OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS

OPERAÇÕES UNITÁRIAS I EQE-473 A Objetivos Apresentar os princípios fundamentais envolvidos nas operações unitárias relacionadas a

sistemas particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a análise do desempenho de equipamentos que lidam com estes sistemas.

Ementa Fundamentos. Caracterização de partículas e de sistemas particulados. Dinâmica da

interação sólido-fluido. Aplicações a sistemas diluídos. Separação sólido-fluido: Elutriação, câmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separações sólido-sólido: Peneiração, Classificação Jigagem, Flotaçâo. Aplicações a sistemas concentrados: escoamento monofásico em meios porosos, filtração, sedimentação, fluidização, transporte pneumático, e hidráulico de partículas. Escoamento bifásico em meios porosos.

Livro texto: Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. Massarani, G. 2a edição e-papers, Rio de Janeiro, 2002. Bibliografia: Perry, R.H.; and Green, D.W. Perry´s Chemical Engineering Handbook. 5a edição. McGraw-Hill, New York. 1999 Allen, T. ; Particle Size Measurement. 3a edição. Chapman and Hall, 1981. Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. Pergamon Press, Oxford, 1978. Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering. J. Wiley. 1969. Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981. Wills, B. A. Mineral Processing Technology. 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988. Conversão de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ Fontes adicionais de informação: 1. Science direct. (www.sciencedirect.com/) Acesso direto a artigos das principais

revistas técnicas e científicas do mundo. 2. Capes. (www.periodicos.capes.gov.br/) 3. Brazilian Journal of Chemical Engineering. 4. Revistas específicas sobre sistemas particulados:

• Powder Technology • Particulate Systems • International Journal of Mineral Processing • Journal of Porous Media

OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS... ............1 OPERAÇÕES UNITÁRIAS I EQE-473 A.............................................................................1

1

I. Partículas e Distribuições de Tamanhos.................................................................. .........3 I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3 I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................................................... ...........4 I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos.............................. .......5 I.4 Balanços Materiais................................................................................... ...............7

II.PENEIRAÇÃO............................................................................................. ......................8 III. COMINUIÇÃO, MOAGEM................................................................. ..............................9

III.1 Introdução...................................................................................................... ............9 III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9 III.3 Moagem Secundária....................................................................... .........................10 III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10 III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos...............................10

IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO................ ............................................11 IV.1 Movimento da Partícula.............................................. ............................................ 11 IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário....... .............................................12 IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13 IV.3 Diâmetro de Sedimentação.................................... .................................................14 IV.4 Efeito de Parede.................................................... ..................................................15 IV.5 Efeito da Concentração de Partículas ....................... Erro! Indicador não definido. IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos .................................................................17

V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18 V.1 Câmara de Poeira .....................................................................................................18 V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22

VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS ...............................................23 VI.1 Elutriaçao .................................................................................................................24 VI.2 Flotação ...................................................................................................................25 VI.3 Jigagem....................................................................................................................28

VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 VII.1 Balanços de massa.................................................................................................28 VII.2 Balanços de Momento ............................................................................................30 VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos ...............................................................31 VII.4 Permeabilidade .......................................................................................................33 VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35 VII.6 Aplicações...............................................................................................................35

VIII FLUIDIZAÇÃO ..............................................................................................................36 VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37 VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás ...................................................................................38 VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. ............................................................39 VIII.4 Mistura e Segregação............................ ..... ..........................................................40

IX SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41 IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42 IX.3 Sedimentação Contínua..................................................... .....................................44 IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46 Seleção de um sistema de filtração....................................................................... .........46 Teoria simplificada da filtração com formação de torta.......................................... ........47 Filtração a pressão constante.........................................................................................48 Lavagem da torta............................................................................................................49 Produção máxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49 IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51 IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51 IX.7 Filtração em leito granular .......................................................................................52

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I. Partículas e Distribuições de Tamanhos Esta disciplina trata de diversos sistemas, operações e equipamentos nos quais há a

participação de uma fase descontínua, composta por partículas sólidas, ou gotas de um líquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou líquida. A primeira destas duas será denominada “fase particulada”, e a segunda de “fase contínua” ou “fluida”. Suas aplicações vão desde o controle da emissão de particulados para a atmosfera ao projeto de processos e de equipamentos comuns a diferentes indústrias de processamento químico.

É possível fazer a distinção entre os métodos de estudo dos sistemas particulados por sua faixa de aplicação a sistemas diluídos e sistemas concentrados. Nos sistemas diluídos a atenção é dirigida à fase particulada, e o estudo das possíveis interações sólido-fluido tem por base o que acontece a uma partícula isolada, uma vez que estas estão distantes, uma das outras, e os efeitos da concentração de partículas são pequenos e podem, quando necessário, ser considerados como correções a serem introduzidas nos resultados simplificados. No outro extremo têm-se os sistemas concentrados, para os quais as duas fases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seus parâmetros macroscópicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partículas. Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a teoria mecânica de sistemas multifásicos.

Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diluídos visando à descrição dos processos de arraste e coleta de sólidos particulados. Antes porem é necessário a caracterização das partículas isoladamente e em conjunto.

I.1 Caracterização de Partículas Isoladas

Consideramos uma amostra de partículas, a cada uma delas podemos associar certas propriedades, algumas das quais estão listadas no seguinte quadro.

propriedade símbolo descrição unidades densidade ρp massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3) tamanho Dp, L uma dimensão linear m; mm; µm, nm área superficial Sp área da superfície m2; mm2; µm2, nm2

volume Vp m3; mm3; µm3, nm3

esfericidade φ sem dimensão massa mp p pm / Vρ = p Kg; g

A esfericidade é um fator de forma definido como a relação entre a área superficial da

esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. 23

pp

6 VSπ ⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟π⎝ ⎠

.

1,

Uma vez que a esfera é o sólido de menor área superficial, conclui-se que0 ≤ φ ≤ e φ=1 se e apenas quando a partícula é esférica.

Exercício 1. Calcule a esfericidade de um cubo e de um paralelepípedo com arestas l, l, e 1,5l. Partículas irregulares são caracterizadas por diferentes tipos dimensões lineares,

denominadas diâmetros ou tamanhos. Alguns destes são apresentados a seguir:

• Diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula 13

p p6D V⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠

;

• D# diâmetro de peneira, valor médio das aberturas de malhas de peneiras consecutivas pelas quais a partícula passa e é retida ( )1

# 2D D D+ −= + ;

3

• Diâmetro de Ferret, DFe, valor médio da distancia entre tangentes paralelas à área projetada da partícula. Obtido por microscopia;

• Diâmetro de sedimentação Dsed, diâmetro da esfera de mesma densidade, que sedimenta com a mesma velocidade que a partícula;

• Diâmetro de Stokes diâmetro de sedimentação no regime de Stokes;

I.2. Estatística de Partículas: distribuições Uma amostra de um sistema particulado conterá partículas de diferentes tamanhos. Assim

poderemos observar, ou medir as distribuições associadas a cada uma das seguintes quantidades:

1. número de partículas, 2. massa total da amostra, 3. volume total da amostra, 4. área superficial de todas as partículas, 5. tamanho, soma dos tamanhos individuais. As distribuições estatísticas têm por base a quantidade de partículas associadas a uma

determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos servirão para elucidar estas questões.

Número de partículas com massa menor que m, ( )pN m ;

Fração numérica de partículas com massa menor que m, ; ( )pn m

Massa de partículas com massa menor que m, ( )pM m ;

Fração ponderal de partículas com massa menor que m, ; ( )pX m

Volume de partículas com massa menor que m, ( )pV m ;

Fração volumétrica de partículas com massa menor que m, ; ( )pv mDistribuições associadas à área superficial, ou ao tamanho podem também ser definidas.

O argumento das distribuições apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assim podemos falar de ( ) ( ) ( )p pN V , ou M S , ou M Dp para:

• o número de partículas com volume menor que V; • a massa de partículas com área superficial menor que S; • a massa de partículas com tamanho menor que D.

A distribuição mais freqüentemente utilizada na descrição de sistemas particulados é aquela que representa a fração ponderal de partícula com diâmetros menores que D, denominada distribuição granulométrica.

As derivadas destas distribuições em relação aos respectivos argumentos representam:

( ) ( ) ( ) ( )dX Dx D , x D dD dX D

dD≡ = = fração de partículas com diâmetros entre

D e D+dD.A inversa desta relação determina a distribuição original.

( ) ( )D

0

X D x D dD.= ∫ (I.2.1)

As duas funções ( ) (X D , e x D ,)

expressão aplica-se a diâmetros compreendidos entre .

possuem a mesma informação, pois o conhecimento de uma delas fornece o conhecimento da outra através de uma simples operação matemática.

Análise granulométrica diz respeito a uma técnica experimental que visa a determinação da distribuição de tamanho de partículas de uma dada amostra. Expressões matemáticas para distribuições são múltiplas, e quase todas são contínuas, i.e. o argumento da expressão é um número real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a

min maxD D D≤ ≤ Existem muitos

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analisadores de distribuição de tamanhos de partículas, que ara o controle da produção de pós. Em diversos setores industriais como: cimentos e cerâmicos; corantes e pigmentos; alimentos; fármacos; e muitos outros o controle da distribuição granulométrica é crítica.

As técnicas mais empregadas para medida de distribuições granulométricas são:

são usados p

• a análise de peneiras [ ]200 m D 20mmµ ≤ ≤ • observação microscópica • difração de laser [ ]0,04 mµ ≤ D 2000 m≤ µ

Algum e as para as distribuições granulométricas são dadas abaixo. as xpressões analítici). Distribuição de Weibull a três parâmetros:

( ) D DX D 1 exp 0,α⎧ ⎫

, D D, D 0,D

⎛ ⎞′ >⎨ ⎬⎜ ⎟′⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(I.2.2)

−⎪ ⎪= − − ≥ α >

( )1

D D D Dx D expD D D

α− α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞α − −⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎥⎦. (I.2.3)

é um diâmetro inferior de corte para o qual se supõe que inexistam partículas menores D por D

´, e α são parâmetros indicativos da dispersão das partículas, e devem ser determinados ajuste aos dados da distribuição de tamanhos. ii). Distribuição de Weibull a 2 parâmetros É a que resulta quando se faz D 0= , i.é:

( ) DX D 1 exp 0,α⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ≥⎢ ⎥ , D 0, D 0,

D′α > >⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(I.2.4)

( )1D Dx D exp .

D D D

α− α⎡ ⎤α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎥⎦ (I.2.5)

Estas duas distribuições são muito utilizadas para as distribuições de tamanho de partículas. r iii) Distribuição lognormal A distribuição norma não deve ser utilizada por não faze

sentido seu ramo negativo. Uma variável X é de distribuição lognormal se Y =lnX é de distribuição normal,

( ) ( )21x D 2

lnDexp , D 0, 0.

2 D 2

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ≥ σ >⎨ ⎬πσ σ⎪ ⎪⎩ ⎭ (I.2.6)

( ) lnDX D ,⎛ ⎞= φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ (I.2.7)

I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos

Análise de is simples e diretas para a determinação da distribuição de tamanho

de

Peneira Uma das técnicas mauma amostra de partículas é a análise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas

precisas, formando uma série com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneiras selecionadas são empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, a amostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta.

5

As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela de

partículas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Após certo tempo, previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras do sistema.

As peneiras de serie Tyler são produzidas de diferentes materiais, formando uma malha quadrada com aberturas que decrescem na proporção de 42, ou 2 .

Exemplo 2. A seguinte seqüência de uma série Tyler é dada, com resultados de uma análise. Para esta análise determine as curvas de x(D) e a distribuição cumulativa, X(D), e ainda determine os parâmetros ótimos para a distribuição de Weibull.

Peneira #

Abertura (µm)

Massa retida(g)

Peneira #

Abertura (µm)

Massa retida(g)

4 4750,0 8,8534 50 299,9 51,2316 3350,0 21,592 60 248,8 26,97 8 2360,0 39,33 80 178,9 21,708

12 1680,0 60,048 100 148,9 17,44516 1180,0 79,764 140 105,0 15,17820 850,9 87,026 200 74,1 15,89430 601,0 71,288 270 53,0 17,61 40 426,1 66,549 fundo 0 12,08

Difração de Laser Analisadores da distribuição de tamanhos de partículas por difração de laser são

empregados para o controle da produção de pós em todas as situações onde o estado da distribuição é determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produção de materiais cerâmicos, de fármacos e de alimentos.

Os analisadores por difração de laser dão resultados rápidos, seguros e precisos sobre a distribuição de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem precisos na análise de partículas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mícron até 2mm.

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Malvern é um dos produtores de sistemas automáticos para esta faixa de tamanhos. A Polymer Laboratories lançou recentemente um sistema que alcança a faixa de nonopartículas, compreendendo de 5nm ate 300nm.

I.4 Balanços Materiais

Consideremos uma corrente de particulados com distribuição de tamanhos conhecida que alimenta um sistema de separação por tamanhos. O sistema possui uma alimentação A, com vazão mássica MA, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazões mássicas MT, e MF

.. Balanço Global: (para o regime permanente)

A TM M M= + F. (I.2.8) Balanço de partículas com diâmetros na faixa D e D+dD

( ) ( ) ( )A A T T F F

A A T T F F

M x D dD M x D dD M x D dD, ouM x M x M x .

= +

= + (I.2.9)

Quanto da alimentação é retirado pelo fundo é dado pela relação Com ela podemos escrever o balanço acima sob a forma:

F F AR M /M= .

( )A F T Fx 1 R x R x= − + F.

T

(I.2.10) Note que a situação em que A Ff f f= = representa uma solução trivial, para a qual o

sistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo são idênticos à entrada. A eficiência de coleta das partículas é definida pela relação entre o que sai pelo fundo

sobre a alimentação. ( ) F F A AD M x /M xη = . (I.2.11)

F A TF F

1x x , xR 1 Rη −

= =− Ax .η (I.2.12)

Note que esta eficiência depende do tamanho da partícula. Partículas diferentes serão coletadas com eficiências diferentes. Em geral a eficiência de coleta é maior para as maiores partículas. Conhecida uma expressão para a eficiência de coleta em função do diâmetro podemos calcular a eficiência média de coleta pela expressão:

( ) ( )A0

D x D dD.∞

η = η∫ (I.2.13)

Outros arranjos de correntes de sistemas particulados são possíveis. Alguns exemplos são:

1) Mistura de duas (ou mais) correntes PAi

1xM

= ∑ Ai AiM x .∑

(I.2.14)

2) Associação de separadores, pelo fundo ou pelo topo. Balanço no primeiro separador

1 1A TM M M= + 1

F,

1F,

A

1 ,

(I.2.15) 1 1 1 1 1 1A A T T F FM x M x M x .= + (I.2.16)

Balanço no segundo separador 2 2 2 2A T F AM M M , M M= + = (I.2.17) 1 1 2 2 2 2F F T T F FM x M x M x .= + (I.2.18)

Razões de fundo 1 1 1 2 2 2 2 1F F A F F A FR M /M , R M /M M /M .= = = (I.2.19)

Eficiências de coleta ( )1 1 1 1

F F A AD M x /M xη = (I.2.20)

7

( )2 2 2 2F F A AD M x /M xη = 2 . (I.2.21)

As soluções destas equações dão os seguintes resultados: 1 1

1 1 1F A T1

F F

1x x , xR 1 Rη −

= =−

1A1 x ;η (I.2.22)

2 22 1 2F F T2

F F

1x x , xR 1 Rη −

= =−

1F2 x ;η (I.2.23)

2 1 2 12 1 2F A T2 1 2 1

F F F F

1x x , xR R 1 R Rη η − η η

= =−

1Ax . (I.2.24)

II. PENEIRAÇÃO Sistemas de peneiração podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de

produtos. Uma boa capacidade é alcançada pela “vibração circular” no plano vertical. Usualmente são fabricadas de aço carbono ou aço inoxidável, e ativadas por um motor com excêntrico ajustável. Este ajuste permite características de vibração diferentes, para uma peneiração suave e grandes tempos de residência, ou alta capacidade mesmo para materiais de difícil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte:

1. largura da área onde o material está sendo alimentado; 2. relação entre abertura da malha e tamanho das partículas; 3. vibração imposta à peneira; 4. inclinação da peneira.

Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqüência da vibração, ou o ângulo de sua inclinação. Usualmente as peneiras são calculadas para suportar 5g de aceleração.

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III. COMINUIÇÃO, MOAGEM

III.1 Introdução

Os termos “redução de tamanho”, “moagem”, ou “Cominuição” referem-se a todas as técnicas pelas quais materiais sólidos são cortados ou quebrados em pedaços menores, independentemente dos diferentes propósitos da redução. Blocos de minérios são esmagados a tamanhos apropriados, materiais sintéticos são moídos e transformados em pós, folhas de plásticos são cortadas em pequenos cubos. Na produção de polpa de papel a madeira é feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Na produção de cimento os materiais empregados como matéria prima são moídos até que a distribuição adequada de tamanhos de partículas seja obtida. A mistura é então queimada para transformar-se no clinquer e este é novamente moído. Na produção de tintas diversos pigmentos são empregados. Uma vez que a tinta recobre a superfície a ser pintada tão melhor quanto mais finamente moído estiver o pigmento, este deve ser eficientemente moído.

A redução de tamanho das matérias-primas minerais consiste de três fases: mineração moagem primaria ou britagem moagem secundaria ou moagem

III.2 Moagem Primária

A moagem primária aplica-se diretamente ao material minerado, ou a qualquer outro material grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicação de pressão ou de impacto sobre o material com tamanho de partícula adequado para ser alimentado a um equipamento de moagem primaria. O tamanho máximo difere substancialmente com o equipamento empregado, e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm.

Britadores Para a moagem primária são empregados três classes de britadores:

Britadores de mandíbulas, Pesquisa Google: britadores de mandibulas Britadores giratórios, Pesquisa Google: britadores giratórios Britadores de rolos, Pesquisa Google: britadores de rolos Britadores de impacto Pesquisa Google: britadores de impacto

Britadores de Mandíbulas Britadores de mandíbulas operam sob o princípio de compressão. O material é

comprimido entre uma superfície fixa e outra móvel. As duas mandíbulas formam uma câmara na forma de V, larga na parte superior, e estreita na parte baixa. A moagem se dá nesta câmara. A mandíbula móvel está fixa em um ponto, e é acionado por um excêntrico. A carga a ser moída é introduzida no topo, a mandíbula móvel se afasta e a carga desce. No movimento de retorno a mandíbula comprime o material e resulta a moagem. No próximo movimento de abertura das mandíbulas o material moído desce para uma abertura mais

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estreita e o ciclo se repete. A abertura máxima determina o tamanho máximo de partícula que pode ser admitido, enquanto que a mínima relaciona-se com o tamanho do produto. A razão de moagem de um britador de mandíbulas varia entre 3 e 7.

Britadores Giratórios Os britadores giratórios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de

cone, operando numa câmara aberta. A cabeça de moagem na forma de um cone truncado está montada num eixo vertical excêntrico. O espaço entre o cone e a parede da câmara decresce gradualmente. O material a ser moído é alimentado no topo. Quando o britador é acionado o cone gira em torno de seu eixo. O material é comprimido entre o cone móvel e o cone fixo. A relação de moagem situa-se entre e 3 e 10.

Britador de Rolos Um britador de rolos consiste de dois rolos com superfície de aço com eixos horizontais

entre os quais a moagem se dá. O eixo de um dos rolos é fixo à estrutura do britador, por rolamentos e o outro rolo é sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distância entre os rolos é ajustável. Britadores de rolos são empregados para moagem fina.

Britador de impacto Britadores de impacto são usados para materiais friáveis ou maleáveis. Uma de suas

características é que a moagem é baseada no impacto e não na pressão, como nos britadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em séries rápidas. A relação de moagem é muito alta. Depende do material a ser moído, da velocidade de rotação dos martelos e do ajuste entre martelos e a carcaça. O britador é frequentemente aberto no fundo, mas pode possuir uma superfície de peneiramento. Assim o material não deixa o britador antes de estar suficientemente moído.

III.3 Moagem Secundária

Na britagem secundária o material é transformado em pós finos levados até a ordem de alguns micra, ou até a nanômetros, atualmente necessários à nanotecnologia.

Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolasMoinho de bastões

III.4 Moagem Autógena

Na moagem autógena o material a ser moído tem a função de moer. Tipicamente um moinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas é utilizado, mas o agente da moagem é o próprio material a ser moído. O material é alimentado ao moinho e sua movimentação causada pela rotação do moinho provoca a moagem. Um catalogo da Metso Minerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/

III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos

O custo da energia despendida na moagem é elevado, por conseqüência seu controle é importante. A mais antiga relação proposta para o cálculo da energia gasta na moagem é a lei de Rittinger, segundo a qual o trabalho é proporcional à criação de superfície. Para a moagem de m [ de matéria prima alimentada ao moinho, há um consumo de energia kg / s]

m rprod. a lim.

1 1P /m KDp Dp

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠. 2m

pp

dP DdD

−∼ (III.5.1)

Nesta equação Kr é a constante de Rittinger, alim.Dp é diâmetro médio da alimentação

prod.Dp é o diâmetro médio do produto.

10

A lei de Kick tem por base a suposição de que o trabalho para moer certa quantidade de sólido só depende da relação entre os tamanhos da alimentação e produto.

alim.m k

prod.

DpP /m K ln ,Dp

⎛ ⎞= ⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ 1m

pp

dP DdD

−∼ (III.5.2)

onde Kk é a constante de Kick. A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependência com o

inverso da raiz do diâmetro da partícula.

bond 80 80prod a lim

1 1P /m KD D

⎛ ⎞⎜= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ . (III.5.3)

Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinação da potencia necessária à moagem em moinhos de bolas. A equação descreve a potência específica necessária para reduzir o tamanho de uma alimentação em que 80% passa pela mallha , a um produto no qual 80% passa pela malha .

80alimD

80prodD

IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO

IV.1 Movimento da Partícula Este capítulo se inicia com o estudo do movimento de uma partícula sólida de massa mp

no seio de um fluido. O movimento é regido pela 2a lei de Newton que é escrita sob a forma:

p

p p pS

m dA= +∫a Tn m .g (IV.1.1)

Nesta T é o tensor tensão que atua em cada ponto da superfície da partícula, n é a normal unitária e o produto Tn nos dá a força por unidade de área, i.é. que atua em cada ponto da superfície. A ação do campo externo é dada pelo produto da massa vezes o campo gravitacional g. A interação sólido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas:

a) uma ação estática representando o empuxo do fluido sobre a partícula. Esta parcela, é dada pela expressão de Arquimedes da forma , oposta ao campo gravitacional.

F pV−ρ g

b) Uma força resistiva, dinâmica, que se anula quando a velocidade relativa entre fluido e partícula é nula. Será esta designada por .

Tem-se então, quando a aceleração da partícula se anula: ( ) ( )p F p p p FV V ,= + ρ ρ = + ∆ρ ∆ρ = ρ ρ0 g g- .-

)

(IV.1.2) A parcela resistiva é função de diversas variáveis dentre as quais são citadas: a

velocidade relativa, , a densidade e viscosidade do fluido, o tamanho e a forma da partícula. Escreve-se:

p∞= −u v v

( p, , ,A ,= ρ µu (IV.1.3) onde Ap é a área projetada da partícula sobre um plano perpendicular ao vetor unitário na

direção da velocidade relativa /=ue u u . Com base na análise dimensional é possível estabelecer a seguinte definição do coeficiente de arraste:

21p F D2A u C , u .= ρ =ue u (IV.1.4)

O coeficiente de arraste assim definido é adimensional, mas depende de diversos fatores incluindo propriedades físicas dos fluidos, da velocidade relativa, tamanho e forma da partícula, sua orientação,..A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera e para um cilindro em função do número de Reynolds

11

O gráfico mostra uma assintota, reta com inclinação logarítmica igual a -1, válida para

pequenos valores do número de Reynolds ( ) DuRe 0,2 , Re ρ≤ =

µ, e uma segunda assintota

para ( )25 *10 Re 3 *10≤ ≤ 5

ue

. Na região entre este valor e há uma redução do valor do coeficiente de arraste causado pela redução da região de separação da camada limite.

7Re 10≈

IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário Um caso especial, simples, mas importante é o da solução dada por Stokes, com a forma: . (IV.1.5) p p3 D 3 D u= πµ = πµuEsta solução aplica-se quando as seguintes condições são válidas: a) partícula esférica, b) regime laminar, c) escoamento lento com aceleração desprezível, d) fluido newtoniano, e) partícula lisa, f) partícula isolada, g) região infinita (longe de quaisquer outros sólidos).

Regime de Stokes Sob qualquer desvio destas condições aplicam-se correções e assim torna-se necessário

levantar cada uma das restrições listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar as expressões (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se:

( )2 2p F D p D

p

D / 8 u C 3 D u C 24 ,D u

µπ ρ = πµ ⇒ =

ρ (IV.1.6)

Isto é (IV.1.7) DC 24 /Re, Re D u /= = p .ρ µA expressão para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao número de

Reynolds permanece sujeita às sete restrições enumeradas acima. Em especial aplica-se para valores do número de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definição do coeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), é geral e válida para todo número de Reynolds.

Regime de Newton Para altos valores do número de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atinge

o valor assintótico, (IV.1.8) DC 0,43.=As duas assíntotas podem ser combinadas e expressas por uma equação geral, i.e. válida

para todos os valores de Re, com a forma:

12

( )1nn

nD

24C 0,Re

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

43 ⎥ . (IV.1.9)

O ajuste desta expressão aos dados experimentais fornece como o melhor valor para o expoente n = 0,63.

Até aqui consideramos apenas as expressões do coeficiente de arraste para partículas esféricas, a primeira restrição presente na lista. Uma correção aplicável a partículas para as quais está determinada sua esfericidade consiste na alteração das duas constantes que determinam as duas assíntotas. Escreve-se:

1nn

nD 2

1

24C K , se 0,6 0,9 n 0,9,K Re

e se 0,9 1 n 3,15 2,59 .

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ≤ φ ≤ ⇒ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

≤ φ ≤ ⇒ = − φ

(IV.1.10)

Nesta equação há primeiramente um ajuste dos fatores de correção a partir de dados com partículas com esfericidade conhecidas,

1K , e K2

( )1 10 2K 0,843log / 0,065 , e K 5,31 4,88 , 0,85 1.= φ = − φ ≤ φ ≤ (IV.1.11) E a seguir o ajuste do expoente n na expressão (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta forma

de abordagem do ajuste é devida ao prof. Massarani. Como veremos ela é de grande utilidade.

IV.2 Velocidade Terminal Há uma solução da equação do movimento (IV.1.2) para a qual a aceleração da partícula

é nula. Tal situação costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partícula parte do repouso sob a ação de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, sua velocidade aumenta até que a força de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma de peso – empuxo. Partimos da equação do movimento da partícula, escrita sob a forma da eq.(IV.1.2):

21p p p F p D g p g2m A v C V g= − ρ + ∆ρa e .e (IV.2.1)

Os termos à direita na equação têm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partícula é baixa e a ação do campo externo prevalece e a aceleração é positiva. Com a aceleração o termo de araste aumenta até o instante no qual a aceleração se anula. A velocidade da partícula é chamada de “velocidade terminal”.

21

p F t D p2A v C V gforça de arraste=peso-empucho.

ρ = ∆ρ (IV.2.2)

p p pD p D2

F t p p F t

V V 2 D2 gC , D , Cv A A v2

g∆ρφ∆ρ= ≈ φ ⇒ =

ρ ρ (IV.2.3)

pD 2

F t

2 D gC

v∆ρφ

=ρ

. (IV.2.4)

É importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partícula, e que portanto a fórmula acima não é conveniente para o cálculo da velocidade terminal. Ela se reduz às seguintes expressões para os regimes de Stokes e o de Newton:

2p1

t

g DKv , para o regime de Stokes,18

∆ρ φ=

µ (IV.2.5)

e pt

2 F

g D4v , para o regime de Newton.3K

∆ρ φ=

ρ (IV.2.6)

13

Note a diferença de comportamento da velocidade terminal em função das variáveis presentes nas duas expressões. Por exemplo versus viscosidade, ou da densidade do fluido; e em função do diâmetro da partícula.

tv

Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partícula imersa num fluido. Qual das duas expressões deve ser usada? São conhecidos os seguintes valores: , em conseqüência o número de Reynolds não pode ser calculado, e, a priori não se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece. Há também que se considerar o regime intermediário para o qual não há uma fórmula explicita para a velocidade terminal. A solução por tentativa e erro, ou qualquer outro método numérico pode ser empregado. Por exemplo partindo da suposição de que o número de Reynolds é inferior a 0,2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq.(IV.2.5). Este valor permite que

p FD , , , , e φ ∆ρ ρ µ

p t FD vRe

ρ=

µseja calculado e se o resultado for menor que 0,2 fica validada a hipótese do

regime de Stokes e, por conseguinte o resultado obtido esta correto. No caso contrário é necessário recalcular a velocidade partindo agora do número de Reynolds, no seguinte esquema:

eq.II.1.10 eq.II.2.7

D t

Re C v Re⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→

↑ ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ↓Um método direto para o cálculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massarani

tendo por base o fato do número de Kármán ser independente da velocidade, i.e.:

3

F2 2D 2

g D4Ka C Re .3

ρ ∆ρ φ= =

µp (IV.2.7)

Os dados necessários á solução do problema do cálculo da velocidade terminal permitem o cálculo do número de Kármán. Por outro lado a multiplicação da expressão (IV.1.10) por Re2, e subseqüente inversão para o número de Reynolds conduz à expressão

( )

( )

21

1/ nn0,5 0,521 2D

K / 24 CdReRe , se 0,6 0,9 n 0,8,

K K1 C Re24

e se 0,8 1 n 2,7 1,75 .

= ≤ φ ≤⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⇒ =

≤ φ ≤ ⇒ = − φ

(IV.2.8)

Esta expressão permite a determinação da velocidade terminal diretamente em função dos dados do problema.

( )

( )

21

T 1/ nn0,5f p 0,521 2D

K / 24 CdRev

D K K1 C Re24

µ=

ρ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

, (IV.2.9)

IV.3 Diâmetro de Sedimentação O problema inverso ao do cálculo da velocidade terminal é o da determinação do tamanho

de partícula que sedimenta com determinada velocidade. Isto é dados calcular o tamanho da partícula que sedimenta com a velocidade . Novamente tanto C

t Fv , , , , e φ ∆ρ ρ µ

tv D quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do diâmetro, o que exige uma solução numérica por tentativas ou outro método numérico. Entretanto nota-se que a relação

não depende do diâmetro. DC /Re

14

D 2 3F t

2C /Re .v

∆ρµφ=

ρg (IV.3.1)

A divisão da eq. (IV.1.10) pelo número de Reynolds e solução da expressão resultante para o número de Reynolds dá

( ) ( )

1n n2 n

2p

f t 1 D D

K24Dv K C /Re C /Re

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡µ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢⎨ρ ⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

⎤ ⎪⎥ ⎬⎥⎦

(IV.3.2)

A síntese dos problemas, em regimes permanentes, relacionados ao movimento de partículas isométricas é: dadas as propriedades físicas p F, , ,ρ ρ µ e a esfericidade

1. dadas calcular . p tD ,e v → p t F II.1.10 II.1.4D

D vRe C

ρ= ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

µ

2. dadas . p t, e D calcular v→ eq.II.2.92D tC Re v⎯⎯⎯⎯→

3. dadas . t p, e v calcular D→ eq.II.3.2D pC /Re D⎯⎯⎯⎯→

O resumo destas correlações sobre a dinâmica de partículas isométricas é dado na seguinte tabela.

