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7/30/2019 Operaes Matemticas.pdf

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Professor: Clayton Daniel Ianke de MenezesMATEMTICA ELEMENTAR MDULO II: OPERAES MATEMTICAS

e-mail: [email protected] ELEMENTAR MDULO II: OPERAES MATEMTICAS

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1. Operaes com Nmeros Naturais: nesta etapa, faremos contas apenas com os nmeros que esto no conjunto dosNmeros Naturais. Assim, toda e qualquer operao bem como sua resposta s ser vlida se todos os nmeros foremnaturais. Lembre-se: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Para resolver qualquer expresso numrica preciso entender apenasduas coisas: a ordem das operaes e os sinais de associao.

A ordem ou seqncia correta em que as operaes matemticas devem ser feitas a seguinte:

1o) Resolvem-se as operaes de potenciao e radiciao.2o) Resolvem-se as operaes de multiplicao e diviso.3o) Resolvem-se as operaes de adio e subtrao

Os sinais de associao entre os nmeros so os parnteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }. medida que a contavai se desenvolvendo, preciso ir eliminando cada um desses sinais de associao entre os nmeros. A ordem correta paraelimin-los a seguinte:

1o) Eliminam-se os parnteses ( ).2o) Eliminam-se os colchetes [ ].

3o

) Eliminam-se os chaves { }.

Se voc sempre seguir essas duas regrinhas bsicas jamais errar conta alguma. S se voc errar, ento, em uma oumais operaes. Para evitar isso importante conhecer a tabuada. Por isso, antes mesmo de ir adiante, aconselhvel fazerou rever as tabuadas do 1 ao 10 da adio e da multiplicao. Se voc se garante por j conhecer bem essas tabuadas, ento

prossiga.

a) Adio e Subtrao de Nmeros Naturais:

AdioExs.: 7 + 6 = 13; 11 + 8 = 19; etc. Nmeros que se somam so chamados de parcela e o resultado da adio

a soma. Assim, no primeiro exemplo, 7 e 6 so parcelas e 13 a soma.

Subtrao:

Exs.: 7 6 = 1; 13 5 = 8; 10 13 = ? Observe que o resultado desta conta no pode ser obtido dentro doconjunto dos Nmeros Naturais, pois o resultado desta conta 3 e esse valor no nmero um nmero natural,mas inteiro. O resultado da subtrao chamado de resto.

Propriedades da Adio e Subtrao

Propriedade Conceito ExemploComutativa* A ordem das parcelas no altera a soma. 5 + 6 = 6 + 5 = 11Associativa* Alterando os nmeros com os sinais de associao, o resultado da

expresso no se altera.1 + (5 + 3) = (1 + 5) + 3 = 9

Fechamento* A soma de vrios nmeros naturais sempre um nmero natural. 1 + 2 + 3 + 4 = 1025 + 16 + 14 +125 +1562 = 1742

ElementoNeutro

Todo nmero natural adicionado a zero ou subtrado o zeropermanece igual a ele mesmo.

25 + 0 = 2536 + 5 + 0 = 41

* A Comutativa, Associativa e a Fechamento no so vlidas para a subtrao. Tente descobrir o motivo disto.

Expresses Numricas com Adio e Subtrao em N: agora vamos s contas com sinais de associao.

fundamental que essas regrinhas de eliminar os parnteses, colchetes e chaves, de trocar o sinal dos nmeros e de somartodos os nmeros positivos com os positivos e somar os negativos com os negativos, estejam bem claras pois isto a base paraqualquer operao.

Essa ordem sempre dever

ser respeitada ou a conta

nunca dar o resultado

certo.

Se o sinal na frente do sinal de associao fornegativo, ao elimin-lo preciso trocar o sinal de

(+/) de todos os nmeros de dentro.


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Ex.: 5 + {3 1 + [15 (11 5) + 2] 1} = primeira linha5 + {3 1 + [15 11 + 5 + 2] 1} = segunda linha5 + {3 1 + 15 11 + 5 + 2 1} = terceira linha5 + 3 1 + 15 11 + 5 + 2 1 = quarta linha5 + 3 + 15 + 5 + 2 1 11 1 = 30 12 = 18 quinta linha

30 12 = 18

b) Multiplicao e Diviso de Nmeros Naturais:

Idias Gerais: Para resolver qualquer expresso numrica preciso entender apenas duas coisas: a ordem dasoperaes e os sinais de associao. A ordem ou seqncia correta estudada na pgina anterior, em que asoperaes matemticas devem ser feitas NUNCA MUDAM. Todavia no existe uma seqncia rgida eimutvel para resolver adio ou subtrao. Podemos fazer as duas o mesmo tempo que o resultado sempredar certo. Os passos abaixo so apenas para lhe orientar na hora de resolver as contas. NO PRECISODECOR-LOS, pois apenas para lhe orientar.

1o) Resolva todas operaes de multiplicao e diviso dentro dos parnteses, colchetes e chaves, nesta ordem.2o) Resolva todas operaes de adio e subtrao que ainda restam dentro dos parnteses, colchetes e chaves,nesta ordem.3o) Elimine os parnteses, no esquecendo de trocar o sinal dos nmeros se for preciso.4o) Se ainda surgir uma conta de diviso ou multiplicao aps eliminar os parnteses, resolva-a antes de

prosseguir.5o) Continue na conta fazendo os 2o, 3o e/ou 4o passo(s) tambm para os colchetes e as chaves.6o) Agrupe os nmeros positivos com os nmeros positivos e os negativos com os negativos, separando-os.7o) Some todos os nmeros positivos e some todos os nmeros negativos, mantendo o sinal de cada um.8o) Subtrai os positivos dos negativos.

Siga um exemplo abaixo:{32 4 + [593 (79 1244)8 + 25]}= (essa a conta para resolver){6 4 + [15 (63 31)8 + 25]}= (Feito o 1o passo){ 2 + [15 328 + 25]}= (Feito o 2o e o 3o passos){ 2 + [15 4 + 25]}= (Feito o 4o passo){ 2 + 15 4 + 25}= (Feito o 3o passo para colchetes)2 + 15 4 + 25 = (Feito o 3o passo para as chaves)

2 + 15 + 25

4 = (Feito o 6

o

passo)42 4 = (Feito o 7o passo)38 (Feito o 8o passo)

Multiplicao: adio de parcelas iguais (Ex.: 5 + 5 + 5 = 35). Ex.: 34 27 + 92 5 =

12 14 + 18 5 =12 + 18 14 5 =30 19 =11

Primeiro resolve-se as multiplicaes. Aps isso, melhor agrupar ospositivos junto com os positivos e os negativos juntos com os negativos.Agora devemos somar todos positivos com eles mesmos e somar todosnegativos com eles mesmos. Aps isso, para obter o resultado final, devemossubtrair os ositivos dos ne ativos.

Primeira linha: essa conta para resolver.Segunda linha: Parnteses eliminados e os nmeros de dentro com sinal trocado, pois na frente do parntesestinha o sinal negativo. Ser feito o mesmo com os colchetes e as chaves (Terceira e Quarta linhas). Quando osinal for positivo +, os nmeros ficam com o mesmo sinal.

Quinta linha: Aps eliminar todos os parnteses, os colchetes e as chaves, junte todos nmeros positivos com ospositivos e todos nmeros negativos com os negativos.Sexta linha: foi feita a soma de todos nmeros positivos e de todos nmeros negativos. Agora basta apenassubtra-los e pronto. O resultado da conta est a.


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IMPORTANTE: Nmeros que so multiplicados recebem o nome de fatores e o resultado da multiplicao sechama produto. Assim, na conta 236 = 36, os nmeros 2, 3 e 6 so os fatores e o 36 o produto.

Diviso:Ex.: 123 + 567 555 =

4 + 8 11 =12 11 = 1

Propriedades Operatrias: o asterisco (*) quer dizer que a propriedade no vlida para a diviso em N.

Propriedade Conceito ExemploComutativa* A ordem dos fatores no altera o produto. 56 = 65 = 30Associativa* Associando os nmeros com os sinais de associao, o

resultado da expresso no se altera.2(53) = (25)3 = 30

Fechamento* O produto de vrios nmeros naturais sempre um nmeronatural.

5234 = 120

Elemento Neutro Todo nmero multiplicado por um (1) ou dividido por um(1) permanece igual a ele mesmo.

251 = 25361 = 41

Distributiva Se um nmero multiplica um parnteses, ento elemultiplica todos os nmeros dentro desse parnteses.

