Embed Size (px)
Citation preview
Op de rand van oneindigheid
Essay voor de cursus Geschiedenis van de Wiskunde
Utrecht, augustus 2005
Henk Hietbrink
Janneke Siers
Pieter van Winsen
Docent: J.P. Hogendijk
2
Voorwoord
Dit essay hebben we geschreven voor de cursus Geschiedenis van de Wiskunde aan
de Universiteit Utrecht.
Het onderwerp oneindigheid boeide ons omdat het zo ongrijpbaar is. Kan iets
oneindig groot zijn? Of zit er altijd een grens aan een grootheid? Wiskundigen
hebben de term oneindigheid eeuwenlang vermeden. De oude Grieken vroegen zich
al af of oneindigheid bestaat. In latere tijden was oneindigheid voorbehouden aan
God.
Op school wordt oneindigheid geïntroduceerd als iets heel natuurlijks. Er is geen
discussie of oneindigheid bestaat of niet. Omdat we alle drie in het onderwijs (gaan)
werken, wilden we de gedachten rond het onderwerp toegankelijk maken voor
middelbare scholieren. We wilden laten zien dat het gebruik van oneindigheid niet zo
voor de hand liggend is als we in de schoolboeken leren. We hopen dat we op deze
manier de wiskunde voor scholieren spannender kunnen maken en dat ze ontdekken
dat wiskunde meer is dan sommetjes maken. Als doelgroep hebben we gekozen voor
leerlingen van 5/6 vwo met een Natuur en Techniek profiel.
Ieder van ons heeft een hoofdstuk over een wiskundige opgezet, waarna we elkaars
werk hebben becommentarieerd en aangevuld. Het hoofdstuk over Cavalieri is
opgezet door Henk, het hoofdstuk over Torricelli door Janneke en het hoofdstuk over
Roberval door Pieter.
Utrecht, augustus 2005
Henk Hietbrink
Janneke Siers
Pieter van Winsen
1
Inhoud
Voorwoord .......................................................................................................... 2
1. Inleiding ........................................................................................................... 2
2. Oneindigheid in de geschiedenis ................................................................. 3
2.1 Een tijd van grote veranderingen .............................................................................................. 3
2.2 Aristoteles ( 384 – 322 vC ) ...................................................................................................... 4
2.3 Augustinus ( 354 – 430 ) .......................................................................................................... 5
2.4 Thomas van Aquino (1224 - 1274 ) .......................................................................................... 6
2.5 Afsluiting .................................................................................................................................... 7
3. Cavalieri (1598 –1647) ................................................................................... 8
3.1 Inleiding ..................................................................................................................................... 8
3.2 Leven ......................................................................................................................................... 8
3.3 Het werk .................................................................................................................................... 9
4. Torricelli (1608 –1647) .................................................................................. 15
4.1 Inleiding ................................................................................................................................... 15
4.2 Het werk van Torricelli ............................................................................................................. 15
4.3 Afsluiting .................................................................................................................................. 20
5. Roberval, Gilles Personne de (1602 –1675) ................................................ 21
5.1 Inleiding ................................................................................................................................... 21
5.2 Het werk van Roberval ............................................................................................................ 21
5.3 Afsluiting .................................................................................................................................. 25
6. Afsluiting ....................................................................................................... 26
Literatuur........................................................................................................... 28
2
1. Inleiding
In de wiskunde op de middelbare school maken we allemaal kennis met oneindigheid.
Het begrip oneindigheid wordt gepresenteerd als iets dat heel gewoon en logisch is.
Oneindig groot is gewoon erg groot en oneindig klein is gewoon zo klein dat het
verwaarloosbaar is. Het begrip oneindigheid heeft echter een lange voorgeschiedenis.
Veel filosofen hebben zich erover gebogen.
In dit essay gaan we terug naar tijden dat oneindigheid nog niet paste als wiskundig
hulpmiddel. We komen uit in 1600 bij wiskundigen als Cavalieri en Torricelli. In de
wetenschapsliteratuur staat Cavalieri bekend als de wiskundige die baanbrekend werk
verrichtte met de introductie van de ”indivisibilibus continuorum”. Voor de hand ligt de
vertaling " ondeelbaar gesloten lichaam", maar beter is de vertaling "alle lijnen in een
gesloten lichaam". Het verschil wordt straks wel duidelijk. Gelijk wordt daar bij vermeld
dat hij het begrip oneindigheid vermeed.
We behandelen in hoofdstuk 2 de argumenten die denken in termen van oneindigheid
belemmeren. We zullen aantonen dat de belemmeringen teruggrijpen op kerkvader
Augustinus en de grote Griekse geleerde Aristoteles. We gaan terug naar de periode van
inquisitie en brandstapel, omdat geleerden daar aan hun einde kwamen vanwege
opvattingen over oneindigheid.
In de hoofdstukken 3 tot en met 5 verdiepen we ons in drie wiskundigen die iets met
oneindigheid hebben gedaan. Ten eerste Cavalieri, die de wiskunde wilde verrijken met
nieuwe begrippen. Torricelli, vervolgens, leefde in dezelfde periode als Cavalieri. Hij
toonde aan dat een lichaam met een oneindige afmeting, een hyperbolisch lichaam, een
eindige inhoud heeft. Ten slotte Roberval, die zonder kennis van Cavalieri’s werk tot
eenzelfde soort methode komt. We bekijken de overeenkomsten en verschillen.
3
2. Oneindigheid in de geschiedenis
2.1 Een tijd van grote veranderingen
Voor een goede plaatsbepaling gaan we terug naar de 17e eeuw, de tijd dat de drie
wiskundigen die wij behandelen, leefden. Het is een tijd van godsdienstoorlogen,
kerkscheuringen, vervolging, reformatie en contrareformatie. De Republiek der
Nederlanden, Engeland en enkele Duitse vorstendommen gaan over naar het
protestantisme en zijn vrijhavens voor wie anders gelooft dan de paus. Ban, brandstapel
en excommunicatie zijn effectief om denkers op hun schreden te doen terugkeren. We
noemen Copernicus die in de ban gedaan is en Bruno die zijn denkbeelden met de
brandstapel heeft moeten bekopen. Copernicus poneert een heliocentrisch (de zon als
middelpunt) beeld en opponeert daarmee tegen het kerkelijke idee dat de aarde het
middelpunt is. Zijn bewonderaar Bruno gaat stappen verder. Hij verblijft jaren in
Londen, veilig sinds de afscheiding van de Anglicaanse kerk door Hendrik VIII. Daar
ontwikkelt hij denkbeelden over een oneindig heelal met oneindig veel zonnestelsels en
staat toe dat er wel meer planeten als de aarde met mensen kunnen bestaan. Ter
gedachtenis staat een standbeeld voor hem in Rome.
Het is een tijd waarin veel nieuwe inzichten ontstaan. Het filosofisch denksysteem van
die dagen rust echter nog op de Scholastiek zoals in de eeuwen daarvoor ontwikkeld is.
De scholastiek hanteert een methode met groot respect voor traditie en redelijk denken.
Het denken van kerkvaders en voorgaande denkers weegt zwaar en kan niet zo maar
vervangen worden door iets origineels dat zelf bedacht is. Twee belangrijke uitspraken
die het denken over oneindigheid sterk beïnvloeden zijn van Aristoteles en van
Augustinus. Daarom gaan we terug in de tijd om daarna met Thomas van Aquino, een
uitgesproken exponent van de scholastiek, verder te gaan.
Standbeeld Bruno in Rome Portret van Copernicus
4
2.2 Aristoteles ( 384 – 322 vC )
Aristoteles is een van de belangrijkste wijsgeren uit de
oudheid. Hij leefde in Griekenland. Zijn leermeester is
Plato en zijn leerling is Alexander de Grote.
