Conjuntos

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo

Revisado 2011 © Derechos

Reservados

Objetivos de la lección• Definir y dar ejemplos de conceptos

fundamentales relacionados con conjuntos– Conjunto

– Elementos

– Simbolismo para definir conjuntos y elementos

– Conjuntos finitos e infinitos

– Cardinalidad de un conjunto

– Conjunto Nulo

– Conjuntos iguales

– Conjuntos equivalentes

Objetivos de la lección• Comprender, identificar y aplicar los

conceptos fundamentales relacionados con las operaciones con conjuntos– Subconjunto

– Subconjuntos propios e impropios

– Conjunto universo

– Unión e intersección

– Disyunción

– Complemento

– Diferencia

– Producto cartesiano o producto cruz

Introducción al

estudio de

conjuntos

Introducción

• La teoría de conjuntos que

conocemos hoy día la debemos

principalmente al matemático

alemán Georg Cantor (1845-1918).

• Algunas de las cosas que él

demostró se contrapuso a la teoría

aceptada en su época.

• Tuvo un largo debate sobre el

concepto del infinito y trabajó el

concepto de cadinalidad de un

conjunto.

Introducción• Los conjuntos se aplican en

muchas áreas de la vida diaria ya

que la mayor parte de lo que

observamos a nuestro alrededor

se compone de elementos de un

conjunto.

• Hay conjuntos que son

subconjunto de otros, hay

conjuntos que son finitos y otros

que son infinitos.

Introducción• Necesitamos entender bien

los conceptos de conjuntos

para poder entender mejor el

mundo que nos rodea y

entender mejor otros

conceptos matemáticos que

se fundamentan en el

conocimiento de los

conjuntos.

Definiciones

Básicas de

Conjuntos

Definiciones1. Conjunto- Colección o grupo

de objetos que está bien definido

2. Bien definido- Se puede

determinar si un elemento pertenece o

no pertenece al conjunto

3. Símbolo para representar un

conjunto- { }

4. Elemento- Objeto que pertenece

a un conjunto

5. Símbolo para representar un elemento- є

Definiciones

6. Conjunto finito- Tiene un númerolimitado de elementos por lo queel proceso de contar suselementos tiene fin.

7. Conjunto infinito- Cuando el procesode contar los elementos nuncatermina, no tiene fin. Tiene un número ilimitado de elementos.

Definiciones

8. Cardinalidad de un conjunto-Número de elementos de un conjunto.

9. Conjunto Nulo- Conjunto que no tiene elementos.

10. Símbolos de conjunto nulo- { } ,

Definiciones

11. Conjuntos iguales- Tienen

exactamente los mismos

elementos.

12. Conjuntos equivalentes- Tienen la

misma cardinalidad.

OPERACIONES

CON

CONJUNTOS

Subconjunto

• Un conjunto A es subconjunto de

B si cada elemento de A está

también en B.

• Para denotar que A es subconjunto

de B se usa el siguiente

simbolismo: A B

Ejemplos

• Si A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d}

entonces

• ¿Será ?

• Si C = { a, b, c, x}, ¿será ?

• Si D = {a, b, c, d}, ¿será ?

A B

B A

C B

D B

Subconjunto propio

• Si A es subconjunto de B y B tiene

por lo menos un elemento que no

está en A, entonces decimos que A

es subconjunto propio de B.

• En este caso, se usa el siguiente

simbolismo:

A B

Subconjunto impropio

• A es un subconjunto impropio de B si

A = B.

• No hay un símbolo especial para

subconjunto impropio.

• Cuando se sabe que A es subconjunto

de B, pero no se desea clasificar en

propio o impropio, se utiliza el

símbolo de subconjunto: A B

Ejemplos

• A = {a, b, c} , B = {a, b, c, d}

• C = { a, b, c, x}, D = {a, b, c, d }

A B

D BB A

C B

Ejercicio • Haz una lista de todos los posibles

subconjuntos de cada conjunto

• A = {a, b, c}

• B = {a, b, c, d}

• C = { 1, 2 }

• D = { 5 }

• E = { }

• Observa que hay un patrón que relaciona el

número de elementos en un conjunto con los

posibles subconjuntos. ¿Cuál es el patrón?