Se um parnteses est sendo dividido por um nmero, entotodos os nmeros de dentro do parnteses so divididos poreste nmero.

2(3+4) = 23 + 24(12 + 8)4 = 124 + 84 (obs.: se o

nmero e o sinal de diviso estiveremna frente do parnteses, a propriedadeno vlida.

Fator Nulo ou FatorZero

Se numa multiplicao de vrios nmeros pelo menos umdeles for zero, o produto final ser zero.

750234 = 0

Diviso por Zero No possvel dividir qualquer nmero por zero. Oresultado impossvel ou indeterminado.

30 = ? (nenhum resultado-impossvel)00=? (infinitos resultados-indeterminado)

Consulte no dicionrio o que significa a palavra indeterminado. Em matemtica significa que h infinitaspossibilidades e nenhuma delas determinada, isto , a nica soluo.

Expresses Numricas com Multiplicao e Diviso em N: agora vamos s contas com sinais de associao.A partir de agora voc far contas com as quatro operaes e, alm disso, haver os sinais de associao entreos nmeros: parnteses, colchetes e chaves. Quando surgir multiplicao e diviso na mesma conta, voc podefaz-las ao mesmo tempo que o resultado no se altera. Antes de eliminar os parnteses, os colchetes ou as

chaves, preciso que todas as contas de multiplicao e diviso j estejam resolvidas, seno voc correr umrisco muito maior de errar depois.Ex.: {36+243+[142 (824)4] 4}

{18 + 8 + [ 7 (164)4] 4}{18 + 8 + [ 7 124 ] 4}

{18 + 8 + 7 3 4}{18 + 8 + 7 3 4} =

18 + 8 +7 3 4 =33 7 = 26

c) Potenciao e Radiciao de Nmeros Naturais:

Princpios Gerais:A idia bsica da Potenciao est na prpria multiplicao: ao multiplicar fatores iguais temos uma

potenciao (Ex.: 222 = 23 lemos 2 elevado a trs ou 2 ao cubo). O nmero que fica em cima indica quantasvezes voc deve multiplicar o nmero de baixo por ele mesmo. O nmero que fica em cima recebe o nome deexpoente, o nmero de baixo a base e o resultado da potenciao a potncia. Dessa forma, a conta 52 = 25, o 5 a base, o 2 o expoente e o 25 a potncia. Veja outros exemplos abaixo.

Exs.: 42 = 44 = 16; 33 = 333 = 27; 72 = 49 (lemos 7 ao quadrado).J a o conceito de radiciao surgiu da necessidade de uma operao que fosse o contrrio da potenciao.

A Radiciao a operao inversa da potenciao. Por exemplo, qual o nmero que elevado ao quadrado d iguala 16? A resposta a essa pergunta o 4, pois o nmero que elevado ao quadrado d 16 o 4. Assim, dizemos que 4

IMPORTANTE: O nmero que dividido tem o nome de dividendo e onmero que divide tem o nome de divisor. O resultado da diviso recebe onome de quociente. Assim, na conta 213=7, 21 o dividendo, 3 odivisor e 7 o quociente.

Observe que medida que voc vai desenvolvendo a conta, aexpresso vo ficando cada vez menor. Isso acontece porqueas operaes esto sendo resolvidas e os sinais de associao( ), [] e {} vo sendo eliminados.


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a raiz quadrada de 16. Qual o nmero que elevado ao cubo d 125? A resposta 5, pois 5 ao cubo d 125 (53 =125). Portanto, a raiz cbica de 125 5.

O smbolo usado para a radiciao o radical ( ). Abaixo temos um exemplo:

RADICALNDICE

39 RAIZRADICANDO

Propriedades da Potenciao e da Radiciao em N

muito importante entender as propriedades da potenciao e radiciao. Elas esto abaixo:P1) Todo nmero, diferente de zero, elevado a zero igual a 1.Exs.: 50 = 1; 750 = 1; 92850 = 1.

P2) Todo nmero elevado a um igual a ele mesmo.Exs.: 51 = 5; 91 = 9; 4561 = 456.

P3) Se a base for zero, o resultado sempre ser zero, qualquer que seja o expoente no nulo.Exs.: 02 = 0; 036 = 0; 0999 = 0.

P4) Se a base for um, a potncia sempre ser um.Exs.: 12 = 1; 125 = 1; 1999 = 1.

P5) No existe a potncia de 00. No existe resultado possvel.P6) A raiz de zero, seja qual for o ndice no nulo, sempre ser zero.

Exs.: 00 ; 003 P7) No existe a raiz zero de qualquer nmero.

Exs.: ?160

; ?90

; ?00

Obs.: existem outras propriedades que s sero vistas na Matemtica Bsica.

d) Expresses Numricas com as 6 Operaes em N: a partir de agora voc j est apto para desenvolver e resolver comsucesso expresses numricas com as seis operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao eradiciao). Para isso, necessrio que voc tenha domnio das propriedades de cada operao, saiba a ordem corretadas operaes e consiga eliminar os sinais de associao que so os ( ), os [ ] e as { }. Voc tambm poder seguiros passos feitos anteriormente, s que agora tambm temos a potenciao e a radiciao para resolvermos.

1o) Resolva todas operaes de potenciao e radiciao dentro dos parnteses, colchetes e chaves, nesta ordem.2o) Resolva todas operaes de multiplicao e diviso dentro dos parnteses, colchetes e chaves, nesta ordem.3o) Resolva todas operaes de adio e subtrao que ainda restam dentro dos parnteses, colchetes e chaves,nesta ordem.4o) Elimine os parnteses, no esquecendo de trocar o sinal dos nmeros se for preciso.

5o

) Se ainda surgir uma conta de diviso ou multiplicao aps eliminar os parnteses, resolva-a antes deprosseguir.6o) Continue na conta fazendo os 3o, 4o e/ou 5o passo(s) tambm para os colchetes e as chaves.7o) Agrupe os nmeros positivos com os nmeros positivos e os negativos com os negativos, separando-os.8o) Some todos os nmeros positivos e some todos os nmeros negativos, mantendo o sinal de cada um.9o) Subtrai os resultados encontrados.

Essa seqncia apenas uma sugesto e NUNCA DEVER SER VISTA COMO REGRA FIXA.Observe com ateno os exemplos abaixo.

O nmero do qual preciso extrair a raiz

recebe o nome deradicando. Nesse caso o9. O nmero que indicaqual a raiz a ser extrada o ndice. O ndice fica emcima do radical, que osmbolo da radiciao.

Quando a raiz a ser extrada forquadrada, no precisa pr o nmero 2 nondice. Assim, na raiz quadrada de 9, que o exemplo, no se deve escrever o 2 nondice. E, por fim, o resultado daradiciao a raiz.

Qual o nmero que elevado ao cubo d 64? Nesse caso, queremos saber a raiz cbica de 64.

Escrevemos assim: 3 64 . O resultado 4, pois 43 = 64. Portanto, 3 64 = 4. Se o ndice for diferentede 2, ele dever sempre aparecer. Nesse estudo de Matemtica Elementar, estudaremos at raiz cbica.


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Ex. 1) Calcule o valor numrico da expresso 60 (22+31)2330. Vamos l ento:60 (22+31)2330= (essa a conta para resolver)60 (4+3)81= (Feito o passo 1)60 781= (Feito o passo 3 e o 4: o passo 2 no foi preciso).60 56 = (feito o passo 5)4 (feito o passo 9: os passos 6, 7 e 8 no foram precisos)

Ex. 2) Esse exemplo ser feito sem seguir os passos anteriores. Pense e escolha o que voc acha melhor.Calcule o valor numrico da seguinte expresso:

3 2749 + {20 64 + 3[63 (3 3 8 + 2)2] 1999}= (essa a conta para resolver)

7 3 + {18 + 3[216 (32 + 2)2] 1} = (as razes e potncias foram resolvidas)7 3 + {8 + 3[216 (6+ 2)2] 1} = (as multiplicaes foram resolvidas)7 3 + {8 + 3[216 82] 1} = (os parnteses foram eliminados)7 3 + {8 + 3[216 4] 1} = (a diviso foi feita)7 3 + {8 + 3212 1} = (os colchetes foram eliminados)7 3 + {8 + 636 1} = (as multiplicaes restantes foram feitas)7 3 + 8 + 636 1 = (as chaves foram eliminadas)7 + 8 + 636 3 1 = (os nmeros foram agrupados em negativos e positivos)651 4 = (foram somados os nmeros positivos com os positivos e os negativos com os negativos)

647 (o resultado final foi feito a partir da subtrao que havia sobrado)e) Potncias de base 10 ou Potncias de 10: essas potncias so aquelas em que a base sempre 10. De qualquer forma,

para calcular a potncia de base 10, basta adicionar tantos zeros quantos forem os expoentes naturais. Observe osexemplos abaixo.