Aristoteles heeft veel geschreven en over hem is nog
veel meer geschreven. Wij halen slechts één stelling
aan.
'infinitum actu non datur'
Dat is latijn voor: oneindigheid bestaat niet echt.
Aristoteles keert zich beslist niet tegen oneindigheid. Aristoteles wil dat het verantwoord
gebruikt wordt. We halen een paar fragmenten uit zijn werken Physica en Metaphysica
aan.
In het tweede boek van Metaphysica, hoofdstuk 1, lezen we dat alles een begin en een
einde heeft. Iets oneindigs kan niet bestaan. Na een groot getal komt gewoon een groter
getal en een nog groter getal, maar niet oneindig. Evenzo voor een klein getal komt een
kleiner en daarvoor een nog kleiner, maar altijd een getal en niet oneindig. Aristoteles
poneert het begrip Eerste Beweger. Vanwege het causale verband brengt het een het
ander in beweging. Dus als iets beweegt, en we zien van alles bewegen, dan moet dat
door iets anders in beweging zijn gebracht. Er is dus iets dat als eerste bewoog. Thomas
van Acquino zal hier rond 1200 zijn bewijs van het bestaan van God op funderen.
In het elfde boek van Metaphysica, hoofdstuk 10, staat de stelling dat oneindigheid niet
echt bestaat. Aristoteles bedoelt daarmee dat oneindigheid op zich zelf niet bestaat.
Oneindigheid kan niet met oneindigheid vergeleken worden, je kunt er niks van
aftrekken of bij optellen. Oneindig is te groot om er iets bij te kunnen doen. Als je het
deelt, krijg je een aantal oneindige dingen. En omdat bij oneindig niet iets bij kan, kun je
dus niet de delen weer samenvoegen tot dat wat het was voor het opgedeeld werd.
In Physica werkt Aristoteles zijn gedachten verder uit. Aristoteles poneert hier dat
oneindig niet iets is. Als het iets is, dan moet het gedefinieerd worden en wel in termen
van iets. Als het iets is, dan kan het opgedeeld worden. Consequentie is dat oneindig dan
in eindig veel partjes oneindig wordt opgedeeld. Iets oneindig groots kan niet verplaatst
worden: waarheen zou het verplaatst moeten worden? Het is dus in rust en wel voor
eeuwig. Er kan dus hier op aarde niet iets oneindigs bestaan.
Wiskundigen geeft hij de raad om te blijven bij het enig relevante postulaat: een lijn kan
altijd verlengd worden. Ook kan altijd bij het ene getal een ander getal worden opgeteld
en ook kan iets altijd opgedeeld worden. Het begrip oneindig hebben ze daar volgens
hem niet bij nodig.
5
2.3 Augustinus ( 354 – 430 )
Augustinus is een van de belangrijkste kerkvaders met een groot
oeuvre. Augustinus heeft grote invloed gehad op de filosofie en de
theologie. Een beetje middeleeuwse geleerde beriep zich op hem.
Ook Luther, Calvijn en Erasmus zijn door hem geïnspireerd.
Augustinus groeit op in een niet-christelijk milieu en bekwaamt zich
in de Griekse wijsheid en de rethorica. Na zijn bekering kwam die
welsprakendheid hem goed van pas. Hij wordt gekozen tot bisschop
van Hippo, een plaats in Noord Afrika. Hij pleit voor een kerk waar
voor iedereen plaats is en verzet zich tegen overdreven geloofsijver.
Een van zijn bekendste boeken is “Belijdenissen”. Augustinus opent het eerste boek met
“magnus es, domine, et laudabilis valde. magna virtus tua et sapientiae tuae non est
numerus”. In het Nederlands: “Groot zijt gij, Heer, en ten zeerste lovenswaardig! Groot
is uw macht en uw wijsheid heeft geen getal!”. Hij had ook anders kunnen beginnen.
Bewust kiest hij voor “getal” en niet voor “is oneindig”.
Uit zijn preken blijkt duidelijk zijn belangstelling voor het rekenwerk. Ter illustratie
geven we een citaat:
Is het nodig dat ik dat aantal van honderddrieenvijftig vissen nog eens ga uitleggen? U
bent er toch al van op de hoogte. Op basis van het getal 17 kan een oplopende rij worden
gevormd. Begin maar eens bij 1 en tel alles bij elkaar op tot en met 17. Dat wil zeggen: 1
+ 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10. Tel zo maar verder op tot 17. Dan krijgt u 153.
In boek 12 van de Belijdenissen benadrukt Augustinus de actuele eindigheid. Volgens
hem heeft de wereld een begin en een einde. Samen met de wereld is de tijd geschapen.
Er is geen daarvoor: God Is (en niet die was en is en zal). Oneindigheid is iets van God.
Hier op aarde hebben wij te maken met eindigheid.
Conclusie: alles heeft een begin en een eind. Lees Genesis, lees het Evangelie, lees
Aristoteles. Oneindigheid bestaat hier niet echt!
6
2.4 Thomas van Aquino (1224 - 1274 )
Thomas van Aquino is geboren in 1224 of 1225.
Dat weten we niet precies. Hij treedt toe in een
kloosterorde. Hij is een uitgesproken exponent van
de scholastiek. Deze middeleeuwse filosofische
methode poogt met redelijk denken alles wat wij
zien en denken in overeenstemming te brengen
met de Bijbel en de uitspraken van kerkvaders en
de oude Grieken. Het eigen denken is inferieur aan
het superieure door God gegeven inzicht van de
kerkvaders!
Thomas van Aquino grijpt terug op Aristoteles.
Dat is niet eenvoudig want een eerste druk is niet
voorhanden. Hij moet het stellen met wat er
overgeleverd is aan Arabische teksten en filtert
commentaren en toevoegingen zorgvuldig weg.
Thomas van Aquino is heilig verklaard in 1322.
Het Thomisme, de officiële leer van de
Dominicaner orde, is in 1879 zelfs tot de officiële
filosofie van de katholieke kerk verheven.
Het mag niet verbazen dat Thomas van Aquino duidelijk is in zijn uitspraken over het
oneindige. Met de bijbel in de hand volgt hij Aristoteles en Augustinus en bouwt
systematisch een redenering op.
Thomas van Aquino gebruikt het begrip Eerste Beweger om het bestaan van God te
bewijzen. Daarover een citaat uit Störig (1915, p. 246).
Het bestaan van God kan op vijf wijzen worden bewezen. De eerste, heldere weg is die
welke aan de beweging is ontleend. Het is zeker, en door de zinnelijke waarneming
gewaarborgd, dat er iets in de wereld bewogen wordt. […] Het is onmogelijk. […] dat
iets in hetzelfde opzicht bewegend en bewogen is of zichzelf beweegt. Derhalve moet
alles wat bewogen wordt door iets anders bewogen worden. Indien derhalve datgene,
waardoor het bewogen wordt, ook zelf bewogen wordt, dan moet dit door iets anders
bewogen worden en dit weer door iets anders. Men kan echter niet tot het oneindige
voortgaan. Er zou dan immers geen eerste beweger en ook geen volgende bewegers zijn,
daar de tweede bewegers alleen daardoor beweger zijn, doordat zij door de eerste
beweger worden bewogen, gelijk de stok alleen daardoor beweegt, omdat hij door de
hand bewogen wordt. Het is derhalve noodzakelijk, dat men tot een eerste beweger komt,
die door niets anders bewogen wordt, en daaronder verstaan allen God.
