uik − vjk+1) =

= z + d · (ckl − uk − vl) = z − dwkl > z.

Illustreerime potentsiaalide meetodit jargmise naitega.

47

Naide 16.1. Lahendame transportulesande, kui on antud kaubakogused ai

ladudes, tarbijate vajadused bj ja veokulude maatriks C = ‖cij‖:

ai : 19, 19, 19, 19; bj : 15, 15, 16, 15, 15; C =

∥∥∥∥∥∥∥∥21 17 12 24 306 1 9 5 97 5 24 6 1329 22 21 5 7

∥∥∥∥∥∥∥∥Leides lubatava lahendi vahima maksumuse meetodil, saadakse transporttabel

29−22−21−51574

7115−24−6−138

641159−

5−

9−

21−17−1216

24−

303

15 15 16 15 15

19

19

19

19

r r

r rrr

Summaarne veokulu z selle lubatava lahendi korral on

z = 12 · 16 + 30 · 3 + 6 · 4 + 1 · 15 + 7 · 11 + 13 · 8 + 5 · 15 + 7 · 4 = 605.

Leitud lubatavas lahendis on positiivsed jargmised arvud xij: x13, x15, x21, x22, x31,x35, x44, x45. Moodustades neile vastavalt vorrandid ui+vj = cij, saadakse vorrandi-susteem

u1 + v3 = 12, u3 + v1 = 7,u1 + v5 = 30, u3 + v5 = 13,u2 + v1 = 6, u4 + v4 = 5,u2 + v2 = 1, u4 + v5 = 7.

Selle susteemi astak on m+ n− 1 = 8 ja susteemis on 9 tundmatut. Nagu lineaar-algebrakursusest teada, on sellel susteemil lopmata palju lahendeid ja uhe lahendileidmiseks tuleb uhe tundmatu vaartus vabalt ette anda ja ulejaanud tundmatutevaartused seejarel arvutada. Valime u1 = 0. Siis saadakse susteemi uheks lahendiks

u1 = 0, u2 = −18, u3 = −17, u4 = −23,

v1 = 24, v2 = 19, v3 = 12, v4 = 28, v5 = 30.

Leiame nuud arvud wij = ui + vj − cij iga nulliga vorduva xij jaoks:

w11 = 3, w12 = 2, w14 = 4, w23 = −15, w24 = 5, w25 = 3, w32 = −3,

w33 = −29, w34 = 5, w41 = −28, w42 = −26, w43 = −32.

48

Kuna leitud arvude wij seas on positiivseid arve, siis pole ulal saadud lubatav la-hend optimaalne. Leiame nende positiivsete arvude wij hulgast suurima. Sellekson w24 = 5 (aga ka w34 = 5). Moodustame ulal esitatud transporttabelis ruudust(2, 4) lahtudes tsuklilise kontuuri nii, et koik kontuuri ruudud, v.a. algusruut, on”taidetud ruudud” (s.t. selles ruudus asuv xij 6= 0). Silmas tuleb kontuuri koostadespidada asjaolu, et selles jarjestikuseid ruute loiguga uhendades peavad loigud olemavaheldumisi rida-veerg-rida-veerg-..... Saavutada tuleb kinnine kontuur. Ruudust(2, 4) lahtudes koostatud tsukliline kontuur on kujutatud ulal tabelis. Paigutamenuud kontuuri ruutudes olevaid kaubakoguseid umber nii, et summaarsed kaubako-gused ei muutu. Selleks tuleb kontuuri paarisruutudes olevatest kaubakogustestvotta igauhest ara teatav kaubakogus d ja paigutada kontuuri igasse paaritusseruutu juurde kaubakogus d. Selleks kaubakoguseks d on paarisruutudes olevatestkaubakogustest vahim, s.t. d = 4. Tehes mainitud umberpaigutused, saadaksejargnev transporttabel:

29−22−21−51178

7155−24−6−134

6−1159−

54

9−

21−17−1216

24−

303r

r r

rr

r

Saadud transporttabelis on uus lubatav lahend vaadeldava transportulesandejaoks. Selles lubatavas lahendis on positiivsed jargmised arvud xij: x13, x15, x22, x24,x31, x35, x44, x45. Moodustades neile vastavalt vorrandid ui + vj = cij, saadaksevorrandisusteem


Valime ka siin u1 = 0. Siis saadakse viimase susteemi uheks lahendiks

u1 = 0, u2 = −23, u3 = −17, u4 = −23,

v1 = 24, v2 = 24, v3 = 12, v4 = 28, v5 = 30.


w11 = 3, w12 = 7, w14 = 4, w21 = −5, w23 = −20, w25 = −2, w32 = 2,

w33 = −29, w34 = 5, w41 = −28, w42 = −21, w43 = −32.

49

Kuna leitud arvude wij seas on positiivseid arve, siis pole ulal saadud lubatav la-hend optimaalne. Leiame nende positiivsete arvude wij hulgast suurima. Sellekson w12 = 7. Moodustame viimases transporttabelis ruudust (1, 2) lahtudes jallegitsuklilise kontuuri ulal kirjeldatud pohimotete alusel. Saadud tsukliline kontuuron kujutatud ulal tabelis. Paigutame nuud kontuuri ruutudes olevaid kaubako-guseid umber nii, et summaarsed kaubakogused ei muutu. Selleks tuleb kontuuripaarisruutudes olevatest kaubakogustest votta igauhest ara kaubakogus d = 3 japaigutada kontuuri igasse paaritusse ruutu juurde kaubakogus d = 3. Tehes maini-tud umberpaigutused, saadakse jargnev transporttabel:

29−22−21−58711

7155−24−6−134

6−1129−

579−

21−1731216

24−

30−

rrr r




u1 = 0, u2 = −16, u3 = −10, u4 = −16,

v1 = 17, v2 = 17, v3 = 12, v4 = 21, v5 = 23.


w11 = −4, w14 = −3, w15 = −7, w21 = −5, w23 = −13, w25 = −2, w32 = 2,

w33 = −22, w34 = 5, w41 = −28, w42 = −21, w43 = −25.Kuna leitud arvude wij seas on positiivseid arve, siis pole ulal saadud lubatav la-hend optimaalne. Leiame nende positiivsete arvude wij hulgast suurima. Sellekson w34 = 5. Moodustame viimases transporttabelis ruudust (3, 4) lahtudes jallegitsuklilise kontuuri ulal kirjeldatud pohimotete alusel. Saadud tsukliline kontuuron kujutatud ulal tabelis. Paigutame nuud kontuuri ruutudes olevaid kaubako-guseid umber nii, et summaarsed kaubakogused ei muutu. Selleks tuleb kontuuri

50

paarisruutudes olevatest kaubakogustest votta igauhest ara kaubakogus d = 4 japaigutada kontuuri igasse paaritusse ruutu juurde kaubakogus d = 4. Tehes maini-tud umberpaigutused, saadakse jargnev transporttabel:

29−22−21−54715

7155−24−6413−

6−1129−

579−

21−1731216

24−

30−

rrr

rr

r




u1 = 0, u2 = −16, u3 = −15, u4 = −16,

v1 = 22, v2 = 17, v3 = 12, v4 = 21, v5 = 23.


w11 = 1, w14 = −3, w15 = −7, w21 = 0, w23 = −13, w25 = −2, w32 = −3,

w33 = −27, w35 = −5, w41 = −23, w42 = −21, w43 = −25.

Kuna leitud arvude wij seas on positiivseid arve, siis pole ulal saadud lubatav la-hend optimaalne. Nende positiivsete arvude wij seas on suurim w11 = 1. Moodus-tame viimases transporttabelis ruudust (1, 1) lahtudes jallegi tsuklilise kontuuri ulalkirjeldatud pohimotete alusel. Saadud tsukliline kontuur on kujutatud ulal tabelis.Paigutame nuud kontuuri ruutudes olevaid kaubakoguseid umber nii, et summaarsedkaubakogused ei muutu. Selleks tuleb kontuuri paarisruutudes olevatest kaubako-gustest votta igauhest ara kaubakogus d = 3 ja paigutada kontuuri igasse paaritusseruutu juurde kaubakogus d = 3. Tehes mainitud umberpaigutused, saadakse jargnevtransporttabel:

51

29−22−21−54715

7125−24−6713−

6−1159−

549−

21317−1216

24−

30−




u1 = 0, u2 = −15, u3 = −14, u4 = −15,

v1 = 21, v2 = 16, v3 = 12, v4 = 20, v5 = 22.


w12 = −1, w14 = −4, w15 = −8, w21 = 0, w23 = −12, w25 = −2, w32 = −3,

w33 = −26, w35 = −5, w41 = −23, w42 = −21, w43 = −24.

Kuna leitud arvud wij on koik mittepositiivsed, siis on viimasele transporttabelilevastav lahend optimaalne. Uldine veokulu z selle lahendi korral on

z = 21 · 3 + 12 · 16 + 1 · 15 + 5 · 4 + 7 · 12 + 6 · 7 + 5 · 4 + 7 · 15 = 541.

Oleme saanud vaadeldava transportulesande optimaalse lahendi:

X =

∥∥∥∥∥∥∥∥3 0 16 0 00 15 0 4 012 0 0 7 00 0 0 4 15

∥∥∥∥∥∥∥∥ ; zmin = 541.


Kontrolltoo. Naidisvarianti vt. minu kodulehekuljelt: www.staff.ttu.ee/∼puusemp/

52


17 Manguteooria pohimoisteid

Igapaevases elus esineb palju nahtusi ja protsesse, mis sarnanevad manguga jargnevasmottes:

1) protsessi kulg voi tulemus soltub oluliselt erinevate isikute, firmade jne. pooltvastu voetud otsustest;

2) need erinevad isikud voivad protsessi tulemusena saada kasu voi kahju, kusjuuressee soltub osavotjate poolt vastu voetud ostsustest;

3) uldjuhul uhe poole kasu saades ulejaanud pooled saavad kahju.