IV.4 Efeito de Parede A queda de partículas no interior de tubos, ou entre placas, ou ainda na proximidade de

uma ou mais paredes planas já foi suficientemente estudada. Alguns exemplos são dados: Entre duas placas paralelas às distancias l1 e l2.

pp

1 2

9D 1 13 D 132 h h

⎡ ⎤⎛ ⎞= − πµ + +⎢ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦vp.⎥ (IV.4.1)

No interior de tubos com diâmetro Dt.

pp

t

D3 D 1 2,1

D⎡ ⎤

= − πµ +⎢⎣ ⎦

vp.⎥ (IV.4.2)

A velocidade terminal é corrigida calculando-se a relação ( )t tv / v∞

=f entre a velocidade terminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito, supondo que

esta relação é uma função de p

t

DD

e do número de Reynolds.

(IV.4.3) ( ) ( )t t pv / v ,Re , D /D∞

= = λ λ =f f t

As seguintes expressões são encontradas na literatura:

Haberman e Sayre19583 5

5

1 2,105 2,0865 1,7068 0,726031 0,75857

− λ + λ − λ +=

− λf

6λ (IV.4.4)

Isaac Newton ( )( )0,521 1 0,5= − λ − λf 2 (IV.4.5)

Munroe (1889) (IV.4.6) 1,51- λf =

Di Felice (1996) 1 3,3, 01 0,33 0,85

α

,1Re∞

− λ − α⎛ ⎞= ⎜ ⎟− λ α −⎝ ⎠f = (IV.4.7)

Uma referência importante sobre este assunto é Chhabra, et al. Powder Technology 129 (2003) 53 – 58.

15

Variável a ser

estimada

Assíntota para Re<0,2 Desvio máximo s%

CD D 1 p tC 24 /K Re, Re D v /= = .ρ µ 12

( )tRe v ( )21 DK C Re

24

6

( )pRe D

( )

0,5

1 D

24K C /Re

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12

Assíntota para Re>3x103

Correlação n

K21nn

nD 2

1

24C KK Re

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

se 0,6 0,9 n 0,9≤ φ ≤ ⇒ =

se0,9 1, n 3,15 2,5≤ φ ≤ = − φ

0,52D

2

C ReK

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

21

1/ nn0,5 0,521 2D

K / 24 CdReRe

K K1 C Re24

=⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

se 0,6 0,8, n 1,3se 0,8 1, n 2,7 1,75

≤ φ ≤ =≤ φ ≤ = − φ

( )2

D

KC /Re

( ) ( )

1n n2 n

2

1 D D

K24ReK C /Re C /Re

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥

se 0,6 0,8, n 1,5se 0,8 1, n 3,62 2,65⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

≤ φ ≤ =≤ φ ≤ = − φ

( )1 2K 0,843log 15,4 , K 5,31 4,88 .φ = − φ Ref. Prof. Giulio Massarani: “Novas Correlações para a Dinâmica de Partículas

Isométricas”. Relatório n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984).

IV.5 Efeito da Concentração de Partículas A concentração volumétrica das partículas é a principal variável determinante do efeito de

população. Esta é definida pelo volume total das partículas sólidas numa determinada região do espaço V. É definida pela expressão

( ) ( )s sV = ε∫ x

V

V , t dV.

t dV.

(IV.4.8)

De modo análogo define-se a concentração volumétrica de fluido, também denominada de porosidade:

(IV.4.9) ( ) ( )fV ,= ε∫ xV

V

Se o espaço é integralmente ocupado pelas duas espécies, partículas sólidas e fluido,

então verifica se a relação: (IV.4.10) s 1.ε + ε =

16

Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinte relação entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de população e a velocidade terminal à diluição infinita.

(IV.4.11) (t t sv / v 1/ 1 2,5 .∞ = + ε )

ε

∞ ≤

≤

Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expressão: (IV.4.12) ( ) n

t tv / v f Re , ,∞ ∞= ε =

(IV.4.13) 0,03

0,1

n 4,65 para Re 0,2n 4,45Re para 0,2 Re 1,

n 4,45Re para 1 Re 500,n 2,39 para Re 500.

∞

−∞

−∞ ∞

∞

= ≤

= ≤

= ≤

= >

IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos O movimento de partículas no seio de um fluido não-Newtoniano é determinado pelas

equações apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade efetiva , definida pela relação entre a tensão de cisalhamento efµ

( ) xdv, onde taxa de cisalhamento.dy

τ = γ γ = =τ é a taxa de cisalhamento.

( )γτ é a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva:

( ) tef ef ef ef 2

p

v1/ , onde 9 ,D

− εµ = γ γ γ =

ε φτ (IV.5.1)

conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equações onde está presente a viscosidade do fluido, esta deve ser substituída pela viscosidade efetiva efµ dada pela eq.(IV.5.1).

Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta à lei da potência ( ) n 1−γ = κ γ γτ , a viscosidade

efetiva será dada por:

n 1

tef 2

p

v19D

−− ε

µ = κε φ

. (IV.5.2)

17

V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO Alguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a redução da emissão de

particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de água serão analisados agora. As principais finalidades são:

• Controle de poluição; • Segurança industrial, prevenção de acidentes, redução de risco à saúde: • Produção de ar, ou de outros gases de processo; • Coleta de produtos como Leite em pó; Café solúvel; Óxido de Zinco; Negro de fumo. Tamanho comum das partículas Sólidos na atmosfera –poeiras de 1 mµ a 200 mµ fumaças de 0,001 mµ a 1 mµ Líquidos na atmosfera neblina 0,01 mµ a 2 mµ nuvens 2 mµ a 50 mµ chuva 100 mµ a 5000 mµ Partículas típicas CO2 0,0005 mµ negro de fumo 0,01 mµ a 0,5 mµ pigmentos 0,1 mµ a 5 mµ vírus 0,005 mµ a 0,05 mµ bactérias 0,3 mµ a 20 mµ A análise tem por base a velocidade terminal estudada no capítulo anterior.

V.1 Câmara de Poeira A Câmara de poeira é simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir a

velocidade do fluido a um valor que permita a sedimentação das partículas. O fluido contendo partículas é admitido através da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa é L. A velocidade média do fluido é conhecida em função da vazão,

( )u Q / BH .= (V.1.1) Admite-se que as partículas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: xv u= , e

que caem por ação do campo gravitacional com velocidade yv vt= . Uma partícula admitida na posição h a partir da base da caixa será depositada no fundo da caixa se o seu tempo de queda for menor que seu tempo de residência.

(V.1.2) queda t resid.t h / v t L /= ≤ = u.

.

Vale dizer que serão integralmente coletadas todas as partículas com velocidade terminal maior que uH . /L

(V.1.3) tv uH/L 1≥ ⇒ η =Partículas menores serão recolhidas com eficiência menor, e partículas admitidas a uma

altura h < H , com tuhvL

= terão eficiência de coleta phD u h /H.L

⎡ ⎤⎛ ⎞η =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Considerando que

poeiras possuem pequeno diâmetro, é justificável supor que a queda se dê no regime de Stokes.

18

2p 1

t

gD K uh uH h uHv18 L L H L

∆ρ= = = =

µ.η (V.1.4)

Ou seja:

2p 1

p1

gD KL se 1,uH 18

18 uH/L1 se D .gK

⎧ ∆ρη ≤⎪

µ⎪η = ⎨µ⎪ >⎪ ∆ρ⎩

(V.1.5)

Diâmetro de corte é definido como aquele para o qual a eficiência de coleta é de 50%. Isto é:

para , (diâmetro de corte ou Dp pc0,5 D D Dη = = = 50 50). Fazendo na eq.(V.1.5)e resolvendo para o diâmetro obtêm-se:

0,5η =

pc1 1

9 uH/L 9 QD , onde u Q /BH.gK BL gK

µ µ= = =

∆ρ ∆ρ (V.1.6)

Tamanho da menor partícula coletada com 100% de eficiência:

pm pc1

18 uH/LDgK

µ= =

∆ρ2D . (V.1.7)

Com o auxílio da expressão para a eficiência, eq.(V.1.5) podemos escrever

2

pp pc p

pc

D1 , para D 2D , e 1, para D 2D .2 D

⎛ ⎞η = ≤ η = >⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠pc (V.1.8)

Esta expressão para a eficiência de coleta de uma câmara de poeira é, usualmente substituída por uma expressão, de base empírica, contínua e diferenciável com a forma:

( )

( )

2

p pc2

p pc

D /D.

1 D /Dη =

+ (V.1.9)

Exercício Dados: Vazão de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m3/s, contendo um corante, na

faixa com a seguinte distribuição cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%, X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazão mássica de corante é de10 kg/hr. Projetar uma câmara de poeira para recuperar 95% do corante.

( )3p 1500kg/mρ =

p5 m D 120 mµ ≤ ≤ µ

V.2 Projetos de Ciclones Industriai Configurações padronizadas de ciclones industriais para a remoção de particulados estão

disponíveis como resultados de uma compilação de resultados experimentais. A tabela abaixo lista alguns dos projetos padronizados. Estão grupados e 3 classes: alta eficiência, media eficiência, e multi- propósito. Todas as dimensões listadas estão normalizadas pelo diâmetro do corpo do ciclone.

19

Alta eficiência Mêdia eficiência

Multi-propósito

Símbolo Descrição Stairmand Swift Shephard & Lapple

Swift Peterson & Whitby

Dc, D Diâmetro do corpo 1 1 1 1 1 Hc, b Altura da admissão Ka=a/D 0,5 0,44 0,5 0,5 0583 Bc,a Comprimento da

saída =b/D 0,2 0,21 0,25 0,25 0,208

s Diâmetro da saída de gás

Ks=S/D 0,5 0,5 0,625 0,6 0,588

Lc Altura do corpo cilíndrico

KH=H/D 1,5 1,4 2 1,75 1,33

Hc Altura Total H 4 3,9 4 3,75 3,17 Bc Diâmetro da saída

do pó Kb=B/D 0,375 0,4 0,25 0,4 0,5

Eficiência de Coleta - Modelo de Lapple

O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposição de escoamento empistonado, sem mistura axial ou radial. Para o cálculo da eficiência calcula-se primeiramente o diâmetro de corte com base no seguinte argumento de transposição dos resultados da câmara de poeira:

H → Bc, B → Hc, L → , c cN Dπ

g → , ( )2F cv / D / 2

( )

0,50,5F c c c

pc 2c c c F c c F

9 v B H 9 B9 QD .BL g H N D v / D / 2 2 N v

⎛ ⎞⎛ ⎞ µ µµ= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ρ π ∆ρ π∆ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(V.2.1)

Nesta expressão Nc é o número efetivo de voltas que o fluido dá desde a admissão até o centro do ciclone.

( )( )

2

2

Dp /Dpc

1 Dp /Dpcη =

+ (V.2.2)

20

Nc é determinado experimentalmente e situa-se na faixa c5 N 10≤ ≤ , e para um ciclone

Lapple bem operado, quando então a re - suspensão de partícula e pouco significativa, e é um valor conservativo empregado com o propósito de dimensionamento. cN 5=

Perda de Carga Como o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficiência

depende da alta velocidade o aumento de eficiência é acompanhado por um aumento da queda de pressão, que se traduz em custo operacional.

A queda de pressão pode ser calculada por: 21

F F F F2p v 0,068 v ,∆ = βρ = ρ 2 (V.2.3) O valor apresentado é o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador é

, o custo de bombeamento é vP Q p= ∆ vC P $= , e $ o custo da energia elétrica. Fatores de Projeto. Note que a eficiência cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a

perda de carga é proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balanço entre: ganhos devidos ao aumento de eficiência, versus perdas com o consuma de energia. A velocidade recomendada situa-se na faixa F6 m/ s v 21m/ s≤ ≤ , sendo de 15 a velocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de diâmetro tem-se um campo

m / s

( ) ( )2 215 / 0,5 / 2 900 m/ s 90g s′≈ ∼ . Para o projeto são dados: Q a vazão de gás m3/s,

p F, ,ρ ρ µ propriedades físicas,

( )px D distribuição de tamanhos de partículas. Seqüência de cálculo

a) arbitrar , Fv 15 m/ s= 2c c cA B H D / 8= = , c

F

8Q 8QDv 15

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

o diâmetro do ciclone

e todas as demais dimensões do ciclone estão determinas.

b) cpc

c F

9 BD2 N v

µ=

π∆ρ, pode ser calculado, e também, a eficiência de coleta associada ao

tamanho das diferentes partículas. c) com estes resultados é possível calcular a eficiência média de coleta,

( ) ( ) ( ) ( )p,max p,max

p,minp,min

D D

p p pc p p,i p,i pc p,iDD

x D D /D dD x D D /D D .η = η ≈ η ∆∑∫ (V.2.4)

Se a distribuição de tamanhos das partículas segue a distribuição de Weibull a dois parâmetros, então a eficiência média pode se calculada pela expressão:

( ) pcpc

1,11n0,118 n D /D ,

1,81 0,332n D /D+ ′η =

′− + (V.2.5)

que só depende de Dpc, e dos dois parâmetros da distribuição n, e D´. d) cálculo da perda de carga 2 21

F F H F F2p v N 0,068∆ = ρ = ρ v

F

. e) os valores obtidos para a eficiência média e para a perda de carga permitem a

avaliação econômica do custo total e alteração do valor para a velocidade vF empregada. Aumento da velocidade traz como conseqüência o aumento da eficiência, e da perda de carga.

Observe a expressão que determina o diâmetro do ciclone, cD 8Q / v= . Grandes vazões

determinam grandes ciclones ( , e por conseqüência o campo centrifugo )cQ D↑⇒ ↑

21

(2F cv / D / 2) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso é recomendável a divisão da vazão total

por dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones Dc fica dividido por 2, e a eficiência de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga não é alterada.

Exercício Projetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gás

com cinzas de carvão , com eficiência superior a 90%. A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com:

3 3p F2300kg/m , 0,443kg/m , 0,035cpρ = ρ = µ =

( ) ( ){ }n

p pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.′ ′= − − = = (V.2.6)

IV.3 Hidrociclones Hidrociclones são empregados para uma grande faixa de aplicações dentre as quais cita-

se: a) clarificação de líquidos com baixa concentração de sólidos; b) concentração de lamas; c) classificação de sólidos; d) separação de líquidos imiscíveis.

Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fáceis de instalar, baixo custo de manutenção, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenos em relação a outros separadores. Em contrapartida são inflexíveis, e uma vez instalados apresentam forte dependência da eficiência nas variáveis de projeto, em especial na vazão de alimentação e na concentração de sólidos. Acresce os problemas de abrasão e a formação de incrustações.

Três tipos de hidrociclones disponíveis no mercado têm suas proporções listadas na tabela abaixo

Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc θ K Np A B C β

Rietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20o 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200 Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9o 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500

Di diâmetro do tubo de admissão. l altura da parte cilíndrica. θ ângulo do cone. Do diâmetro do tubo de saída. L altura total.