7
2.5 Afsluiting
Naar onze mening geven deze citaten duidelijk aan dat volgens Thomas van Aquino het
oneindige hier op aarde niet bestaat. Alleen God is oneindig. Het getuigt van
vrijmoedigheid om in een tijd van brandstapels het begrip oneindigheid te postuleren. We
kunnen het Cavalieri en zijn Italiaanse tijdgenoten niet kwalijk nemen als zij er met een
boog omheen lopen, dan wel zich in vaagheid hullen.
8
3. Cavalieri (1598 –1647)
3.1 Inleiding
Na een korte introductie over het leven van Cavalieri behandelen we zijn werk. Dat doen
we in stappen. Eerst geven we een uitleg over zijn manier van redeneren. Dat doen we
via het begrip “magnitude”. Daarna behandelen we zijn methode. Vervolgens noemen we
het Principe dat zijn naam draagt. Tot slot plaatsen we Cavalieri in de
wetenschapsgeschiedenis. We noemen dan de uitlatingen van belangrijke wiskundigen
over hem.
3.2 Leven
We weten niet precies waar en wanneer hij geboren
is. We weten niet eens zijn doopnaam met
zekerheid. Volgens zijn leerling, Daviso of d’Aviso,
is hij geboren in 1598 in Milaan. Wat we van
Cavalieri weten is uit zijn briefwisseling met
tijdgenoten en vooral de correspondentie met
Galileo Galilei. De brieven aan Galilei zijn bewaard,
van de brieven aan hem slechts enkele. Verder
kennen we van Cavalieri een aantal wiskundige
werken en tot slot hebben we de biografie van zijn
leerling.
In 1615 treed hij in in een klooster in Milaan en in
1616 treed hij toe tot de orde der Jesuati in Pisa, niet
te verwarren met de order der Jezuïeten. Daar krijgt
hij wiskunde onderricht van de benedictijner
monnik Benedetto Castelli en die is een leerling van
Galilei.
9
Cavalieri probeert een baan als leraar aan een
universiteit te bemachtigen, maar grijpt
herhaaldelijk mis. In 1618 neemt hij de positie van
zijn leermeester tijdelijk over. In 1619 krijgt hij niet
de felbegeerde positie in Bologna. Hij verblijft nog
vier jaar in Pisa en daarna in Milaan, Florence, Lodi
en Parma. In 1628 heeft hij zijn bekende werk,
Geometria, af maar wacht met publicatie tot 1635.
Ondertussen werkt hij ook aan een studie over het
vergrootglas, geïnspireerd door het verhaal dat
Archimedes de romeinse vloot in brand zou hebben
gestoken met reusachtige bolle spiegels. Dit op
verzoek van Marsili, met aanbeveling van Galilei.
Resultaat is een verhandeling over conische vormen,
raaklijnen, gekromde spiegels, brandpunt en optica.
In 1629 verovert Cavalieri, met aanbevelingsbrieven van Marsili en Galilei de leerstoel
mathematica in Bologna. Dat begint met een drie-jarige aanstelling. Tot zijn dood wordt
zijn aanstelling verlengd. Hij doceert onder andere wiskunde en astronomie. Zijn sterfjaar
is 1647. Verschillende bronnen noemen verschillende data eind november, begin
december.
3.3 Het werk
Magnitude
Het werk van Cavalieri en andere Grieks geschoolde wiskundigen vraagt om een uitleg
van het begrip magnitude. Aristoteles noemt het expliciet, Euclides noemt het onder de
algemene inzichten “ze”. Vertalers noemen het “dingen”.
1. Dingen, gelijk aan hetzelfde, zijn ook aan elkaar gelijk.
2. En als men bij gelijke dingen gelijke voegt, zijn de totalen gelijk.
3. En als men van gelijke dingen gelijke afneemt, zijn de resten gelijk.
Dingen zijn gelijk als ze tot dezelfde categorie horen. Wiskundige categorieën zijn
bijvoorbeeld die van de gehele getallen, maar ook die van de een-dimensionale figuren,
twee-dimensionale figuren en die van de drie-dimensionale figuren. Binnen een categorie
kunnen we met dingen iets doen:
• Vergelijken en ordenen: het één is groter dan, of kleiner dan of juist gelijk aan
• We kunnen dingen bij elkaar voegen
• We kunnen iets van een ding afhalen en houden twee dingen over
• Twee dingen staan in een verhouding tot elkaar: een ratio
In de categorie der gehele getallen is ieder geheel getal een magnitude. We kunnen ze
vergelijken, ordenen, optellen, aftrekken en door elkaar delen. Dat zijn allemaal
toegestane operaties. Evenzo kunnen we lijnstukken met elkaar vergelijken, optellen, in
stukken delen en de verhouding bepalen: de één is twee keer zo lang als de ander.
10
Met moderne ogen missen we de vermenigvuldiging en de deling. Voor ons is lengte
maal breedte het oppervlak, maar voor de Grieken zijn dat twee dingen uit verschillende
categorieën. Een lijnstuk is een lijnstuk en geen figuur.
Oneindig klein en oneindig groot
Wij zijn bereid om te stellen dat de limiet van de opdeling van een lijnstuk een punt is,
dat wil zeggen dat het kleinste deel van een lijn een punt is. Maar voor de Grieken is een
lijn een lijn en een punt een punt. Een lijn heeft afmetingen en een punt niet. Dat is waar
Aristoteles op doelt in zijn werk: hoe groot de lijn ook is, het blijft altijd een lijn met
zekere begrensde lengte. Het is een ding dat verlengd kan worden en dus verplaatst
binnen de ruimte die de verlenging biedt. Van een oneindig lang ding kan dat niet gezegd
worden. Waar zou het naar toe verplaatst kunnen worden? Dus bestaat er niet iets als een
oneindig lang ding.”
Geometria
De Geometria, voluit de ”Geometria indivisibilis continuorum nova quadam ratione
promota” wordt wel zijn belangrijkste werk genoemd. In 1628 schrijft hij in een brief aan
Galilei dat het werk af is. Toch verschijnt het pas in 1635 in druk. Zelf schrijft hij dat hij
het te druk had om zijn werk eerder te publiceren, maar historici zijn van mening dat hij
tevergeefs wachtte op goedkeuring van Galilei.
We behandelen een aantal begrippen uit de Geometria:
• Punten en lijnen
• Tegenoverliggende raaklijn
• Alle lijnen
Moderne auteurs kijken verschillend naar zijn werk. Dat blijkt direct. We maken een
keuze en behandelen daarna zijn methode. Tot slot presenteren we de reactie van
tijdgenoten en generaties na hem. We sluiten af met het beginsel dat zijn naam draagt.
Punten en lijnen
De Grote Winkler Prins stelt dat de methode van Cavalieri berust op het optellen van
(oneindig veel) lijnsegmenten. Andersen daarentegen benadrukt de betekenis van
“magnitudes” en dat Cavalieri juist niet aan het optellen was. In een volgend hoofdstuk
laten we zien dat het juist zijn opvolgers zijn, bijvoorbeeld Torricelli, die de sommatie
introduceren.
Andersen heeft een diepgaande studie gemaakt naar de inhoud van het werk van
Cavalieri. Hij maakt aannemelijk hoe belangrijk het begrip magnitude is en hoe Cavalieri
ijverig toewerkt naar een nieuw begrip “alle lijnen”. Ook maakt Andersen aannemelijk
hoe onze kijk op Cavalieri gekleurd is door latere wiskundigen. Het is als een schilderij
dat door dikke lagen vernis en toevoegingen er anders uitziet dan in de oorspronkelijke
staat. Andersen plaatst de ontwikkelingen in perspectief en ontrafelt de bijdrage van
verschillende mensen. Daarom volgen we Andersen in zijn uitleg over het werk van
Cavalieri.