Matemaatilist teooriat, mis uurib loetletud omadustega protsesse, nimetataksemanguteooriaks, protsessi ennastmanguks ja protsessist osavotjaidmangijateks.Manguteooria pohimoisteteks on kaks jargmist moistet:

• Strateegia – reeglite kogu, mis on fikseeritud mangija poolt enne mangu jamis naitab ara mangija kaitumise mangu igas voimalikus situatsioonis.

• Tasufunktsioon – sihifunktsioon, mis esineb mangus kui planeerimisulesandes.

Manguteooria ulesandeid saab klassifitseerida mitmeti:

1) mangijate arvu jargi;

2) strateegiate arvu jargi (lopliku ja lopmatu strateegiate arvuga mangud);

3) tasufunktsiooni omaduste jargi.

Meie vaatleme ainult kahe isiku lopliku strateegiate arvuga nullsummalisi mange.Nimetagem neid kahte mangijat 1.mangijaks ja 2.mangijaks. Olgu nende mangijatestrateegiad tahistatud jargmiselt:

S11 , . . . S1m – 1.mangija strateegiad;

S21 , . . . S2n – 2.mangija strateegiad.

Siis mang on iseloomustatav tabeliga

S21 . . . S2nS11 (a111; a

211) . . . (a11n; a

21n)

. . . . . . . . . . . .S1m (a1m1; a

2m1) . . . (a1mn; a

2mn)

kus arv akij naitab k-nda mangija tulu, kui 1.mangija kasutab oma i-ndat strateegiat

ja 2.mangija kasutab oma j-ndat strateegiat. Kui a1ij + a2ij = 0 iga i ja j voimalikuvaartuse korral, siis vaadeldavat mangu nimetatakse nullsummaliseks manguks.

53

Meie kasitleme oma kursuses ainult nullsummalisi mange. Kuna sellisel juhul a2ij =−a1ij, siis on mang kirjeldatav uheselt maatriksiga

A =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ,

kusaij = a1ij = −a2ij.

MaatriksitA nimetataksemangu maatriksiks ja mangu ennastmaatriksmanguks.

Naide 17.1. Mang ”Paaris-paaritu”. Kaks mangijat tostavad uheaegselt uleskas uhe voi kaks sorme. Kui ulestostetavate sormede arv on molemal mangijalvordne, siis 1.mangija maksab 2.mangijale 1 krooni, vastasel juhul maksab 2.mangija1.mangijale 1 krooni. Seda mangu voib kirjeldada maatriksmanguna jargmiselt.Mangijate strateegiad on:

S11 , S12 – 1.mangija strateegiad tosta ules vastavalt 1 voi 2 sorme;

S21 , S22 – 2.mangija strateegiad tosta ules vastavalt 1 voi 2 sorme.

Siis mangu maatriks on

A =

∥∥∥∥−1 11 −1

∥∥∥∥ .

Naide 17.2. On kaks konstrueerimisburood, milledest esimesel burool on 4osakonda ja teisel burool on 3 osakonda. On kuulutatud valja konkurss kahe seadmeprojekti koostamiseks. See buroo, mille esimese seadme projekt on parim, saabα krooni preemiat, ja buroo, mille teise seadme projekt on parim, saab β kroonipreemiat. Eeldatakse, et kui uhes buroos tootab seadme projekti kallal rohkemosakondi kui teises buroos, siis toenaoliselt voidab selle buroo projekt; kui aga vordnearv osakondi, siis voidu toenaosus on sama molemas buroos.Siin mangijateks on burood ja strateegiateks:

S1i – eraldada esimese seadme projekteerimiseks i osakonda ja teise seadme projek-teerimiseks 4− i osakonda, i = 0, 1, 2, 3, 4;S2j – eraldada esimese seadme projekteerimiseks j osakonda ja teise seadme projek-teerimiseks 3− j osakonda j = 0, 1, 2, 3.

Vastavalt naite tingimustelea1ij + a2ij = α+ β.

Seega pole vaadeldav mang nullsummaline. Et saada nullsummalist mangu, teisendameviimast summat jargmiselt:(

a1ij −α+ β

2

)+

(a2ij −

α+ β

2

)= 0

54

ja loeme esimest liidetavat esimese mangija voiduks ja teist liidetavat teise mangijavoiduks strateegiate (S1i , S2j ) kasutamisel. Siis mangu maatriks tuleb

A =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

β

2β − α

2β − α

2β − α

2

α

2β

2β − α

2β − α

2

α− β

2α

2β

2β − α

2

α− β

2α− β

2α

2β

2

α− β

2α− β

2α− β

2α

2

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

.

18 Segastrateegia ja mangu lahendi moiste

Vaatleme maatriksmangu maatriksiga

A =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Kasitleme seda mangu algul esimese mangija seisukohalt. Esimest strateegiat ka-sutades on talle koige halvem variant ehk koige vaiksem voit, mis voib tulla a1 =min

ja1j. Teist strateegiat kasutades talle koige vaiksem tulla voiv voit on a2 =

minj

a2j jne. Viimast strateegiat kasutades on vaikseim voimalik voit am = minj

amj.

Seega voib esimene mangija garanteerida endale alati voidu suurusega a = maxi

ai.

See maksimaalne garanteeritud voit saavutatakse esimese mangija poolt sellise stra-teegiaga S1k , mis annab maksimumi arvudele ai = min

jaij indeksi i muutudes:

a = maxi

ai = maxi(min

jaij) = ak.

Sellist strateegiat S1k nimetatakse maksimini-strateegiaks, arvu a aga mangualumiseks hinnaks.Teise mangija jaoks tahendavad maatriksi A arvud voimalikke kaotusi, olenevalt

molema mangija poolt kasutatavatest strateegiatest. Vaatleme teise mangija seisuko-halt vaadeldavat mangu. Kui teine mangija kasutab oma esimest strateegiat S21 ,siis suurim voimalik kaotus on tal b1 = max

iai1. Teist strateegiat S22 kasutades

suurim voimalik kaotus teisel mangijal on b2 = maxi

ai2 jne.. Viimast strateegiat S2n

55

kasutades suurim voimalik kaotus teisel mangijal on bn = maxi

ain. Seega vaikseim

kaotus, mis teine mangija voib endale garanteerida, on vahim arvudest b1, . . . , bn,s.t. arv:

b = minj

bj = minj(max

iaij) = bl.

Strateegiat S2l , mis garanteerib selle minimaalse voimaliku kaotuse, nimetatakseminimaxi-strateegiaks, arvu b aga mangu ulemiseks hinnaks.

Naide 18.1. Naites 17.1 vaadeldud mangu korral

a1 = a2 = −1, a = −1, b1 = b2 = 1, b = 1.

Mangu alumine hind on -1, ulemine hind on 1, maksimini strateegiateks on S11 ja S12ning minimaksi strateegiateks on S21 ja S22 .

Naide 18.2. Naites 17.2 esitatud mangu korral (eeldusel, et α ≤ β)

a0 =β − α

2, a1 = min

{α

2,

β − α

2

}, a2 = a3 = a4 =

α− β

2, a =

β − α

2,

b0 = b1 = b2 = b3 =β

2, b =

β

2.

Seega on mangu alumine hind (β − α)/2, ulemine hind β/2, maksimini strateegiaS10 ja minimaksi strateegiateks koik teise mangija strateegiad S20 , S21 , S22 ning S23 .

Teoreem 18.1 Maatriksmangu korral mangu alumine hind ei uleta mangu ulemisthinda:

a = maxi(min

jaij) ≤ min

j(max

iaij) = b.

Toestus. Ilmseltai = min

jaij ≤ aij ≤ max

iaij) = bj,

kusta = max

iai ≤ bj, a ≤ min

jbj = b.

Teoreem on toestatud.

Kui a = b, siis molemal mangijal on sobiv valida oma ohutuim strateegia, s.t.esimesel mangijal oma maksimini strateegia ja teisel mangijal oma minimaksi stra-teegia. Kui a < b, siis voib mone muu strateegia kasutamine tuua mangijale suurematulu.

Definitsioon 18.1 Kui a = b, siis mangu maatriksi A elementi akl, mille ko-rral a = b = akl, nimetatakse maatriksi A sadulpunktiks, mangu ennast agasadulpunktiga manguks.

56

Lugejal palume iseseisvalt veenduda, et kui a = b, siis sadulpunktideks on para-jasti maatriksi A = ‖aij‖ sellised elemendid akl, mille korral

ail ≤ akl ≤ akj iga i ja j voimaliku vaartuse korral.

Uhte ja sama mangu korduvalt mangides kasutatakse tavaliselt iga kord erinevaidstrateegiaid, s.t. iga strateegiat kasutatakse teatava sagedusega ehk toenaosusega.Seetottu tuuakse sisse segastrateegia moiste.Tahistagu yi esimese mangija poolt tema i-nda strateegia S1i kasutamise sagedust

ehk toenaosust: yi = P (S1i ) (i = 1, . . . , m). Paigutame need sagedused vektoriks

y =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥y1y2...

ym

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ = (y1; y2; . . . ; ym)T .

Saadud vektorit y nimetatakse esimese mangija segastrateegiaks. Analoogiliselttahistagu xj teise mangija poolt j-nda strateegia S2j kasutamise sagedust ehk toenao-sust: xj = P (S2j ) (j = 1, . . . , n). Paigutades need sagedused vektoriks

x =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1x2...

xn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ = (x1; x2; . . . ; xn)T ,

saadakse vektor, mida nimetatakse teise mangija segastrateegiaks. Segastratee-giad y ja x rahuldavad tingimusi:

y1 + y2 + . . .+ ym = x1 + x2 + . . .+ xn = 1, 0 ≤ yi, xj ≤ 1.