Há um grande número de configurações para arranjos de hidrociclones em paralelo. Diâmetro de corte Segundo Massarani o diâmetro de é dado pela seguinte expressão:

( ) ( )12

cp pc L s

DD /D K f R g ,Qµ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥∆ρ⎣ ⎦ε (V.3.1)

onde ( )LL

1f R1 AR

=+

, (V.3.2)

( )( ) ( )

12s 2

s s

1g4,8 1 3,8 1

ε =⎡ ⎤− ε − − ε⎣ ⎦

. (V.3.3)

A razão de líquido pode ser estimada pela seguinte relação: [ ]C

L u cR B D /D= . (V.3.4) Eficiência de coleta A expressão empregada para o cálculo da eficiência de coleta de partículas é puramente empírica e tem a forma:

( ) ( )( )

p pcp pc

p pc

exp 5D /D 1D /D

exp 5D /D 146

−′η =

+. (V.3.5)

22

Esta é uma eficiência reduzida ao efeito do campo centrífugo, da qual é subtraída o efeito do ansporte de sólidos carreados pela vaz

obrigatoriamente com uma vazão de fundo, dada por , e que esta vazão aporta sólidos, tr ão de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam

L

então o efeito centrífugo se dá apenas sobre a vazão QR

( )LQ 1 R− . De acordo com esta hipótese escreve-se para a eficiência média:

( ) ( ) ( )L p p pc p L0

1 R x D ,D ,n D ,D dD R∞

′ ′η = − η +∫ . (V.3.6)

O integrando desta equação, para a distribuição d

e Weibull pode ser estimado pelo seguinte sultado: re

( )0,118 n D /D ,+′ ′η = (V.3.7) pcpc

1,11n

1,81 0,322n D /D′− +

( )L L1 R R′η = − η + (V.3.8) queda de pressão é calculada por umA a expressão similar à empregada para ciclones,

2F F

1p2

∆ = β ρ v ,

onvêm ressaltar quaralelo, e de pe

ção do número de

Re 50x10y 3x10 Re x10

≤ ≤

≤ ≤

Exercício Projetar uma bateria de hidroc

para tratar 200 m3/hr de uma suspensão de um sal insoluvel em água , 1000kg/m , 1,5cpρ = ρ = µ = , com eficiência superior a 90%, e queda de

(V.3.9)

na qual β está listado na tabela acima. C e a questão levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclones em p queno diâmetro para boa eficiência é muito mais crítica. No seguinte endereço http://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71, são mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo, contidos no interior de um vaso de pressão. A especificação da velocidade do fluido nos hidrociclones é dada em funReynolds. Tem-se: 2

c cQ /N / 4D v= π , onde Q é a vazão total e N o número de ciclones em paralelo. Re D v /= ρ µ , e: c c F

3 3Rietema 5x10Bradle 20

(V.3.10) 3 3

iclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento,

3 3p F3500kg/m

pressão 5p 3x10 Pa∆ ≤ . A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com:

( ) ( ){ }n

p pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.= (V.3.11) ′ ′= − − =

VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMMinérios são distribuídos na crosta terrestre em diversas constituições, composições,

esta ecessitam de listadas a seg

Cominuição

ENTO DE MINÉRIOS

dos de agregação, etc. Raramente são comercializados no estado natural e num beneficiamento. Algumas das operações do tratamento de minérios são uir:

Amostragem Caracterização Mineralógica de Minérios

e Peneiração Classificação

Elutriaçao Separação em Meio Denso Separação Magnética e Eletrostática

23

Flotação Flotação em Coluna

tamento de Efluentes na Mineração

neficiamento: Princípios Básicos ecialistas no Processamento de Minérios

ção A cominui III, e agora trataremos a elutriação.

VI.1ada para separar

par manhos, ou para o beneficiamento de minérios em razão da dife es das partículas que compõe o minério. Usualmente todo minério compõe-se de um mineral com valor econômico em mistura com uma ganga imprestável que dev

rminais são menores que a velocidade da corrente de fluido são por este arra

partículas com

Floculação Separação Sólido-Líquido Briquetagem Processos para o TraReciclagem Simulação de Usinas de BeSistemas EspElaboração e Avaliação Econômica de Projetos de Minera

ção já foi tratada no capítulo

Elutriaçao A elutriação que aqui trataremos é uma operação que pode ser empreg

tículas por faixas de tarença entre as densidad

e ser descartada. A elutriação emprega uma corrente ascendente de um fluido que, preferencialmente, arrasta as partículas mais leves enquanto que as mais pesadas se sedimentam.

A velocidade terminal das diferentes partículas é a propriedade básica responsável pela separação e/ou beneficiamento. Uma corrente de partículas sólidas vai ter ao elutriador, onde há uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser água ou ar. Partículas cujas velocidades te

stadas, enquanto que todas as partículas cujas velocidades terminais superam a velocidade do fluido se sedimentam. Há portanto uma corrente de alimentação dos sólidos e duas correntes de saída, o produto de fundo, composto principalmente das partículas mais pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partículas mais leves.

Com o emprego das equações que permitem o cálculo da velocidade terminal, e do diâmetro de sedimentação, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) é possível calcular todos os parâmetros de desempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separar um conjunto de partículas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de

densidade ρp, e diâmetros na faixa m p MD D D≤ ≤ e deseja-se separar em um número de

frações com diâmetros intermediários ( ) ( ) ( )m 1 1 2 N MD ,D , D ,D D ,D… . Para tanto basta calcular as velocidades terminais correspondentes aos diâmetros D1 ... DN, e utilizar elutriadores com correstes de fluido correspondentes a es es. Para uma separação em batelada, um único elutriador é suficiente fazen ades correspondentes às velocidades terminais das partículas D

tas velocidaddo-o operar com velocid

.

stura de um mineral com valor econômico agr a ganga sem valor. A liberação das duas espécies se processa por moagem sufi diâmetros na faixa . O que

va correspon

aior que a velocidade

1, ...DNExercício Resolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto.

Os problemas relacionados ao beneficiamento de minérios são mais interessantes. Considere um minério composto de uma mi

egado a umcientemente fina, conduzindo a um produto com m p M

se deseja é obter a separação completa entre as duas espécies. Suporemos conhecidas suas densidades P L P L, e , onde .ρ ρ ρ > ρ A curva da velocidade terminal do material pesado, que denominaremos de minério, situa-se, para todo valor de D

D D D≤ ≤

p, acima da cur dente à ganga. Pode acontecer que não existam para, os dois materiais, partículas com idênticas velocidades terminais. Isto se dá quando a velocidade terminal da menor partícula do material pesado é m terminal da maior partícula da ganga. I.e. não existem partículas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se:

24

( ) ( )P Lt m t Mv D v D .> (VI.1.1)

Neste caso a separação completa entre as duas espécies pode ser realizada em um único elutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade

( ) ( )Lm t Mv D .⎤+ ⎦ (VI.1.2) P

tu Q / A v D⎡= = ⎣

funda e e sai na orrente de fundo.

os mais complexos ocorrem quand

ta situação é ompleta pode ser obtida

12

Esta velocidade é maior que a de todas as partículas da ganga, e menor que a de todas as partículas do minério. Toda ganga é arrastada para o topo, e todo minério acCas o existem partículas equitombantes. Neste caso inverte-se a desigualdade (VI.1.1), i.e.: ( ) ( )P L

t m t Mv D v D .< (VI.1.3) Não existe uma velocidade do fluido que determine a separação completa dos dois materiais. Ou produto de fundo ou o produto de fundo, um dos dois conterá uma mistura de minério e ganga. Es tratada na fre igura abaixo na qual se verifica que a separação c com a passagem por uma única peneira.

Velocidade Terminal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Dp (m)

vt(c

m/s

)

levepesado

Exercício Determine a melhor dimensão de malha de peneira capaz de produzir duas correntes de partículas inteiramente separáveis por elutriação.

eneficiamento de minérios. É um processo par m mineral de valor econômico contido num minério. O minério bruto é m sturado com água, agentes espumantes, e coletores. Quando ar é bombeado através da mistura, as partículas do mineral se aderem às bolhas de ar, e sobem par

VI.2 Flotação A flotação é hoje o processo dominante de ba a concentração de uoído a um pó fino, mi

a a superfície formando uma camada de espuma. A ganga sedimenta no fundo do equipamento. A espuma é retirada, e o mineral é separado da água e os agentes químicos adicionados são removidos restando um concentrado do mineral limpo.

25

Um bom texto sobre o processo da flotação, incluindo alguns aspectos de sua físico-química está disponível em:

http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf

alcopirita (CuFeS ), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS)

Age odem ser tados incluindo, certos álcoois alifáticos com de 5 a 8 áto ois cíclicos, óleo e eucalipto polipropileno, e polietileno glic lecular.

o:

Alg rocessos estão colecionados na tabela.

Exemplos de minérios beneficiados por flotação são listados a seguir: Sulfetos complexos: c 2 Minerios de cobre Cobre e molibdênio Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e níquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvão mineral

ntes espumante p cimos de carbono, álco de pinho, e dois de baixo peso mo

Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados são diferentes misturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato. São três as tecnologias de flotaçã

1. flotação mecânica; 2. flotação por ar dissolvido; 3. auxiliada. uns dados sobre estes p

Processo de Fluxo de ar Flotação m água -3

TaNl.

manho de bolhas

Consumo de energia por m3 (Wh/m-3)

Tempo de retenção (min )

Flotação A ruxiliada (poadiç )

5-15 100-400 2-5 mm 5-10

ão de óleoFlotação Mecanica (porespuma)

10.000 0.2-2 mm 6 0-120 4-16

Ar Dissolvido(clarificação)

15-50 40-70 µm 40-80 20-40 indo a floculação)

(exclu

Cinética daA recup

floeração do mineral desejado em uma flotação em batel m função do

mpo por uma expressão do tipo:

tação ada é dada e

te( )max b .+⎣ ⎦ (VI.2.1)

onde R(R R 1 exp k t⎡= − − )⎤

ação possível, e k é uma constante de tempo de primeira ordem, e onde b um deslocamendo fluxo de área superficial das b

max é a máxima recuperto da origem de t. A constante k é linearmente dependente

olhas, S , S 6J /Db b g b= , e J é o fluxo de gás e D o diâmetro g b

médio das bolhas. A relação é usualmente expressa como bk S , onde é =℘ ℘ um “fator de flotabilidade”, que inclui diferentes efeitos c fobicidade, tamanho de bolha, etc. A referência:

“Estimation of flotation kinetic parameters by consider e operating variables”, Çilek, E.C., Minerals Engineering 17 (2004) 81–85”, contem algumas expressões para os parâmetro

om a hidro

ing interactions of th

s presentes nestas equações.

arranjados em serie e paralelo. Uma boa refe

O dimensionamento de um sistema de flotação contínuo depende da determinação experimental dos valores destes parâmetros, e baseia-se no tempo de residência, da suspensão que se divide em tanques de flotação

rencia sobre este assunto encontra-se em “Flotation scale up: use of separability curves q”.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347–352.

Para um arranjo de N flotadores, idênticos, de mistura perfeita, em série, com um tempo total de residência F TOTALNV / Qτ = .

26

( )

1 Nk1 1

−⎧ ⎫

max

1N

R R k N 1N

⎡ ⎤− + ⎬⎜ ⎟

τ⎪ ⎪⎛ ⎞− ⎨⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭=τ

−. (VI.2.2)

Células de flotação Uma geometria de célula de flotação em batelada está representada na figura abaixo.

Tra com um agitador, por cuja haste o ar necessário é admitido. O agit

ta-se de um tanque ador garante, simultaneamente a manutenção do sólido em suspensão e a dispersão do

ar em pequenas bolhas. Na superfície da suspensão forma-se a camada de espuma, contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da célula. A ganga hidrofílica se acumula no fundo da célula, e é descartada ao final do processamento.

Células para a operação contínua são semelhantes às mostrada acima tendo, no entanto,

um sistema para a admissão da suspensão e outro para a retirada do rejeito, continuamente. Flo

tação em Colunas O desenho esquemático de uma coluna de flotação contínua está representado no desenho

de flotação são eficientes e estão sendo empregadas para efetuarque segue. As colunasbeneficiamentos difíceis. A remoção de enxofre de finos de carvão é um exemplo.

27

VI.3 Jigagem A jigagem é uma das mais antigas técnicas de beneficiamento de minérios, por gravidade. Nela a mistura minério e ganga, suspensa em água é conduzida a um equipamento onde é imposta uma pulsação à mistura por intermédio de um movimento alternativo, com uma freqüência relativamente alta. Nestas circunstâncias a aceleração e deceleração tornam-se os termos dominantes da equação do movimento da partícula, e responsáveis pela separação. A jigagem é uma operação simples e barata, mas de eficiência relativamente baixa.

VII SISTEMAS PARTICULADOS

VII.1 Balanços de massa Este novo capítulo começa a tratar de sistemas de misturas sólido – fluidos intimamente

dispersos em uma região do espaço. As duas fases são vistas como uma mistura, e para cada ponto da região ocupada pelas duas fases, e a cada instante, é possível estabelecer:

εs a concentração volumétrica de sólido, ( ) ( ) ss s s

R

VV R ,t dV, ;V

∂= ε ε =

∂∫ x (VII.1.1)

εf a concentração volumétrica de fluido, ( ) ( ) ff f f

R

dVV R ,t dV, ;dV

= ε ε =∫ x (VII.1.2)

Como não há um terceiro componente nesta mistura, então cada parte da região parte da região R, é ocupada ou pelo sólido ou pelo fluido, e portanto: (VII.1.3) s f 1.ε + ε =εf é comumente denominado de “porosidade”, ε, e s 1ε = − ε .

ρf densidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total,

ρs densidade parcial do sólido, massa de sólido por volume total,;

(VII.1.4) ( )s sR

m R dV,= ρ∫

28

( )f fm R dV,= ρ∫ R

(VII.1.5)

ρS densidade material do sólido, massa de sólido por volume de sólido

( ) sdVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ s S s S S s s S sR R RdV

(VII.1.6)

ρF densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido

( ) fdVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ f F f F F f f F fR R RdV

(VII.1.7)

vs campo de velocidade do sólido;

belecimento dos balanços de massas para cada uma das

vf campo de velocidade do fluido. Estas definições permitem o esta duas fases. Em palavras estas são descritas por: “a taxa de variação da massa de uma

das fases contida no interior da região A, é igual ao balanço do que entra menos o que sai através da superfície de A, acrescida da taxa de produção desta fase”.

{ }

a a a aR R R

dV dA r dV.∂ρ = − ρ ⋅ +∫ ∫ ∫v n

t

variação entrada menosgeração

da massa saida

∂∂

⎧ ⎫⎧ ⎫⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

(VII.1.8)

A aplicação do teorema da divergência permite transformar a integral de superfície em integral de volume, e disto resulta:

( )a div r dV 0.⎡ ⎤∂ρ+ ρ − =∫ v a a a

R t⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (VII.1.9)

A integral é nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, por conseqüência seu integrando deve anular-se. Daí resultam as equações da continuidade para cada uma das fases da mistura,

( )a div r .∂ρ+ ρ =v a a at∂

(VII.1.10)

Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de sólidos particulados e para o fluido,

( ) ( )s S ss s s S s s sdiv r div r ,

t t∂ρ ∂ρ ε

+ ρ = ⇔ + ρ ε =∂ ∂

v v (VII.1.11)

( ) ( )f F ff f f F f f fdiv r div r .

t t∂ρ ∂ρ ε

+ ρ = ⇔ + ρ ε =∂ ∂

v v (VII.1.12)

As duas formas de cada um dos balanços para equ

as massas de sólidos e de fluidos são ivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, válidas para os casos em que as

densidades materiais são constantes, i.e.: para um sólido incompressível

( )s div r / ,∂ε+ ε = ρv s s s St∂

(VII.1.13)

para um fluido incompressível

( )f div r / .∂ε+ ε = ρv f f f Ft∂

(VII.1.14)

A densidade total, e asom

ε + ρ ε ρ = ρ ε + ρ εv v v (VII.1.15)

velocidade do centro de massa da mistura são definidos pelas as, ρ = ρS s F f S s s F f f, ,

29

e a soma das duas equações de balanços de massas nos dá:

( ) s fdiv 0 r r 0.∂tρ

+ ρ = ⇔ + =v ∂

(VII.1.16)

ão da continuidade para a

A velocidade vf, é denominada de do f

f ,q v (VII.1.18)

e qf é a velocidade superficial. Uma velocidade

Interpretações asóli

dA dA.∫ ∫v n q n (VII.1.20)

No caso em que o fluxo seja uniform (VII.1.21)

Expressões para o divergent

A equaç mistura é válida se e apenas quando a soma das gerações é nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde a outra ganha, vale dizer que a mudança de fase se dá sem alteração da massa.