Exs.: 100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1000104 = 10000 etc.

Tambm possvel determinar o expoente da base 10. Para isso basta seguir a seguinte regrinha simples:escreve-se o nmero seguido da multiplicao pela potncia de base 10; a quantidade de zeros que h ser o expoenteda base 10. Se no houver zeros, o expoente ser zero.

Exs.: 500m = 5100m = 5102m780Km = 7810Km (quando o expoente for um, no necessrio escrev-lo).1200Kg = 12100 = 12102Kg1000 l = 11000 l = 103 l (no necessrio escrever o nmero um na frente da potncia de 10)2Km = 2100Km

A potncia de base 10 ser revista no estudo dos nmeros racionais.

Para saber qual a potncia certa, basta voc ver o expoente:quando a base for 10 o valor do expoente indica quantos zeros vocdever acrescentar direita do 1 (um). Assim, possvel calcular a

potncia de qualquer base 10 rapidamente.


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2. Operaes com Nmeros Inteiros: os nmeros inteiros esto muito ligados em nosso dia a dia. Por exemplo, pararepresentarmos uma temperatura menor que zero, usamos o sinal negativo () antes; no extrato de banco, se o saldoestiver devedor, aparecer um sinal negativo indicando dbito, etc. Nesta etapa, j faremos contas com os nmerosque esto no conjunto dos Nmeros Inteiros. Assim, como j estudamos anteriormente, esses nmeros so os

Nmeros Naturais e tambm os negativos. Toda e qualquer operao bem como sua resposta s ser vlida se todosos nmeros forem inteiros. Lembre-se: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Vamos ento aos Nmeros Inteiros

a) Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros: para ser possvel somar e subtrair valores negativos, devemos ter emmente sempre algumas regrinhas gerais para soma de dois nmeros inteiros quaisquer.

Regras Gerais para adio e Subtrao em Z: todas as regras para adio e subtrao vistas at agoratambm so vlidas para a adio e subtrao de nmeros inteiros. Contudo, como se trata de outrostipos de nmeros, algumas regras novas acabam surgindo. Abaixo est um quadro com essas idias

bsicas para adio e subtrao de Nmeros Inteiros.


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CASO REGRA EXEMPLOSinais Iguais+) e (+) ou) e ()

Mantm-se o sinal e soma-se os nmeros. 5 + 7 = 12 ou +12

5 7 = 12 (conserva o sinal esomam-se os nmeros)

Sinais Diferentes

+) e () ou) e (+)

Mantm-se o sinal do maior nmero e subtrai-se os

nmeros.

9 7 = 2 ou +2 (conserva o sinal do

9)7 9 = 2 (conserva o sinal do 9)

Alm dessas duas regras, outra muito importante, que j foi estudada no conjunto dos Nmeros Naturais deveser sempre lembrada pelo seu contnuo uso a seguinte:

Se na frente de um parnteses, colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todosos nmeros dentro desses parnteses, colchetes ou chaves. imprescindvel lembrar isso ou haver erro na conta.

Ex.1: 49 (2 + 2 3) =49 16 6 + 12 = (aqui os sinais dos nmeros foram trocado ao eliminar os parnteses)49 + 12 16 6 = (os nmeros foram agrupados em negativos e positivos)61 24 = (foram somados os nmeros positivos com os positivos e os negativos com os negativos)37 (conservou-se o sinal do maior nmero e subtraiu-se)

Ex.2: Vamos agora a um exemplo com parnteses, colchetes e chaves.4 + {5 7 [9 5 (2 +11 14) + 5] 15} =4 + {5 7 [9 5 2 11 + 14 + 5] 15} = (parnteses eliminados e sinais dos nmeros trocados)4 + {5 7 9 + 5 + 2 +11 14 5 15} = (colchetes eliminados e sinais dos nmeros trocados)4 + 5 7 9 + 5 + 2 +11 14 5 15 = (chaves eliminadas e sinais dos nmeros n foram trocados)

5 + 5 + 2 + 11 7 9 14 5 15 = (os nmeros foram agrupados em negativos e positivos)23 73 = (foram somados os nmeros positivos com os positivos e os negativos com os negativos)50 (conserva-se o sinal do maior e subtri-se)

Propriedades Operatrias da Adio e Subtro em Z: as mesmas propriedades vlidas para a adio emN tambm vlida para a adio em Z. Alm destas, h ainda uma nova propriedade: Nmero Oposto.

Propriedade Conceito ExemploComutativa A ordem das parcelas no altera a soma. 5 + 6 = 6 5 = 1

Associativa Alterando os nmeros com os sinais de associao, o resultado daexpresso no se altera.

1 + (5 + 3) = (1 + 5) + 3 = 83 (5 3) = (3 5) + 3 = 1

Fechamento A soma de vrios nmeros inteiros sempre um nmero inteiro. 1 2 + 3 4 = 225 16 + 14 125 +162 = 10

ElementoNeutro

Todo nmero inteiro adicionado a zero ou subtrado o zeropermanece igual a ele mesmo.

25 + 0 = 2536 0 = 36

NmeroOposto

Um nmero o oposto de outro nmero quando a soma ousubtrao deles d zero.

6 + 6 = 0 (6 e 6 so opostos entre si)14 14 = 0 (14 e 14 so opostos entresi)

Expresses Numricas com Adio e Subtrao em Z: nessas expresses, voc far contas de adio esubtrao com nmeros negativos. importante relembrar o seguinte: Se na frente de um parnteses,colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todos os nmeros dentro desses

parnteses, colchetes ou chaves. Nunca esquea isso!!!!!!

Ex.1: 30 + 18 + 45 =18 + 45 18 = (agrupando os positivos com os positivos e os negativos com os negativos)63 18 (todos os positivos foram somados. No foi preciso somar os negativos)45 ou + 45 (conserve o sinal do maior e subtraia)


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Ex.2: 10 + 15 {25 [11 5 + 8] 3 5}=5 {25 11 + 5 8 3 5} = (os colchetes foram eliminados)5 25 + 11 5 + 8 + 3 + 5 = (as chaves foram eliminadas)5 + 11 + 8 + 3 + 5 25 5 = (agrupou-se os nmeros em positivos e negativos)

32 30 = 2 ou +2 (conserva o sinal do maior e subtrai)

b) Multiplicao e Diviso de Nmeros Inteiros:

Regras Gerais de Multiplicao e Diviso em Z: para ser possvel multiplicar e dividir nmeros inteiros,devemos sempre ter em mente que todas as idias para multiplicao e diviso em N so tambm vlidasem Z. Mas, alm disso, como se trata de outros tipos de nmeros, algumas regras novas sempre acabamsurgindo. Abaixo est um quadro com essas idias bsicas para multiplicao e diviso de dois nmerosinteiros. Tenha em mente que as regras de sinais nas operaes de multiplicao e diviso so asmesmas: o que vale para uma tambm vale para a outra.

CASO REGRA EXEMPLOSinais Iguais+)(+) ou ()()+)(+)ou ()()

Se o sinal dos dois nmeros forem iguais, o resultadoser sempre POSITIVO, isto :+)(+) = + ou ()() = ++)(+) = + ou ()() = +

56 = 30 ou +305(6) = 30 ou +30102 = 5 ou +5(10)(5) = 2 ou +2

Sinais Diferentes)(+) ou ()(+))(+)ou ()(+)

Se o sinal dos dois nmeros forem diferentes, oresultado ser sempre NEGATIVO, isto :

)(+) = ou (+)() = )(+) = ou (+)() =

56 = 306(5) = 30102 = 510(2) = 5

Se caso voc for multiplicar e/ou dividir mais de sois nmeros inteiros, a regra a seguinte: se a quantidadede nmeros negativos for par, o resultado positivos, mas se a quantidade de nmeros negativos for mpar, o resultadoser negativo. Para que essa regra funcione no deve haver outras operaes matemticas envolvidas, mas smultiplicao e/ou diviso.