Kui esimene mangija kasutab mangides segastrateegiat y ja teine mangija ka-sutab segastrateegiat x, siis esimese mangija voidu suurus (ehk teise mangija kao-tuse suurus) V on nendest segastrateegiatest soltuv diskreetne juhuslik suurus:V = V (y, x). Juhusliku suuruse V voimalikud vaartused on aij ja eeldades, etmangijad valivad oma strateegiaid teineteisest soltumatult, saadakse vaartuse aij

saavutamise toenaosuseks

P (V = aij) = P (S1i ∪ S2j ) = P (S1i ) · P (S2j ) = yixj.

Teiste sonadega, juhusliku suuruse V (y, x) jaotustabel on

V (y, x) a11 . . . aij . . . amn

P (V = aij) y1x1 . . . yixj . . . ymxn

Toenaosusteooria kohaselt on juhusliku suuruse V keskvaartus E(V ) arvutatavjargmiselt:

E(V ) = E(V (y, x)) =m, n∑i, j=1

aijyixj.

57

14.loeng: 1.detsember 2005

Tahistagem jargnevalt seda keskvaartust sumboliga ϕ(y, x):

ϕ(y, x) =m, n∑i, j=1

aijyixj. (18.1)

Vaadeldes vorduse (18.1) paremal pool esinevat summat uherealise ja uheveerulisemaatriksina, on see esitatav maatriksite korrutisena yT Ax:

yT Ax =∥∥y1 y2 . . . ym

∥∥ ·∥∥∥∥∥∥∥∥∥

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ ·∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1x2...

xn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =

=∥∥y1 y2 . . . ym

∥∥ ·∥∥∥∥∥∥∥∥∥

∑nj=1 a1jxj∑nj=1 a2jxj

...∑nj=1 am1jxj

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ =∥∥∑m, n

i, j=1 aijyixj

∥∥ =

=m, n∑i, j=1

aijyixj.

Seega esimese mangija voidu (teise mangija kaotuse) keskvaartus segastrateegiate yja x kasutamisel on

ϕ(y, x) = yT Ax. (18.2)

Mangu uhekordsel mangimisel kasutatavaid strateegiaid S1i ja S2j nimetataksepuhasteks strateegiateks.

Jargnevalt vaatleme milliseid segastrateegiaid oleks mangijail koige ohutum ka-sutada. Arutluskaik on siin sarnane kaesoleva paragrahvi alguses labi viidud arut-lustega: maatriksi ‖aij‖ asemel vaadeldakse ainult ”maatriksit” ‖ϕ(y, x)‖.

Fikseeritud segastrateegia y korral on esimesel mangijal garanteeritud alati kesk-mine voit

ϕy = minx

ϕ(y, x)

soltumata sellest, kuidas teine mangija oma segastrateegia valib. Jarelikult suurimkeskmine voit, mille esimene mangija endale garanteerida saab, on

maxy

ϕy = maxy(min

xϕ(y, x)) = max

ymin

xϕ(y, x) = ϕy∗ .

Segastrateegia y∗, mis annab maksimumi avaldisele ϕy, ongi esimesele mangijalesobivaim segastrateegia.

58

Vaatleme nuud mangu teise mangija seisukohalt. Fikseeritud segastrateegia xkorral on teisel mangijal suurim voimalik keskmine kaotus

ϕx = maxy

ϕ(y, x)

soltumata sellest, kuidas esimene mangija oma segastrateegia valib. Jarelikult vahimkeskmine kaotus, mille teine mangija endale garanteerida saab, on

minx

ϕx = minx(max

yϕ(y, x)) = min

xmax

yϕ(y, x) = ϕx∗ .

Segastrateegia x∗, mis annab miinimumi avaldisele ϕx, ongi teisele mangijale sobi-vaim segastrateegia.

Definitsioon 18.2 Ulal kirjeldatud segastrateegiaid y∗ ja x∗ nimetatakse vaadel-dava maatriksmangu lahendeiks ja arvu ϕ(y∗, x∗) mangu hinnaks.

Tahistagem jargnevalt esimese ja teise mangija koigi voimalike segastrateegiatehulka vastavalt sumbolitega Rm

t ja Rnt . Seega

Rmt = { (y1; y2; . . . ; ym)

T ∈ Rm | y1 + y2 + . . .+ ym = 1, 0 ≤ yi ≤ 1 },

Rnt = { (x1; x2; . . . ; xn)

T ∈ Rn | x1 + x2 + . . .+ xn = 1, 0 ≤ xj ≤ 1 }.Kuna hulgad Rm

t ja Rnt on kinnised ja tokestatud ning funktsioon ϕ(y, x) on pidev,

siis ulal mainitud maksimumid ja miinimumid eksisteerivad alati ning mang on alatilahenduv. Mangu lahend ei pruugi olla maaratud uheselt. Hiljem veendume, etmangu hind on aga maaratud uheselt.

Naide 18.3. Vaatleme mangu ”Paaris-paaritu”. Selle mangu maatriks oli

A =

∥∥∥∥a11 a12a21 a22

∥∥∥∥ = ∥∥∥∥−1 11 −1

∥∥∥∥ .

Olgu y ja x vastavalt esimese ja teise mangija segastrateegiad:

y = (y1; y2)T = (p; 1− p)T ∈ R2t , x = (x1; x2)

T = (q; 1− q)T ∈ R2t ,

y1 = p, y2 = 1− p, x1 = q, x2 = 1− q, 0 ≤ p, q ≤ 1.Siis

ϕ(y, x) =2, 2∑

i, j=1

aijyixj = −pq + p(1− q) + (1− p)q − (1− p)(1− q) =

= (2p− 1)(1− 2q) = ϕ(p, q),

ϕy = minx

ϕ(y, x) = min0≤q≤1

(2p− 1)(1− 2q) =

=

{ϕ(p, 0), kui 1− 2p ≥ 0,ϕ(p, 1), kui 1− 2p ≤ 0,

=

{2p− 1, kui 1− 2p ≥ 0,1− 2p, kui 1− 2p ≤ 0.

59

Siitmax

yϕy = max

y(min

xϕ(y, x)) = 0

ja see maksimum saavutatakse p = 1/2 korral. Seega

y∗ =

∥∥∥∥1/21/2∥∥∥∥ = (1/2; 1/2)T .

Analoogiliseltϕx = max

yϕ(y, x) = max

0≤p≤1(2p− 1)(1− 2q) =

=

{ϕ(0, q), kui 1− 2q ≤ 0,ϕ(1, q), kui 1− 2q ≥ 0,

=

{2q − 1, kui 1− 2q ≥ 0,1− 2q, kui 1− 2q ≤ 0.

Siitmin

xϕx = min

x(max

yϕ(y, x)) = 0

ja see miinimum saavutatakse q = 1/2 korral. Seega

x∗ =

∥∥∥∥1/21/2∥∥∥∥ = (1/2; 1/2)T .

Oleme saanud mangu lahendid y∗ ja x∗. Saadud lahendid naitavad, et mangu kor-duvalt mangides peavad molemad mangijad keskmiselt pooltel juhtudel tostma ulesuhe sorme ja pooltel juhtudel kaks sorme. Mangu hind on

ϕ(y∗, x∗) = y∗T Ax∗ =∥∥1/2 1/2∥∥ · ∥∥∥∥−1 1

1 −1

∥∥∥∥ · ∥∥∥∥1/21/2∥∥∥∥ = ∥∥0∥∥ = 0.6

Teoreem 18.2 Kui y∗ ja x∗ on maatriksmangu lahendid, siis mangu hind ϕ(y∗, x∗)rahuldab vorratusi

maxy(min

xϕ(y, x)) ≤ ϕ(y∗, x∗) ≤ min

x(max

yϕ(y, x)).

Toestus. Toepoolest:

ϕy = minϕ(y, x) ≤ ϕ(y, x) ≤ maxy

ϕ(y, x) = ϕx ∀y ∈ Rmt , ∀x ∈ Rn

t ,

ϕy∗ ≤ ϕ(y∗, x), ϕ(y, x∗) ≤ ϕx∗ ∀y ∈ Rmt , ∀x ∈ Rn

t ,

ϕy∗ ≤ ϕ(y∗, x∗) ≤ ϕx∗ . �

6(1× 1)-maatriks samastatakse elemendiga, millest ta koosneb.

60

19 Maatriksmangu seos lineaarseplaneerimise ulesandega

Vaatleme maatriksmangu maatriksiga A = ‖aij‖ ∈ Rm×n. Moodustame selle maat-riksi abil jargmise pohikujulise lineaarse planeerimise ulesande

z = x1 + x2 + . . .+ xn → max

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ 1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ 1. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ 1x1, . . . , xn ≥ 0

(19.1)

ja selle ulesandega duaalse ulesande

w = y1 + y2 + . . .+ ym → min

a11y1 + a21y2 + . . .+ am1ym ≥ 1a12y1 + a22y2 + . . .+ am2ym ≥ 1. . .

a1ny1 + a2ny2 + . . .+ amnym ≥ 1y1, . . . , ym ≥ 0

(19.2)

Ulesanded (19.1) ja (19.2) maatrikskujul on vastavaltz = c · x → max

Ax ≤ b

x ≥ θ

(19.3)

ja w = b · y → min

AT y ≥ c

y ≥ θ

(19.4)

kusc = (1; 1; . . . ; 1)T , b = (1; 1; . . . ; 1)T ,

x = (x1; x2; . . . ; xn)T , y = (y1; y2; . . . ; ym)

T .