Se a concentração volumétrica de sólidos é constante, vale dizer que o sólido particulado tem porosidade constante, tanto em relação ao tempo, quanto em relação ao espaço, então:

( ) ( )s s s f f fdiv r / , e div r / .= ρ = ρv v (VII.1.17) velocidade intersticial, visto que descreve o movimento

luido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seção do escoamento. A vazão de fluido através desta seção é dada por:

f f f fQ dA dA, onde= ε ⋅ = ⋅ = ε∫ ∫v n q n f fA A

calculada como se o fluido ocupasse toda a seção do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade é constante temos:

f f fQ A A.= ε =v q (VII.1.19) nálogas aplicam-se à fase sólida. Define-se a vazão volumétrica de

dos

sQ = − ε ⋅ = − ⋅s s sA A

e em todos os pontos de A, tem-se: ( )s s s s sQ A 1 A A.= ε = − ε =v v q

e 1. Coordenadas cartesianas ( )x,y,z

yx zqq qdiv ,

∂∂ ∂= + +q (VII.1.22)

x y z∂ ∂ ∂2. Coordenadas cilíndricas ( ) ( )r, z base , , q q qθ = + +e e e q e e e r z r r z zθ θ θ

x r cos , y rsen , z z.= θ = θ =

r zqrq qdivr z

θ∂∂ ∂= + +

∂ ∂θ ∂1qr

(VII.1.23)

3. Coordenadas esféricas ( ) ( )r, , base , , q q qr r rθ φ θ θ φ φθ φ = + +e e e q e e e z r cosx rsen cos , y rsen sen= φ θ = φ θ = φ

( )2

r sen qr q 1 1 qdiv .

r rsen rsenφθ∂ θ∂

= + +1q

∂

∂ θ ∂θ θ ∂φ2r (VII.1.24)

Outras expressões para o divergente de um campo vet

VII.2 Balanços de Momento pelas equações de balanço de momento, que

repr

orial para

O movimento das fases é determinado esentam expressões para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume,

vezes a aceleração, de cada fase é igual à soma das forças que sobre cada fase atuam. As acelerações são compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleração local, e outra de aceleração convectiva.

30

( )

{ } {

aa agrad

t local convectiva .

∂= +

∂

+

va v

}

av (VII.2.1)

Esta expressão é válida para as duas fases. As forças que atuam sobre estas são divididas em:

1. forças de tensão sobre a superfície de cada região (VII.2.2) aR

dA;∂∫ T n

2. forças de interação entre as fases aR

dV;∫ l (VII.2.3)

3. forças de campo externo . (VII.2.4) aR

dVρ∫ g

Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase (VII.2.5) ( )a a a a a

R R R

dV dA dV.∂

ρ = + + ρ∫ ∫ ∫a T n l g

Novamente a equação de balanço apresenta duas integrais de volume e uma integral de superfície. A aplicação do teorema da divergência transforma a integral de superfície em integral de volume, e obtêm-se: [ ]a a a a a

R

div dV .ρ − − − ρ =∫ a T l g 0

g

(VII.2.6)

A integral deve anular-se independentemente da região de integração, isto é, independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o próprio integrando seja nulo em todos os pontos da região, e para todo instante,

a a a a adiv .ρ = + + ρa T l (VII.2.7) Estas são as equações do movimento das fases. Elas se assemelham às equações para movimento de um fluido puro em escoamento monofásico,

( )grad div .t

⎡ ⎤∂ρ = ρ + = + ρ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

va v v T g (VII.2.8)

O termo da esquerda, correspondente à aceleração de cada fase é perfeitamente análogo, e à direita da equação há a divergência da tensão e o termo de força de campo externo. Acrescentou-se apenas um termo de interação entre as duas fases, que pode ser descrito como a força que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema sólido-fluido, ls é a força que o fluido faz sobre o sólido particulado, e lf a força que o sólido faz sobre o fluido. A terceira lei de Newton conduz à reciprocidade destas duas forças, que se expressa por:

s f .+ =l l 0 (VII.2.9) Com o auxílio das expressões para as acelerações provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se:

( ) Eff f f f f s f f fgrad gradp div , p ,

t⎡ ⎤∂

ρ + = − + − + ρ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

v v v T l g T 1 TEf (VII.2.10)

( ) Ess s s s s s s s sgrad gradp div , p .

t⎡ ⎤∂

ρ + = − + + + ρ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

v v v T l g T 1 TEs

Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano através de um meio poroso rígido com porosidade constante, e estacionário. O escoamento é permanente, e a aceleração do fluido é nula, ou ao menos desprezível. A equação do movimento do fluido se simplifica para

(VII.2.11)

Estas são equações gerais capazes de descrever o movimento simultâneo das duas fases nas mais diversas situações. Um caso particular, mas de grande importância será estudado a seguir.

VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos

31

f s Fgradp ,= − − + ρ ε0 l g (VII.3.1)

( )s s Sgradp 1 .= − + + ρ − ε0 l g (VII.3.2) lf representa a ação do fluparcelas, a primeira delas é forma oposta à gravidade e prop

de dinâmrelativa entre as fases é nula, m

)1 .− ε g (VII.3.5) A equação (VII.3.4), parapiezométrica,

ido sobre os sólidos particulados. Esta pode ser dividida em duas uma ação de empuxo, estática, que segundo Arquimedes tem a

orcional ao peso do volume de fluido deslocado, ( )s s F F1 .= −ε ρ − = − − ε ρ −l g m g m (VII.3.3)

a segunda, m, é a força dinâmica devida à velocidade relativa entre as duas fases. Estamos qualificando esta força ica por que se anula se e apenas quando a velocidade

⇔ =0 v 0 . A substituição desta expressão nas duas f

equações simplificadas dá: f Fgradp ,= − − + ρ0 m g (VII.3.4)

( )(s Sgradp= − + + ρ − ρ0 m

=

F

o movimento do fluido pode ser escrita em termos da pressão

f f Fp gH, onde g ,℘ = − ρ = g

o fluido fica:

marcda a

A força dinâmica m foi estu

(VII.3.6) que acrescenta a carga de altura de fluido à pressão estática. Com esta definição a equação do movimento d

f

Deve ficar claro que a “causa” do movimento é o gradiente da pressão piezométrica, pois grad 0℘ = ⇔ = ⇔ =m 0 v

grad .− ℘ = m (VII.3.7)

f f .0 Manômetros contendo o fluido que satura o meio poroso, ilíbrio, valores idênticos para a pressão piezométrica, independentemente arão, no equ

ltura da tomada de pressão. dada primeiramente por Darcy, que propôs a linear da força a

velocidade do fluido. Propôs ainda a dependência na viscosidade do fluido, chegando a seguinte relação:

f f .k kµε µ

= =m v q (VII.3.8)

Nela k é a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimensões de L2, portanto de natureza geométricamovimento do fluido

. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equação do obtêm-se a equação de Darcy,

f fk grad .= − ℘µ

q (VII.3.9)

Esta equação foi durante um longo tempo interpretada como uma equação constitutiva, à semelhança com as leis: de Fourier ( )kgrad= − θq que determina o fluxo térmico proporcional

ao gradiente da temperatura; a lei de Fick ( )gradc= −j D que determina o fluxo de um componente químico em solução pro gradiente de sua concentração; e diversas outras “leis” lineares entre fluxos e forç micas. Acresce que sua substituição na eq.(VII.1.14) escrita para o regime permanen nula dá como resultado uma equação idêntica à da condução de calor.

porcional ao as termodinâ

te e geração

( ) 2f f f

kdiv div grad 0 0.= − ℘ = ⇒ ∆ ℘ =µ

q (VII.3.10)

Note que a formulação desta equação só depende da equação de balanço de massa do fluido e da equação de Darcy. Nela se obcondições de regime permanente, e geraçãentr

serva a analogia com a condução de calor nas o nula. Existem duas diferenças fundamentais

e a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferença entre as equações que regem o transiente.

32

2f

k 0;t

∂ε− ∆ ℘ =

∂ µ

2 0.t

∂θ− α∆ θ =

∂

(VII.3.11)

Na primeira destas o balanço de massa envolve duas variáveis ( )f,ε ℘ , enquanto que no operaalque

balanço de energia a temperatura é a variável presente nos dois dores. A segunda diferença, talvez mais fundamental, reside no fato de que em qu r escoamento, seja através de meios porosos ou não, há massa em movimento. Massa possui inércia e as equações de balanço de momento devem ser satisfeitas. Nos casos onde as acelerações não se anulam obtêm-se o seguinte resultado:

( )fF f f fgrad grad .

t k⎡ ⎤∂ µ

ρ ε + = − ℘ − ε⎢ ⎥∂⎣ ⎦

v v v v (VII.3.12) f

Se as duas fases estão em movimentovelocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases u ,

, então na lei de Darcy deve-se substituir a f f s→ − =v v v

( )f s .k kµε µε

= − =m v v u (VII.3.13)

VII.4 Permeabilidade característico do meio poroso. É uma propriedade do

arranjo e distribuição de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar. Sua dimensão é de

or de um tubo o transversal arbitrária, e a correspondente queda de pressão no meio por

Permeabilidade é um parâmetro

quadrado de comprimento, razão pela qual diz-se que seja de natureza geométrica. Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. O meio poroso é inserido num tubo, bem ajustado de modo a não permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meio poroso. Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida é bombeado a diferentes valores de vazão e a queda de pressão piezométrica é medida. A eq.(VII.3.9) permite o cálculo da permeabilidade. Não há substituto para o dado de laboratório, obtido cuidadosamente. Uma estimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermédio de um modelo capilar.

Modelo Capilar Admite-se a equivalência entre a queda de pressão no regime laminar no interi capilar de seçã

oso em regime darciano. Escoamento no capilar. analogia com Escoamento no meio poroso

2hv Rf

x R /=

∂ β

h

v∂℘ µ− f f k

x k∂℘ µε ε

− = ⇒ =∂ β

β = constante carav = velocidade média β = 2 para seção circular

as paralelas efinid seção transversal do tubo para o

o luido-

cterística do capilar

Rh= raio hidráulico β = 3 para placO raio hidráulico é d o pela relação da área daperímetro de contat f sólido.

hárea da seção livreR

perímetro de contacto= h

volume vazioR = área de contacto

A justificativa para a interpretaçã io hidráulico do meio poroso é obtida por “multiplicação” pelo comprime

o que é dada para o ranto. Daí resulta:

( )hS m

R .1 S

ε=

− ε ρ (VII.4.1)

Nesta última relação Sm é a superfície específica do meio poroso, dada por ( )m S pS 6 / D= ρ φ . É fácil passar deste ponto à “Equação de Kozeny-Kármán”,

33

( )( )

23

p2

Dk .

36 1

φ ε=

β − ε (VII.4.2)

A comparação de suassituando-se na faixa ≤

previsões com dados experimentais dá como resultado o valor de β 54 β ≤ , o que dá para o denominador da equação 144 36 180≤ β ≤ .

No caso de haver uma distribuição de tamanhos das partículas deve-se empregar um diâmetro médio, e há es de que o diâmetro médio de Sauter é o m aindicaçõ ais propriado.

( )p 1p

D .dX D

=

∫ (VII.4.3) 1

p0 DForma quadrática de Forscheimer

Agora faz-se a analogia com a força por unidade de volume sobre partículas isoladas com o que ocorre nos meios porosos.

Partículas Meio Poroso

2pDuRegime de Stokes m ,µ∼ fRegime de Darcy m q .

k=

Desta comparação resulta que

µ

p ∼D k . 2

p

u ,D

FRegime de Newton m ρ∼2f

Fqm .k

ρ∼

Desta analogia resulta a forma para a força a para o escoamento de fluidos newtonianos em meios poros os, a “forma uadrática de Forscheimer”.

completa resistivos isotrópic q

F ff f f f

qc , onde q .k k

ρµ= + =m q q q (VII.4.4)

A constante c, de proporcionalidade, vem de trabalhos experimentais; as formas mais comumente citadas são as propostas por Ergun,

32

0,14c .=ε

(VII.4.5)

e por Ma i, ssaran

( ) ( )0,980,37 0,01 60,13 k /k 0,1 k / k , onde k 103

20 0 0c 1/ −⎡ ⎤+ = , (VII.4.6) = ε

0,75, e para 10 k 10 cm.− −ε ≤ ≤ ≤ Expressões equivalentes são encontradas na literatura dentre a

⎣ ⎦válida para 0,15 ≤ 9 3

s quais estão

[ ]

F ffk µ⎢ ⎥⎣ ⎦

f

c kq

1 Re ,k

⎤ρ+ ⎥

µ= +

q

m q

(VII.4.7)

Nesta última empregou-se a seguinte definição para o número de Reynolds

1 ,⎡µ

= ⎢m

F fc kqRe ρ=

µ,

que tem por dimensão linear característica k . Uma forma simplificada para a resulta com a substituição de (VII.4.2), e de (VII.4.5) na equação (VII.4.7), obtid e

4,2

eq.(VII.4.7) a utilizando-s

β =

( )( )

( )( )

2F1 1

150 1,75 ,⎡ ⎤

f f2 33pp

DD

− ε⎢ ⎥ε φε φ⎣ ⎦

m q

Esta sendo a equação de Ergun.

µ − ε ρ⎢ ⎥= + q (VII.4.8)

34

VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos A determinação da força resistiva para o escoamento de fluidos não-newtonianos tem por

e um valor de viscosidade baseada na curva material da tensão de cisalhamento observada no escoamento viscométrico deste fluido. Um Carreau, que sati

base o emprego na eq.(VII.4.4) d

modelo bastante amplo e de grande aplicação prática é o modelo desfaz à seguinte equação:

( ) ( ){ }n 1

2 20 1 T ,∞ ∞

−

⎡ ⎤

altas taxas de

µ = µ + µ − µ + α γ⎣ ⎦ (VII.5.1)

onde 0, e ∞µ µ são dois valores assintóticos, respectivamente para baixas, e

distensão xvy

∂γ =

∂. α(T) uma ( ) 0

0T⎛ ⎞ função da temperatura com a forma T expT

α = α ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para

baixo res da taxa de distensão a va

da taxa

iscosidade tende a µ0, e para os altos valores tende a s valo∞µ . A forma d curva dá a característica de aumento ou da diminuição da viscosidade em

função de distensão. O expoente n é análogo ao expoente da lei da potência n 1−

µ = κ γ .

meios porosos é proposta a validade da equação (VII.4.7), substituindo a viscosidade pela cosidade efetiva expressa em função da taxa de distensão efetiva no escoamento do fluido

no meio poroso. (

Do ponto de vista da equação constitutiva para a força dinâmica nos escoamentos em

vis

) . (VII.5.2) Dad

ef efµ = µ γos experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relação:

( )12

fef

1,2 ,k

γ =ε

q

t (VII.5.3)

onde t é a tor

ade de 0,45 pode-se estimar a t

tuosidade do meio poroso definida pela relação entre o comprimento do do e o comprimento do meio. Note que O valor frequentemente adotado para percurso do flui

a tortuosidade é de 2,5=t . Com este valor para a tortuosidade, e uma porosidaxa de distensão em:

ef f / kγ ≈ q . (VII.5.4) tSe a ortuosidade e porosidade são conhecidas então a equação (VII.5.3) deve ser

empregada. A expressão final para a viscosidade efetiva tem a forma

( ) ( )( )

12

, .k

n 12 2

1,21 T fef 0

−

∞ ∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢µ = µ + µ − µ + α ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ε⎪ ⎪⎣ ⎦t

(VII.5.5) q

⎩ ⎭Ela deve ser empregada no lugar de µ na eq. (VII.4.4).