Ex.1) 2(3)4(1)5(2) = 60 ou +60 (como h 4 nmeros negativos, e essa quantidade par, o resultado dpositivo)Ex.2) 2(3)45(2) = 60 (como h 3 nmeros negativos, e essa quantidade mpar, o resultado d negativo)

Propriedades Operatrias da Multiplicao e Diviso em Z: as mesmas propriedades vlidas para

multiplicao e diviso em N tambm so vlidas para a multiplicao e diviso em Z. A nica diferena que agora devemos levar em considerao o jogo de sinais. O asterisco (*) indica que a propriedadeno vlida para a diviso. Ser vlida para diviso apenas nos Nmeros Racionais e/ou Nmeros Reais.

Propriedade Conceito ExemploComutativa* A ordem dos fatores no altera o produto. 56 = 6() = 30Associativa* Associando os nmeros com os sinais de associao, o

resultado da expresso no se altera.2(53) = (25)3 = 30

Fechamento* O produto de vrios nmeros inteiros sempre um nmerointeiro.

523(4) = 120

ElementoNeutro*

Todo nmero multiplicado por um (1) permanece igual a elemesmo.

251 = 25361 = 41 (o contrrio no vlido)

Distributiva Se um nmero multiplica um parnteses, ento ele multiplicatodos os nmeros dentro desse parnteses.Se um parnteses est sendo dividido por um nmero, entotodos os nmeros de dentro do parnteses so divididos poreste nmero.

2(3+4) = 2(3) + 24(12 8)4 = 124 84 (obs.: se onmero e o sinal de diviso estiverem nafrente do parnteses, a propriedade noser vlida para a diviso em Z).

Fator Nulo ouFator Zero

Se numa multiplicao de vrios nmeros pelo menos um delesfor zero, o produto final ser zero.

7502(3)(4) = 0

Diviso porZero

No possvel dividir qualquer nmero por zero. O resultado impossvel ou indeterminado.

30 = ? (nenhum resultado-impossvel)00=? (infinitos resultados-indeterminado)


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Expresses Numricas com Multiplicao e Diviso em Z: seguindo as idias bsicas j mencionadas notexto acima, podemos j resolver contas com os nmeros inteiros. Lembre-se: as regras para ordem dasoperaes e de eliminao dos parnteses, colchetes e chaves continuam valendo. Observe os exemplos:

Ex.1) 20 + ( 25)(5 ) = 20 + 5 = (resolvemos primeiro a diviso. No se esquea que sinais iguais d positivo na diviso) 15 (esse j o resultado. Conserve o sinal do maior e subtrai: no se esquea disso!)

Ex.1) 705 {46 [145(2+3) 328] + 11} = (essa a conta para resolvermos)14 {24 [145(2+3) 4] + 11} = (multiplicao e diviso resolvidas)14 {24 [1455 4] + 11} = (parnteses eliminados)14 {24 [29 4] + 11} = (resolvido a diviso restante)14 {24 29 + 4 + 11} = (colchetes eliminados)14 {24 29 + 4 + 11} = (chaves eliminadas)14 + 24 + 29 4 11 = (chaves eliminadas)24 + 29 14 4 11 = (separados os negativos dos positivos)49 29 = 20 (conserva o sinal do maior e subtrai)

c) Potenciao e Radiciao de Nmeros Inteiros: antes de fazermos as contas que envolvam potenciao eradiciao, vamos fazer uma recordao dos conceitos bsicos destas duas operaes.

Idias Gerais sobre Potenciao e Radiciao: sempre quando multiplicamos nmeros iguais podemosfazer uma potenciao. Por exemplo: 23 = 222 = 8; 66 = 62 = 36; 444 = 43 = 64, etc. assim, semprequando multiplicamos nmeros iguais temos uma potenciao. O expoente, que o nmero de cima,indica quantas vezes voc deve multiplicar a base por ela mesma. A base o nmero de baixo. Oresultado da potenciao a potncia.

J a radiciao a idia oposta da potenciao. Por exemplo, qual o nmero que elevado aoquadrado d 49? Esse nmero a raiz quadrada de 49 e o 7, pois 77 = 72 = 49. assim, podemos escreve oseguinte:

749 , pois 72 = 49.Vamos recordar uma expresso numrica envolvendo as seis operaes e os sinais de associao nos

Nmeros Naturais. Observe:

Ex.: Calcule o valor numrico da seguinte expresso:3

12581 + 1555

+ {32

64 + 50

[43

(53

8 + 5)3] 0785

}=9 5 + 1 + {98 + 1[64 (52 + 5)3] 0} = (as razes e potncias foram resolvidas)9 5 + 1 + {72 + 1[64 (10+ 5)3] 0} = (as multiplicaes foram resolvidas)9 5 + 1 + {72 + 1[64 153] 0} = (os parnteses foram eliminados)9 5 + 1 + {72 + 1[64 5] 0} = (a diviso foi feita)9 5 + 1 + {72 + 159 0} = (os colchetes foram eliminados)9 5 + 1 + {72 + 59 0} = (as multiplicaes restantes foram feitas)7 3 + 1 + 72 + 59 0 = (as chaves foram eliminadas)7 + 72 + 1 + 59 3 0 = (os nmeros foram agrupados em negativos e positivos)139 3 = (foram somados os nmeros positivos com os positivos e somados negativos com os

negativos)136 (o resultado final foi feito a partir da subtrao dos nmeros positivos e negativos)

Propriedades Operatrias da Potenciao e Radiciao em Z: abaixo esto as principais propriedadeoperatrias da potenciao e radiciao e que j foram vistas no estudo dos Nmeros Naturais (P1 a P7).As outras j fazem parte dos Nmeros Inteiros.

P1) Todo nmero, diferente de zero, elevado a zero igual a 1 X0 = 1 X 0Exs.: 50 = 1; 750 = 1; 92850 = 1; (5)0 = 1; (9589)0 = 1.

P2) Todo nmero elevado a um igual a ele mesmo X1 = XExs.: 51 = 5; 91 = 9; 4561 = 456; (7)1 = 7.

P3) Se a base for zero, o resultado sempre ser zero, qualquer que seja o expoente no nulo 0X = 0 X0Exs.: 02 = 0; 036 = 0; 0999 = 0.


10/31



10

P4) Se a base for um, a potncia sempre ser um 1X = 1Exs.: 12 = 1; 125 = 1; 1999 = 1.

P5) No existe a potncia de 00. No existe resultado possvel.

P6) A raiz de zero, seja qual for o ndice no nulo, sempre ser zero 000 XX

Exs.: 00 ; 003 P7) No existe a raiz zero de qualquer nmero.

Exs.: ?160 ; ?90 ; ?00 P8) Se o expoente for par, a potncia sempre ser positiva, mesmo que a base seja negativa ()PAR= (+)

Exs.: (2)4 = (2) (2) (2) (2) = 16 ou +16. Portanto, (2)4 = 16.(3)2 = (3) (3) = 9 . Portanto, (3)2 = 9.72 = 77 = 49

P9) A potncia ser negativa apenas se a base for negativa e o expoente for mpar ()MPAR= ()Exs.: (2)3 = (2) (2) (2) = 8. Portanto, (2)3 = 8.

(3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243P10) Multiplicao de potncias de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes XmXn = Xm+n

Exs.: 3332 = 35 ; (2)3(2)4 = (2)7.P11) Diviso de potncias de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes XmXn = Xmn

Exs.: 3532 = 33 ; (2)8(2)5 = (2)3.

P12) Potenciao de uma potncia: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes (Xm

)n

= Xmn

Exs.: (32)3 = 36; (32)5 = 310; (23)2 = (2)6.P13) Potenciao de ordem superior: conservamos a base e calculamos a potncia de cima para baixo.

Exs.:93 22

2

; 51222 333923

P14) Potenciao de um produto de vrios nmeros: o expoente vale para todas as bases (regra do chuveirinho)

(abc)X = aXbXcX

Exs.: (234)2 = 223242; (234)2 = (2)2 32 42.