Teoreem 19.1 Iga maatriksi A = ‖aij‖ ∈ Rm×n korral leiduvad temale vastavamaatriksmangu jaoks sellised segastrateegiad y∗ ∈ Rm

t ja x∗ ∈ Rnt , et

ϕ(y, x∗) ≤ ϕ(y∗, x∗) ≤ ϕ(y∗, x) (19.5)

iga y ∈ Rmt ja x ∈ Rn

t korral.

61

Toestus. 1) Eeldame, et maatriksi A koik elemendid on positiivsed, s.t. aij > 0indeksite i ja j koigi voimalike vaartuste korral. Siis ulesanded (19.1) ja (19.2)omavad lubatavaid lahendeid: ulesande (19.1) uheks lubatavaks lahendiks on x = θja ulesande (19.2) uheks lubatavaks lahendiks on

y =1

mini, j

aij

· b.

Teoreemi 9.6 pohjal omavad ulesanded (19.1) ja (19.2) optimaalseid lahendeid. Olguneed vastavalt

y = (y1; . . . ; ym) ja x = (x1; . . . ; xn).

SiisAx ≤ b, AT y ≥ c,

z = zmax = c · x = x1 + . . .+ xn = w = wmin = b · y = y1 + . . .+ ym 6= 0.Ilmselt

y∗ =1z· y ∈ Rm

t , x∗ =1z· x ∈ Rn

t .

Segastrateegiad y∗ ja x∗ rahuldavadki vorratusi (19.5):

Ax ≤ b, y ∈ Rmt =⇒ yT Ax ≤ yT b = y1 + . . .+ ym = 1 =⇒ ϕ(y, x∗) ≤ 1

z,

AT y ≥ c, x ∈ Rnt =⇒ yT A ≥ cT =⇒

=⇒ yT Ax ≥ cT x = x1 + . . .+ xn = 1 =⇒1z≤ y∗T Ax = ϕ(y∗, x),

ϕ(y, x∗) ≤ 1z≤ ϕ(y∗, x).

Siit saadakse y = y∗ ja x = x∗ korral

1z= ϕ(y∗, x∗),

mistottuϕ(y, x∗) ≤ ϕ(y∗, x∗) ≤ ϕ(y∗, x).

Seega vaadeldaval juhul kehtivad vorratused (19.5).2) Vaatleme nuud uldjuhtu, s.t. maatriksi A elementidele pole seatud piiranguid.

Valime arvu α nii, et arvud aij = aij+α on positiivsed koigi indeksite i ja j vaartustekorral. Moodustame maatriksi A = ‖aij‖ ja vaatleme mangu selle maatriksiga ningsellel mangule vastavat esimese mangija voidu keskvaartust

ϕ(y, x) = yT Ax =m, n∑i, j=1

aijyixj =m, n∑i, j=1

(aij + α)yixj =

=m, n∑i, j=1

aijyixj +m, n∑i, j=1

αyixj =m, n∑i, j=1

aijyixj + α

m, n∑i, j=1

yixj =

62

= ϕ(y, x) + α · 1 = ϕ(y, x) + α,

ϕ(y, x) = ϕ(y, x) + α, (19.6)

kus y ja x on segastrateegiad. Toestuse esimese osa pohjal leiduvad sellised sega-strateegiad y∗ ja x∗, et

ϕ(y, x∗) ≤ ϕ(y∗, x∗) ≤ ϕ(y∗, x).

Siit jarelduvad vorduse (19.6) pohjal vorratused (19.5). Teoreem on toestatud. �

15.loeng: 8.detsember 2005

Teoreem 19.2 Olgu antud mang maatriksiga A ja segastrateegiad y∗ ning x∗, misrahuldavad vorratusi (19.5). Siis:

1) maxy(min

xϕ(y, x)) = ϕ(y∗, x∗) = min

x(max

yϕ(y, x));

2) segastrateegiad y∗ ja x∗ on vaadeldava mangu lahendid ning ϕ(y∗, x∗) on sellemangu hind.

Toestus. Olgu y∗ ja x∗ vorratusi (19.5) rahuldavad segastrateegiad. Siis ilmselt

ϕx∗ = maxy

ϕ(y, x∗) = ϕ(y∗, x∗) = ϕy∗ = minx

ϕ(y∗, x).

Teoreemi 18.2 toestuses saime vorratuse

ϕy ≤ ϕx, y ∈ Rmt , x ∈ Rn

t .

Seega

maxy(min

xϕ(y, x)) = max

yϕy = ϕy∗ = ϕx∗ = min

xϕx = min

x(max

yϕ(y, x)).

Siit jareldub vaide 1). Vaide 2) jareldub juba mangu lahendite ja hinna definit-sioonidest. �

Teoreemist jareldub uhtlasi, et mangu hind on uheselt maaratud. Eelnevastkahest teoreemist jareldub jargmine teoreem.

Teoreem 19.3 Olgu y∗ ja x∗ maatriksiga A = ‖aij‖ antud mangu lahendid ning hselle mangu hind. Kui A = ‖aij‖, kus aij = aij + α indeksite i ja j koigi voimalikevaartuste korral, siis maatriksile A vastava mangu lahenditeks on samuti segastra-teegiad y∗ ja x∗, mangu hinnaks aga arv h+ α.

Definitsioon 19.1 Oeldakse, et vaadeldav mang on lahenduv puhastes stra-teegiates, kui mangu lahendid

y∗ = (y∗1; . . . ; y∗m)

T , x∗ = (x∗1; . . . ; x∗n)

T

avalduvad kujul

y∗i =

{0, kui i 6= k,

1, kui i = k,x∗j =

{0, kui j 6= l,

1, kui j = l,

mingite k ja l vaartuste korral.

63

Saab naidata, et kehtib teoreem:

Teoreem 19.4 Mang on lahenduv puhastes strateegiates parajasti siis, kui ta omabsadulpunkti.

Siit saadakse eeskiri mangu lahendamiseks:

1) kontrollitakse sadulpunkti olemasolu; kui sadulpunkt leidub, siis mang on lahen-duv puhastes strateegiates;2) kui sadulpunkti pole, siis tuleb mang lahendada teoreemi 19.1 toestuse kohaselt.

20 Naiteid mangu lahendamise kohta

Naide 20.1. Vaatleme maatriksmangu maatriksiga

A =

∥∥∥∥∥∥∥∥3 −2 1 −20 −2 1 01 −1 0 0−1 −2 −3 2

∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Kontrollime, kas see mang on lahenduv puhastes strateegiates. Selleks leiame mangualumise ja ulemise hinna:

a1 = minj

a1j = min{3; −2; 1; −2} = −2,

a2 = minj

a2j = min{0; −2; 1; 0} = −2,

a3 = minj

a3j = min{1; −1; 0; 0} = −1,

a4 = minj

a4j = min{−1; −2; −3; 2} = −3,

a = maxi

ai = max{−2; −2; −1; −3} = −1 = a3,

b1 = maxi

ai1 = min{3; 0; 1; −1} = 3,

b2 = maxi

ai2 = min{−2; −2; −1; −2} = −1,

b3 = maxi

ai3 = min{1; 1; 0; −3} = 1,

b4 = maxi

ai4 = min{−2; 0; 0; 2} = 2,

b = minj

bj = min{3; −1; 1; 2} = −1 = b2.

Seega omab vaadeldav mang sadulpunkti ja ta on lahenduv puhastes strateegiates:esimesel mangijal on sobiv kasutada oma kolmandat strateegiat ja teisel mangijaloma teist strateegiat.

Naide 20.2. Ettevote voib toota kolme liiki esemeid, olgu need liigid A., B jaC, saades seejuures tulu, mis soltub noudlusest nende kaubaliikide jargi. Noudlustnende kaubaliikide jargi on aga nelja liiki,olgu need tahistatud vastavalt I, II, III jaIV. Jargmises tabelis on ettevotte tulud vastavalt toodangu ja noudluse liigile:

64

I II III IVA 8 3 6 2B 4 5 6 5C 1 7 4 7

Mis vahekorras peab ettevote tootma esemeid A, B ja C, lugedes noudluse vaheko-rrad taiesti kaootiliseks?Lahendus. Vaatleme kirjeldatud ulesannet manguna maatriksiga

A =

∥∥∥∥∥∥8 3 6 24 5 6 51 7 4 7

∥∥∥∥∥∥ .

Peame leidma selle mangu lahendid y∗ ja x∗. Siis vektori y∗ koordinaadid naitavad,millistes vahekordades tuleb esemeid toota. Kuna siin maatriksi A elemendid onkoik positiivsed, siis pole neile konstanti α juurde liita vaja (lihtne on veenduda, etsee mang pole lahenduv puhastes strateegiates).Tuleb lahendada omavahel duaalsed lineaarse planeerimise ulesanded

z = x1 + x2 + x3 + x4 → max

8x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 ≤ 14x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 ≤ 1x1 + 7x2 + 4x3 + 7x4 ≤ 1

x1, . . . , x4 ≥ 0

(20.1)

ja

w = y1 + y2 + y3 → min

8y1 + 4y2 + y3 ≥ 13y1 + 5y2 + 7y3 ≥ 16y1 + 6y2 + 4y3 ≥ 12y1 + 5y2 + 7y3 ≥ 1

y1, y2, y3 ≥ 0

(20.2)

Teisendades ulesande (20.1) kanoonilisele kujule, saadakse

z = x1 + x2 + x3 + x4 → max

8x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 + x5 = 1

4x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 + x6 = 1

x1 + 7x2 + 4x3 + 7x4 + x7 = 1

x1, . . . , x4 ≥ 0

(20.3)

Lahendame ulesande (20.3) simpleksmeetodiga:

65

0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 +(1/8) · I1 0 8 3 6 2 1 0 0 ·(1/8)1 0 4 5 6 5 0 1 0 +(−1/2) · I1 0 1 7 4 7 0 0 1 +(−1/8) · I1/8 1 0 -5/8 -1/4 -3/4 1/8 0 0 +(3/16) · II1/8 0 1 3/8 3/4 1/4 1/8 0 0 +(−1/16) · II1/2 0 0 7/2 3 4 -1/2 1 0 ·(1/4)7/8 0 0 53/8 13/4 27/4 -1/8 0 1 +(−27/16) · II7/32 1 0 1/32 5/16 0 1/32 3/16 03/32 0 1 5/32 9/16 0 5/32 -1/16 01/8 0 0 7/8 3/4 1 -1/8 1/4 01/32 0 0 23/32 -29/16 0 23/32 -27/32 1

Siit saadakse ulesande (20.1) optimaalseks lahendiks

x = (x1; x2; x3; x4)T = (3/32; 0; 0; 1/8)T ,

kusjuuresz = x1 + x2 + x3 + x4 = 7/32.