11
Tegenoverliggende raaklijn
Cavalieri stelt dat iedere gesloten figuur opgesloten kan worden tussen twee evenwijdige
lijnen. Deze lijnen doorsnijden de figuur niet, maar raken haar.
In deze figuur ABCD met richting van R naar S zijn twee raaklijnen. Te weten die in A
naar E en die in C naar G. Deze raaklijnen zijn evenwijdig en omsluiten de figuur.
Alle lijnen
Cavalieri heeft grote belangstelling voor figuren die uit beweging ontstaan. Hij benoemt
de bewegingsrichting en beschouwt dat als de richting van zijn raaklijnen. In de figuur
hierboven is de rechter figuur ABC ontstaan uit de linker figuur ABC door een beweging
van links naar rechts.
Als we figuur ABC bewegen in richting BC kunnen we binnen figuur ABC allemaal
lijnen trekken evenwijdig aan BC. De lengte van de lijnstukken is begrensd door de
figuur ABC. Onbegrensd is echter het aantal lijnstukken. Het zijn er oneindig veel.
Cavalieri poogt nu te bewijzen dat “alle lijnen” een categorie is die voldoet aan de
Griekse eisen: ordenen, toevoegen, weghalen en verhouding. Alle lijnen in figuur ABC is
dan een magnitude.
12
Bovenstaande figuur is uit zijn boek. Cavalieri laat zien dat door verschuiving het linker
figuurtje overgaat in het rechter figuur. Evenzo toont hij het aan met onderstaande
figuren F (links), G (rechts) en H (rechtsonder).
Cavalieri gebruikt ook complexere figuren. In dit voorbeeld is figuur F gelijk aan
figuur G en die is gelijk aan figuur H. De relevante bewegingsassen zijn eerst AC om van
F over te gaan in G en dan BD om van G over te gaan in H. Cavalieri wil vervolgens
aantonen dat een half zo grote figuur H ook een half zo grote figuur F impliceert.
Cavalieri doet op die manier uitspraken over de wijze waarop figuren zich tot elkaar
verhouden: kleiner dan, gelijk aan of groter dan.
13
Reacties op Geometria
Torricelli komt met een voorbeeld waar Cavalieri op reageert. Dat behandelen we eerst.
Om het verschil te verduidelijken geven we daarna een modern voorbeeld.
Voorbeeld Torricelli
Torricelli wil weten
wat “alle lijnen” zijn
en komt met een
tegenvoorbeeld.
Volgens Torricelli
zitten in driehoek
ADH precies dezelfde
lijnen evenwijdig aan
DH als in driehoek
DGH. Hij redeneert als volgt: bij ieder punt op AH hoort namelijk een punt op GH. Bij
punt K, bijvoorbeeld, hoort punt M en bij punt I hoort punt L. Zo hoort ook bij iedere lijn
in driehoek ADH een lijn in driehoek DGH. Dat zou betekenen dat de twee driehoeken
even groot zijn, maar het is duidelijk dat dat niet zo is.
Cavalieri reageert door duidelijk te maken dat het niet om de individuele lijnen gaat maar
om “alle lijnen”. Zijn verweer is dat de linker- en de rechterdriehoek niet aan elkaar
gelijk zijn en dat dus "alle lijnen" niet gelijk zijn. In beide figuren zijn allemaal lijnen van
gelijke hoogte, maar op een verschillende positie! Wiskundig geformuleerd: in
driehoeken ADH en GDH zijn de lijnstukken CI en EL evenhoog, maar de positie is
anders want AC is niet gelijk aan GE.
Modern
Modern kunnen we het met een stapel muntjes doen. Hoe we de muntjes ook
verschuiven, het blijven muntjes. De inhoud van de individuele muntjes verandert niet.
Het aantal muntjes in de stapels is gelijk, dus de inhoud van de stapels is gelijk.
Dit voorbeeld wordt vaak genoemd, maar is niet wat Cavalieri bedoelde. Cavalieri stopte
bij het bewijs dat op iedere hoogte van de stapel de doorsnede gelijk is en dat de stapels
dus gelijk zijn aan elkaar en dat dus de inhoud van de stapels gelijk is. Dit is wat men
tegenwoordig het beginsel van Cavalieri noemt. Hij doet echter geen uitspraak over de
waarde van de inhoud van de stapel. Hij vergelijkt alleen maar.
Het voorbeeld van de muntjes legt de
nadruk op de individuele munten. Dat
doet Torricelli ook. Torricelli gaat een
stap verder door ze ook nog eens bij
elkaar op te tellen om de inhoud te
bepalen.
14
Alle vlakken
Cavalieri gaat het om "alle ...". Naast "alle lijnen" maakt hij het ook duidelijk met andere
“alle …” objecten, bijvoorbeeld drie-dimensionaal "alle vlakken", en ook met “alle
punten”.
Beginsel van Cavalieri
Uit zijn theorie is één beginsel bewaard gebleven. Dat noemen we het beginsel van
Cavalieri We citeren de Grote Winkler Prins.
Wanneer twee lichamen, gelegen tussen twee dezelfde evenwijdige vlakken de
eigenschap hebben dat ieder tweetal op dezelfde hoogte gelegen vlakke doorsneden
dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben de lichamen gelijke inhoud.
15
4. Torricelli (1608 –1647)
4.1 Inleiding
Torricelli studeerde wiskunde in Rome. Evenals
Cavalieri, was ook Torricelli een leerling van Galilei, met
wie hij later veel samenwerkte. Na de dood van Galilei
volgde Torricelli hem op als wiskundige en filosoof in
dienst van de Groot Hertog van Toscane. Hij zette het
werk van Galilei op het gebied van beweging en het
slijpen van lenzen voort. Torricelli is vooral bekend
geworden door zijn ontdekking van het principe van de
barometer in 1643. In 1647 overleed Torricelli aan tyfus.
Een opmerkelijke ontdekking van Torricelli was dat de inhoud van een oneindig groot
lichaam een eindige inhoud kan hebben. Het oneindig grote lichaam waar Torricelli naar
keek, was het lichaam dat je krijgt bij het wentelen van een hyperbool om de y-as. Deze,
volgens zijn eigen woorden, verrassende ontdekking deed hij in 1643. In de volgende
paragraaf zullen we ingaan op deze ontdekking.
Torricelli stelde het hyperbolische lichaam voor als heel veel zeer
dunne kokers die in elkaar vallen. Al die kokers bij elkaar opgeteld
vormen dan de inhoud van het lichaam. Torricelli past hier op zijn
manier de methode "alle lijnen" toe. Methodisch is er wel een
verschil. Cavlieri introduceert een nieuwe magnitude en stelt dat "alle
lijnen" vergelijkbaar zijn en dat dus de inhoud of oppervlaktes
vergelijkbaar zijn. Hij vergelijkt dus alleen maar dingen met elkaar.
Torricelli telt de vlakken bij elkaar op en berekent zo de inhoud.
Op deze manier kan hij met behulp van meetkunde de inhoud van het hyperbolische
lichaam bepalen.
4.2 Het werk van Torricelli
In deze paragraaf bekijken we stap voor stap het bewijs van Torricelli dat een oneindig
groot hyperbolisch lichaam een eindige inhoud heeft. Maar we beginnen met een korte
introductie van de eigenschappen van een hyperbool.
Over de hyperbool
Een hyperbool is een grafiek die hoort bij de
vergelijking y = c/x, waarbij c een constante is. De
eenvoudigste hyperbool is die van de vergelijking
y = 1/x, zie de figuur hiernaast. De algemene
vergelijking kun je ook schrijven als x · y =
constant.