P15) No existe raiz par de nmeros negativos .0 XseexistenoXPAR

Exs.: existeno 4 ; existeno16 existeno4 16 ; etc.Isso acontece porque no possvel, para qualquer nmero, elev-lo a um expoente par e a potncia d

negativa.OBS.: voc no precisa se preocupar em decorar essas regras, pois medida que voc as vai usando tambmvai memorizando. NO SE EXTRESSE!!

d) Expresses Numricas com as Seis Operaes em Z: as expresses numricas de nmeros inteiros se baseia emtodas as propriedades vistas at agora para as seis operaes. Sendo assim, muito importante que voc tenha um

bom domnio dessas propriedades estudadas at aqui. Nessa etapa que, sem dvida alguma, a mais complexa atagora, bom relembrarmos que os mesmos procedimentos para realizar expresses numricas ainda so vlidasaqui. Para resolver expresses numricas em Z, voc poder usar os passos sugeridos desde as expressesnumricas de Nmeros Naturais. Relembre as etapas abaixo:

1o) Resolva todas operaes de potenciao e radiciao dentro dos parnteses, colchetes e chaves, nesta ordem.2o) Resolva todas operaes de multiplicao e diviso dentro dos parnteses, colchetes e chaves, nesta ordem.3o) Resolva todas operaes de adio e subtrao que ainda restam dentro dos parnteses, colchetes e chaves,nesta ordem. Faa o jogo de sinal, se preciso.4o) Elimine os parnteses, no esquecendo de trocar o sinal dos nmeros se for preciso.5o) Se ainda surgir uma conta de diviso ou multiplicao aps eliminar os parnteses, resolva-a antes de

prosseguir.6o) Continue na conta fazendo os 3o, 4o e/ou 5o passo(s) tambm para os colchetes e as chaves.7o) Agrupe os nmeros positivos com os nmeros positivos e os negativos com os negativos, separando-os.8o) Some todos os nmeros positivos e some todos os nmeros negativos, mantendo o sinal de cada um.9o) Subtrai os resultados encontrados.

Ex.1) Calcular o valor numrico da expresso (2)3+ 3 8 {3(4) +[ 16 (1)3 (2325)24] + 2223}.


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11

(2)3+ 3 8 {3(4) +[ 16 (1)3 (2325)24] + 2223} = (essa a conta que temos que resolver)

8 + (2) {3(4) +[4(1) 2824] + 25} = (Feito o passo 1)8 + (2) {3(4) +[4(1) 16] + 32} = (Feito o passo 1 novamente para as potncias que sobraram)8 + (2) { 12 + [ 4 16] + 32} = (Feito o passo 2)8 2 { 12 + 4 16 + 32} = (Feito o passo 4 para os colchetes)

8 2 12 4 + 16 32 = (feito o passo 4 para as chaves)16 8 2 12 4 32 = (Feito o passo 7: passos 5 e 6 no foram precisos)16 58 = (Feito o passo 8)

42 (Feito o passo 9)

Ex.2) 372 { (2)4( 4) + [ 33 26436 3((3)05 6)] 11]}

349 { 16(4) + [648 3(15 6)] 11} Foram feitas a potenciao e a radiciao147 {4 + [3 3(5 6)] 11} Foram feitas a multiplicao e a diviso147 {4 + [3 3(1)] 11} Foi feita a subtrao que restou nos parnteses, que foi eliminado147 {4 + [3 + 3] 11} Resolvido a multiplicao restante147 {4 + 3 + 3 11} Colchetes eliminados147 + 4 3 3 + 11 Chaves eliminadas147 + 4 + 11 3 3 Nmeros agrupados em positivos e negativos

162

6 Nmeros positivos somados com positivos e o mesmo com os nmeros negativos156 Resultado final

3. Operaes com Nmeros Racionais (s com fraes): os nmeros racionais surgiram da necessidade de realizarcontas com nmeros que no so naturais e nem inteiros. Por exemplo, se um terreno tem uma rea de 760m 2 e, porherana, ele dever ser dividido por 3 filhos herdeiros ento qual ser a rea que cada um deles dever receber, se forfeito uma diviso por igual? A conta ser a seguinte: 7623. O resultado dessa conta no um nmero natural e neminteiro. Faa a diviso e verifique voc mesmo! A diviso no d exata, ento o nmero no natural e nem inteiro.

Depois de alguns estudos, ficou definido que os nmeros racionais so todos aqueles que podem ser escritos emforma de frao. Nessa idia entram tambm os Nmeros Naturais e os Nmeros Inteiros, pois eles tambm podem ser

representados por uma frao. Isso acontece porque toda frao tambm uma diviso. Por exemplo: 52102

10 .

A frao dez meios a mesma coisa que cinco, que um nmero natural. Assim, o zero tambm far

parte do Nmeros Racionais, pois possvel representar zero em forma de frao: 0...

7

0

8

0

2

0 . Abaixo tem uma

classificao dos tipos de nmeros racionais.

1- Fraes Exs.: ;5

8;

4

3;

9

5;

3

7 ; etc

2- Nmeros Decimais Exatos Exs.: 8,3; 6,45; 3,128; etc.

3- Nmeros Decimais Inexatos ou Dzimas Peridicas Exs.: 4,333...;1,232323...; 2,353535...; etc.

necessrio entender que frao e nmeros decimais so modos diferentes de escrever um mesmo valor.

Como se l uma frao??

As fraes recebem nomes especiais quando os denominadores so 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e tambm quando osdenominadores so 10, 100, 1000, ... Observe as tabelas das prximas pginas.

OS TRSTIPOS DE

NMEROSRACIONAIS


12/31



12

FRAO LEITURA FRAO LEITURA

um meio dois quintos

um tero quatro stimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um dcimo

um stimo um centsimo

um oitavo um milsimo

um nono oito milsimos

Classificao das fraes

Frao prpria: o numerador menor que o denominador. Exs.:

Frao imprpria: o numerador maior ou igual ao denominador. Exs.:

Frao aparente: o numerador mltiplo do denominador. Exs.:

OBS.: o resultado de uma frao aparente sempre ser um nmero inteiro. Pense no porque disso!

a) Critrios de Divisibilidade e MMC: o objetivo saber em que situao e ocasio um nmero ser divisvel poroutro nmero. Divisibilidade significa capacidade de ser dividido. Conhecer esses critrios muito importante

pois ser muito ti l depois, principalmente para no perder muito tempo em certas continhas de diviso comosimplificao de fraes, fatorao, etc. Os principais critrios de divisibilidade so os seguintes:

Divisibilidade por Zero (0): no possvel, em qualquer caso, dividir por zero. No existe resultado.


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13

Divisibilidade por Um (1): todo nmero dividido por 1 igual a ele mesmo. Exs.: 7 1 = 7; 89651 = 8965;etc.Divisibilidade por Dois (2): um nmero poder ser dividido por 2 apenas se for par, isto , quando terminarem 0, 2,4,6 ou 8. Exs.: 990, 78952, 6784, 2356, 198 so divisveis por 2, pois satisfazem a condio de serem

pares.Divisibilidade por Trs (3): um nmero poder ser dividido exatamente por 3 quando a soma de seusalgarismos for um resultado da tabuada do 3. Ex.: 7.245. Somando os algarismos 7 + 2 + 4 + 5 = 18, que est

na tabuada do trs. Ento o nmero 7.245 divisvel por 3, ou seja, 7.2453 d uma diviso exata. Faa aconta e comprove!

Divisibilidade por Quatro (4): um nmero ser divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos formaremum nmero que um resultado da tabuada do 4 ou quando os dois ltimos algarismos forem zero. Exs.:7.812: divisvel por quatro pois 12 um dos resultados da tabuada do 4.1360: divisvel por quatro pois 60 um dos resultados da tabuada do 4.44.731: no divisvel por quatro pois 31 no um dos resultados da tabuada do 4.5700: divisvel por quatro pois termina com dois zeros (00).

Divisibilidade por Cinco (5): um nmero poder ser dividido exatamente por 5 se terminar em zero ou em 5.Exs.: 300, 305, 13795, 800, etc.

Divisibilidade por Seis (6): um nmero poder ser dividido exatamente por seis quando for divisvel por 2 e

por 3 ao mesmo tempo. Ex.: 5.670: divisvel por 6, pois divisvel por 2 ( par) e divisvel por 3(5+6+7+0 = 18, est na tabuada do 3)

Divisibilidade por 7: a regra muito complicada e quase no usada. No compensa estudar isso.

Divisibilidade por 8: um nmero ser divisvel exatamente por 8 quando os trs ltimos algarismos formaremum nmero que um resultado da tabuada do 8 ou quando os trs ltimos algarismos forem zero. Exs.:

2.000 divisvel por 8 pois termina em 000. Faa a diviso e verifique por voc mesmo!12.120 divisvel por 8 pois 120 um resultado da tabuada do 8 (815 = 120).