VII.6 Aplicações Escoamentos em meios porosos rígidos

ade ε independente da posição e do tempo. Alem disso consideramos a aceleração do fluido desprezível, e que a lei de Darcy é apli

Consideramos um meio poroso rígido, com porosid

cável.

f fk

= − grad .℘µ

O balanço de massa expresso,por (VII.1.12) reduz-se a:

q (VII.6.1)

35

fdiv 0.=q (VII.6.2) A equação de Kozeny-Kármán demonstra que para este caso a permeabilidade é constante, e se o escoamento é isotérmico podemos escrever, eliminando qf entre as duas últimas equações

div grad 0 0.℘ = (VII.6.3) Est olução equação diferencial mais estudada. O l

livro clássico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada uma das mais importantes matemátic

tá contido no interior de um tubo com ine a curva de vazão versus queda de 0-5cm2. dades constantes tem-se:

ação de carvão. No início da 2ª.g cessos de transformação de querosene e óleos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviação. O pro to com catalisador de alumina operava intermitentemente pois a d

( ) 2⇒ ∆ ℘ =f f

a expressão determina que pressão piezométrica seja saplaciano da pressão piezométrica sendo nulo, esta variável é harmônica o que

determina a existência, unicidade, e estabilidade das soluções de um grande número de problemas de importância prática. Toda a hidráulica subterrânea tem por base soluções desta equação. O

as da União Soviética, dedica-se quase que exclusivamente a soluções desta equação. Problema 1. Considere uma barragem que retêm água, a montante, a uma altura H e a jusante à altura h. Sabendo sua permeabilidade (k), de as condições de contorno para o problema do escoamento da água através da barragem, e esboce a forma da superfície.

Problema 2. Um meio poroso, de comprimento L, esdiâmetro D. Conhecida a sua permeabilidade k determpressão piezométrica. Dados: L= 0,5 m, D=5cm, k=3,21

No escoamento através de um leito fixo com proprie

VIII FLUIDIZAÇÃO A fluidização foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificação do

carvão visando a produção de gás de síntese para a síntese de combustíveis líquidos. O gaseificador Winkler foi o primeiro destes sistemas de gaseific

uerra, em 1940, engenheiros americanos foram instados a desenvolver pro

cesso Houdry de craquemeneposição de coque obrigava a regeneração do catalisador. A Esso Research e a Kellog

Co. com a participação dos professores Lewis e Gilliland desenvolveram o Fluid Catalitic Cracking, FCC. Na refinaria de Baton Rouge, da ESSO foi instalado o processo, inicialmente com a capacidade de 13.000 barris/dia passando depois para 100.000 barris/dia.

O craqueamento de frações de petróleo, e inúmeras outras reações catalisadas por sólidos, com freqüência operam em reatores de leito fluidizado. Alem do craqueamento, a condução de reações químicas industriais em reatores de leito fluidizado é bastante comum. Um importante exemplo é o da produção de óxido de eteno pela reação de oxidação com oxigênio. Nesta reação ocorrem reações paralelas e consecutivas levando a uma mistura de

36

produtos até CO2, e H2O, indesejáveis. O mais estrito controle da temperatura é de importância para a maximização da conversão ao óxido de eteno.

VIII.1 Teoria da Fluidização Vamos observar o que se passa quando um fluido atravessa, de baixo para cima um leito

poroso de partículas sólidas assentes sobre um distribuidor poroso fixo. Sem escoamento o leito exerce sobre o distribuidor o peso do sólido menos o empuxo.

( ) ( )fpeso menos empuxo AL 1 g L 1 g= − ε ∆ρ ⇔ −∆℘ = − ε ∆ρ . (VIII.1.1) e ao longo do leito a queda da pressão

piezPara valores da velocidade do fluido ocorrométrica

2f F f

f fqgrad q c .

L k k−∆℘ ρµ

− ℘ = = + (VIII.1.2)

A queda de pressão ao longo do leito cresce com a velocidade superficial do fluido. Há, portanto uma força para cima aplicada às partículas do sólido, qu , p essesfo

o leito. Este ponto é denominado de velocidade mínima de fluidização qmf. Uma curva típica de fluidização tem o

e reduz rogr ivamente o rço sobre o distribuidor. Aumentando-se a velocidade do fluido chega-se a um ponto de

equilíbrio, para o qual todas as partículas do leito estão em equilíbrio. peso – empuxo = atrito do fluido sobre

seguinte aspecto:

No trecho AB ocorre o aumento progressivo da queda de pressão no leito fixo. Para baixos valores do número de Reynolds a queda de pressão varia linearmente, de acordo com a equação de Darcy, como demonstrada pela inclinação igual a 1 no gráfico logxlog. Esta inclinação passa a aumentar à medida que Re aumenta, e aproxima-se de 2, devido ao termo

37

quadrático da equação de Forscheimer. Em todo este trecho é válida a eq.(VIII.1.2). No trecho BC inicia-se a expansão do leito poroso, com o conseqüente aumento de sua porosidade. De C para D ocorre a fluidização do leito havendo o equilíbrio entre atrito e peso aparente do leito. A eliminação da queda de pressão entre (VIII.1.1), e (VIII.1.2) conduz a:

( )2

F ff

qq c 1 gk k

ρµ+ = − ε ∆ .ρ (VIII.1.3)

Esta equação de equilíbrio é satisfeita ao longo de todo o trecho DE, onde se observa a fluidização do leito. Os dois parâmetros do leito, k, e c, dependem da porosidade, e daí resulta que a eq.(VIII.1.3) expressa uma relação, não-linear, entre qf e ε. Para cada valor de qf , desde qmf até o valor da velocidade correspondente ao ponto E, resulta de sua resolução um valor correspondente para a porosidade. A equação de Ergun é particularmente útil:

( )( )

( )( ) ( )

2F 2

f f2 33pp

1 1150 q 1,75 q 1 g,

DD

− ε µ − ε ρ+ = −

ε φε φε ∆ρ (VIII.1.4)

No caso de escoamento lento, em que a equação de Darcy é válida obtêm-se a expressão para a velocidade superficial do fluido

( )( )

( )( )

2 23 3p p mf

f mfmf

g D g Dq , q .

150 1 150 1φ ε ∆ρ φ ε

= =∆ρ

− ε µ − ε µ (VIII.1.5)

Existem diversas correlações empíricas para qmf, independentes da porosidade mínima de fluidização. No caso geral há que ser resolvida a equação do 2º.grau (VIII.1.4). Por outro lado, desde que a perda de partículas de sólido seja desprezível tem-se:

Volume de sólidos/A ( ) ( ) ( )0 0 mf mfL 1 L 1 L 1 .= − ε = − ε = − ε (VIII.1.6) Conhecido o volume de sólidos a área da seção transversal do vaso

leito , podem alcular a sua porosidade inicial, e para cada valor d, e a altura inicial do

L0 os c e qf, corresponde um valor de porosidade que satisua expansão L/L .

sfaz a eq.(VIII.1.3). Decorre desta a altura do leito fluidizado e 0

VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás Geldart, D. em seu artigo de [Powder Technology 7, 285-292 (1973)] estabeleceu um

critério d ção do com de particulados na fluidização a gás, basee classifica portamento ado nos parâmetros:

( )1

1S sauter

p0 DdX, e Dp ,−

ρ = ∫ o diâmetro médio de Sauter. (VIII.2.1)

3S sauter1,4g/ cm , e Dp 40 m,ρ ≤ ≤ Grupo A; correspondente a partículas pequenas com µ

para as quais o leito se expande homogeneamcirculação do sólido acompanhado de rápida mque a v

ente até o início do borbulhamento. Há grande istura. As bolhas sobem com velocidade maior

elocidade superficial do fluido qf. Bolhas de diâmetros menores que 4cm sobem com velocidade vB de 30 a 40 cm/s. Grupo B rrespondente a partículas com diâmetros 40 m 500 m,µ ≤ µ; co e densidades entre

f . A exp na. Gru

3f mq q∼S1,4 4g/ cm .≤ ρ ≤ Para estas as bolhas aparecem desde o inicio da fluidização

ansão do leito é pequepo C; pós coesivos, (há coesão entre as partículas). A fluidização normal é extremamente

difícil. O gás levanta o leito como se este fosse uma rolha, ou formam-se canais que atravessam o leito. Grupo D; partículas grandes ou muito densas.

38

A c e ter uma configuração estável para o leito mento pode ser intenso, mas não há puls

r transforma um leito borbulhante em um leito turbulento estável. Todos os leitos catalíticos de sucesso opera coamento turbulento, e peq enas bolhas, cuja existê qu s, A.M., Powder T ,

ação baseada no número de

ondução de uma boa fluidização, no sentido de s requer alta velocidade para o fluido. O borbulhaação. A alta velocidade significa escoamento turbulento, promovendo uma intensa

movimentação da fase particulada. As bolhas são relativamente pequenas. A estabilidade é aumentada com a dispersão da distribuição de tamanhos de partículas. A adição de finos a um catalisado

m com pós do grupo A, com es stável comu ncia pode ser desprezada. ( S ire echnology

151, 15-18,(2005). Recentemente foi apresentada uma nova classific

Arquimedes ( )3 2p F S FAr D g/⎡ ⎤= ρ

o no valor

ρ − ρ µ⎣ ⎦ , feita por Goossens, W.R.A. Powder Technology 98, 48-53 (1998). A expressão de Ergun, pode ser expressa por uma relação entre o número de Arquimedes e o de Reynolds basead mf 0,383ε = , comumente aceito para a

porosidade mínima da fluidização de partículas esféricas.)( m

mf mf mf

1 f 2 2mf3 3

1,75

mf mf

Ar 150 Re Re , Ar 1640Re 30Re .= + ⇒ = +ε ε

( ) − ε

VIII.2.2

Esta expressão nos dá uma relação entre o número de Arquimedes e o número de Reynolds nas condições mínimas de fluidização. Sua solução para Remf dá:

2 5x10 Ar 1.− − (VIII.2.3)

itamente imposta na eq.(VIII.1.4) é, de fato irrealista. O sistema de equ

mf 60 60Se um valor mais preciso, baseado em observações experimentais da porosidade mínima

de fluidização for conhecido, então a primeira forma desta equação deve ser usada. De todo modo esta é uma expressão geralmente empregada para a previsão da velocidade mínima de fluidização.

As expressões que apresentamos acima aplicam-se à fluidização homogênea. Nela a porosidade e a velocidade superficial são independentes da posição e do tempo. A fluidização ocorre, mais comumente quando o fluido é um líquido. A hipótese de velocidade nula para a fase sólida, implic

1640 120Ar 1640 1 4,46Re + − += =

ações para as duas fases admite a solução s f f, e q= =q 0 q i com fq , e ε independentes da posição e entretanto é instável, e a instabilidade determina a existência de outras soluções mais complexas onde a fase sólida se movimenta, a porosidade depende da posição e tempo, e ocorrem bolhas em cujo in a porosidade é praticamente igual a 1.

do tempo. Esta solução

terior

VIII.3 Teoria das Duas Fases

n the two phase theory of fluidisation. Chem. Eng. Sci.22, 1059-1066 (1967). Esta teoria é uma aproximação bem sucedida baseada na suposição de que o leito fluifluid

A “teoria de duas fases” formulada por Davidson, J.F., e Harrison, D. Chem. Eng. Sci. 23, 660,(1968). (ver também Lockett, M. J., Davidson, J.F., e Harrison, D. O

dizado é composto de uma fase izada que permanece sob as condições mínimas de fluidização, ( )mf mfq ,ε , e que todo o

excesso de vazão atravessa o leito fluidizado sob a forma de bolhas. A teoria pretende prever o valor de κ na equação para um leito fluidizado

q q= κf mf bolha

Em primeira aproximação κ é, por hipótese igual a 1. Supondo a repartição do meio em uma fase fluidizada com porosidade ε

q .+ (VIII.3.1)

lhas/vol. do leito.

mf, e a fase bolha ocupando o restante do volume do leito é possível demonstrar que:

bolha bolha1 , onde κ = − ε ε = vol. de todas as bo (VIII.3.2)

39

Bolhas aparecem no interior do leito fluidizado como conseqüência da instabilidade da fluidização homogênea. O sistema de equações de balanços de massas, de fluido (VII.1.14), e de sólido e(VII.1.13), e dos balanços de momento para cada uma das fases, dados pelas equações (VII.2.10), e (VII.2.11), simplificadas para materiais incompres-síveis:

( )fdiv 0;t

∂ε+ =

∂q (VIII.3.3)

( )sdiv 0;t

∂ε− + =

∂q (VIII.3.4)

( )F f f f sgrad ;kµε

ρ ε = − ℘ − −v v v (VIII.3.5)

( ) ( )s s f s 1 .kµε

ρ = − + ∆ρ − εv v v g (VIII.3.6)

A condição de fluidizaç foi imposta tornando nuão la a pressão nos sólidos. pacidade computacional para a obtenção de soluções numéricas para a Atualmente há ca

fluid

idade superficial do sólido; (VIII.3.7)

= ε = εq x

ea, dada pela solução permanente, i

ização não-homogênea. Para exemplificar observemos o escoamento bidimensional, de um leito fluidizado homogêneo sobre uma placa porosa plana. As variáveis são:

( ) ( )s s s s,t 1= ε = − εq x v v , veloc

( )f f f f, t ,v v v

( )f , t∆℘ x a distribuição de pressão piezométrica; (VIII.3.9)

( ),tε x a distribuição de porosidade. (VIII.3.10) O sistema acima admite a solução que caracteriza a fluidização homogên

elocidade superficial do fluido; (VIII.3.8)

dêntica à solução para a fluidização homogênea:

( )

( )

s s

f

f

, p 0;1 g; (VIII.3.11)

kq 1 g.

= =

∆℘ = − ε ∆ρ

= − ε ∆ρµ

v 0

Esta solução é instável, e para um valor crítico de Re aparecerão flutuações em todas as variáveis da lista apresentada, originando o aparecimento de bolhas.

s s s,′= +v v v

f f f

f f f

,,

′= +

.′∆℘ = ∆℘ + ∆℘

v v v (VIII.3.12)

′ε = ε + εAs variáveis acentua bre os v lores médios, s

responsáveis pelo a ecim o o inte or do leito a e salta de um v lor próximo d b lha pa sa pe o momento da observ o. A m cada onto no inte fluidiza o a porosida

das representam as flutuações so a e são apar ento das bolhas. Em cada pont n ri porosidad

a a mfε para um valor próximo a 1 se uma o s lo ponto naçã teoria de duas fases prevê que e p rior do leito

d de alterne entre os valores mfε e 1.