De grafiek van de vergelijking y = c/x heeft twee
takken: een in het eerste kwadrant en een in het
derde kwadrant van het assenstelsel (als c positief
is). Hier kijken we alleen naar de tak in het eerste
kwadrant.
y = 1 / x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
16
De kortste afstand van de oorsprong tot de grafiek noemen we de halve as (of
"semiaxis") van de hyperbool. In de grafiek hierboven is dat de afstand van de oorsprong
tot het punt (1,1). De latus versum, ofwel de hele as van de hyperbool is twee keer de
lengte van de halve as.
De inhoud van een oneindig groot lichaam We gaan nu stap voor stap bekijken hoe Torricelli aantoonde wat de inhoud van het
hyperbolische lichaam is. Hiervoor bekijken we een hyperbool met de asymptoten AF en
AB, zie de figuur. Deze hyperbool wentelen we om de
verticale asymptoot AB. Daarmee ontstaat een
hyperbolisch lichaam dat oneindig lang is in de richting
van B.
De kortst afstand van de oorsprong (punt A) tot de grafiek
noemen we de halve as van de hyperbool. Dit is de
afstand AE, zie de figuur. De latus versum van de
hyperbool is gelijk aan het dubbele van de halve as,
dus 2 · AE.
In het hyperbolische lichaam kunnen we rechthoeken plaatsen, zoals rechthoek GHKL.
Rechthoeken, en ook cilinders, zullen we hierna aanduiden met hun diagonaal, zoals ook
Torricelli dat deed. Dus in plaats van rechthoek GHKL schrijven we in het vervolg
rechthoek GK.
Kort samengevat zag het bewijs van Torricelli er als volgt uit:
• Eerst bewijst hij dat de oppervlakte van de rechthoeken, bijvoorbeeld rechthoek GK,
gelijk is aan de halve as in het kwadraat, dus: oppervlakte rechthoek = AE 2 . Alle
rechthoeken hebben dus hetzelfde oppervlak;
• Vervolgens kijkt hij naar de cilinder die je krijgt als je de rechthoeken rond de y-as
wentelt. Hij toont aan dat alle cilinders dezelfde oppervlakte hebben én dat deze
oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de cirkel met straal de halve as (AE):
oppervlakte cilinder = π · AE 2 ;
• En nu komt de grote truc: we stellen ons voor dat het hyperbolische lichaam bestaat uit
allemaal zeer dunne kokers (cilinders) die in elkaar zijn geschoven. Van iedere koker
is de oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van een
cirkel met straal AE. Als we al die cirkels voorstellen als
zeer dunne pannenkoeken die we op elkaar stapelen, dan
krijgen we een cilindervorm. Er zijn evenveel kokers als
"pannenkoeken", dus het optellen van de kokers is
hetzelfde als het optellen van de "pannenkoeken". De
inhouden van hyperbolisch lichaam en cilinder zijn dus gelijk!
Torricelli maakte gebruik van de meetkunde om zijn bewijs te geven. Hieronder werken
we het bewijs stap voor stap uit en volgen daarbij Torricelli's aanpak (uit Struik, 1969).
De moderne manier om de inhoud van een lichaam te berekenen is met behulp van
integraalrekening. Op het eind van deze paragraaf bekijken we hoe dat eruit zou zien.
17
Het bewijs stap voor stap
1. Oppervlakte rechthoeken is gelijk aan de halve as in het kwadraat.
De vergelijking voor een hyperbool hebben we hiervoor geschreven als x · y = constant.
In punt E is de x-coördinaat gelijk aan AF en de y-coördinaat is gelijk aan EF. In punt K
is de x-coördinaat AL en de y-coördinaat KL. Omdat x · y = constant, geldt dat
AF · EF = AL · KL. De oppervlakten van de rechthoeken AE en AK zijn dus gelijk en dus
zijn ook de oppervlakten van de rechthoeken CE en GK gelijk:
Oppervlak rechthoek CE = oppervlakt rechthoek GK
In driehoek AEF kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen: AE 2 = AF
2 + EF
2.
Omdat AF = EF, kunnen we dit korter schrijven als AE 2
= 2 · AF 2
De oppervlake van rechthoek CE = CF · EF . Als we CF als 2 · AF schrijven en
bedenken dat EF = AF , kunnen we schrijven:
Oppervlake rechthoek CE = CF · EF = 2 · AF · AF = 2 · AF 2 .
We hebben nu gevonden dat oppervlak rechthoek CE = AE 2 .
Omdat de oppervlakte van alle rechthoeken gelijk is, geldt er ook:
Oppervlak rechthoek GK = AE 2
(1)
Rechthoek GK is een willekeurige rechthoek in het hyperbolische lichaam. Daarom geldt
voor alle rechthoeken rond as AB dat de oppervlakte gelijk is aan de halve as in het
kwadraat.
2. Alle cilinders hebben hetzelfde oppervlak
Vervolgens bekijkt Torricelli het oppervlak van de cilinders rond de as
AB, zoals bijvoorbeeld cilinder GK, zie de figuur. Met het oppervlak
van de cilinder bedoelt hij alleen het oppervlak van de mantel, dus
zonder boven- en onderkant van de cilinder.
Bekijk bijvoorbeeld de cilinders CE en GK:
oppervlak cilinder CE = 2π r · hoogte = 2π · AF · EF = π · CF · EF
en
oppervlak cilinder GK = 2π r · hoogte = 2π · AL · KL = π · GL · KL
De oppervlakten van de rechthoeken CE en GL gelijk zijn. Daarom geldt dat CF · EF =
GL · KL . Dat betekent dat ook de oppervlaktes van de cilinders CE en GK gelijk zijn. En
omdat cilinder GK een willekeurige cilinder is, geldt dat alle cilinders in het
hyperbolische lichaam dezelfde oppervlakte hebben.
3. De inhoud van twee cilinders verhoudt zich als de diameters van de bases.
Nu bekijken we de inhoud van de cilinders CE en GK:
inhoud cilinder CE = π · r 2 · hoogte = π · AF
2 · EF en
inhoud cilinder GK = π · r 2 · hoogte = π · AL
2 · KL
Bij punt 1 hebben we al gezien dat EF · AF = KL · AL (oppervlakte rechthoeken is
gelijk). De verhouding van de cilinderinhouden kunnen we nu schrijven als:
GKcilinderdiameter
CEcilinderdiameter
GL
CF
AL
AF
KLALAL
EFAFAF
GKcilinderinhoud
CEcilinderinhoud===
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
π
π (2)
4. Oppervlak cilinder = ¼ oppervlak grootste bol.
Voor het bewijs heeft Torricelli deze stap niet nodig, maar het resultaat is wel erg fraai.
De grootst mogelijke bol die in het hyperbolische lichaam past is bol PDEQ, met straal
AE, zie de figuur. Het oppervlak van deze bol is 4π · r 2 = 4π · AE
2 (3)
18
Het oppervlak van cilinder GK = 2π · AL · KL (4)
(zie punt 2).
Bij (1) zien we dat het
oppervlak van rechthoek GK = AE 2
= 2 · AL · KL (5)
Als je nu (5) invult in vergelijking (4) volgt dat:
oppervlak cilinder GK = π · AE 2 (6)
Leg de vergelijkingen (3) en (6) naast elkaar en je ziet:
oppervlak cilinder GK = ¼ oppervlak bol PDEQ (7)
5. Oppervlak cilinder = oppervlak cirkel met straal de halve as
Bij punt 4 hebben we gevonden dat: oppervlak cilinder GK = 2π · AL · KL
Omdat volgens (1) geldt dat 2 · AL · KL = AE 2
, kunnen we ook schrijven:
oppervlak cilinder GK = π · AE 2 (8)
AE is de halve as. In het algemeen geldt dus dat het oppervlak van een cilinder in het
hyperbolische lichaam gelijk is aan het oppervlak van een cirkel met als straal de halve
as.