Divisibilidade por 9: um nmero poder ser dividido exatamente por 9 quando a soma de seus algarismos derum valor que um resultado da tabuada do 9. Exs.:5.472 divisvel por 9, pois 5 + 4 + 7 + 2 = 18 (est na tabuada do 9).7.866 divisvel por 9, pois 7 + 8 + 6 + 6 = 27 (est na tabuada do 9).

Divisibilidade por 10: um nmero poder ser dividido exatamente por 10 quando terminar em zero.

Nmero Primo: um nmero dito primo quando ele for divisvel apenas por 1 e por ele mesmo. Exs.: osnmeros 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ... so primos, pois s podemos dividi-los exatamente por 1 ou por elemesmo. Existe uma regra prtica para identificar se um nmero primo ou no. Leia o prximo critrio dedivisibilidade.

Identificao de Nmero Primo: para saber se um nmero primo ou no, basta voc somar ou subtrair 1dele: se o resultado for divisvel por 6 ento o nmero primo. Caso contrrio, no. Essa regra muito til

porque se for identificado que um nmero primo, desnecessrio tentar dividi-lo por algum nmero que noseja ele mesmo ou o 1. Essa regra vale para todos os nmeros primos exceto o 3, pois este menor que 6.Exs.:

O nmero 371 primo ou no? 371 + 1 = 372. Como 372 divisvel por 6 ento 371 primo.

O nmero 181 primo ou no? 181 1 = 180. Como 180 divisvel por 6, ento 181 primo.

b) Simplificao de Fraes: simplificar uma frao significa reduzi-la a nmeros mais simples, mas sem alterar oseu valor, isto , simplificar uma frao significa obter uma frao equivalente e que seja irredutvel (que no dmais para simplificar). Para fazer isso preciso entender o seguinte: em qualquer frao, se multiplicarmos oudividirmos o numerador e o denominador ao mesmo tempo por um mesmo nmero que no o zero, o valor dafrao no se altera. Isso conhecido como Princpio Fundamental das Fraes. Por exemplo:


14/31



14

15

10

53

52

3

2

O numerador (que o 2) e o denominador (que o 3) foram multiplicados pelo por um mesmo

nmero: o 5. A nova frao ficou sendo dez quinze avos, que a mesma coisa que dois teros. Observe o prximoexemplo.

4

3

28

26

8

6

A frao original, seis oitavos, foi simplificada por 2 e se tornou trs quartos. A frao

simplificada e a no simplificada representam a mesma quantidade de um todo: tm o mesmo valor.Vamos fazer alguns exerccios sobre isso.Ex. 1) Simplifique as fraes abaixo:

a)7

2

749

714

49

14

(a frao foi simplificada por 7)

b)3

1

39

33

218

26

236

212

36

12

(a frao foi simplificada por 2, depois por 2 de novo e, no fim, por 3).

medida que a simplificao vai sendo feita, a frao vai ficando com nmeros cada vez menores at noser mais possvel a sua simplificao. Nesse ponto temos ento uma frao irredutvel.

c) Comparao de Fraes: comparar fraes significa verificar qual delas maior ou menor. necessrio entender acomparao de fraes porque mais adiante ser necessrio efetuar os mesmos clculos para somar e subtrair

fraes. H dois casos possveis de comparao de fraes.

1o CASO Fraes com Denominadores Iguais: a maior frao aquela que tem o maior denominador. Exs.:

8

7

8

5e Imagine-se numa pizzaria. Qual seria melhor: comer cinco oitavos ou comer sete oitavos da pizza

que voc mais gosta? Nesse simples exemplo, a pizza foi dividida em oito partes iguais (O denominador sempresignifica o total de partes em que o todo foi dividido). Na primeira frao voc comeria cinco pedaos desses 8 ena segunda, comeria 7 dos 8 pedaos (O numerador sempre indica quanto do total de partes foi tomado). Portanto,

voc comeria mais se comesse8

7 da pizza. Raciocinado assim, podemos concluir o seguinte: se as fraes tiverem

o mesmo denominador, a frao maior ser a que tiver o maior numerador. Assim8

7 >8

5 .

2

o

CASO Fraes com Denominadores Diferentes: para determinar, por exemplo, qual a maior fraoentre

5

3

3

2e devemos igualar seus denominadores. Para isso, usaremos o j estudado e conhecido Princcpio

Fundamental das Fraes, que ensina o seguinte: em qualquer frao, se multiplicarmos ou dividirmos onumerador e o denominador ao mesmo tempo por um mesmo nmero que no o zero, o valor da frao no sealtera. Com isso, vamos ento descobrir qual das fraes acima a maior.

5

4

3

2e Multiplicamos a primeira frao pelo denominador da segunda frao e multiplicamos a segunda

frao pelo denominador da segunda frao. Isso ir igualar os denominadores. Veja o exemplo abaixo.

15

10

53

52

3

2

Essa a primeira frao multiplicada pelo denominador da segunda, que 5.

1512

3534

54

Essa a segunda frao multiplicada pelo denominador da primeira, que 3.

Como elas tm o mesmo denominador, aquela que tiver o maior numerador a frao de maior valor.Comparando:

15

10

15

12 ento

3

2

5

4 .

OBS.: preciso entender esse procedimento porque depois ser necessrio para somar e subtrairfraes com denominadores diferentes.


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15

d) Adio e Subtrao de Fraes: ao contrrio dos Nmeros Naturais e Inteiros, a adio e subtrao so asoperaes que exigem mais clculos em se tratando de frao. De acordo com a maioria das pessoas queaprendem frao, mais simples multiplicar ou extrair a raiz quadrada de uma frao do que somar duas fraes.Assim, se voc entender bem como somar e subtrair fraes, as operaes restantes sero mais fceis de assimilar,conforme a maioria dos alunos com quem j trabalhei pensa. Vamos ento s contas. Assim como na comparaode fraes h dois casos possveis, para adio e subtrao de fraes ocorre a mesma coisa e os casos so osmesmos.

1o CASO Fraes com Denominadores Iguais: Pense na seguinte situao: suponha que voc e seu colegatm muita dificuldade em matemtica e resolvem rezar para isso. Se vocs rezarem um tero hoje paraaprender, dois teros amanh e depois de amanh rezaro mais cinco teros, quantos teros voc tero rezadoat depois de amanh? isso mesmo...! Podemos escrever isso matematicamente assim:

3

8

3

521

3

5

3

2

3

1

Essa regra pode ser generalizada assim: para somar ou subtrair fraes com o

mesmo denominador, somamos ou subtramos os numeradores e conservamos o denominador. Veja outrosexemplos:

4

1

4

1173

4

11

4

7

4

3

(conservamos o denominador e somamos ou subtramos o numerador).

2o CASO Fraes com Denominadores Diferentes: agora preciso lembrar do mtodo usado para igualar osdenominadores de duas fraes. Vamos ao primeiro exemplo.

15

12

15

10

35

34

53

52

5

4

3

2

Agora as fraes j esto com os denominadores iguais. Como se trata de

fraes equivalentes, elas tm o mesmo valor e por isso som-las o mesmo que somar as fraes originais, quetinham os denominadores diferentes. Continuando:

15

22

15

12

15

10 ento a soma

15

22

5

4

3

2 . Como essa frao irredutvel, isto , no tem como simplificar, a

conta pra por aqui.

OBS.: Existe outro mtodo para somar ou subtrair fraes: tirar o MMC (Mnimo Mltiplo Comum).

Entretanto, para soma de at 3 fraes mais fcil e rpido esse mtodo. Contudo, se voc for somar 4 ou maisfraes com denominadores diferentes (coisa que muito rara acontecer) a ser mais fcil tirar o MMC. Emnosso estudo, no faremos soma de vrias fraes com denominadores diferentes porque algo que voc

provavelmente s utilizar na matemtica no Nvel Mdio ou Avanado.

Propriedades Operatrias da Adio e Subtrao em Q: lembre-se que as fraes esto no mesmo conjuntodos nmeros decimais e das dzimas. Portanto, as propriedades aqui citadas sero vlidas tambm para osnmeros decimais e dzimas. As propriedades valem para todo o Conjunto dos Nmeros Racionais (Q).Lembre-se tambm que todo nmero inteiro tambm um nmero racional.

Propriedade Conceito ExemploComutativa A ordem das parcelas no altera a soma.