Vastavalt duaalsusteoreemidele rahuldab ulesande (20.2) optimaalne lahend y =(y1; y2; y3)T vordusi

x1 · (8y1 + 4y2 + y3 − 1) = 0x2 · (3y1 + 5y2 + 7y3 − 1) = 0x3 · (6y1 + 6y2 + 4y3 − 1) = 0x4 · (2y1 + 5y2 + 7y3 − 1) = 0

ehk (3/32) · (8y1 + 4y2 + y3 − 1) = 00 · (3y1 + 5y2 + 7y3 − 1) = 00 · (6y1 + 6y2 + 4y3 − 1) = 0(1/8) · (2y1 + 5y2 + 7y3 − 1) = 0

Siit {8y1 + 4y2 + y3 = 1

2y1 + 5y2 + 7y3 = 1(20.4)

Ulesande (20.1) optimaalne lahend x = (x1; x2; x3; x4)T rahuldab aga vordusiy1 · (8x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 − 1) = 0y2 · (4x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 − 1) = 0y3 · (x1 + 7x2 + 4x3 + 7x4 − 1) = 0

Pannes siia vektori x koordinaadid asemele, saadaksey1 · 0 = 0y2 · 0 = 0y3 · (−1/32) = 0

66

Siit y3 = 0 ja vordusest (20.4) saame{8y1 + 4y2 = 1

2y1 + 5y2 = 1

ehky1 = 1/32, y2 = 3/16

jay = (1/32; 3/16; 0)T , w = y1 + y2 + y3 = 7/32 = z.

Seega mangu lahenditeks on

y∗ =1z· y = 32

7· (1/32; 3/16; 0)T = (1/7; 6/7; 0)T ,

x∗ =1z· x = 32

7· (3/32; 0; 0; 1/8)T = (3/7; 0; 0; 4/7)T .

Mangu hinnaks on aga1z=327

.

Vastavalt saadud lahendile y∗ saab anda esialgse ulesande vastuse: kogutoodangust1/7 tuleb toota eset A, 6/7 eset B ja eset C pole uldse vaja toota.

Naide 20.3. Lahendame mangu, mille maatriks on

A =

∥∥∥∥∥∥−1 2 10 6 21 −2 3

∥∥∥∥∥∥ .

Leides selle mangu alumise ja ulemise hinna, saadakse nende vaartusteks 0 ja1. Seega pole see mang lahenduv puhastes strateegiates. Teoreemide 19.1–19.3kohaselt liidame maatriksi A koikidele elementidele arvu α = 3. Saame positiivseteelementidega maatriksi

A =

∥∥∥∥∥∥2 5 43 9 54 1 6

∥∥∥∥∥∥ .

Tuleb lahendada omavahel duaalsed lineaarse planeerimise ulesanded

z = x1 + x2 + x3 → max

2x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 13x1 + 9x2 + 5x3 ≤ 14x1 + x2 + 6x3 ≤ 1

x1, x2, x3 ≥ 0

(20.5)

67

ja

w = y1 + y2 + y3 → min

2y1 + 3y2 + 4y3 ≥ 15y1 + 9y2 + y3 ≥ 14y1 + 5y2 + 6y3 ≥ 1

y1, y2, y3 ≥ 0

(20.6)

Teisendades ulesande (20.5) kanoonilisele kujule, saadakse

z = x1 + x2 + x3 → max

2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 1

3x1 + 9x2 + 5x3 + x5 = 1

4x1 + x2 + 6x3 + x6 = 1

x1, x2, x3 ≥ 0

(20.7)

Lahendame ulesande (20.7) simpleksmeetodiga:

0 1 -1 -1 -1 0 0 0 +(1/4) · III1 0 2 5 4 1 0 0 +(−1/2) · III1 0 3 9 5 0 1 0 +(−3/4) · III1 0 4 1 6 0 0 1 ·(1/4)1/4 1 0 -3/4 1/2 0 0 1/4 +(1/11) · II1/2 0 0 9/2 1 1 0 -1/2 +(−6/11) · II1/4 0 0 33/4 1/2 0 1 -3/4 ·(4/33)1/4 0 1 1/4 3/2 0 0 1/4 +(−1/33) · II3/11 1 0 0 6/11 0 1/11 2/114/11 0 0 0 8/11 1 -6/11 -1/111/33 0 0 1 2/33 0 4/33 -1/118/33 0 1 0 49/33 0 -1/33 3/11

Siit saadakse ulesande (20.5) optimaalseks lahendiks

x = (x1; x2; x3)T = (8/33; 1/33; 0)T ,

kusjuuresz = x1 + x2 + x3 = 3/11.

Vastavalt duaalsusteoreemidele rahuldab ulesande (20.6) optimaalne lahend y =(y1; y2; y3)T vordusi

x1 · (2y1 + 3y2 + 4y3 − 1) = 0x2 · (5y1 + 9y2 + y3 − 1) = 0x3 · (4y1 + 5y2 + 6y3 − 1) = 0

68

ehk (8/33) · (2y1 + 3y2 + 4y3 − 1) = 0(1/33) · (5y1 + 9y2 + y3 − 1) = 00 · (4y1 + 5y2 + 6y3 − 1) = 0

Siit {2y1 + 3y2 + 4y3 = 1

5y1 + 9y2 + y3 = 1(20.8)

Ulesande (20.5) optimaalne lahend x = (x1; x2; x3)T rahuldab aga vordusiy1 · (2x1 + 5x2 + 4x3 − 1) = 0y2 · (3x1 + 9x2 + 5x3 − 1) = 0y3 · (4x1 + x2 + 6x3 − 1) = 0

Pannes siia vektori x koordinaadid asemele, saadaksey1 · (−4/11) = 0y2 · 0 = 0y3 · 0 = 0

Siit y1 = 0 ja vordusest (20.8) saame{3y2 + 4y3 = 1

9y2 + y3 = 1

ehky2 = 1/11, y3 = 2/11

jay = (0; 1/11; 2/11)T , w = y1 + y2 + y3 = 3/11 = z.

Seega mangu lahenditeks on

y∗ =1z· y = 11

3· ((0; 1/11; 2/11)T = (0; 1/3; 2/3)T ,

x∗ =1z· x = 11

3· (8/33; 1/33; 0)T = (8/9; 1/9; 0)T .

Mangu hinnaks on aga1z− α =

113− 3 = 2

3.

69

21 Mangu graafiline lahendamine

Nagu teisigi matemaatilise planeerimise ulesandeid, saab ka manguteooria ulesandeidmoningatel juhtudel lahendada graafiliselt. Vaatleme mangu maatriksiga

A =

∥∥∥∥a11 a12a21 a22

∥∥∥∥ .

Valime mis tahes segastrateegiad

y =

∥∥∥∥y1y2∥∥∥∥ = ∥∥∥∥ p

1− p

∥∥∥∥ , x =

∥∥∥∥x1x2∥∥∥∥ = ∥∥∥∥ q

1− q

∥∥∥∥ (0 ≤ p, q ≤ 1).

Siis esimese mangija voidu keskvaartus strateegiate y ja x kasutamisel on

ϕ(y, x) = a11pq + a12p(1− q) + a21(1− p)q + a22(1− p)(1− q) =

= q(pa11 + a21(1− p)) + (1− q)(a22p+ a21(1− p)) =

= qE1 + (1− q)E2 = E2 + q(E1 − E2),

kusE1 = E1(p) = pa11 + a21(1− p), E2 = E2(p) = a22p+ a21(1− p).

Siisf(p) = min

xϕ(y, x) = min

0≤q≤1(E2 + q(E1 − E2)) =

=

{E2, kui E1 ≥ E2,

E1, kui E1 ≤ E2,= min0≤p≤1

{E1(p), E2(p)}.

Joonistades funktsioonide E1(p), E2(p) ja f(p) graafikud, saadakse

-

6

r r p

V

10

r

r rp p p p p

QQ

QQ

QQ

QQQa11

a21

r

rr

��

��

��

��

p p p p pa12

a22

r

V = E2(p)

V = E1(p)rp∗

��Q

QQ

QQ

QQ

Funktsiooni f(p) graafik on kujutatud joonisel rasvaselt ja ta koosneb kahestloigust. Maksimini strateegia y∗ saadakse, leides funktsiooni f(p) maksimumkohap∗:

maxy(min

xϕ(y, x)) = max

p(min

qϕ(y, x)) =

70

= maxp

f(p) = f(p∗),

y∗ = (p∗; 1− p∗)T .