6. Constructie van lichaam WTBUV en cilinder AVRS
We bekijken nu het lichaam WTBUV, dat we als volgt
vinden: neem een willekeurig punt U op de hyperbool.
Trek vanuit U de lijn UV evenwijdig aan AB. Het deel BU
van de hyperbool en lijnstuk UV wentelen we nu om de
verticale asymptoot AB. Er ontstaat dan een lichaam
waarvan de voet een cilinder is – cilinder WU – met
daarboven een hyperbolisch lichaam. Dat is lichaam
WTBUV, waarbij B oneindig ver weg ligt. Torricelli zei
niet letterlijk "oneindig ver weg", maar "een lengte zonder
einde".
Nu verlengen we de as BA tot S, zodat AS gelijk is aan de "latus versum" van de
hyperbool. De latus versum is gelijk aan twee keer de halve as:
AS = 2 · AE
Loodrecht op het tekenvlak, en dus loodrecht op de horizontale asymptoot AV, staat de
cirkel met diameter AS, zie de figuur. Vanuit deze cirkel construeren we de cilinder AR.
De hoogte van die cilinder is AV.
7. Oppervlakte cilinder GK = oppervlakte cirkel LM
Eigenlijk hebben we dit al in stap 5 gezien: het oppervlak van een cilinder in het
hyperbolische lichaam is gelijk aan het oppervlak van een cirkel met als straal de halve
as. Cirkel LM heeft als diameter de latus versum, dus de straal is gelijk aan de halve as.
Omdat de oppervlaktes van alle cilinders even groot zijn (punt 2), geldt dat alle
oppervlaktes even groot zijn als de oppervlakte van de cirkel die daaronder hangt. De
oppervlakte van, bijvoorbeeld, cilinder WU is dus gelijk aan de oppervlakte van cirkel
VR.
19
8. Inhoud van het lichaam WTBUV = inhoud cilinder AR
We hebben steeds naar de oppervlaktes van de cirkels en cilinders gekeken. Nu geven we
die cirkels en cilinders een denkbeeldige dikte. Het worden dan zeer dunne schijfjes en
kokers. Als we nu alle schijfjes die tussen punt A en punt V hangen op elkaar leggen, dan
krijgen we de cilinder AR. En als we alle kokers rond de as AB in elkaar schuiven, dan
krijgen we het hyperbolische lichaam WTBUV.
Bij elke schijfje hoort één koker die onder het lichaam "hangt". Bij schijfje GK,
bijvoorbeeld, hoort koker LM. Er zijn dus evenveel schijfjes als kokers. Dat betekent dat
de inhoud het lichaam WTBUV gelijk is aan de inhoud van de cilinder AR!
Dit is opmerkelijke ontdekking. Het hyperbolische lichaam is oneindig hoog – B ligt
oneindig ver weg – maar toch is de inhoud eindig, namelijk even groot als de cilinder die
eronder hangt.
De inhoud van een hyperbolisch lichaam is dus gelijk aan:
π (½ LM)2 · AV = π (AE)
2 · AV = π (halve as)
2 · straal hyperbolisch lichaam (9)
De moderne manier
Als we op de moderne manier de inhoud van het
hyperbolische lichaam willen berekenen, dan sommeren
we de cilinders middels een integraal. Iedere cilinder
heeft een oppervlakte van 2π r · h, waarbij r = x en h = y.
Kijken we naar de integraal tussen x = 0 en x = c, dan
wordt de integraal: ∫ ⋅=
c
yx0
dxπ2inhoud
Je weet nog dat x · y is een constante, laten we zeggen dat
x · y = a. Als we dit invullen in bovenstaande integraal, dan krijgen we:
[ ] caxaac
πππ 22dx2inhoud0
c
0
=== ∫ (10)
Komt dit overeen met de oplossing van Torricelli?
Torricelli vond voor de inhoud van het hyperbolische lichaam (zie vergelijking (9)):
inhoud = π (halve as)2 · straal hyperbolisch lichaam
In de figuur hiernaast is de halve as van de hyperbool aangegeven.
Dat is de kortste afstand van de oorsprong tot de hyperbool, dus van
het punt (0,0) tot het punt waarin x = y. In de figuur hiernaast geldt:
(halve as)2 = x
2 + y
2 = xy + xy (omdat x = y) = 2 xy = 2a
Vervangen we in vergelijking (10) 2a door (halve as)2, dan krijgen
we:
inhoud = π (halve as)2 · c = π (halve as)
2 · straal hyperbolisch lichaam
Inderdaad dezelfde inhoud als Torricelli vond.
20
4.3 Afsluiting
De methode die Torricelli gebruikt bij zijn bewijs, noemen we ook wel de "method of
indivisibles". De "indivisibles" slaan op
de zeer dunne, wij zeggen nu oneindig
dunne, schijfjes en kokers die Torricelli
bij elkaar optelt. In de tijd van Torricelli
waren er ook wiskundigen die twijfels
hadden over deze methode. Torricelli
had zelf laten zien dat het gebruik van
"indivisibles" tot absurde situaties kon
leiden. Een voorbeeld daarvan hebben
we gezien in hoofdstuk 3: door de driehoeken ADH en DGH in dezelfde lijnen op te
delen, zou je moeten concluderen dat de twee driehoeken even groot zijn. Dat is
natuurlijk niet zo.
Om ook de twijfelaars te overtuigen, gaf Torricelli nog eens een bewijs op manier van de
oude Grieken: "Echter, om ook de lezer die twijfelt aan de "indivisibles" tevreden te
stellen, zal ik hetzelfde nog eens aantonen op de gebruikelijk manier, zoals ook de oude
meetkundigen dat deden, een veel langer bewijs, maar wat mij betreft daarom niet
noodzakerlijkerwijs meer betrouwbaar" (vertaald uit Struik 1969, pag. 230).
Zoals al eerder gezegd, komt de methode overeen met de methode van "alle lijnen" van
Cavalieri. Torricelli ging wat verder: hij telde de vlakken bij elkaar op om een inhoud te
krijgen. Dit is een eerste stap in de richting van integreren.
21
5. Roberval, Gilles Personne de (1602 –1675)
5.1 Inleiding
Na een korte introductie in de persoon Roberval zullen we zijn werk vergelijken met dat
van Cavalieri en Torricelli. Dit doen we aan de hand van twee voorbeelden.
Leven Gilles Personne de Roberval werd geboren in een klein plaatsje iets ten noorden van
Parijs. Hij verliet op jonge leeftijd het ouderlijk huis om wiskunde te gaan studeren. Hij
deed dat door rond te trekken en de wiskundigen van zijn tijd te ontmoeten. Om aan geld
te komen gaf hij privé-lessen. Op deze manier kwam Roberval in 1628 in contact met een
groep wiskundigen rond Mersenne in Parijs. Mersenne correspondeerde met de grote
wiskundigen van zijn tijd. Vanaf 1632 kreeg Roberval een baan als docent filosofie aan
het Collège de Maître Gervais. Alsdus hoefde hij niet meer rond te trekken en hij bleef
danook in Parijs tot zijn dood. Vanaf 1634 won hij de Ramus leerstoel aan het Collège
Royal die werd vergeven middels een driejaarlijkse wedstrijd. Hij zou deze leerstoel zijn
hele verdere leven behouden al moest hij er elke drie jaar voor in competitie. Later
verkreeg hij ook nog de wiskunde leerstoel aan hetzelfde Collège.