3

7

3

2

3

5

3

5

3

2

Associativa Alterando os nmeros com os sinais de associao, o resultado da

expresso no se altera.b 31

3

4

3

2

3

1

3

4

3

2

3

1

Fechamento A soma de vrios nmeros inteiros sempre um nmero inteiro.1

4

4

4

7

4

3

ElementoNeutro

Todo nmero racional adicionado a zero ou subtrado o zeropermanece igual a ele mesmo. 7

30

7

3

NmeroOposto

Um nmero o oposto de outro nmero quando a soma ou subtraodeles d zero. 02

5

2

5

Obs.: essas propriedades tambm so vlidas para fraes com denominadores diferentes.


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16

e) Multiplicao e Diviso Fraes: como foi dito anteriormente, a multiplicao e a diviso so mais simples que aadio e subtrao de fraes, como voc perceber agora. importante tambm entender o seguinte:

Toda frao uma diviso e por isso o denominador nunca pode ser zero. Tente resolver, por exemplo, 70.Perceba que no existe nenhum nmero que multiplicado por zero d sete. Assim, no existe resultado paraessa conta!

Outro caso: ?000

0

. Como todo nmero multiplicado por zero igual a zero, ento existe um nicoresultado para esse clculo, mas infinitos resultados! Portanto, de qualquer forma, uma condio para queexista um nmero racional que ele no pode ser divido por zero em hiptese alguma.

Multiplicao de Fraes: para melhor compreender o porque da regra de multiplicao de fraes, analise oexemplo abaixo, que representa uma barra de chocolate dividida em pequenos bloquinhos. A parte escurarepresenta o quanto voc j comeu do chocolate. Que frao representa esse total?

A quantidade de quadrados pintados tambm pode ser obtida multiplicando-se a quantidade de quadrados decada um dos lados entre si. A altura dos quadrados pintados equivale a dois teros da altura total e a largura dosquadrados pintados equivale a quatro quintos da largura total. Multiplicando-se esses dois valores teremos o quanto a

rea pintada equivale do total. Ento o resultado de5

4

3

2 representa a quantidade de chocolate. O resultado dessa

frao dever ser igual aos oito quinze avos previstos anteriormente. Portanto:5

4

3

2 =

15

8Desse exemplo podemos

generalizar uma regra para multiplicao de fraes: para multiplicar fraes, multiplicam-se os numeradorespelos numeradores e os denominadores pelos denominadores. Vamos a alguns exemplos:

Ex.1) Calcule o produto de:

a)79

856872

724)3(83

73

28

43

b)

415

312345

1245

4395

49

35

c)

3215

8453

85

43

Se a multiplicao for de um nmero inteiro por uma frao, o nmero inteiro ir multiplicar apenas o

numerador e o denominador deve ser conservado. Exs.: 35

21

5

73

5

7

Inverso de uma Frao: para avanar em diviso de frao preciso determinar a frao inversa. A fraoinversa de uma outra frao aquela obtida invertendo-se as posies do numerador com o denominador.Veja os exemplos:

3

4

4

3fraoadeinversafraoa ; a frao inversa de 3

3

1(debaixo do 3 tem o nmero 1).

O inverso de 7 7

1 ; o inverso de

5

4 a frao

4

5 (a inverso de um nmero no altera seu sinal).

OBS.: No existe inverso de zero pois, como j foi dito, no fica determinado uma frao com denominadorigual a zero.

Faa o inverso dos seguintes nmeros: 6, 11,5

8

7

5e .

3

2

5

4

O chocolate todo est dividido em 15 partes. Essa rea

mais escura representa15

8 do todo, pois so 8 blocos

num total de 15.


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17

Diviso de Fraes: para diviso de fraes no faremos nenhuma explicao ilustrativa por ser muitosemelhante dada para multiplicao. Apenas daremos a regra de como se divide fraes. Para dividirfraes, deve-se multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda. Exs.:

a) b)5

6

5

32

3

52

c)

15

2

3

1

5

2

35

2

OBS.: para no confundir, o trao maior o que separa as fraes.

f) Potenciao e Radiciao Fraes: as regrinhas de potenciao e radiciao estudadas para Nmeros Inteirostambm so vlidas para as fraes.

Radiciao: quando elevamos uma frao entre parnteses a um expoente, estamos elevando o numerador e odenominador a esse expoente. Exs.:

a) b)

Se a frao no estiver entre parnteses, o expoente s valer para o numerador ou s para o denominador.

Exs.:4

9

4

32 ;

16

3

4

32

Radiciao: quando o radical envolve o numerador e o denominador, devemos extrair a raiz do numerador edo denominador. Exs.:

a) b)

Se o radical s estiver no numerador ou s no denominador, devemos extrair apenas a raiz do nmero que estno radical. Exs.:

16

3

64

12

64

144 (a frao foi simplificada por 4)

3

48

9

144

81


g) Expresses Numricas com as Seis Operaes: as regras vlidas para resolver expresses numricas nos NmerosInteiros tambm so vlidas para os numero fracionrios. Alm dessas, claro, devemos lembrar de como resolvecada uma das operaes com fraes: isso imprescindvel.

a)

200538

8

36100

200538

8

64

2005388 200530

2005 1000

b)

4

31

2

1151 2

2

4

31

4

1151

4

7

4

1151

28

4151

28

4161

7

111

28



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4. Operaes com Nmeros Racionais (com nmeros decimais): nmero decimal um tipo de nmero racional assimcomo as fraes.

a) Converso de Nmero Decimal para Frao Decimal: A figura nos mostra um cubo com suas principaisdimenses em centmetros.

O uso dos nmeros decimais bem superior ao dos nmeros fracionrios. Observe que noscomputadores e nas mquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal dos nmerosracionais.

Fraes Decimais

Observe os exemplos abaixo:

Os denominadores so potncias de 10.

Assim: Denominam-se fraes decimais, todas as fraes que apresentam potncias de 10 no denominador.

Numerao decimal

O francs Vite (1540 - 1603) desenvolveu um mtodo para escrever as fraes decimais; no lugar de fraes, Viteescreveria nmeros com vrgula. Esse mtodo, modernizado, utilizado at hoje.

Observe no quando a representao de fraes decimais atravs de nmeros decimais:

Frao Decimal = Nmeros Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

=

0,0001

Essas dimenses so apresentadas sob a forma de notao decimal, que

corresponde a uma outra forma de representao dos nmeros racionaisfracionrios.A representao dos nmeros fracionria j era conhecida h quase 3.000anos, enquanto a forma decimal surgiu no sculo XVI com o matemticofrancs Franois Vite.


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19

Frao Decimal = Nmeros Decimais

= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005

= 11,7

= 1,17

= 0,117

= 0,0117

Os nmeros 0,1; 0,01; 0,001 e 11,7 por exemplo, so nmeros decimais.Nessa representao, verificamos que a vrgula separa a parte inteira da parte decimal. A parte inteira vem antes da vrgula e

a decimal vem aps a vrgula. Veja o quadro explicativo abaixo.

Leitura dos nmeros decimais: No sistema de numerao decimal, cada algarismo, da parte inteira oudecimal, ocupa uma posio ou ordem com as seguintes denominaes:

Lemos as partes inteiras, seguidas da partes decimais, acompanhadas das palavras:

Centenas Dezenas Unidades Dcimos Centsimos MilsimosDcimos

milsimosCentsimosmilsimos

Milionsimos

Partes inteiras Partes decimais


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dcimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;centsimos....................................... : quando houver duas casas decimais;milsimos......................................... : quando houver trs casas decimais;dcimos milsimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;centsimos milsimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

Exemplos:

1,2: um inteiro e dois dcimos;2,34: dois inteiros e trinta e quatro centsimos

Quando a parte inteira do nmero decimal zero, lemos apenas a parte decimal.

Exemplos:

0,1 : um dcimo;0,79 : setenta e nove centsimos

Observao:

1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um nmero decimal. Observe a leitura do nmero 5,53:

Leitura convencional: cinco inteiros e cinqenta e trs centsimos;

Outras formas: quinhentos e cinqenta e trs centsimos;cinco inteiros, cinco dcimos e trs centsimos.

2. Todo nmeros natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vrgula aps o ltimo algarismo eacrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

b) Transformao de Frao Decimal para Nmero Decimal:

Observe os seguintes nmeros decimais:

0,8 (l-se "oito dcimos"), ou seja,10

8.

0,65 (l-se "sessenta e cinco centsimos"), ou seja,100

65.

5,36 (l-se "quinhentos e trinta e seis centsimos"), ou seja,100

536.

0,047 (l-se "quarenta e sete milsimos"), ou seja,1000

47

Sendo assim, compare com a prxima tabela.


