OPERACIONES CON

FUNCIONESUNIDAD 1

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.1

J. POMALES CeL

INTRODUCCIÓN• Hasta el momento hemos visto como las

funciones sirven para representar procesos.

• Hoy trataremos a las funciones como objetos.

• Al estudiarlas como objetos matemáticos, las funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones las cuales también pueden ser graficadas.

SUMA DE FUNCIONES

• Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente)

• En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma.

• Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.

SUMA DE FUNCIONES

• Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo:

Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

SUMA DE FUNCIONES

• Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios.

• La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g.

• En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g

SUMA DE FUNCIONES• Al lado aparecen

tablas de valores para dos funciones f y g.

• Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios.

• Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

¿Puedes identificar estos 3 elementos

comunes en el dominio?

SUMA DE FUNCIONES• El dominio de f + g

es {3, 9, 11}• No es posible definir

los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

EJEMPLO

SUMA DE FUNCIONES• Naturalmente que si

los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2 x (f + g)(x)

3 4 + 1 = 5

9 -1 + 0 = -1

11 3 + 1 = 4

Finalmente, en este caso si podremos sumar

aquellos valores donde los dominios eran comunes

EJEMPLO

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES

• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división.

• Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

))(/( xgf

))(( xgf ))(( xgf

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES

x f(x)

3 4

5 8

9 -1

11 3

15 2

x g(x)

3 1

7 3

9 0

11 1

16 -2

x (f - g)(x)

3 3

9 -1

11 2

x (f · g)(x)

3 4

9 0

11 3

311

43

(f / g)(x)x

Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida,

así que ese valor queda excluido en la división

EJEMPLO

DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES• Sean f y g funciones, y sea

D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x D.

)()())((

)()())((

)()())((

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

• La función ( f / g)(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador {x D | g ≠ 0}

EN OTROS CASOS

• Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas.

• Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

Si y realiza las siguientes operaciones

EJEMPLO

43)( 23 xxxf

))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf

353

154)(3

)15()43(

)()())((

23

23

23

xxx

xxx

xxx

xhxfxhf

D =

15)( xxh

EJEMPLO

553

1543

)15())(4)(3(

)()())((

23

23

23

xxx

xxx

xxx

xhxfxhf

D =

Si y realiza las siguientes operaciones

43)( 23 xxxf

))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf

15)( xxh

EJEMPLO

420815

4320515

)15)(4)(3(

)()())((

234

2334

23

xxxx

xxxxx

xxx

xhxfxhf

D =

Si y realiza las siguientes operaciones

43)( 23 xxxf

))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf

15)( xxh

EJEMPLO

15

4)(3

)(/)())(/(23

x

xx

xhxfxhf

Si y realiza las siguientes operaciones

43)( 23 xxxf

))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf

15)( xxh

D = , pero x ≠ 51

(Dominio Restringido)

REFERENCIAS

• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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