Wiskundig hield Roberval zich voornamelijk bezig met het berekenen van oppervlakten
onder kromme en de inhoud van lichamen. Hij deed dit door gebruik te maken van
ondeelbaren (indivisibles). Ondanks dat deze manier veel lijkt op de van Cavalieri was
hij niet bekend met het werk van de Italiaan. Volgens eigen zeggen had hij zijn methode
rechtstreeks afgeleid uit het werk van Archimedes. Roberval publiceerde weinig werk
zelf. Zijn werk werd veelal uitgegeven in verzamelde werken samen met dat van
collega’s van de Académie Royale des Sciences. Hij was in 1666 één van de oprichters
van deze academie.
Roberval’s belangrijkste wiskundige werk heet Traité des indivisibles (1634).
5.2 Het werk van Roberval
Van het werk van Roberval willen we twee aspecten behandelen. De overeenkomsten en
de verschillen met de manier van werken zoals Cavalieri en Torricelli die hadden
bedacht. Deze twee aspecten lichten we uit aan de hand van twee voorbeelden.
De cycloïde
Omstreeks 1630 stelde Mersenne voor om de cycloïde te gebruiken als testfiguur voor
verschillende manieren van infinitesimaalrekenen. Hieronder zie je een voorbeeld van
hoe je een cycloïde kunt maken.
22
De cycloïde ontstaat door een punt op de cirkel te nemen en de curve te tekenen die
ontstaat van de verzameling punten die je van dit punt krijgt als de cirkel gaat rollen.
Galilei heeft de naam voor deze figuur bedacht. Hij brak z’n hoofd over hoe aan te tonen
wat de oppervlakte onder de cycloïde is. Roberval kwam met de oplossing en je zult zien
dat zijn manier veel overeenkomsten heeft met de manier van Cavalieri en Torricelli.
Overeenkomsten
Uit overgeleverde brieven weten we dat Torricelli en Roberval met elkaar
correspondeerden. We maken hier vrij gebruik van Struik (1969, 232-235) en behandelen
Roberval’s overeenkomsten met Torricelli’s methode zoals Roberval dit zelf
vermoedelijk aan Torricelli had duidelijk gemaakt.
Om de oppervlakte onder de cycloïde uit te rekenen maakte Roberval gebruik van een
zogenaamde compagnon-figuur, een sinusoïde. Deze sinusoïde verkrijg je door van
hetzelfde vaste punt op de rollende cirkel telkens de hoogte te nemen en dit uit te zetten
tegen de gerolde afstand. In de figuur hieronder wordt de sinusoïde gevormd door de
punten AX1 X2C
Het bepalen van de oppervlakte vereist nu wat inzichtelijk werk.
X’1 A B
2
1
2
1
C D
1 1
Laten we zeggen dat A het punt is waarmee de cycloïde geconstrueerd is. Van de punten
N zijn de punten Z steeds de projecties op de cycloïde en de punten O de projecties op de
diameter AD van de cirkel.
De halve cirkel verdeel je in gelijke delen AN1.. D. (In de figuur zijn dat slechts drie
delen). Het rolvlak verdelen we in evenveel (en dus even grote) delen AX’1 X’2. Nu geldt
dat als A tot Z1 gekomen is, de cirkel een afstand van AN1 heeft afgelegd (AN1 = X’1). De
positie van de gerolde cirkel is derhalve op X’1 aangeland.
2
23
Nu construeer ik de compagnon-figuur als volgt. Neem NO
en verschuif deze horizontaal zodat N samenvalt met Z, dan
vormt O het punt X. Dit doe je zo voor alle paren NO. Verder
weten we dat de hoogte X’n Xn gelijk is aan AOn. In de cirkel
komt lengte AOn overeen met r-cos(ANn). Met andere
woorden, als je dit voor alle lijnstukken NO doet vormen de
zo verkregen Xn een sinusoïde.
Alle lijnen NO worden verplaatst. De twee gearceerde delen
zijn dan dus even groot qua oppervlakte. (Dit principe van
vergelijken van begrensde oppervlaktes is later vernoemd
naar Cavalieri). De overeenkomsten met de methode van
Cavalieri is erg duidelijk.
Van de sinus was bekend dat hij
een oppervlakte heeft van 2 keer
die van de cirkel. Een gearceerd
deel is zo groot als een halve
cirkeloppervlakte. Daar zijn er
twee van onder de cycloïde.
Tezamen kunnen we dus
concluderen dat de cycloïde een
oppervlakte heeft van 3 keer die
van de cirkel die hem maakt.
sinusoïd
Overeenkomsten met Cavalieri en Torricelli
De methode zoals hierboven beschreven gebruikte Roberval om duidelijk te maken dat
zijn methode (volgens hem) niet wezenlijk veranderde van die van Cavalieri, aldus een
brief die hij in 1647 schreef aan Torricelli. Roberval’s eigenlijke methode heeft het niet
zozeer over lijnen alswel over oppervlaktes. De gearceerde halve cirkel bestaat uit vele
kleine oppervlaktes die middels verschuiven de ruimte vormen tussen de cycloïde en de
sinusoïde. Ik kan de halve cirkel in zoveel gelijke delen AN1.. D delen als ik wil. Door te
delen door een lengte (of breedte) verkrijg je volgens Roberval dezelfde situatie als
Cavalieri had met ‘alle lijnen’. Zo vormen alle lijnen samen in de halve cirkel het
oppervlak tussen de cycloïde en zijn compagnon.
Verschillen
We maken hier gebruik van Andersen’s uitleg
over Roberval zijn werkwijze. Zoals gezegd zitten
de verschillen tussen Roberval en Cavalieri hem
in het gebruik van oppervlakte. We gaan dit
duidelijk maken aan de hand van Roberval’s
manier om de oppervlakte onder een parabolische
functie f(x) = x2 te bepalen. We gaan dit doen voor
het deel onder de positieve x-as. Allereerst
verdeelde Roberval het vlak waarin de parabool is
getekend in gelijke verticale delen. In de figuur is
dat in feite gedaan middels de ruitjes. Het aantal
delen waarin word opgedeeld gaan we in principe
24
oneindig groot maken. Laten we nu zeggen dat we uiteindelijk n delen hebben. We
kunnen de oppervlakte onder f dan bepalen door alle delen f(x/n) op te tellen. (In de
figuur is x = 6. Met andere woorden x is de uiterste waarde tot waar we de oppervlakte
willen weten).
Hoe groter we n nemen hoe beter onze optelling de oppervlakte onder f benadert.
Het voorbeeld in de figuur zou deze oppervlakte met n = 6 afschatten door de
oppervlakte van de staafjes op te tellen. Als we n veel groter maken, worden de staafjes
smaller en smaller en benaderen de grafiek van f meer en meer.
De vraag die Roberval zich zou stellen zou er in hedendaagse notatie zo uitzien
∑=
∞>−
n
in
inxf1
)*)/((lim .
Als we dit uitwerken krijgen we
∑=
n
i
inxf1
)*)/(( ∑=
=n
i
inx1
2)*)/(( , f(x) = x2
∑=
=n
i n
ix
12
22
, rekenen
∑=
=n
i n
ix
12
22
, vergelijk x2a + x
2b + x
2c + … = x
2(a + b + c + …)
)(2
612
213
31
2
n
nnnx
++= , nnni
n
i
612
213
31
1
2++=∑
=
Nu gaan we dit resultaat vergelijken met de oppervlakte van de rechthoek in het 1e
kwadrant waarin f ligt. De hoekpunten hiervan zijn (0,0), (x,0), (x, x2) en (0,x
2). Als je de
oppervlakte op dit gebied op eenzelfde wijze benadert krijg je n stukken met een hoogte
van x2 (is nx
2).