Analoogiliselt leitakse teise mangija jaoks minimaksi strateegia. Ruhmitamefunktsiooni ϕ(y, x) avaldises liidetavaid teisiti:

ϕ(y, x) = a11pq + a12p(1− q) + a21(1− p)q + a22(1− p)(1− q) =

= p(qa11 + a12(1− q)) + (1− p)(a21q + a22(1− q)) =

= pF1 + (1− p)F2 = F2 + p(F1 − F2),

kusF1 = F1(q) = qa11 + a12(1− q), F2 = F2(q) = a21q + a22(1− q).

Siisg(q) = max

yϕ(y, x) = max

0≤p≤1(F2 + p(F1 − F2)) =

=

{F1, kui F1 ≥ F2,

F2, kui F1 ≤ F2.

Joonistades funktsioonide F1(q), F2(q) ja g(q) graafikud, saadakse

-

6

r r q

W

10

r

r rp p p p p

QQ

QQ

QQ

QQQa11

a12

r

rr

��

��

��

��

p p p p pa21

a22

r

W = F2(q)

W = F1(q)rq∗

QQQ�

��

��

��

Funktsiooni g(q) graafik on kujutatud joonisel rasvaselt ja ta koosneb kahestloigust. Minimaksi strateegia x∗ saadakse, leides funktsiooni g(q) mmiinimumkohaq∗:

minx(max

yϕ(y, x)) = min

q(max

pϕ(y, x)) =

= minq

g(q) = g(q∗),

x∗ = (q∗; 1− q∗)T .

Naide 21.1. Laiame maatriksiga∥∥∥∥−2 21 −1

∥∥∥∥71

antud mangu lahendid. Siin

E1(p) = −2p+ (1− p) = 1− 3p, E2(p) = 2p− (1− p) = 3p− 1.

Kujutame joonisel nende funktsioonide graafikud:

-

6

rr

rr r

r

r rr1

p

@@

@@

@@

@@@

��

��

��

��

1

2

−1

−2

p p p p p

p p p p p

E2(p) = 3p− 1

E1(p) = 1− 3p

p∗

��

�@@

@@

@@

Esimese mangija optimaalse segastrateegia saame, kui leiame sirgete E1(p) =1− 3p ja E2(p) = 3p− 1 loikepunkti:

1− 3p = 3p− 1 =⇒ p∗ =13; y∗ = (p∗; 1− p∗) = (1/3; 2/3)T .

Analoogiliselt leitakse teise mangija optimaalne segastrateegia kui sirgete

F1(q) = −2q + 2(1− q) = 2− 4q ja F2(q) = q − (1− q) = 2q − 1

loikepunkti abil:

2− 4q = 2q − 1 =⇒ q∗ =12; x∗ = (q∗; 1− q∗) = (1/2; 1/2)T .

Mangu hind on

ϕ(y∗, x∗) = −2 · 13· 12+ 2 · 1

3· 12+ ·23· 12− 23· 12= 0

aga ka arvf(p∗) = 3p∗ − 1 = 0.

Jarelikult mangu korduvalt mangides kumbki mangija keskmiselt ei voida ega kaotamidagi. Esimene mangija peab kolmandikus mangudes keskmiselt kasutama omaesimest strateegiat ja kahes kolmandikus mangudes oma teist strateegiat. Teinemangija peab keskmiselt pooltes mangudes kasutama oma esimest strateegiat japooltes mangudes oma teist strateegiat.

Analoogiliselt voib graafiliselt lahendada mangu, mille maatriksil on kas 2 ridavoi 2 veergu.

72

Vaadelgem mangu maatriksiga

A =

∥∥∥∥a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

∥∥∥∥ .

Valime mis tahes segastrateegiad

y = (y1; y2)T = (p; 1− p)T (0 ≤ p ≤ 1); x = (x1; x2; . . . ; xn)

T .

Siis esimese mangija voidu keskvaartus strateegiate y ja x kasutamisel on

ϕ(y, x) =2, n∑i, j

aijyixj =n∑

j=1

(a1jp+ a2j(1− p))xj =n∑

j=1

Ejxj, (21.1)

kusEj = Ej(p) = a1jp+ a2j(1− p); j = 1, 2, . . . , n. (21.2)

Olguf(p) = min

p{E1, E2, . . . , En} = El.

Siin indeks l soltub arvu p valikust. Siis vordusest (21.1) jareldub

ϕ(y, x) =n∑

j=1

Ejxj ≥n∑

j=1

f(p)xj = f(p) ·n∑

j=1

xj = f(p) · 1 = f(p).

Seegaϕy = min

xϕ(y, x) ≥ f(p).

Valides segastrateegia x jargmiselt

xj =

{1, kui j = l,

0, kui j 6= l,

saadakseϕ(y, x) = f(p).

Jarelikultϕy = min

xϕ(y, x) = f(p).

Mangu lahendi y∗ = (p∗; 1 − p∗)T leidmiseks tuleb leida selline arvu p vaartus p∗,mis annab maksimumi funktsioonile f(p):

ϕy∗ = maxy

ϕy = maxp

f(p).

Oleme saanud eeskirja esimese mangija optimaalse strateegia y∗ = (p∗; 1− p∗)T

leidmiseks:

1) moodustada maatriksi A veergude 1, 2, . . . , n jaoks funktsioonid E1, E2, . . . , En

valemi (21.2) kohaselt;

73

2) leida funktsiooni f(p) = minp{E1, E2, . . . , En} maksimumkoht p∗ loigul [0; 1].

Kuidas leida vaadeldaval juhul teise mangija optimaalset segastrateegiat x∗, sedakirjeldame jargnevas naites.

Naide 21.2. Leiame maatriksiga

A =

∥∥∥∥−1 4 2 33 −1 0 1

∥∥∥∥antud mangu lahendid.

-

6

rrrrrr r

rr

rr

r��

��

��

��

��

��

��

��

��S

SS

SS

SS

SS

SSS

r rp

1

2

3

4

−1

rp∗ 1

E2 = 5p− 1

E4 = 2p+ 1

E3 = 2p

E1 = 3− 4p��S

SS

SSS

Moodustame antud maatriksi igale veerule vastavalt uhe sirge ja joonestamenende sirgete graafikud:

E1 = −1 · p+ 3 · (1− p) = 3− 4p, E2 = 4 · p+ (−1) · (1− p) = 5p− 1,

E3 = 2 · p+ 0 · (1− p) = 2p, E4 = 3 · p+ 1 · (1− p) = 2p+ 1.

Edasi teeme funktsiooni

f(p) = minx

ϕ(y, x) = min0≤p≤1

{E1(p), E2(p), E3(p), E4(p)}

graafiku. See on joonisel kujutatud rasvase joonena. Funktsiooni f(p) maksi-mumkoht p∗ annabki esimese mangija optimaalse segastrateegia y∗ = (p∗; 1− p∗)T .Jooniselt on naha, et tuleb leida sirgete E1 = 3 − 4p ja E3 = 2p loikepunkt:2p = 3 − 4p, p∗ = 1/2. Seega esimese mangija optimaalne segastrateegia ony∗ = (1/2; 1/2)T . Mangu hinnaks on funktsiooni f(p) vaartus kohal p∗, s.t. ϕy∗ =f(1/2) = 2p∗ = 2 · (1/2) = 1.Paneme tahele, et optimaalse segastrateegia esimese mangija jaoks saime maat-

riksi A esimese ja komanda veeru abil. Moodustame nendest veergudest uue maat-riksi

A =

∥∥∥∥−1 23 0

∥∥∥∥74

ja vaadelgem mangu selle maatriksiga. Tahistame maatriksiga A maaratud manguesimese mangija voidu keskvaartust segastrateegiate y = (p; 1−p)T ja x = (q; 1−q)T

korral kujul ϕ(y, x). Kahemootmelisele segastrateegiale x = (q; 1 − q)T vastabneljamootmeline segastrateegia ι(x) = (q; 0; 1 − q; 0)T . Valemist (18.1) tulenebfunktsioonide ϕ ja ϕ vahekord

ϕ(y, ι(x)) = ϕ(y, x)

ning seetottuϕx = max

yϕ(y, x) = max

yϕ(y, ι(x)) = ϕι(x).

Ulalt jooniselt on naha, et maatriksiga Amaaratud mangu korral esimese mangijaoptimaalseks segastrateegiaks saadakse samuti vektor y∗ = (1/2; 1/2)T ning seegaϕy∗ = ϕy∗ .Leides naite 21.1 eeskujul maatriksiga A maaratud mangu korral teise mangija

optimaalse segastrateegia x∗, saadakse q∗ = 1/3 ehk x∗ = (1/3; 2/3)T . Kuna ϕy∗ ≤ϕz iga neljamootmelise segastrateegia z korral ja

ϕy∗ = ϕy∗ = ϕx∗ = ϕι(x∗),

siis minz

ϕz = ϕι(x∗), s.t. ι(x∗) = (1/3; 0; 2/3; 0)T on teise mangija optimaalne

segastrateegia maatriksiga A maaratud mangu korral.

Naitega 21.2 analoogiliselt lahendatakse mang, kui selle mangu maatriks on ka-heveeruline.

Algab materjal, mida oleksin lugenud, kui semesterpoleks veel loppenud

22 Markovi protsess

Kaesolevas alajaotuses kirjeldame uhte mudelit, kus vaadeldakse juhuslikkusega seo-tud tegevust voi protsessi.Vaadelgem susteemi, mis voib olla n erinevas olekus. Tahistame neid olekuid

numbritega 1, 2, . . . , n. Seejuures eeldatakse, et antud ajamomendil voib susteemolla ainult uhes olekus. Aega t vaatleme muutuvana diskreetselt: t ∈ {1, 2, 3, . . .}.Tahistagu xj(t) toenaosust, et susteem on ajamomendil t olekus j (j ∈ {1, 2, 3, . . . ,n}). Moodustame vektori

x(t) =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥x1(t)x2(t)...

xn(t)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ = (x1(t); x2(t); . . . ; xn(t))T .