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21

Assim, conclumos que:

Um nmero decimal igual frao que se obtm escrevendo para o numerador o nmero sem vrgula e dandopara denominador o nmero um (1) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformao de frao decimal em nmero decimalObserve as igualdades entre fraes decimais e nmeros decimais a seguir:

Podemos concluir, ento, que:

Para se transformar fraes decimais em nmeros decimais, bastas dar ao numeradortantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Decimais equivalentes: As figuras foram divididas em 10 e 100 partes, respectivamente. A seguir foramcoloridas de cinza 4 partes da primeira figura e 40 partes da segunda figura. Observe:


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22

Note que 0,4 representa na primeira figura representa o mesmo tamanho que 0,40, ou seja, 0,4 e 0,40 so decimaisequivalentes. Dessa forma, conclumos que decimais equivalentes so aqueles que representam a mesma quantidade.

Exemplos:

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

Dos exemplos acima, podemos concluir que:

Um nmero no se altera quando se acrescenta ou se suprime um oumais zeros direita de sua parte decimal.

Comparao de nmeros decimais

Comparar dois nmeros decimais significa estabelecer uma relao de igualdade ou de desigualdade entreeles, em outras palavras, descobrir atravs da comparao qual deles o maior ou o menor. H dois casos possveis.

1 Caso: As partes inteiras so diferentes

O maior aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos: 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

2 Caso: As partes inteiras so iguais

O maior aquele que tem a maior parte decimal. necessrio igualar inicialmente aquantidade de casas decimais acrescentando zeros.


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23

Exemplos:

0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

c) Adio e Subtrao de Nmeros Decimais:

Considere a seguinte adio:

1,28 + 2,6 + 0,038

Transformando em fraes decimais, temos:

Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros;2) Colocamos vrgula debaixo de vrgula;3) Efetuamos a adio, colocando a vrgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtrao

Considere a seguinte subtrao: 3,97 - 2,013

Transformando em frao decimais, temos:

Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros;2) Colocamos vrgula debaixo de vrgula;3) Efetuamos a subtrao, colocando a vrgula na diferena, alinhada com as demais.


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24

Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987

d) Multiplicao e Diviso de Nmeros Decimais: a melhor dica para efetuar multiplicao de nmeros decimais transform-los em frao decimal e fazer os clculos com as fraes. Aps encontrar a resposta certa, converta oresultado novamente para nmero decimal. O mesmo para diviso.

Considere a seguinte multiplicao: 3,49 2,5

Transformando em frao decimais, temos:

Mtodo prtico (sem transformar em frao decimal)

Multiplicamos os dois nmeros decimais como se fossem naturais. Colocamos a vrgulano resultado de modo que o nmero de casas decimais do produto seja igual soma dos

nmeros de casas decimais do fatores.Exemplos:

3,49 2,5

1,842 0,013

Observao:

1. Na multiplicao de um nmero natural por um nmero decimal, utilizamos o mtodo prtico da multiplicao.Nesse caso o nmero de casas decimais do produto igual ao nmero de casas decimais do fator decimal.

Exemplo: 5 0,423 = 2,115


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25

2. Para se multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vrgula para a direita uma, duas,trs, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os nmeros decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos:

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580%

OBSERVAO: apesar desse mtodo ser relativamente fcil, mais fcil ainda se voc sempre converter o nmerodecimal para frao decimal e assm fazer a multiplicao. Aps isso, basta converter o resultado para nmero decimalnovamente. Isso vale tanto para multiplicao como para a diviso, a potenciao e a radiciao de nmeros decimais.

Nessas 4 operaes citadas, resolver as contas transformando o nmero decimal para frao decimal a opo mais fcil.

Diviso

1: Diviso exata

Considere a seguinte diviso: 1,4 : 0,05

Transformando em fraes decimais, temos:

Mtodo prtico

1) Igualamos o nmeros de casas decimais, com o acrscimo de zeros;2) Colocamos vrgula debaixo de vrgula;3) Efetuamos a subtrao, colocando a vrgula na diferena, alinhada com as demais.


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Exemplos:

1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05

Suprimindo as vrgulas: 140 : 5Logo, o quociente de 1,4 por 28.

Efetuado a diviso

6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015

Suprimindo as vrgulas 6.000 : 15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 400.

Efetuando a diviso

4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600

Suprimindo as vrgulas 4.096 : 1.600

Efetuando a diviso

Observe que na diviso acima o quociente inteiro 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir adiviso determinando a parte decimal do quociente. Para a determinao dos dcimos, colocamos uma vrgula no quociente eacrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 dcimos.

Continuamos a diviso para determinar os centsimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960dcimos correspondem a 9600 centsimos.

Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 2,56.

2 : Diviso no-exata

No caso de uma diviso no-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a diviso de 66 por 21:

O quociente 2,56 exato, pois o resto nulo.


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27

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois oquociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo:

Assim, na diviso de 66 por 21, temos:

3 o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.4 o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a diviso de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:

3,1 o quociente aproximado por falta, a menos de um dcimo.3,2 o quociente aproximado por excesso, a menos de um dcimo.

Dando mais um passo, nessa mesma diviso, temos:

Podemos afirmar que:

3,14 o quociente aproximado por falta, a menos de um centsimo.3,15 o quociente aproximado por excesso, a menos de um centsimo.

Observao:

1. As expresses tm o mesmo significado:

- Aproximao por falta com erro menor que 0,1 ou aproximao de dcimos.- Aproximao por falta com erro menor que 0,01 ou aproximao de centsimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximao de dcimos, centsimos ou milsimos significa interromper a diviso aoatingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximao de dcimos)13 : 7 = 1,85 (aproximao de centsimos)13 : 7 = 1,857 (aproximao de milsimo)


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28

Mas tome cuidado! No caso de ser pedido um quociente com aproximao de uma diviso exata, devemoscompletar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessria(s) para atingir tal aproximao. Exemplo:O quociente com aproximao de milsimos de 8 de 3,2

Representao Decimal de uma Frao Ordinria

Podemos transformar qualquer frao ordinria em nmero decimal, devendo para isso dividir o numerador pelodenominador da mesma. Exemplos:

Converta4

3em nmero decimal.

Logo,4

3 igual a 0,75 que um decimal exato.

Converta3

1em nmero decimal.

Logo,3

1 igual a 0,333... que uma dzima peridica simples.

Converta6

5em nmero decimal.

Logo, 6

5 igual a 0,8333... que uma dzima peridica composta.

e) Dzimas Peridicas:

H fraes que no possuem representao decimal exata. Por exemplo:


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29

3

1= 0,333...

6

5= 0,8333...

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de numeraisdecimais peridicos ou dzimas peridicas.

Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa dzima.

As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicas compostas. Exemplos:

9

5= 0,555... (Perodo: 5)

3

7= 2,333... (Perodo: 3)

33

4= 0,1212... (Perodo: 12)

So dzimas peridicas compostas, uma vez que o perodo apresenta-se logo aps a vrgula.

45

1= 0,0222...

Perodo: 2

Parte no peridica: 0

900

039.1= 1,15444...

Perodo: 4


495

61= 0,1232323...

Perodo: 23


So dzima peridicas compostas, uma vez que entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica.Observaes:

1. Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre a vrgula e o perodo. Exclumos portanto daparte no peridica o inteiro.

Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou

OBS.: a maneira em se usa um trao sobre o perodo se chama forma reduzida da dzima.

Geratriz de uma Dzima Peridica

possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos esta frao degeratriz da dzima peridica.

Procedimentos para determinao de uma dzima:

Dzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para denominadortantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:


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30

Dzima composta

A geratriz de uma dzima composta uma frao da formad

n, onde:

n parte no-peridica seguida do perodo, menos a parte no-peridica.d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos

forem os algarismos da parte no-peridica.

Exemplo:

f) Potenciao e Radiciao de Nmeros Decimais:

As potncias nas quais a base um nmero decimal e o expoente um nmero natural seguem as mesma regras destaoperao, j definidas. Assim:

(3,5) = 3,5 3,5 = 12,25 (0,64) = 0,64

(0,4) = 0,4 0,4 0,4 = 0,064 (0,18) = 1

Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um nmero decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa frao decimal.Assim:

99

725


31/31


31

g) Expresses Numricas:

No clculo de expresses numrico envolvendo nmeros decimais seguimos as mesmas regras aplicadas s expressescom nmeros fracionrios.

Em expresses contendo fraes e nmeros decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um stipo de nmero racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expresses contendo dzimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos:

Documents

Operações Matemáticas.pdf