Conjunto Universo• El conjunto Universo de ciertos

conjunto dados, es el conjunto que

contiene todos los posibles

subconjuntos de los conjuntos en

cuestión.

• Para denotar el conjunto Universo se

utiliza la letra U mayúscula.

• Todo conjunto es subconjunto de sí

mismo y el conjunto nulo es

subconjunto de todo conjunto.

Ejemplos• A = {maestros de matemáticas en

escuela X}

B = {maestros de inglés en escuela X}

¿Cuál es el conjunto Universo?

• U = {maestros de la escuela X}

• A = {números enteros positivos},

B = {números enteros negativos},

C = {0}, ¿cuál es el Universo?

• U = {números enteros}

Unión de Conjuntos

• La unión del conjunto A con el

conjunto B, denotado A U B, es el

conjunto de todos los elementos que

están en A ó en B , ó en ambos.

Ejemplos

• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}

A U B =

• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}

C U D =

{1, 2, 4, 6, a, b, c}

{1, 2, 3, 4, 5}

Intersección

• La intersección de A y B,

denotado es el

conjunto de todos los elementos

de A que también están en B.

• O sea, los elementos que tienen

A y B en común.

A B

Ejemplos

• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}

A B =

• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}

C D =

{a, b}

Conjuntos disyuntos

• Dos conjuntos A y B son disyuntos si

no tienen ningún elemento en común

entre sí.

• Esto es: A B

Ejemplos

• A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}

A y B no son disyuntos.

• C = {1, 3, 5} D = {2, 4}

C y D son disyuntos.

Complemento de un

Conjunto

• El complemento de un conjunto A,

denotado A´, es el conjunto de todos

los elementos del conjunto Universo

que no están en el conjunto A.

EjemplosU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 4, 6, 8, 9}

A´=

U = {hombres} A = {hombres que

tienen pelo}

A´=

U = {personas} A = {varones}

A´=

{2, 3, 5, 7, 10}

{hombres calvos}

{hembras}

Ejemplos

• U = {vocales} A = { a, e, i, o, u}

• Halla A´

• U = {vocales} A = { }

• Halla A´

= { }

= {vocales}

Diferencia

• La diferencia entre el conjunto A y

el conjunto B, denotado A – B, es

el conjunto de todos los

elementos de A que no están en

B.

Ejemplos

A = {a, b, c} B = {1, 2, 4, 6, a, b}

A – B =

B – A =

C = {1, 3, 5} D = {2, 4}

C – D =

D – C =

C = {1, 3, 5} E = {1, 3, 5}

C – E =

{c}

{1, 2, 4, 6}

CD

Par ordenado

• Un par ordenado es cuando se

escriben dos elementos en un orden

específico usando la siguiente

notación:

(primer elemento, segundo elemento)

Ejemplos

• (a, b)

• (b, a)

• (1, 3)

• (2, 4)

• ¿Es (a, b) = (b, a) ?

Producto Cartesiano

• El producto cartesiano de dos

conjuntos A y B , denotado A x B,

es el conjunto de todos los pares

ordenados que se pueden formar

tomando el primer elemento del

primer conjunto A y el segundo

elemento del segundo conjunto B.

Ejemplos

• C = {6, 8, 9} D = {x, y, z}

• Halla C x D

• Halla D x C

• C = {6, 8, 9} F = {w, x, y, z}

• Halla C x F

• E = {∆, O}

• Halla E x E

Diagramas de Venn

• Desarrollados por John Venn (1834-

1923)

• Se utilizan para ilustrar conjuntos y

resolver problemas de lógica.

• Se representa el Universo con un

rectángulo y los conjuntos con

regiones circulares.

• Se sombrea el área que se desea

ilustrar.

Ejercicio• Ilustrar en diagrama de Venn

– Un conjunto

– Complemento de un conjunto

– Dos conjuntos donde uno es

subconjunto del otro (propio e

impropio)

– Unión de dos conjuntos

– Intersección de dos conjuntos

– Diferencia de dos conjuntos

Ejercicio

• Ilustrar en diagrama de Venn

– Unión de tres conjuntos

– Intersección de tres conjuntos

– Complemento de la unión

– Complemento de la intersección

– Diferencia de conjuntos

Fin de la lección