Selle vektori koordinaadid rahuldavad seoseid

x1(t) + x2(t) + . . .+ xn(t) = 1, 0 ≤ xj(t) ≤ 1.

75

Veel olgu teada susteemi uhest olekust teise ulemineku toenaosused:

pkj − toenaosus selleks, et susteem laheb ajamomendil t j.olekusolles jargmisel ajamomendil t+ 1 ule k.olekusse.

Toenaosused pkj loetakse soltumatuiks ajast t. Siis

p1j + p2j + . . .+ pnj = 1, 0 ≤ pkj ≤ 1. (22.1)

Paigutame toenaosused pkj maatriksisse:

P =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥p11 p12 . . . p1np21 p22 . . . p2n...

.... . .

...pn1 pn2 . . . pnn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Margime, et maatriksi P igas veerus esinevate arvude summa on 1. Ulal kirjel-datud protsessi susteemi uleminekul uhelt ajamomendilt jargmisele nimetatakseMarkovi protsessiks. Jargnevalt tuletame meelde taistoenaosuse valemit. Vaadel-gem mingit toenaosusruumi. Olgu antud selles ruumis sundmuste taielik susteemA1, A2, . . . , An; s.t. need sundmused on uksteist valistavad ja katse tulemusenaesineb parajasti uks nendest sundmustest. Kui on antud selles toenaosusruumissuvaline sundmus A, siis selle sundmuse toenaosus P (A) avaldub jargmiselt:

P (A) =n∑

i=1

P (Ai) · P (A|Ai) =

= P (A1) · P (A|A1) + P (A2) · P (A|A2) + . . .+ P (An) · P (A|An), (22.2)

kus P (A|Ai) tahistab sundmuse A toenaosust eeldusel, et sundmus Ai leidis aset.Valemit (22.2) nimetataksegi taistoenaosuse valemiks.Rakendame nuud taistoenaosuse valemit Markovi protsessi korral. Sundmused

A ja A1, A2, . . . , An valime jargnevalt:

A – susteem on ajamomendil t+ 1 oma i.olekus;Aj – susteem on ajamomendil t oma j.asendis.

Selliste tahistuste korral

P (A) = xi(t+ 1), P (Aj) = xj(t), P (A|Aj) = pij.

Taistoenaosuse valemis pohjal saame

xi(t+ 1) = P (A) =n∑

j=1

P (Aj) · P (A|Aj) =n∑

j=1

pij · xj(t). (22.3)

Vordus (22.3) annab seose vektorite x(t+1) ja x(t) koordinaatide vahel ja maatrik-skujul avaldatuna saame

x(t+ 1) = P · x(t) (22.4)

76

Saadud vordus kirjeldab taielikult Markovi protsessina kirjeldatud susteemi kaitumist.Maatriksit P nimetatakse Markovi maatriksiks. Induktsiooniga saadakse

x(1) = P · x(0), x(2) = P · x(1) = P 2 · x(1), . . . , x(t+ 1) = P t · x(0) (22.5)

s.t. susteemi olek ajamomendil t + 1 on avaldatav algajamonendil oleva oleku jamaatriksi P kaudu.Markovi protsesside teoorias uheks olulisemaks kusimuseks on: mis juhtub sustee-

miga, kui t −→∞? Vorduse (22.5) pohjal on selleks vaja osata maatriksit P asten-dada. Naitame uhe votte maatriksite astendamiseks.

Lineaaralgebrakursusest on teada jargmine teoreem.

Teoreem 22.1 Olgu P mis tahes n-ndat jarku ruutmaatriks, arvud t1, . . . , tn temaomavaartused ja vektorid

ξj =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥s1js2j...

snj

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ = (s1j; s2j; . . . ; snj)T , j = 1, 2, . . . , n,

nendele omavaartustele vastavad omavektorid. Siis maatriksid

D =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥t1 0 . . . 00 t2 . . . 0....... . .

...0 0 . . . tn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ , S =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥s11 s12 . . . s1ns21 s22 . . . s2n...

.... . .

...sn1 sn2 . . . snn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥rahuldavad vordust

PS = SD. (22.6)

Vordust (22.6) saab kasutada maatriksi P astmete leidmiseks. Selleks tulebleida selle maatriksi omavaartused t1, . . . , tn, valida iga omavaartuse tj jaoks uksomavektor ξj, moodustada ulal esitatud maatriksid D ja S ning edasi arvutadavalemi (22.6) kohaselt:

PS = SD, P = SDS−1, P 2 = SDS−1 · SDS−1 = SD2S−1, . . . , Pm = SDmS−1 .

Diagonaalmaatriksi D astendamiseks tuleb astendada tema diagonaalil asuvaid ele-mente:

Dm =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥tm1 0 . . . 00 tm2 . . . 0....... . .

...0 0 . . . tmn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥ .

Et maatriksil S leiduks poordmaatriks, peavad selle maatriksi veeruvektoridolema lineaarselt soltumatud, s.t maatriksi S koostamiseks vajalikud maatriksi Pomavektorid ξ1, . . . , ξn peavad olema lineaarselt soltumatud.

77

23 Naide Markovi protsessi kohta

Sonastame jargmise kunstlikult pustitatud ulesande.Kaugel maade ja merede taga asub vaikeriik Kalvia, mille pealinnaks on Toigla.

Igal aastal soidab valjaspool Toiglat elavatest kalvialastest 1/10 elama Toiglasse ja2/10 toiglalastest siirdub elama valjapoole Toiglat. Vaatleme, kuidas muutub Toiglaelanike koosseis aja t kasvades. Aega moodetakse siin aastates, t ∈ {0, 1, 2, . . .}.Tahistagu yt ajamomendil t valjaspool Toiglat elavate kalvialaste arvu ja zt

elanike arvu Toiglas ajamomendil t. Vastavalt ulesande tingimustele{yt+1 = 0, 9yt + 0, 2zt,

zt+1 = 0, 1yt + 0, 8zt.

Tahistame

x(t) =

∥∥∥∥yt

zt

∥∥∥∥ , P =

∥∥∥∥0, 9 0, 20, 1 0, 8

∥∥∥∥ .

Siisx(t+ 1) = P · x(t) = P 2 · x(t− 1) = . . . = P t · x(0).

Maatriksi P astendamiseks leiame selle maatriksi omavaartused ja omavektorid:

1) Omavaartused leitakse vorrandist det(P − tE) = 0:

det(P − tE) =

∣∣∣∣0, 9− t 0, 20, 1 0, 8− t

∣∣∣∣ = t2 − 1, 7t+ 0, 7 = 0,

t1, 2 =1, 7±

√1, 72 − 4 · 0, 72

=1, 7± 0, 32

,

t1 = 1, t2 = 0, 7 − omavaartused.2) Omavaartusele t1 = 1 vastavate omavektorite ξ(x1; x2)T koordinaadid leitakse

lineaarse homogeense vorrandisusteemi (P − t1E)x = θ lahendina:{(0, 9− t1)x1 + 0, 2x2 = 0

0, 1x1 + (0, 8− t1)x2 = 0{−0, 1x1 + 0, 2x2 = 00, 1x1 − 0, 2x2 = 0

kust x1 = 2x2. Siin tundmatu x2 on vaba tundmatu. Kuna meie vajame ainultuhte omavektorit, siis valime x2 = 1. Nii saame uhe omavaartusele t1 = 1 vastavaomavektori

ξ1 = (2; 1)T .

3) Omavaartusele t2 = 0, 7 vastavate omavektorite ξ(x1; x2)T koordinaadid leitakselineaarse homogeense vorrandisusteemi (P − t2E)x = θ lahendina:{

(0, 9− t2)x1 + 0, 2x2 = 0

0, 1x1 + (0, 8− t2)x2 = 0

78

{0, 2x1 + 0, 2x2 = 0

0, 1x1 + 0, 1x2 = 0

kust x2 = −x1. Siin tundmatu x1 on vaba tundmatu. Kuna meie vajame ainultuhte omavektorit, siis valime x1 = 1. Nii saame uhe omavaartusele t2 = 0, 7 vastavaomavektori

ξ2 = (1; −1)T .

Vastavalt teoreemile 22.1 moodustame maatriksid D ja S:

D =

∥∥∥∥1 00 0, 7

∥∥∥∥ , S =

∥∥∥∥2 11 −1

∥∥∥∥ .

Leides S−1, saadakse

S−1 =13·∥∥∥∥1 11 −2

∥∥∥∥ .

Seega

P t = SDtS−1 =

∥∥∥∥2 11 −1

∥∥∥∥ · ∥∥∥∥1t 00 0, 7t

∥∥∥∥ · (13 ·∥∥∥∥1 11 −2

∥∥∥∥) ==13·∥∥∥∥2 0, 7t

1 −0, 7t∥∥∥∥ · ∥∥∥∥1 11 −2

∥∥∥∥ ==13·∥∥∥∥2 + 0, 7t 2− 2 · 0, 7t1− 0, 7t 1 + 2 · 0, 7t

∥∥∥∥ ,

x(t) = P tx(0) = P t ·∥∥∥∥y0z0∥∥∥∥ ,{

yt = 13 · ((2 + 0, 7

t)y0 + (2− 2 · 0, 7tz0)zt = 1

3 · ((1− 0, 7t)y0 + (1 + 2 · 0, 7tz0)

Lastes ajal piiramatult kasvada, naeme, millisele piirseisundile vaadeldav protsesslaheneb:

limt→∞

x(t) =13·∥∥∥∥2y0 + 2z0y0 + z0

∥∥∥∥ = (y0 + z0) ·∥∥∥∥2313

∥∥∥∥ .