Oppervlakte onder f : oppervlakte rechthoek =
2
2
612
213
31
2 :)( nxn
nnnx
++ ofwel
3
612
213
31
2
612
213
31
:n
nnnn
n
nnn ++=
++
Volgens Roberval werd 31
3
612
213
31
lim =++
∞>− n
nnn
n omdat
3
612
21
n
nn + te verwaarlozen viel
voor grote n. De oppervlakte onder f is dus 31 van de oppervlakte van het rechthoek. De
oppervlakte van het rechthoek is zeer eenvoudig te bepalen ( 2* xx ) en dus wordt de
oppervlakte onder f volgens Roberval dan 3
31 x . Iets dat we met integraalrekenen nu
makkelijker kunnen bereken.
25
Verschillen met Cavalieri en Torricelli
Roberval onderscheidt zich met name doordat hij de figuur waarvan hij de oppervlakte
wil berekenen onderverdeelt in stroken van gelijke breedte. Deze breedte minimaliseert
hij uiteindelijk om volgens eigen zeggen lijnen over te houden. Deze werden dan
opgeteld. Gebruikmaking van lijnen komt duidelijk overeen met Cavalieri en sommaties
met Torricelli. Roberval onderscheidt zich daarom met name door minimaliseren van de
breedte van de stroken.
5.3 Afsluiting
We hebben gezien dat Roberval’s methode veel weg heeft van die van Torricelli en
Cavalieri. Het idee van alle lijnen optellen gebruiken zowel Torricelli als Roberval. Al
werkt Roberval feitelijk met gebruikmaking van limieten waarmee hij de breedte van die
lijnen, en dus de oppervlakte, minimaliseert. Op deze manier benadert hij de figuur
steeds beter voor grote n. We hebben dit gezien bij de opdeling van de cirkel en de
opdeling van de parabool. Er wordt wel gezegd dat Roberval’s naam en faam groter was
geweest in de ontwikkeling van het infinitisimaalrekenen als hij meer had gepubliceerd.
Vermoedelijk hield hij zijn grootste werk geheim tot de driejaarlijkse competitie om de
Ramus leerstoel aan het Collège Royal te behouden.
26
6. Afsluiting
Oordeel
Cavalieri poogt het bestaan van zijn “alle lijnen” aan te tonen, maar overtuigt zijn
tijdgenoten niet. Het oordeel van tijdgenoten is divers. Galileo valt hem niet bij.
Torricelli komt met tegenvoorbeelden, maar komt later met prachtige resultaten. Hij
ontwikkelt een eigen methode, maar suggereert dat hij de methode van Cavalieri
hanteert. Van hem komt het idee van de sommatie. Cavalieri wijst Torrecelli in brieven
op fundamentele verschillen tussen hen beiden, maar deelt in de vreugde op de positieve
reacties die Torricelli ontvangt. Zeker na de dood van Galileo in 1642 ervaren beide
Italianen elkaars werk als bijzonder inspirerend. Beiden sterven kort na elkaar.
Ook in de Nederlanden neemt men kennis van het werk van Cavalieri en Torricelli.
Huygens is kritisch vanwege het weinig Griekse bewijs, maar Frans van Schooten neemt
het in 1650 voor de interpretatie van Torricelli op.
Modern oordeel is dat Cavalieri een van de voorlopers van de integraalrekening is, maar
dan wel indirect, want auteurs na hem gebruiken wel zijn naam maar niet zijn streven
naar een methode gebaseerd op een uitbreiding van de Griekse magnitudes. Torricelli wil
pragmatisch de inhoud van een hyperbolisch lichaam berekenen. Cavalieri formuleert
zijn principe dat de verhouding tussen de lijnstukken van twee lichamen zich verhouden
tot de inhouden van die lichamen. Torricelli telt de lijnstukken of vlakken op om tot een
oppervlak of inhoud te komen. In beeldtaal: Cavalieri hanteert een schuifmaat om de
buitenkant op te meten, terwijl Torricelli een schaaf hanteert om alle plakjes op te tellen.
Cavalieri Torricelli
Methodisch Pragmatisch
Vergelijken Optellen
Overgebleven na bijna 400 jaar is een beginsel dat zijn naam draagt: de relatie tussen
integrand en integraal.
Oneindigheid
Cavalieri ontweek het beginsel oneindigheid door te stellen dat het niet relevant was uit
hoeveel lijnen "alle lijnen" bestaat. Het tegenvoorbeeld van Torricelli dwong hem
preciezer te zijn.
Ook Torricelli noemt het begrip oneindig niet. Hij telt de oppervlaktes van cilinders en
cirkels bij elkaar op. Eigenlijk telt hij oneindig dunne kokers en schijfjes bij elkaar op.
27
Om het werk van Roberval te bestuderen hebben we o.a. gebruik gemaakt van Struik.
Struik geeft aan gebruik te maken van een vrije vertaling van een andere wiskundige. In
de tekst van Struik komt de term oneindig voor om de onderverdeling van de cirkel in
oneindig veel cirkelbogen aan te geven. Of Roberval de term oneindig ook gebruik heeft
is daarom niet duidelijk.
Anno 2005 houdt noch Aristoteles, noch Augustinus noch Thomas van Aquino ons af
van vrijelijk denken over “actueel oneindig”. We vrezen noch brandstapel noch
pauselijke ban. Wiskundigen sommeren en integreren vrolijk tot in het oneindige. Toch is
ons wereldbeeld nog altijd “actueel eindig”. Na de laatste ster van het sinds de oerknal
uitdijende heelal bestaat tijd noch ruimte. Met Augustinus houden we vast aan de
begrenzing van het oneindige. Wat is dan )(lim xfx ∞→
?
Microscopisch klein houdt ons wereldbeeld ook op bij het atoommodel. We stellen ons
een mini-planetenstelsel voor van een kern met daarom heen cirkelende atomen. Bij
quarks kunnen we ons weinig voorstellen en dat er deeltjes zijn nog kleiner dan dat, gaat
ons bevattingsvermogen te boven. Wat is dan )(lim0
xfx→
?
Ook al zijn we vrij om te denken over het “actueel oneindige”, we houden het liever bij
het “actueel eindige”.
28
Literatuur
Andersen, K., 1985. Cavalieri's method of indivisibles. Archive for History of Exact
Sciences 31 no. 4, 291-367.
Grote Winkler Prins, 1990. Encycopedie in 26 delen, Elsevier, Amsterdam.
Gilliespie C.C., 1975. Dictionary of Scientific Biography, Volume XI. Charles Scribner’s
Sons, New York.
Hardie, R.P., Physics by Aristotle. (eBooks@Adelaide 2004)
Katz, V.J., 1998. A History of Mathematics: an introduction. Addison-Wesley
Educational Publishers, New York, etc.
Kouremenos, T., 1995. Aristotle on Mathematical Infinity, Palingenesia band 58. Franz
Steiner Verlag, Stuttgart.
O’ Donnell,J., 1992. Augustine : Confessions, Clarendon Press, Oxford.
Ross, W. D., 1924. Metaphysics by Aristotle, Clarendon Press, Oxford.
(eBooks@Adelaide 2004)
Schrama, M., 1996. Als licht in het hart, Ambo, Baarn.
Störig, H.J., 1969. Geschiedenis van de Filosofie. Het Spectrum, Utrecht.
Struik, D.J., 1969. A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Harvard University Press,
Cambridge, Massachusetts.
Struik, , D.J., 1965. Geschiedenis van de wiskunde. Het Spectrum, Utrecht. (Tweede
uitgebreide druk, SUA Amsterdam, 1980)
Sweeney, L.S.J., 1992. Divine Infinity in Greek en Medieval Thought. Peter Lang, New
York etc.
Wijdeveld, G.E.A.M., 1997. Aurelius Augustinus Belijdenissen, Ambo, Amsterdam.