VIII.4 Mistura e Segregação É bem conhecido o

resultar em um leito bem misturado ou, ao contrário em um leito segregado. Mistura e a segregação ocorrem simultaneamente, com resultados diversos. A intensidade relativa destes dois

fato de que a fluidização de materiais particulados diferentes pode

processos é fortemente dependente das características do borbulhamento. Modelos para a descrição do movimento individual de cada fase de sólidos particulados, e do fluido são baseados nas equações de balanço de massa e de momento.

40

IX SEPARAEm capítulos anteriores foram apresentados alguns sistemas de separação e

classificação de partículas com metodologias aplicáveis a sistemas diluídos. Foram apr

nd

São todas elas operações importantes seja para o sistema produtivo, seja para o trat

oncha, F. Manual de Filtracion y Separacion ha, F

ment ticle, KONA # 20(20022).

ÇÃO DE FASES

esentados: câmaras de poeira, ciclones e hidrociclones. Agora serão tratadas as operações de separação sólido-fluido, com base nas equações que descrevem sistemas concentrados, que vimos trata o desde o capítulo VII. As principais operações são:

1. Sedimentação em batelada; 2. Sedimentação contínua; 3. Filtração em filtro prensa; 4. Filtração em filtro rotativo: 5. Filtração em filtro de areia.

amento de rejeitos, e para o controle de poluição.

IX.1 Referencias e Aspectos Gerais Referencias básicas:

varovski, L. Solid Liquid Separations SCConc . e Bürger, R. A Century of Research in Sedi ation and Thickening, Powder and ParA sedimentação, como normalmente é empregada aplica-se à clarificação de suspensões

diluídas (de 1 a 5% v/v, no máximo até 10%v/v), e ao espessamento de suspensões sólido-líquido, ou líquido-líquido, de 15 a 30% v/v.

Na clarificação, geralmente, o líquido constitui-se no produto desejado. Alguns exemplos são:

O tratamento de água, municipal, ou água para caldeiras; na produção de sal ou de NaOH; ana.

No s sólidos são o produto desejado. Exemplos de espessa

, ou da secagem; O processamento de minérios.

ld edimentação dos sólidos, seja pela existência de m a realização de testes, e o “teste de pr a base para todos os cálculos. Os principais fatores que influ s aquosas são:

o de tamanhos; a densidade; a forma; e

f ula a por aditivos. A alta concentraç centração favorece a dispers almente negativa, que se destas cargas promovem, ou a atração, ou a repulsão. Alguns mecanismos que favorecem o aparecimento de cargas são:

A clarificação de salmouras A clarificação do caldo de cespessamento, em geral omento são: O desaguamento de lamas na industria do cimento; O espessamento de lamas antes da filtração

As dificu ades da para a previsão da velocidade de s flocos, seja por sua alta concentração obriga

oveta” que constituem enciam a sedimentação de suspensõea) a natureza das partículas; a distribuiçã

propriedades físico-químicas; b) a concentração de sólidos; c) o tipo de pré-tratamento; condicionamento químico; floculação; tratamento térmico; d) tipo de vaso- efeitos de forma e influência das paredes; e) partículas esféricas (ou quase) sedimentam mais rapidamente que não esféricas. A

floculação que transforma u grupo de partículas irregulares num floco aproximadamente esférico aumenta grandemente a velocidade de sedimentação.

A loc ção pode dar-se espontaneamente, ou ser provocadão de sólidos favorece a floculação, e por oposição baixa con

ão. Todas as partículas em suspensão possuem carga residual, usu acumula na superfície. O balanço

41

1) defeitos na superfície da rede cristalina; pode favorecer o aparecimento de cargas positivas ou negativas;

liberação de H+ resulta no lta no aparecimento

er liberação de outros íons. Em todos os casos a

diçpartículas lguns exemplos de floculantes são: cal; alumem; fosfatos; m omercial: CALGON). São usados na dosagem de 0,1 a 0,4 kg/m3.poli ica eito manifesto, mesmo em qua ade

Os segsódio; éste

1) 2) adi ossível do ponto onde a floculação deve iniciar-

3) adihom

4) adi5) ; 6) 7) par dicione reciclo de sólidos.

, prata, estanho e outros minérios metálicos. São

iver”, em 190

Umagora. Um fatoresque emKinch, Sedimentation”. Tratou o assunto sob a form a suspensão. A suspensão é tratada como resentado pelas equações de balanço a em um vaso em cujo fundo imp rm aso de materiais incompressíveis, e sem geração resultam das equações (VII.1.11), e (VII.1.14) as seguintes expressões:

2) interação iônica da partícula com a água; aaparecimento de carga negativa; e a liberação de –OH resude carga positiva; pode havcarga é altamente sensível ao pH da fase aquosa;

3) adsorção de íons da fase aquosa; 4) formação de pontes de hidrogênio entre a superfície de partículas e moléculas

de polímeros. A a ão de eletrólitos desestabilizam os colóides do tipo “sol”. Reduzem a carga das

e promovem a floculação. Aetafosfato de sódio (nome c Polímeros com cargas distribuídas em inúmeros pontos ao longo da cadeia

mér são agentes floculantes de grande capacidade. Têm efntid s muito pequenas (0,1 a 0,15 g/m3).

uintes monômeros geram polieletrólitos de uso comercial: acrilamida; acrilato de res de amônio quaternário; óxido de etileno; copolímeros de acrilamidas.

Há necessidade de realização de um grande número de testes para a determinação de boas condições para a sedimentação. A concentração de sólidos; o pH da suspensão; a natureza química do agente floculante e de sua concentração, a temperatura; tempo de envelhecimento, etc. A forma da adição do polieletrólito pode ter importância primacial. As seguintes regras práticas são aconselháveis:

adicione o polieletrólito à corrente principal em solução muito diluída (<0,1%); cione no ponto mais próximo p

se; cione em local onde haja turbulência que favoreça uma rápida

ogeneização; cione em estágios em diferentes pontos;

adicione a toda a corrente de processopara alta concentração de sólidos adicione reciclo;

a alta diluição a A sedimentação, como um processo de processamento de minérios é empregado desde o

início do século XVI. Agrícola, na Saxônia, escreveu o famoso “De Re Metallica” que se constituiu na primeira contribuição ao desenvolvimento da indústria de mineração. Este livro foi publicado em latim em 1556, e logo depois foi traduzido para o Alemão e Italiano. Nele estão descritos os métodos de lavagem de ouro

descritos tanques de sedimentação e classificadores, jigs, e concentradores. Os desenvolvimentos modernos iniciam-se com a invenção de concentrador “Dorr-Ol

5. Este invento fez da eliminação contínua de água de polpas diluídas, uma operação economicamente viável.

IX.2 Sedimentação em Batelada a breve apresentação da teoria da sedimentação em batelada será apresentada

a das finalidades desta apresentação é a elucidação de alguns dos principais controladores da sedimentação. Há que mencionar a contribuição de Coe e Clevenger 1916 descreveram procedimentos para o projeto de sedimentadores. Mas deve-se a

a apresentação em 1952 do trabalho “Theory ofo na da propagação de ondas de concentraçã

um contínuo e o processo de sedimentação é repalizads de massas das fases. O caso da batelada re

eável, (x = 0) a suspensão sedimenta, e para o ce

42

s fs f s fdiv 0, div 0, 1.

t t∂ε ∂ε

+ = + = ε + ε =∂ ∂

q q (IX.2.1)

A soma das quais dá para o caso unidirecional

( )s s f fs f

q q0, 0, q q 0.t x t x x

∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂+ = + = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (IX.2.2)

Em x = 0, a condição de impermeabilidade fornece a condição de contorno, com a qual se obtêm

s f s sq q 0, ou v+ = ε + f fv 0.ε = (IX.2.3) têm direções opostas, se há

sed velocidade relativa entre as fases determina a velocidade de cada fase.

Por esta expressão verifica-se que fluido e sólidoimentação, esta desloca o fluido para cima e a

s f s s f f s s s fu v v , e v v 0, v u,= − ε + ε = ⇒ ε = ε ε (IX.2.4)

[ ] bks fs s fu0, 0

t x t x∂∂ ε ε∂ε ∂ε

+ = ⇒ + =∂ ∂ ∂ ∂

(IX.2.5)

Nesta equação o termo bk s s= ε εf u é denominado de “fluxo em batelada de Kynch”. Kynch foi o pioneiro no estudo teórico da sedimentação. Sua suposição básica reside na hipótese de que a velocidade relativa sólido-fluido é função apenas da concentração volumétrica de sólidos εs. Com esta suposição a eq.(IX.2.5) pode ser escrita na forma de uma equação de propagação de onda,

( )bk ss s

s

c 0, onde c .t x

+ = =∂ ∂ ∂ε

rimeira ordem é da forma pois:

f∂ ε∂ε ∂ε (IX.2.6)

A solução desta equação diferencial parcial de p( ) ( )s sˆx,t X,t , onde X x ct,ε = ε = −

s s s ss

x t X X

d dt dx dt dXt x t x

ε = + = +⎟ ⎟ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎠ ⎠ ⎠

ˆ ˆ⎞ ⎞ ⎞ ⎞∂ε ∂ε ∂ε ∂ε

s s s s s s sˆ ˆ ˆd Xc ; e .⎞ ⎞∂ε ∂ε ε ∂ε= =⎟ ⎟ (IX.2.7)

x x X t tt X t t X x dX x X∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎠ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠A substituição destas derivadas na eq.(IX.2.6) dá o resultado

ˆ ˆX⎞ ⎞ ⎞∂ε ∂ε∂ ∂= + = −⎟ ⎟ ⎟

∂ε

( )s s s sˆ ˆc 0 c⎞∂ε ∂ε ∂ε ∂ε

+ = ⇒ − + s

X

ˆ ˆc 0

t x t X X⎞∂ε ∂ε

=⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎠s

s sX

ˆ X .t

⇒ ⇒ ε = ε⎟∂ ⎠Este resultado demonstra a propag

longo das retas = −

imentação dá-se quando a sedimentação se dá com o aparecimento de um sobrenadante livconcentração constante. A curva do fluxo de Kynch tem a forma tal que a derivada do fluxo de Kin baixos valores da concentração volumétrica de sólid itiva para o valor máximo desta concentração. Esta observação demonstra a ex as frentes de propagação das descontinuidades presentes na condição inicial (I .2.9). A expressão de Richardson e Zaki (1954) 1, onde vt é a velocidade terminal de uma partícula isolada num fluido estacionário. Esta equação apresenta o defeito de prever velocidade de sedimentação

(IX.2.8)

ação do perfil inicial da concentração de sólidos ao X ct.= + X x ct, vale dizer x

Dada a condição inicial

( ) 0s s

maxs

0 para x L,x,0 para 0 x L,

para x 0.

=⎧⎪

ε = ε < <⎨⎪ε =⎩

(IX.2.9)

O caso mais simples de sedre de sólidos, e de um sedimento incompressível e de

ch muda de sinal, forçando a velocidade de propagação ser negativa paraos, e pos

istência de duX

( )nbk t s sf v 1 , n= ε − ε >

43

nula apenas quando a concentração volumétrica de sólidos experimentalmente verifica-se que isto ocorre parapro

é s 1, enquanto que Michaels e Bolger (1962)

ε =

maxs0,6 0,7.≤ ε ≤

puseram a expressão a três parâmetros: n

sbk t s max

s

f v 1 n 1ε= ε − >

ε.

te Shannon et al (1963) determ ram a seguinte expressão por ajuste de dad

4 (IX.2.11)

Esta curva fornece valores nevolta a fbk = 0 para εs = 0,65.

(IX.2.10)

Nesta expressão n = 4,65 é valor adequado para esferas rígidas. Para esferas de vidro de diâmetro constan ina

os experimentais ( )2 2 3

bk s s s s sf 10 0,33843 1,37672 1,62275 0,11264 0,902253 m/ s−= ε − + ε − ε − ε + ε

gativos para fbk que passam por um mínimo para εs = 0,2 e

IX.3 Sedimentação Contínua

44

45

IX.4 FILTRAÇÃO Filtração é um processo de separação sólido-fluido envolvendo a passagem do fluido

através de uma barreira porosa que retêm grande parte do material sólido que compõe a suspensão.

Algumas referências sobre o tema são: 1. Svarovski Solid-Liquid Separations. 2. Tiller, F. M. How to select solid-liquid separation equipment. Chem. Eng. 81,

117(1974). 3. Fitch, B. When should you use separation techniques other then filtration. Filtration and

Separtion. Mar. 1975 pg. 149. 4. Purchar, D.B. Solid liquid separation equipment: a preliminary experimental selection

programme. The Chem. Engineer. Jan. 1987 pg.47. 5. Ernst, M. et al. Tackle solid-liquid separation problems Chem. Eng. Progress. June, 91

pg.22. 6. Cleaning a gas filter

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 7. Water bath air filter

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 71 8. Air filter Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 9. Rotary filters using filter aid

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 10. Process for making ceramic membrane filters • ABSTRACT

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 11. Sintered metal filter sheet

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 7, November 1994, Page 713 12. Separation of mixture components

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625 13. Water bath air filter

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625 14. Discharging filter bed material

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625 15. Rotary filters using filter aid

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September-October 1994, Page 625 16. Sintered metal filter sheet

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625 17. Filtration apparatus

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 6, September 1994, Page 625 18. A filtration engineer's guide to Achema 94

Filtration & Separation, Volume 31, Issue 4, June 1994, Page 340 19. Rubber membrane filter plate Filtration & Separation, Volume 29, Issue 5, September 1992, Page 370 20. Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336 21.Ka M. Ng Design and development of solids processes—a process systems engineering perspective. Powder Technology, Volume 126, Issue 3, 12 August 2002, Pages 205-210

Seleção de um sistema de filtração. A seleção de um sistema de um sistema de filtração pode passar pelas seguintes etapas:

46

I. Pré-tratamento a) químico: coagulação/floculação – testes de determinação da taxa de filtração em função da quantidade de floculante adicionado.

b) físico: cristalização/precipitação/ envelhecimento. adição de auxiliar de filtração. II. Pós-tratamento Lavagem da torta teste da concentração versus volume de fluido

de lavagem. Secagem pó injeção de ar. Teste umidade versus umidade da

torta. Compactação. III. Tipos de filtração a) Clarificação de suspensões diluídas a1) em leitos granulares, a2) em velas ou cartuchos filtrantes. b) Filtração sob pressão ou vácuo c) Filtração centrífuga. IV. Tipos de filtro a) Filtração em bateladas. – vasos de pressão com elementos verticais ou horizontais. - filtro prensa. b) Filtração contínua. – filtro de tambor rotativo, - filtro de discos rotativos, - filtro de correia, ou panelas. c) Filtração centrífuga.

Teoria simplificada da filtração com formação de torta. A seguir será apresentada uma teoria da filtração de suspensões que durante o processo

de filtração formam uma torta incompressível, com porosidade e permeabilidade constantes. A figura abaixo mostra a torta (cake) formada pela acumulação dos sólidos contidos na suspensão alimentada ao filtro. O meio filtrante retém a totalidade dos sólidos.