Siin arv y0+z0 tahistab kalvialaste arvu. Saadud piirvaartus naitab, et kauges tule-vikus elab umbes 2/3 kalvialastest valjaspool pealinna ja 1/3 kalvialastest pealinnasToiglas7.

24 Markovi protsessi statsionaarsus

Vaadelgem Markovi protsessi x(t) maatriksiga P . Kui eksisteerib loplik piirvaartuslimt→∞ x(t) = x, siis oeldakse, et see protsess omab statsionaarset seisundit

7Eeldatakse, et Kalvias on nulliive.

79

x. Eelmises alajaotuses kirjeldatud protsess omas statsionaarset seisundit. Statsio-naarne seisund x = (x1; x2; . . . ; xn)T rahuldab ilmselt seoseid

x1 + x2 + . . .+ xn = 1, 0 ≤ xi ≤ 1. (24.1)

Toome naite protsessist, mis ei oma statsionaarset seisundit.

Naide 24.1. Vaatleme Markovi protsessi maatriksiga

P =

∥∥∥∥0 11 0∥∥∥∥ .

Leides eelmise alajaotuse eeskujul maatriksi P aste P t, saadakse

t1 = 1, t2 = −1, ξ1 = (1; 1)T , ξ2 = (1; −1)T ,

S =

∥∥∥∥1 11 −1

∥∥∥∥ , S−1 =12·∥∥∥∥1 11 −1

∥∥∥∥ ,

P t = SDtS−1 =12·∥∥∥∥ 1 + (−1)t 1 + (−1)t+11 + (−1)t+1 1 + (−1)t

∥∥∥∥ ,

x(t) = P tx(0) =12·∥∥∥∥x1(0) + x2(0) + (−1)t(x1(0)− x2(0))x1(0) + x2(0)− (−1)t(x1(0)− x2(0))

∥∥∥∥ .

Siit on naha, et kui x1(0) 6= x2(0), siis limt→∞ x(t) ei eksisteeri ja vaadeldav Markoviprotsess ei oma statsionaarset seisundit.

Teoreem 24.1 Kui maatriksiga P maaratud Markovi protsess x(t) omab statsio-naarset seisundit x, siis see seisund x = (x1; x2; . . . ; xn)T on maatriksi P omavaar-tusele 1 vastav omavektor, mille korral x1 + x2 + . . .+ xn = 1.

Toestus. Omagu vaadeldav Markovi protsess statsionaarset seisundit, s.t.

limt→∞

x(t) = limt→∞

x(t+ 1) = x.

Vektor x rahuldab seoseid (24.1). Seosest x(t+ 1) = Px(t) saadakse piirile x →∞minnes vordus x = Px ehk (P − E)x = θ. Viimane vorrandisusteem saab omadanull-lahendist erinevat lahendit x ainult siis, kui det(P − E) = 0. Seega on arv1 maatriksi P omavaartus ja x teoreemi vaiteid rahuldav omavaartusele 1 vastavomavektor. �

Teoreem 24.2 Arv 1 on alati Markovi maatriksi P = ‖pij‖ omavaartuseks.

Toestus. Maatriksi P igas veerus olevate arvude summa vordub arvuga 1.Seetottu maatriksi

P − E =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥p11 − 1 p12 . . . p1n

p21 p22 − 1 . . . p2n...

.... . .

...pn1 pn2 . . . pnn − 1

∥∥∥∥∥∥∥∥∥80

igas veerus olevate arvude summa vordub nulliga, s.t. α1 + α2 + . . . + αn = θ, kusα1, α2, . . . , αn on maatriksi P − E reavektorid ja θ on nullvektor. Jarelikult onmaatriksi P − E reavektorid lineaarselt soltuvad ning selle maatriksi determinantvordub nulliga: det(P − E) = 0. See aga tahendabki, et arv 1 on maatriksi Pomavaartus. �

Teoreem 24.3 Kui P on Markovi maatriks ja t on selle maatriksi omavaartus, siis|t| ≤ 1.

Toestus. Olgu t maatriksi P omavaartus, s.t. det(P − tE) = 0. Kuna maatriksija tema transponeeritud maatriksi determinandid langevad kokku, siis kadet(P T − tE) = 0 ja t on ka maatriksi P T omavaartus. Olgu x = (x1; x2; . . . ; xn)T

omavaartusele t vastav maatriksi P T omavektor. Siis

P T x = tx,n∑

i=1

pijxi = txj,

|t| · |xj| ≤n∑

i=1

pij · |xi| ≤ maxi|xi| ·

∑i=1n

pij = maxi|xi|,

|t| ·maxi|xi| ≤ max

i|xi|, |t| ≤ 1. �

Teoreem 24.4 Olgu P = ‖pij‖Markovi maatriks ja x(t) selle maatriksiga maaratudMarkovi protsess. Kui pij > 0 indeksite i ja j koigi vaartuste korral, siis see protsessomab statsionaarset seisundit x ja see seisund ei soltu algseisundist x(0).

Toestus. Olgu taidetud teoreemi eeldused. Kui n = 1, siis teoreemi vaide ilmseltkehtib. Seetottu eeldame, et n ≥ 2.Valime mis tahes vektori b = (b1; b2; . . . ; bn)T , kus b1, b2, . . . , bn ≥ 0 (b ≥ θ),

ning vaatleme skalaarkorrutist

x(t) · b = P tx(0) · b = (P tx(0))T b = x(0)T (P t)T b = x(0) · (P t)T b.

Siit selgub, et piisab naidata lopliku piirvaartuse limt→∞ (P t)T b olemasolu iga b ≥ θkorral. Toepoolest, siis eksisteerib loplik piirvaartus limt→∞ (x(t) ·b) iga b ≥ θ korralja valides bi = 1 ning bj = 0, kui j 6= i, saadakse, et eksisteerib loplik piirvaartuslimt→∞ xi(t) iga i vaartuse korral. See aga tahendabki, et eksisteerib piirvaartuslimt→∞ x(t).Jargnevalt naitamegi, et leidub loplik piirvaartus limt→∞ (P t)T b iga b ≥ θ korral.

Tahistame

z(t) = (P T )tb =

∥∥∥∥∥∥∥z1(t)...

zn(t)

∥∥∥∥∥∥∥ = (z1(t); . . . ; zn(t))T .

Siis

z(t+ 1) = P T z(t), zj(t+ 1) =n∑

i=1

pijzi(t).

81

Tahistame vektori z(t) suurimat ja vahimat koordinaati vastavalt u(t) ja v(t):

u(t) = maxi

zi(t), v(t) = mini

zi(t).

Vektori z(t) valiku kohaselt u(t) ≥ 0 ja v(t) ≥ 0. Kuna u(t+ 1) = zk(t+ 1) mingi kkorral, siis

u(t+ 1) = zk(t+ 1) =n∑

i=1

pikzi(t) ≤n∑

i=1

pikmaxl

zl(t) =

= maxl

zl(t) ·n∑

i=1

pik = u(t) · 1 = u(t).

Jarelikult on jada {u(t)}t=0, 1, 2,... monotoonselt kahanev ja tokestatud alt arvuga0. Analoogiliselt veendutakse, et jada {v(t)}t=0, 1, 2,... on monotoonselt kasvav jatokestatud ulalt arvuga u(0). Matemaatilise analuusi kursuses naidatakse, et mono-toonne ja tokestatud jadal eksisteerib alati piirvaartus. Seega eksisteerivad pi-irvaartused

limt→∞

u(t), limt→∞

v(t).

Tahistagu p maatriksi P vahimat elementi:

p = mini, j

pij.

Kuna n ≥ 2, siis p ≤ 1/2. Siis mingi indeksi l vaartuse korral

u(t+ 1) =n∑

i=1

pilzi(t). (24.2)

Kuiv(t) = min

izi(t) = zk(t),

siis vordusest (24.2) saadakse

u(t+ 1) =n∑

i=1

pilzi(t) =n∑

i=1, i 6=k

pilzi(t) + pklv(t) ≤

≤n∑

i=1, i6=k

pilu(t) + pklv(t) =n∑

i=1

pilu(t) + pklv(t)− pklu(t) ≤

≤ u(t) ·n∑

i=1

pil + pkl(v(t)− u(t)) = u(t) + pkl(v(t)− u(t)) ≤

≤ u(t) + p(v(t)− u(t)) = (1− p)u(t) + pv(t)

ehku(t+ 1) ≤ (1− p)u(t) + pv(t). (24.3)

82

Analoogiliste arutlustega naidatakse vorratus

v(t+ 1) ≥ (1− p)v(t) + pu(t). (24.4)

Vorratusest (24.3) vorratust (24.4) lahutades saadakse

0 ≤ u(t+ 1)− v(t+ 1) ≤ (1− p)(u(t)− v(t)) + p(v(t)− u(t)) =

= (1− 2p)(u(t)− v(t)). (24.5)

Vorratusest (24.5) jareldub induktsiooniga vorratus

0 ≤ u(t)− v(t) ≤ (1− 2p)t(u(0)− v(0)). (24.6)

Vorratusest (24.6) jareldub, et

limt→∞

u(t) = limt→∞

v(t) = u ∈ R

jalimt→∞

z(t) = limt→∞(P T )tb = (u; u; . . . ; u)T = u · (1; 1; . . . ; 1)T .

Jarelikult eksisteerib ka loplik piirvaartus limt→∞ x(t) = x. Vektori x soltumatusalgolekust x(0) jareldub asjaolust, et x on maaratav vordusest x = Px. �

83

Documents

Op Anal 2005