A figura IX.4.1 acima mostra uma idealização do processo de filtração com a formação de

uma torta de espessura retida pelo meio filtrante. O fluido que acompanha a suspensão atravessa a torta anteriormente formada, e o meio filtrante. A porosidade da torta é, por

( )L t

47

hipótese, constante tanto em relação ao tempo quanto em relação à posição. Em todas as posições ao longo da torta a velocidade da fase de sólidos, sv 0= . Estas duas hipóteses são compatíveis com o balanço de massa dos sólidos, pois:

( ) s1 q 0,t x

∂ − ε ∂+ =

∂ ∂ (IX.4.1)

e ε é constante se e apenas quando a velocidade de dos sólidos é nula. A queda de pressão é determinada pela equação do movimento do fluido, na qual a força resistiva é determinada pela lei de Darcy, que aplica-se à torta e ao meio filtrante.

fP q 0, ao longo da torta,x k

∂ µ− + =

∂ (IX.4.2)

fm

P q 0, no meio filtrante.x k

∂ µ− + =

∂ (IX.4.3)

Supondo constantes, no tempo e no espaço, as duas permeabilidades as equações podem ser integradas e decorem:

1 m T fLP P P qk

µ− = ∆ = , (IX.4.4)

mm 0 m f

m

LP P P qk

µ− = ∆ = .

) .

(IX.4.5)

A soma destas duas equações dá como resultado a queda de pressão total (IX.4.6) ( m m fP L /k L /k q∆ = µ +

O termo é denominado resistência do meio filtrante, e tem dimensões de m m mL /k R≡

[ ] 1mR L−= .

A espessura da torta aumenta, linearmente, com o volume de filtrado, uma vez que ela contém a totalidade dos sólidos contidos na suspensão. Seja c a razão de sólidos contidos na suspensão i.e. . s Fc massa de sólidos /massa de fluido na suspensão M /M= =

( )

( )S F

F S

1 AL cVc LV 1

− ε ρ ρ= ⇒ =

ρ −,

Aε ρ (IX.4.7)

Com esta expressão para a espessura da torta em função do volume de filtrado obtém-se

( )

F Fm f m

S

cV c 1 dVP R q V R1 A k A A dt

⎡ ⎤ρ αρ⎡ ⎤∆ = µ + = µ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ε ρ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦. (IX.4.8)

Nesta expressão ( )S

11 k

α =ρ − ε

é a resistividade da torta. Ela fornece uma relação entre a

queda de pressão na durante a filtração, e a taxa de filtração. Há a necessidade de uma relação adicional entre estas duas variáveis para permitir sua integração.

Filtração a pressão constante. Um sistema de filtração pode ser configurado para manter constante a pressão na

admissão do filtro independentemente da vazão da suspensão. Para este caso a Eq. (IX.4.8) pode ser escrita na seguinte forma.

Fm

cdt V R .dV A P A

⎡ ⎤αρµ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦+ ⎥ (IX.4.9)

As suposições feitas no início deste item permitem considerar m, e Rα como constantes, e a integração conduz ao resultado:

48

2Fm

ct VA P 2A

⎡ ⎤α ρµ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦R V ,+ ⎥ (IX.4.10)

conhecido como “parábola de filtração”, que é retificada quando se escreve sob a forma F

2

ct / V aV b, onde a , e b .2A P A Pµαρ µ

= + = =∆ ∆

mR (IX.4.11)

Esta equação quando locada em gráfico t/V versus V tem a forma de uma reta, com coeficiente angular igual a “a”, e o linear igual a “b”. Dados experimentais fogem da linha reta quando os quadros do filtro estiverem cheios, caso em que a torta formada não pode mais aumentar de espessura, e a filtração prosseguirá por preenchimento pos poros da torta, i.e. por redução da porosidade. A observação do primeiro desvio da reta permite o cálculo da porosidade da torta, pois a máxima espessura

( )F max

max quadroS

cVL e1 Aρ

= =− ε ρ

/ 2.

L.

(IX.4.12)

Lavagem da torta. Frequentemente as especificações do processo produtivo incluem a necessidade da

lavagem da torta. Se VL é o volume de água de lavagem a ser empregado, e QL é sua vazão, então o tempo de lavagem será L Lt V / Q= Admite-se a suposição que a vazão será proporcional à vazão ao final da filtração, o que é justificável se a viscosidade da água de lavagem, e a do filtrado forem idênticas, e se o percurso da água ao atravessar a torta é proporcional a espessura da torta. Escreve-se sob estas condições:

Lfinal

dVQ C , e V BVdt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠L F.= (IX.4.13)

C é igual a 1, se o percurso da água é o mesmo que o do fluido filtrado, e igual a ¼ se o filtro possui “placa de lavagem”, caso em que a água atravessa duas espessuras de torta, com o dobra da velocidade do fluido filtrado. O tempo de lavagem será então:

(FL

final

BV Bt 2CdVC

dt

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

)FaV b .+ (IX.4.14)

Com esta expressão podemos calcular o tempo total de um ciclo de filtração 2

T F L 0 F F 0B Bt t t t a 1 2 V b 1 V t ,C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(IX.4.15)

onde t0 é o tempo morto no qual o filtro é aberto, limpo e remontado.

Produção máxima, dimensionamento de um filtro Neste item consideramos que são conhecidas as seguintes variáveis:

1. as propriedades da torta; ; e m,R ,α ε2. as propriedades da suspensão; F Sc, , ,µ ρ ρ .

A produção do filtro é máxima quando o tempo total necessário para a filtração de determinado volume VF é mínimo, ou, equivalentemente, quando é máximo. F TV / t

0FF

T F

tV B Ba 1 2 V b 1 , é mínimo.t C C V

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(IX.4.16)

( )T F 0F2

F F

d t / V t tBa 1 2 0 V .BdV C V a 1 2C

⎛ ⎞= + − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 (IX.4.17)

Daí deduz-se o tempo ótimo de filtração e o tempo ótimo do ciclo.

49

2 0 0F F F

0T 0

t tt aV bV bB B1 2 a 1 2C C

tBt 2t b 1 .BC a 1 2C

= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

(IX.4.18)

Note que se a operação do filtro prescinde da lavagem então

0F 0 T 0

t tB 0 t t b , e t 2t b .a a

= ⇒ = + = + 0

.

(IX.4.19)

e se a resistência do meio filtrante é desprezível então F 0 T 0t t , e t 2t= = O melhor possível é dividir igualmente o tempo entre a filtração e o tempo morto empregado na limpeza do filtro. O sistema opera em produção apenas 50% do tempo, e os outros 50% são reservados à abertura, retirada da torta, limpeza do meio filtrante e remontagem do filtro. Quando Rm é significativo, e quando há lavagem estas a divisão dos tempos obedece relações diferentes dadas pelas equações (IX.4.18).

Suponha agora que se deseje projetar um sistema de filtração a pressão constante para filtrar de uma suspensão em uma jornada diária de trabalho de t h O número de ciclos diários será e o volume de filtrado em cada ciclo deverá ser

Observando as equações (IX.4.18) verifica-se que elas não dependem da

área de filtração já que o termo

3V m∗ oras.∗

ciclos TN t /∗= t ,.F ciclosV V /N∗=

b / a presente no segundo termo das duas é:

( )mm

FF

P RR / Pb / a ./ 2/ 2 P

µ∆µ ∆= =

αρµαρ ∆ (IX.4.20)

Este fato é responsável por ser possível a determinação dos tempos ótimos e do número ótimo de ciclos diários. A partir deste escreve-se a equação da parábola (IX.4.10)

2F mF F F F2

ciclos

c R Vt V V , onde V .P 2A A N

∗⎡ ⎤α ρµ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (IX.4.21)

Nesta apenas a área de filtração é desconhecida, e pode portanto ser calculada. Por fim, e uma vez conhecida a área é possível determinar a espessura do quadro fazendo uso da Eq. (IX.4.7),

( )F F

S

cVL1 A

ρ= ≤

− ε ρe / 2. (IX.4.22)

A área total de filtração, determinada pelo método apresentado deve ser decomposta no produto do número de quadros vezes a área de cada quadro e isto deve ser feito com o auxílio do catálogo do fabricante. E comum a apresentação de ampla faixas de área total de filtração, com a recomendação de dimensões nominais dos quadros. A tabela abaixo apresenta a recomendação do fabricante Shriver.

Área de filtração

(pe2)

Dimensões dos

quadros (pol.)

Área efetiva

por quadro (pe2) 5 a 35 12 1,7

30 a 100 18 3,9 75 a 250 24 7,0 150 a 450 30 10,5 250 a 700 36 15,6 500 a 1000 43 ¼ 22,2

>1000 48 a 56 28,8 a 48

50

IX.5 Filtração em filtro rotativo Um filtro rotativo opera continuamente, frequentemente a vácuo, e há formação de torta.

O vácuo estabelecido no interior do tambor é mantido por um sistema de bomba de vácuo, de forma que é possível considerar uma operação de filtração a pressão constante. A velocidade de rotação do tambor sendo também constante é possível considerar a evolução da espessura da torta formada sobre um elemento de área na superfície do tambor empregando-se as equações apresentadas no item anterior.

2mRc V Vt

2 P A P Aµµα ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

.

(IX.5.1)

onde V é o filtrado em um ciclo de revolução do tambor. Se ω é sua velocidade angular e φ o ângulo de submergência do tambor, i.e, a fração submersa da circunferência do círculo então o tempo de filtração e a vazão de filtrado são dados por:

t / , e Q RHV= φ ω = ω (IX.5.2) A substituição destas interpretações na Eq. (IX.5.1) dá

2

mP c Q QR

2 RH RH∆ φ µα ⎛ ⎞ ⎛= + µ⎜ ⎟ ⎜ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟ (IX.5.3)

Esta é uma equação de segundo grau para a vazão cuja raiz positiva é

( )2mR P c / RQ .

RH c+ ∆ φα µω −⎛ ⎞ =⎜ ⎟ω α⎝ ⎠

m (IX.5.4)

Os resultados destas duas últimas seções aplicam-se a sistemas de filtração onde as suposições da teoria simplificada sejam válidas. A validade das suposições básicas empregadas na sua formulação será agora examinada.

IX.6 Avaliação da teoria simplificada A análise que segue tem por base o trabalho de Tien e Bai 1. Como vimos, durante a

filtração os sólidos da suspensão são retidos pelo meio filtrante, e a espessura da torta cresce linearmente com o volume de filtrado. A torta formada é considerada incompressível, o que traz como conseqüência que as partículas que a compõe são imóveis, e a velocidade relativa entre as fases seja igual à velocidade do fluido. Assim é que a equação de Darcy pode ser escrita em termos da velocidade superficial do fluido como está proposto na Eq. (IX.4.4).

Todas as tortas de filtração têm alguma compressibilidade. Por isso, à medida que a filtração prossegue as varias camadas de torta ficam sujeitas a uma pressão crescente atuando na fase de sólidos, i.e. ( )sp x,t aumenta com t, para todo valor de x. Como conseqüência a porosidade decresce expulsando o fluido dos poros da torta. Resulta deste processo que as velocidades superficiais das duas fases sejam variáveis.

Consideramos a filtração conforme apresentada na figura IX.4.1, e os balanços de massa de cada fase escritos para o escoamento unidirecional, com fases incompres-síveis.

1 1) Chi Tien and Renbi Bai. An assessment of the conventional cake filtration theory.

Chemical Engineering Science, Volume 58, Issue 7, April 2003, Pages 1323-1336.

51

( ) ( )s s f s f

s s s s

1 1 v q ,t x t

v q0, .t x t x

∂ − ε ∂ − ε ∂ε ∂+ = − =

∂ ∂ ∂∂ε ∂ε ∂∂ε

+ = ⇒ =∂ ∂ ∂ ∂

x∂

s

(IX.6.1)

onde x é a posição de distância ao meio filtrante, e as velocidades superficiais do fluido e sólido, respectivamente. A velocidade relativa entre as fases é:

fq , e q

( )sf

f ss s

qqu v v ,1

= − = −− ε ε

(IX.6.2)

e com ela escreve-se a equação de Darcy Eq. (VIII.3.5),

( ) ( )

sf

s s s

qq ku1 1

∂= − =

− ε ε − ε ∂fp ,

x (IX.6.3)

onde a pf , a pressão no fluido e a pressão no sólido são relacionadas à pressão total

f sdPP p p , e 0dx

= + = ,

= =

em conseqüência da Eq. As condições de contorno na superfície da

torta pressão total na entrada do filtro. A solução destas equações requer a especificação de equações constitutivas para

( ) ( )s fp L 0, e p L P=

( ) ( ) ( )s s s s sp , e de k k p , ou de pε = ε = α = α . Estas são dadas por equações empíricas da forma:

0 ss s 0

s

p1p

β⎛ ⎞

ε = ε −⎜⎝ ⎠

,⎟ (IX.6.4)

0 s0s

pk k 1p

−δ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (IX.6.5)

n

0 s0s

p1p

⎛ ⎞α = α −⎜

⎝ ⎠.⎟ (IX.6.6)

onde são constantes empíricas, e é a queda de pressão total até a interface torta-meio filtrante. Uma vez conhecidas estas relações o sistema de equações pode ser resolvido e os resultados comparados com os da teoria simplificada. Gráficos comparativos são apresentados na referencia citada.

0 0 0s,k , , , , e nε α β δ 0

sp

IX.7 Filtração em leito granular A filtração em leito granular ocupa uma posição de destaque na remoção de particulados

nos processos de tratamento de água para suprimento de cidades, industrias, na reciclagem da água, e no tratamento de rejeitos industriais. O projeto destas unidades depende de dados obtidos em planta piloto e de modelos semi-empíricos. O caso unidirecional será tratado aqui. Considera-se um leito de partículas inicialmente co porosidade 0ε , através do qual percola uma suspensão cujas partículas são parcial e progressivamente retidas pelo meio poroso. Uma boa referencia recente sobre o assunto é deIliuta e Larachi2.

A queda de pressão do fluido que atravessa o leito é dada pela Eq. (IX.4.4).

2 Iliuta, I. and F. Larachi. Colmatage des réacteurs gaz–liquide à lit fixe: Plugging in two-phase flow packed

beds. Comptes Rendus Mecanique, Volume 330, Issue 8, 2002, Pages 563-568.

52

fP qx k

∂ µ− =

∂ (IX.7.1)

Onde a permeabilidade em cada ponto do leito depende da posição, (profundidade), e do tempo, pois as partículas da suspensão são retidas pelo leito de uma forma aleatória. Admite-se que

( )0 x,t ,ε ≥ ε ≥ εc (IX.7.2) onde é um valor crítico da porosidade para a qual a permeabilidade torna – se nula. O balanço de massa de sólidos na suspensão que atravessa o meio poroso e a de sólidos na fase particulada são escritos sob a forma, considerando estacionaria esta última:

cε

( ) ( )

( )

fp

p

c q c,

t x1

.t

∂ ε ∂+ = −

∂ ∂

∂ − ε= σ

∂

σ (IX.7.3)

pσ é a taxa de captura das partícula em suspensão pelo meio poroso. Esta taxa requer uma equação constitutiva que adicionada a que determina a permeabilidade em função de porosidade transforma o sistema (IX.7.1) e (IX.7.3) em um sistema fechado.

São propostas as seguintes:

( )n

c0 0

0

p f

k k

q c.

⎛ ⎞ε − ε= ε ⎜ ε − ε⎝

σ =

,⎟⎠ (IX.7.4)

onde é comumente tomado n = 3, é o fluxo de particulados que passa por um ponto do meio poroso, por unidade de tempo.

fq c

( ) ( )

( )

3

cf

0 0

ff

f

P q ,x k

c q cq c,

t x1

q c.t

−⎛ ⎞ε − ε∂ µ

− = ⎜ ⎟∂ ε − ε⎝ ⎠∂ ε ∂

+ = −∂ ∂

∂ − ε=

∂

(IX.7.5)

Dada a queda de pressão no leito poroso, com porosidade inicial ε0, que recebe uma suspensão com concentração volumétrica de partículas sólidas c0, então este sistema pode ser resolvido numericamente resultando em particular a curva de decaimento da vazão de filtrado.

53